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\theoremstyle{plain}

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\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}[thf]{Remarque}
\newtheorem{Exer}[thf]{Exercice}
\newtheorem{exa}[thf]{Exemple}

\begin{document}
\frontmatter
\title[Analyse de Fourier et théorie de Shannon]{Notes sur l'analyse
  de Fourier et~la~théorie de~Shannon en~traitement~d'images}
\author[\initial{J.-M.} \lastname{Morel}]{\firstname{Jean-Michel} \lastname{Morel}}
\address{École Normale Supérieure de Cachan, 61 avenue du Président Wilson, 94 Cachan cedex}
\email{jean-michel.morel@ens-paris-saclay.fr}
\urladdr{https://sites.google.com/site/jeanmichelmorelcmlaenscachan}

\author[\initial{S.} \lastname{Ladjal}]{\firstname{Saïd} \lastname{Ladjal}}
\address{École Normale Supérieure de Cachan, 61 avenue du Président Wilson, 94 Cachan cedex}
\email{said.ladjal-at-telecom-paristech.fr}
\urladdr{https://perso.telecom-paristech.fr/ladjal/}

\thanks{Journées X-UPS 1998. Analyse de Fourier et traitement d'images. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1998}

\maketitle
%\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups98-02}

\mainmatter

\section{Séries de Fourier}
On considère l'espace de Hilbert $L^2([-\pi,\pi])$. On
va montrer que le système orthonormé
$$\frac{1}{(2\pi)^{\sfrac {1}{2}}}(e^{int})_{n\in \relative}$$
est une base hilbertienne de $L^2([-\pi,\pi])$. Cette base s'appelle la base de
Fourier. On notera
$$c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx,$$ en sorte que pour
toute $f$ dans $L^2([-\pi,\pi])$ on puisse écrire

$$ f(x) = \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la série précédente convergeant au sens $L^2$. Les $c_n(f)$ s'appellent
les coefficients de Fourier de $f$ et sont proportionnels aux coordonnées de
$f$ dans la base de Fourier.\enlargethispage{-2\baselineskip}

Pour montrer ce résultat, on va commencer par analyser le comportement des
coefficients de Fourier selon la régularité de $f$.

\pagebreak[2]
\skpt
\begin{lem}[lemme de
Riemann-Lebesgue]\label{riemann-lebesgue}\index{Riemann-Lebesgue (Lemme de)}
\begin{enumeratei}
\item
On pose pour $f\in L^1(\real)$, $$\hat f(\xi) =
\int_{\real} f(x) e^{-i\xi x}dx.$$ Si $f\in C_c(\real)$ est $k$ fois différentiable et
telle que $f^{(k)}\in L^1(\real)$, alors
$$|\hat f(\xi)|\leq\frac{\|f^{(k)}\|_{L^1}} {|\xi|^k}.$$

\item
Si $f\in
L^1(\real)$ alors $\int_{\real} f(x)e^{iax}dx \to 0 $ quand $|a|\to \infty$.

\item
Application aux coefficients de Fourier: si $f\in L^1([-\pi,\pi])$,
$$\lim_{\vert n\vert\to \infty} c_n(f) = 0.$$
\end{enumeratei}
\end{lem}

\skpt
\begin{proof}

(i)
En intégrant par parties $k$ fois l'intégrale définissant $\hat f$, on
obtient pour $\xi \neq 0$,
$$|\hat f(\xi)| = \Big|\frac 1 {(i\xi)^k}\int f^{(k)}(x)e^{-ix\xi}dx\Big|\leq \frac
{\|f^{(k)}\|_{L^1}}{|\xi|^k}.$$

(ii)
Soit $f_n$ une suite de fonctions $C^\infty$ et à support compact qui tendent vers
$f$ dans $L^1$%(proposition \ref{densiteCinfiniL1deomega}). On a, pour $n$
fixé assez grand:
$\|f_n -f\|_{L^1}\leq
\varepsilon$,
ce qui implique $|\hat f_n(\xi)-\hat f(\xi)|\leq \varepsilon$ pour tout $\xi$.
En utilisant (i), on voit que $|\hat f_n(\xi)|\to 0$ quand $n$ est fixé
et $|\xi|\to \infty$. Donc $|\hat f_n(\xi)|\leq \varepsilon$ pour $\xi $ assez grand.
Finalement,
$$|\hat f(\xi)| \leq |\hat f(\xi)-\hat f_n(\xi)| + |\hat f_n(\xi)|\leq 2\varepsilon$$
pour $\xi$ assez grand.
\end{proof}

La proposition suivante nous dit que la série de Fourier de $f$
converge vers $f(x)$ en tout point $x$ où $f$ est suffisamment régulière.

\begin{pro}[principe de localisation] \label{lemmedelocalisation}\index{Principe de localisation}
Si $f\in L^1([-\pi,\pi])$ et si la fonction $y\mapsto\dfrac {f(y)-f(x)}
{y-x}$ est intégrable sur un voisinage de $x$, alors
$\lim_{N\to \infty} s_Nf(x) = f(x), $ où on a
noté: $s_Nf(x):= \sum_{\vert n\vert \leq N} c_n(f)e^{inx}$.
\end{pro}
Expliquons pourquoi le résultat précédent s'appelle principe de
localisation.
Alors que $s_N(f)$ est le résultat d'un calcul intégral sur tout l'intervalle
$[-\pi,\pi]$, et donc d'un calcul global, le comportement de $s_Nf(x)$
dépend essentiellement des valeurs de $f$ au voisinage de $x$. Il y a donc
\og localisation\fg.

\begin{proof}\mbox{}
\vspace*{-.5\baselineskip}
\subsubsection*{Étape 1}
On se ramène au cas $f(x)=0$, $x=0$.
Supposons la proposition
démontrée pour $x=0$, $f(x)=0$. Soit maintenant
$g\in L^1([-\pi,\pi])$ telle que $\dfrac{g(y)-g(x)}{y-x}$ soit intégrable au
voisinage
de $x$. Alors on pose $f(y)= g(x+y)-g(x) $. On a bien $f(0)=0$ et
$\dfrac{f(y)}{y}=\dfrac {g(x+y)-g(x)}{y}$ est intégrable au voisinage de 0. Donc, par
hypothèse, $s_Nf(0)\to f(0)=0$. Mais
\begin{align*}
s_Nf(0)&=\sum_{|n|\leq N}c_n(g(x+y)-g(x))\\
&=\sum_{|n|\leq N}
\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(g(x+y)-g(x))e^{-iny}dy\\
&=\Big(\sum_{|n|\leq N}\frac 1
{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-in(z-x)}dz\Big) -g(x)\\&
=\Big(\sum_{|n|\leq N}
\frac 1 {2\pi}e^{inx}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-inz}dz\Big)-g(x)\\
&= s_Ng(x)-g(x).
\end{align*}
Donc $s_Ng(x)\to g(x)$.

\subsubsection*{Étape 2} On a
\begin{equation} \label{formeFourierRiemann}
s_Nf(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)
\frac{\sin (N+\sfrac{1}{2})y}{\sin\sfrac{y}{2}}dy.
\end{equation}
En effet, $\sum_{-N}^Ne^{iky}=\dfrac{\sin (N+\sfrac{1} {2})y}{\sin \sfrac{y}
{2}}$, ce qui se prouve aisément en sommant la suite géométrique.

\subsubsection*{Étape 3} Par l'étape 1 il suffit de montrer que si $f\in L^1([-\pi,\pi])$ et
si
$\sfrac{f(y)}{y}$ est
intégrable autour de 0, alors $s_Nf(0)\to 0$. Puisque $|\sin \sfrac y 2|\geq \sfrac{|y|} {\pi}$ sur $[-\pi,\pi]$,
on a
$$\Bmodule{\frac{f(y)} {\sin \sfrac y 2}}\leq \frac{\pi |f(y)|}{|y|}\in L^1([-\pi,\pi]).$$
Donc on peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue à la fonction
$\sfrac{f(y)}{\sin \sfrac{y}{2}}$. On conclut que l'intégrale de
(\ref{formeFourierRiemann}) définissant $s_Nf(0)$ tend vers 0 quand $N$ tend vers
l'infini.
\end{proof}

\begin{cor} \index{Base de Fourier} Le système
$$\Bigl( \frac{1}{(2\pi)^{\sfrac{1}{2}}}e^{ikt}\Bigr)_{k\in \ZZ}$$
est une base hilbertienne de $L^2([-\pi,\pi])$. Notant
$$c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}f(x)dx,$$ on a donc pour toute
$f$ dans
$L^2([-\pi,\pi])$,
$$ f(x) = \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la série précédente convergeant au sens $L^2$.
\end{cor}

\begin{proof}
On appelle polynôme trigonométrique toute expres\-sion de la forme
$P(t)=\sum_{n=-N}^N a_n e^{int},$ où les $a_k$ sont des nombres complexes.
Pour montrer que le système de Fourier est une base hilbertienne, il nous
suffit de montrer que c'est un système total, c'est-à-dire que les polynômes
trigonométriques forment un sous-espace vectoriel dense de $L^2([-\pi,\pi])$. Mais
le lemme \ref{lemmedelocalisation}
(principe de localisation) nous assure que si $f$ est (par exemple)~$C^2$ et $2\pi$\nobreakdash-périodique sur $\real$, alors $s_N(f)(x)\to f(x)$ en tout point. Comme de plus les
coef\-ficients de la série de Fourier de $f$ vérifient $|c_n(f)|\leq \sfrac
C{n^2}$, la série de Fourier est en fait uniformément convergente et donc
converge aussi dans $L^2([-\pi,\pi])$ vers $f$. Or, les fonctions~$C^2$ et
2$\pi$\nobreakdash-pério\-di\-ques forment un sous-espace dense de $L^2([-\pi,\pi])$.
En effet,
les fonctions~$C^\infty$
à support compact dans $[-\pi,\pi]$ sont denses dans $L^2([-\pi,\pi])$. On conclut
que le système de Fourier est total, et donc une base hilbertienne.
\end{proof}

\begin{cor} \index{Principe de localisation (pour une fonction höldérienne)}
Si $f\in L^1([-\pi,\pi])$ est höldérienne d'exposant
\hbox{$0\!<\!\alpha\!\leq\! 1$} en~$x$ (c'est-à-dire $\vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y
\vert^\alpha $), alors $s_Nf(x)\to f(x)$. Cette conclusion s'applique si $f$ est la primitive sur $[-\pi,\pi]$ d'une fonction de
$L^2([-\pi,\pi])$.
\end{cor}

\begin{proof}
L'application du principe de localisation est immédiate: on a $$\Bmodule{\frac
{f(y)-f(x)}{y-x}}\leq |x-y|^{\alpha -1}$$ qui
est bien intégrable au voisinage de $x$.
Soit maintenant $f$ une fonction qui est la primitive sur $[-\pi,\pi]$ d'une
fonction de
$L^2([-\pi,\pi])$.
En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz,
$$|f(x)-f(y)| = \bbmodule{\int_y^x f'(t)dt}
\leq |y-x|^{\sfrac{1}{2}}\left(\int_{-\pi}^{\pi} |f'(t)|^2dt\right)^{\sfrac{1}{2}}.$$
La fonction $f$ est donc höldérienne d'exposant $\sfrac{1}{2}$ et le principe de
localisation s'applique.
\end{proof}

\begin{rem}[importante] Le principe de localisation, quand il s'applique,
nous assure que les sommes {\rm symétriques}, $s_nf(x)= \sum_{\vert n\vert
\leq k} c_k(f)e^{ikx}$ de la série de Fourier convergent vers $f(x)$. Le fait
que le système de Fourier soit une base hilbertienne nous en dit plus, et
moins. En effet, si $f\in L^2([-\pi,\pi])$, on peut assurer que les sommes {\it
asymétriques},
$s_{m,n}f(x)= \sum_{-m\leq k\leq n}
c_k(f)e^{ikx}$ convergent dans $L^2$ vers $f$ quand $n,m\to +\infty$.
Mais, attention: cette convergence n'est pas nécessairement ponctuelle.
\end{rem}

\subsection{Convolution des fonctions périodiques et séries de\nobreakspace Fou\-rier}
La décomposition en série de Fourier d'une fonction $f\in L^2([-\pi,\pi])$
implique qu'on la considère comme une fonction $2\pi$-périodique, puisque la
série de Fourier l'est.
\begin{Defprop}\index{Convolution périodique}
Si $f\in L^1([-\pi,\pi])$ et $g\in L^1([-\pi,\pi])$, on prolonge $f$
et $g$ en des fonctions $2\pi $-périodiques sur $\real$ et on pose
$f \ast g(x)=\int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y)dy$. La fonction $f \ast g$ ainsi définie
appartient
à
$L^1([-\pi,\pi])$ et est
$2\pi$-périodique.
\end{Defprop}

\begin{thf}
Si $f, g \in L^2([-\pi,\pi])$, alors $f\ast g$ est continue et on a l'égalité
$c_n(f\ast g) = 2\pi c_n(f)c_n(g)$.
De plus, la série de Fourier de $f\ast g$ converge uniformément vers $f\ast
g$.
\end{thf}

\skpt
\begin{proof}

(i) On a par l'inégalité de Cauchy-Schwarz
$$|(f\ast g)(t)|\leq
\int|f(t-s)|\cdot |g(s)|ds\leq \|f\|_{L^2}\|g\|_{L^2}.$$
Donc $f\ast g\in L^2([-\pi,\pi])$ et on a, en
appliquant plusieurs fois le théorème de Fubini (les intégrales se font
sur $[-\pi,\pi]$ ou, indifféremment, sur n'importe quel intervalle de longueur
$2\pi$):
\begin{align*}
c_n(f\ast g)&=\frac 1{2\pi}\iint f(t-s)g(s)e^{-int}dsdt\\
&=\frac 1 {2\pi}\iint f(t-s)e^{-in(t-s)}g(s)e^{-ins}dsdt\\
&= \frac 1 {2\pi}\Big(\int g(s)e^{-ins}ds\Big)\Bigl(\int f(u)e^{-inu}du\Bigr)=2\pi c_n(f)c_n(g).
\end{align*}
Le terme général de la série de Fourier de $f\ast g$ vérifie
$$|c_n(f\ast g)e^{inx}|=2\pi |c_n(f)|\cdot |c_n(g)|\leq 2\pi(|c_n(f)|^2+|c_n(f)|^2).$$
Cette
dernière série est convergente. La série de Fourier de $f\ast g$ est donc
uniformément convergente. Sa limite est donc continue. Remarquer que si
$f_n\to f$ dans $L^2$ et si $f_n\to g$ presque partout, alors $f=g$ presque partout: c'est
une conséquence de la réciproque du théorème de Lebesgue.
\end{proof}

\skpt
\begin{cor}[autres bases de Fourier]
\begin{enumeratei}
\item
Les fonctions
$$\frac{1}{\sqrt T},\ \sqrt \frac{2}{T} \cos\bigl(\sfrac{2n\pi t}{T}\bigr),\
\sqrt \frac{2}{T} \sin(\sfrac{2n\pi t}{T}),\quad n=1, 2, \dots $$
forment une base hilbertienne de $L^2([0,T])$.

\item
Il en est de même pour les fonctions
$\sfrac{1}{\sqrt T}$, $\sqrt \sfrac{2}{T} \cos(\sfrac{n\pi t}{T})$, $n=1,
2, \dots $
La transformée associée à la base en cosinus s'appelle la \og transformée en cosinus\fg.

\item
Les fonctions $\sqrt\sfrac{2}{T}\sin(\sfrac{n\pi t}{T})$, $n=1, 2, \dots $ forment également une base hilbertienne de
$L^2([0,T])$ appelée \og base en sinus\fg.
\end{enumeratei}
\end{cor}

\skpt
\begin{proof}

(i) Cette première base résulte de l'application à la base de Fourier de la
remarque générale suivante. Si $(e_n)_{n\in \relative }$ est une base
hilbertienne, alors il en est de même du système
$$
f_0=e_0,\dots,\ f_{2n}=\frac{e_n+e_{-n}}{\sqrt
2},\ f_{2n+1}=\frac{e_n-e_{-n}}{\sqrt 2}, \dots
$$

(ii) Si $f\in L^2([0,T])$, on lui associe la fonction paire $\tilde f$ sur $[-T, T]$
qui coïncide avec $f$ sur $[0,T]$. On décompose $\tilde f$ sur la base de
Fourier de
$[-T,T]$. La base de Fourier sur $[-T, T]$ est formée des fonctions $\frac 1{\sqrt{2T}}e^{\sfrac{i\pi nt}{T}}$. Donc on a
$$\tilde f(x) =_{L^2} \sum_{n\in \relative}\frac 1 {2T}\Bigl(\int_{-T}^{T}\tilde
f(t)e^{-\sfrac{i\pi nt}{T}}dt\Bigr)e^{\sfrac{i\pi nx}{T}}.$$
Comme $\tilde f$ est paire, on voit en faisant le changement de variables $t\to -t$ dans les
intégrales que les coefficients de $e^{\sfrac{i\pi nt}{T}}$ et $e^{-\sfrac{i\pi nt}{T}}$ sont égaux. On remarque aussi que
$$\int_{-T}^T\tilde f(t)e^{\sfrac{i\pi nt}{T}}dt =2
\int_0^T f(t)\cos\bigl(\sfrac{\pi nt}T\bigr)dt.$$ Aussi,
\begin{multline*}
\tilde f(x) =_{L^2}\frac 1 {2T}\int_{-T}^T\tilde f(t)dt\\
+ \sum_{n\in\natural^*}\frac 1 {2T}\Bigl(\int_{-T}^{T}\tilde f(t)e^{-\sfrac{i\pi nt}{T}}\Bigr) (e^{\sfrac{i\pi nx}{T}}+e^{\sfrac{i\pi nx}{T}}),
\end{multline*}
et donc
$$ f(x) =_{L^2}\frac 1 {T}\int_{0}^T f(t)dt + \sum_{n\in
\natural}\frac 2 {T}\Bigl(\int_{0}^{T} f(t)\cos\bigl(\sfrac{\pi nt}T\bigr)\Bigr) \cos\bigl(\sfrac{\pi nx}T\bigr).$$
Comme les fonctions $\sfrac{1}{\sqrt T}$, $\sqrt{\sfrac 2 T}
\cos(\sfrac{\pi nx}T)$ forment un système orthonormé de
$L^2([0,T])$, l'égalité précédente exprime qu'elles forment en fait une base
hilbertienne.

(iii) Si on prolonge la fonction $f$ en une fonction
impaire sur $[-T, T]$ et que l'on reprend le raisonnement précédent, on trouve
la base en sinus. Cette base a la propriété, utile
pour modéliser les cordes vibrantes, que ses éléments valent $0$
aux extrémités de l'intervalle.
\end{proof}

\Subsection{ Décroissance des coefficients de Fourier et problèmes de compression du signal (sous forme d'exercice corrigé)}

(i) On pose $$\hat f(\xi) =
\int_{\real} f(x) e^{-i\xi x}dx.$$ Montrer que si $f$ est $k$ fois différentiable et
telle que $f^{(p)}\in L^1$ pour $p\leq k$, alors $|\hat f(\xi)|\leq \sfrac{C_k}
{|\xi|^k}$, $C_k$ constante à préciser.

\sm
(ii) On regardera
le comportement des coefficients de Fourier quand la $2\pi$-périodi\-sée de $f$
est $C^1, C^2,$ etc. Montrer que si $f$ est $C^1$ sur $[0, 2\pi]$ mais pas
$2\pi$-périodique, alors $c_n(f)=O(\sfrac 1 n)$. Estimer le reste de la série de
Fourier (en norme $L^2$).

\sm
(iii)
Même calcul pour les coefficients de Fourier $c_{k,l}$ d'une \og image\fg,
c'est-à-dire une fonction $f(x,y)$ définie sur un carré $[0, 2\pi]\times [0,2\pi]$, $C^1$, mais pas $2\pi\times 2\pi$-périodique.

