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\begin{document}
\frontmatter
\title[Théorie de l'échantillonnage]{Théorie de l'échantillonnage\\ et satellites d'observation de la terre}

\author[\initial{B.} \lastname{Rougé}]{\firstname{Bernard} \lastname{Rougé}}
\address{Centre National d'Études Spatiales,
 31  Toulouse}

\thanks{Journées X-UPS 1998. Analyse de Fourier et traitement d'images. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1998}

\maketitle

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.8]{IMAGE-SHANNON-titre}}
\end{figure}

\newpage
\tableofcontents
\mainmatter

\section*{Introduction}


La chaîne image de capteur optique embarqué sur satellite est
constituée d'une suite de transformations de l'image. Certaines de
ces transformations sous-échantillon\-nent ou rendent continu le
signal 2D. La prise en compte de la théorie de l'échantillonnage
dans la définition des caractéristiques de la chaîne
constitue donc un passage obligatoire.

Or, nous avons vu dans la première partie (voir l'article de
J.-M. Morel) que le principe
d'échantillonnage de Shannon nécessite l'hypothèse de
discrétisation de l'image sur un réseau $\Gamma$ infini et sa
compacité spectrale. Ces conditions ne peuvent bien évidemment
être toutes réalisées. L'opération de fenêtrage qui limite
le domaine d'étude est donc un passage obligé malheureusement
toujours pénalisant.


L'objectif de cette partie est d'adapter l'échantillonnage au cas
concret des images de satellite. Pour cela on cherchera à spécifier
au mieux les diverses transformations constituant la chaîne
image, afin de s'approcher au plus près, au sens d'une norme, d'une
image discrète \og idéale\fg que l'on définira. Ceci nous conduira
à souligner l'importance décisive des traitements mathématiques
dans la conception des nouveaux satellites d'observation.

\section{Chaîne image et échantillonnage}

\subsection{Systèmes spatiaux d'observation} 

Une image optique est une suite de comptes numériques qui une fois
étalonnés mesurent des luminances dans une bande
spectrale ($\text{Watt}/m^{2}/\text{stéradian}/\mu^{-1}$). Le but de la
chaîne image est de restituer le plus fidèlement possible les
luminances en entrée d'instrument.

La chaîne image (ici cas de la chaîne image très haute
résolution) est séparée en deux grands systèmes reliés par les
transmissions bord-sol: l'instrumentation et les moyens de calcul
bord d'un côté et le segment sol de l'autre.

\subsubsection*{Bord}

Le paysage constitue un signal 2D qui émet des photons. Il~peut
être considéré comme processus discret et irrégulièrement
échantillonné dans la mesure où le nombre de photons collectés
par le capteur est faible. Cependant, cette discrétisation reste
très fine par rapport à la taille des pixels de l'image. L'image
est ensuite focalisée sur le système détecteur à barrette
photo-électronique installé dans le plan focal. L'image est de
dimension finie. En effet, les segments images sont limités en
largeur par le nombre de points de la barrette. Ces segments sont
ensuite découpés en images carrées. De plus, le flux collecté
par la pupille d'entrée pendant le temps d'intégration (ou temps de
pose) du système optique est fini. Ce système photo-électronique
procède à un échantillonnage régulier. En sortie de ce
système est obtenue une image discrète mais à valeurs
continues. Cette image est alors transformée par le Convertisseur
Analogique Numérique (CAN) en niveau de gris codés sur 8 bits (en
général). L'image est alors un tableau de nombres entiers compris
entre 0 et 255. Les traitements de compression sont effectués en
entiers pour des raisons de hardware (place mémoire, temps calcul).

\subsubsection*{Sol}

La décompression mais surtout la restauration, qui sont des
traitements lourds, sont effectués dans le segment sol. Les images
intermédiaires sont toutes des images discrètes
numériques. Enfin, la visualisation qui fait intervenir un écran
puis l'\oe{}il procède à une transformation discret-continu.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{des1}
\caption{}\label{fig:des1}
\end{center}
\end{figure}

Ainsi aux deux bouts de la chaîne paysage-\oe{}il, les signaux 2D
sont finement discret ou continus. On pourra considérer la
transmission bord-sol également comme discrète bien que ces
signaux discrets soient transmis par une porteuse qui est un signal
analogique.


Dans le cadre limité de cette partie nous n'étudierons pas la
partie de la chaîne image relative au système de
visualisation. Nous nous concentrerons sur l'étude succincte du
système opto-électronique numérique.


\Subsection{Modélisation mathématique du système
  opto-électro\-nique nu\-mé\-rique}

Au premier ordre nous considérerons le système opto-électroni\-que
numérique com\-me une suite d'opérations linéaires, continues et
invariantes par translation. Il s'agit donc d'une suite de
convolutions. Puis une discrétisation du résultat est effectuée
par la barrette. Après avoir précisé le modèle mathématique
en spatial et en spectral et les notations utilisées, nous
détaillerons les caractéristiques du réseau, du système
optique, du système photo-électronique ainsi que du bruit.

\subsubsection{Notations}

Nous reprendrons les notations de la partie précédente consacrée
à la TF (transformée de Fourier) continue, à un changement de variable près dans le
domaine spectral. Les mathématiciens utilisent la pulsation
appelée $\omega$ ou $k$ et les physiciens la fréquence $f$. Nous
reprendrons ici la notation fréquentielle:
$$
2\pi\cdot f=\omega =k,\quad f=(f_1,f_2),\quad f_1\  \text{et}\ f_2 \ \text{s'exprime en}\  m^{-1}.
$$

\subsubsection*{Notations relatives au réseau}

Le réseau image 2D (direct) est appelé~$\Gamma$ et sa base
$(e_1,e_2)$.

Le réseau réciproque est appelé $\Gamma^{*}$ et sa base
$(e_1^{*},e_2^{*})$. Elle est définie par
$$
e_i^{*}e_j^{*} = \delta_{ij} .
$$ 
Soit $R$ une cellule réciproque et $S$ la surface de la maille du
réseau.

