\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais, NoEqCountersInSection,NoFloatCountersInSection]{cedram}
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\begin{document}
\frontmatter
\title[Contrôle et équations aux dérivées partielles]{Contrôle et\\ équations aux dérivées partielles}

\author[\initial{J.-P.} \lastname{Puel}]{\firstname{Jean-Pierre} \lastname{Puel}}
\address{Laboratoire de Mathématiques de Versailles,
Université de Versailles St Quentin}
\email{Jean-Pierre.Puel@math.uvsq.fr}

\thanks{Journées X-UPS 1999. Aspects de la théorie du contrôle. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1999, et Éditions de l'École polytechnique, 2008}

\maketitle
\tableofcontents
\mainmatter
\section{Introduction}
Pourquoi équations aux dérivées partielles et pourquoi
contrôle?

Les équations aux dérivées partielles, associées à
certaines bonnes
classes d'opérateurs, fournissent des modèles mathématiques de
quantité de
phénomènes:
\begin{itemize}
\item
physiques: lois de conservation, thermodynamique,
électrostatique,
électromagnétisme, dynamique des gaz, plasmas, mécanique
quantique...
\item
mécaniques: élasticité, plasticité, mécanique
des fluides,...
\item
chimiques: réaction-diffusion, combustion,...
\item
économiques: modèles macroéconomiques, gestion de
stocks,...

\item
domaines scientifiques pluridisciplinaires: météorologie,
biomédecine, ingénierie avec mention particulière pour les
industries
spatiales et nucléaires.
\end{itemize}

Les principaux opérateurs aux dérivées partielles
rencontrés sont:
\begin{itemize}
\item
$ \dpl\Delta = \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}$: opérateur de Laplace pour les phénomènes de
diffusion ou de potentiel électrostatique

\item
$ \dfrac{\partial}{\partial t} - \Delta$: opérateur de la chaleur
\item
$\dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \Delta$: opérateur des
ondes
pour les phénomènes de propagation (ici à vitesse finie).
\item
Autres opérateurs fondamentaux moins faciles à écrire
simplement:
opérateur de Stokes (mécanique des fluides), opérateur de
l'élasticité, opérateur de Maxwell (électromagnétisme),
opérateur de
Schrödinger,...
\end{itemize}

Nous nous limiterons essentiellement ici, afin de réduire la
technicité, à
l'utilisation des trois premiers opérateurs (avec les conditions aux
limites appropriées).

Quels peuvent être les intérêts de la modélisation d'un
phénomène
(que nous appellerons) \og physique\fg à l'aide d'objets mathématiques?
Cela peut aider à la compréhension du phénomène et de
l'influence des
différents paramètres, aussi à la prévision grâce à
la simulation.
Souvent, on cherche à étudier la possibilité d'agir sur un
système
afin qu'il fonctionne dans un but désiré, ou \og au mieux\fg, \og au
moindre coût\fg etc. C'est l'objet de la théorie du contrôle, la
variable d'action étant appelée le contrôle (souvent aussi la
commande), l'objectif à atteindre étant parfois assez difficile à
définir (par exemple comment exprimer précisément ce qu'on
cherche à
obtenir pour un écoulement autour d'une aile d'avion...).

Nous allons ici développer un peu la problématique, les idées,
résultats et les difficultés de ce qui est appelé la
\og contrôlabilité\fg. Mais dans cette introduction je souhaite dire
quelques mots d'autres domaines importants de la théorie du
contrôle, en particulier du contrôle optimal.

Considérons un exemple simple.

\begin{example}On considère l'équation de la chaleur
posée dans
un domaine ouvert borné $\Omega$ de $\mathbb{R}^{n}$ (de frontière
$\Gamma$) et sur un intervalle de temps $(0,T)$\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{equation}
\label{1.1}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial y}{\partial t} - \Delta y = f + B v \hbox{ dans }
\Omega \times (0,T)\\
y =0 \hbox{ sur } \Gamma \times (0,T)\\
y(0) = 0.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Ici $f$ est une donnée, $v$ est le contrôle, $B$ est un opérateur
linéaire continu de l'espace des contrôles dans l'espace des
données. Sous des hypothèses raisonnables, en particulier sur les
classes de fonctions considérées, on montre que pour tout contrôle
$v$, il existe une solution unique $y = y(v)$ de (\ref{1.1}) qui sera
appelée \og état du système\fg.

On considère ensuite une \og fonction coût\fg, par exemple\vspace*{-3pt}
\begin{multline}
\label{1.2}
J(v)= \frac{1}{2} \int^{T}_{0}\int_{\Omega} |Cy(v)-zd|^{2} dx dt\\[-3pt]
+\frac{1}{2} \int_{\Omega} |y(v)(T)-z_{T} |^{2}dx + \frac{N}{2} \| v\|^{2}
\end{multline}
où $z_{d}$, $z_{T}$ sont donnés et l'opérateur $C$ (opérateur
d'observation) est donné linéaire continu et $N>0$. Le problème
(classique) de contrôle optimal est de trouver un contrôle $u$ tel
que\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{1.3}
J(u) = \min_{v} J(v)
\end{equation}
L'ensemble des contrôles \og admissibles\fg peut être un espace ou un
sous ensemble convexe fermé.
\end{example}

Les questions à étudier (et, dans cet exemple, bien résolues
\cf \cite{14}) sont: existence et
unicité d'un contrôle optimal, caractérisation, calcul a priori
du contrôle optimal (contrôle dit
en boucle ouverte). On cherche également un contrôle en boucle
fermée,
c'est-à-dire un contrôle de la forme $v(t) =P(t) y(t)$ où $P$
est un
opérateur dit \og opérateur de feedback\fg. La question revient bien
sûr alors à la détermination de $P$ et à son \og calcul\fg
(\cf \cite{14}).

Dans l'exemple précédent, le contrôle apparaît comme un
\og second membre\fg d'une équation. Il peut être aussi le domaine
géométrique~$\Omega$ ce qui conduit à des problèmes
d'optimisation de
forme et des \hbox{difficultés} immédiates: comment la solution d'une
équation aux dérivées partielles (même simple)
dépend-elle du
domaine géométrique, comment comparer des fonctions qui ne sont pas
définies sur le même domaine etc.? Le contrôle peut aussi
apparaître dans les caractéristiques du matériau utilisé
ou dans la
disposition géométrique de deux matériaux de
caractéristiques données
(par exemple dans un problème de potentiel électrostatique ou
d'élasticité...). Il apparaît alors dans les coefficients de la
partie principale de l'opérateur.

