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\DeclareMathOperator{\reel}{R\acute{e}}

\begin{document}
\frontmatter
\title[Le traitement du signal et l'analyse mathématique]{Le traitement du signal\\ et l'analyse mathématique}

\author[\initial{Y.} \lastname{Meyer}]{\firstname{Yves} \lastname{Meyer}}
\address{École Normale Supérieure de Cachan,
61 avenue du Président Wilson, 94 Cachan cedex}

\thanks{Journées X-UPS 1998. Analyse de Fourier et traitement d'images. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1998}

\maketitle
\tableofcontents
\mainmatter

\vspace*{-.7cm}
\section{Introduction}

Nous subissons chaque jour les effets de la \og révolution
numérique\fg. Il s'agit du téléphone digital, de la
télévision numérique, de l'imagerie médicale, des chaînes
d'impression numérique etc.

La révolution numérique bouleverse notre vie parce qu'elle modifie
certains métiers, la façon dont nous communiquons et finalement
notre relation avec le monde qui nous entoure.

D'où est venue la révolution numérique? Où se dirige-t-elle?
Quelle est la part des mathématiques dans ces nouvelles techniques?

La révolution numérique ou, plus précisément, le traitement du
signal ou de l'image ont-ils aujourd'hui un effet bénéfique sur les
mathématiques?

Voici les questions que nous aborderons aujourd'hui.

Commençons par quelques rappels historiques.

La révolution numérique est née, aux USA, en 1946, lorsque fut fondé
\og the Institute for the Unity of Science\fg. Il s'agissait donc
plutôt d'une révolution scientifique, car la technologie était
encore rudimentaire.

La révolution numérique de 1946 a été l'un de ces moments
privilégiés où les barrières, les murs délimitant plusieurs
secteurs scientifiques se sont effondrés et où l'unité profonde
de la recherche scientifique est apparue. Mais la révolution
numérique de 1946 n'a pas été la première manifestation de
l'unité de la science.

En effet, dès 1807, Joseph Fourier écrivait: \og Si les corps sont
placés loin de nous dans l'immensité de l'espace, si l'homme veut
connaître le spectacle des cieux pour des époques successives
que séparent un grand nombre de siècles, l'analyse mathématique
peut suppléer à la brièveté de la vie et à l'imperfection
des sens et nous rendre ces phénomènes présents et
mesurables...\fg (Discours préliminaire).

Ce texte est particulièrement troublant. Il paraît annoncer
l'étude des confins de l'Univers, des galaxies lointaines par le
programme Hubble. En fait ces images des galaxies lointaines nous
renseignent (compte tenu du temps mis par la lumière pour nous
parvenir) sur les \og premiers instants de l'univers\fg. La formation des
galaxies à partir de l'homogénéité des conditions initiales est
un des mystères de la cosmologie moderne.

Devons-nous penser, en relisant le texte de Fourier, que le programme
d'exploration spatiale était déjà prophétisé? Ou s'agit-il
simplement d'une allusion au problème dit \og des $N$ corps\fg où
l'on recherche le comportement asymptotique (quand le temps augmente
indéfiniment) du mouvement des planètes autour du soleil?

Mais revenons à 1945 et à la révolution numérique.

\textsc{Norbert Wiener} et \textsc{John von Neumann} établissaient en 1945
les liens reliant la logique mathématique, l'électronique et la
neurophysiologie. La con\-struction des ordinateurs allait en
résulter.

\textsc{Claude Shannon} découvrait en 1945 les lois permettant de coder
efficacement un message (signal ou image). Claude~Shannon et
Norbert~Wiener démontraient que le concept d'entropie, élaboré
dans le cadre de la mécanique statistique pouvait être reformulé
et s'appliquer aux télécommunications. Norbert~Wiener publiait, en
1950, un essai intitulé \og Speech, language and learning\fg où il
utilisait ses découvertes sur les rétro-actions ou \og feedbacks\fg.

Le 19 janvier 1951, Wiener et Rosenblith lançaient le programme
\og Cybernétique et Communications\fg dans le cadre de l'\og Institute
for the Unity of Science\fg.

La {\it révolution numérique} a donc été {\it l'\oe{}uvre de
mathématiciens visionnaires}. Les résultats scientifiques que
ces prophètes utilisaient sont des théorèmes, au sens le plus
strict du terme. Ces théorèmes ont fondé la discipline
scientifique appelée aujourd'hui le \og traitement du signal\fg.

Mais on ne peut expliquer cet âge d'or de la science américaine
sans évoquer l'interaction entre physiciens (et non des moindres) et
mathématiciens. En fait, dès les années 1930, \textsc{E.P.\,Wigner}
et \textsc{L.\,Brillouin} introduisaient le concept du \og plan
temps-fréquence\fg (sur lequel nous reviendrons). Ensuite, en 1945,
\textsc{D.\,Gabor} (prix Nobel de Physique) proposait de décomposer le
signal de parole en une combinaison linéaire (infinie) \og d'atomes
temps-fréquence\fg ou \og logons\fg. Nous définirons ces concepts.

L'âge d'or est-il terminé? Sommes-nous définitivement entrés
aujourd'hui dans un univers essentiellement technologique d'où les
innovations scientifiques seraient absentes?

La découverte des {\it ondelettes} (au début des années 1980) a
renouvelé le climat intellectuel que nous venons d'évoquer.

En fait, l'existence de bases orthonormées d'ondelettes a été
prévue, dès 1970, par \textsc{Kenneth~Wilson} (prix Nobel de
Physique). Ces bases permettaient d'effectuer certains calculs de
renormalisation. Un peu plus tard, ce même outil apparaissait dans
les travaux menés au centre de Physique Théorique de l'École
Polytechnique. Toujours à la même époque, c'est-à-dire à la
fin des années 70, la technique du codage en sous-bande était
découverte au centre IBM de la Gaude. La motivation était
l'amélioration des performances du téléphone digital
(réduction des effets indésirables du \og bruit de
quantification\fg).

Toujours à la même époque, l'ingénieur de recherche {\sc
Jean~Morlet} découvrait lui aussi les ondelettes comme une
alternative à l'analyse de Fourier, convenant au traitement des
signaux issus de la vibro-sismique.

Les premiers congrès sur les ondelettes ont permis de réunir des
mathématiciens, des physiciens, des acousticiens, des musiciens et
même des médecins. Sans le vouloir et sans même le savoir, nous
reconstruisions l'\og Institut pour l'Unicité de la Science\fg.

C'est alors qu'un miracle s'est produit en 1986. Un jeune homme,
\textsc{Stéphane~Mallat}, construisit un dictionnaire établissant que
les différentes équipes travaillant sur les ondelettes
racontent, en fait la même histoire. Les recherches se sont alors
intensifiées et \textsc{I.\,Daubechies} (Princeton \& National Academy
of Sciences) a établi (1987) le théorème suivant (qui est un
joyau des mathématiques).

\begin{theorem}[I. Daubechies] Pour tout entier $m\geq 0$, il existe
une fonction $\psi(x)$ de la variable réelle $x$, à valeurs
réelles, de classe $C^{m}(\mathbb{R})$ à support compact et
telle que la collection
\begin{equation}
\label{1.1}
2^{j/2} \psi (2^{j} x-k),\quad j\in \mathbb{Z},\ k\in \mathbb{Z},
\end{equation}
soit une base orthonormée de $L^{2}(\mathbb{R})$.
\end{theorem}

La construction de cette base utilise effectivement la découverte
du codage en sous-bande et se relie donc aux problèmes posés par
le téléphone digital!

\og L'esprit des pionniers\fg n'est pas mort!

\section{Analyse et synthèse}

Ce fut pour moi une grande surprise: les \og voix des êtres qui nous
sont chers\fg sont, en fait, des fonctions continues $f(t)$, indiquant
la valeur de la pression (de l'air) en fonction du temps $(t)$. Toutes
les qualités de la voix, toutes les émotions qu'elle transmet se
relient aux fluctuations de cette fonction $f(t)$, à valeurs
réelles.

Transmettre la voix dans le cadre du téléphone digital, c'est
transmettre cette fonction $f(t)$. Le problème posé est de
transformer cette fonction en une suite finie et même courte de
symboles (en fait des $0$ et des $1$). Ces symboles sont transmis,
puis un algorithme de reconstruction est utilisé, au niveau de la
réception, pour reproduire un signal d'arrivée noté $\tilde f(t)$.

Le canal de transmission a un débit limité à 64 K
bits/seconde. On veut cependant que le signal d'arrivée $\tilde
f(t)$ soit perceptuellement proche de $f(t)$.

Dans la description qui précède, l'analyse a consisté à
transformer $f(t)$ en une suite de coefficients tandis que la
synthèse permettra de reconstruire $\tilde f (t)$ à l'aide des
coefficients qui ont été transmis par la ligne téléphonique ou
par le câble.

La première méthode qui vient à l'esprit est de remplacer la
fonction continue $f(t)$ par un {\it échantillonnage}, c'est-à-dire
par les valeurs $f(hk)$, $k \in \mathbb{Z}$, prises par cette fonction
sur une grille, de pas $h>0$. {\it Le théorème de Shannon nous
indiquera la relation liant le pas d'échantillonnage à la
fréquence de coupure de} $f(t)$.

Ceci étant, la suite $f(hk)$, $k\in \mathbb{Z}$, est
encore trop longue pour être transmise telle quelle.

Pour transmettre efficacement la suite $f(hk)$, $k\in \mathbb{Z}$, il
convient de tirer parti des corrélations existant entre les termes
de cette suite.

Le codage linéaire prédictif (relié à la théorie des
processus ARMA) consiste à chercher des relations de récurrence
linéaires, assez courtes, reliant les coefficients $c_{k} = f(hk),
k\in \mathbb{Z}$.

Plus précisément, on cherche un entier $N \geq 1$ et des
coefficients $a_{0},a_{1},\dots,a_{N}$ tels que la suite $r_{k},
k\in \mathbb{Z}$, définie par
\begin{equation}
\label{2.1}
c_{k+N}-a_{0} c_{k+N-1} -\cdots- a_{N-1} c_{k} = r_{k}
\end{equation}
soit nulle ou presque pour la plupart des valeurs de $k$.
Si ceci a lieu, il suffira de transmettre les valeurs de
$a_{0},\dots,a_{N-1}$, puis de $c_{0},\dots, c_{N-1}$ et enfin les
quelques valeurs de $r_{k}$ qui ne sont pas nulles.

On peut aussi chercher à décorréler la suite $c_{k}$, $k\in
\mathbb{Z}$, en cherchant $N$ et les coefficients $a_{0},\dots,a_{N-1}$, de sorte que $r_{k}$, $k\in \mathbb{Z}$, soit
totalement décorrélé (c'est-à-dire être un bruit blanc).

Bien entendu, il est hors de question d'obtenir (\ref{2.1}) pour tout
$k\in \mathbb{Z}$ et l'on se contentera de chercher des \og segments\fg
définis par $k_{j} \leq k < k_{j+1}$ où (\ref{2.1}) ait lieu. Les
coefficients (ainsi que l'entier $N$) dépendront éventuellement de
$j\in \mathbb{Z}$.

Cette approche ne convient pas au problème du traitement numérique
de l'image. Une image est définie par une fonction $f(x,y)$ des deux
variables réelles $x$ et $y$. {\it Une fois échantillonnée,
l'image est devenue une gigantesque matrice $c(k,\ell) =
f(hk,h\ell)$ dont les éléments sont appelés pixels}. Ici,
comme pour le signal unidimensionnel, $h>0$ est le pas
d'échantillonnage, $(k,\ell) \in \mathbb{Z}^{2}$ et $h\mathbb{Z}^{2}$
est appelé \og grille d'échantillonnage\fg.

L'analyse de l'image repose sur le fait (empirique) que les valeurs du
niveau de gris $c(k,\ell)$ en des points voisins sont, en général,
voisins.

Pour {\it tirer parti de ces corrélations}, on doit utiliser une
technique d'analyse dans laquelle une fonction régulière puisse
être décrite à l'aide de très peu de coefficients.

Voici cette nouvelle technique d'analyse: \og One technique for
repre\-senting pictures by samples is expanding a picture in terms of a
family of orthogonal functions and taking the coefficients of
expansion as picture samples\fg. Cette citation est extraite du
célèbre ouvrage de A.\,Rosenfeld, Digital picture processing, Vol
1, p.118.

