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\def\CDRdoi{10.5802/xups.2000-00}


\begin{document}
\frontmatter
\title{Groupes finis. Préface des éditeurs}

\author[\initial{N.} \lastname{Berline}]{\firstname{Nicole} \lastname{Berline}}
\address{UMR 7640 du CNRS, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau cedex, France}

\author[\initial{C.} \lastname{Sabbah}]{\firstname{Claude} \lastname{Sabbah}}
\address{UMR 7640 du CNRS, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, F-91128 Palaiseau cedex, France}


\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}\normalfont

\chapter*{Préface}

Les groupes sont partout dans la nature, les sciences et les arts, à
travers les invariances, les symétries d'objets matériels ou
mathématiques. Bien des phénomènes mathématiques se démontrent ou
s'interprètent par la possibilité de passer d'une configuration à
une autre par l'action d'un groupe spécifique.

Les exposés d'Anne-Marie Aubert et Michel Broué développent
quelques beaux exemples de ce principe, dans des situations ou
apparaissent certains groupes finis simples remarquables.

Les groupes
finis se prêtent évidemment au calcul sur ordinateur; les
participants aux journées X-UPS 2000 ont pu s'initier à l'un des
logiciels les plus utilisés pour calculer dans les groupes: GAP (Groups, Algorithms and Programming). Le texte de
Jean Michel est une introduction au langage GAP.

Un groupe simple est, par définition, un groupe qui n'admet pas
d'autre \og projection\fg (image par un homomorphisme) que lui-même
ou le groupe réduit à un
élément. Pour décrire tous les groupes finis, il est donc naturel de
commencer par les groupes finis simples. Les mathématiciens sont à
peu près convaincus que la liste des groupes finis simples
est connue. C'est l'aboutissement de nombreux articles, et personne
n'a mené à bien le travail considérable et ingrat de
retracer de manière systématique le cheminement qui, à travers des
milliers de pages, conduit à la classification complète. Il est
d'autant plus
étonnant que cette classification soit, somme toute,
assez... simple. Outre les groupes cycliques et les groupes
alternés, elle comporte des séries infinies de groupes qu'on peut
décrire, en gros, comme des groupes de matrices sur les corps finis,
et elle est complétée par une surprenante collection de $26$ autres groupes,
appelés les groupes sporadiques. L'existence du plus grand de ces
groupes, appelé le \og monstre\fg,
d'ordre approximativement $10^{54}$,
est restée conjecturale pendant de nombreuses années, avant d'être
démontrée par Robert L. Griess en 1981. Les relations de ce groupe
avec d'autres domaines des mathématiques forment un ensemble de
résultats et de conjectures si merveilleux qu'on le
désigne par l'expression de \og rêveries au clair de lune\fg.

Depuis Frobenius\footnote{Ferdinand Georg Frobenius (26 Octobre 1849, Berlin, Prusse [Allemagne] --- 3 Août 1917, Berlin)
\og Über die Gruppencharaktere\fg 1896.}, on comprend l'importance des
représentations
linéaires des groupes, et en particulier des représentations
unitaires irréductibles, qui sont à un groupe $G$ ce que sont au
groupe $S^1= \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ les
exponentielles $\theta \mapsto e ^in\theta$, point de départ de la
théorie des séries de Fourier: lorsque $G$ opère sur un
ensemble $E$, il en
résulte de manière naturelle une représentation linéaire de
$G$ dans l'espace vectoriel des fonctions sur $E$ et, si $G$
préserve une mesure sur $E$, cette représentation est unitaire
pour la norme $L^2$. Sa décomposition en somme directe hilbertienne de
représentations
irréductibles est une généralisation de la décomposition des
fonctions périodiques en série de Fourier.

Les réalisations des relations d'incertitude de Heisenberg peuvent
s'interpréter comme les représentations d'un groupe, appelé groupe
de Heisenberg sur le corps $\mathbb{R}$. Le
théorème de Stone-Von~Neuman, fondamental pour la mécanique
quantique, affirme l'unicité --- à normalisation près --- d'une
représentation irréductible de ce groupe. Une conséquence de
cette unicité est l'existence d'un groupe
remarquable, appelé le groupe \og métaplectique\fg par André Weil,
revêtement d'ordre $2$ du groupe \og symplectique\fg formé des
transformations linéaires de $\mathbb{R}^{2n}$ qui préservent la forme
bilinéaire alternée $\sum_{1\leq i<j\leq n} x_iy_j - x_j y_i$. Le groupe
métaplectique sur $\mathbb{R}$ joue un rôle profond dans
les domaines de l'analyse et de la géométrie
différentielle où interviennent des groupes de Lie. D'autre part,
c'est en vue d'applications à la théorie des nombres que le groupe
métaplectique sur un corps local a été introduit par André Weil
\footnote{Sur certains groupes d'opérateurs unitaires, Acta
Math. 111, 1964 }.

Il est donc frappant de découvrir que l'un des
mystérieux groupes sporadiques, le premier groupe de Conway, construit
en 1968, apparaît dans
un analogue de cette construction
sur le corps à deux éléments $\mathbb{F}_2$. Ce résultat est exposé
dans le chapitre 3 de l'article d'Anne-Marie Aubert. Elle se place
dans le cadre des groupes \og extra-spéciaux\fg qui est en gros une
formulation abstraite des
groupes de Heisenberg sur les corps finis.

Le chapitre 4 de cet article est consacré à la théorie des représentations
irréductibles du groupe des permutations. C'est un chapitre central
de la combinatoire, qui correspond, par dualité, à la
décomposition des espaces tensoriels intervenant, entre autres
domaines, en physique quantique: par exemple, le principe
d'exclusion de Pauli
traduit simplement le fait que le groupe des permutations n'a que deux
représentations de dimension $1$.

Michel Broué nous montre comment certains groupes simples
sporadiques, les groupes de Mathieu $M_{12}$ et $M_{24} $ et le groupe
de Conway, déjà mentionné, apparaissent en étudiant les automorphismes de
certains réseaux très
particuliers d'espaces euclidiens (problèmes d'empilement de
sphères) et de certains \og codes correcteurs d'erreurs\fg\footnote{Le lien entre
réseaux et codes a déjà été abordé lors des journées X-UPS
1993, \og Codes géométriques algébriques et arithmétique sur les corps
finis\fg, dans l'exposé \og Algebraic curves and sphere packings\fg de
M. A. Tsfasman}.

Nous tenons à remercier la direction de l'École polytechnique, et
tout particulièrement la Direction des Études, pour l'aide
matérielle importante qu'elles ont apportée à la
préparation des journées X-UPS ainsi qu'à la publication de
ce volume.

Nous remercions aussi les secrétaires du Centre de
Mathématiques pour leur contribution à l'organisation des
journées X-UPS, notamment
Claudine Harmide, Carole Juppin et Michèle Lavallette, qui nous ont
assisté de manière efficace pendant les journées.

Les journées 2000 ont comporté une après-midi de travaux pratiques
sur ordinateurs, dirigés par Jean Michel et François Digne (CNRS, Université de Picardie), pour laquelle l'aide de Gérard Guillerm, responsable
technique du Service Informatique et Télématique et de Jean-Luc Bellon,
ingénieur de recherche au Centre de mathématiques, nous a été
particulièrement précieuse.

\vspace*{1cm}
\hfill {\sl Nicole Berline et Claude Sabbah}\hspace*{2cm}\mbox{}

\end{document}