\medskip

Soit la distribution $\Gamma$-périodique appelée {\em peigne de Dirac}
$\Pi_{\Gamma}$.

La TF continue d'une distribution $u$ $\Gamma$-périodique est
engendrée par les coef\-ficients de Fourier (\cf partie
précédente).
$$
c_{f}(u) =\frac{1}{S} \langle u , \chi e^{-2i\pi f\cdot x} \rangle
$$
où $\chi$ est une partition $\Gamma$-périodique de l'unité.

L'image est de dimension $N\times M$ et nous définirons le réseau
$\Gamma_{N \times M}$-périodique de base $(Ne_1, Me_2)$ qui $\Gamma$-périodise l'image.

Soit une fenêtre correspondant à la taille de l'image $F_{N \times
  M}$ et $u$ l'image considérée comme une distribution.


\subsubsection*{Notation relative à l'instrument}

L'instrument est caractérisé par la fonction (réponse
impulsionnelle)
$$h(x); \quad x= (x_1, x_2) \in \mathcal{R}^{2}$$ dont la TF
est $$\hat h(f) =FTM(f);\quad f=(f_1,f_2)\in \mathcal{R}^{2}.$$ Elle est
appelée FTM (Fonction de Transfert de Modulation). C'est une
fonction à support compact. Ainsi, $h$ est  très régulière
(analytique).

L'objet observé ou paysage, appelé $o$, est une mesure de Radon à
support compact puisqu'il s'agit d'un processus de génération de
photons, par nature discret, dont la collecte est limitée par la
pupille d'entrée du télescope. La TF continue de $o$ est alors une
fonction continue (analytique).

Nous appellerons $b$ le bruit discret total du système.

\subsubsection{Modélisation mathématique}

Le système photo-électronique numérique est modélisé par la
distribution
$$
u=F_{N\times M} \Pi_{\Gamma}(h\star o)+b.
$$
Considérons la $\Gamma_{N\times M}$-périodisée de la
distribution $u$
$$
\tilde u = F_{\Gamma N\times M} \star \left(\left[ F_{N\times M} \Pi_{\Gamma} (h\star o)\right]+b\right)
$$
dont la TF continue est
$$
{\hat{\tilde{u}}} = \widehat\Pi_{\Gamma N \times M} \left(\left[\widehat
F_{N\times M} \star
 \Pi_{\Gamma} \star (FTM\cdot \hat o)\right]+ \hat b\right)
$$
où les chapeaux indiquent qu'il s'agit des TF continues.

L'image est considérée comme de taille très importante donc
$\hat F_{N\times M}$ est proche de la distribution de Dirac et peut
être négligée.

En définitive la formulation finale est la distribution
$\Gamma_{N\times M}$-périodique (il s'agit donc d'une expression
discrète)
$$
{\hat{\tilde{u}}} = \widehat\Pi_{\Gamma N \times M} \left(\left[
\Pi_{\Gamma}\star (FTM\cdot\hat o)\right]+\hat b\right).
$$
Ainsi, grâce à la $\Gamma_{N\times M}$-périodisation de l'image,
tous les raisonnements discrets en spatial comme en spectral sont
permis et seule la TF continue est utilisée.

\subsubsection{Réseau image}

Nous allons à présent décrire le mode d'acquisition physique des
images, commun aux satellites embarquant un capteur à matrice
linéaire CCD (Charge Coupled Device).


Ce mode d'acquisition produit en général un réseau orthogonal
carré (vitesse et barrette ont des directions orthogonales).

La barrette est constituée d'une suite de photoéléments
adjacents dont la distance entre le centre de deux détecteurs
élémentaires consécutifs projetés au sol est égale à
$p$. Une ligne de points est acquise à chaque instant $t_e$ ($t_e$ est
appelé le temps d'échantillonnage, il est égal, en général
au temps de pose) et le pas entre deux acquisitions ligne est $\Delta
\tau = v\cdot t_e$ ($v$ est la vitesse du point sub-satellite). La barrette
CCD placée au plan focal du système optique est vidée dans des
registres. Ces registres sont alors lus. Le satellite s'est
déplacé pendant l'intervalle de temps d'échantillonnage et la
barrette est de nouveau en mesure d'acquérir une nouvelle ligne. Le
temps d'échantillonnage $t_e$ est réglé de telle sorte que $p$
soit égal à $v\cdot t_e$. Dans cette configuration (\cf fig\ptbl\ref{fig:des2}) la
projection au sol des pixels constitue une partition du sol. Le sol
est donc balayé une seule fois. 

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.5]{des2}}
\caption{}\label{fig:des2}
\end{figure}

Le réseau $\Gamma$ ainsi construit est à maille carrée et sa
base est constituée des vecteurs
$$
(p,0),\quad (0,\Delta \tau).
$$
Nous verrons (\cf \S\ 3.2) que la souplesse du système
satellite-barrette permet 
de générer une variété infinie de réseaux.

\Subsubsection{Caractéristiques radiométriques du système
  opto-électronique}

La FTM du système global est la TF de la réponse impulsionnelle
globale. Elle exprime le facteur d'atténuation des fréquences
spatiales. Plus les fréquences sont élevées plus la FTM est
faible. Le choix de la FTM est guidé par le fait que la FTM est à
support compact.

\skippointrait
\subsubsection*{{\rm 1.2.4.1.} FTM}


\subsubsection*{{\rm 1.2.4.1.1.} Système optique}
Le système optique considéré est un système à lumière
incohérente. Dans le cas d'une pupille symétrique par rapport à
l'axe de visée, la FTM est égale à la fonction
d'autocorrélation de la fonction caractéristique de l'ouverture
pupillaire de l'instrument (en première approximation du principe
d'Huyghens et compte non tenu des aberrations optiques).