Dans ces conditions, on peut même sauter l'étape de
l'échantillonnage sur la \og grille fine\fg associée au théorème
de Shannon et directement accéder à la recommandation de Rosenfeld
en calculant les intégrales
\begin{equation}
\label{2.2}
c(k,\ell) =\iint f (x,y) \varphi_{(k,\ell)} (x,y) dx dy
\end{equation}
où $\varphi_{(k,\ell)}$ est une base orthonormée de
$L^{2}(\mathbb{R}^{2})$.

L'algorithme JPEG entre dans cette catégorie. La base orthonormée
choisie s'obtient en effectuant une partition du plan en carrés de
côté 1. Sur le carré défini par $0 \leq x \leq 1$, $ 0\leq y
\leq 1$, on utilise une variante de l'analyse en série de
Fourier. Dans cette variante les fonctions de base sont
\[
\cos [ \pi(k+1/2)x]\cos [\pi (\ell +1/2 )y],\quad k \geq 0,\ \ell \geq 0.
\]

Si l'image est déjà échantillonnée, sur une grille $N^{-1}
\mathbb{Z}^{2}$ où $N\geq 2$ est un entier, alors la même base
sera utilisée sur le carré $0 \leq x < 1$, $0 \leq y < 1$, mais
l'on aura $0 \leq \ell \leq N-1$, $0 \leq m \leq N-1$ (ce qui
correspond à la dimension de l'espace euclidien analysé).

Sur les autres carrés, les fonctions de base s'obtiennent par les
translations évidentes.

Cette base préfigure les bases de Malvar-Wilson de la section 7.

Ces remarques ne permettent cependant pas de répondre à la
question suivante: {\it quelle base orthonormée doit-on choisir
pour tirer au mieux parti des corrélations existant dans un signal
ou une image?}

Commençons par une approche imprécise et intuitive. Une base
orthonormée est optimale pour un ensemble $E$ de signaux ou d'images
si les séries correspondantes convergent \og plus rapidement\fg lorsqu'on
utilise cette base que si l'on en utilisait une autre. Il convient ici
de préciser comment cette vitesse de convergence est mesurée. Il
convient aussi de préciser si l'approximation recherchée est {\it
linéaire ou non linéaire}. Dans le premier cas, on range une
fois pour toutes la base choisie $e_{0}, e_{1},\dots,e_{k},\dots$
dans un certain ordre et la vitesse d'approximation est mesurée à
l'aide de $r_{k}(f) = \| f - (\alpha_{0} e_{0} + \cdots +
\alpha_{k}e_{k})\|$ lorsque $\alpha_{k} = \langle f
,e_{k}\rangle$. Ces notations se réfèrent à la structure
hilbertienne choisie ($L^{2}(\mathbb{R}^{2})$ dans le cas des images).

Dans le cas linéaire, on peut chercher à évaluer
\[
\rho_{k}=\sup\{ r_{k}(f); f\in E\}
\]
et ceci correspond au \og pire des cas\fg mais
on peut également, si cela a un sens, chercher à évaluer la
moyenne (ou la moyenne quadratique) de $r_{k}(f)$ quand $f$ parcourt
$E$.

Dans le cas de l'approximation non linéaire, on définit
$$
\tilde r_{k}(f) =\| f- (\alpha_{n(0)} e_{n(0)} +\cdots+
\alpha_{n(k)}e_{n(k)})\|
$$
où les indices $n(0) < n(1)< \cdots < n(k)$ sont choisis de sorte
que le second membre soit minimal. Puisque $e_{k}$,~$k\geq 0$, est une
base hilbertienne, le choix optimal s'obtient de la façon
suivante: on développe~$f$ en la série $f=
\sum^{\infty}_{0} \alpha_{k} e_{k}$ et l'on range
ensuite les $|\alpha_{k}|$ en une suite décroissante (au sens
large). Cette suite est notée
$$
\alpha^{*}_{0} \geq \alpha^{*}_{1} \geq \cdots \geq \alpha^{*}_{k}
\geq \cdots \ \text{et l'on a}\ \alpha^{*}_{k} = |\alpha_{n(k)}|
$$
ce qui définit les $n(k)$.

Il est bien évident que la suite $n(k)$,~$k\geq 0$, dépend de $f$
et l'approximation non linéaire $f_{k}= \alpha_{n(0)} e_{n(0)}
+\cdots +\alpha_{n(k)} e_{n(k)}$ n'est pas de la forme $f_{k} =
L_{k}(f)$ où $L_{k}$ est un opérateur linéaire.

Le point de vue de l'approximation non linéaire est cohérent avec
les algorithmes de seuillage et/ou de quantification des coefficients.

Dans ces algorithmes, tous les coefficients $\alpha_{k}$ tels que
$|\alpha_{k}| < \varepsilon$ sont remplacés par $0$. La série qui
en résulte est $\sum' \alpha(k)e_{k}$ et définit une fonction
$f_{\varepsilon}$. Là encore $f_{\varepsilon}$ n'est pas de la forme
$S_{\varepsilon}(f)$ où $S_{\varepsilon}$ est linéaire.

Dans les algorithmes de quantification, on dispose d'un ensemble fini
$F$ de nombres réels autorisés et chaque coefficient $\alpha_{k}$
doit être remplacé par $\tilde\alpha_{k}$ qui est le nombre
réel, appartenant à $F$ et le plus proche de
$\alpha_{k}$. L'approximation de $f = \sum \alpha_{k} e_{k}$ par
$\tilde f =\sum \tilde\alpha_{k} e_{k}$ s'apparente à un
problème d'approximation non linéaire.

Nous reviendrons sur ces problèmes au cours de cet exposé. Pour
l'instant, nous revenons au théorème de Shannon.

\section{Le théorème de Shannon}

Avant d'énoncer ce théorème, nous devons rappeler la
définition de la {\it transformée de Fourier} d'une fonction
$f(t)$ de la variable réelle $t$. Cette transformée de Fourier est
définie par
\begin{equation}
\label{3.1}
\hat f (\omega) =\int^{\infty}_{-\infty} e^{-i\omega t} f(t) dt,
\quad\omega \in \mathbb{R}.
\end{equation}
On suppose, dans un premier temps, que $\int^{\infty}_{-\infty}
|f(t)|dt < \infty$, si bien que l'intégrale (\ref{3.1}) est
absolument convergente. On montre ensuite que l'on a nécessairement
\begin{equation}
\label{3.2}
\frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} | \hat f(\omega)|^{2} d\omega =
\int^{\infty}_{-\infty} |f(t)|^{2} dt
\end{equation}
si le membre de droite de (\ref{3.2}) est fini. Alors la
transformation de Fourier, notée $\mathcal{F}$, qui est, a priori
définie sur $L^{1}(\mathbb{R}) \cap L^{2} (\mathbb{R})$, se prolonge
par continuité à $L^{2}(\mathbb{R})$ tout entier. Nous désignons
par $L^{1}(\mathbb{R})$ ou $L^{2}(\mathbb{R})$ l'espace défini par
$\int^{\infty}_{-\infty} |f(t)|dt < \infty$ ou
$\int^{\infty}_{-\infty} |f(t)|^{2} dt < \infty$, en supposant que $f(t)$
est mesurable.

Le {\it théorème de Shannon} concerne l'espace de Hilbert, noté
$V_{T}$, des fonctions $f(t)$ appartenant à $L^{2}(\mathbb{R})$ et
dont la transformée de Fourier $\hat f(\omega)$ est nulle si
$|\omega|>T$. Cette fréquence $T$ s'appelle la fréquence de
coupure. L'existence d'une fréquence de coupure résulte des
propriétés physiques du signal étudié. Dans le cas du signal
de parole ou de musique, $T=20.000$Hz car les sons dont la fréquence
est supérieure ne sont pas audibles. Dans ce dernier cas, il y a
également une fréquence de coupure en direction des basses
fréquences.

Revenons aux mathématiques et indiquons quelques propriétés
remarquables de l'espace $V_{T}$.

D'une part $V_{T}$ est invariant par translations: si $f(t)$
appartient à $V_{T}$, alors, pour tout $\tau \in \mathbb{R}$,
$f(t-\tau)$ appartiendra également à $V_{T}$.

D'autre part les fonctions appartenant à $V_{T}$ sont
obligatoirement très régulières. Cette régularité (qui se
détériore quand $T$ augmente) est décrite par le célèbre
théorème de Paley-Wiener (découvert par R.E.A.C. Paley et
Norbert~Wiener).

Voilà ce dont il s'agit:

\begin{theorem} Une fonction $f(t)$ appartient à $V_{T}$ si et
seulement si cette fonction $f(t)$ est la restriction à l'axe
réel d'une fonction entière $F(z)$ vérifiant la condition de
croissance suivante
\begin{equation}
\label{3.3}
\left( \int^{\infty}_{-\infty} |F (t + i\tau)|^{2} dt\right)^{1/2} \leq C \exp
(|\tau|T)
\end{equation}
où $C$ est une constante et où cette condition doit être
satisfaite pour $-\infty < \tau < \infty$.
\end{theorem}

Le théorème de Shannon complète cet énoncé.
Posons
\begin{equation}
\label{3.4}
w(t) = \sqrt{\frac{T}{\pi}}\, \frac{\sin (T t)}{Tt}.
\end{equation}
Alors cette fonction appartient évidemment à $V_{T}$. Sa
transformée de Fourier vaut $\sqrt{\sfrac{\pi}{T}}$ si $- T \leq
\omega \leq T$ et $0$ sinon.

On a alors:

\begin{theorem} Les fonctions $e_{k}(t)= w(t- \sfrac{k\pi}{T})$, $k\in
\mathbb{Z}$, forment une base hilbertienne de $V_{T}$. Plus
précisément, pour toute fonction $f \in V_{T}$, on a
\begin{equation}
\label{3.5}
\sqrt{\frac{T}{\pi}}\, f(t) =\sum^{\infty}_{-\infty} f \left(\sfrac{k\pi}{T}\right)
e_{k} (t).
\end{equation}
\end{theorem}
Nous savions déjà, grâce au théorème 2, que la fonction
$f(t)$ est régulière. Les valeurs $f(\sfrac{k\pi}{T})$ ont donc un
sens.

Le théorème de Shannon nous apprend d'abord qu'une fonction $f$
appartenant à $V_{T}$ est entièrement déterminée par son
échantillonnage sur la grille $\frac{\pi}{T}\mathbb{Z}$. On parlera
d'un \og échantillonnage critique\fg.

Si ce fait est acquis, \eqref{3.5} en découle immédiatement. En
effet, la fonction $w(t)$ vaut $\sqrt{T}{\pi}$ quand $t=0$ et $0$ en
tous les autres points de la grille d'échantillonnage. Le second
membre de \eqref{3.5}, noté $g(t)$, appartient à $V_{T}$ (comme
combinaison linéaire de fonctions de $V_{T}$) et prend les mêmes
valeurs que $f$ sur la grille $\frac{\pi}{T}\mathbb{Z}$. Donc $f=g$.

Le théorème de Shannon permet donc d'interpoler $f$ et doit être
comparé à la formule d'interpolation de Lagrange qui fournit un
polynôme $P$ de degré $\leq n$ à partir des valeurs
$P(x_{0}),\dots,P(x_{n})$.

Le théorème de Shannon est un premier pas vers la notion de {\it
débit d'un canal de communication}.

Voici ce dont il s'agit. On considère un intervalle $[0,L]$ auquel on
restreint les fonctions $f$ de l'espace $V_{T}$. {\it On désigne par
$V_{T,L}$ l'espace vectoriel de ces restrictions.}

Léon Brillouin et Claude Shannon nous apprennent que {\it la
\og di\-men\-sion\fg de $V_{T,L}$ est $TL/\pi$. En d'autres termes, le nombre
moyen d'informations indépendantes que l'on peut transmettre par
unité de temps est} $T/\pi$. Un canal de transmission a un débit
limité par sa fréquence de coupure. Ce fait crucial intervient
aujourd'hui dans la technologie du multimedia. La transmission des
images nécessite de traiter un volume important de données
numériques, ce qui nécessite l'emploi de fibres optiques comme
canal de transmission. La fréquence de coupure est alors plus
élevée.

Ceci est bel et beau mais semble en contradiction avec les
théorèmes~2 et 3.

En premier lieu, les fonctions $f\in V_{T}$ sont des fonctions
entières. Elles sont donc entièrement déterminées par leur
restriction à $[0,L]$. L'application de restriction $\rho : V_{T}
\to L^{2}[0,L]$ est injective et $V_{T,L}$ est de dimension infinie.

Comment peut-on alors parler du débit d'un canal de transmission?

Un autre paradoxe est qu'une fonction $f\in V_{T}$ est entièrement
déter\-minée par sa restriction à $[0,L]$. Est-il vrai qu'après
avoir entendu deux minutes votre interlocuteur, vous puissiez
prévoir ce qu'il dira par la suite?