\sm
(iv)
Mêmes calculs que dans les deux questions précédentes, mais en
considérant les coefficients de $f$ sur la base en cosinus,
$c_n(f) =\frac 1 \pi \int _0^{2\pi} \cos nx f(x) dx$. En déduire pourquoi la
technologie actuelle préfère la \og transformée en cosinus\fg pour coder les images
de télévision.

\skpt
\begin{proof}[Corrigé]

(i)
En intégrant par parties $k$ fois l'intégrale définissant $\hat f$, on
obtient pour $\xi \neq 0$,
$$|\hat f(\xi)| =\Bmodule{\frac 1 {(i\xi)^k}\hat{f^{(k)}}(\xi)}\leq \frac
{\|f^{(k)}\|_{L^1}}{|\xi|^k}.$$

(ii)
Si $f$ est $C^p$ et $2\pi$-périodique, en intégrant par parties $p$ fois sur
$[0, 2\pi]$, $$c_n(f) = \int e^{-inx}f(x)dx = \frac 1 {(in)^p} \int
e^{-inx}f^{(p)}(x)dx.$$
Donc, les coefficients décroissent d'autant plus vite que $f$ est plus
régulière.
Si maintenant $f$ présente un saut en 0, nous notons $f(0^+)$ la valeur en 0 par la
droite et $f(2\pi^-)$ la valeur en $2\pi$ par la gauche. En intégrant par parties une
fois,\vspace*{-3pt}
$$c_n(f) = \frac 1 {in}\int_0^{2\pi} e^{-inx}f'(x)dx +
\frac{f(0^+)-f(2\pi^-)}{in}.$$
Par le lemme de Riemann-Lebesgue appliqué à $f'$, le
premier terme est $o(\sfrac 1 n)$, ce qui prouve le résultat demandé. On sait que
$\sum_{n\geq N} \sfrac 1{n^2} = O(\sfrac 1 n)$. Donc la convergence de la série de
Fourier vers $f$ pour la norme $L^2$ est en $O(\sfrac 1 n)$, et donc très lente: 1000
termes pour une précision de $10^{-3}$.

\sm
(iii)
On obtient $c_{n, m} = O(\sfrac 1 {nm})$ et le reste (pour la norme $L^2$) de la
série double est donc en $O(\sfrac 1 {nm})$. Donc, pour
une précision de $10^3$,
il faut encore 1000 termes.

\sm
(iv)
On a en intégrant par parties et en remarquant que $\sin nx$ s'annule en 0 et
$2\pi$,\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$c_n(f) = \frac 1 {i\pi n}\int_0^{2\pi} \sin nx f'(x)dx.$$
Donc, par le lemme de Riemann-Lebesgue, $c_n(f) = o(\sfrac 1 n)$. Les coefficients de
Fourier \og en cosinus\fg décroissent donc plus vite qu'avec la transformée de Fourier
classique
et on peut donc en transmettre moins pour une qualité d'image égale. Pour
transmettre une image, on la découpe en petits carrés et on transmet une partie
des coefficients de Fourier de chaque imagette. On augmente ainsi la probabilité
qu'une imagette présente une couleur homogène et soit donc régulière.
L'utilisation de la transformée en cosinus permet donc de comprimer l'information dans
les sous-carrés de l'image où celle-ci est régulière. Par contre, les
calculs précédents prouvent qu'on ne gagne rien quand un \og bord\fg est présent
dans l'imagette. En effet, (on pourra expliciter le calcul pour une image blanche au
dessus de la diagonale et noire en dessous), un calcul du même type qu'au (5) implique
que les coefficients décroissent en $O(\sfrac 1 {nm})$. C'est ce qui explique les
phénomènes de \og halo\fg autour des objets sur un fond contrasté: le petit
nombre de coefficients transmis ne suffit pas à approcher bien l'imagette. Il y a
une autre raison à cela: comme nous verrons plus bas dans l'exercice sur le
phénomène de Gibbs, les bords présentent toujours des oscillations
résiduelles, quelque soit le nombre de coefficients transmis.
\end{proof}

\Subsection{Phénomène de Gibbs (sous forme d'exercice corrigé)}

Ce phénomène est observé à la sortie de tout système physique ou
numérique mesurant ou calculant une fonction $f$. Si la fonction~$f(t)$ ($t$~désignant par exemple le temps) \og saute\fg brusquement d'une valeur à une autre,
alors l'expérimentateur observe une série d'oscillations avant et après le
saut. Il se gardera bien de les interpréter comme faisant partie du signal. En
effet, le phénomène est dû au fait que les appareils de
mesure (et les programmes numériques sur ordinateur) \og tronquent\fg nécessairement
les hautes fréquences. Cela veut aussi dire que l'on n'observe jamais les fonctions
elles mêmes, mais des sommes partielles de leur série de Fourier. Et on observe
donc aussi les \og parasites\fg dûs à cette troncature en fréquence; en
particulier, le phénomène de Gibbs.
Du point de vue mathématique, on peut énoncer le phénomène comme suit:

\sm
\og Si une fonction $f$, par ailleurs régulière, présente un saut en un
point, alors les sommes partielles $s_Nf$ de sa série de Fourier accentuent ce saut
en le multipliant par un facteur qui ne dépend pas~de~$N$.\fg

\sm
En fait, l'accentuation
du saut n'est qu'une partie du phénomène et nous allons voir comment calculer le
détail des oscillations.

\sm
(i) Démontrer la formule\vspace*{-3pt}
$$\frac{1}{2}+\sum_1^n \cos(kx) - \frac 1 2 \cos(nx) = \frac{\sin(nx)}{2\tg\sfrac{x}{2}}.$$

(ii) On considère la fonction \og en dents de scie\fg
$s(x)$, $2\pi$-périodique et telle que $s(x)=\sfrac{(\pi-x)}{2}$ sur
$\lbrack 0, 2\pi\lbrack$. Tracer $s(x)$, montrer que\vspace*{-3pt}
$$s(x)\,\text{``$=$''}\,\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(kx)}{k}.$$ En quels sens cette
relation est-elle vraie ? (Utiliser les résultats des exercices
précédents). Dans la suite, on considère les sommes partielles de
cette série de Fourier, $s_n(x) := \sum_{k=1}^n \dfrac{\sin(kx)}{k}$.

\sm
(iii) Montrer la relation\vspace*{-3pt}
$$s_n(x)-\int_0^x \frac{\sin(nt)}{t}dt =
\int_0^x\left (\sin(nt)\bigl(\frac{\cotg (\sfrac{t}{2})}{2}-\frac{1}{t}\bigr)
+ \frac{\cos(nt)}{2}\right) -\frac{x}{2}.$$
En déduire que pour $\vert x\vert \leq 1$ et uniformément en $x$,
$$s_n(x) =
\int_0^x\frac{\sin(nt)}{t}dt -\frac{x}{2} + O(x,\sfrac{1}{n}).$$

(iv) Étudier les variations de la fonction
$G(a):= \dpl\int_0^a\frac{\sin(t)}{t}dt$ et en déduire que
$G(\pi)>G(+\infty)$.
Indications numériques que vous pouvez retrouver sur une calculette:
$$G(\pi) = 1,851,\; G(2\pi) = 1,428, \; \frac \pi 2 = 1, 57.$$

(v) Comment se comporte la suite $s_n(\sfrac{\pi}{n})$
quand $n\to\infty$ ? On rappelle que
$G(+\infty)=\sfrac{\pi}{2}$. En déduire que
$$\limsup_{n\to \infty,\; x\to 0^+} s_n(x) =(1+c) s(0^+); \quad
\liminf_{n\to \infty,\; x\to 0^+} s_n(x) =(1-c') s(0^+).$$
Estimer les constantes (positives) $c$ et $c'$.
Tracer sur un même graphe les fonctions $s_n(x)$ pour $n$ grand
et $s(x)$ en utilisant la formule $$s_n(x)= G(nx)-G(\infty)+s(x) + O(\sfrac 1 n).$$

\sm
(vi) Généraliser au cas d'une fonction $C^1$ sur
$[0, 2\pi]$, mais pas $2\pi$ périodique. (Soustraire à la fonction une fonction en
\og dents de scie\fg, de manière à la rendre lipschitzienne, et appliquer à la
différence le principe de localisation).

\skpt
\begin{proof}[Corrigé]

(i)
\begin{align*}
\frac 1 2 + \sum_1^n \cos nx &= \frac 1 2 \sum_{-n}^n e^{ikx} = \frac 1 2
e^{-inx}(\frac{e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1})\\
&=\frac12 \frac{e^{ix(n+\sfrac 1 2)}-e^{-ix(n+\sfrac 1 2)}}{e^{i\sfrac x 2}-e^{-i\sfrac x2}}\\
&= \frac{\sin nx\cos \sfrac x 2 + \sin
\sfrac x 2\cos nx}{2\sin \sfrac x 2}\\
&=\frac 1 2 \frac{\sin nx}{\tg\sfrac x 2} + \frac{\cos nx}{2}.
\end{align*}

(ii)
Comme $s \in L^2([0, 2\pi])$, on a
$s(x)=\sum_k c_k(s)e^{ikx}$, la convergence se vérifiant au sens de $L^2$ et, en
vertu du principe de localisation, en tout point de l'intervalle ouvert $]0, 2\pi[$.
On calcule les coefficients de Fourier $c_k(s)$.
$$c_k(s)=\frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi}\bigl(\frac{\pi -x} 2\bigr)e^{-ikx}dx=
-\frac 1{4\pi}\int_0^{2\pi}xe^{-ikx}dx=\frac 1 {2ik}$$
si $k\neq 0$, en intégrant par parties.
D'où
$$s(x)=\sum_{k\neq 0}\frac{e^{ikx}}{2ik} = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k}.$$

(iii)
Cette relation s'obtient en intégrant la relation du (i) entre 0 et~$x$ et en
soustrayant des deux cotés $\dpl\frac x 2 + \int_0^x\frac{\sin nt}tdt$.
On remarque que la fonction $\dpl\frac{\cos \sfrac t 2}{2\sin \sfrac t 2}-\frac 1 t$
est
$C^1$. En effet, en développant au voisinage de 0,
\begin{align*}
\frac{\cos \sfrac t 2}{2\sin \sfrac t 2}-
\frac 1 t &= \frac{t\cos \sfrac t 2 - 2\sin \sfrac t 2}{2t \sin \sfrac t 2}\\
&=\frac{t(1-\frac{t^2}8)-2(\frac t 2 -\frac{t^3}{48}) +o(t^3)}
{t^2-\frac{t^4}{24}+o(t^4)}=\frac{t^3(-\frac 1 8 + \frac 1 {24})+o(t^3)}
{t^2-\frac{t^4}{24}+o(t^4)}\\
&=-\frac t {12} +o(t).
\end{align*}
On peut donc intégrer par parties\vspace*{-3pt}
$$\dpl\int_0^x (\sin(nt)\bigl(\frac{\cotg (\sfrac{t}{2}\bigr)}{2}-\frac{1}{t})
+ \frac{\cos(nt)}{2},$$
et cette expression est donc majorée par $\sfrac C n$
pour une constante $C$ adéquate.

\sm
(iv)
La fonction $G(a)$ est croissante sur les intervalles pairs $[2k\pi, (2k+1)\pi]$ et
décroissante sur les intervalles impairs. On voit aisément que
$|G((n+1)\pi)-G(n\pi)|$ est une suite décroissante. Il en résulte que
la suite $G(2n\pi)$ est une suite croissante strictement, la suite $G((2n+1)\pi)$ une
suite strictement décroissante, et les deux convergent vers une valeur commune
notée $G(+\infty)$. On a donc $G(\pi)>G(+\infty)$.

\sm
(v)
On a\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{align*}
s_n(\sfrac{\pi} n) &=\int_0^{\sfrac{\pi} n} \frac{\sin nt}{t}dt
-\frac{\pi}{2n} + O(\sfrac 1 n)=\int_0^{\pi} \frac{\sin u}{u}du\\
&=G(\pi) > G(+\infty)=\frac{\pi} 2 = s(0^+),
\end{align*}
car $\dpl s(0^+)=\sfrac{\pi}{2}=\int_0^{+\infty}\frac{\sin u}{u}du$.
Donc pour tout $n$, il y a une valeur très proche de 0, en l'occurrence $\sfrac \pi n$,
telle que la somme partielle de la série de Fourier dépasse d'un facteur
constant $\sfrac{G(\pi)}{G(+\infty)}$ la valeur de la limite $s(0^+)$. Pour raisons de
symétrie, la même chose se produit en $0^-$ avec la suite $s_n(-\sfrac \pi n)$.
On remarquera l'existence d'oscillations plus amorties un peu plus loin de 0, elles
aussi prédictibles et observables:\vspace*{-3pt}
$$s_n(\sfrac{\pi}{2n}) = G(2\pi)+O(\sfrac 1 n)<G(+\infty) = s(0^+),$$
etc.

\sm
(vi) Généralisation au cas d'une fonction $f$, $C^1$ sur
$[0, 2\pi]$, mais pas $2\pi$ périodique: on soustrait à la fonction $f$ une fonction
en \og dents de scie\fg $\lambda s + \mu = \tilde s$, où $\lambda$ et $\mu$ ont été choisis
de manière
à la rendre lipschitzienne et on applique
à la différence $f-\tilde s$ le principe de localisation. Il y a donc convergence
uniforme de la série de Fourier de $f-\tilde s$ vers $f-\tilde s$, alors que la série de
Fourier de $\tilde s$ présente le phénomène de Gibbs. Le développement de Fourier
de $f$ présente donc aussi le phénomène de Gibbs.
\end{proof}

\section{Transformées de Fourier bi-dimensionnelle}
\subsection{Base de Fourier sur un carré }
Dans ce chapitre, on va d'abord généraliser les séries de Fourier à des fonctions
définies sur le carré
$[0,2\pi]^2$, puis à des fonctions périodiques sur un réseau de $\real^2$. Tous les
énoncés se généralisent sans changement de démonstration à la dimension $N$.
Nous traitons le cas $N=2$ pour éviter des indices de sommation inutiles.
On pose $x=(x_1,x_2)\in \real^2$, $k=(k_1, k_2) \in \real^2$ et on note $k\cdot x=
k_1x_1+k_2x_2$ leur produit scalaire.

\skpt
\begin{lem} \label{totalitedesseparables}
Les fonctions séparables, c'est-à-dire de la forme \hbox{$w(x) \!=\! u(x_1)v(x_2)$} avec $u, v\in L^2([0,2\pi])$, forment un système total de $L^2([0,2\pi]^2)$.
\end{lem}

\begin{proof}
Les fonctions caractéristiques de
rectangles sont séparables et elles forment un système total de $L^2([0,2\pi]^2)$.
\end{proof}

\begin{thf} \label{seriedeFouriersurlecarre}
Les fonctions $e_{k}(x)=\frac 1 {2\pi}e^{ik\cdot x}$, $k\in \relative^2$, forment une base
hilbertienne de $L^2([0,2\pi]^2)$ et on a donc pour toute fonction $u\in L^2([0,2\pi]^2),$
\begin{equation} \label{developpementenseriedeFourierdouble}
u= \sum_{k\in \relative^2} c_k(u)e^{ik\cdot x},\;
\hbox{avec } c_k(u) = \frac 1 {(2\pi)^2}\int_{[0,2\pi]^2} u(x)e^{-ik\cdot x}dx,
\end{equation}
la convergence de la série ayant lieu au sens de $L^2$.
\end{thf}

\begin{proof}
On vérifie facilement que $e_{k}$ est un système orthonormé. Pour montrer qu'il
est total, il suffit de montrer, par le lemme~\ref{totalitedesseparables}, que les
$e_{k}$ engendrent les fonctions séparables. Mais si $w(x)=u(x_1)v(x_2)\in
L^2([0,2\pi]^2)$ est une telle fonction, par une application directe du théorème
de Fubini, $u(x_1)$ et $v(x_2)$ sont dans $L^2([0,2\pi])$. Les fonctions $u$ et $v$
sont donc sommes au sens $L^2$ de leurs séries de Fourier:
\begin{align*}
u(x_1) &= \sum_{k_1\in \relative} c_{k_1}e^{ik_1 x_1}, \; \; c_{k_1}=\frac
1{2\pi}\int_{[0,2\pi]} u(x_1)e^{-ik_1x_1};\\
v(x_2) &= \sum_{k_2\in \relative} c_{k_2}e^{ik_2 x_2}, \; \; c_{k_2}=\frac
1{2\pi}\int_{[0,2\pi]} v(x_1)e^{-ik_2x_2}.
\end{align*}
En multipliant simplement les relations précédentes, on obtient une série double
convergente dans $L^2([0,2\pi]^2)$, ce qui donne
(\ref{developpementenseriedeFourierdouble}) dans le cas d'une fonction séparable $w(x)
=u(x_1)v(x_2)$ avec
$c_k(w)=c_{k_1}(u)c_{k_2}(v)$. Il en résulte que le système $(e_{k})_{k\in
\relative^2}$ est une base hilbertienne de $L^2([0,2\pi]^2)$ et
(\ref{developpementenseriedeFourierdouble}) est donc valide.
\end{proof}

\Subsection{Base de Fourier sur un réseau}

\begin{Def}
Un sous-ensemble $\Gamma$ de $\real^3$ est appelé un \emph{réseau} s'il existe une base
$(e_1, e_2)$ de $\real^2$ telle que les éléments de $\Gamma$ soient exactement les
vecteurs dont les composantes dans cette base sont entières:
$\gamma = x_1e_1+x_2 e_2, \; x_1, x_2 \in \relative$.
On dit alors que $(e_1, e_2)$ est une base du réseau $\Gamma$. On dit qu'une fonction
$f$ définie dans $\real^2$ est $\Gamma $-périodique si on a $f(x+\gamma)=f(x)$ pour
tout $\gamma$ dans $\Gamma$.
\end{Def}
\begin{rem}
Tout changement de base
\begin{equation}
\label{changementdebase}
\tilde e_1 = ae_1+ be_2, \; \tilde e_2 = ce_1 + de_2
\; \hbox{ avec }
|ad-bc| = 1, \; a, b, c, d\in \relative\end{equation}
est licite et nous donne une nouvelle base du réseau. Réciproquement, si $(\tilde e_1, \tilde e_2)\in \Gamma$ est une autre base du réseau, on est assuré de l'existence de $a, b, c, d\in \relative$ vérifiant
(\ref{changementdebase}), car la matrice de changement de base doit être inversible et
d'inverse à coefficients entiers, ce qui impose que son déterminant vaille $+1$ ou $-1$.
\end{rem}