Par exemple il faut remplacer
$-\Delta$ par $- \div (A(x)\nabla.)$ où $A(x)$ est une matrice
(définie
positive) de coefficients. On arrive alors à des problèmes de
contrôle sur les coefficients, d'homogénéisation etc. qui
présentent eux aussi des difficultés spécifiques et un très
grand
intérêt, tant mathématique que pour les applications.

Des variantes de ces problèmes sont les problèmes d'identification et
les problèmes inverses qui peuvent être vus comme des problèmes de
contrôle (le principe étant d'appeler contrôle ce qu'on ne connaît
pas et qu'on cherche à déterminer!).

Nous ne développerons pas ici ces questions pourtant fort
intéressantes, et nous nous concentrerons sur les problèmes dits de
contrôlabilité.\enlargethispage{-\baselineskip}

L'objectif de la contrôlabilité est d'atteindre sur un temps $T$
donné une cible donnée (contrôlabilité exacte) ou de s'en
approcher
autant qu'on le désire (contrôlabilité approchée) en
agissant à
l'aide d'un contrôle. L'étude revient souvent à décrire, aussi
précisément que possible, l'ensemble des états atteints à
l'instant
$T$ lorsque le contrôle varie. Nous allons ici décrire les situations
rencontrées sur quelques exemples simples et donner quelques méthodes
et résultats obtenus. Nous expliciterons aussi quelques problèmes
ouverts sur des équations plus compliquées mais plus réalistes.

\section{Contrôlabilité exacte et équations de type ondes}
Considérons un ouvert borné et régulier de $\mathbb{R}^{n}$,
noté
$\Omega$ et sa frontière $\Gamma$.

\begin{figure}[htb]
\vspace*{-\baselineskip}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{xups99-03fig}
\end{center}
\vspace*{-\baselineskip}
\end{figure}

Nous considérons l'équation des ondes dans $\Omega \times (0,T)$,
où
$T$ est un temps positif, avec un contrôle agissant sur une partie
$\Gamma_{0}$ de la frontière de $\Omega$:\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{2.1}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} - \Delta y = 0 \hbox{ dans }
\Omega \times (0,T)\\
y = v \hbox{ sur } \Gamma_{0} \times (0,T)\\
y = 0 \hbox{ sur } (\Gamma -\Gamma_{0})\times (0,T)\\
y(0) = y_{0}\ ;\ \dfrac{\partial y}{\partial t}(0) = y_{1} \hbox{ dans
}\Omega.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Ici $y$ est l'état, $v$ est le contrôle, $y_{0}$ et $y_{1}$ sont
les données initiales.

Remarquons que même si $v$ est elle-même une fonction
\og régulière\fg, la fonction qui vaut $v$ sur $\Gamma_{0}\times (0,T)$
et $0$ sur $(\Gamma -\Gamma_{0})\times (0,T)$ peut ne pas être
régulière (le cas $\Gamma_{0} \not= \Gamma$ est important pour
permettre de ne pas agir sur toute la frontière). Il faut donc un
cadre adapté pour assurer que \eqref{2.1} admet bien une solution pour
$v$, $y_{0}$ et~$y_{1}$ données. Ce cadre est donné par des espaces de
Sobolev dont nous donnons quelques brèves définitions (\cf par
exemple \cite{1}, \cite{17}, \cite{2}...)

Nous noterons $\mathcal{D}(\Omega)$ l'espace des fonctions de classe
$C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^{n}$ à support compact dont le support
(compact donc fermé) est contenu dans (l'ouvert) $\Omega$. (Les
fonctions de $\mathcal{D}(\Omega)$ sont donc nulles dans un voisinage
de la frontière $\Gamma$ de $\Omega$).

\smallskip\noindent\emph{Espace $H^{1}(\Omega)$}\vspace*{-3pt}
$$
H^{1}(\Omega) = \Bigl\{ v \in L^{2} (\Omega),\ \frac{\partial v}{\partial
x_{i}} \in L^{2}(\Omega),\; i = 1,\dots, n\Bigr\}.
$$
Ici les dérivées de $v$ sont prises au sens des distributions.

Muni du produit scalaire (nous ne considérons que les fonctions à
valeurs réelles)\vspace*{-3pt}
$$
((u,v)) =\int_{\Omega} u(x)v(x) dx + \sum_{i=1}^{n} \int_{\Omega}
\frac{\partial u}{\partial x_{i}} (x) \frac{\partial v}{\partial
x_{i}} (x) dx
$$
l'espace $H^{1}(\Omega)$ est un espace de Hilbert.

\smallskip\noindent\emph{Espace $H^{1}_{0}(\Omega)$}\vspace*{-3pt}
$$
H^{1}_{0}(\Omega) = \hbox{ adhérence de } \mathcal{D}(\Omega)\hbox{
dans } H^{1}(\Omega).
$$
et aussi, puisque $\Omega$ est régulier\vspace*{-3pt}
$$
H^{1}_{0}(\Omega) = \{ v \in H^{1}(\Omega), v = 0 \hbox{ \og sur\fg } \Gamma \}.
$$
Comme $H^{1}_{0}(\Omega)$ est un sous espace fermé de $H^{1}(\Omega)$,
c'est un espace de Hilbert et on montre, puisque $\Omega$ est borné,
grâce à
l'inégalité de Poincaré, que sur $H^{1}_{0}(\Omega)$ un produit
scalaire équivalent
est donné par\vspace*{-3pt}
$$
((u,v))_{0} = \sum_{i=1}^{n} \int_{\Omega}\frac{\partial u}{\partial
x_{i}} (x) \frac{\partial v}{\partial x_{i}} dx = \int_{\Omega}
\nabla u (x). \nabla v(x) dx
$$

\noindent\emph{Espace $H^{-1}(\Omega)$}\vspace*{-3pt}
$$
H^{-1}(\Omega) = \hbox{ dual topologique de } H^{1}_{0}(\Omega).
$$
\noindent\emph{Attention}: Il est important de \emph{ne pas} utiliser ici le théorème
de Riesz qui donne une représentation du dual lorsque la dualité est
associée au produit scalaire, car cela fausserait le jeu.