L'explication de ces deux paradoxes vient de l'analyse numérique et
du problème du {\it conditionnement}.

Pour étudier l'opérateur de restriction $\rho$, on détermine
{\it ses valeurs singulières} $\lambda_{0} \geq \lambda_{1} \geq
\cdots \geq \lambda_{n} \geq \cdots \geq 0$. Les valeurs singulières
de $\rho$ sont définies par la condition que la suite des
$\lambda^{2}_{n}$,~$n\geq 0$, est la suite des valeurs propres de
l'opérateur auto-adjoint et compact $\rho^{*}\rho$.

Si l'on connaît les valeurs singulières de $\rho$, on peut
essentiellement calculer $\rho$. En effet, il existe une base
orthonormée $e_{0},\dots, e_{n},\dots$ de $V_{T}$ et une base
orthonormée $f_{0},\dots, f_{n},\dots$ de $L^{2}[0,L]$ telles
que $\rho(e_{n}) =\lambda_{n} f_{n}$.

Cette base orthonormée $e_{n}$,~$n \geq 0$, n'est pas la base de
Shannon. Elle est construite dans \cite{6}, référence à laquelle nous
renvoyons le lecteur intéressé. Il pourra aussi consulter le beau
livre d'Ingrid~Daubechies \cite{2}.

Revenons au problème de la \og dimension\fg de $V_{T,L}$. L'explication
du paradoxe vient du fait suivant: si le produit $TL$ tend vers
l'infini, alors $\lambda_{n}$ est \og essentiellement égal à 1\fg si
$0 \leq n \leq \frac{TL}{\pi} - C \log (TL)$ où $C$ est une
constante. Ensuite $\lambda_{n}$, bien que positif, est
\og essentiellement nul\fg si $n > \frac{TL}{\pi} + C \log (TL)$.
Puisque l'on manipule seulement des signaux\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{3.6}
f(t)=\alpha_{0} e_{0}(t) +\cdots + \alpha_{n} e_{n}(t) +\cdots
\end{equation}
d'énergie finie, disons égale à 1, on a $\sum^{\infty}_{0}
|\alpha_{n}|^{2}= 1$.
La restriction à $[0,L]$ prend alors la forme\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{3.7}
f(t) =\lambda_{0} \alpha_{0} f_{0}(t) +\cdots + \lambda_{n} \alpha_{n}
f_{n}(t) + \cdots
\end{equation}
et l'on ne peut plus avoir accès (numérique, effectif) aux
paramètres $\lambda_{n} \alpha_{n}$ quand $n > \frac{TL}{\pi} + C
\log (TL)$.

Pour avoir accès à ces paramètres, il faudrait \og diviser par
$0$\fg, en fait par $\lambda_{n}$ qui est essentiellement nul.

En analyse numérique, multiplier ou diviser par des nombres
extrêmement petits est interdit.

Dans notre cas, la partie inaccessible de (3.7) est \og noyée dans le
bruit thermique\fg. C'est ainsi que D.\,Gabor explique les paradoxes
précédents.

Notons que l'analyse précédente n'aurait pu être conduite à
partir de la base de Shannon. La fonction $w(t)$ est alors trop mal
localisée et la restriction à $[0,L]$ du second membre de (3.5)
fait appel aux valeurs de $f(\sfrac{k\pi}{T})$ pour des points de la
grille d'échantillonnage relativement éloignés de $[0,L]$. Ceci
est dû au comportement en $O(t^{-1})$ de $w(t)$ et de la divergence
de la série harmonique.

Si $T=\pi$, la fonction $w(t)= \psfrac{\sin \pi t}{\pi t}$ s'appelle le
\og sinus cardinal\fg. C'est une sinusoïde légèrement amortie dont
le graphe est bien connu.

\centerline{\includegraphics[scale=.5]{meyerfig1}}

\section{Généralisations du théorème de Shannon}

Le théorème de Shannon doit-il être lu comme un théorème
d'analyse ou comme un théorème d'algèbre? Dans ce second cas,
on oublie l'espace de Hilbert $L^{2}(\mathbb{R})$ et l'on cherche à
savoir si \eqref{3.5} a lieu, en toute généralité, pour une
fonction $f$ arbitraire dont la transformée de Fourier, au sens des
distributions, soit portée par l'intervalle $[-T,T]$.

On montre alors \cite{5} que l'on peut, par exemple, supposer
\begin{equation}
\label{4.1}
\left( \int^{\infty}_{-\infty} |f(t)|^{p} dt \right)^{1/p} =\| f\|_{p}
< \infty
\end{equation}
pour un certain $p\in{}] 1, \infty[$.

L'identité \eqref{3.5} sera encore exacte et le second membre
convergera vers $f(t)$ au sens de la norme $L^{p}$.

En revanche \eqref{3.5} est fausse si $p=+\infty$. Le contre-exemple
est $f(t)=\sin (Tt)$ dont la transformée de Fourier est
$i\pi(\delta_{(-T)} -\delta_{T})$ où~$\delta_{a}$ est la masse de
Dirac en $a$.

Alors $f(\sfrac{k\pi}{T}) = 0$ et \eqref{3.5} conduit à une
absurdité.

Le théorème de Shannon n'est pas une \og identité
remarquable\fg. C'est un théorème d'analyse.

La généralisation du théorème de Shannon en dimension
arbitraire a été entreprise par H.J.\,Landau, aux laboratoires AT\&
T de Murray-Hill.

Parce qu'elle mêle avec bonheur les mathématiques et le traitement
du signal, l'\oe{}uvre scientifique de H.J.\,Landau s'inscrit dans la
voie ouverte par les \og pères fondateurs\fg de la révolution
numérique.

Landau généralise le problème étudié par
Shannon. L'intervalle $[-T,T]$ est remplacé par une partie compacte
$K$ de $\mathbb{R}^{n}$ tandis que~$V_{T}$ est remplacé par l'espace
$V_{K}$ des fonctions $f\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ dont la
\hbox{transformée} de Fourier est nulle hors de $K$. Alors que les
fonctions $f$ appartenant à $V_{T}$ étaient échantillonnées
sur la grille $h\mathbb{Z}$, $h > 0$, nous chercherons à
échantillonner les fonctions $f\in V_{K}$ sur un ensemble discret
$\Lambda$ de points de $\mathbb{R}^{n}$ (on parlera alors d'un
échantillonnage irrégulier).

Landau pose alors les deux problèmes suivants\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{align}
\label{4.2}
&\text{pour quels couples}\ (K, \Lambda),\ \text{l'application
d'échantillonnage}\\[-3pt]
&f\mto
(f(\lambda))_{\lambda\in\Lambda}\ \text{est-elle surjective de} \ V_{K}
\ \text{sur}\ \ell^{2}(\Lambda)\ ?\notag
\\
\label{4.3}
&\text{pour quels couples} \ (K,\Lambda) \ \text{l'application}\ f\mto
(f(\lambda))_{\lambda \in \Lambda}\\[-3pt]
&\text{est-elle (fortement) injective de} \ V_{K}
\ \text{dans}\ \ell^{2}(\Lambda)\ ?\notag
\end{align}

Cette dernière condition signifie qu'il existe une constante $C$
telle que l'on ait\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{equation}
\label{4.4}
\int_{\mathbb{R}^{n}}|f(x)|^{2} dx \leq C \sum_{\lambda \in \Lambda}
|f(\lambda) |^{2}
\end{equation}
pour toute fonction $f\in V_{K}$.

{\it Dans le langage du traitement du signal, \eqref{4.2} correspond
au \og sous-échan\-tillon\-nage\fg tandis que \eqref{4.4} correspond au
\og sur-échan\-tillonnage\fg.} Si \eqref{4.2} et \eqref{4.4} ont lieu
simultanément, on parlera d'un échantillonnage critique.

Pour illustrer ces notions, revenons au cas uni-dimensionnel avec $K =
[ -T,T]$ et $\Lambda=h \mathbb{Z}$, $h > 0$. Le sous-échantillonnage
correspond à $h > \sfrac{\pi}{T}$, l'échantillonnage critique à
$h = \sfrac{\pi}{T}$ et le sur-échantillonnage à $0 < h <
\sfrac{\pi}{T}$.

Dans le premier cas, la somme $S(t)$ de la série\vspace*{-3pt}
\[
\sum^{\infty}_{-\infty} f (hk) w (t -hk),
\]
où $w(t) = \psfrac{\sin
Tt}{Tt}$ n'est plus égale à $f(t)$ et ce phénomène s'appelle
\og aliasing\fg.

Dans le dernier cas $(0 < h < \pi/T)$ on peut améliorer \eqref{3.5}
en\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{4.5}
f(t) = \sum^{\infty}_{-\infty} f (h k) \theta (t-hk)
\end{equation}
où $\theta(t)$ est une fonction de la classe de Schwartz ne
dépendant que de~$h$ et de $T$.

Mais, comme nous l'avons déjà souligné, l'application qui à
$f$ dans~$V_{T}$ associe $f(hk)$, $k\in \mathbb{Z}$, n'est pas un
isomorphisme entre $V_{T}$ et~$\ell^{2}(\mathbb{Z})$ lorsque $0 < h <
\pi/T$.

Le sur-échantillonnage implique que l'information fournie par
l'échantil\-lon\-nage $f(hk)$, $k\in \mathbb{Z}$, est redondante et ces
coefficients $f(hk)$, $k\in \mathbb{Z}$, sont reliés entre eux par des
relations assez subtiles.

\section{Cellules de Gibbs et pavage du plan temps-fréquence}

Le plan temps-fréquence est le plan $\mathbb{R}^{2}$, l'abscisse
désignant le temps $t$ et l'ordonnée la fréquence
$\omega$. Déployer une fonction $f(t)$ dans le plan
temps-fréquence correspond à l'exercice appelé dictée
musicale: on écoute la musique (ici $f(t)$) et l'on écrit les
notes (ici les \og atomes temps-fréquence\fg), en indiquant leur
durée et leur hauteur. Finalement, après avoir écouté la
musique, on écrit la partition.

La difficulté de l'exercice vient du choix des \og atomes
temps-fréquence\fg.

Nous examinerons successivement plusieurs options. La première est
le célèbre système proposé par D.\,Gabor et J.\,von\,Neumann et
popularisé sous le nom \og d'ondelettes de Gabor\fg. Nous verrons
pourquoi ce système a dû être abandonné.

Le second choix résulte d'une simple application du théorème de
Shannon. Ces \og ondelettes de Shannon\fg ont également été
abandonnées au profit des bases de Wilson qui sont effectivement
utilisées dans le son numérique \og Dolby\fg.

Un \og atome temps-fréquence\fg est une fonction ayant une bonne
localisation (autour de $t_{0}$) et dont la transformée de Fourier
$\hat f(\omega)$ a également une bonne localisation (autour de
$\omega_{0}$).

Mais cette double exigence se heurte à une limite, connue sous le
nom de principe d'incertitude de Heisenberg:

\begin{theorem}[Heisenberg] Si $f(t)$ est une fonction, à valeurs
réelles ou complexes, normalisée par $\int^{\infty}_{-\infty}
|f(t)|^{2}dt=1$, alors on a nécessairement
\begin{equation}
\label{5.1}
\left( \int^{\infty}_{-\infty} t^{2} |f(t)|^{2}dt\right) \left(
\int^{\infty}_{-\infty} \omega^{2}| \hat f(\omega)|^{2}
d\omega\right) \geq \pi/2
\end{equation}
et, plus généralement, on a, pour $t_{0} \in \mathbb{R}$, $\omega_{0} \in \mathbb{R}$,
\begin{equation}
\label{5.2}
\left( \int^{\infty}_{-\infty} (t-t_{0})^{2} |f(t)|^{2}dt\right) \left(
\int^{\infty}_{-\infty} (\omega-\omega_{0})^{2}| \hat f(\omega)|^{2}
d\omega\right) \geq \pi/2.
\end{equation}
\end{theorem}

Bien entendu \eqref{5.2} découle de \eqref{5.1} appliqué à la
fonction auxiliaire $g(t) = e^{i\omega_{0} t} f(t + t_{0})$.