\skpt
\begin{Defprop}
On considère l'ensemble $\Gamma^\star$ des $k= (k_1,
k_2)\in
\real^2$ tels que pour tout $\gamma\in \Gamma$, on ait
$$k\cdot \gamma \in 2\pi \relative.$$ Alors $\Gamma^\star$ est un réseau, appelé réseau
réciproque de $\Gamma$, et dont une base peut
être définie de la manière suivante: si
$(e_1, e_2)$ est une base de
$\Gamma$, on appelle base réciproque de
$(e_1, e_2)$ l'unique système
$(e_1^\star, e_2^\star)$ vérifiant
\begin{equation}
\label{relationsdereciprocite}
e_i\cdot e_j^\star =2\pi\delta_{ij}.
\end{equation}
Alors $(e_1^\star,
e_2^\star)$ engendre $\Gamma^\star$.
\end{Defprop}

\begin{proof}
Si $k\in \real^2$ appartient à $\Gamma^\star$, on note $(k_1, k_2) $ ses composantes dans
la base réciproque $(e_1^\star, e_2^\star)$ d'une base $(e_1, e_2)$ de $\Gamma$. On a,
en utilisant les relations de réciprocité (\ref{relationsdereciprocite}),
$(k, e_1)= 2\pi k_1$ et $(k, e_2)= 2\pi k_2$
et comme $k$ est dans $\Gamma^\star$, on en déduit que $k_1\in \relative$, $k_2\in
\relative$. Réciproquement, si $k$ est dans le réseau engendré par $(e_1^\star,
e_2^\star)$, on a $k= k_1e_1^\star + k_2e_2^\star$. Si $\gamma = x_1e_1 +x_2e_2\in \Gamma$,
on a par les relations de réciprocité (\ref{relationsdereciprocite}),
\[
k\cdot \gamma = 2\pi k_1x_1 + 2\pi k_2x_2\in 2\pi \relative.\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{cor}
Soit $\Gamma$ un réseau de $\real^2$ et $\Gamma^\star$ son réseau réciproque. Alors
la fonction de deux variables $x\to e^{ik\cdot x}$ est $\Gamma$-périodique si et seulement si
$k\in
\Gamma^\star$.
\end{cor}

\begin{proof}
Comme $e^{ik\cdot(x+\gamma)}= e^{ik\cdot x}e^{ik\cdot \gamma},$ la $\Gamma$-périodicité équivaut
à $e^{ik\cdot \gamma}=1$ pour tout $\gamma\in \Gamma$, soit $k\cdot \gamma \in 2\pi
\relative$, et donc à $k\in \Gamma^\star$.
\end{proof}

\begin{Def}[mailles d'un réseau]
Soit $\Gamma $ un réseau et $(e_j)$ une base de celui-ci. On appelle \emph{maille} de
$\Gamma$ pour la base $(e_j)$ un parallélépipède
\begin{equation} \label{definitiondemaille}
M = \bigl\{ \textstyle\sum_{j=1,2} x_je_j, \; a_j\leq x_j<a_j+1\bigr\},
\end{equation}
où les $a_j$ appartiennent à $\real$. Lorsque $\gamma $ parcourt $\Gamma$, les
translatés $M+\gamma$ de la maille $M$ sont deux à deux disjoints et recouvrent $\real^2$.
\end{Def}
\begin{thf}
Soient $M$ et $M'$ deux mailles d'un réseau $\Gamma$, relatives à deux bases $(e_1,e_2)$ et $(e'_1, e'_2)$. Alors, pour toute fonction localement sommable et $\Gamma$-périodique, les intégrales de $f$ sur $M$ et $M'$ sont égales. En particulier, $M$ et
$M'$ ont la même surface.
\end{thf}

\begin{proof}
Le second énoncé découle du premier en prenant \hbox{$f=1$}. Considérons les ensembles
$A_\gamma = M'\cap (M+\gamma)$. L'ensemble $M'$ étant borné, l'ensemble
$\Gamma_0\subset \Gamma$ constitué des $\gamma$ tels que $A_\gamma \neq \emptyset$ est
fini. Les $A_\gamma$ sont disjoints et recouvrent $M'$. Notons $B_\gamma$ le
translaté $A_\gamma -\gamma$. Les $B_\gamma$ sont contenus dans $M$. Montrons qu'ils
sont disjoints: si on avait $x\in B_\gamma\cap B_{\gamma'}$, on aurait dans une même
maille $M'$ deux points $x+\gamma$ et $x+\gamma'$ dont la différence est un vecteur du
réseau; cela est interdit par (\ref{definitiondemaille}). Montrons que la réunion
des $B_\gamma$ est $M$: si $x$ appartient à $M$, il appartient aussi, comme tout point
de $\real^2$, à un certain translaté $M'_{\gamma_0}$ de la maille $M'$ par un élément du réseau; cela signifie que $x+\gamma_0\in A_{\gamma_0}$ et donc que $x\in
B_{\gamma_0}$.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{mailleb}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
En conclusion, nous avons écrit $M'$ comme réunion disjointe d'un nombre fini
d'ensembles $A_\gamma$, $\gamma\in B_{\gamma_0}$ et $M$ comme réunion disjointe des
translatés $B_\gamma= A_\gamma -\gamma$. On a donc, pour $f$ localement sommable et
$\Gamma$-périodique,
\begin{align*}
\int_{M'} f(x)dx &= \sum_{\gamma\in \Gamma_{\gamma_0}}\int_{A_\gamma} f(x)dx=
\sum_{\gamma\in \Gamma_{\gamma_0}}\int_{B_\gamma} f(y+\gamma)dy\\
&=\sum_{\gamma\in \Gamma_{\gamma_0}}\int_{B_\gamma} f(y)dy=\int_M f(y)dy.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\begin{cor}\label{celluled'unreseau}
On appelle plus généralement {\rm cellule} de $\Gamma$ un sous-ensemble borné
$D$ de $\real^2$ tel que les translatés $D+\gamma, \gamma\in \Gamma$, soient deux à
deux disjoints et recouvrent $\real^2$. Alors l'intégrale sur
$D$ d'une fonction
$f$ localement sommable et $\Gamma$-périodique ne dépend pas de $D$ et est égale \a
l'intégrale de $f$ sur une maille du réseau.
\end{cor}

\begin{proof}
Il suffit de reprendre la démonstration précédente en remplaçant $M$ par $D$.
\end{proof}

\begin{thf} \label{seriedefouriersurunreseau}
Notons $L_\Gamma^2$ l'espace des fonctions localement de carré sommable et $\Gamma$-périodiques muni du produit scalaire
$$
(f,g) = \frac 1 S\int_M \overline{f(x)}g(x)dx,
$$
où $M$ est une cellule quelconque du réseau et $S$ sa surface. Alors $L_\Gamma^2$ est
un espace de Hilbert, et les fonctions $x\to e^{ik\cdot x}$, $k\in \Gamma^\star$ en constituent
une base hilbertienne. Toute fonction $f\in L^2_\gamma$ peut donc se décomposer d'une
manière unique sous la forme
$$f=\sum_{k\in \Gamma^\star}c_{k}(f) e^{ik\cdot x}, \hbox{ avec }
c_k(f) = \frac 1 S\int_M e^{-ik\cdot x}f(x)dx.$$
\end{thf}

\begin{proof}
L'espace $L^2_\Gamma$ est isométrique à $L^2(M)$ et est
donc un espace de Hilbert. Soit $(e_1, e_2)$ une base du réseau $\Gamma$ et choisissons la
maille
$$M=\{x_1e_1+x_2e_2,\;0\leq x_1, x_2\leq 1\}.$$ On considère l'isomorphisme
$I$ de
$L^2(M)$ dans
$L^2([0,1]^2)$ défini par
$If(x_1, x_2)= f(x_1e_1+x_2e_2)$. Comme toute fonction de $L^2([0,1]^2)$ est décomposable en série double de Fourier (théorème \ref{seriedeFouriersurlecarre}), on
peut écrire
$$If(x_1,x_2) = \sum_{k_1,k_2\in \relative} c_{k_1k_2} e^{2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}.$$
Posons $x=x_1e_1+x_2e_2$; on a donc
$$f(x) = \sum_{k_1,k_2\in \relative}c_{k_1k_2} e^{2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}.$$
En utilisant la définition de la base duale $(e_1^\star, e_2^\star),$ on a
$$
e_1^\star\cdot x = 2\pi x_1, \quad e_2^\star\cdot x = 2\pi x_2\quad\text{et}\quad k=k_1e_1^\star +k_2e_2^\star\in\Gamma^\star.$$
Donc
$$f(x) = \sum_{k_1,k_2\in \relative}c_{k_1k_2} e^{i(k_1e_1^\star + k_2e_2^\star)\cdot x}=
\sum_{k\in \Gamma^\star}c_{k}(f) e^{ik\cdot x}.$$
De plus (théorème \ref {seriedeFouriersurlecarre}),
$$c_k(f) = c_{k_1k_2}= \int_{[0,1]^2}f(x_1e_1+x_2e_2)e^{-2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}dx_1dx_2.$$
On fait le changement de variable $x=x_1e_1 +x_2e_2$, qui applique $[0,1]^2$ sur $M$ et
dont le jacobien est le rapport des aires, c'est-à-dire $S$. Donc, pour tout $k\in
\Gamma^\star$,
\[
c_k(f) = \int_{S}f(x)e^{-ik\cdot x}\frac{dx}S.\qedhere
\]
\end{proof}

On note $L^1_\Gamma$ l'ensemble des fonctions $\Gamma$-périodiques et localement intégrables.
\begin{Defprop}Soit $\Gamma$ un réseau de $\real^2$, $D$ une cellule du
réseau et
$u, v$ deux fonctions de $L^1_\Gamma$. On définit la convolée $\Gamma$-périodique de $u$ et $v$ par
\begin{equation}
\label{convolutionperiodiquesurreseau}
u\ast v(x) = \int_D u(x-y)v(y)dy.
\end{equation}
Alors $u\ast v$ ne dépend pas du choix de la cellule $D$ et appartient
aussi à $L^1_\Gamma$.
\end{Defprop}

\begin{proof}
C'est une conséquence immédiate du corollaire
\ref{celluled'unreseau}.
\end{proof}

\begin{pro}
La convolution $\Gamma$-périodique jouit des propriétés de la convolution sur
$\real^2$: commutativité, associativité. Si $f, g\in L^2_\Gamma$, alors
leur convolée est continue et $\Gamma$-périodique et on a
\begin{equation} \forall k \in \Gamma^\star, \;\;
c_k(f\ast g)= Sc_k (f)c_k(g).
\end{equation}
\end{pro}

\begin{proof}
Les démonstrations sont strictement les mêmes qu'en dimension 1 grâce au
théorème \ref{seriedefouriersurunreseau} et au corollaire \ref{celluled'unreseau}.
\end{proof}

\section {Mémento de théorie des Distributions}

\subsection {Définition des distributions}
On note ${\cal D}(\Omega)=C_0^\infty(\Omega)$ l'ensemble des fonctions
$C^\infty$ à support compact dans un ouvert~$\Omega$ de~$\real^n$.
Ces fonctions sont aussi appelées \og fonctions test\fg.
Si on pose $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_N)\in \natural^N$, on notera $|\alpha|=\alpha_1+\cdots
+\alpha_N$ et
$\partial^\alpha u$ la dérivée partielle
$$\partial^\alpha u =
\frac{\partial^{|\alpha|}u}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_N^{\alpha_N}}.
$$
On dira qu'une
suite $\varphi_n$ de ${\cal D}(\Omega)$ tend vers $\varphi \in {\cal D}
(\Omega)$ si
\begin{itemize}
\item
il existe pour
$n$ assez grand un compact $K$ de $\Omega$ tel que
$\supp(\varphi_n-\nobreak\varphi)\subset K$,
\item
$\lim_{n\to \infty} \partial^\alpha\varphi_n = \partial^\alpha \varphi$
uniformément sur $K$ pour tout multi-indice~$\alpha$.
\end{itemize}

On appelle espace des distributions, ${\cal D}'(\Omega)$ le dual de
${\cal D}(\Omega)$. Chaque
distribution est donc une forme linéaire sur ${\cal D}(\Omega)$
continue pour la notion de convergence introduite ci-dessus.
On note $\langle u,\varphi\rangle = u(\varphi)$. En d'autres termes,

\begin{Def}
Une forme
linéaire sur ${\cal D}(\Omega)$ est une distribution si et seulement
si
pour tout compact $K$ de $\Omega$ il existe un entier $p$ et une
constante $C$ tels que pour toute fonction
$\varphi\in {\cal D}(\Omega)$ à support dans $K$ on ait
$$\vert \langle u,\varphi\rangle \vert \leq C \sup_{\substack{x\in K\\ \vert \alpha \vert\leq p}} \vert \partial^\alpha \varphi (x)\vert.$$
Lorsque l'entier $p$ peut être choisi indépendamment de $K$, on dit
que la distribution est d'ordre fini, et la plus petite valeur de
$p$ possible est appelée l'ordre de $u$.
\end{Def}

On munit ${\cal D}'(\Omega)$ de la
topologie de la convergence simple, c'est-à-dire que $u_n$ tend
vers $u$ si et seulement si $\langle u_n, \varphi\rangle \to \langle u, \varphi\rangle $ pour
tout $\varphi\in {\cal D}(\Omega)$.
On admettra le théorème suivant, qui est une
conséquence du théorème de Banach-Steinhaus:

\sm
{\em Si une suite de distributions $u_n$ est telle que $\langle u_n, \varphi\rangle$ converge pour tout
$\varphi$ dans ${\cal D}(\Omega)$, alors $u_n$ tend vers une distribution $u$
telle que $\langle u,\varphi\rangle =\lim_{n\to \infty}\langle u_n, \varphi\rangle$.}

\Subsection {Exemples de distributions}

\subsubsection*{Fonctions de $L^1_{\loc}$} À $f\in L^1_{\loc}(\real^n)$ on
associe
$\tilde f$ définie par
$\langle \tilde f, \varphi\rangle = \int_{\real^n} f(x)\varphi(x)dx$.
\begin{itemize}
\item
Alors $\tilde f$ est une distribution.
\item
Si une suite de fonctions converge dans $L^1_{\loc}$, elle converge aussi au sens des distributions.
\end{itemize}

\subsubsection*{Masse de Dirac}
La \og masse de Dirac\fg définie par $\langle \delta_{x_0},\varphi\rangle =\varphi(x_0)$
est une distribution qui ne peut se mettre sous la forme $\tilde f$
avec $f\in L^1_{\loc}$.

\subsubsection*{Mesures de Radon}
On appelle \emph{mesure de Radon positive} toute forme linéaire positive
sur ${\cal D}(\Omega)$.
\begin{itemize}
\item
Une mesure de Radon positive est une distribution d'ordre 0 sur~$\Omega$.
\item
On appelle mesure de Radon toute différence de mesures de Radon positives.
\item
{\em Exemple}. Si $F$ est une fonction croissante
définie sur $\real$, sa dérivée au sens des distributions est une mesure
de Radon positive (voir plus bas la définition de dérivée au sens des
distributions).
\item
{\em Peignes de Dirac}.
Soit $\Gamma $ un réseau régulier de $\real^N$. On pose
$\Delta_\Gamma=\sum_{\gamma\in \Gamma} \delta_\gamma$. C'est une mesure de Radon sur
$\real^N$.
\end{itemize}

\Subsection{Opérations sur les distributions}

\subsubsection*{Translatée d'une distribution} On pose
$\langle \tau_hu,\varphi\rangle := \langle u,\tau_{-h}\varphi\rangle $, où
$\tau_h\varphi(x)=\varphi(x-h)$. C'est une distribution si $u$ en
est une.

\subsubsection*{Dilatée d'une distribution}
On appelle si $f$ est une fonction et $\lambda >0$, sa dilatée de $\lambda$: $f_\lambda(x)= f(\sfrac x\lambda)$. Si $u$ est une distribution sur $\real^N$, on définit sa dilatée par
$\langle u_\lambda, \varphi\rangle = |\lambda|^N\langle u, \varphi_{\sfrac 1 \lambda}\rangle $

\subsubsection*{Multiplication par une fonction $C^\infty$}
On pose, si $f\in C^\infty(\real^n)$ et $u\in {\cal D}'(\Omega)$,
$$\langle fu, \varphi\rangle =\langle u, f\varphi\rangle .$$ C'est une distribution.
\begin{itemize}
\item
On vérifie facilement que $f\delta_a=f(a)\delta_a$, et plus généralement,
$$f\Delta_\Gamma = \sum_{\gamma\in \Gamma} f(\gamma)\delta_\gamma.$$
\end{itemize}

\subsubsection*{Conjuguée complexe}
On pose $\langle \overline{u}, \varphi\rangle = \overline{\langle u, \overline{\varphi}\rangle }$.

\subsubsection*{On a toujours le droit de dériver une distribution}
Si $u$ est une distribution, $\partial ^\alpha u$,
définie par $\langle \partial^\alpha u, \varphi\rangle = (-1)^\alpha
\langle u,\partial^\alpha \varphi\rangle $ est aussi une distribution.
\begin{itemize}
\item
Alors l'ordre de $\partial^\alpha u$ est inférieur ou égal à l'ordre de $u$, s'il existe, augmenté de $|\alpha|$.
\item
Cette définition de la dérivée coïncide avec la définition
classique quand $u$ est une fonction $C^1$. On a donc toujours le droit de dériver une distribution !
\item
Si une suite de distributions converge ses dérivées convergent aussi.
\item
Inversement, si $f\in L^1_{\loc}(\real)$ est localement intégrable et
$F$ une primitive de $f$, alors $F'=f$, la dérivée étant entendue au sens des distributions.
\end{itemize}

On appelle \emph{fonction de Heaviside} $H(x) = 1$ si $x\geq 1$, 0 sinon. Alors~$H$ est une distribution et $H'=\delta_0$.

\subsubsection*{Dérivée de la masse de Dirac}
On a $x\delta'=-\delta$.

\subsubsection*{Discrétisation de la dérivation}
Si $u\in {\cal
D}'(\real)$, sa dérivée est la limite, pour $h\to 0$, des distributions
$h^{-1}(\tau_{-h}u-u)$.
%{Bony, 5.1.5}

\Subsection{Distributions à support compact}
\begin{Def} Soit $u\in {\cal D}'(\Omega)$ une distribution. On
considère le plus grand ouvert $\omega$ tel que la restriction de $u$ aux fonctions
test à support dans
$\omega$ soit nulle. Le complémentaire de cet ouvert est appelé le support de $u$ et
noté $\supp(u)$.
\end{Def}
On note ${\cal E}'(\Omega)$ l'espace des distributions dans $\Omega$ à support compact et
il est facile de déduire de la définition des distributions que toute
distribution à
support compact est d'ordre fini.
On peut alors étendre la dualité $C_0^\infty$-${\cal D}'$ en une dualité
$C^\infty$-${\cal E}'$, car on voit aisément que si $\varphi\in C^\infty$ et $\theta \in
C_0^\infty$ est une fonction égale à 1 sur un voisinage de $\supp(u)$, alors $\langle u, \theta
\varphi\rangle $ ne dépend pas de $\theta$. On peut donc définir $\langle u, \varphi\rangle =\langle u,
\theta\varphi\rangle $.

\subsection {Distributions tempérées}
On dit que $\varphi$ est dans la classe de Schwartz, $\cal S$, et on note $\varphi\in
{\cal S}(\real^N)$, si $\varphi\in C^\infty(\real^N)$ et si pour tout $n$ et tous
multi-indices $\alpha$ et $\beta$, on a $\vert x\vert^\beta \partial^\alpha \varphi(x) \to
0$ quand
$\vert x\vert \to +\infty$. On exprime aussi ces relations en disant que
$\varphi$ et toutes ses dérivées sont \og à décroissance
rapide\fg.
Il est équivalent de dire que les quantités
$$
{\cal N}_p(\varphi)=\sum_{\substack{\vert \alpha\vert\leq p\\ \vert \beta\vert\leq p}}\Vert x^\alpha\partial^\beta\varphi(x)\Vert_{L^\infty}
$$ sont finies pour
tout $p$. (Notation:
$$
\vert\alpha\vert = \alpha_1+\cdots +\alpha_n,\quad
x^\alpha = x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\quad\text{et}\quad\partial^\beta =
\dfrac{\partial^{\beta_1+\cdots +\beta_n}}{\partial x_1^{\beta_1}\cdots
\partial x_n^{\beta_n}}).
$$

On appelle
{\it distribution tempérée} toute forme linéaire continue sur~$\cal S$. Si
$u$ est une distribution tempérée, on note $u\in{\cal S}'(\real^n)$. D'une manière équivalente, $u$ est une distribution tempérée s'il existe des constantes
$C_p$ pour $p\in\natural$ telles que
\begin{equation} \label{definitiondistributiontemperee}
\forall \varphi \in {\cal S},\;
\vert\langle u,\varphi\rangle \vert \leq C{\cal N}_p(\varphi).
\end{equation}
On dit qu'une suite $u_n$ d'éléments de ${\cal S}'$ converge vers $u\in {\cal S}'$
si $\langle u_n, \varphi\rangle \to \langle u, \varphi\rangle $ quand $n\to \infty$. D'après le théorème
de Banach-Steinhaus, si $\langle u_n, \varphi\rangle $ converge pour tout $\varphi\in \cal S$, alors
il existe $u$ dans~${\cal S}'$ telle que $u_n\to u$.