En fait nous identifierons $L^{2}(\Omega)$ à son dual (choix de la
dualité associée au produit scalaire de $L^{2}(\Omega)$) et on peut
alors représenter $H^{-1}(\Omega)$ comme des sommes de fonctions de
$L^{2}(\Omega)$ et de dérivées (au sens des distributions) de
fonctions de $L^{2}(\Omega)$.

Nous avons alors pour l'équation \eqref{2.1} le résultat suivant qui
peut être montré par la méthode dite \og de transposition\fg
(\cf \cite{15})

\begin{propositio}\label{prop:2.1}
Pour tout $y_{0}\in L^{2}(\Omega)$ et $y_{1}\in H^{-1}(\Omega)$ et
pour tout $v\in L^{2}(\Gamma_{0}\times (0,T))$, il existe une solution
unique $y$ du problème \eqref{2.1} avec\vspace*{-3pt}
$$
y\in C ([0,T]; L^{2}(\Omega))\cap C^{1} ([0,T]; H^{-1}(\Omega)).
$$
\end{propositio}

\begin{remark*}
La notion de \og solution\fg est prise ici dans un sens très faible mais
l'unicité est importante. En effet si par chance nous avons une
solution régulière (ou forte) de \eqref{2.1} ce sera notre unique
solution faible donnée par la proposition \ref{prop:2.1}. Nous pourrons
travailler, au moins formellement, avec ces solutions comme si les
égalités et les dérivées étaient prises dans un sens
habituel.
\end{remark*}

La proposition \ref{prop:2.1} nous dit que pour $v$ fixé dans
$L^{2}(\Gamma_{0}\times (0,T))$ et $(y_{0},y_{1})$ donné dans
$L^{2}(\Omega) \times H^{-1}(\Omega)$, $y(T)$ a un sens dans
$L^{2}(\Omega)$ et $\sfrac{\partial y}{\partial t}(T)$ a un sens dans
$H^{-1}(\Omega)$.

Nous pouvons maintenant formuler le problème de contrôlabilité
exacte
(avec $\Gamma_{0}$ et $T$ fixés).

Étant donné $(y_{0},y_{1})\in L^{2}(\Omega) \times H^{-1}(\Omega)$ (a
priori quelconque), et étant donné $(z_{0},z_{1}) \in L^{2} (\Omega)
\times H^{-1}(\Omega)$ (a priori quelconque) peut-on trouver $v\in
L^{2} (\Gamma_{0} \times (0,T))$ tel que la solution $y$ de
\eqref{2.1} vérifie
$$
y(T)= z_{0} \qqbox{et} \frac{\partial y}{\partial t}(T) =
z_{1}.
$$
Le problème \eqref{2.1} est linéaire et d'autre part il est clair
qu'il est réversible en temps. Il est alors facile de remarquer que
résoudre le problème de contrôlabilité exacte équivaut
à résoudre le
problème suivant.

Étant donné $(y_{0},y_{1}) \in L^{2}(\Omega) \times H^{-1}(\Omega)$,
peut-on trouver $v\in L^{2}(\Gamma_{0}\times (0,T))$ tel que la
solution $y$ de \eqref{2.1} vérifie
$$
y(T)=0 \qqbox{et} \frac{\partial y}{\partial t}(T)= 0.
$$
C'est ce problème que nous allons développer mais il ne faut pas
perdre de vue que dans un autre cadre (par exemple pour des problèmes
non linéaires) il faudra revenir au premier énoncé.

\subsection{Le cas de la dimension \texorpdfstring{$1$}{1}}\label{subsec:2.1}

Si $n=1$, $\Omega = {}]0,1[$, $\Gamma_{0}= \{ 0\}$, nous sommes ramenés à
l'équation
\begin{equation}
\label{2.2}
\begin{cases}
\dpl\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2}y}{\partial
x^{2}} = 0 \hbox{ dans } ]0,1[ \times [0,T)\\
y(0,t) = v(t)\\
y(1,t)=0 \\
y(x,0)= y_{0}(x)\ ; \ \dfrac{\partial y}{\partial t}(x,0) = y_{1}(x)
\end{cases}
\end{equation}
Il est possible de résoudre cette équation explicitement.
On pose
$$
\bar y_{0}(x) =
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y_{0}(x) \hbox{ si } x\in (0,1)\\
- y_{0}(2-x) \hbox{ si } x\in (1,2)
\end{array}
\right.
$$
$$
\bar y_{1}(x) =
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y_{1}(x) \hbox{ si } x\in (0,1)\\
- y_{1}(2-x) \hbox{ si } x\in (1,2)
\end{array}
\right.
$$
Alors on sait que\vspace*{-3pt}
$$
y(x,t) = f(x-t) + g(x+t)
$$
et on peut résoudre l'équation pour $t\in (0,1)$ grâce aux
nouvelles
conditions initiales et à la condition aux limites en $x=0$.

On obtient ainsi $y(x,1)$ et $\sfrac{\partial y}{\partial t}(x,1)$ et
on peut recommencer pour $t \in (1,2)$ etc.

On voit que pour $t\in (0,1)$, si $x\geq t$,
la valeur de $y(x,t)$ n'est pas influencée par $v$.

Si $t\in (1,2)$, pour $x \leq 2-t$, une partie de $y(x,t)$ (l'onde se
propageant vers la gauche) n'est pas influencée par $v$.

Il est ainsi clair que si l'on veut, à l'aide du contrôle $v$,
forcer la solution à vérifier\vspace*{-3pt}
$$
y(x,T) = 0 \qqbox{et} \frac{\partial y}{\partial t} (x,T)= 0,
$$
il faudra que $T$ soit suffisamment grand, ici $T>2$. Ceci est dû à la
propriété de propagation à vitesse finie de l'information dans
l'équation des ondes.

Le résultat positif de contrôlabilité exacte sera donné
dans le cas
général en dimension $n$.

\subsection{Le cas général de la dimension \texorpdfstring{$n$}{n}}

On reprend ici le problème \eqref{2.1} où $\Omega$ est un ouvert régulier
borné de $\mathbb{R}^{n}$.