Pour démontrer \eqref{5.1}, nous supposerons d'abord $f(t)$
réelle. On part de l'intégrale $I = \int^{\infty}_{-\infty}
tf(t)f'(t) dt$ que l'on calcule de deux façons différentes. D'une
part, on intègre par parties et l'on obtient $I=
-\frac{1}{2}\int^{\infty}_{-\infty} f^{2} (t)dt = - 1/2$. D'autre part
on applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'on obtient
$$
|I| \leq \left( \int^{\infty}_{-\infty} t^{2}
|f(t)|^{2}dt\right)^{1/2}
\left( \int^{\infty}_{-\infty} |f'(t)|^{2} dt\right)^{1/2}.
$$
Cette dernière intégrale vaut $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
(\int^{\infty}_{-\infty} \omega^{2} |\hat f (\omega)|^{2}
d\omega)^{1/2}$.

Si $f(t)$ est à valeurs complexes, on considère
\[
I=\frac{1}{2}
\int^{\infty}_{-\infty}f(t)\overline{f'(t)} dt + \frac{1}{2}
\int^{\infty}_{-\infty} \overline{f(t)} f'(t)dt
\]
et l'on reprend l'argumentation précédente.

La preuve que nous venons de donner montre que \eqref{5.1} est une
égalité si et seulement si $f(t)= c \exp (- \sfrac{t^{2}}{2h^{2}})$,
où $h>0$ et $|c| =\pi^{-1/4} h^{-1/2}$. De même \eqref{5.2} est
une égalité si et seulement si
\begin{equation}
\label{5.3}
f(t) = c e^{i\omega_{0}t} \exp \Bigl( -
\frac{(t-t_{0})^{2}}{2h^{2}}\Bigr).
\end{equation}
Nous venons de définir les \og ondelettes de Gabor\fg dont la
localisation dans le plan temps-fréquence est optimale.

Plus généralement, {\it nous appellerons \og atomes
temps-fréquence\fg la famille, indexée par} $(t_{0},\omega_{0})
\in \mathbb{R}^{2}$ {\it des fonctions}
\begin{equation}
f(t) = e^{i\omega_{0}t} w(t-t_{0})
\end{equation}
{\it où $w(t)$ est fixée et est bien localisée en variable
temporelle et fréquentielle.}

John von Neumann et Dennis Gabor pensaient qu'en répartissant
régu\-lièrement les points $(t_{0},\omega_{0})$ dans
le plan temps-fréquence, il était possible de construire des bases
de $L^{2}(\mathbb{R})$ formées d'atomes temps-fréquence.

Voici un premier exemple de ce programme, à savoir la base de Shannon.

\begin{theorem} Posons $w(t) = \psfrac{\sin \pi t}{\pi t}$ et\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{5.4}
w_{j,k} (t) =\exp (2\pi ijt) w(t-k),\quad j\in \mathbb{Z},\ k\in
\mathbb{Z}.
\end{equation}
Alors les atomes temps-fréquence $w_{j,k} (t)$ forment une base
orthonormée de $L^{2}(\mathbb{R})$.
\end{theorem}

La preuve de \eqref{5.4} est immédiate. On commence par décomposer
$f\in L^{2}(\mathbb{R})$ en\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{5.5}
f(t) = \sum^{\infty}_{-\infty} f_{j} (t)
\end{equation}
où les transformées de Fourier $\hat f_{j} (\omega)$ de $f_{j}$
sont définies par $\hat f_{j} (\omega) =\hat f(\omega)$ si $2\pi
(j-1/2) \leq \omega < 2\pi (j + 1/2)$, $j\in \mathbb{Z}$, et $\hat f_{j}
(\omega)=0$ sinon.

Les différentes fonctions $f_{j}$ sont orthogonales entre elles, au
sens du produit scalaire\vspace*{-3pt}
$$\langle f,g\rangle = \int^{\infty}_{-\infty}
f(t) \overline{g(t)} dt.$$

Il suffit pour conclure de vérifier que\vspace*{-3pt}
\begin{equation}
\label{5.6}
f_{j} (t) = \sum_{k} e(j,k) w_{j,k}(t).
\end{equation}
Mais, par construction, $f_{j} (t) =\exp (2 \pi ijt)g_{j} (t)$ où
$g_{j}(t)$ appartient à l'espace $V_{\pi}$ de Shannon.

Le théorème 2 s'applique à $g_{j}(t)$ et implique \eqref{5.6}.

Les physiciens Léon Brillouin et Eugène Paul Wigner ont introduit
le \og plan-temps-fréquence\fg pour illustrer le théorème 5 ainsi
que ses variantes.

\centerline{\includegraphics[scale=.25]{meyerfig2}}

Le domaine hachuré fournit, à la fois, la localisation de
$w_{j,k}(t)$ en variable temporelle (localisation approchée autour
de $k$) et la localisation de $w_{j,k}$ en variable fréquentielle
(localisation exacte puisque le support de la transformée de Fourier
$\hat w_{j,k}(\omega)$ est exactement l'intervalle $[ \pi (2j-1), \pi
(2j +1)[$.

Le plan temps-fréquence est pavé par les rectangles (cellules de
Gibbs) que nous venons de définir.

Pour Léon Brillouin, comme pour Eugène Paul Wigner, le
théorème~5 s'apparente à l'écriture musicale du signal
(acoustique ou musical) $f(t)$. Les \og notes\fg sont les rectangles
précédents.

On objectera que ces \og notes\fg ont toutes la même durée et que les
\og fréquen\-ces\fg sont en progression arithmétique au lieu d'être
en progression géométrique (octaves). Nous reviendrons sur ce point.

\section{Analyse de Fourier à fenêtre et ondelettes de Gabor}

Malgré son élégante simplicité, le théorème 5 présente
deux défauts que nous avons déjà mentionnés. D'une part, le
sinus cardinal $w(t) = \psfrac{\sin\pi t}{\pi t}$ est mal localisé
autour de $0$. D'autre part, les \og notes\fg ou \og atomes
temps-fréquence\fg utilisés ont tous la même durée.

Le physicien K.\,Wilson a su corriger ces deux défauts. Mais avant
d'indiquer cette solution, il importe d'éliminer les choix les plus
naturels.

Remplacer $w(t)$ par une fonction aussi régulière mais mieux
localisée se heurte à un obstacle majeur, découvert
indépendamment par deux physiciens, Francis~Low et Roger~Balian
(professeur à l'École polytechnique).

Si $H$ est un espace de Hilbert, une suite $e_{k}$, $k\in \mathbb{N}$,
de vecteurs de $H$ est une {\it base inconditionnelle} (ou base de
Riesz) de $H$ si les combinaisons linéaires finies $\alpha_{0} e_{0}
+\cdots +\alpha_{m} e_{m}$, $m\geq 0$, constituent un sous-espace
vectoriel $E$ dense dans $H$ et s'il existe deux constantes positives
$C' \geq C > 0$ telles que l'on ait
\begin{align*}
C( | \alpha_{0} |^{2} +\cdots + | \alpha_{m} |^{2})^{1/2} &\leq \|
\alpha_{0} e_{0} +\cdots + \alpha_{m} e_{m} \|\\
&\leq C' (|\alpha_{0}|^{2} +\cdots + | \alpha_{m} |^{2})^{1/2}
\end{align*}
pour tout $m\geq 0$ et toute suite $\alpha_{0},\dots, \alpha_{m}$ de
scalaires.

{\it Le théorème de Balian-Low} nous apprend que le théorème 5
ne peut être amélioré.

On a en effet, le résultat suivant.

\begin{theorem} Supposons que la fonction $w(t)$
de la variable réelle $t$ et sa transformée de Fourier $\hat
w(\omega)$ vérifient les conditions suivantes
\begin{align}
\label{6.1}
\int^{\infty}_{-\infty} |w (t)|^{2} (1+ t^{2}) dt &< \infty\\
\label{6.2}
\int^{\infty}_{-\infty} |\hat w (\omega)|^{2} (1+ \omega^{2}) d\omega
&< \infty.
\end{align}
Alors la suite double
\begin{equation}
\label{6.3}
w_{j,k} (t) =\exp (2\pi ij t)w(t-k),\quad j\in \mathbb{Z},\ k\in \mathbb{Z},
\end{equation}
ne peut être une base de Riesz de $L^{2}(\mathbb R)$.
\end{theorem}

Observons que \eqref{6.2} peut également s'écrire
$\int^{\infty}_{-\infty} |w'(t)|^{2} dt < \infty$ où $w'(t)$ est la
dérivée de $w(t)$ au sens des distributions. Nous avons
privilégié l'écriture \eqref{6.2} car elle respecte la
symétrie entre $w(t)$ et sa transformée de Fourier $\hat w(\omega)$.
Cette symétrie est inhérente au problème posé. En effet les
transformées de Fourier des fonctions $w_{j,k} (t)$ s'écrivent
\begin{equation}
\label{6.4}
\hat w_{j,k} (\omega) = e^{-ik\omega} \hat w (\omega -2\pi j).
\end{equation}
Il s'agit donc d'atomes temps-fréquence où les rôles de $j$ et
de $k$ sont inversés.

En particulier D.\,Gabor et J.\,von\,Neumann s'étaient trompés. Si
$$w(t) =\exp (-t^{2}/2),$$ alors il est faux que toute fonction $f\in
L^{2}(\mathbb{R})$ puisse s'écrire sous la forme $$\sum\sum
\alpha(j,k) w_{j,k} (t)$$ où $\sum\sum | \alpha(j,k)|^{2}
<\infty$. En revanche les fonctions que l'on obtient par ce
procédé constituent une partie dense dans
$L^{2}(\mathbb{R})$. Mais ce sous-espace vectoriel dense n'est pas
$L^{2}(\mathbb{R})$ tout entier.

Une dernière remarque concernant le théorème de Balian-Low est
le rôle de l'échantillonnage critique.
Si $$w(t) =\exp (-t^{2}/2)$$ et si l'on considère les atomes
temps-fréquence \og sur-échantillonnés\fg, à savoir
\begin{equation}
\label{6.5}
\tilde w_{j,k} (t) =\exp (2\pi ijt) w (t-\alpha k),
\end{equation}
où $0 < \alpha < 1$, alors toute fonction $f\in L^{2}(\mathbb{R})$
s'écrit
\begin{equation}
\label{6.6}
f(t) =\sum \sum \alpha (j,k) \tilde w_{j,k} (t),
\end{equation}
où
$$
\Big(\sum\sum (\alpha (j,k)|^{2}\Big)^{1/2} \leq C(\alpha) \| f\|_{2},
$$
mais l'application surjective de $\ell^{2}(\mathbb{Z}^{2})$ sur
$L^{2}(\mathbb{R})$ ainsi définie n'est pas injective.

En sens inverse (\og sous-échantillonnage\fg) si $\alpha > 1$,
l'application de $\ell^{2}(\mathbb{Z}^{2})$ dans
$L^{2}(\mathbb{R}^{2})$ qui à $(\alpha(j,k))$ associe la fonction
$f(t)$ définie par \eqref{6.6} est injective mais pas surjective. On
retrouve ici l'alternative qui apparaissait dans le théorème de
Shannon.

Un cas extrême de sur-échantillonnage est celui de la
transformée de Fourier à fenêtre.

On remplace $j$ et $k$ par des variables continues $\xi$ et $\tau$ et
l'on considère tous les atomes temps-fréquence
\begin{equation}
\label{6.7}
w_{\xi,\tau} (t) =\exp (i \xi t) w (t-\tau),
\end{equation}
où $\xi \in \mathbb{R}, \tau \in \mathbb{R}, w\in
L^{2}(\mathbb{R})$ et $\| w\|_{2} = (2 \pi)^{-1/2}$.

La transformée de Fourier à fenêtre de $f(t)$ est alors
\begin{equation}
\label{6.8}
W(\tau, \xi) = \langle f,w_{\xi,\tau} \rangle =
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\xi t} f(t) \overline{w(t-\tau)}\,dt.
\end{equation}
Cette dernière intégrale est le produit scalaire entre $f(t)$ et
l'atome temps-fréquence. Mais elle peut aussi être interprétée
de la façon suivante. On effectue la transformée de Fourier à
fenêtre de $f$ en segmentant $f(t)$: il s'agit de multiplier $f(t)$
par $w(t-\tau)$ ce qui délimite un \og morceau\fg ou \og segment\fg du
signal $f(t)$. Ensuite on effectue la transformée de Fourier usuelle
de ce morceau. On obtient ainsi \eqref{6.8}.

On revient à $f(t)$ grâce à la formule d'inversion
\begin{equation}
\label{6.9}
f(t) =\iint W(\tau, \xi) w_{\xi,\tau}(t) \,d\tau\, d\xi.
\end{equation}
Bien entendu l'information fournie par $W(\tau,\xi)$ est redondante
puisqu'une fonction d'une variable réelle est remplacée par une
fonction de deux variables réelles. Pour mieux comprendre à quel
point cette information est redondante, examinons le cas particulier
où $w(t)= \exp (-t^{2}/2)$ en oubliant intentionnellement la
constante de normalisation.