On peut interpréter ${\cal S}'(\real^n)$ comme le dual de
${\cal S}(\real^n)$, l'inégalité précédente
exprimant que $u$ est continue par rapport à chacune des semi-normes
${\cal N}_p$ définies sur $\cal S$.

\Subsubsection{Propriétés des distributions tempérées, exemples (sous forme d'exercices)}

(1) Un contre-exemple: démontrer que pour tout $\varphi\in C_0^\infty$
et pour tout entier $p$, il existe une constante $C$ telle que
${\cal N}_p(\tau_a\varphi) \leq C(1+\vert a\vert^p)$. En déduire que la
fonction $e^x$ n'appartient pas à ${\cal S}'(\real)$.

\sm
(2) Peignes de Dirac dans ${\cal S}'$: démontrer que $u=\sum_{-\infty}^{\infty}
a_k\delta_k$ appartient
à
${\cal S}'(\real)$ si et seulement si la suite $a_k$ est à croissance
lente, \ie $\exists C$, $\exists N$, $\vert a_k\vert \leq
C(1+\vert k\vert^N)$.

\sm
(3) Généralisation: à quelle condition a-t-on $\sum a_k\delta_k^{(n_k)}\in {\cal S}'$ ?

\sm
(4) Soit $(a_k)\in \real$. Démontrer que $a_k\delta_k \to 0$ dans ${\cal
D}'(\real)$ mais que la convergence ne se vérifie dans ${\cal S}'(\real)$
que si $(a_k)$ est à croissance lente.

\sm
(5) Montrer que la fonction $x\to e^x(\cos(e^x)+i\sin(e^x))$ appartient à
${\cal S}'(\real)$. Pour cela, on calculera une primitive. Comparer avec
le résultat du (1).

\sm
(6) Démontrer que si une fonction est \og à croissance lente\fg, \ie il existe
$k>0$ et $C$ tels que
$|f(x)|\leq C(1+|x|^k)$, alors $f$ est une distribution tempérée.

\sm
(7) Démontrer que toute fonction de $L^1$, de $L^p$, $p\geq 1$ est une distribution tempérée, ainsi que toute distribution à support compact.

\sm
(8) Démontrer que si $f_n(x)$ est une suite de fonctions qui tend simplement vers
$f(x)$
et s'il existe $C$ et $p$ tels que $f_n(x)\leq C(1+|x|)^p$, alors $f_n\to f$ dans
${\cal S}'$.

\begin{Def} On dit qu'une fonction $f$ est dans ${\cal O}(\real^N)$ si elle est à
croissance lente ainsi que toutes ses dérivées, c'est-à-dire:
$$
\forall \alpha, \;\exists C,\;\exists m\quad |\partial^\alpha f(x)|\leq C(1+|x|)^m.
$$
\end{Def}
Démontrer que si $f\in {\cal O}$, alors pour tout $\varphi \in \cal S$,
$f\varphi\in \cal S$; pour tout $u\in {\cal S}'$, $fu\in {\cal S}'$. Si de plus
$u_n\to u$ dans ${\cal S}'$, alors $fu_n\to fu$ dans ${\cal S}'$.

\Subsection{Transformée de Fourier}

\begin{Def}
Soit $f\in L^1(\real^N)$. Par
$f(x) \leftrightarrow \hat f(\xi)$, ou par $\hat f(\xi) = {\cal F}(f)(\xi)$ on entend
que $\hat f(\xi)$ est la transformée de Fourier de $f(x)$:
$$\hat f(\xi) := \int_{\real ^N}f(x)e^{-ix\cdot\xi}dx.$$
Alors $\hat f(\xi)$ est une fonction continue tendant vers $0$ à l'infini.
\end{Def}

\Subsubsection {Transformée de Fourier des fonctions de ${\cal S}$ (par l'exercice)}
Nous allons montrer
toutes les propriétés formelles de la transformée de Fourier sur un espace de
fonctions très régulières, de manière à ne jamais nous préoccuper
des questions de sommabilité, dérivation sous le signe somme, etc.
On rappelle que
$f\in {\cal S}(\real^N)$, si $f\in C^\infty(\real^N)$ et si
pour tout $n$ et tous multi-indices $\alpha$, $\beta$ on a
$\vert x\vert^\beta \partial^\alpha f(x) \to 0$ quand
$\vert x\vert \to +\infty$. Il est équivalent de dire que pour tout $p$ les
semi-normes
$${\cal N}(f)=\sum_{|\alpha|\leq p,\; |\beta|\leq p}\|x^\alpha\partial^\beta
f(x)\|_{L^\infty}$$
sont finies pour tout entier naturel $p$.

\begin{thf} Si $f\in {\cal S}$, alors $\hat f \in {\cal S}$.
\end{thf}
Exemple canonique: la gaussienne, qui est un \og point fixe\fg pour la transformée de
Fourier.

\begin{proof}
On remarque que si $f$ est dans $\cal S$, elle appartient à~$L^1$ et
il en est de
même pour toutes ses dérivées et pour le produit de $f$ par n'importe
quel polynôme.
Les transformées de Fourier de toutes ces fonctions sont donc
continues et tendent vers zéro à l'infini. En utilisant la relation
\begin{equation}
\label{deriverFourier}
\partial ^\alpha\hat f= {\cal F}((-ix)^\alpha f(x)),
\end{equation}
obtenue en appliquant le théorème de
dérivation sous le signe somme, on en déduit que $\hat f$ est $C^\infty$. Pour
montrer que $\hat f$ est à décroissance rapide, on intègre par parties
$|\alpha|$ fois l'intégrale définissant $\hat f$ et on obtient
\begin{equation}
\hat{\partial^\alpha f}(\xi)=(i\xi)^\alpha \hat f(\xi).
\label{Fourierdederivee}
\end{equation}
Comme $\hat f$ et
$\hat{\partial^\alpha f}$ sont continues et bornées, on en déduit que $|\hat
f(\xi)|\leq
\sfrac C {1 + |\xi|^k}$ pour tout $k\in \natural$ et donc que $\hat f$ est à
décroissance rapide. Faut-il recommencer le raisonnement pour les dérivées
successives de~$\hat f$ ? Certainement pas: on utilise le fait que les dérivées
de~$\hat f$ sont les transformées de Fourier des fonctions $(-ix)^\alpha f(x)$ qui sont
elles-mêmes à décroissance rapide. Le résultat que nous avons montré
pour~$\hat f$ s'applique donc à toutes ses dérivées.
\end{proof}

\begin{cor} Il
existe des constantes $C'_p$ telles que
\begin{equation}
{\cal N}_p(\hat f)\leq C'_p{\cal N}_{p+N+1}(f).
\label{continuitedeFouriersurS}
\end{equation}
\end{cor}

\begin{proof}
On vérifie que si $|\alpha|\leq p$, $|\beta| \leq p$, alors
$$\Bigl\Vert\Bigl(1+\sum_{i=1,\dots,N}x_i^{N+1}\Bigr)x^\alpha\partial^\beta f(x)\Bigr\Vert_{L^\infty}\leq {\cal
N}_{p+N+1}(f)$$
et qu'en conséquence
\begin{equation}
\label{majorationL1}
\|x^\alpha\partial^\beta f(x)\|_{L^1}\leq {\cal N}_{p+N+1}(f)\int\frac
1{1+\sum_{i=1,\dots,N}|x_i|^{N+1}}\,dx
\end{equation}
qui est une intégrale finie.

\sm
$\bullet$ On déduit alors des formules (\ref{Fourierdederivee}) et
(\ref{deriverFourier}) que
\begin{equation}
\label{magnifique}
{\cal F}(\partial^\alpha(x^\beta f))(\xi)=(i)^{\alpha+\beta}
\xi^\alpha\partial^\beta\hat f(\xi).
\end{equation}
Cette formule magnifique, qui résume tout, est très facile à retenir.

\sm
$\bullet$ On conclut qu'il existe une constante $C'_p$ telle que
\begin{equation}
{\cal N}_p(\hat f)\leq \sum_{|\alpha\leq p,\; |\beta|\leq p}
\|\partial^\alpha(x^\beta f)\|_{L^1}\leq C'_p\sum_{|\alpha\leq p,\; |\beta|\leq p}
\|x^{\alpha '}\partial^{\beta '}f\|_{L^1}.
\end{equation}
(Utiliser l'estimation (\ref{majorationL1})).
\end{proof}

\begin{pro}[transformée de Fourier de la gaussienne]
\par La gaussienne $g(x)=e^{-a|x|^2}$ appartient à $\cal S$ et
$e^{-a\vert x\vert^2}\leftrightarrow
(\sfrac{\pi}{a})^{\sfrac{n}{2}}e^{-\sfrac{\vert \xi\vert ^2}{4a}}$.
\end{pro}

\begin{proof}
On commence par poser, en dimension 1, $g(\xi)=\int e^{-ix\xi}e^{-x^2}dx$
et on montre que $2g'(\xi)+\xi g(\xi)=0$, de sorte que $g(\xi) =
\sqrt\pi e^{-\sfrac{\xi^2}{4}}$. On rappelle que $\int_{\real}
e^{-x^2}dx=\sqrt \pi$, ce qui se démontre facilement en prenant le
carré de cette intégrale, le considérant par Fubini comme une
intégrale sur $\real^2$ que l'on calcule en coordonnées polaires.
Pour passer en dimension $n$, il suffit de remarquer que la gaussienne
est séparable, \ie $e^{-|x|^2}=e^{-x_1^2}e^{-x_2^2}\cdots e^{-x_n^2}$, de sorte
que son intégrale de Fourier est également séparable. On applique alors
$n$ fois la formule en dimension 1.
\end{proof}

Dans la suite on notera $$\overline{\cal F}(f) (\xi) = \int_{\real^N}\hat
f(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi.$$
Cette notation est commode pour exprimer la formule d'inversion de Fourier.
\begin{pro}[formule d'inversion de Fourier]
Si $f$ est dans la classe de Schwartz, alors
$$f(x) =\frac{1}{(2\pi)^N} \int_{\real^N}\hat f(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi.$$
En d'autres termes,
$$f(x) = \frac{1}{(2\pi)^N}{\cal F}(\hat f(-\xi))(x),$$
ou bien
$$f = \frac{1}{(2\pi)^N}\overline{\cal F}(\hat f),$$
c'est-à-dire encore
$$\overline{\cal F}{\cal F} = (2\pi)^N \mathrm{Id}.$$
\end{pro}

\begin{proof}
Pour prouver la formule d'inversion précédente, on pose
$$f_a(x) =
\frac{1}{(2\pi)^N} \int e^{-a|\xi|^2}\hat f(\xi)e^{ix\cdot\xi}
d\xi.$$
On remarque que par le théorème de Lebesgue, $f_a(x)$ tend vers
$$\frac{1}{(2\pi)^N} \int_{\real^N}\hat f(\xi)e^{ix\cdot\xi}d\xi=\frac{1}{(2\pi)^N}{\cal
F}(\hat f(-\xi))(x).$$ Il suffit donc pour conclure de montrer que $f_a (x)\to f(x)$
simplement quand $a \to 0$.

On a
$$f_a (x) =
\frac{1}{(2\pi)^N} \int e^{-a|\xi|^2}\Bigl(\int f(y)e^{-iy\cdot\xi}dy\Bigr)d\xi.
$$
On utilise le théorème de Fubini et la formule donnant la transformée de
Fourier de la gaussienne pour obtenir:
$$f_a(x)=\int f(y)\frac{e^{-\sfrac{|y|^2}{4a}}}{(4\pi a)^{\sfrac N 2}}dy.$$
La gaussienne sous l'intégrale précédente est d'intégrale 1 et tend
vers la masse de Dirac quand $a\to 0$. On déduit que $f_a(x)\to f(x)$, ce qui
achève la démonstration.
\end{proof}

\begin{pro}[transformée de Fourier et convolution]\label{TFetconvolution}
Si $f$ et $g$ appartiennent à $L^1(\real^N)$, alors la convolée $f\ast g $ aussi et on
a $${\cal F}(f\ast g) = \hat{f}\hat {g}.$$
\end{pro}
\begin{proof} C'est une application directe du théorème de Fubini.
\end{proof}

\skpt
\begin{pro}[formule de Parseval]
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\overline{g}(x)dx =
\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\overline{\hat
g}(\xi)d\xi.$$
\end{pro}

\begin{proof}
En appliquant la proposition \ref {TFetconvolution}, on a
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y) dy =
\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\hat
g(\xi)e^{ix\xi}d\xi,$$ puis par de faciles ajustements, la formule de Parseval.
\end{proof}

\begin{cor}[transformée de Fourier dans $L^2(\real ^n)$]
Grâce à la formule de Parseval, qui exprime que la transformée de Fourier conserve
la norme $L^2$, la transformée de Fourier peut-être prolongée de manière
unique de
${\cal S}(\real^n)$
à
$L^2(\real^n)$ et elle est donc un isomorphisme de $L^2$.
\end{cor}

\section {Transformée de Fourier des distributions tempérées}
On définit la transformée de Fourier $\hat u$ d'une distribution tempérée~$u$ par
$$\forall \varphi \in {\cal S}(\real^N), \quad \langle \hat u, \varphi\rangle = \langle u, \hat
\varphi\rangle .$$

\begin{thf} Si $u$ est une distribution tempérée, alors $\hat u$ est une
distribution tempérée.
\end{thf}

\begin{proof}
On rappelle (\ref{continuitedeFouriersurS}) que si
$f\in
\cal S$, on a
\begin{equation}
{\cal N}_p(\hat f)\leq C'_p{\cal N}_{p+N+1}(f).
\end{equation}
Donc pour tout $\varphi$ dans $\cal S$ et pour tout $p\in \natural$, on obtient en
utilisant la définition des distributions tempérées
(\ref{definitiondistributiontemperee}) et (\ref{continuitedeFouriersurS})
$$ |\langle \hat u, \varphi\rangle |=|\langle u, \hat \varphi\rangle |\leq C_p{\cal N}_p(\hat\varphi)
\leq C_pC'_p{\cal N}_{p+N+1}(\varphi),$$
ce qui prouve que $\hat u$ est une distribution tempérée.
\end{proof}

\Subsection{Formulaire sur la transformée de Fourier dans la classe de Schwartz}
\begin{itemize}
\item
Gaussienne: ${\cal F}(e^{-a|x|^2})=(\sfrac \pi a)^{\sfrac
N2}e^{-\sfrac{|\xi|^2}{4a}}$.

\item
Séparation des variables: ${\cal F}(f_1(x_1)\!\cdots\! f_N(x_N))\!=\!\hat
f_1(\xi_1)\!\cdots\! \hat f_N(\xi_N)$.

\item
Convolution-produit: $f\ast g \leftrightarrow \hat f\cdot\hat
g$.

\item
Produit-convolution: $f\cdot g \leftrightarrow (2\pi)^{-N}\hat f\ast\hat g$.

\item
Formule d'inversion: $\overline{\cal F}(\hat f) = (2\pi)^Nf$, soit
aussi
$$f(x) = \frac{1}{(2\pi)^N}{\cal F}(\hat f(-\xi))(x).$$

\item
Si $f$ est réelle et paire, $\hat f(\xi)$ est
réelle et $\dpl\hat f(\xi) \!=\! 2\!\int_0^{+\infty}\hspace*{-5mm}f(x)\cos (\xi x) dx$.

\item
Si $f$ est réelle et impaire, $\hat f(\xi)$ est
imaginaire et
\[
\dpl\hat f(\xi) = -2i\int_0^{+\infty}f(x)\sin (\xi x) dx.
\]

\item
Conjuguées: $\overline{f}(x) \leftrightarrow
\overline{\hat f}(-\xi)$

\item
Changement d'échelle:
$f(ax) \leftrightarrow \frac{1}{\vert a\vert^N}\hat f(\sfrac{\xi}{a})$. Autre forme:
$${\cal F}(f(ax))(\xi)= \frac{1}{a^N} {\hat f(\sfrac \xi a)}.$$

\item
\og Shift\fg: $f(x-a)\leftrightarrow e^{-ia\xi}\hat
f(\xi)$, $e^{iax}f(x)\leftrightarrow \hat f(\xi -a)$.

\item
\og Modulation\fg: $f(x)\cos(\xi_0x)\leftrightarrow \dfrac
{1}{2}\left (\hat f(\xi+\xi_0) + \hat f(\xi -\xi_0)\right)$.

\item
Dérivées: $(-ix)^nf(x)\leftrightarrow \hat
f^{(n)}(\xi)$, $f^{(n)}(x) \leftrightarrow (i\xi)^n\hat f(\xi)$.

\item
Théorème des moments: on appelle \og moment d'ordre
$n$\fg de $f$ la quantité $m_n = \int _{-\infty}^{+\infty}x^nf(x)dx$. Alors $\hat
f^{(n)}(0)=(-i)^nm_n$.

\item
Régularité et décroissance à l'infini:
Si $f$ est à support compact, $\hat f$ est $C^\infty$.

\item
Le \og sinus cardinal\fg:
\begin{equation} \label{sinuscardinal}(N=1)\qquad\qquad\indic_{[-\sfrac T 2,\sfrac T 2]}\leftrightarrow 2\frac{\sin
T\xi}{
\xi}.
\end{equation}
\end{itemize}

\begin{pro}[principe d'incertitude]
Soit $f$ une fonction telle que $f$, $xf$ et $\xi \hat f$ soient dans $L^2(\real)$.
On note
\begin{align*}
\sigma_f^2&=\int x^2|f(x)|^2dx \quad\hbox {(dispersion d'énergie en temps)}\\
\sigma_{\hat f}^2 &= \int \xi^2|\hat f(\xi)|^2d\xi \quad\hbox {(dispersion d'énergie en fréquence)}\\
E_f &= \int |f(x)|^2dx \quad\hbox{(énergie de $f$)}.
\end{align*}
Alors
$$\sigma_f\sigma_{\hat f} \geq \frac{E_f}{4\pi}.$$
\end{pro}
Une version moins précise, mais qualitativement importante du principe d'incertitude est
la suivante:

\begin{pro}
Il n'existe pas de fonction $f\neq 0$ dans $L^1(\real^N)$ telle que $\hat f$
et
$f$ soient simultanément à support compact.
\end{pro}

\begin{proof}
Si par exemple $f$ est à support compact, on pose pour $\xi \in \real^N$ fixé et
pour $z\in \complex$,
$$g(z)=\int_K e^{-iz\xi\cdot x}f(x)dx.$$
On vérifie aisément que $g$ est une fonction holomorphe sur $\complex$: on peut dériver sous le signe somme, puisque $K$ est compact. Si
$z\in \real,$ on a $g(z) = \hat f(z\xi)$. Si $\hat f$ a un support compact, $g(z)$
est identiquement nulle sur un intervalle de $\real$. Mais ceci implique par le principe
du prolongement analytique que $g(z)$ est identiquement nulle. Donc $\hat f(\xi)=g(1)
=0$ et donc $\hat f$ est identiquement nulle.
\end{proof}

\Subsection {Formulaire sur la transformée de Fourier des distributions tempérées}
Sauf mention contraire, $u$ et $v$ désignent dans la suite des distributions tempérées.
Si $u\in \cal S$ et $\varphi \in S$, $\langle \hat u, \varphi\rangle =\langle u, \hat\varphi\rangle $.
\begin{align*}
\hat 1 &= (2\pi)^N\delta&\hat \delta &= 1\\
{\cal F}(e^{ia\cdot x}) &= (2\pi)^N\delta_a&{\cal F}(\delta_a) &= e^{-ia\cdot\xi}\\
{\cal F}(\partial^\alpha \delta) &= i^{\vert \alpha\vert}\xi^\alpha&{\cal F}(x^\alpha) &= (2\pi)^Ni^{\vert\alpha\vert}\partial^\alpha\delta\\ \\
{\cal F}(\tau_a u) &= e^{-ia\cdot\xi}{\cal F}(u)&{\cal F}(e^{ia\cdot x}u)&=\tau_a \hat u\\
{\cal F}(u(\sfrac x\lambda))(\xi)&=|\lambda|^N\hat u(\xi)&\overline{{\cal F}}(\hat u)&=(2\pi)^Nf\\
{\cal F}(\partial^\alpha u)&=i^{|\alpha|}\xi^\alpha \hat u&
{\cal F}(x^\alpha u) &= i^{|\alpha|}\partial^\alpha(\hat u).
\end{align*}

Si $u\in {\cal E}'(\real^N)$, alors $\hat u\in {\cal O}_M$ (espace des
fonctions $C^\infty$ à croissance lente ainsi que toutes leurs dérivées.)