J.-L.\,Lions a donné une méthode systématique pour ramener
l'étude de
problèmes de contrôlabilité exacte à l'obtention
d'iné\-galités, dites
inégalités d'observabilité ou inégalités inverses sur
le problème
adjoint. Il a baptisé cette méthode: Hilbert Uniqueness Method
(H.U.M.); on pourra en trouver un exposé dans \cite{15} et nous la
décrirons brièvement ci-dessous.

\subsubsection*{Hilbert Uniqueness Method}
Soient $\varphi_{0}$ et $\varphi_{1}$ pris dans des espaces de
fonctions très régulières, par exemple $(\varphi_{0},
\varphi_{1})\in
\mathcal{D}(\Omega)\times \mathcal{D}(\Omega)$.

On résout le problème\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{2.3}
\begin{cases}
\dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} - \Delta \varphi = 0 \hbox{
dans } \Omega \times (0,T)\\
\varphi = 0 \hbox{ sur }\Gamma \times (0,T)\\
\varphi(0) = \varphi_{0} \ ;\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial t}(0) =
\varphi_{1} \hbox{ dans } \Omega.
\end{cases}
\end{equation}
Le problème (\ref{2.3}) admet une solution unique avec, par exemple,
$$
\varphi \in C\bigl([0,T]; H^{1}_{0}(\Omega)\bigr) \cap \,C^{1}\bigl([0,T];
L^{2}(\Omega)\bigr).
$$
(En fait ici $\varphi$ est bien plus régulière). De plus nous avons le
résultat de régularité (\cf \cite{15} par exemple): $\sfrac{\partial
\varphi}{\partial \nu} \in L^{2}(0,T; L^{2}(\Gamma))$ et
\begin{equation}
\label{2.4}
\begin{gathered}
\exists C_{0} > 0,\ \forall (\varphi_{0},\varphi_{1}) \in
\mathcal{D}(\Omega) \times \mathcal{D}(\Omega),\\
\left| \frac{\partial \varphi}{\partial \nu}\right|^{2}_{L^{2}(0,T;
L^{2}(\Gamma))} \leq C_{0} [ \| \varphi_{0}\|^{2}_{0} +
|\varphi_{1}|^{2}_{L^{2}(\Omega)}]
\end{gathered}
\end{equation}
Cette inégalité traduit le fait que l'application
$(\varphi_{0},\varphi_{1}) \to \sfrac{\partial \varphi}{\partial \nu}$
se prolonge en une application linéaire continue de
$H^{1}_{0}(\Omega)\times L^{2}(\Omega)$ dans $L^{2}(0,T;
L^{2}(\Gamma))$.

Considérons maintenant le problème rétrograde suivant
\begin{equation}
\label{2.5}
\begin{cases}
\dfrac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}} - \Delta \psi = 0 \hbox{ dans
} \Omega \times (0,T)\\
\psi = - \dfrac{\partial \varphi}{\partial\nu} \hbox{ sur
}\Gamma_{0}\times (0,T)\\
\psi = 0 \hbox{ sur } (\Gamma - \Gamma_{0})\times (0,T)\\
\psi (T) = 0 \ ; \dfrac{\partial \psi}{\partial t} (T)=0
\end{cases}
\end{equation}
Le changement de $t$ en $(T-t)$ nous permet d'appliquer la proposition \ref{prop:2.1} qui nous dit que (\ref{2.5}) admet une solution unique $\psi \in
C([0,T]; L^{2}(\Omega))\cap C^{1}([0,T]; H^{-1} (\Omega))$. Donc
$\psi(0)$ est bien défini dans $L^{2}(\Omega)$ et $\sfrac{\partial
\psi}{\partial t} (0)$ est bien défini dans $H^{-1}(\Omega)$ (ceci
pour chaque choix de $(\varphi_{0},\varphi_{1})$).

En fait, la densité de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $H^{1}_{0}(\Omega)$
et dans $L^{2}(\Omega)$ ainsi que (\ref{2.4}) nous permettent de faire
toutes les étapes précédentes pour $(\varphi_{0}, \varphi_{1})\in
H^{1}_{0}(\Omega) \times L^{2}(\Omega)$.

\begin{remark*}
Si nous pouvons trouver $(\varphi_{0},\varphi_{1})
\in H^{1}_{0}(\Omega) \times L^{2}(\Omega)$ tels que
$$
\begin{cases}
\psi(0) = y_{0}\\
\dfrac{\partial\psi}{\partial t}(0) = y_{1}
\end{cases}
$$
nous aurons résolu le problème de contrôlabilité exacte pour
\eqref{2.1} avec $v = - \sfrac{\partial \varphi}{\partial \nu}$
et $y = \psi$. Notons que nous sommes en train de considérer des
contrôles $v$ d'un type très particulier avec $v= - \sfrac{\partial
\varphi}{\partial \nu}$ où $\varphi$ est solution de (\ref{2.3}).
\end{remark*}

Donc pour $(\varphi_{0},\varphi_{1})\in H^{1}_{0}(\Omega)\times
L^{2}(\Omega)$ nous pouvons définir
\begin{equation}
\label{2.6}
\Lambda(\varphi_{0},\varphi_{1}) = \Bigl(\frac{\partial \psi}{\partial
t}(0), - \psi(0)\Bigr)\in H^{-1}(\Omega)\times L^{2} (\Omega)
\end{equation}
(l'écriture de $\Lambda$ est un peu étrange mais est faite pour
arranger les choses).