On pose successivement $\tilde f(t)=\exp (-t^{2}/2) f(t)$ puis
\begin{equation}
\label{6.10}
F(z) = \int^{\infty}_{-\infty} e^{-izt} \tilde f(t)dt,\quad z = x+iy.
\end{equation}
Cette fonction $F(z)$ est entière et un calcul évident fournit
\begin{equation}
\label{6.11}
\iint |F(z)|^{2}e^{-y^{2}} dx dy =2\pi \sqrt{\pi}
\int^{\infty}_{-\infty} |f(t)|^{2} dt.
\end{equation}
Finalement la transformée de Fourier à fenêtre $W(\tau,\xi)$ de
$f$ et la fonction entière $F(z)$ sont reliées par
\begin{equation}
\label{6.12}
W(\tau, \xi)=e^{-\tau^{2/2}} F(\xi + i\tau).
\end{equation}
On voit ici que $W(\tau,\xi)$ n'est évidemment pas une fonction
arbitraire. Elle doit vérifier les deux contraintes suivantes:
$e^{\tau^{2/2}} W(\tau,\xi) = F (\xi +\nobreak i\tau)$ est une fonction
entière et $W(\tau,\xi)$ doit appartenir à
$L^{2}(\mathbb{R}^{2})$:
\begin{equation}
\label{6.13}
\iint | W(\tau,\xi)|^{2}d\tau d\xi = 2 \pi \sqrt{\pi}
\int^{\infty}_{-\infty}| f(t)|^{2} dt.
\end{equation}
Un physicien, et non des moindres, nous a appris comment contourner
l'obstacle du théorème de Balian-Low. Il s'agit de Kenneth Wilson,
prix Nobel de physique, célèbre pour ses travaux sur la
renormalisation.

\section{Les bases de Wilson}

Le théorème de Wilson a été annoncé mais non démontré
par son auteur. L'intuition de Wilson, basée sur des
expérimentations numériques, l'a conduit à modifier la
modulation, c'est-à-dire le facteur $\exp(2\pi ijt)$, dans la
définition des ondelettes de Gabor. On peut alors retrouver des
bases orthogonales améliorant sensiblement la base de Shannon.

Voici un premier énoncé qui sera ensuite amélioré. On part
d'une fenêtre $W(t)$ qui est nulle hors de l'intervalle $[-1/2,
3/2]$ et qui vérifie $0 \leq w(t) \leq 1$, $w(1-t)=w(t)$ et
finalement
\begin{equation}
\label{7.1}
\sum^{\infty}_{-\infty} w^{2}(t-k)=1\ \text{sur}\ \mathbb{R}.
\end{equation}
Ces propriétés permettent évidemment d'imposer, en outre
$w(t)\in C^{\infty}_{0} (\mathbb{R})$.
On a alors

\begin{theorem} Posons successivement
\begin{equation}
\label{7.2}
w_{j} (t) = \sqrt{2} \cos [ \pi (j+ 1/2)t]w(t),\quad j=0,1,2,\dots
\end{equation}
et ensuite
\begin{equation}
\label{7.3}
w_{j,k} (t) = w_{j} (t-k),\quad k\in \mathbb{Z}.
\end{equation}
Alors $w_{j,k}(t)$ est une base orthonormée de $L^{2}(\mathbb{R})$.
\end{theorem}

Ce théorème appartient aux mathématiques. Sa preuve n'est pas
difficile. Cependant ce théorème n'a pas été découvert par un
mathématicien mais bien par un physicien, K.\,Wilson et également
par un chercheur brésilien, spécialiste du traitement du
signal. Il s'agit de Henrique~Malvar.

On peut penser que l'action du groupe $\mathbb{Z}$ joue un rôle
essentiel dans le théorème 5. Il n'en est rien. R.R.\,Coifman et
l'auteur de ces lignes ont pu généraliser le théorème de
Wilson de la façon suivante.

On remplace les fonctions $w(t-k)$ par des fonctions $w_{k} (t)$, $k\in
\mathbb{Z}$, à support compact et soumises encore une fois à
\begin{equation}
\label{7.4}
\sum^{\infty}_{-\infty} |w_{k}(t)|^{2} = 1\ \text{identiquement sur}\
\mathbb{R}.
\end{equation}
La condition de symétrie $w(t) = w(1-t)$ est remplacée par les
conditions suivantes
\begin{align}
&\left\{\begin{aligned}
&\text{le support de $w_{k}$ est l'intervalle $[t_{k}-\eta_{k},t_{k+1} + \eta_{k+1} ]$},\\
&\text{où }\lim_{k\to \pm\infty} t_{k} = \pm \infty,\ \eta_{k} > 0\ \text{et}\ \eta_{k} +\eta_{k+1} \leq \ell_{k} = t_{k+1} -t_{k}
\end{aligned}\right.\label{7.5}
\\
&\left\{\begin{aligned}
&\text{sur l'intervalle}\ [t_{k} -\eta_{k},t_{k} +\eta_{k}], \text{on a}\\
&w_{k-1} (t_{k}+\tau) = w_{k} (t_{k} -\tau),\ |\tau|\leq \eta_{k}.
\end{aligned}\right.
\label{7.6}
\end{align}
Dans ces conditions, on a:

\begin{theorem} Les atomes temps-fréquence $w_{j,k}(t)$, $j\!=\!
0,1,2,\dots$, \hbox{$k\!\in\! \mathbb{Z}$}, définis par
\begin{equation}
\label{7.7}
w_{j,k} (t) = \sqrt{\frac{2}{\ell_{k}}}\, \cos \Bigl[ \pi (j+1/2)
\frac{t-t_{k}}{\ell_{k}}\Bigr] w_{k}(t)
\end{equation}
forment une base orthonormée de $L^{2}(\mathbb{R})$.
\end{theorem}
La décomposition d'une fonction de carré sommable $f(t)$ dans la
base $w_{j,k}(t)$ s'apparente à l'écriture musicale. En fait, on
peut en dire plus. Jean-Sylvain Liénard et Xavier~Rodet
avaient introduit des atomes temps-fréquence conduisant à une
analyse et à une synthèse efficace de la voix chantée. Ils ont
été conduits à ce qu'ils appelèrent \og waveforms\fg. Ces
\og waveforms\fg étaient de la forme $\cos (\omega t + \varphi) w(t)$
où la fenêtre $w(t)$, à support dans l'intervalle $[a,b]$
correspond à l'\og atta\-que\fg de la note $(w(t)$ augmente sur $[a,c])$
puis à l'\og étouffement\fg $(w(t)$ diminue sur $[c,b])$. On a $a
\leq c\leq b$ et toutes les valeurs de $\omega, \varphi, a, b$ et $c$
sont permises.

La voix chantée $f(t)$ est décomposée, dans les algorithmes de
Liénard \& Rodet en une combinaison linéaire
\begin{equation}
\label{7.8}
f(t)=\sum c_{j} \cos (\omega_{j} t + \varphi_{j})w_{j}(t)
\end{equation}
mais l'écriture \eqref{7.8} restait très laborieuse dans ces
travaux. Les auteurs ne disposaient pas du théorème 6.

\section{Recherche de la base optimale}

Il n'est pas vrai que toutes les bases orthonormées de
$L^{2}(\mathbb{R})$ soient utiles. Certaines sont plus efficaces que
d'autres. Cette efficacité apparaît lorsque la base
orthonormée en question est utilisée pour analyser d'autres
espaces fonctionnels que l'espace de référence
$L^{2}(\mathbb{R})$. On pense aux espaces de Sobolev
$H^{s}(\mathbb{R})$, aux espaces de Hölder $C^{r}(\mathbb{R})$, aux
espaces de Lebesgue $L^{p}(\mathbb{R})$ où $1 \leq p \leq \infty$
etc.

En traitement du signal, il est également intéressant de comparer
les performances, sur un ensemble $E$ de signaux ou d'images, de
diverses bases orthonormées.

Deux problèmes apparaissent et D.\,Donoho nous a appris à les
relier. D'une part, on peut souhaiter que les fonctions $f$
appartenant à $E$ soient efficacement comprimées lorsque la \og base
optimale\fg est choisie.

D'autre part on peut souhaiter que la décomposition dans cette
\og base optimale\fg soit robuste. Il s'agit des problèmes posés par
le seuillage et la quantification.

Soyons plus précis.

L'utilisation du \og numérique\fg amène à remplacer la
décomposition exacte
\begin{equation}
\label{8.1}
f(t)=\sum \alpha_{j} e_{j} (t)
\end{equation}
d'un signal d'entrée $f \in E$ dans la base orthonormée $e_{j}$,
$j\in J$, par une décomposition approchée
\begin{equation}
\label{8.2}
\tilde f(t) = \sum_{j\in F} \tilde \alpha_{j} e_{j}(t).
\end{equation}
Dans cette décomposition approchée, $F$ est une partie finie de
$J$ tandis que $\tilde\alpha_{j}$ est obtenu à partir de
$\alpha_{j}$ par les opérations de seuillage et/ou de
quantification.

Cela signifie que tous les $\alpha_{j}$ vérifiant $|\alpha_{j}| <
\varepsilon$ (pour un certain seuil $\varepsilon > 0$) seront
remplacés par $0$. Par ailleurs les $\tilde\alpha_{j}$ appartiennent
à un ensemble fini $E$ de valeurs digitales.

Il est clair que le seuillage intervient sur le choix de $F$. Le plus
souvent, $F$ est précisément l'ensemble des $j\in J$ tels que
$|\alpha_{j} | \geq \varepsilon$.

Le choix optimal de la base orthonormée $e_{j}$, $j\in J$, est celui
pour lequel $\tilde f(t)$ est perceptuellement le plus proche possible
de $f(t)$ quand~$f$ parcourt $E$.

Ce problème est difficile, car la qualité de la reconstruction (ou
restitution) $\tilde f(t)$ n'est pas mesurée (par l'\oe{}il ou
l'oreille) à l'aide de la norme $L^{2}(\mathbb{R})$.

On ne dispose pas d'une norme fonctionnelle définissant cette
qualité.

Si l'on remplace l'espace de Hilbert $L^{2}(\mathbb{R})$ par un espace
fonctionnel $E$, les problèmes mathématiques posés par
l'approximation non linéaire sont particulièrement
intéressants. Il s'agit encore, pour tout entier $N\geq 1$,
d'évaluer la borne inférieure des erreurs commises en remplaçant $f(t)= \sum \alpha_{j} e_{j}(t)$ par $\tilde
f(t)=\sum_{j\in F}
\beta_{j} e_{j}(t)$ où le cardinal de $F$ ne dépasse pas $N$.
Cette erreur est définie par $\varepsilon_{N} (f)= \| f-\tilde
f\|_{E}$ et l'on cherche à relier la vitesse à laquelle
$\varepsilon_{N}(f)$ tend vers $0$ aux propriétés de la fonction
$f(t)$. Signalons avec force que, pour tout $N$ fixé, les choix de
$F$ et des $\beta_{j}$ sont entièrement libres, c'est-à-dire
dépendent (non linéairement) de $f(t)$.

Revenons au théorème 6. On dispose d'une infinité de bases
orthonormées et il convient de faire un choix. Le lecteur
intéressé par ce problème pourra consulter \cite{3} ou \cite{4}.

\section{Les \og chirps\fg en mathématique et en traitement du~signal}

Le mot anglais \og chirp\fg désigne le pépiement, le gazouillis d'un
oiseau. En traitement du signal, il s'agit d'un signal modulé en
fréquence, c'est-à-dire une fonction de la forme
\begin{equation}
\label{9.1}
f(t) = A(t) \exp (i\varphi(t))
\end{equation}
où $A(t)$ et $\varphi(t)$ sont à valeurs réelles et où la
dérivée seconde $\varphi''(t)$ est \og beaucoup plus grande\fg que le
maximum de $|A(t)| + |A'(t)| + | A''(t)|$.

Ceci exclut les atomes temps-fréquence étudiés précédemment
où $\varphi(t) =\omega t +\varphi$, c'est-à-dire $\varphi''(t)=0$.

En mathématique, il importe évidemment de donner un sens à la
condition concernant $|\varphi''(t)|$.

Il y a trois options.

Dans la première, on suppose que $A(t)$ est une fonction
régulière, à support compact inclus dans l'intervalle
$[a,b]$. On suppose ensuite que $\varphi'' (t) \geq 1$ sur $[a,b]$ et
l'on introduit un \og grand paramètre\fg $\lambda \geq 1$. On
considère la famille $f_{\lambda} (t)$ des fonctions définies par
\begin{equation}
\label{9.2}
f_{\lambda}(t) = A(t)\exp (i\lambda \varphi(t))
\end{equation}
dont on étudie le {\it comportement asymptotique quand $\lambda$
tend vers $+\infty$}.