\Subsection{Convolution des distributions}
\begin{thdef} Soient $u\in {\cal E}'$ et $\varphi \in C_0^\infty$. Leur
produit de convolution est défini en chaque point par
$$(u\ast \varphi)(x) = \langle u(y), \varphi(x-y)\rangle .$$
La fonction $u\ast \varphi$ appartient à $C_0^\infty$ et on a
$$\partial^\alpha(u\ast \varphi) = u\ast (\partial^\alpha \varphi) = (\partial^\alpha
u)\ast \varphi,$$
$$\supp (u\ast \varphi) \subset \supp (u) +\supp (v).$$
De plus, si $\psi \in C_0^\infty$, on a
$$(u\ast \varphi)\ast \psi = u\ast (\varphi\ast \psi).$$
On a des résultats analogues si $u\in {\cal S}'$ et $\varphi \in {\cal S}$.
\end{thdef}
Cette définition de la convolution s'étend successivement par des prolongements
continus de la convolution ou par dualité aux cas où
\begin{itemize}
\item
$u\in {\cal D}' $ et $\varphi \in C^\infty$, à condition que l'une des
deux soit à support compact (plus généralement, si les supports sont convolutifs).
\item
$u$ et $v$ sont dans ${\cal E}'$. Alors $u\ast v$ est dans ${\cal E}'$
et on a $\supp (u\ast \varphi) \subset \supp (u) +\supp (v)$.
\item
$u$ et $v$ sont dans ${\cal D}'$ et leurs supports sont convolutifs (par
exemple, l'un des supports est compact). On a alors $u\ast v= v\ast u$.
\end{itemize}
Enfin, diverses extensions du produit de convolution sont possibles grâce au résultat
de prolongement par continuité suivant:
\begin{pro} Soit $u\in {\cal E}'$ et $v\in {\cal D}'$. Si $u_n$ tend vers $u$ et $v_n$
tend vers $v$ au sens des distributions et si le support des $u_j$ est contenu dans un
compact fixe, alors
$$\lim_{n\to +\infty} u_n\ast v_n = u\ast v.$$
\end{pro}
L'interaction entre transformée de Fourier dans ${\cal S}'$ et convolution dans ${\cal
S}'$ généralise le cadre fonctionnel, comme le montrent les deux propriétés d'échange de la convolution et de la multiplication qui suivent.
\begin{pro}
Si $u\in {\cal E}'$ et $v\in {\cal S}'$, alors $u\ast v \in {\cal S}'$ et $\hat u \in
{\cal O}_M$ et de plus
$${\cal F}(u\ast v) = {\cal F}(u) {\cal F}(v).$$
\end{pro}

\begin{pro} \label{produitenconvolutionparFourier}
Si $u\in {\cal S}'$ et $\varphi \in {\cal O}_M$ est telle que $\hat \varphi \in
{\cal E}'$, alors
$${\cal F}(\varphi u) = (2\pi)^{-N}\hat \varphi \ast \hat u.$$
\end{pro}

\section[Distributions périodiques sur un réseau]{Distributions périodiques sur un réseau et leurs séries de~Fourier}
\begin{Def}[rappel]
Si $\gamma\in \real^2$, on note $\tau_\gamma u$ et on appelle $\gamma$-translatée de $u$
la fonction $\tau_\gamma u(x)= u(x-\gamma)$. Si $u$ est une distribution sur
$\real^2$, on pose pour toute fonction test $\varphi \in C_0^\infty(\real^2)$,
$$\langle \tau_\gamma u, \varphi\rangle =\langle u, \tau_{-\gamma}\varphi\rangle .$$
\end{Def}
\begin{rem}
Cette définition est compatible avec celle de la translatée
d'une fonction quand
$u$ est une fonction de $L^1_{\loc}$, car alors $$\int u(x-\gamma)\varphi(x)dx=\int
u(y)\varphi(y+\gamma)dy.$$
\end{rem}
\begin{Def}\index{Distribution périodique sur un réseau}
On se donne un réseau $\Gamma$ de $\real^2$. On dit qu'une distribution $u$ est
$\Gamma$-périodique si ses translatées $\tau_\gamma u$ sont égales à $u$
pour tout $\gamma$ dans $\Gamma$.
\end{Def}
Commençons par définir et étudier comme premier exemple les périodisées de
fonctions de la classe de Schwartz. On remarque qu'une telle périodisée
$\sum_{\gamma\in \Gamma}\varphi(x+\gamma)$ est $C^\infty$ et $\Gamma$-périodique.

\Subsection{Fonctions périodiques, périodisation}
\begin{pro}\label{decroissancerapidedescoefficients} \index{Décroissance rapide (de coefficients de Fourier)} Soit
$f$ une fonction
$\Gamma$-périodique et de classe
$C^\infty$.
Alors la suite de ses coefficients de Fourier sur le réseau $k\in \Gamma^\star$,
$\dpl c_k(f)=\frac 1{S}\int_M f(x)e^{ik\cdot x}dx$ est
à décroissance rapide, c'est-à-dire que l'on a
\begin{equation} \label{estimationdescoefficientsdeFouriersurunreseau}
|c_k(f)|\leq C_N(1+|k|)^{-N}
\end{equation}
pour
tout
$N$ et la différence
$$f-\sum_{k\in \Gamma^\star,\; |k|\leq n}c_k(f)e^{ik\cdot x}$$ tend vers $0$ uniformément ainsi
que chacune de ses dérivées lorsque~$n$ tend vers $+\infty$.
\end{pro}

\begin{proof}
On peut exprimer les coefficients de Fourier $c_k(f)$ sur une
maille $M$, c'est-à-dire le parallélogramme engendré par une base du réseau $(e_1,e_2)$.
On pose alors $x= x_1e_1 + x_2 e_2$, ce qui définit un isomorphisme affine
$h(x_2,x_2)=x_1e_1+x_2e_2$ de
$[0,1]^2$ sur la maille~$M$. On a évidemment $\hbox{dét}(h)=S$. On pose de même
$k=k_1e_1^\star+k_2e_2^\star$, où~$k_1$ et~$k_2$ sont les coordonnées de $k$ sur la base duale $(e_1^\star, e_2^\star)$.
Cela donne $k\cdot x=2\pi(k_1x_1+k_2x_2)$.
On a donc
\begin{multline} \label{coefficientsdeFourierramenesareseaucarre}
c_k(f) = \frac 1 S \int_M f(x)e^{-ik\cdot x}dx\\
=\int_0^1\int_0^1 f(x_1e_1+x_2e_2)e^{-2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}dx_1dx_2.
\end{multline}
La fonction $(x_1,x_2)\mapsto f(x_1e_1+x_2e_2)$ est évidemment $\relative^2$-périodique.
En intégrant (\ref{coefficientsdeFourierramenesareseaucarre}) par parties
$2N$ fois par rapport
à
$x_1$ et en utilisant la $(1,0)$ périodicité de l'intégrand, on obtient
une estimation de la forme
$|c_k(f)|\leq C'_N(1+|k_1|)^{-2N}$. On a de même en intégrant par parties par rapport
à la deuxième variable $x_2$,
$|c_k(f)|\leq C''_N(1+|k_2|)^{-2N}$. En multipliant ces deux estimations, on déduit
aisément une relation du type (\ref{estimationdescoefficientsdeFouriersurunreseau}).
Grâce
à cette estimation, la série double $\sum_k c_k(f)e^{ik\cdot x}$ et toutes ses
dérivées terme à terme sont uniformément convergentes. On peut donc
intervertir sommation et dérivation.
\end{proof}

Les fonctions test $\varphi$ dont la périodisée est égale à 1 vont nous être
particulièrement utiles.

\begin{Defprop}[partition périodique de l'unité] Il existe $\chi\in C_0^\infty(\real^2)$ telle que
\begin{equation} \label{partitiondeluniteperiodique}
\sum_{\gamma\in \Gamma}\chi(x+\gamma)= 1.
\end{equation}
On dit que $\chi $ définit une partition $\Gamma$-périodique de l'unité.
\end{Defprop}

\begin{proof}
Soit $M$ une maille du réseau $\Gamma$. Il suffit de
prendre
$\phi
\in C_0^\infty$ positive ou nulle partout et strictement positive sur $\overline{M}$, puis
de poser
$$\chi(x) =
\frac{\phi(x)}{\sum_{\gamma\in \Gamma}\varphi(x+\gamma)}.$$
Comme le support de $\varphi$ est compact, la somme au dénominateur est une somme finie
pour chaque $x$.
\end{proof}

\begin{lem} \label{proprietesdelaperiodiseeenFourier} Soit $\varphi\in C_0^\infty$ une
fonction test et
$\tilde
\varphi(x)=\sum_{\gamma\in \Gamma}\varphi(x)$ sa $\Gamma$-périodisée.
Alors le développement en série de Fourier de $\tilde \varphi$ peut s'écrire sous
la forme
\begin{equation} \tilde \varphi(x) =\sum_{k\in\Gamma^\star}c_k(\tilde \varphi)e^{ik\cdot x}
\hbox{ avec } c_k(\tilde \varphi)=\frac 1S\int_{\real^2} \varphi(x)e^{-ik\cdot x}dx.
\end{equation}
\end{lem}

\begin{proof}
Les coefficients de Fourier de $\tilde \varphi$ sont
\begin{align*}
c_k(\tilde \varphi)&=\frac 1S \int_M\tilde \varphi(x)e^{-ik\cdot x}dx=
\frac1S\int_M\sum_{\gamma\in\Gamma}\varphi(x+\gamma)e^{-ik\cdot(x+\gamma)}dx\\ 
&=\frac 1 S\sum_{\gamma\in\Gamma}\int_{M+\gamma}\varphi(x)e^{-ik\cdot x}dx=\frac 1S \int_{\real^2} \varphi(x)e^{-ik\cdot x}dx.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\begin{cor} \index{Fonctions tests pour Fourier}\label{fonctiontestfourier}
Soit $\Gamma^\star$ un réseau de $\real^2$, dual d'un réseau $\Gamma$. Alors
pour tout $k_0\in\Gamma^\star$, il existe une fonction
$\varphi\in C_0^\infty$ telle que
\begin{equation} \label{orthogonalitegeneralisee}
\forall k\in \Gamma^\star,\;
\int_{\real^2}
\varphi(x)e^{ik\cdot x}dx=\delta_{k,k_0}.
\end{equation}
\end{cor}

\begin{proof}
Il suffit de prendre $\varphi(x)= \chi(x)e^{-ik_0\cdot x}$, où $\chi(x)$ définit une
partition de l'unité.
On a alors $\tilde \varphi(x)=e^{-ik_0\cdot x}$. On applique à~$\tilde \varphi$ le lemme
\ref{proprietesdelaperiodiseeenFourier}. Par unicité des coefficients de Fourier
de $\tilde \varphi$, on obtient (\ref{orthogonalitegeneralisee}).
\end{proof}

Soit $u$ une distribution $\Gamma$-périodique. Il serait logique de définir ses
coefficients en série de Fourier en \og restreignant\fg $u$ à une maille $M$ du réseau.
Mais une telle restriction pose problème, comme le montre l'exemple du peigne de Dirac
$\sum_{n\in \relative}\delta_n$. Pour contourner la difficulté, on considère
une fonction test
$\chi$ définissant une partition de l'unité $\Gamma$-périodique. On peut alors écrire
$$u = \sum_{\gamma\in \Gamma}\chi(x-\gamma)u,$$
ce qui prouve immédiatement que $u$ est la périodisée d'une distribution à support
compact,
\begin{equation} \label{decompositionendistributionscompactes}
u=\sum_{\gamma\in
\Gamma}\tau_{\gamma}(\chi u).
\end{equation}

\Subsection{Caractérisation des distributions périodiques par leur série de Fourier}
Nous allons maintenant examiner la possibilité de définir les
distributions
$\Gamma$-périodiques comme sommes de séries de Fourier.

\begin{pro}\index{Croissance lente (suite à)}
\label{coefficientsdeFourieracroissancelente} Soit $(c_k)_{k\in \Gamma^\star}$ une suite
indexée par un réseau $\Gamma^\star $ et à croissance lente, c'est-à-dire
vérifiant pour au moins une valeur de $M\in
\natural$ une inégalité du type
$$\forall k \in \Gamma^\star,\; |c_k|\leq C(1+|k|)^M.$$
Alors la série
\begin{equation} \label{seriedeFouriersurunreseau}\sum_{k\in \Gamma^\star} c_k e^{ik\cdot x}
\end{equation}
converge au sens des distributions et définit une distribution
$\Gamma$-périodique. \end{pro}

\begin{proof}
La convergence au sens des distributions de la série $\sum_{k\in \Gamma^\star} c_k
e^{ik\cdot x}$
équivaut à la convergence de la série
numérique $\sum_{k\in \Gamma^\star} c_k \langle e^{ik\cdot x}, \varphi\rangle$ pour tout $\varphi\in C_0^\infty(\real^2)$.
En utilisant le même changement de variable que dans la preuve de la Définition-proposi\-tion~\ref{decroissancerapidedescoefficients}, on a
$$\langle e^{ik\cdot x}, \varphi\rangle = S\int_{\real^2}
\varphi(x_1e_1+x_2e_2)e^{2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}dx_1dx_2.$$
En intégrant $m$ fois par parties et en tenant compte du fait que $\varphi$
est
à support compact, on obtient donc
$$|\langle e^{ik\cdot x}, \varphi\rangle |\leq \frac{C'_m}{(1+|k|)^m}$$
pour tout $m\in \natural$.
En choisissant (e.g.) $m= M+4$, on obtient donc
$$\sum_{k\in \Gamma^\star} |c_k \langle e^{ik\cdot x}, \varphi\rangle |\leq CC'_{M+4}\sum_{k\in
\Gamma^\star}\frac{1+|k|^M}{1+|k|^{M+4}}.$$
Cette série double est convergente car elle est majorée par
une série double séparable du type $C\sum_{k_1,k_2} \sfrac 1{k_1^2k_2^2}$.
Les sommes finies de la série (\ref{seriedeFouriersurunreseau}) étant $\Gamma$-périodiques, il en est de même de sa limite au sens des distributions.
\end{proof}

La proposition \ref{coefficientsdeFourieracroissancelente} nous permet de construire des
distributions pério\-di\-ques comme sommes de séries de Fourier. Montrons maintenant que les
coefficients de Fourier d'une telle distribution sont uniques.

\begin{thf}[unicité des coefficients de Fourier] \label{unicitedescoefficientsdefourier}
Soit $\Gamma^\star$ un réseau de $\real^2$. Si
$(c_{k})_{k\in \Gamma^\star}$ est une suite
à croissance lente telle que l'on ait
$u=\sum_{k\in \Gamma^\star} c_{k} e^{ik\cdot x}=0$ au sens des distributions, alors $\forall
k,
c_{k}=0$.
\end {thf}

\begin{proof}
Pour tout $\varphi\in C_0^\infty$,
$$\Big\langle \sum_k c_{k}e^{ik\cdot x}, \varphi\Big\rangle =\sum_k c_{k}\langle e^{ik\cdot x},
\varphi\rangle = \sum_k c_{k}\int_{\real^2} \varphi(x)e^{ik\cdot x}.$$
Le théorème résulte alors immédiatement en choisissant $\varphi$ comme indiqué
dans le Corollaire
\ref{fonctiontestfourier}.
\end{proof}

\begin{pro} Si $u$ est une distribution $\Gamma$-périodique, on définit ses
coefficients de Fourier $c_k(u)$, $k\in \Gamma^\star$ par
\begin{equation} \label{coefficientsdeFourierd'unedistributionperiodique}
c_k(u) = \frac 1 S\langle u, \chi e^{-ik\cdot x}\rangle
\end{equation}
où $\chi$ est une partition de l'unité $\Gamma$-périodique. Alors $c_k(u), \; k\in
\Gamma^\star$ est
à croissance lente, ne dépend que de
$u$ et l'on a
\begin{equation} \label{developpementdeFourierd'unedistributionperiodique}
u=\sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)e^{ik\cdot x}.
\end{equation}
\end{pro}

\begin{proof}
Soit $K$ le support de $\chi$. Par définition d'une distribution, il existe une
constante $C$ et un entier $p$ tels que
$$|\langle u, \chi e^{-ik\cdot x}\rangle |\leq \sum_{|\alpha|\leq p}\|\partial^\alpha
(\chi(x)e^{-ikx})\|_{L^\infty},$$ où $\partial^\alpha=\dfrac
{\partial^{|\alpha|}}{\partial^{\alpha_1} x_1\partial^{\alpha_2}x_2}$ désigne une dérivée partielle d'ordre total
$|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2$. En développant les dérivées par la formule de Leibniz,
on voit qu'il existe une constante
$C$ telle que
$$|\langle u, \chi e^{-ik\cdot x}\rangle |\leq C (1+ |k|^p).$$ La suite
$c_k(u) = \langle u, \chi e^{-ik\cdot x}\rangle $ est donc à croissance lente et on a le droit de parler de
la distribution
$$u_1 = \sum_{k\in\Gamma^\star} c_k(u) e^{ik\cdot x}.$$

Il nous reste à montrer que $u_1$ et $u$ sont égales, ce que l'on vérifie en
considérant une fonction test $\varphi\in C_0^\infty$. Notons comme usuel $\tilde
\varphi$ la
$\Gamma$\nobreakdash-pé\-rio\-disée de $\varphi$, $\tilde
\varphi(x)=\sum_{\gamma\in \Gamma}\varphi(x)$ et rappelons que par le lemme~\ref{proprietesdelaperiodiseeenFourier},
\begin{equation} \tilde \varphi(x) =\sum_{k\in\Gamma^\star}c_k(\tilde \varphi)e^{ik\cdot x}
\hbox{ avec } c_k(\tilde \varphi)=\frac 1S\int_{\real^2} \varphi(x)e^{-ik\cdot x}dx.
\end{equation}
On remarque aussi que les coefficients de Fourier $c_k(\tilde \varphi)$ sont à décroissance rapide par la proposition \ref{decroissancerapidedescoefficients}.

On a d'une part
\begin{align*}
\langle u, \varphi\rangle &= \Big\langle \sum_{\gamma\in\Gamma} \tau_\gamma (\chi u), \varphi\Big\rangle =
\langle \chi u, \sum_{\gamma\in \Gamma} \tau_{-\gamma} \varphi \rangle \\
&=\langle \chi u, \tilde \varphi\rangle =\langle \chi u, \sum_{k\in \Gamma^\star} c_k(\tilde\varphi) e^{ik\cdot x}\rangle\\
&=\sum_{k\in \Gamma^\star} c_{-k}(\tilde \varphi)\langle \chi u, e^{-ik\cdot x}\rangle =S\sum_{k\in \Gamma^\star} c_{-k}(\tilde \varphi)c_{k}(u).
\end{align*}
Par ailleurs, on a
\begin{align*}
\langle u_1, \varphi\rangle = \Big\langle \sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u) e^{ik\cdot x}, \varphi\Big\rangle &=
\sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)\langle e^{ik\cdot x}, \varphi\rangle\\
&=S\sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)c_{-k}(\tilde \varphi).
\end{align*}
Les deux distributions $u$ et $u_1$ sont donc bien égales.
\end{proof}

\subsection{Conclusion}
On peut énoncer les résultats de cette section de manière très condensée en
disant:

\sm
(1) Toute distribution $u$ $\Gamma$-périodique est la somme d'une série de
Fourier dont les coefficients $c_k(u)$ sont à croissance lente,
$$ u= \sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)e^{ik\cdot x}.$$
Réciproquement, toute série de Fourier à coefficients à croissance lente est une
distribution $\Gamma$-périodique.