Il est aisé de montrer que $\Lambda$ est un opérateur linéaire
continu de $H^{1}_{0}(\Omega)\times L^{2}(\Omega)$ dans (son dual)
$H^{-1}(\Omega) \times L^{2}(\Omega)$. Considérons un autre couple
$(\tilde\varphi_{0},\tilde\varphi_{1})\in H^{1}_{0}(\Omega) \times
L^{2}(\Omega)$. En utilisant des notations évidentes, par
multiplication de (\ref{2.5}) pour $\tilde\varphi$, on obtient:
$$
\langle \Lambda(\varphi_{0},\varphi_{1}), (\tilde\varphi_{0},
\tilde\varphi_{1}) \rangle_{H^{-1}\times L^{2}, H^{1}_{0} \times
L^{2}} = \int_{0}^{T} \int_{\Gamma_{0}} \frac{\partial
\varphi}{\partial\nu} \frac{\partial \tilde\varphi}{\partial\nu}
d\sigma dt.
$$
et, en particulier:
\begin{equation}
\label{2.7}
\langle \Lambda (\varphi_{0}, \varphi_{1}), (\varphi_{0},
\varphi_{1})\rangle_{H^{-1}\times L^{2}, H^{1}_{0}\times L^{2}} =
\int_{0}^{T} \int_{\Gamma_{0}} \Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial
\nu}\Bigr)^{2} d\sigma dt.
\end{equation}
Si nous savons montrer que la forme bilinéaire continue définie sur
$H^{1}_{0} (\Omega)\times L^{2}(\Omega)$ par
\begin{multline*}
(\varphi_{0},\varphi_{1}), (\tilde\varphi_{0},\tilde\varphi_{1}) \in
H^{1}_{0} (\Omega)\times L^{2}(\Omega)\\ \longmapsto \langle \Lambda
(\varphi_{0},\varphi_{1}), (\tilde\varphi_{0},
\tilde\varphi_{1})\rangle_{ H^{-1}\times L^{2}, H^{1}_{0} \times L^{2}}
\end{multline*}
est coercive, d'après le lemme de Lax-Milgram, nous aurons:
\begin{gather*}
\forall (y_{0},y_{1})\in L^{2}(\Omega)\times H^{-1}(\Omega),
\exists(\varphi_{0},\varphi_{1}) \in H^{1}_{0}(\Omega)\times
L^{2}(\Omega) \ \mathrm{ t.q. } \\ \Lambda(\varphi_{0},\varphi_{1})=
(y_{1},-y_{0})
\end{gather*}
c'est-à-dire que nous aurons résolu le problème de
contrôlabilité
exacte pour \eqref{2.1}.

La coercivité de la forme bilinéaire équivaut à
\begin{equation}
\label{2.8}
\begin{gathered}
\exists C_{1} > 0, \forall (\varphi_{0}, \varphi_{1})\in H^{1}_{0}
(\Omega) \times L^{2}(\Omega),\\
\int^{T}_{0} \int_{\Gamma_{0}}\Bigl| \frac{\partial \varphi}{\partial
\nu}\Bigr|^{2} d\sigma dt \geq C_{1} [\| \varphi_{0}\|^{2}_{0} +
\left|\varphi_{1}\right|^{2}_{L^{2}(\Omega)}]
\end{gathered}
\end{equation}
Donc l'obtention de \eqref{2.8} est une condition suffisante pour
obtenir la contrôlabilité exacte. En fait il est possible de montrer
le résultat suivant.

\begin{propositio}
Le problème de contrôlabilité exacte pour \eqref{2.1} admet une
solution pour tout $(y_{0},y_{1})\in L^{2}(\Omega)\times
H^{-1}(\Omega)$ si et seulement si \eqref{2.8} est vérifiée.
\end{propositio}

\begin{remarks*}
L'inégalité \eqref{2.8} porte sur les solutions $\varphi$ du
problème
(\ref{2.3}) et elle ne semble a priori pas reliée à un problème de
contrôle. La quantité
$$
E_{0} =\frac{1}{2} \left[ \| \varphi_{0}\|^{2}_{0} +
|\varphi_{1}|^{2}_{L^{2}(\Omega)} \right]
$$
représente l'énergie initiale du problème (\ref{2.3}), qui est
conservée au cours du temps car le problème est homogène.
L'inégalité
\eqref{2.8} signifie que \og l'observation\fg $\sfrac{\partial
\varphi}{\partial \nu}$ sur $\Gamma_{0}\times (0,T)$ \og contrôle\fg
l'énergie initiale. Une inégalité de type \eqref{2.8} est souvent
appelée inégalité d'observabilité.

D'autre part il faut rapprocher \eqref{2.8} de (\ref{2.4}) qui traduit
une régularité, d'où également l'appellation
d'inégalité inverse pour
\eqref{2.8}.

Ainsi, H.U.M. permet de ramener la résolution du problème de
contrôlabilité exacte à l'obtention de l'inégalité
d'observabilité
\eqref{2.8} pour le problème (\ref{2.3}).
D'après le paragraphe \ref{subsec:2.1}, nous savons que nous ne pouvons pas espérer
obtenir \eqref{2.8} sans condition. Plusieurs types de conditions ont
été envisagées et dans \cite{3}, Bardos, Lebeau et Rauch ont
donné une
condition quasiment nécessaire et suffisante dans le cas d'un domaine
géométrique $\Omega$ très régulier.
\begin{equation}
\label{2.9}
\left \{
\begin{array}{l}
\hbox{Pour tout $x\in \Omega$ et pour tout rayon issu de
$x$ en $t=0$} \\ \hbox{suivant les lois de l'optique géométrique et
parcouru}\\
\hbox{ à vitesse 1 (avec le choix fait ici de l'opérateur $-\Delta$),}\\ \hbox{ce rayon doit toucher $\Gamma_{0}$ avant le temps $T$}\\
\hbox{en un point non diffractif.}
\end{array}
\right.
\end{equation}
\end{remarks*}

\begin{theorem}[{\cite{3}}] \label{th:2.3}
Sous l'hypothèse \eqref{2.9}, l'inégalité
d'observabilité \eqref{2.8} est vérifiée et le problème de
contrôlabilité exacte pour le problème \eqref{2.1} admet une
solution.
\end{theorem}

\begin{remark*}
La démonstration du théorème \ref{th:2.3} utilise des
techniques d'analyse microlocales. La condition \eqref{2.9} est quasiment
nécessaire et suffisante, la quasi nécessité provenant d'un contre
exemple dû à Ralston \cite{21}.

L'inégalité \eqref{2.8} est obtenue avec une constante $C$ non
constructive.

La condition \eqref{2.9} implique que $\Gamma_{0}$ est \og assez grand\fg
et le temps~$T$ \og assez long\fg (pour le cas du problème (\ref{2.2})
cela donne $T > 2$).
\end{remark*}

Une autre approche, plus constructive et plus simple, a été
utilisée
pour obtenir \eqref{2.8} sous des conditions plus fortes, à l'aide de
la méthode des multiplicateurs (\cite{11}, \cite{15}...). Elle a été
récemment améliorée par Osses (\cite{20}) qui a considéré
les ensembles
suivants.