Nous nous placerons ici dans le cas le plus courant d'une pupille
circulaire de diamètre $D$, pour une lumière monochromatique de
longueur d'onde $\lambda$ et le satellite étant à une altitude $H$.

La FTM associée a pour expression 1D (s'il n'y a pas d'occultation
centrale) si l'on pose $z=|f|$
$$
FTM_{\op}(f) = FTM_{\op} (z) = \frac{2}{\pi} \mathrm{Arc}\cos
\left(\sfrac{z}{z_{c}}\right) -\frac{z}{z_{c}} \sqrt{1- \left(\sfrac{z}{z_{c}}\right)^{2}},
$$
$$
z_{c} = \frac{D}{\lambda\cdot H};
$$
$z_{c}$ est la fréquence d'annulation de la FTM que l'on appelle
fréquence de coupure optique.

Le graphe de la FTM optique est
\par\nopagebreak\medskip\nopagebreak
\centerline{\includegraphics[scale=.4]{des3}}
%\centerline{\includegraphics[scale=.7]{rouge3}}
%\vspace{7cm}


\subsubsection*{{\rm 1.2.4.1.2.} Système photo-électronique} 

Chaque détecteur élémentaire est un intégrateur de flux
correspondant à une réponse impulsionnelle séparable égale à
la fonction carrée 2D (fonction constante sur le carré unité
$[-p/2, p/2]\times[-p/2,p/2]$) et nulle ailleurs $(p =\Delta \tau)$. Alors
$h_{\det} (x) =\Pi_{p} (x_1)\Pi_{p} (x_{2})$ et la FTM correspondante
est (cas $p= 1$)
$$
FTM_{\det} (f)=\sin c (f_1)\sin c (f_2),
$$ 
$$
\sin c(r) = \frac{\sin (\pi r)}{\pi r},
$$
chacune des composantes peut être représentée par la courbe

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.4]{des4}}
\caption{}\label{fig:des4}
\end{figure}

\subsubsection*{{\rm 1.2.4.1.3.} Filé}

L'effet du filé est couplé avec l'intégration du
détecteur. Pendant le temps d'échantillonnage le détecteur a
bougé (effet de flou). Ceci se modélise par une réponse
impulsionnelle égale à une fonction porte 1D dans le sens de la
vitesse. Ce qui correspond à la direction colonne de l'image
(variable $x_2$ en spatial et $f_2$ en spectral)
$$
FTM_{\fil} (f)= \sin c(f_2).
$$

\subsubsection*{{\rm 1.2.4.1.4.} FTM globale}

Le système opto-électronique est décrit par une suite
d'opérations de convolution puisqu'il est linéaire, continu et
invariant par translation. Ceci conduit à la représentation de la
FTM globale par le produit de toutes les FTM intermédiaires
$$
FTM(f) = FTM_{\op} (f)FTM_{\det} (f)FTM_{\fil} (f_2)
$$
dont l'expression duale est la convolution des réponses
impulsionnelles
$$
h(x) = h_{\op} (x)\star h_{\det}(x)\star h_{\fil}(x_2)
$$

\subsubsection*{{\rm 1.2.4.2.} Bruit}

La lumière est constituée de quanta (photons) et ne peut être
assimilée à un processus continu puisque les détecteurs ont une
taille petite et sont transformés en compteur de photons. On
considère que le nombre $N$ d'événements du type \og arrivée de
photon\fg en un temps $t_e$ suit une loi de Poisson. Cette loi a pour
espérance mathématique le nombre moyen de photons incidents
arrivant pendant le temps $t_e$, et pour variance la même valeur. Des
bruits instrumentaux sont adjoints au bruit photonique. Ils sont
indépendants. Le rapport signal à bruit moyen, dit SNR, est alors
égal au quotient de la moyenne du signal par l'écart type du
signal pour la luminance moyenne
$$
SNR = \frac{\text{Moyenne}}{\text{écart type}}
$$
Ce bruit est considéré en première approximation comme constant
sur toute l'image. Il est donc stationnaire. De plus, il est blanc. Une
formulation plus précise est présentée dans les références
suivantes [LOM91], [LAP95], [LAT94].

\subsection{Questions relatives à l'échantillonnage cas de SPOT}


Le réseau d'échantillonnage est directement lié au mouvement du
satellite et au détecteur. Dans le cas du réseau décrit
ci-dessus qui est celui des SPOT actuels en mode nominal, nous allons
interpréter le modèle mathématique. Pour cela nous donnerons
auparavant les caractéristiques utiles de SPOT.

\subsubsection{Caractéristiques de SPOT}


La famille des satellites SPOT est constituée de satellites à
défilement placés sur une orbite d'altitude moyenne 830km.

Le satellite SPOT embarque deux instruments visibles appelés HRV1 et
HRV2 (HRV pour Haute Résolution Visible).

Le système optique de ces instruments est constitué d'un
télescope de diamètre pupillaire 0.33m et de focale 1m.

Dans la bande panchromatique les détecteurs constituent une barrette
linéaire équivalente de 6000 pixels carrés de zone photo
sensible 13 $\mu m$ (SPOT1, 2, 3, 4), (6.5 $\mu m$ pour SPOT5) de
côté. La projection au sol de tels pixels est de $10m \times
10m$. Les images finales sont de taille $6000 \times 6000$ points.

Il existe également pour SPOT1,2,3,4 trois canaux couleur dans le
domaine visible et proche infrarouge. SPOT4 possède en plus un
quatrième canal moyen infrarouge. La taille des images couleur est
de $3000\times 3000$ pixels. Ces pixels ont une trace au sol de $20m
\times 20m$.