\sm
(2) Les coefficients de Fourier de $u$ se calculent avec une quelconque fonction $\chi$
donnant lieu à une partition de l'unité $\Gamma$-périodique
($\sum_{\gamma\in\Gamma}\chi(x+\gamma)=1$) par la formule
$$
c_k(u) = \frac 1 S\langle u, \chi e^{-ik\cdot x}\rangle
$$

(3) La dualité entre distributions périodiques $u$ et fonctions tests $\varphi\in
C_0^\infty$ s'exprime grâce aux coefficients de Fourier de $u$ et de la périodisée
$\tilde
\varphi$ par
$$\langle u_1, \varphi\rangle =
S\sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)c_{-k}(\tilde \varphi).
$$

(4) Cette dernière formule traduit donc la dualité distributions périodiques-fonc\-tions test en une dualité entre suites indexées par $\Gamma^\star$ à
croissance lente et suites à décroissance rapide.

\subsection{La formule de Poisson}
Comme application immédiate (et une des plus importantes), on va calculer la
transformée de Fourier d'un \og peigne de Dirac\fg $u=\sum_{\gamma\in \Gamma}\delta_\gamma$
sur un réseau $\Gamma$.
Par les formules
(\ref{coefficientsdeFourierd'unedistributionperiodique},
\ref{developpementdeFourierd'unedistributionperiodique}) on a
$$ u=\sum_{k\in
\Gamma^\star}c_k(u)e^{ik\cdot x}.$$
avec
$$
c_k(u) = \frac 1 S\langle u, \chi e^{-ik\cdot x}\rangle = \frac
1S\sum_{\gamma\in\Gamma}\chi(\gamma)e^{-ik\cdot \gamma} = \frac
1S\sum_{\gamma\in\Gamma}\chi(\gamma)=\frac 1S,
$$
où $\chi$ est une partition de l'unité $\Gamma$-périodique.
Donc
$$u=\frac 1S\sum_{k\in \Gamma^\star}e^{ik\cdot x}.$$
On vient de montrer la \emph{formule de Poisson,}
\begin{equation} \label{FormuledePoisson}
\sum_{\gamma\in\Gamma}\delta_\gamma = \frac 1S\sum_{k\in \Gamma^\star}e^{ik\cdot x}
\end{equation}
Il est bon de donner une version en dimension 1 où les échelles en jeu apparaissent:
soit $T>0$ un \og pas d'échantillonnage\fg, alors
\begin{equation} \label{formuledePoissonendimension1}
\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty} \delta_{kT}=\frac 1T \sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}
e^{i\frac{2\pi p}Tx},
\end{equation}
formule où l'on a pris comme réseau primal $\Gamma = T\relative$. Le réseau dual est alors $\Gamma^\star = \frac{2\pi}T \relative$.
Si on applique cette dernière formule à une fonction test $\varphi\in C_0^\infty$, on
obtient la formule de Poisson proprement dite,
\begin{equation} \label{formuledePoissonproprementdite}
\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\varphi(kT) = \frac 1
{T}\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}\hat{\varphi}\bigl(\sfrac{2p\pi}T\bigr)
\end{equation}

On va encore donner une autre forme à la formule de Poisson, qui sera utile pour la théorie de l'échantillonnage (théorie de Shannon). On commence par remarquer que le
peigne de Dirac $\Pi_\Gamma=\sum_{\gamma\in\Gamma}\delta_\gamma$ est une distribution
tempérée et que la série double converge dans ${\cal S}'$. On a donc en appliquant
la transformation de Fourier des distributions tempérées,
$$\hat{\Pi_\Gamma} = \sum_{\gamma\in
\Gamma}\hat{\delta_\gamma}=\sum_{\gamma\in \Gamma}e^{-i\gamma\cdot x}.$$
On utilise alors la formule de Poisson \eqref{FormuledePoisson}, en échangeant les rôles (symétriques) de $\Gamma$ et $\Gamma^\star$. Cela donne
$$\hat{\Pi_\Gamma} = S^\star \sum_{k\in \Gamma^\star}\delta_k,$$
où $S^\star$ est la surface de la maille du réseau dual. Il est facile de voir que
$SS^\star = (2\pi)^2$. On obtient donc la formule de base de la cristallographie selon
laquelle \og la transformée de Fourier d'un réseau est le réseau dual\fg, et plus précisément
\begin{equation} \label{Formuledelacristallographie}
\hat{\Pi_\Gamma} =
\frac{(2\pi)^2}{S}\Pi_{\Gamma^\star}=S^\star
\Pi_{\Gamma^\star}.
\end{equation}

\subsection{Théorie de Shannon pour les images}
On va d'abord se placer dans un cadre idéal, continu et infini. On choisit un point
focal et un plan ne contenant pas ce point. Dans ce plan, on délimite une
région qui est l'ouverture (en général un disque). En tout point de cette
ouverture, on compte les photons passant par le plan et se dirigeant vers le
point focal. On peut imaginer l'image idéale résultante~$O$, que l'on appellera \og paysage\fg et il sera commode de s'y référer pour toutes les
opérations effectuées par les appareils optiques artificiels ou naturels. Les
dispositifs physiques sont en effet un peu plus complexes. Le flux de photons passe d'abord
par plusieurs ouvertures généralement circulaires. Ces ouvertures peuvent
être le diaphragme d'un appareil photographique, l'orifice d'un télescope ou d'un
zoom, la pupille de l'\oe{}il. Dans le dispositif le plus primitif, la \og chambre noire\fg
({\it camera oscura}) connue dès l'antiquité, la lumière passe directement par un
trou dans une paroi mince et se projette directement sur le mur en face, ce qui est le cas
le plus simple: dans ce cas, point focal (qui n'est pas un point) et ouverture sont
simplement confondus. Pour réaliser une focalisation meilleure, une lentille
concentre les photons et les fait se projeter sur un plan focal rapproché.
Supposons, pour
éviter les problèmes de profondeur de champ, que les trajectoires des photons soient
parallèles (cas d'un télescope: point focal et ouverture sont éloignés). Alors
les différents
éléments du dispositif optique agissent sur le \og paysage\fg comme des convolutions. Enfin,
dernier point
à ne pas négliger, les photons sont comptés au moment de l'impact par des capteurs
tapissant la rétine ou le plan focal. Dans la rétine humaine, ces capteurs forment un
réseau hexagonal en nid d'abeille. La plupart des capteurs CCD sont approximativement
carrés et disposés en matrice. Dans tous les cas, on peut modéliser l'opération
d'échantillonnage comme un décompte des photons effectué par chaque capteur dans un
temps donné (le \og temps d'obturation\fg pour un appareil photographique). Cette opération d'échantillonnage comporte deux étapes du point de vue mathématique: la convolution du
champ photonique par une fonction $g(x)$ représentant la fonction porte du capteur, puis
l'attribution de cette valeur au centre du capteur. On supposera que ces centres forment un
réseau de $\real^2$, ce qui est vrai si les capteurs forment un pavage régulier du plan.

On notera (toutes les fonctions et distributions considérées sont définies sur $\real^2$):
\begin{itemize}
\item
$O$, le paysage initial conçu comme un décompte d'énergie
lumineuse au point $x$ dans un plan perpendiculaire à l'axe de l'appareil optique. Comme
l'ouverture de l'appareil optique a une surface \hbox{finie}, ce décompte s'effectue dans
une région du plan compacte (un~disque ou un rectangle en général). On note
$x\in
\real^2$ les points de ce plan. {\it A~priori}, $O$ est donc une fonction intégrable dans
un modèle infinitésimal ou une mesure de Radon a support compact si on adopte un
modèle quantique de compte-photons, modèle justifié avec les \hbox{capteurs} biologiques
ou digitaux.
\item
$h(x)$ le noyau de convolution obtenu en multipliant les différents
noyaux (y compris celui du capteur). En fait,
$h=h_{\rm detect}\ast h_{\rm opt}\ast h_{\rm fil\acute{e}}$, où le premier noyau est
la fonction caractéristique du détecteur, le second la convolution due à la lentille,
et le troisième est le flou de mouvement ou de \og filé \fg du capteur lui-même,
dû au fait que capteur lui-même bouge dans l'intervalle de temps d'acquisition de
l'image (le temps d'ouverture du diaphragme dans un appareil photographique classique). On appelle
$h$ la \og réponse impulsionnelle\fg de l'appareil et~$\hat h$ sa
\og fonction de transfert de modulation\fg ou \og FTM\fg. Il est à noter que $\hat h $ est à
support compact, car ${\hat{h}}_{\rm opt}$ l'est et que $\hat h =
{\hat{h}}_{\rm detect}{\hat{h}}_{\rm opt}{\hat{h}}_{\rm fil\acute{e}}$.
\item
$\Gamma $, le réseau d'échantillonnage et son peigne de Dirac
$\Pi_\Gamma=\sum_{\gamma\in \Gamma} \delta_\gamma$
\item
Le réseau effectif de capteurs se modélise comme
$F_{n,m}\Pi_\Gamma$, où $F_{n,m}$ est la fonction caractéristique d'un parallélogramme adapté au réseau $\Gamma$: si $e_1$ et $e_2$ forment une base du réseau,
les capteurs effectifs ont leurs centres dans un parallélogramme
discret $$P=\{ke_1+le_2,\ 1\leq k\leq n,\ 1\leq l\leq m\}.$$
On peut, et cela sera utile pour donner un sens aux expressions qui
suivent, supposer que $F_{n,m}$ est dans $C_0^\infty$, car on peut trouver une telle
fonction satisfaisant $F_{n,m}=1$ dans $P$ et $F_{n,m}(k)=0$ aux autres points du réseau
$\Gamma$.
\end{itemize}

On peut donc modéliser l'image digitale résultante par
\begin{equation}
\label{EquationImageDigitale}
u = (h\ast O)\cdot\Pi_\Gamma\cdot F_{n,m}
\end{equation}
$O$ est une mesure de Radon à support compact et on doit supposer une régularité
suffisante pour $h$ afin que le produit de convolution avec $h$ soit défini et
continu. En fait, $\hat h$ est continue et à support compact, donc intégrable et de
carré intégrable. On en déduit que
$h$ appartient
à
${\cal O}_M$, est donc $C^\infty$, appartient aussi à $L^2(\real^2)$ et tend vers 0 \a
l'infini. Donc $h\ast O$ est une fonction $C^\infty$ tendant vers zéro à l'infini;
elle est également dans $L^2(\real^2)$.
La théorie de Shannon-Whittaker va nous permettre d'étudier dans quelle mesure l'image
convolée
$h\ast O$ peut être recouvrée à partir de ses échantillons $(h\ast
O)\cdot\Pi_\Gamma\cdot F_{n,m}$. On commence par appliquer la transformation de Fourier des
distributions tempérées à la relation (\ref{EquationImageDigitale})

\begin{lem} \label{lemmedeShannon}
On suppose que le paysage initial $O$ est une mesure de
Radon à support compact et que la FTM $\hat h$ est continue à support compact.\vspace*{-3pt}
Alors
\begin{equation} \label{periodisationduspectreparechantillonnage}
\hat u = S^\star(\hat h \hat{O})\ast (2\pi)^{-N}\Pi_{\Gamma^\star}\ast
(2\pi)^{-N}\hat{F_{n,m}}
\end{equation}
\end{lem}

\begin{proof}
Vérifions que le second membre de cette relation a un sens.
$O$ est une mesure de Radon à support compact. Donc $\hat{O}$ est une fonction
$C^\infty$. Par ailleurs $\hat h$ est par hypothèse une fonction continue à support
compact. Le produit
$\hat h \hat{O}$ est donc une fonction continue à support compact. Sa
convolée avec le peigne de Dirac $\Pi_{\Gamma^\star}$ est donc aussi une fonction
continue et bornée qui est la $\Gamma^\star$-pé\-rio\-disée de $\hat h \hat{O}$.
Enfin, cette fonction bornée est convolée avec $\hat F_{n,m}$ qui est dans la classe de
Schwartz. Le résultat final est donc une fonction $C^\infty$,
$\Gamma^\star$-périodique et bornée.
La relation (\ref{periodisationduspectreparechantillonnage}) est vraie
par une application répétée de la proposition \ref{produitenconvolutionparFourier},
de la formule d'inversion de Fourier dans ${\cal S}'$.
La
transformée de Fourier de $\Pi_\Gamma$ est donnée par la formule~(\ref{Formuledelacristallographie}).
\end{proof}

Dans le théorème qui suit, on va négliger l'effet de fenêtrage $F_{n,m}$ dans
la digitalisation et supposer que l'image digitalisée est infinie.

\begin{thf}[Shannon-Whittaker] On suppose que le support $K=\supp(\hat h)$ de la FTM $\wh h$ de $h$, est contenu dans une cellule $R$ du réseau dual
(appelé aussi réseau réciproque: c'est pourquoi on la note $R$). Alors le paysage
convolé
$h\ast O$ peut être recouvré à partir de l'image \og digitalisée\fg infinie $u=(h\ast O)\cdot\Pi_\Gamma$ par la formule d'interpolation\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{equation} \label{InterpolationdeShannon}
h\ast O = \hat u \ast \frac 1
{S^\star}\overline{{\cal F}}(\indic_R),\end{equation}
ou encore\vspace*{-3pt}
\begin{equation} \label{InterpolationdeShannondeveloppee}
(h\ast O)(x) = \sum_{\gamma\in \Gamma} (h\ast O)(\gamma)\frac 1
{S^\star}\overline{{\cal F}}(\indic_R) (x-\gamma).
\end{equation}
\end{thf}

\begin{proof}
On considère la fonction caractéristique de $R$:\vspace*{-3pt}
\[
\indic_R(\xi)=\begin{cases}
1&\text{si }\xi\in R,\\
0&\text{sinon}.
\end{cases} 
\]
Par le lemme \ref{periodisationduspectreparechantillonnage},
on a\vspace*{-3pt}
$$\hat u(\xi) = (2\pi)^{-N}S^\star(\hat h \hat{O})\ast \Pi_{\Gamma^\star}=\frac 1 S
\sum_{k\in
\Gamma^\star}\hat h(\xi+k)\hat O(\xi+k)$$ et en multipliant cette relation par $\indic_R$
et en tenant compte du fait que les supports des différentes fonctions translatées
$\hat h(\xi+k)O(\xi +k)$ sont disjoints, on a
$$\indic_R(\xi)\hat u(\xi)=\frac 1 S\hat h(\xi)\hat O(\xi)\indic_R(\xi).$$
Mais comme $\indic_R$ est identiquement égale à 1 sur le support de $\hat h$, on~a $\indic_R(\xi)\hat h(\xi)=\hat h(\xi)$ et donc
$$\hat O(\xi)\hat h(\xi) = S\indic_R(\xi)\hat u(\xi).$$
Appliquons la transformée de Fourier inverse $(\overline{{\cal F}})$. Par la proposition~\ref{produitenconvolutionparFourier},
$$h\ast O = \frac S {(2\pi)^N} u \ast \overline{{\cal F}}(\indic_R) = u \ast \frac 1
{S^\star}\overline{{\cal F}}(\indic_R).$$ Il est commode de réécrire cette formule
comme une formule d'interpolation. On a $$u = \sum_{\gamma\in \Gamma}(h\ast
O)(\gamma)\delta_\gamma.$$ Donc
$$(h\ast O)(x) = \sum_{\gamma\in \Gamma} (h\ast O)(\gamma)\frac 1
{S^\star}\overline{{\cal F}}(\indic_R)(x-\gamma).
$$
On a donc montré la convergence de cette série dans
${\cal S}'$ mais il n'est pas difficile de prouver qu'elle a lieu dans $L^2(\real^2)$.
\end{proof}

\subsubsection*{Application: la formule de Shannon pour l'échantillonnage de signaux}
Considérons le cas de la dimension
$N=1$ et d'un réseau d'échantillonnage $\Gamma = T\relative $. On a
$e_1=1$,
$e_1^\star=2\pi$,
$S=T$,
$\Gamma^\star = \frac{2\pi}T \relative$. Prenons le cas le plus simple d'une cellule
$R=[-\sfrac \pi T, \sfrac \pi T]$. Alors $\overline{{\cal F}}(\indic_R)(\xi)= 2\sfrac{\sin
(\sfrac{\pi\xi}T)}{\xi}$ (formule (\ref{sinuscardinal})) et par le
théorème \ref{InterpolationdeShannon}, le paysage convolé s'obtient par
$$
h\ast O = \frac T {2\pi} u \ast \overline{{\cal F}}(\indic_R).$$
Or, $$u=\sum_{k\in \relative} (h\ast O)(kT) \delta_{kT}$$ et
donc
$$h\ast 0 = \sum_{k\in \relative} (h\ast O)(kT)\frac T
{2\pi}2\frac{\sin(\frac{\pi(x-kT)}T)}{x-kT},$$ soit
\begin{equation} \label{Shannondimension1}
h \ast 0 = \sum_{k\in \relative} (h\ast O)(kT) \frac{\sin(\frac \pi T(x-kT))}{\frac\pi
T(x-kT)}.
\end{equation}
Cette dernière formule est la formule de Shannon la plus classique.