Soit $A$ une matrice $(n,n)$ antisymétrique $(A=-{}^{t}\!A)$ et soit
$d>0$. Pour $x_{0}\in \mathbb{R}^{n}$, on considère l'ensemble\vspace*{-3pt}
$$
\Gamma (x_{0},d, A)=\{ x\in \Gamma,\ (x-x_{0})\cdot (dI+A)\cdot\nu > 0\}.
$$
(où $\nu$ est la normale extérieure au point $x$), avec la condition
de normalisation:\vspace*{-3pt}
$$d^{2}+ \| A\|^{2}_{2}=1.$$

\begin{theorem}[{\cite{20}}]\label{th:2.4}
Si il existe $x_{0} \in \mathbb{R}^{n}, d > 0$ et $A$ antisymétrique
(avec la condition de normalisation) tels que\vspace*{-3pt}
$$
\Gamma_{0} \supset \Gamma (x_{0},d,A),
$$
alors si\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
R(x_{0})&=\max \{ (x-x_{0}),\ x\in \bar\Omega\} \text{ et}\\
r(x_{0},d,A)&=\max \{ (x-x_{0})\cdot (dI + A)\cdot\nu,\quad x\in
\Gamma(x_{0},d,A)\}
\end{align*}
on a si $T > 2 d^{-1} R(x_{0})$
\begin{gather*}
\forall (\varphi_{0}, \varphi_{1})\in H^{1}_{0} (\Omega)\times
L^{2}(\Omega), \\
E_{0} \leq \frac{r(x_{0},d,A)}{2(dT-2R(x_{0}))}
\int^{T}_{0}\int_{\Gamma_{0}}
\left|\frac{\partial\varphi}{\partial\nu}\right|^{2} d\sigma dt
\end{gather*}
et le problème de contrôlabilité exacte pour \eqref{2.1} admet une
solution.
\end{theorem}

\begin{remark*}
L'inégalité obtenue au théorème \ref{th:2.4} n'est
autre que
\eqref{2.8} avec une cons\-tan\-te explicite. La condition imposée sur
$\Gamma_{0}$ et $T$ est plus forte que \eqref{2.9}

La partie essentielle de la démonstration du théorème \ref{th:2.4}
s'obtient en
multipliant (\ref{2.3}) par $q.\nabla \varphi$ où $q$ est le
multiplicateur qui est pris ici comme
$$
q(x)= (dI-A)(x-x_{0}).
$$
Nous avons donné ici la méthode et quelques résultats pour le
problème
\eqref{2.1} mais bien d'autres problèmes linéaires peuvent
être traités par des méthodes analogues. On pourra consulter
\cite{15}, \cite{13} et la
bibliographie de ces ouvrages pour obtenir une liste (non exhaustive) de
problèmes traités.
\end{remark*}

\begin{remark*}
Nous avons ici considéré des problèmes \emph{linéaires}. Les
problèmes de
contrôlabilité exacte pour des équations non linéaires sont
presque
tous complètement ouverts. Par exemple, si nous considérons le
problème en dimension 1 d'espace (avec contrôle interne par exemple)
\begin{equation}
\label{2.10}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\dpl\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2}y}{\partial
x^{2}} + y^{3} = v\cdot \chi_{(a,b)} \hbox{ dans } (0,1) \times (0,T)\\
y(0,t) = y (1,t)=0,\ t\in (0,T)\\
\dpl y(x,0) = y_{0}(x), \frac{\partial y}{\partial t} (x,0) = y_{1}(x),\
x\in (0,1)
\end{array}
\right.
\end{equation}
où $\chi_{(a,b)}$ est la fonction caractéristique de $(a,b)$ avec $0 <
a < b < 1$, la question de la contrôlabilité exacte pour
(\ref{2.10}) est totalement ouverte.

Pour des termes non linéaires à croissance surlinéaire
logarithmique il existe un
résultat (positif) de Zuazua \cite{22}.

Par des méthodes totalement différentes et en s'inspirant de techniques
héritées de l'étude des problèmes en dimension finie,
J.-M.~Coron
(\cite{4}) a montré la contrôlabilité exacte pour l'équation d'Euler
(qui est totalement différente), en traitant d'abord le problème local
au voisinage de zéro après linéarisation autour d'une
trajectoire non
nulle (correctement choisie!) allant de $0$ à $0$, puis en faisant un
changement d'échelle pour obtenir la contrôlabilité globale.

\enlargethispage{1.1\baselineskip}%
Ce résultat (très difficile) et celui de Zuazua sont deux des très
rares résultats de contrôlabilité exacte pour les problèmes non
linéaires.
\end{remark*}

\section{Contrôlabilité approchée et équations de type chaleur}

Soit toujours $\Omega$ un ouvert borné régulier de $\mathbb{R}^{n}$ de
frontière $\Gamma$ et soit $\omega$ un ouvert tel que $\omega \subset
\Omega$.

Nous considérons l'équation de la chaleur dans $\Omega \times (0,T)$
avec un contrôle agissant sur $\omega \times (0,T)$
\begin{equation}
\label{3.1}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial y}{\partial t} -\Delta y = v\cdot 1_{\omega} \hbox{ dans
}\Omega \times (0,T)\\
y=0 \hbox{ sur } \Gamma \times (0,T)\\
y (0) = 0 \hbox{ dans } \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation}
où $1_{\omega}$ est la fonction caractéristique de $\omega$.

\begin{remark*}
Nous pourrions avoir un second membre $f$ et une
donnée initiale $y_{0}$ mais moyennant une translation ce qui suit
resterait inchangé. Le contrôle est pris ici \og interne\fg afin de
simplifier l'exposition, le cas du contrôle \og frontière\fg posant
certains problèmes techniques.
\end{remark*}

\begin{propositio} Pour tout $v\in L^{2}(\omega \times (0,T))$ il
existe une solution unique de \eqref{3.1} avec
$$
y\in C ([ 0,T]; H^{1}_{0}(\Omega)),\ \frac{\partial y}{\partial t} \in
L^{2}(0,T; L^{2}(\Omega))
$$
$$(\hbox{et } \ y\in L^{2}(0,T; H^{2}(\Omega))).$$
\end{propositio}

Ce résultat est classique mais de plus, d'après les propriétés
régularisantes de l'équation de la chaleur nous savons que si $\theta
\subset \Omega -\bar\omega$, la solution $y$ est de classe $C^{\infty}$ sur
$\theta \times ]0,T]$. Il n'est pas possible de \emph{caractériser} la
classe
de régularité de $y(T)$ à l'aide d'espaces \og classiques\fg.