La barrette en nominal est perpendiculaire à la direction de la
vitesse

\subsubsection{Repliement spectral}

Les instruments HRV sont des instruments à coupure fréquentielle
provoquée par le détecteur. La fréquence de coupure optique de
SPOT est très loin de celle du détecteur, sa valeur est
$$
f_{c} = \frac{D}{\lambda H}
$$
et sa période de coupure correspondante
$$
P_{c} =\frac{\lambda H}{D}.
$$
Pour le canal panchromatique de longueur d'onde $0.5\mu m$ nous
trouvons $P_{c} = 1.4m$. alors que la taille du pixel au sol est de
$10m.$

La modélisation mathématique discrète fait apparaître la
convolution $\widehat \Pi_{\Gamma}\star (FTM\cdot\hat o)$ qui constitue une
périodisation discrète de la fonction continue à support compact
$FTM\cdot\widehat o$.


En adoptant comme unité dans l'espace direct et en spectrale son
inverse la taille du détecteur au sol, nous obtenons
$$
P_{c} = 0.14\quad \text{et}\quad f_c=7.
$$
Le spectre du paysage $FTM\cdot\widehat o$ est {\it a priori} inconnu,
aussi nous ne représenterons que la FTM.


La FTM suivant la colonne (variable $f_2$) est représentée par la
fonction dont le graphe est le suivant.
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.4]{des5}}
\caption{}\label{fig:des5}
\end{figure}


La représentation choisie ici ne s'étend pas jusqu'à la coupure
optique qui est égale à $f_2 =7$. En effet la FTM est déjà
très faible au niveau du second lobe.


Nous allons maintenant représenter l'effet de la convolution spectrale
liée à l'échantillonnage. La base du réseau $\Gamma$ est
composée des vecteurs orthogonaux $$[(10m,0),(0,10m)].$$
Après la
normalisation précédente ils deviennent unitaires. La base du
réseau réciproque $\Gamma^{*}$ est également $(1,0),(0,1)$.

En ne tenant compte que de la contribution de la réplique centrée
sur $f_1=1$ (très largement la plus importante pour $0 < f_2$) la
périodisation de la fonction précédente conduit au graphe ci-dessous.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.4]{des6}}
\caption{}\label{fig:des6}
\end{figure}


Le repliement spectral est ici très important puisqu'il est
supérieur à $0.3$. Il l'est encore plus dans la direction de la
barrette puisque l'effet de filé produit par le déplacement du
satellite est nul dans cette direction. SPOT comme tous les satellites
d'observation de la terre est sous-échantillonné.

Est-ce dommageable à la qualité des images?


Un échantillonnage critique serait évidemment
préférable. Cependant le repliement représenté sur le graphe
précédent serait significatif d'un paysage qui spectralement
contient toutes les fréquences (le phénomène de repliement est
relatif au produit $FTM\cdot\widehat o$ et non pas à la seule
$FTM$). Une constatation empirique a conduit à vérifier que la
plage de fréquences $[10m^{-1}, 5m^{-1}]$ était faiblement
représentée dans le paysage. Cependant cette constatation n'est
plus vraie aux fréquences plus importantes correspondant à la
taille des détails des constructions urbaines.


Aussi, nous allons proposer des solutions permettant de remédier à
ce sous-échan\-tillonnage des SPOT actuels mais surtout des satellites
futurs. Auparavant des notions utiles au réglage des paramètres
spatiaux instrumentaux seront définies.

\section{Évaluation et réglage du système opto-électronique numérique} 

\subsection{Évaluation d'un système}

Nous venons de voir qu'un système global peut être caractérisé
par un triplet
$$
(FTM,b,R).
$$
Ce triplet est cependant difficilement maniable, nous le simplifierons
donc.

\subsubsection{Support essentiel de la FTM}

La FTM que l'on vient de définir est à support compact et
réelle. Ce support correspond au support de la FTM optique.

Cependant l'ensemble du support ne peut être utilisé car il est
perturbé par un bruit blanc qui pour les hautes fréquences devient
prépondérant.

Aussi nous définirons le support essentiel d'un instrument comme le
sous-ensemble $Se$ du support de la FTM égal à
$$
Se = \{f\mid n/SNR < |FTM(f)|\}.
$$
Le nombre $n$ est empiriquement défini. Il dépend notamment du
paysage et des performances de la restauration. Dans le cas de
satellites du type SPOT ou plus bruités, $n$ est proche de
5. Ci-dessous est représenté le cas de la FTM 1D de SPOT suivant
la direction de la vitesse de déplacement (variable de fréquence
$f_2$)

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.4]{des7}}
\caption{Support essentiel 1D suivant la variable $f_{2}$ dans une configuration de type SPOT}\label{fig:des7}
\end{figure}

Nous appellerons $So$ le support de l'optique, $Sd$ celui du
détecteur, $Sf$ celui du filé et $R$ la cellule réciproque
relative au réseau d'échantillonnage $\Gamma^{*}$.


Le support essentiel de la FTM globale est appelé $Se$.

\subsubsection{Caractérisation par un doublet}


Alors, une caractérisation compacte d'un système
opto-électronique numérique est le doublet
$$
(Se,R).
$$
Les caractéristiques radiométriques (bruit et FTM) sont
synthétisées dans le doublet par $Se$.

Le doublet est constitué de deux domaines. Nous proposons de
caractériser ce doublet par un seul nombre afin de procéder à
des comparaisons de performances des systèmes entre eux.


\subsubsection{Définition de la résolution spectrale}

Nous appellerons résolution spectrale du doublet $(Se,R)$
$$
Rs_{(Se,R)} =\mu (Se \cap R-C_{s}(Se\cap R)) =\mu (Se \cap
R)-\mu(C_{s}(Se\cap R))
$$
La résolution spectrale est constituée d'un terme principal moins
un terme perturbateur qui représente le repliement spectral
(aliasing).