\Subsection{L'artifice de la périodisation. L'aliasage nécessaire}
La théorie de Shannon telle que nous venons de la décrire n'est pas une théorie
numérique, puisque l'échantillonnage est supposé infini. Le peigne de Dirac
$u$ n'est
donc pas numérisé à ce stade, si on entend par donnée numérique une donnée
finie. De même,
$\hat u$ n'est pas numérisée, puisque c'est une fonction, certes à support compact.
Or, pour en venir à la numérisation, il nous faudrait un spectre de Fourier à la fois
discret et borné. Or, la donnée numérique discrète observée est, on l'a vu, (\ref{EquationImageDigitale}). À partir de cette donnée finie nous avons un
moyen efficace de recréer un spectre discret: il suffit de prolonger~$u$ par pério\-dicité en dehors de sa fenêtre de définition. On considère pour cela le
réseau
$\Gamma_{nm} $ engendré par $ne_1 $ et $me_2$. La fenêtre $F_{n,m}$ correspond \a
une maille de ce réseau. On rappelle que l'image discrète est
\begin{equation}
u = (h\ast O)\cdot\Pi_\Gamma\cdot F_{n,m}
\end{equation}
Périodiser $u$ revient à le convoler avec
$\Pi_{\Gamma_{nm}}$ et on pose donc
\begin{equation}
\tilde u = \Pi_{\Gamma_{nm}}\ast ((h\ast O)\cdot\Pi_\Gamma\cdot F_{n,m}).
\end{equation}
On fouriérise et on obtient donc
\begin{equation} \label{formuleduspectrediscret}
\hat{\tilde u} = c\Pi_{\Gamma^\ast_{\frac 1{n}\frac 1m}}\cdot(\Pi_{\Gamma^\star}\ast(\hat h
\hat{O}\ast\hat{F_{n,m}})),
\end{equation}
avec
$c=\frac1{nm}(S^\star)^2(2\pi)^{-2N}$.
La surface de la maille de $\Pi_{\Gamma_{nm}}$ est en effet $mnS$ et donc la maille duale
est de surface $\frac 1{nm}S^\ast$.
Interprétons maintenant la formule (\ref{formuleduspectrediscret}), qui décrit de
manière synthétique toutes les manipulations de spectre en jeu dans la digitalisation
d'une image. La multiplication par le premier terme signifie que
$\hat{\tilde u}$ est un peigne de Dirac sur le réseau fin
$\frac 1{nm}\Gamma^\star$. Ce peigne est $\Gamma^\star$-périodique à cause de la
convolution par $\Pi_{\Gamma^\star}$. On a donc bien une donnée numérique discrète,
composée de $nm$ coefficients. Nous avons néanmoins commis un abus, la périodisation d'une fonction qui n'a rien de périodique, et nous allons maintenant le
payer.
D'abord, remarquons que $\hat {F_{n,m}}$ n'est pas à support compact (principe
d'incertitude: $F_{n,m}$ est à support compact). Donc le terme
$\ast \hat{F_{n,m}}$ dans le calcul de $\hat{\tilde u}$ implique que la fonction à
$\psi =(\hat h
\hat{O}\ast\hat{F_{n,m}})$
n'est plus à support compact. Donc la théorie de Shannon ne s'applique plus. Si on
convole la fonction $\psi $ avec $\Pi_{\Gamma^\star}$, on fait la somme de $\psi$ et de
ses translatées par les vecteurs de
$\Gamma^\star$, que l'on appelle des \og alias\fg. Ces alias n'ont pas des supports
disjoints. On ne peut donc pas reconstituer $O\ast h$ à partir de $u$. Si on applique
quand même, par une sorte de forçage, la formule de Shannon, on obtient une
fonction qui coïncide avec $O\ast h$ sur le réseau~$\Gamma$ mais qui présente deux
types d'artefacts:
\begin{itemize}
\item
L'\og aliasage\fg ({\it aliasing}), autrement dit \og repliement de spectre\fg:
la transformée de Fourier de la reconstituée comporte dans les basses et moyennes fréquences des ondes parasites provenant de fréquences hautes (voir figure dans le chapitre suivant).
\item
Le phénomène de Gibbs dû aux sauts induits au bord de
l'image par la périodisation (les valeurs de bord à droite et à gauche, en haut et en
bas, n'ont aucune raison d'être égales pour $O\ast h$ !).
\end{itemize}

\section{Le cas discret}
\subsection{Présentation}

Soit un signal $f$ dont on connaît la période $a$ ainsi que les valeurs
$y_k=f(ka/N)$ pour $k=0,\dots,N-1$. On se propose d'interpoler la fonction $f$
en ces points par un polynôme trigonométrique $p(t)=\sum_{n=0}^{N-1}Y_ne^{2i\pi n\sfrac{t}{a}}$, de sorte que $p\left(\sfrac{ka}{N}\right)=\nobreak y_k$.
Posons $\omega_N=e^{\sfrac{2i\pi}{N}}$. On a donc
$p\left(ka/N\right)=\sum_{n=0}^{N-1}Y_n\omega_N^{kn}$. On remarque que
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{N-1}y_k\omega_N^{-kl}&=\sum_{k=0}^{N-1}p\left(\sfrac{ka}{N}\right)\omega_N^{-kl}=\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}Y_n\omega_N^{k(n-l)}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}Y_n\sum_{k=0}^{N-1}\omega_N^{k(n-l)}=\sum_{n=0}^{N-1}Y_nN\delta_{n,l}=NY_l.
\end{align*}
D'où
$$Y_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}y_k\omega_N^{-nk}.$$
On a déjà
$$y_n=\sum_{k=0}^{N-1}Y_k\omega_N^{nk}.$$

On a ainsi ramené le problème de la détermination des $Y_n$ à
l'évaluation d'un certain polynôme aux racines $N$-ièmes de
l'unité. En fait, n'importe quel polynôme du type
$$\sum_{n=n_0}^{n_0+N-1}Z_ne^{2i\pi n\sfrac{t}{a}}.$$
ferait l'affaire, la suite $(Z_n)_{n\in\ZZ}$ étant périodique de
période $N$. Cependant, comme nous le verrons plus loin, le \og bon\fg intervalle
(même s'il n'est pas le plus pratique à manipuler) est
$-\frac{N}{2},\dots,\frac{N}{2}-1$.
\subsection{L'algorithme de la TFR}

Comme nous l'avons vu plus haut, le calcul des coefficients de Fourier $Y_n$
revient à l'évaluation d'un certain polynôme aux racines $N$-ièmes de
l'unité. Dans le cas général, l'évaluation classique (ex. méthode de
Hörner) d'un polynôme de degré $N-1$ en un point prend $\mathcal{O}(N)$
opérations. Donc si l'on répète cela pour les $N$ racines de l'unité
on devra effectuer $\mathcal{O}(N^2)$ opérations. L'algorithme de la
Transformée de Fourier Rapide (TFR) permet de résoudre le problème en
$\mathcal{O}(N\log N)$ opérations. Appelons \og calcul d'ordre $N$\fg
l'évaluation d'un polynôme de degré $N-1$ aux racines $N$-ièmes de
l'unité. Et soit $T(N)$ le nombre d'opérations (additions et
multiplications) demandé par ce calcul.

On se place dans le cas $N=2^n$ et soit un polynôme
$$P(X)=\sum_{k=0}^{N-1}a_kX^k.$$
On pose
$$Q(X)=\sum_{k=0}^{N/2-1}a_{2k}X^k,\quad R(X)=\sum_{k=0}^{N/2-1}a_{2k+1}X^k.$$
Alors
$$P(\omega_N^k)=Q\big(\big(\omega_N^k\big)^2\big)+\omega_N^kR\big(\big(\omega_N^k\big)^2\big).\leqno{(*)}$$

Or, si $N$ est pair les $\left(\omega_N^k\right)^2$ sont exactement les
racines d'ordre $\sfrac{N}{2}$ de l'unité. Il suffit donc d'évaluer les
deux polynômes $Q$ et $R$ aux racines d'ordre $\sfrac{N}{2}$ de l'unité
ce qui est un problème d'ordre $\sfrac{N}{2}$. On a donc, en tenant compte
additions et multiplications demandées par $(*)$,
$$T(N)=2T\left(\sfrac{N}{2}\right)+2N.$$
On en tire aisément $T(N)=\mathcal{O}(N\log(N))$.

\Subsection{Lien avec la théorie de Shannon}
\begin{thf}[de Shannon pour les polynômes trigonométriques]
Soit un signal trigonométrique
$$f(t)=\sum_{n=-N}^Nc_ne^{2i\pi\lambda_nt}.$$
On a encore la formule de Shannon
$$\forall a\in\left]0,\sfrac{1}{2\lambda_c}\right[,~\forall t\in\RR,
~f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(na)\frac{\sin\frac{\pi}{a}(t-na)}
{\frac{\pi}{a}(t-na)},$$
avec $\lambda_c=\max\left\{|\lambda_n|\right\}$. La convergence est ponctuelle.
\end{thf}
\begin{rem}
Ce théorème complète le théorème de Shannon pour un signal qui est ni
périodique ni dans $L^2$.
\end{rem}

\begin{proof}
il suffit de démontrer le résultat dans le cas d'une seule onde. Soit donc
$$f(t)=e^{2i\pi\lambda t},\quad\lambda\in\RR.$$
Soit $g$ périodique de période $\sfrac{1}{a}$ et égale à $f$ sur
$\left(-\sfrac{1}{2a},\sfrac{1}{2a}\right)$. Les coefficients de Fourier de $f$
sont
$$c_n=\frac{a\sin\frac{\pi}{a}(\lambda-na)}{\pi(\lambda-na)}.$$
Donc
$$g(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{a}(\lambda-na)}{\frac{\pi}{a}(\lambda-na)}e^{2i\pi
nat}.$$
Comme $f$ est $C^1$ sur $\left]-\sfrac{1}{2a},\sfrac{1}{2a}\right[$, Cette
égalité est ponctuelle pour
$t\in\left]-\sfrac{1}{2a},\sfrac{1}{2a}\right[$ (principe de localisation). D'où
$$\forall\lambda\in\RR,~~e^{2i\pi\lambda t}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{2i\pi
nat}\frac{\sin\frac{\pi}{a}(\lambda-na)}{\frac{\pi}{a}(\lambda-na)},~~|t|<\sfrac{1}{2a}. $$
En intervertissant $\lambda$ et $t$, on obtient
\[
\forall t\in\RR,~~e^{2i\pi\lambda t}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{2i\pi
na\lambda}\frac{\sin\frac{\pi}{a}(t-na)}{\frac{\pi}{a}(t-na)},~~|\lambda|<\sfrac{1}{2a}.\qedhere
\]

\end{proof}

\subsubsection*{Dans la pratique}

On possède un signal $f$ périodique de période $T$. On l'échantillonne
de manière régulière $N$ fois sur l'intervalle $\left[0,T\right]$. À quelle condition sur le signal a-t-on capturé toute l'information de~$f$? Le
théorème précédent nous indique qu'il suffit que $f$ n'ait pas de
fréquences $|\lambda|\geq\sfrac{N}{2T}$. À cette condition, et comme la
transformée de Fourier de $f$ est un peigne de Dirac à
support compact, $f$ est un polynôme trigonométrique. D'où
$$
f(t)=
\begin{cases}
\sum_{k=-\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}}c_ke^{2i\pi\sfrac{kt}{T}}&\mbox{pour $N$ impair,}\\
\sum_{k=-\frac{N}{2}+1}^{\frac{N}{2}-1}c_ke^{2i\pi\sfrac{kt}{T}}&\mbox{pour $N$ pair.}
\end{cases}
$$

Quand $N$ est impair, un tel polynôme a bien $N$ coefficients et suffit donc à interpoler n'importe quelle
suite de $N$ valeurs constatées pour~$f$. En revanche, dans le cas où $N$ est
pair le polynôme a seulement $N-1$ coefficients et on a besoin d'un
coefficient supplémentaire, en général, pour
rendre compte des valeurs échantillonnées. On ajoute alors un terme en
$e^{2i\pi\sfrac{Nt}{2T}}$, qui ne rentre pas dans le cadre de la théorie de
Shannon (sa fréquence est sur le bord de la cellule réciproque) mais qui
se justifie pour rendre compte des comportements possibles
de $f$.

\Subsection{Applications}
\subsubsection{La TFR bi-dimensionnelle}

On a échantillonné un signal $f$ bidimensionnel suivant une grille carrée
$[0,N_x-1]\times [0,N_y-1]$. On souhaite écrire
$$f(t)=\sum_{k=1-\sfrac{N_x}{2}}^{\sfrac{N_x}{2}}\sum_{l=1-\sfrac{N_y}{2}}^{\sfrac{N_y}{2}}c_{k,l}e^{2i\pi
t\left(\frac{k}{N_x}+\frac{l}{N_y}\right)}$$

Pour calculer les $c_{n,k}$ il suffit alors de calculer la TFR sur chaque
ligne du tableau des valeurs de $f$, puis de calculer la TFR pour chacune des
colonnes du tableau ainsi obtenu (l'ordre de traitement ligne/colonne n'a
évidemment pas d'importance...).

\Subsubsection{Les zooms}

\paragraph*{Par la TFR}

Étant donné N valeurs d'une fonction $f$ aux points $0,\dots,N-1$ on cherche
à évaluer les valeurs de $g(x)=f(x/2)$ aux points $0,\dots,2N-1$
Ainsi on possède plus de détails de $f$, on dit alors que l'on a
effectué un agrandissement (ou zoom) de $f$. Dans la pratique, on calcule les
coefficients du polynôme
$$p(t)=\sum_{k=1-\sfrac{N}{2}}^{\sfrac{N}{2}}c_ke^{2i\pi t\sfrac{k}{N}},$$
puis on étend ce polynôme par
$$q(t)=\sum_{k=-N+1}^{N}c'_ke^{i\pi t\sfrac{k}{N}}\quad\text{avec}\quad
c'_k=
\begin{cases}
c_k&|k|<\sfrac{N}{2}\\[2pt]
\dfrac{c_{\sfrac{N}{2}}}{2}&k=\pm\sfrac{N}{2}\\
0&\mbox{sinon.}
\end{cases}
$$
Il suffit alors d'évaluer $q$ aux points qui nous intéressent. Le calcul
des coefficients $c_k$ ainsi que celui des valeurs de $q$ se ramène au
calcul des valeurs d'un polynôme aux racines de l'unité. On peut donc
utiliser l'algorithme de la TFR. Le cas bidimensionnel est analogue au cas
unidimensionnel. Cette méthode est connue sous le nom de {\it zero-padding}
(remplissage par des zéros).\enlargethispage{-3\baselineskip}%

\begin{rem}
On a supposé ici que le signal avait une période $N$ ce qui veut dire que
l'on a \og recollé\fg les deux bords du signal. Du fait de ce recollement qui nous
conduit a juxtaposer deux valeurs très différentes de $f$, on constate dans
l'image zoomée l'apparition d'un effet de Gibbs.
\end{rem}

\paragraph*{Par la TCD}

Le but de la TCD (Transformée en Cosinus Discrète)
est de se débarrasser de l'effet de Gibbs. On commence par
symétriser le signal par rapport à la droite $x=N-\sfrac{1}{2}$. Puis on
fait l'hypothèse que le signal est de période $2N$. Enfin on applique
l'algorithme ci-dessus. Le recollement signalé
à la remarque précédente ne donne plus lieu à un effet de Gibbs car
la fonction est \og continue\fg aux bords de l'intervalle. À la fin de l'algorithme on ne garde que les $2N$ premières valeurs parmi les $4N$ fournies par
l'algorithme (les suivantes étant les symétriques de celles-ci).

\pagebreak[2]
\skpt
\begin{exa}\mbox{}\vspace*{-2\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=0.7]{originale}\\[-20pt]
{\small\bf originale}
\end{tabular}
\par\medskip
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.5]{zoomfft}&
\includegraphics[scale=0.5]{zoomdct}\\
{\small\bf zoomée par TFR}&
{\small\bf zoomée par TCD}
\end{tabular}
\end{center}
\end{exa}

\subsubsection{la translation}

On possède $N$ échantillons consécutifs d'un signal $f$. On cherche à
évaluer la valeur de la translatée $g(t)=f(t-x)$, $x\in\RR$, par exemple aux
points $0,\dots,N-1$. Soit donc le polynôme,
$$p(t)=\sum_{k=-\sfrac{N}{2}}^{\sfrac{N}{2}}c_ke^{2i\pi t\sfrac{k}{N}}.$$
On a alors
$$g(t)=\sum_{k=-\sfrac{N}{2}}^{\sfrac{N}{2}}c'_ke^{2i\pi t\sfrac{k}{N}},$$
avec
$$c'_k=c_ke^{-2i\pi x\sfrac{k}{N}}.$$

La démarche à suivre est donc la suivante:
\begin{enumerate}
\item
On applique la TFR à $f$ pour obtenir les $c_k$.
\item
On multiplie chaque $c_k$ par $e^{-2i\pi x\sfrac{k}{N}}$ pour obtenir les
$c'_k$.
\item
Enfin, on applique la TFR inverse aux $c'_k$ pour obtenir rapidement les
valeurs de $g$ aux points entiers.
\end{enumerate}
\begin{rem}
Dans l'expression de $p(t)$ on a considéré à la fois un terme en
$e^{i\pi t}$ et un autre en $e^{-i\pi t}$. Ceci pour maintenir de la manière la
plus simple le caractère réel du signal, et ce en utilisant
l'indétermination laissée par la théorie de Shannon pour ces deux
termes. Si on note $d_{\sfrac{N}{2}}$ le coefficient obtenu par la TFR
appliquée au signal de~$f$ alors les coefficients
$$c_{\sfrac{N}{2}}=\frac{1}{2}d_{\sfrac{N}{2}}\mbox{ et
}c_{-\sfrac{N}{2}}=\frac{1}{2}\overline{d}_{\sfrac{N}{2}}$$
conviennent.
\end{rem}

\paragraph*{La rotation}
Une application inattendue de la translation par TFR, est une rotation presque
exacte. En effet, on remarque que la matrice d'une rotation d'angle $\theta$ se
décompose comme suit
$$
\left[
\begin{array}{cc}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cc}
1&-\tan\theta/2\\
0&1
\end{array}
\right]
\times
\left[
\begin{array}{cc}
1&0\\
\sin\theta&1
\end{array}
\right]
\times
\left[
\begin{array}{cc}
1&-\tan\theta/2\\
0&1
\end{array}
\right]
$$
Chacune des trois matrices précédentes peut s'interpréter comme une
\og translation\fg suivant un des deux axes dont la valeur dépend linéairement
de l'autre coordonnée. Par exemple, appliquer la dernière
matrice à l'image revient à translater chaque ligne d'une valeur égale à
$-\tan\left(\sfrac{\theta}{2}\right)y$. La démarche à suivre est alors
simple: pour chacune des trois matrices ci-dessus on translate les lignes (ou
les colonnes) de l'image et ce par l'application de la méthode vue à la
partie précédente. L'image finalement obtenue est le résultat de la
combinaison des trois \og translations\fg, soit une rotation d'angle $\theta$.
\begin{rem}
Cette méthode présente un défaut. En effet, du fait que l'on manipule des
fonctions périodiques, une translation conduit à faire sortir une partie de
l'image par un bord pour la faire entrer par l'autre. Ce qui conduit à
l'apparition, sur les bords de l'image d'un certain nombre de détails qui
sont en fait mal placés. Les schémas de la figure \ref{fig:transl} le montrent bien:
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.8]{rotation_0}&
\includegraphics[scale=.8]{rotation_1}\\
{\bf\smaller  image originale}&
{\bf\smaller  première translation}\\ \mbox{ }\\
\includegraphics[scale=.8]{rotation_2}&
\includegraphics[scale=.8]{rotation_3}\\
{\bf\smaller  deuxième translation}&
{\bf\smaller  troisième translation}
\end{tabular}
\caption{}\label{fig:transl}
\end{center}
\end{figure}
On peut se débarrasser de ce problème en insérant l'image dans un cadre
deux fois plus grand...
\end{rem}
\begin{rem}
Un autre défaut, plus fondamental, de la méthode est qu'elle ne peut
être parfaite. En effet, supposons que l'image vérifie l'hypothèse
de Shannon et qu'elle est $N$-périodique, ce qui revient à dire qu'elle est de la forme (pour une image carrée)
$$u(x,y)=\sum_{i,j=0}^{N-1}c_{i,j}e^{ 2i\frac{\pi}{N}(ix+jy) }.$$
Alors, si on lui applique une \og translation\fg suivant l'axe des $x$ de valeur
$\lambda y$, la formule devient
$$u_1(x,y)=\sum_{i,j=0}^{N-1}c_{i,j}e^{2i\frac{\pi}{N}(ix+(j-\lambda i)y)}.$$
La fonction $u_1$ n'est pas (pour $\lambda\notin\ZZ$) $N$-périodique en
$y$. Or, après
la première translation on ne dispose plus que des échantillons du signal
$u_1$ sur une grille carrée $N\times N$. D'après la théorie de Shannon
un tel ensemble de données ne permet pas de capturer toute l'information sur
$u_1$ (à la seconde étape on effectue des translations suivant $y$ qui est
justement l'axe qui pose problème). On rencontre encore ce problème à la
troisième translation. Le seul moyen d'éviter cet inconvénient est
d'évaluer $u$ aux points de l'image de
$\llbracket0,N-1\rrbracket\times\llbracket0,N-1\rrbracket$ par une
rotation d'angle $-\theta$, mais cette méthode est en $N^4$ ce qui la rend
inopérante...
\end{rem}

\Subsubsection{Restauration d'une image par manipulation du spectre}
L'image échantillonnée a toujours subi un certain {\it aliasing}. Son
spectre est donc en partie replié (figures \ref{fig:echan1} et \ref{fig:echan2}). En effet le fenêtrage implique que la
transformée de Fourier de l'image avant échantillonnage n'est pas à
support compact.
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{periodise_1}
\caption{Spectre \hbox{après échantillonnage}}\label{fig:echan1}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{.49\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{aliased_1}
\caption{Spectre consta\-té par la TFD}\label{fig:echan2}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}
On peut tenter de compenser l'effet de l'{\it aliasing} en atténuant le
spectre aux bornes du domaine de~$\hat f$, en multipliant par exemple $\hat f$ par
une fonction continue à support dans la cellule réciproque.