Par conséquent la question de la contrôlabilité exacte pour
\eqref{3.1} n'est pas bien posée.

Il est plus naturel de se demander si l'ensemble
$$
R(T) =\{ y(T),\ v\in L^{2}(\omega\times (0,T))\}.
$$
des états atteignables à l'instant $T$ est dense dans $L^{2}(\Omega)$
par exemple. On
donne à ce problème le nom de contrôlabilité approchée.

\begin{propositio} Pour le problème \eqref{3.1}, pour tout $T>0$,
l'ensemble $R(T)$ est dense dans $L^{2}(\Omega)$.
\end{propositio}

\begin{proof}
Il est clair que $R(T)$ est un sous-espace
vectoriel de $L^{2}(\Omega)$. D'après le théorème de
Hahn-Banach, il
sera dense dans $L^{2}(\Omega)$ si et seulement si son orthogonal dans
$L^{2}(\Omega)$ est réduit à $\{0\}$.

Soit $\varphi_{0} \in R(T)^{\perp}$. Résolvons le problème
(rétrograde)
\begin{equation}
\label{3.2}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
- \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} -\Delta \varphi = 0 \hbox{ dans
} \Omega \times (0,T)\\
\varphi = 0 \hbox{ sur } \Gamma \times (0,T)\\
\varphi (T) = \varphi_{0} \hbox{ dans }\Omega
\end{array}
\right.
\end{equation}
Le changement de $t$ en $(T-t)$ nous ramène à une équation de la
chaleur classique et (\ref{3.2}) possède une solution unique
$$
\varphi \in C([0,T]; L^{2} (\Omega))\cap L^{2}(0,T;H^{1}_{0}(\Omega))
$$
$$
\frac{\partial \varphi}{\partial t} \in L^{2} (0,T;H^{-1}(\Omega)).
$$
Multiplions \eqref{3.1} par $\varphi$. Après intégrations par parties
il vient:
$$
\int_{\Omega} y(T)\varphi(T) dx = \int^{T}_{0} \int_{\omega} v \varphi
dx dt.
$$
Comme $\varphi (T)=\varphi_{0} \in R(T)^{\perp}$ nous obtenons
$$
\int_{0}^{T}\int_{\omega}v \varphi dx dt = 0\quad \forall v \in L^{2}
(\omega \times (0,T))
$$
donc
\begin{equation} \label{3.3}
\varphi = 0 \hbox{ dans $\omega \times (0,T)$.}
\end{equation}

Maintenant $\varphi$ vérifie (\ref{3.2}) et (\ref{3.3}). D'après un
résultat de continuation unique de Mizohata \cite{19} il en résulte que
$$
\varphi \equiv 0 \hbox{ sur } \Omega \times (0,T).
$$
Par suite, $\varphi_{0}= 0$ et $R(T)$ est dense dans $L^{2}(\Omega)$.
\end{proof}

Il est aisé de voir que la méthode utilisée ci-dessus a un
caractère
général et que, pour un problème \emph{linéaire},
l'étude de la
contrôlabilité approchée se ramène à l'étude d'une
question de
continuation unique pour le problème adjoint.

\begin{remark*}
Soit $y_{1} \in L^{2}(\Omega)$ et $\alpha >
0$. D'après le résultat précédent on sait qu'il existe $v\in
L^{2}(\omega \times (0,T))$ tel que la solution de \eqref{3.1} vérifie
$|y(T)-y_{1}|_{L^{2}(\Omega)} \leq \alpha$.

Mais il va bien sûr exister beaucoup de contrôles $v$ ayant la
même propriété. On peut chercher à \og caractériser\fg un
contrôle
particulier, le \og meilleur\fg au sens d'un certain critère, par
exemple:
\begin{equation}
\label{3.4}
\min \Bigl\{ \frac{1}{2} |v|^{2}_{L^{2}(\omega\times (0,T))},\ |y(T) -
y_{1}|_{L^{2}(\Omega)} \leq \alpha \Bigr\}.
\end{equation}
On peut alors montrer (\cf \cite{16}) en utilisant un résultat de
dualité de Fenchel-Rockafellar le résultat suivant:

Soit $\varphi_{0}\in L^{2}(\Omega)$ et $\varphi$ solution de
(\ref{3.2}) associée.
Soit
\begin{equation}
\label{3.5}
J(\varphi_{0}) = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \int_{\omega} |\varphi|^{2}
dx dt +\alpha |\varphi_{0}|_{L^{2}(\Omega)} - \int_{\Omega} y_{1} \varphi_{0}dx.
\end{equation}
Alors il existe $\hat\varphi_{0}\in L^{2}(\Omega)$ tel que
$$
J(\hat\varphi_{0}) = \min_{\varphi_{0}\in L^{2}(\Omega)} J(\varphi_{0})
$$
et si $\hat\varphi$ est solution de (\ref{3.2}) associé à
$\hat\varphi_{0}$, $\hat v = \hat\varphi\cdot 1_{\omega}$ est solution de
(\ref{3.4}).

Soit maintenant $f$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans
$\mathbb{R}$. On considère le problème semilinéaire suivant.
\begin{equation}
\label{3.6}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial y}{\partial t} - \Delta y + f(y) = g+ v\cdot 1_{\omega}
\hbox{ dans } \Omega \times (0,T)\\
y=0\hbox{ sur } \Gamma \times (0,T)\\
y(0) = y_{0} \hbox{ dans } \Omega
\end{array}
\right.
\end{equation}
Si $f$ est localement lipschitzienne on montre que pour tout $v$ le
problème (\ref{3.6}) admet une solution unique et on peut se poser la
question de la contrôlabilité approchée pour le problème non
linéaire (\ref{3.6}).