Dès lors une forme faible (en général suffisante) du principe de
Shannon qui s'exprime par un repliement spectral nul, se traduit par
l'annulation du terme secondaire (où $C_{s}(Se\cap R)$ est le
complémentaire de $Se\cap R$ dans $Se$)
$$
\mu (C_{s}(Se\cap R)) .
$$
Ci-dessous est illustré le cas où le support essentiel de la FTM
du système opto-électronique est un cercle circonscrit à la cellule
réciproque~$R$.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.35]{des8}}
\caption{}\label{fig:des8}
\end{figure}


Les unités de $Rs$ sont des fréquences au carré $(m^{-2})$. Dans
ce cas, si le cercle est de rayon unité, nous avons
$$
R_{s}=2-(\pi-2)=4-\pi
$$
\subsubsection{Définition de la résolution spatiale 1D}

L'usage est d'exprimer les résolutions en spatial et plus
particulièrement en 1D. Aussi nous définirons au passage la
résolution 1D en mètres
$$
Re_{(Se,R)}= \frac{1}{\sqrt{Rs}}
$$
Appliquer à SPOT une telle définition donnerait un nombre proche
de 14m et non pas 10m comme cela est souvent annoncé (10m
représente le pas d'échantillonnage et non la
résolution). Cependant, tous les satellites d'observation sont dans
ce cas. En fait le facteur correctif à appliquer est en général
proche de $\sqrt{2}$ avec tous ces types d'instruments
sous-échantillonnés.

\Subsubsection{Coefficient de performance}

\subsubsection*{{\rm 2.1.5.1.} Système quelconque}

La résolution permet de comparer des doublets entre eux, nous
proposons de donner également une évaluation intrinsèque des
performances d'un système $(Se,R)$ par le coefficient de performance
où les $Se_{i}$ sont les supports spectraux essentiels des sous systèmes.
$$
P_{(Se,R)} = \frac{Re_{(Se,R)}}{\mu (Se_{i}\cup_{i}R)}
$$
qui constitue le rapport entre la résolution effective du doublet et
sa résolution potentielle. Il s'agit d'un coefficient appartenant
à l'intervalle $[0,1]$.

On peut également définir des coefficients de performance des
sous-systèmes: optique seul dans le cas où la fréquence de
coupure est donnée par l'optique ou opto-électronique si c'est par
le détecteur.

\subsubsection*{{\rm 2.1.5.2.} Système à dominante photo-électronique (cas de
  SPOT)}

Dans le cas de SPOT la fréquence de coupure de l'optique est très
éloignée de celle du détecteur $Se_{dt} =Se$ et le coefficient
de performance sera faible et peu significatif (fig\ptbl\ref{fig:des9}).
\begin{figure}[!htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.3]{des9}}
\caption{}\label{fig:des9}
\end{figure}

Aussi, nous
utiliserons le coefficient de performance relatif au système
photo-électronique du détecteur. Le coefficient de performance de
SPOT est dans ce cas proche de 1/4.

En effet le support essentiel de la FTM est proche du carré de
45$^{\circ}$ et de côté $\sqrt{2}$ fois plus important que $R$
(cf.\ \S\  3.2).




\subsubsection*{{\rm 2.1.5.3.} Système à dominante optique}

Si la coupure du système est effectuée par l'optique
$Se_{\op}=Se$. Dans la configuration ci-dessous $P(Se_{\op},R)=\pi/8$. La
performance de tels systèmes est satisfaisante. Ils présentent
cependant le désavantage de conduire à des instruments à très
grande distance focale et faible flux, donc à $SNR$ faible. Des
systèmes à intégration de flux peuvent cependant y remédier.
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.4]{des10}}
\caption{}\label{fig:des10}
\end{figure}


\subsection{Exemples de réglage du système photo-électronique
  numérique: réseau à maille quinconce}

Les notions précédentes vont être à présent utilisées pour
effectuer des réglages instrumentaux. Cependant le résultat de
l'optimalité du réseau quinconce pour des systèmes dominés par
le détecteur sera préalablement établi.


\subsubsection{Optimalité du réseau quinconce}

Le réseau d'échantillonnage de SPOT est sous critique
(insuffisamment dense pour satisfaire le principe de Shannon), aussi
proposerons-nous deux autres types d'échantillonnage [MAR92],
[ROU95-BREVET].

Nous avons déjà vu (\cf \S  2.3.2) que la base du réseau
réciproque $\Gamma^{*}$ de SPOT est caractérisée par les
vecteurs $(1,0),(0,1)$.


La propriété d'annulation du sinus cardinal $(\sin c (x))$ et la
séparabilité de la FTM (l'influence de la FTM optique est du
second ordre) conduit au croquis ci-dessous (fig\ptbl \ref{fig:des11}). Il représente dans le
domaine image (droite) et dans le domaine spectral (gauche) les
réseaux d'échantillonnage de SPOT, quinconce et 4SPOT. Le support
spectral essentiel $Se$ de la FTM est représenté en grisé.
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.4]{des11}}
\caption{Types de réseaux d'échantillonnage: SPOT, quinconce, 4SPOT}\label{fig:des11}
\end{figure}

Le réseau 4SPOT constitué d'un sur-échantillonnage ligne et
colonne d'un facteur 2 est trop dense pour le support essentiel de la
FTM. Il est sur-critique (fig\ptbl\ref{fig:des12}). Le réseau SPOT à l'inverse est trop
lâche. Il est sous-critique. Quant au réseau quinconce, il est
quasi critique. En effet, les phénomènes de recouvrement spectraux
(aliasing) sont réduits.
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=.5]{des12}}
\caption{Échantillonnage supermode (alias spectraux)}\label{fig:des12}
\end{figure}

Les coefficients de performance (système photo-électronique seul)
de ces divers type de réseaux sont: $P=0.25$
pour SPOT, $P=0.5$ pour 4SPOT et proche de 1 pour le réseau
quinconce.


C'est ce mode qui a été choisi pour la Très Haute Résolution
de SPOT5.


\subsubsection{Mise en \oe{}uvre instrumentale}

Nous allons présenter dans ce paragraphe trois solutions permettant
de densifier le réseau afin de s'approcher ou de réaliser ce
réseau quinconce.