Dans la seconde option, on suppose que $f(t)$ est définie sur
$[t_{0},\infty[$ et l'on étudie, sous la condition $\varphi''(t)
\geq 1$, $t\geq t_{0}$, {\it le comportement asymptotique de $f(t)$
quand $t$ tend vers $+\infty$.}

Dans la troisième option que nous développerons, le signal $f(t)$
comporte une {\it singularité} en $t=t_{0}$. C'est à dire que
$\varphi(t)$ et $A(t)$ sont régulières en dehors du point
$t_{0}$. On suppose en outre que $\lim_{t\to t_{0}} |\varphi''(t)| = +
\infty$ et que s'il en est de même pour $A(t), A'(t)$ et $A''(t)$,
du moins on ait
$$
\lim_{t\to t_{0}} | \varphi''(t)|/ (|A(t)|+ |A'(t) | + |A''(t)|) = +
\infty.
$$
Un exemple bien connu est fourni par
\begin{equation}
\label{9.3}
f(t) = t \sin (1/t)
\end{equation}
avec $t_{0}=0$.

Dans les pages qui suivent, les \og chirps\fg seront tout d'abord de
nouveaux \og atomes temps-fréquence\fg et nous serviront à
décomposer de façon plus efficace des signaux ou des fonctions
assez compliquées.

Nous étudierons d'abord de nouvelles bases orthonormées de
$L^{2}(\mathbb{R})$ dont la structure généralise celle des bases
de Wilson.

Ensuite nous décomposerons la série de Riemann
\begin{equation}
\label{9.4}
\sigma(x) =\sum^{\infty}_{1} n^{-2} \sin(\pi n^{2}x)
\end{equation}
en une série de chirps et démontrerons ainsi sa dérivabilité
en $x_{0}=1$.

Après ces deux résultats où les chirps jouent le rôle d'atomes
temps-fréquence, nous présenterons un point de vue totalement
différent. Nous construirons des espaces fonctionnels dont les
éléments sont tous des \og chirps\fg. L'analyse des fonctions
appartenant à ces espaces fonctionnels se fera en utilisant les
ondelettes \og temps-échelle\fg.

\section{Bases de Wilson modulées en fréquence}

Les nouveaux atomes \og temps-fréquence\fg que nous construisons
appartiennent à un programme lancé par R.\,Baraniuk et
S.\,Mann. Pour ces auteurs, ces \og atomes temps-fréquence\fg sont
définis par une formule explicite, à savoir
\begin{equation}
\label{10.1}
a(t)=\pi^{-1/4} \ell^{-1/2} \exp \Bigl[ i \Bigl( \frac{\alpha t^{2}}{2} +\beta
t\Bigr)\Bigr] \exp \Bigl(- \frac{(t-t_{0})^{2}}{2\ell^{2}} \Bigr)
\end{equation}
où $\ell > 0$, $\alpha \in \mathbb{R}$, $\beta \in \mathbb{R}$ et
$t_{0} \in \mathbb{R}$ sont des paramètres.

Mais en adoptant ce point de vue, nous sommes aussi démunis que
l'étaient von\,Neumann ou D.\,Gabor en 1945. Nous ne disposons d'aucun
algorithme permettant de décomposer efficacement un signal en ces
atomes temps-fréquence.

Comme précédemment nous modifierons la définition (\ref{10.1})
à deux niveaux. D'une part la gaussienne $g(t)=\pi^{-1/4} \exp(-t^{2}/2)$ sera remplacée par une enveloppe différente, à
support compact. D'autre part, nous remplacerons $\exp (i \alpha t)$
par $\cos [ \pi (j + 1/2) \frac{t-t_{0}}{h}]$ où $h> 0$, $t_{0} \in
\mathbb{R}$, $j\in \mathbb{N}$.

Voici un énoncé précis.

Le point de départ est une \og segmentation\fg $t_{k}$, $k\in
\mathbb{Z}$, de la droite réelle. Nous supposerons simplement que
$t_{k} < t_{k+1}$, $k\in \mathbb{Z}$, que $\lim_{k\to
+\infty} t_{k} =
+ \infty$ et que $\lim_{k\to -\infty} t_{k} = -\infty$.

En suivant la construction des ondelettes de Wilson, nous
considérons une suite $\eta_{k}$ de nombres réels positifs ainsi
qu'une suite $w_{k}(t)$ de fenêtres vérifiant (\ref{7.3}),
(\ref{7.4}) et (\ref{7.5}).

La modulation supplémentaire est définie par deux suites $\alpha_{k}
,\beta_{k}$, de nombres réels ayant la propriété suivante
\begin{equation}
\label{10.2}
\begin{split}
&\text{la fonction $\omega(t)$ définie par $\omega(t)=\alpha_{k} t +
\beta_{k}$ si $t_{k} \leq t < t_{k+1}$,}\\
&\text{$k\in \mathbb{Z}$, est continue sur la droite réelle.}
\end{split}
\end{equation}

On désigne ensuite par $\varphi(t)$ une primitive de $\omega (t)$:
$$
\varphi(t) = \frac{1}{2} \alpha_{k} t^{2} +\beta_{k} t +
\gamma_{k}\ \text{si}\ t_{k} \leq t < t_{k+1}.
$$
Enfin nous définirons $\varphi_{k}(t)$ sur l'intervalle élargi
\hbox{$[t_{k}\!-\!\eta_{k},\ t_{k+1} \!+\!\eta_{k+1}]$} par $\varphi_{k} (t) =\frac{1}{2}
\alpha_{k} t^{2} +\beta_{k} t + \gamma_{k}$. Si donc on a bien
$\varphi(t) =\varphi_{k}(t)$ sur l'intervalle $[t_{k}, t_{k+1}]$, les
fonctions $\varphi_{k} (t)$ et $\varphi_{k-1} (t)$ diffèrent sur
l'intervalle $[ t_{k} -\eta_{k},t_{k} +\eta_{k}]$.

{\it Les ondelettes de Wilson modulées} sont alors définies par
\begin{equation}
\label{10.3}
\tilde w_{j,k} (t) = \sqrt{\frac{2}{\ell_{k}}}\, e^{i\varphi_{k}(t)}
\cos \Bigl[ \pi(j+ 1/2) \frac{t-t_{k}}{\ell_{k}}\Bigr] w_{k}(t)
\end{equation}
où $j= 0,1,2,\dots$ et $k\in \mathbb{Z}$.

On a alors:

\begin{theorem} Les ondelettes de Wilson modulées $\tilde
w_{j,k}(t)$, pour $j= 0,1,2,\dots$, $k\in \mathbb{Z}$, forment une base
orthonormée de $L^{2}(\mathbb{R})$.
\end{theorem}

Voici un exemple d'application de ce théorème. Nous partons de
deux fonctions réelles $g(t)$ et $\varphi(t)$ ayant les
propriétés suivantes: sur le support compact de $g(t)$, on a
$\varphi''(t)\geq 1$ et, par ailleurs, $g(t)$ est indéfiniment
dérivable, tout comme $\varphi(t)$. On considère ensuite un
\og grand paramètre\fg $\lambda \geq 1$ et l'on étudie les \og signaux
asymptotiques\fg
\begin{equation}
\label{10.4}
f_{\lambda}(t) = g(t) \exp [i \lambda \varphi(t)].
\end{equation}
On veut \og optimiser\fg la décomposition de $f_{\lambda}(t)$ en
choisissant la \og meilleure base\fg parmi celles décrites par le
théorème~7. {\it Optimiser la décomposition} signifie la
condition suivante. Si $H$ est un espace de Hilbert et si nous
disposons d'une collection, indexée par $\alpha \in A$, de bases
orthonormées $e_{j,\alpha}$, $j\in J$, de $H$, on pourra alors, pour
un vecteur donné $x\in H$, privilégier la base (c'est-à-dire
l'indice $\alpha$) pour laquelle la décomposition de $x$ est la plus
économique possible. Si $\| x\| =1$, on écrit
$$
x = \sum_{j\in J} \xi(j,\alpha)e_{j,\alpha}
$$
et l'on a $\sum_{j\in J} |\xi(j,\alpha)|^{2} = 1$.

On cherche alors la valeur de $\alpha$ pour laquelle $\sigma(\alpha)
=\sum_{j\in J} |\xi (j,\alpha)|$ est minimum. S'il est
impossible de
calculer explicitement la borne inférieure des $\sigma (\alpha),
\alpha \in A$, on déterminera l'indice $\alpha_{0}$ pour lequel
$\sigma(\alpha_{0})$ est de l'ordre de grandeur de ce minimum. Ceci
sera clarifié dans la discussion qui suit.

Revenons à (\ref{10.4}) que nous décomposerons d'abord dans le
système trigo\-no\-métrique, puis dans une base fournie par le
théorème~7.

Supposons que le support de $g(t)$ soit inclus dans $[-\pi,\pi]$ et
utilisons le système trigonométrique $(2\pi)^{-1/2} e^{ikt}$, $k\in
\mathbb{Z}$, pour décomposer $f_{\lambda}(t)$. Alors
$\sigma(\alpha)$ est de l'ordre de grandeur de $\lambda^{1/4}$. En
traitement du signal, on sait qu'{\it un chirps est un signal à
bande large, mal comprimé en Fourier.}

Nous utilisons ensuite le théorème~7. Les points de segmentation
seront $t_{k} =hk$ où $h=\lambda^{1/3}$, la fonction $w(t)$ sera
ajustée à cette grille (c'est-à-dire sera de la forme
$\varphi(t/h)$ où $\varphi$ est ajustée à $\mathbb{Z}$) et enfin
$\varphi_{k}(t)$ sera le début du développement de Taylor de
$\varphi(t)$ en $t=t_{k}$:
$$
\varphi_{k}(t) = \frac{1}{2} (t-t_{k})^{2} \varphi''(t_{k})+
(t-t_{k})\varphi'(t_{k}) +\varphi(t_{k}).
$$
En faisant ces choix, $\sigma(\alpha)$ est de l'ordre de grandeur de
$\lambda^{1/6}$ ce qui est la valeur optimale que l'on peut obtenir en
utilisant le théorème~7.

Les \og atomes temps-fréquence\fg fournis par le théorème~7
con\-dui\-sent à une décomposition plus courte des signaux
asymp\-to\-ti\-ques que celle que fournirait le système trigonométrique.

\section{Une preuve élémentaire de la dérivabilité en \texorpdfstring{\hbox{$x_{0}\!
=\!1$} de la série $\sum^{\infty}_{1}n^{-2} \sin (\pi n^{-2} x)$}{divers} de
Riemann}

Selon une tradition orale, Riemann pensait que la fonction continue
\begin{equation}
\label{11.1}
\sigma(x) =\sum^{\infty}_{1} n^{-2} \sin (\pi n^{2} x)
\end{equation}
n'est dérivable en aucun point. Dans l'impossibilité de prouver ce
résultat, Weierstrass \og triche\fg en remplaçant systématiquement
$n^{2}$ par $2^{n}$ et considère la série $\sum^{\infty}_{0}
2^{-n} \sin (2^{n}x)$ ou, plus commodément $\sum^{\infty}_{0} 2^{-n}
\sin(3^{n} x)$. Il est alors facile de démontrer que cette
dernière fonction n'est nulle part dérivable.

L'histoire des sciences a donc crédité Weierstrass de cette
découverte: il existe des fonctions continues nulle part
dérivables. En fait, une première construction avait été
obtenue par Bolzano (1781-1848) quarante ans plus tôt! La
construction de Bolzano est bien connue. On part de $f_{0}(x) = x$ sur
l'intervalle $[0,1]$. Ensuite on remplace $f_{0} (x)$ par $f_{1} (x)
=x$ sur $[0,1/3], f_{1}(x)=1-x$ sur $[1/3,2/3]$ et $f_{1} (x) =2x-1$
sur $[2/3,1]$. Enfin on itère, sur
chacun des segments composant le graphe de $f_{1}$, l'opération
géométrique transformant le graphe de $f_{0}$ en le graphe de
$f_{1}$.

On obtient de proche en proche une suite $f_{n}(x)$ de fonctions
continues sur $[0,1]$. Ces fonctions $f_{n}(x)$ convergent
uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction continue $f(x)$ qui n'est
dérivable en aucun point.

Cette construction inaugure la théorie des fonctions multifractales.