En utilisant l'argument de dualité précédant pour un
problème linéaire
associé et une méthode de point fixe on montre (\cf \cite{8}) que lorsque
$f$ est globalement lipschitzienne il y a contrôlabilité approchée
pour (\ref{3.6}). En revanche un contre exemple dû à A.~Bamberger
(\cf \cite{10}) montre que si $f(s)=|s|^{p-1} s$, $p> 1$, la propriété
de contrôlabilité approchée n'est pas vérifiée.
\end{remark*}

\subsection*{Équations liées à la mécanique des fluides}
Le mouvement d'un fluide visqueux incompressible est régi par les
équations de Navier-Stokes, qui s'écrivent (en supposant qu'on puisse
agir sur l'écoulement par un contrôle \og interne\fg)
\begin{equation}
\label{3.7}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\dpl\frac{\partial y_{i}}{\partial t} -\nu \Delta y_{i} +\sum^{n}_{j=1}
y_{j} \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial
p}{\partial x_{i}} + v_{i} 1_{\omega}\hbox{ dans }\Omega \times (0,T),\\[-10pt]
\hspace*{7cm} i=1,\dots,n\\
\div y = 0\\
y=0 \hbox{ sur } \Gamma \times (0,T)\\
y(0)=y_{0} \hbox{ dans }\Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation}
où $y = (y_{1},\dots,y_{n})$ est la vitesse du fluide, $p$ est la
pression et $\nu > 0$ est la viscosité.

La question (importante) de savoir s'il y a (ou non) contrôlabilité
approchée pour (\ref{3.7}) est actuellement ouverte.

Si on modifie les conditions au bord et que l'on considère des
conditions au bord de type Navier (qui font intervenir le rotationnel
de $y$), alors J.-M.~Coron (\cite{5}) a montré la contrôlabilité
approchée pour le problème correspondant dans le cas $n=2$.

Si on considère un problème de Navier-Stokes linéarisé
\begin{equation}
\label{3.8}
\begin{cases}
\dpl\frac{\partial y_{i}}{\partial t} \!-\!\nu \Delta y_{i} \!+\!
\sum^{n}_{j=1}
\frac{\partial}{\partial x_{j}}(a_{j}y_{i}) \!=\! \frac{\partial
p}{\partial x_{i}} \!+\! v_{i} 1_{\omega}\hbox{ dans } \Omega \!\times\! (0,T),\\[-10pt]
\hspace*{7.5cm}i=1,\dots,n\\
\div y = 0\\
y=0 \hbox{ sur } \Gamma \times (0,T)\\
y(0)=y_{0} \hbox{ dans }\Omega,
\end{cases}
\end{equation}
où $a=(a_{1},\dots,a_{n})$ est donnée dans $L^{\infty}(\Omega \times
(0,T))^{n}$ alors on montre (\cf \cite{7}, \cite{6}) que la
contrôlabilité approchée est vérifiée.

On voit donc ici encore que l'étude des problèmes non linéaires
(qui
sont les plus importants car plus proches des modèles réels)
présente
vite des difficultés très importantes qui constituent autant de sujets
de travail pour les chercheurs.

Il faut aussi mentionner les systèmes couplés: ondes-chaleur,
élasticité-Navier-Stokes etc. qui constituent des questions très
importantes pour les applications.

\section{Contrôlabilité à zéro pour des équations de
type chaleur}

La question que l'on se pose ici est la suivante, exprimée sur le
modèle le plus simple. On considère l'équation de la chaleur\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{4.1}
\begin{cases}
\dfrac{\partial y}{\partial t} -\Delta y = v \cdot 1_{\omega} \hbox{ dans
} \Omega \times (0,T)\\
y = 0 \hbox{ sur } \Gamma \times (0,T)\\
y(0) = y_{0} \hbox{ dans } \Omega.
\end{cases}
\end{equation}
On cherche à déterminer un contrôle $v$ tel que\vspace*{-3pt}
$$
y(T) = 0.
$$
Deux approches différentes ont été utilisées pour
résoudre ce problème
par Lebeau-Robbiano \cite{18} et Fursikov-Imanuvilov \cite{9}, toutes
deux utilisant de manière fondamentale (mais différemment) des
inégalités de Carleman globales.

\begin{theorem} Quel que soit $T > 0$ et quel que soit l'ouvert
$\omega \subset \Omega$, il existe $v$ tel que la solution de
\eqref{4.1} vérifie $y(T)=0$.
\end{theorem}

La démonstration de ce théorème nécessite de longs
développements
techniques.

La méthode développée par Fursikov et Imanuvilov a un
caractère plus
général et s'applique à des situations variées (au prix d'une
technique lourde). Par exemple, ils ont montré le résultat suivant:

Soit $f$ une fonction lipschitzienne et considérons une solution du
problème (sans contrôle)\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{4.2}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \bar g}{\partial t} -\Delta \bar y+ f(\bar y) = 0 \hbox{ dans
} \Omega \times (0,T)\\
\bar y = 0 \hbox{ sur } \Gamma \times (0,T)\\
\bar y(0) = \bar y_{0} \hbox{ dans } \Omega.
\end{cases}
\end{equation}
(Par exemple $\bar y$ peut être une solution stationnaire de ce
problème, i.e. $\sfrac{\partial \bar y}{\partial t}=0$, qui peut
éventuellement être instable).

Considérons maintenant l'équation (avec contrôle)\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{4.3}
\begin{cases}
\dfrac{\partial y}{\partial t} -\Delta y + f(y) = v\cdot1_{\omega} \hbox{ dans
} \Omega \times (0,T)\\
y = 0 \hbox{ sur } \Gamma \times (0,T)\\
y(0) = y_{0}.
\end{cases}
\end{equation}
Le résultat dit alors que si $(y_{0}-\bar y_{0})$ est assez petit, il
existe $v$ tel que $y(T)=\bar y(T)$.

L'action du contrôle permet donc de \og changer de trajectoire\fg pour
le problème d'évolution ou d'atteindre exactement une solution
stationnaire, même si elle est \og naturellement\fg instable.

Le résultat a été étendu aux équations de Navier-Stokes
sur des
variétés sans bord ou lorsque la condition au bord est
$$
\rot y = 0
$$
par Fursikov-Imanuvilov \cite{9} puis récemment au cas des
équations de Navier-Stokes avec la condition au bord
$$
y=0
$$
par Imanuvilov \cite{12}.

\backmatter
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups99-03}
\end{document}