\Subsubsection*{{\rm 2.2.2.1.} Utilisation de deux instruments (ex: les 2HRV) de
  SPOT1}

La première idée de densification du réseau est de se servir des
deux instruments HRV embarqués sur SPOT. Ils sont alors configurés
en visée simultanée sur la même zone au sol.

Cependant, le décalage entre les deux images doit être égal à
un nombre demi-entier de pixels en ligne et en colonne. Un tel
procédé n'est pas fonctionnellement possible et le décalage peut
avoir une valeur quelconque. De plus, les deux HRV sont légèrement
dissemblables, ce qui produit un différentiel entre la taille des
pixels des deux HRV. Moyennant des traitements adaptés (filtres
d'interpolations non stationnaires), il est cependant possible de
traiter ce couple d'images et presque d'améliorer dans un rapport
deux la résolution 1D d'une image SPOT.\enlargethispage{\baselineskip}%


\subsubsection*{{\rm 2.2.2.2.} Double barrette}

Une solution plus performante consiste à implanter dans le plan
focal {\it une double barrette} avec un décalage entre les deux
barrettes étant d'un nombre demi-entiers de pixels. le temps
d'échantillonnage restant celui de SPOT. Le flux est donc conservé
dans cette solution.

C'est cette solution instrumentale qui a été retenue sur le futur
satellite SPOT5.

\Subsubsection*{{\rm 2.2.2.3.} Configuration barrette-vitesse du satellite non
  orthogonale}

Tout réseau engendré à partir d'une barrette CCD impose l'un des
vecteurs générateurs du réseau. Le module est fixe et égal à
$p$. Cependant, d'autres degrés de liberté subsistent: l'angle
entre la direction de la barrette CCD et le vecteur de vitesse du
satellite et le pas dans la direction vitesse $\Delta \tau = v\cdot t_e$.

Il reste encore deux possibilités pour agir sur $\Lambda \tau$: agir
sur $v$ ou sur le temps d'échantillonnage $t_e$. Or, la modification
de la vitesse du point sub-satellite par pilotage en attitude est
possible avec des satellites man\oe{}uvrants.


Nous avons vu dans la précédente partie sur la TF qu'un même
réseau peut être généré par plusieurs bases. Il s'agit de
toutes les bases issues du changement de base\vspace*{-3pt}
$$
 \tilde e_{1} = ae_{1} +be_{2} ,\quad \tilde e_{2}
 = ce_{1} + de_{2}
$$
où $|ad-bc| =1$ et $a,b,c,d\in Z$.

Aussi, si la barrette fait un angle $\alpha = \arctg (1/n)$
entre la vitesse et la barrette et si $\Delta \tau =
\dfrac{p}{\sqrt{1+n^{2}}}$, $n\in Z$, alors dans le repère
vitesse-direction orthogonale, les vecteurs de base sont
$$
e_1=(p\sin(\alpha), p\cos(\alpha)),\quad e_2= (0, \Delta\tau)
$$
et par changement de base on a
$$
\tilde e_{1} =e_{1} -ne_{2} ,\quad \tilde e_{2} =e_{2} .
$$
Il est donc possible d'obtenir un réseau carré aussi fin que désiré.

Il existe une autre solution pour engendrer un réseau quinconce. Le
cas quinconce est le cas particulier $n=1$, $\alpha$ est égale à
$45^{\circ}$. 


\begin{rema*}
Ici a été proposé un réseau carré car le traitement est plus
simple, cependant des réseaux de type hexagonaux aussi denses que
désiré peuvent être également engendrés.
\end{rema*}

\section{Instrument à FTM idéale pour un réseau de maille fixée}

Tout ce qui précède a été consacré à l'adaptation du
réseau d'échantillonnage au support essentiel de la FTM. Une
question majeure reste cependant en suspens qui intéresse les
concepteurs d'instruments et les traiteurs d'images:
quelle est la \og meilleure\fg image possible pour un réseau $R$
donné?

Dès lors, nous nous intéressons à la forme de la FTM et plus
seulement au seul voisinage de son support.

\subsection{Formulation}

Nous rattacherons cette question à la notion d'instrument à FTM
\og parfaite\fg pour un réseau $R$ fixé.


La FTM d'un tel instrument doit satisfaire les caractéristiques
suivantes:

\begin{itemize}

\item{} quasi-respect de la propriété de Shannon (l'image acquise
  par un tel instrument est alors interpolable et déconvoluable: $S e
  \subset R$),

\item{} réponse impulsionnelle positive (l'image est une
  distribution de densité),

\item{} concentration optimale de l'énergie en espace et en
  fréquence,

\item{} conservation des valeurs moyennes $(FTM (0,0)=1)$.
\end{itemize}

Ces caractéristiques reviennent à construire une fonction optimale
à support quasi contenu dans un domaine spectral limité donné
$R$ et à support compact en espace tout en se rapprochant au plus
près de la distribution de Dirac.


La réponse précise à cette question a été fournie par
D.~Slepian, H.O.~Pollak, H.J.~Landau, [SLE64], [LAN96]. Le critère
d'optimalité choisi est un critère énergétique. Ce choix n'a
rien d'arbitraire car il est sous-jacent à toute mesure de
paramètre physique, comme par exemple la mesure de FTM en
laboratoire. Ces fonctions sont les fonctions sphéroïdales aplaties,
(prolate spheroidal functions en anglais).

\subsection{Dualité espace-fréquence (relation d'incertitude)}

L'inégalité d'Heisen\-berg-Gabor met l'accent sur l'impossibilité
physique d'obtenir une image (ou signal) sur des supports spatiaux
(temporels) effectifs arbitrairement petits.

La gaussienne réalise la meilleure approximation en localisation
spatio-temporelle pour le critère des variances centrées en espace
et en fréquence.

Si l'intérêt se porte sur la contrainte énergétique associée
à des supports fixés, l'optimalité conduit aux fonctions
sphéroïdales aplaties. On les appellera par simplification
prolate.

La formulation est alors la suivante.