Mais le problème posé par Riemann restait entier. Le premier
résul\-tat important a été obtenu par G.H.\,Hardy en 1916. Hardy
démontra que $\sigma(x)$ n'est pas dérivable en $x_{0}$ lorsque
$x_{0}$ est irrationnel. La preuve fournie par Hardy repose sur
l'utilisation d'une variante du lemme d'Abel: si $\sigma' (x_{0})$
existe, alors la limite quand $y> 0$ tend vers $0$ de la fonction de
Jacobi $\theta (x_{0} + iy) =\sum^{\infty}_{-\infty}
e^{i\pi n^{2}(x_{0}+iy)}$ existe nécessairement. La difficulté posée
par cette approche réside dans la réciproque: l'existence de la
limite de $\theta(x_{0} + iy)$ quand $y \to 0^{+}$ n'entraîne pas
nécessairement la dérivabilité, tout comme l'existence de
$\lim_{r\uparrow 1} \sum^{\infty}_{0}
a_{n} r^{n}$
n'entraîne
la convergence de la série $\sum^{\infty}_{0} a_{n}$. Ces
difficultés bien connues sont traitées par ce qu'on appelle des
théorèmes taubériens.

Le problème posé par Riemann ne fut résolu qu'en 1970 par un
jeune étudiant, J.\,Gerver. En utilisant d'une façon fort
compliquée des méthodes élémentaires, Gerver montra que
Riemann avait tort et que $\sigma(x)$ est dérivable en $x_{0}$ si et
seulement si
$$
x_{0} = \frac{2p+1}{2q+1}\,\quad p\in \mathbb{N}\, \quad q\in
\mathbb{N}.
$$
La preuve de Gerver a été le point de départ de nombreux
travaux. Parmi les plus remarquables, il faut mentionner l'utilisation
de l'analyse par ondelettes par M.\,Holschneider et P.\,Tchamitchian et
la preuve \og élémentaire\fg de S.\,Itatsu (\cite{8,9}).

Comme le théorème de Gerver le montre, les points où $\sigma(x)$
est dérivable sont étroitement imbriqués dans un ensemble de
points où $\sigma(x)$ est irrégulière. Il devient alors naturel,
pour un exposant de Hölder $\alpha$ donné, de s'intéresser à
l'ensemble $E(\alpha)$ des points $x_{0}$ tels que $$|\sigma
(x)-\sigma(x_{0})| \leq C(\alpha, x_{0})|
x-x_{0}|^{\alpha}.$$ S.\,Jaffard a calculé la dimension de Hausdorff
de $E(\alpha)$ et a établi que cette dimension, notée $D(\alpha)$,
vaut $0$ si $\alpha \leq 1/2$ ou $\alpha \geq 3/4$ et $4(\alpha -1/2)$
sinon.

Nous nous proposons de donner une nouvelle preuve de la
dérivabilité de $\sigma(x)$ en $x_{0} =1$. Cette preuve est
intéressante dans la mesure où elle illustre notre démarche
fondamentale. À savoir que {\it certaines décompositions en série
sont plus pertinentes que d'autres lorsqu'on désire étudier une
propriété donnée.} Dans notre cas, cette propriété est la
dérivabilité en un point donné et la décomposition de
$\sigma(x)$ en série de Fourier ne donne pas le renseignement
désiré. Nous montrerons, en revanche, que $\sigma(x)$ peut être
écrite comme une série de \og chirps\fg et que cette décomposition
implique, au simple examen des termes, la dérivabilité en
$x_{0}=1$.

Voici les détails de cette preuve.

On désigne par $P$ le demi-plan $y>0$ du plan complexe $\mathbb{C}$
(on a écrit $z = x + iy$). On définit les fonctions holomorphes
$z^{\alpha}$, $\alpha \in \mathbb{C}$, dans $P$ par
\begin{equation}
\label{11.2}
z^{\alpha} =\exp (\alpha \log z)
\end{equation}
où
\begin{equation}
\label{11.3}
\log z =\log \rho + i\theta,\quad z = \rho e^{i\theta},\ 0 < \theta <
\pi.
\end{equation}
Ensuite on considère les fonctions holomorphes
\begin{equation}
\label{11.4}
h_{\alpha} (z)=z^{\alpha} \exp (-i/z),\quad z\in P.
\end{equation}
On a
\begin{equation}
\label{11.5}
\frac{d}{dz} (z^{\alpha+2}e^{-i/z}) = iz^{\alpha}e^{-i/z} + (\alpha
+2) z^{\alpha+1} e^{-i/z}
\end{equation}
ce qui entraîne
\begin{equation}
\label{11.6}
\frac{d}{dz} (z^{\alpha+2}e^{-i/z} H_{\alpha} (z)) = z^{\alpha}
e^{-i/z}
\end{equation}
où $H_{\alpha}$ est holomorphe dans $P$ et admet en $0$ un
développement asymptotique (non convergent) de la forme $c_{0}+
c_{1} z + \cdots + c_{N} z^{N} + O(|z|^{N+1}) $ pour tout $N$.

Venons-en enfin aux \og chirps\fg que nous utiliserons, à savoir les
fonctions $h_{(\alpha,\omega)}(z)$ définies par
\begin{equation}
\label{11.7}
h_{(\alpha, \omega)} (z) = z^{\alpha} e^{-i\omega/z},\quad \omega > 0,\
\alpha \in \mathbb{C},\ z\in P.
\end{equation}
On a alors, avec les notations précédentes,
\begin{equation}
\label{11.8}
z^{\alpha} e^{-i\omega/z} =\frac{1}{\omega} \frac{d}{dz} \{
z^{\alpha+2} e^{-i\omega/z} H_{\alpha} (z/\omega)\}.
\end{equation}
On considère ensuite la \og version holomorphe\fg de la fonction de
Riemann, à savoir
\begin{equation}
\label{11.9}
\rho(x) = \sum^{\infty}_{1} \frac{e^{i\pi n^{2}x}}{i\pi n^{2}}.
\end{equation}
La partie réelle de $\rho$ est la fonction $\sigma$ de Riemann. Il
nous suffira d'établir que $\rho$ est dérivable en $x_{0} =1$ pour
obtenir le même résultat pour $\sigma(x)$.

Au lieu de $\rho(x)$, nous considérons d'abord la fonction
holomorphe correspondante, à savoir
\begin{equation}
\label{11.10}
\rho(z) =\sum^{\infty}_{1} \frac{e^{i\pi n^{2}z}}{i\pi n^{2}},\quad z = x +
iy,\ y > 0
\end{equation}
Nous nous proposons d'établir le lemme suivant:

\begin{lemma} Il existe une constante $C$ telle que, pour $z\in P$, $|z|\leq 1$, on ait
\begin{equation}
\label{11.11}
\rho(1+z)=\rho(1)-z/2 + r(z)
\end{equation}
où
\begin{equation}
\label{11.12}
|r(z)| \leq C|z|^{3/2}.
\end{equation}
\end{lemma}
Une fois ce lemme établi, on écrit $z=x+iy$ et l'on passe à la
limite dans (\ref{11.11}) en laissant $y$ tendre vers $0$. Alors
$\rho(1+z)$ converge uniformément vers $\rho(1+x)$, puisque
$\sum^{\infty}_{1} n^{-2}$ converge. On aura donc
\begin{equation}
\label{11.13}
\rho(1+x) =\rho(1)-x/2 + O(|x|^{3/2})
\end{equation}
ce qui implique la dérivabilité de $\rho$ en $x_{0} = 1$.

Le lemme 1 résulte facilement de la décomposition de $\rho(1+z)$
en une série de \og chirps\fg. Pour établir cette décomposition, on
part des propriétés bien connues de la fonction $\theta(z)$ de
Jacobi. Rappelons ces faits.

On pose
\begin{equation}
\label{11.14}
\theta(z) = \sum^{\infty}_{-\infty} e^{i\pi n^{2}z},\quad z= x+iy,\ y >0.
\end{equation}
On a, grâce à la formule sommatoire de Poisson,
\begin{equation}
\label{11.15}
\sum^{\infty}_{-\infty} e^{-\pi n^{2} y} = \sqrt{\frac{1}{y}}\,
\sum^{\infty}_{-\infty} e^{-\pi n^{2}/y},\quad y > 0.
\end{equation}
Cela s'écrit $\theta(iy) = \sqrt{\sfrac{1}{y}}\, \theta (i/y)$, $y>0$,
et, par prolongement analytique, on obtient
\begin{equation}
\label{11.16}
\theta(z) = \sqrt{\frac{i}{z}}\, \theta (-1/z),\quad z\in P.
\end{equation}
La seconde propriété de la fonction $\theta(z)$ de Jacobi que nous
utiliserons est aussi évidente. Il s'agit de
\begin{equation}
\label{11.17}
\theta(1+z) = \sum^{\infty}_{-\infty} (-1)^{n} e^{i\pi n^{2} z} = 2
\theta (4z) -\theta(z).
\end{equation}
En combinant ces deux propriétés, il vient
\begin{equation}
\label{11.18}
\theta(1+z) = \sqrt{\frac{i}{z}}\, \{ \theta ( - \sfrac{1}{4z}) -\theta
(-1/z)\}
\end{equation}
ou encore
\begin{equation}
\label{11.19}
\theta(1+z)=2 \sqrt{\frac{i}{z}}\, \{ A(4z)-A(z)\}
\end{equation}
où $A(z)= \sum^{\infty}_{1}\exp (-i\pi n^{2}/z)$.

Insistons sur le fait que le terme $n=0$ a disparu dans la
différence $A(4z)-A(z)$. Or
$$
\rho' (z) =\sum^{\infty}_{1} e^{i\pi n^{2}z} = \frac{1}{2}
(\theta(z)-1).
$$
Nous venons donc de développer $\rho' (1+z)$ en la série de
\og chirps\fg suivante
\begin{equation}
\label{11.20}
\rho' (1+z)=-\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{i}{z}}\, \sum^{\infty}_{1}
e^{-i\pi n^{2}/4z} - \sqrt{\frac{i}{z}}\, \sum^{\infty}_{1} e^{-i\pi
n^{2}/z}.
\end{equation}
Puisque $- \dfrac{i}{z} = \dfrac{-ix-y}{x^{2}+y^{2}}$, la convergence
des séries écrites est triviale si $y \geq \varepsilon > 0$, $|z|
\leq R$.

On peut alors intégrer terme à terme en utilisant
(\ref{11.8}) avec $\alpha = - 1/2$.

On obtient
\begin{equation}
\label{11.21}
\rho(1+z) =\rho (1) - z/2 +r(z)
\end{equation}
où $r(z)= r_{1}(z)-r_{2}(z)$,
$$r_{1}(z) = z^{3/2} \sum^{\infty}_{1}
n^{-2} e^{-i\pi n^{2}/z} H_{(-1/2)} (z/\pi n^{2})$$ et où $r_{2}(z)$
est la série analogue où $z$ est remplacé par $4z$. On observe
alors que $| H_{(-1/2)} (z) | \leq C$ si $z\in P$ et $|z| \leq 1$ et
ensuite que $|\exp (-i\pi n^{2}/z)| \leq 1$ pour $z \in P$. Cela
entraîne $|r_{1} (z) | \leq C|z|^{3/2}$ et il en est de même
pour $|r_{2}(z)|$.

Le théorème de Gerver est ainsi démontré.

Comme le souligne J.-P.\,Kahane, B.\,Riemann avait introduit les
\og chirps\fg en donnant un exemple de fonction intégrable, de façon
impropre, au sens de Riemann et dont la transformée de Fourier ne
tend pas vers $0$ à l'infini.

Ce résultat doit être apprécié en observant d'abord que
(théorème de Rie\-mann-Lebesgue) la transformée de Fourier d'une
fonction intégrable tend vers $0$ à l'infini. Par intégrable, on
entend ici que $\int^{\infty}_{-\infty} |f(x)|dx < \infty$.

L'exemple proposé par Riemann est $f(x) = \dfrac{d}{dx} (x^{\nu} \cos
(1/2))$ où $0 < \nu < 1/2$.

Il est donc étonnant que Riemann n'ait pas découvert la preuve
élémentaire que nous avons donnée.

\section{Espaces fonctionnels de chirps}

Les \og chirps\fg utilisés dans la preuve précédente avaient une
définition analytique précise, à savoir
\begin{equation}
\label{12.1}
h_{\alpha} (t) = t^{\alpha} \exp (-i/t)
\end{equation}
où $\alpha$ est un nombre complexe arbitraire. On observera que
$h_{\alpha} (t)$ n'est pas localement intégrable si $\reel\alpha \leq
-1$. Cependant la distribution $t^{\alpha} \exp (-i/t)$ a un sens
comme trace de la fonction holomorphe $z^{\alpha} \exp(-i/z)$ où $z=
t+i\tau$, $\tau > 0$.