\section{Expérimentations}
\subsection{Exemples de transformées de Fourier discrètes}
Sur les deux exemples qui suivent, on a calculé la TFR des deux images. La première image a bien un spectre qui décroît très vite à l'infini. Il s'agit là d'une image bien échantillonnée que l'on peut comparer à la seconde image qui a été obtenue en digitalisant une image imprimée. On remarque sur sa TF des taches disposées sur un réseau. Il s'agit du réseau réciproque de celui utilisé par l'imprimante. Cette périodicité du spectre \og dénonce\fg l'{\it aliasing}.\enlargethispage{\baselineskip}

\begin{figure}[b]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.8]{lenna}&
\includegraphics[scale=.8]{lenna_fft}
\end{tabular}
\caption{Une image normale}
\par\bigskip\bigskip
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.8]{amac}&
\includegraphics[scale=.8]{amac_fft}
\end{tabular}
\caption{Une image mal digitalisée}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Compression de données}
La TFR trouve beaucoup d'applications en compression de données. La plus connue d'entre
elles étant la norme JPEG. Cette méthode de compression repose sur la remarque que les coefficients de Fourier d'une fonction régulière décroissent très vite en $+\infty$.
Ceci étant, la méthode consiste à découper l'images en blocs $8\times8$. Puis à calculer la TCD de chacun de ces blocs. On quantifie ensuite les valeurs obtenues en ne réservant que peu de bits aux coefficients de rang élevé (qui sont négligeables devant les autres). De cette manière, un grand nombre de petits coefficients sont annulés et n'occupent donc plus de place dans la version comprimée de l'image. Enfin une compression statistique (Huffman) est opérée sur le résultat de ce qui précède.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{lenna_detail}
\\{\bf\smaller  originale}
\par\medskip
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=1]{lenna_detail_10}&
\includegraphics[scale=1]{lenna_jpeg-20_detail}
\\{\bf\smaller  JPEG (compression 10)}&
{\bf\smaller  JPEG (compression 20)}
\end{tabular}
\caption{}\label{fig:8}
\end{center}
\end{figure}

Les images de la figure \ref{fig:8} montrent un fragment d'une image que l'on a comprimée dix fois, puis vingt fois. On notera la présence de discontinuités de l'image sur la grille $8\times8$ qui a été utilisée pour découper l'image. Ces discontinuités se comportent très mal vis-à-vis des algorithmes de détection de bords et les rendent inopérants. C'est pourquoi il faut éviter d'utiliser des images comprimées par JPEG en vue d'un traitement ultérieur de l'image. Cependant, pour la plupart des applications grand public (Internet...) la qualité de reproduction est satisfaisante.

\subsection{Zooms}
Il s'agit ici de ré-interpoler une image donnée sur une grille de taille $N\times N$ aux points demi-entiers.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=1]{oeil_zoomxv}&
\includegraphics[scale=1]{oeil_dct}
\\{\bf\smaller  zoom direct}&{\bf\smaller  zoom par FFT}
\end{tabular}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
Ainsi on obtient une image plus grande qui reste plus lisse qu'une image provenant d'un zoom par duplication des pixels. Les zooms sont un cas particulier de ré-échantillonnage dont un autre exemple est la rotation (voir plus bas).

\subsection{Autres types de ré-échantillonnages}
Comme on l'a vu au paragraphe 5, la TFD offre un cadre agréable pour effectuer
des translations d'une image,
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.8]{pave_2}&
\includegraphics[scale=.8]{pave_2_decale}
\\{\bf\smaller  image originale}&{\bf\smaller  image translatée}
\end{tabular}
\caption{}\label{fig:autretype}
\end{center}
\end{figure}
et comme on l'a vu une rotation peut
être décomposée en trois transvections dont chacune se ramène à une
translation sur un des deux axes.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.8]{cindy_rot_orig}&
\includegraphics[scale=.8]{cindy_rot_i1}\\
\includegraphics[scale=.8]{cindy_rot_i2}&
\includegraphics[scale=.8]{cindy_rot}\\
\end{tabular}
\caption{Rotation décomposée en trois \og translations\fg}
\end{center}
\end{figure}
D'autres méthodes de
ré-échantillonnage sont possibles pour effectuer une rotation, en
particulier une interpolation bilinéaire.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=1]{cindy_multirot}&
\includegraphics[scale=1]{cindy_multirot_xv}
\\{\bf\smaller  huit rotations par TFR}
&{\bf\smaller  huit rotations}\\& {\bf\smaller  par interpolation bilinéaire}
\end{tabular}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}
Cependant, cette méthode
conduit à une perte progressive des détails de l'image, ce que montre
la dernière expérience (figure~\ref{fig:autretype}). On notera l'effet de Gibbs introduit par la translation de vecteur $\left(\sfrac{1}{2},\sfrac{1}{2}\right)$ qui revient à sous-échantillonner un zoom de l'image aux points impairs...

\subsection{Effet de Gibbs}
Comme il a été remarqué plus haut, le zoom par TFR introduit un effet de Gibbs (en effet le {\it zero-padding} consiste exactement à mettre les hautes fréquences à zéro, ce qui est la cause de l'effet de Gibbs). Cet effet est surtout visible aux bords de l'image, car la TFR considère, de manière irréaliste, que les bords opposés de l'image sont en fait voisins, ce qui produit dans la plupart des cas une discontinuité forte aux bords de l'image. La TCD, elle, suppose que l'image est symétrisée, puis périodisée. Dans ce cas, la supposition de voisinage entre deux bords opposés est tout à fait légitime. Les images qui suivent (figure \ref{fig:13}) montrent bien la différence entre les deux procédés.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.8]{lenna_zoomfft}&
\includegraphics[scale=.8]{lenna_zoomdct}\\
{\bf\smaller  zoomée par FFT}&{\bf\smaller  zoomée par DCT}
\end{tabular}
\caption{}\label{fig:13}
\vspace*{8mm}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Échange de phases entre deux TF}
Dans l'expérience qui suit (figure \ref{fig:14}),
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.9]{fleur_256}&
\includegraphics[scale=.9]{lenna}
\end{tabular}\\
{\bf\smaller  images originales}
\par\bigskip
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.9]{fleur_x_lenna}&
\includegraphics[scale=.9]{lenna_x_fleur}
\end{tabular}\\
{\bf\smaller  après échange des phases}
\end{center}
\vspace*{-2mm}
\caption{}\label{fig:14}
\end{figure}
on a d'abord calculé les TF de deux images différentes puis on a échangé les phases des deux TF. Le résultat montre bien l'importance très grande de la phase pour une TF, et nous laisse présager que des modifications, potentiellement très grandes, opérées sur le module de la TF n'affectent pas beaucoup l'information contenue dans l'image, ou du moins la perception qu'on en a.

\subsection{Anti-aliasing}
On désigne par le terme d'{\it aliasing} le repliement de spectre dû a l'échantillonnage. Si l'image a des fréquences au dessus d'un certain seuil (inversement proportionnel au pas d'échantillonnage) les bords du spectre deviennent inexacts. On constate alors un bruit de haute fréquence sur l'image dû au rehaussement des hautes fréquences. Un moyen de supprimer ce repliement est de multiplier la TF par une fonction qui s'annule au bord du spectre, comme dans l'exemple qui suit.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{c}
\includegraphics[scale=.6]{cindy_big}\\
{\bf\smaller  image originale}
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.59]{cindy_big_wiener_1}&
\includegraphics[scale=0.365]{FTM_1_p}
\\{\bf\smaller  reconstitution Wiener(1)}
&{\bf\smaller  reconstitution Wiener(1)}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=.59]{cindy_big_wiener_2}
&\includegraphics[scale=0.365]{FTM_2_p}
\\
{\bf\smaller  reconstitution Wiener(2)}&{\bf\smaller  reconstitution Wiener(2)}
\end{tabular}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Aspect non vibratoire d'une image}
Quand on décompose une fonction en base de Fourier, chaque coefficient capture une partie du comportement global de la fonction.
Or, dans une image, on voit des zones distinctes où la fonction qui la représente a des comportements indépendants. En ce sens, la transformée de Fourier parait artificielle. Ce qui serait plus approprié pour représenter une image serait une base de fonctions à supports disjoints qui peuvent caractériser de manière plus pertinente les comportements locaux de la fonction image; d'où la théorie des ondelettes et ses applications en traitement d'image. Il n'en reste pas moins que la TFR reste une \og astuce\fg algorithmique très puissante qui a permis de résoudre beaucoup de problèmes dans le domaine...
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{lenna_coupe_0}\\
{\bf\smaller  ligne 0}\par\bigskip
\includegraphics[scale=0.5]{lenna_coupe_32}\\
{\bf\smaller  ligne 32}\par\bigskip
\includegraphics[scale=0.5]{lenna_coupe_128}\\
{\bf\smaller  ligne 128}
\caption{Quelques coupes dans une image}\label{fig:16}
\end{center}
\end{figure}
Les trois schémas de la figure \ref{fig:16} montrent bien cet aspect local des images, à mettre en contraste avec l'aspect vibratoire de la musique.

\section{Formulaire (toutes les transformées de Fourier en une)}
\Subsection{Transformée de Fourier discrète sur \texorpdfstring{$\RR$}{R}}
$f$ $2\pi$-périodique, $f\in L^{2}([0,2\pi])$ $\left(\int_0^{2\pi}|f|^2\mbox{ fini}\right)$
$$f(x)=\sum_{k\in\ZZ}c_k(f)e^{ikx},\quad c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)e^{-ikx}dx$$
\Subsection{Transformée de Fourier discrète sur \texorpdfstring{$\RR^2$}{R2}}
$f$ $(2\pi,2\pi)$-périodique, $f\!\in\! L^2\left([0,2\pi]^2\right)$ $\left(\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}|f(x,y)|^2dxdy\mbox{ fini}\right)$

$$f(x,y)=\sum_{\left(k_1,k_2\right)\in\ZZ^2}c_{k_1,k_2}(f)e^{ik_1x+ik_2y}$$
$$c_{k_1,k_2}(f)=\frac{1}{\left(2\pi\right)^2}\int_0^{2\pi}\int_o^{2\pi}f(x,y)e^{-ik_1x-ik_2y}dxdy$$
\Subsection{Réseau de \texorpdfstring{$\RR$, $\RR^2$}{RR2}...}
\begin{itemize}
\item{Réseau de $\RR$}: $\left\{kT\right\}_{k\in\ZZ}$.
\item{Réseau de $\RR^2$}:
$\Gamma=\left\{x_1e_1+x_2e_2,~\left(x_1,x_2\right)\in\ZZ^2\right\}$.
\item{Réseau réciproque (ou dual)}:
$\Gamma^*=\left\{k_1e_1^*+k_2e_2^*,~\left(k_1,k_2\right)\in\ZZ^2\right\}$,
 et $e_i\cdot e_j=2\pi\delta_{ij}$.
\item{Surface de la maille $M$}: $S$
$$M=\left\{x_1e_1+x_2e_2\mid \left(x_1,x_2\right)\in [0,1]^2\right\}.$$
\item{Surface de la maille duale}: $S^*$
$$SS^*=\left(2\pi\right)^2.$$
\item\emph{Cellule} du réseau $\Gamma$: tout ensemble $D$ du plan tel que les $\left(D+\gamma\right)_{\gamma\in\Gamma}$ forment un pavage du plan.
\end{itemize}
\Subsection{Transformée de Fourier discrète sur un réseau \texorpdfstring{$\Gamma$}{G}}
Si $f$ est $\Gamma$-périodique et de carré intégrable sur la maille,
$$f(x)=\sum_{k\in\Gamma^*}c_k(f)e^{ik\cdot x},\quad c_k(f)=\frac{1}{S}\int_Me^{-ik\cdot x}f(x)dx$$
où l'on a noté
$$k=k_1e_1^*+k_2e_2^*,\quad x=x_1e_1+x_2e_2,\quad k\cdot x=2\pi\left(k_1x_1+k_2x_2\right).$$
\Subsection{Convolution \texorpdfstring{$\Gamma$}{G}-périodique}
Si $u$ et $v$ sont $\Gamma$-périodiques, on pose
$$\left(u*v\right)\left(x\right)=\int_Du(x-y)v(y)dxdy$$
où $D$ est une cellule quelconque. Alors
$$c_k(f*g)=Sc_k(f)c_k(g)\mbox{~~~~}\forall k\in\Gamma^*$$
\Subsection{Peignes de Dirac}
\begin{itemize}
\item{Masse de Dirac en $a\in\RR$}: $\delta_a$
$$\langle \delta_a,\varphi\rangle =\varphi(a)$$
\item{Peigne de Dirac sur un réseau $\Gamma$}:
$$\Delta_\Gamma=\sum_{\gamma\in\Gamma}\delta_\gamma$$
$$\langle \Delta_\Gamma,\varphi\rangle =\sum_{\gamma\in\Gamma}\varphi(\gamma),\mbox{ }\varphi\mbox{ continue à support compact}$$
\end{itemize}
\Subsection{Transformée de Fourier discrète des distributions \texorpdfstring{$\Gamma$}{G}-périodiques}
Si $u$ est $\Gamma$-périodique,
$$u=\sum_{k\in\Gamma^*}c_k(u)e^{ik\cdot x}\mbox{ (\og série de Fourier\fg)}$$
avec
$$c_k(u)=\frac{1}{S}\langle u,\chi(x)e^{-ik\cdot x}\rangle $$
où $\chi$ est une fonction $C^\infty$, partition de l'unité:
$$\sum_{\gamma\in\Gamma}\chi(x+\gamma)=1$$
($c_k(u)$ ne dépend pas de $\chi$).

\Subsection{Série de Fourier d'un peigne de Dirac}
$$\Gamma_\gamma=\sum_{\gamma\in\Gamma}\delta_\gamma$$
$$\Delta_\Gamma=\frac{1}{S}\sum_{k\in\Gamma^*}e^{ik\cdot x}\mbox{ (développement en série de Fourier de $\Delta_\Gamma$)}$$
\Subsection{Convolution}
\begin{itemize}
\item{dans $L^1(\RR^N)$}:
$$f*g(x)=\int f(x-y)g(y)dy$$
\item{$u$ distribution à support compact, $\varphi\in\mathcal{S}$}:
$$u*\varphi(x)=\langle u,\varphi(x,.)\rangle \in\mathcal{S}$$
\item{$u\in\mathcal{S}'$, $v\in\mathcal{S}'$ à support compact}
$$\langle v*u,\varphi\rangle =\langle v,\check{u}*\varphi\rangle $$
$$\langle \check{u},\varphi\rangle =\langle u,\check{\varphi}\rangle ,$$
$$\check{\varphi}(x)=\varphi(-x)$$
\end{itemize}
\Subsection{Transformée de Fourier dans \texorpdfstring{$\mathcal{S}'$}{S}}
\begin{itemize}
\item{$f\in L^1$}:
$$\hat{f}(\xi)=\int f(x)e^{-ix\cdot\xi}dx$$
$$\bar{\mathcal{F}}(f)(\xi)=\int f(x)e^{ix\cdot\xi}dx$$
\item{$u\in\mathcal{S}'$}:
$$\langle \hat{u},\varphi\rangle =\langle u,\hat{\varphi}\rangle $$
\item{Dans tous les cas,}
$$\bar{\mathcal{F}}\left(\mathcal{F}\left(f\right)\right)$$
\item{Transformée de Fourier d'un peigne de Dirac}
$$\hat{\Delta}_\Gamma=S^*\Delta_{\Gamma^*}$$
\end{itemize}
\Subsection{Convolution et Fourier}
\begin{itemize}
\item $u$ et $v$ deux distributions tempérées, l'une à support borné,
$$\widehat{u*v}=\hat{u}\cdot\hat{v}$$

\item $v$ une distribution tempérée, $\varphi$ une fonction telle que $\hat{\varphi}$ soit une distribution à support borné. Alors
$$\widehat{\varphi\cdot u}=\left(2\pi\right)^{-N}\hat{\varphi}*\hat{u}$$
\end{itemize}
\subsection{Unification du formalisme}
Si $u$ est une distribution $\Gamma$-périodique, alors
$$\hat{u}=\left(2\pi\right)^2\sum_{k\in\Gamma^*}c_k(u)\delta_k$$
où les $c_k(u)$ sont les coefficients de Fourier de $u$.
\Subsection{Commodités du formalisme}
\begin{itemize}
\item $u$ $\Gamma$-périodique veut dire:
$$u=\Delta_\Gamma*\left(\chi u\right)\mbox{ où }\chi\mbox{ est une partition de l'unité.}$$
\item $\Gamma$-périodisée d'une fonction ou d'une distribution $u$:
$$\tilde{u}=\Delta_\Gamma*u$$
\item En Fourier, cela donne:
$$\hat{\tilde{u}}=\widehat{\Delta_\Gamma*u}=S^*\Delta_\Gamma\cdot\hat{u}$$
\item Échantillonnage sur $\Gamma$ d'une fonction $\varphi$ continue:
$$\widehat{\varphi\cdot\Delta_\Gamma}=\left(2\pi\right)^{-2}S^*\hat{\varphi}*\Delta_\Gamma=\frac{1}{S}\hat{\varphi}*\Delta_{\Gamma^*}$$
\og Échantillonner sur $\Gamma$ revient a $\Gamma^*$-périodiser le spectre\fg.
\end{itemize}
\subsection{Reconstruction de Shannon}
Si $\hat{\varphi}\subset D$, cellule de $\Gamma^*$, alors
$$\varphi(x)=\frac{1}{S^*}\sum_{\gamma\in\Gamma}\varphi(\gamma)\left(\bar{\mathcal{F}}\left({1}_D\right)\right)\left(x-\gamma\right)$$
où: ${1}_D=1\mbox{ sur } D,\mbox{ }0$ ailleurs.
\begin{itemize}
\item{en 1-D}:
$\Gamma=T\ZZ$, $e_1=T$, $e_1^*=\sfrac{2\pi}{T}$, $D=\left[-\sfrac{\pi}{T},\sfrac{\pi}{T}\right]$, cellule du réseau dual. Alors si
$\supp(\varphi)\subset\left[-\sfrac{\pi}{T},\sfrac{\pi}{T}\right]$,
$$\varphi(x)=\sum_{k\in\ZZ}\varphi(kT)\frac{\sin\left(\frac{\pi}{T}\left(x-kT\right)\right)}{\frac{\pi}{T}\left(x-kT\right)}$$
car
$$\bar{\mathcal{F}}\left({1}_D\right)(x)=2\frac{\sin(\frac{\pi}{T}x)}{x}\mbox{ et }S^*=\frac{2\pi}{T}$$
\end{itemize}
\Subsection{La transformée de Fourier discrète}
\begin{itemize}
\item{Si $u$ est un peigne supporté par $\Gamma$,}
$$u=\sum_{\gamma\in\Gamma}u(\gamma)\delta_\gamma,$$
alors $\hat{u}$ est $\Gamma^*$-périodique.
\item{si $u$ est $\Gamma$-périodique, $\hat{u}$ est supportée par $\Gamma$.}
\item{Si $u$ est supportée par $\Gamma$,}
$$u=\sum_{\gamma\in\Gamma}u(\gamma)\delta_\gamma,$$
et si $u$ est $\Gamma_{n,m}$-périodique, où $\Gamma_{n,m}$ est engendré par $(ne_1,me_2)$ avec $(e_1,e_2)$ base de $\Gamma$, alors $\hat{u}$ est supportée par $\Gamma_{1/n,1/m}$ et elle est $\Gamma^*$-périodique.

\Changel

Donc $u$ est décrite par les valeurs en matrice $(n,m)$,
$$u_\gamma=u_{k,l},\quad\gamma\in\left\{ke_1+le_2,~0\leqslant k\leqslant n-1,~0\leqslant l\leqslant m-1\right\}$$
et $\hat{u}$ par les valeurs en matrice $(n,m)$,
$$\hat{u}_{\gamma^*}=\hat{u}_{k,l},\quad \gamma\in\left\{k\frac{e^*_1}{n}+l\frac{e^*_2}{m},~0\leqslant k\leqslant n-1,~0\leqslant l\leqslant m-1\right\}.$$

{\em L'application qui aux $u_{k,l}$ associe les $\hat{u}_{k,l}$ s'appelle la transformée de Fourier discrète et elle ne dépend que de $n$ et $m$ (et pas de $\Gamma$)}.
\end{itemize}

\Changelback
\backmatter
\end{document}