Soit un support $V$ dans l'espace image et un support $W$ dans
l'espace fréquentiel (fig\ptbl\ref{fig:des13})

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.6]{des13}
\end{center}
\caption{}\label{fig:des13}
\end{figure}


L'énergie de la fonction prolate notée $\Phi$ que l'on cherche à
support dans $V$, doit être concentrée dans le domaine $W$ de
fonction caractéristique $w$. Ainsi, l'énergie doit être petite
au sens des moindres carrés en dehors de $W$. On impose donc une
condition de la forme
$$
\frac{1}{\| \hat\phi \|^{2}} \int_{W} |\hat\phi |^{2} d\mu =\chi^{2}
$$
où $\chi$ est maximum (proche de 1 puisque représentant la
fraction d'énergie de $\hat\phi$ dans $W$).


Cette dernière équation s'écrit également
$$
\chi^{2}=\sup_{\begin{subarray}{l}\| \phi\|=1 \\
    \text{Supp}(\phi)\subset V\end{subarray}} \| w \hat\phi\| 
$$
pour $V$ et $W$ donnés.


Cette optimisation permet de concentrer l'énergie à la fois dans
les supports $V$ et $W$. En annexe est démontré que ceci est
équivalent au calcul de la valeur propre maximale $\chi$ d'un
opérateur. A cette valeur maximale est associée une fonction
propre qui est précisément la fonction prolate. De plus, une
procédure pratique de calcul de $\chi$ empruntée aux outils de
l'analyse numérique en permet le calcul (\cf annexe).

Un instrument idéal pour un réseau réciproque $\Gamma^{*}$ de
cellule $R$ donnée sera celui qui conservera un $\chi$ proche de 1
avec $W=R$. La FTM associée est la fonction prolate dite FTM idéale.

\Subsection{Remarques sur le phénomène de Gibbs et de repliement spectral} 

La fonction prolate est une fonction fenêtre particulière.

En effet, il existe des fonctions qui concentrent l'énergie
spectrale d'une manière plus efficace que la prolate. Par exemple la
fonction caractéristique de la cellule réciproque du réseau est
celle qui a la concentration énergétique maximum en spectral. Elle
n'est cependant pas optimale en spatial. De plus, elle produit des
phénomènes d'oscillation visible sur l'image. En effet, la
multiplication par la fonction caractéristique $\chi_{R}$ de $R$ en
spectral conduit à introduire une convolution en espace par la TF
$\hat\chi_{R}$ toujours oscillante (puisqu'elle passe par les points
du réseau) et à support essentiel étendu.

A l'inverse la concentration excessive en espace conduit au
débordement de la cellule réciproque en spectral induisant des
phénomènes de repliements spectraux.

Aussi la fonction prolate constitue-t-elle un bon compromis permettant
d'éviter ces deux types d'artefacts.

Dans les deux planches suivantes est illustré l'intérêt de cette
fonction.

Une comparaison est effectuée entre trois images (voir les trois
planches qui suivent) toutes échantillonnées avec le même
réseau (carré 2.5m de côté).

La première image est simulée avec une FTM tel que $Se \supset R$. 
Elle est donc sous-critique et donc repliée spectralement
(aliasing). Cet artefact est visible sur la première et la seconde
planche.

La seconde image est telle que FTM=Prolate. Il n'y a pas d'artefact.

La dernière image est telle que FTM$=\chi_{R}$, (fonction
caractéristique de $R$). Des phénomènes de Gibbs sont
visibles sur la seconde et la dernière planche.

\newpage
\noindent\hspace*{-1cm}\includegraphics[scale=.65]{planche1}
\newpage
\noindent\hspace*{-1cm}\includegraphics[scale=.65]{planche2}
\newpage
\noindent\hspace*{-1cm}\includegraphics[scale=.65]{planche3}
\newpage

\section{Déconvolution-débruitage en réseau critique}

Nous venons de définir un instrument à FTM idéale. Un tel
instrument n'est évidemment pas réalisable. La question qui est
alors posée est celle de s'en approcher par le traitement de
restauration. Nous n'aborderons pas ici un traitement exhaustif de la
restauration qui est un sujet très vaste. L'objet est d'indiquer sa
portée sur le dimensionnement des instruments.


Les approches modernes en restauration consistent à modéliser les
images comme des zones lisses séparées par des bords nets. Ainsi
on prend en compte les singularités du paysage. Ces restaurations
préservent les contours.

Soit $\widehat{P}$ la prolate unique attachée à
$R$. Alors, nous nous placerons dans le cas où l'image
vérifie le principe (faible) de Shannon $S e \subset R$.

Le spectre de référence est alors ${\hat{\tilde{u}}}_{ref} =\Pi_{\Gamma
    N \times M} \widehat{\Pi}_{\Gamma} \otimes (\widehat{P} \cdot\widehat{o})$
    et l'erreur quadratique après déconvolution par
    $\frac{\widehat{P}}{FTM}$ du spectre de l'image brute est
$$
\left\Vert {\hat{\tilde{u}}}_{ref} - {\hat{\tilde{u}}}\right\Vert = \left\Vert \Pi_{\Gamma N xM}
    \widehat{\Pi}_{\Gamma} \otimes ( \frac{\widehat{P}}{FTM} \cdot\hat b)\right\Vert
$$
que l'on minimise sur les zones \og homogènes\fg.

Les méthodes de débruitage non linéaires par seuillage sur les
coefficients de la décomposition en paquets d'ondelettes [KAL96],
[MAL97], [MEY92], [ROU95] préservent les singularités de l'image.

De plus, des méthodes d'optimisation faisant intervenir la variation
totale de l'image avec un terme de régularisation ou l'approche
statistique de la théorie des champs markoviens (ces deux
formalismes sont proches en discret) présentent également de bon
résultats [MOR94], [RUD92], [CHA94], [DEM89].

Ces méthodes de restauration permettent d'accepter des SNR bien
infé\-rieurs à ceux exigés sur des satellites actuellement
opérationnels et produisant des images non déconvoluables. Ainsi
est envisagé à présent de restaurer des images dont le SNR est
de 70 à la luminance moyenne. On est loin des SNR supérieurs à
250 sur les SPOT actuellement en fonctionnement. La conception des
instruments s'en trouve changée, car il s'agit d'un des éléments
clef (diminution du diamètre pupillaire) qui ouvre la voie à la
conception de petits instruments très haute résolution.

\section*{Conclusion}

Le segment sol de traitement des images SPOT4 effectue quelques
dizaines d'opérations par point. Aujourd'hui le dimensionnement du
futur satellite SPOT5 est réalisé sur une base de plusieurs
milliers d'opérations.

L'adaptation des réseaux d'échantillonnage des images de satellite
au principe de Shannon, alliée à la chute vertigineuse des coûts
de calcul, ouvre la voie à l'introduction massive des
mathématiques dans les segments sol image futurs.

\section*{Annexe: fonctions sphéroïdales aplaties}

\subsection*{Calcul de la valeur propre maximale}

Précisons le calcul de $\chi$

Si $\phi \in L^{2} (V)$ et $w\hat\phi \in L^{2}(W)$, alors:
$$
\| w \hat\phi\|^{2} = \langle w \hat\phi | w \hat\phi \rangle
$$
si $v$ et $w$ sont les opérateurs associés aux fonctions
caractéristiques des ensembles $V$ et $W$. On a $v \phi =\phi$, pour
tout $\phi \in L^{2}(V)$.

Soit $U$, l'opérateur qui définit la Transformée de Fourier et $U'$
 sont inverse alors 
\begin{eqnarray*}
\langle w \hat\phi | w \hat\phi\rangle & = &\langle w U \phi | w U
\phi\rangle\\
& =& \langle w U v \phi | w U v \phi \rangle\\
& =& \langle \phi | v U' w U v \phi \rangle \\
& =& \langle \phi | B \phi \rangle 
\end{eqnarray*}
en posant $B = v U' w U v$, $\phi \in L^{2} (V)$, $\chi^{2}$ est la
valeur propre maximale de l'opérateur $B$ tel que
$$
\chi^{2} = \frac{\mathop{\sup}\limits_{\| \phi \| =1} \langle \phi | B \phi
  \rangle}{\| \hat\phi\|^{2}}
$$
L'opérateur $B$ opère des troncatures de support alternées avec
la transformée de Fourier. Il concentre $\hat\phi$ dans $W$ tout en
gardant $\phi$ dans $V$.

La construction de la fonction prolate pour $V$ et $W$ donnés se
déduit alors de la méthode de la puissance.

\subsection*{Méthode numérique de la puissance}

La méthode de la puissance [GOU84] est une méthode itérative
simple qui permet de calculer les valeurs propres et les vecteurs
propres d'un opérateur.

L'opérateur $B$ est de dimension finie. Il possède un nombre finie
de valeurs propres. Ordonnons ces valeurs propres $|v_{1}| \geq
|v_{2}| \geq | v_{3}| \cdots \geq |v_{\mathbb{N}}|$, alors
l'opérateur se décompose en $$B = \sum_{N\geq k \geq 1} v_{k}
P_{k},$$ pour toute fonction $\phi$, $$B\phi= \sum_{N\geq k\geq 1} v_{k}
P_{k} \phi_{k}$$ et pour tout entier $n$ positif $$B^{n}\phi =
\sum_{N\geq k \geq 1} v^{n} k P_{k} \phi_{k}$$ avec
$\phi_{k}=P_{k}\phi$.


Les $\phi_{k}$ sont les vecteurs propres associés aux valeurs
propres $v_{k}$. Ils vérifient $B\phi_{k}= v_{k} \phi_{k}$
pour tout $k\geq 1$. Pour tout $k\geq 2$ en supposant $\phi_{k} \not=
0$ et $|v_{1} |\not= |v_{2}|$, nous avons $|v_{1} |^{n} \gg
|v_{2}|^{n}$ si $n$ est suffisamment grand. On voit ainsi que le terme
prépondérant de $B^{n}\phi$ est $v^{n}_{1}\phi_{1}$ et
$$
\frac{B^{n}\phi}{v_{1}^{n}} =\phi^{1} +\sum_{k\geq 2}
(\frac{v_{k}}{v_{1}})^{n} \phi^{k},
$$
donc $\sfrac{B^{n}\phi}{v_{1}^{n}}$ est une bonne approximation du
vecteur propre associé à~$\phi_{1}$. La valeur propre associée
$v_{1}$ (c'est-à-dire une approximation de~$\chi^{2}$) est alors
fournie par la relation $$v_{1} = \dfrac{\| B^{n}\phi\|}{\|
  B^{n-1}\phi\|}.$$


La vitesse de convergence est liée à la fa\c con dont $|
\sfrac{v_2}{v_1}|^{n}$ tend vers~$0$ quand $n$ est grand et la méthode
ne pourrait pas s'appliquer à des opérateurs dont les valeurs
propres sont proches en module.


\subsection*{Procédure pratique}


La procédure pratique sera la suivante, soit $\phi_{O}$ la fonction
caractéristique d'ensemble de $V$. Alors la fonction $\phi_{1}$ est
déterminée par $\phi_{1} = \sfrac{B\phi_{0}}{v_{0}}$ avec $v_{0}=
\| B\phi_{0}\|$.

On itère ensuite l'opération sur $\phi_{1}$. On a $\phi_{2} =
\sfrac{B\phi_{1}}{v_{1}}$ avec $v_{1} =\|B\phi_{1}\|$. Ainsi
$$
v_{n} \longrightarrow \chi^{2}.
$$ 
La fonction $\phi_{n}$ correspondante est alors la fonction prolate
approchée unique à supports $V$ et $W$ donnés.

\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepalpha+eid}
\bibliography{xups98-04}
\end{document}