Mais ces \og chirps\fg élémentaires sont beaucoup trop particuliers
pour répondre aux besoins des mathématiques et du traitement du
signal.

Nous allons présenter une approche où la formulation explicite est
remplacée par une description qualitative.

Dans la preuve de la dérivabilité en $x_{0}=1$ de la série de
Riemann, la remarque suivante a joué un rôle fondamental. Si
$\alpha =-1/2$, $h_{\alpha} (t) = t^{\alpha} \exp (-i/t)$ est bien
évidemment $O (|t|^{-1/2})$ quand $t$ tend vers $0$ alors que
\begin{equation}
\label{12.2}
\biggl|\int^{t}_{0} h_{\alpha} (s) ds\biggr|= O (|t|^{3/2})
\end{equation}
au lieu du $t^{1/2}$ attendu en introduisant les valeurs absolues à
l'intérieur du signe intégral.

C'est cette propriété fondamentale qui nous servira à la
définition des chirps par leurs propriétés qualitatives.

\enlargethispage{\baselineskip}%
\begin{definitio}\label{def1} Une fonction $f(t)$ de la variable réelle $t$ est
un chirp en $0$ si $|f(t)| \leq C_{0}$ au voisinage de $0$ et si les
primitives itérées $F_{n}$, $n\geq 0$, de $f$, définies par
$F_{0}(t)= f(t)$ et $F_{n+1} (t) = \int^{t}_{0}F_{n} (s)ds$
vérifient
\begin{equation}
\label{12.3}
|F_{n} (t) |\leq C_{n} |t|^{2n}
\end{equation}
au voisinage de $0$.
\end{definitio}
Un calcul très simple montre que l'on a alors $f(t)=g(1/t)$, où~$g$, définie sur $|t|> T$, est indéfiniment oscillante. Cela
signifie que, restreintes à $[T,+\infty[$, $g$ et toutes ses
primitives itérées $G_{n}(t)$, convenablement normalisées par un
choix judicieux de la constante d'intégration, sont bornées:
\begin{equation}
\label{12.4}
|G_{n} (t) | \leq C_{n},\quad T \leq t < \infty.
\end{equation}
On impose la même propriété sur $]-\infty, -T]$ et les
constantes d'intégration peuvent éventuellement différer de
celles choisies sur $[T,\infty[$.

Un exemple très simple est $f(t)=\exp (-i/t)$ avec $g(t)=\exp (-it)$
et $G_{n} (t) = i^{n} \exp (-it)$.

On observera que si $f(t)$ est un chirp en $0$, au sens de la
définition~\ref{def1}, alors il en sera de même pour $f_{+} (t) = f(t)$ si
$t> 0,\ f_{+}(t)=0$ si $t<0$. Par ailleurs si $f(t)$ est un chirp en
$0$, il en sera de même pour $f(-t)$. Ces
deux remarques permettent de décomposer un chirp en $0$ en la somme
$f_{+} + f_{-}$ de deux chirps respectivement portés par $t > 0$
puis par $t<0$ et finalement de se limiter aux chirps portés par $t>
0$.

Une seconde remarque est l'énoncé suivant.

\begin{lemma} Soit $f(t)$ un chirp en $0$ (au sens de la définition
\ref{def1}). Alors, pour tout $\alpha > - 1$, on a
\begin{equation}
\label{12.5}
\int^{t}_{0} s^{\alpha} f(s)ds = t^{\alpha +2} F_{\alpha}(t)
\end{equation}
où $F_{\alpha}(t)$ est également un chirp en $0$.
\end{lemma}

Rappelons la définition de l'espace de Hölder $C^{r}(\mathbb{R})$.

\begin{definitio}
Si $0 < r < 1$, $g \in C^{r}(\mathbb{R})$ signifie qu'il existe une
constante $C$ telle que l'on ait
\begin{equation}
\label{12.6}
|g(t')-g(t)| \leq C |t' -t|^{r}
\end{equation}
pour tout $t$ et tout $t'$.
\end{definitio}

Nous sommes maintenant en mesure de définir l'objet de notre
étude. Il s'agit des chirps généralisés, d'intensité
$\alpha$ et de régularité $r\in{}] 0,1[$.

\begin{definitio} Supposons $\alpha > -1$ et $r\in{}]0,1[$. Une
fonction $f(t)$ définie sur $]0,\tau[$, $\tau > 0$, est un chirp
d'intensité $\alpha$ et de régularité $r$ en $0$ si l'on a
\begin{equation}
\label{12.7}
f(t)= t^{\alpha} g(1/t),\quad 0 < t < \tau
\end{equation}
où $g(t)$ est une fonction de classe $C^{r}$ sur $]T,\infty[$ et
où $g(t)$ est indéfiniment oscillante.
\end{definitio}

On observera que $f(t)$ n'appartient pas à $C^{r}$! Bien
évidemment, on peut étendre la définition 3 au cas où $f$ est
définie sur $] -\tau,\tau[$, $\tau > 0$. On demande alors que $f_{+}
(t) =|t|^{\alpha} g_{\pm} (1/|t|)$ où $g_{\pm}$ aient les
propriétés que nous avons imposées à $g$.

En fait, l'objet de notre étude est un peu plus général. On
souhaite caractériser les fonctions $f(t)$ admettant en $0$ un
développement limité de la forme
\enlargethispage{\baselineskip}%
\begin{equation}
\label{12.8}
f(t)= a_{0} + a_{1} t + \cdots + a_{n} t^{n} + |t|^{\alpha} g_{\pm}
(1/t)
\end{equation}
où $n< \alpha < n+1$ et où $g_{\pm}(x)$ sont deux fonctions ayant
les propriétés indiquées ci-dessus.

Un exemple remarquable d'une telle situation est précisément
fourni par la fonction $\sigma(x)$ de Riemann. Pour étudier son
comportement autour de $x_{0} = 1$, on forme $\sigma (1+t)$ et l'on a
\begin{equation}
\label{12.9}
\sigma(1+t) =\sigma (1) - \frac{t}{2} + |t|^{3/2} g_{\pm} (1/t)
\end{equation}
où, comme dans la définition 3, les fonctions $g_{\pm}(x)$ sont
indéfiniment oscillantes et de classe $C^{1/2}$.

{\it En d'autres termes, $\sigma(1+t)$ est la somme d'une fonction affine
et d'un chirp, ce qui est parfaitement visible sur les agrandissements
autour de $t_{0}=1$ du graphe de $\sigma(x)$.}

Nous poussons encore un peu plus loin le débat en remplaçant
(\ref{12.8}) par une décomposition
\begin{equation}
\label{12.10}
f(t)= u(t) + |t|^{\alpha} g_{\pm} (1/t)
\end{equation}
où $u(t)$ est indéfiniment dérivable au voisinage de $0$ et où
$|t|^{\alpha} g_{\pm} (1/t)$ est un chirp d'intensité $\alpha$ et de
régularité $r$.

En fait, nous partirons d'une fonction $f(t)$ (ou d'un signal) et
chercherons à déterminer (ou détecter) les $t_{0}$ réels tels
que $f(t_{0} +t)$ soit de la forme (\ref{12.10}).

On dira alors que l'on cherche les chirps \og cachés à l'intérieur
du graphe de $f(t)$\fg.

L'outil dont nous aurons besoin pour cette recherche est l'analyse en
\og ondelettes temps-échelle\fg présentée dans la section suivante.

\section{Analyse par ondelettes des chirps de régularité \texorpdfstring{$r$}{r}}

Nous revenons, une fois de plus, à la question fondamentale: quels
atomes temps-fréquence doit-on utiliser pour analyser, de façon
pertinente, les chirps de régularité $r$?

Plus précisément nous voulons caractériser les fonctions de la
forme
\begin{equation}
\label{13.1}
f(t)=u(t) + v(t)
\end{equation}
où
\begin{align}
\label{13.2}
&u(t) = t^{\alpha} g(1/t),\ \alpha > -1,\\
\label{13.3}
&\left\{\begin{aligned}
&\text{$g$ est de classe $C^{r}$ et est indéfiniment
oscillante}\\
&\text{sur $[T,\infty[$ et sur $]-\infty, -T]$}
\end{aligned}\right.\\
\label{13.4}
&\text{$v(t)$ est indéfiniment dérivable au voisinage de $0$.}
\end{align}
De façon surprenante, ces atomes temps-fréquence seront les
\og ondelettes temps-échelle\fg dont nous rappelons la définition.

On part d'une fonction $\psi(t)$ appartenant à la classe de Schwartz
$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ et vérifiant les deux conditions suivantes
\begin{align}
\label{13.5}
\int^{\infty}_{-\infty} t^{k} \psi(t) dt &= 0,\quad k\in \mathbb{N}\\
\label{13.6}
\int^{\infty}_{0} | \hat\psi (\varepsilon\omega)|^{2}\, \frac{d\omega}{\omega}&= 1,\quad \varepsilon = 1 \ \text{ou}\ -1.
\end{align}
On a désigné par $\hat\psi$ la transformée de Fourier de $\psi$
et l'intégrale (\ref{13.6}) converge parce que $\hat\psi(0) =0$ et
que $\hat\psi$ appartient aussi à la classe
$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ de Schwartz.

Les ondelettes $\psi_{(a,b)}$, $a > 0$, $b\in \mathbb{R}$, sont obtenues
par dilatation et translations à partir de l'\og ondelette mère\fg
$\psi(t)$.

En d'autres termes
\begin{equation}
\psi_{(a,b)} (t) = \frac{1}{a} \psi \Bigl(\frac{t-b}{a}\Bigr).
\end{equation}
On définit {\it la transformée en ondelettes d'une fonction (ou
d'une distribution tempérée)} $f(t)$ par
\begin{equation}
\label{13.8}
W(a,b) = \int^{\infty}_{-\infty} f(t) \bar\psi_{(a,b)} (t) dt
\end{equation}
et la convergence de l'intégrale est assurée par la décroissance
rapide des ondelettes $\psi_{(a,b)}$. La fonction $W(a,b)$ est
définie dans le demi-plan supérieur $z=b +ia$.

En sens inverse, on retrouve $f(t)$ grâce à la formule d'inversion
suivante
\begin{equation}
\label{13.9}
f(t) =\int^{\infty}_{0} \left\{ \int W(a,b)\psi_{(a,b)} (t) db \right\}
\frac{da}{a}.
\end{equation}
Tout se passe donc comme si les ondelettes $\psi_{(a,b)}$ formaient
une base orthonormée de $L^{2}(\mathbb{R})$.

Il existe en fait des choix particuliers de $\psi$ tels que
\begin{equation}
\label{13.10}
2^{j/2} \psi (2^{j}t-k),\quad j \in \mathbb{Z},\ k\in \mathbb{Z},
\end{equation}
soit une base orthonormée de $L^{2}(\mathbb{R})$.

\enlargethispage{\baselineskip}%
Si $f(t)$ est seulement définie sur un voisinage de $0$ (disons
$[-1,1]$), on la prolonge arbitrairement par $0$ en dehors de ce
voisinage et l'on peut procéder au calcul de (\ref{13.9}). Ce calcul
sera pertinent lorsque $-1 +\eta \leq b \leq 1-\eta$ ($\eta > 0$ est
fixé), lorsque $a$ tend vers $0$ et lorsque l'on raisonne modulo en
terme d'erreur qui est $O(a^{N})$ pour tout $N$.

Pour finir, voici la caractérisation annoncée des \og chirps
généralisés\fg définis par (\ref{13.1}). On suppose encore $r\in{}
]0,1[$.

\begin{theorem} Soit $f(t)$ une fonction définie au voisinage de $0$
et soit $W(a,b)$ sa transformée en ondelettes au sens des
remarques précédentes. Alors les deux propriétés suivantes
sont équivalentes
\[
f(t)= u(t) + |t|^{\alpha} g_{\pm} (1/t) \tag{A}
\]
comme dans (\ref{13.1})

\noindent
(B) la transformée en ondelettes $W(a,b)$ vérifie les trois
propriétés suivantes lorsque
$0 < a < a_{0}$ et $|b| < b_{0}$ ($a_{0}> 0$, $b_{0} > 0$)
\begin{align*}
| W(a,b)| &\leq C|b|^{\alpha} \Big(\frac{a}{b^{2}}\Big)^{r}\quad\text{si $0 < a\leq b^{2}$,}\tag{B1}\\
|W(a,b)| &\leq C_{N} |b|^{\alpha} \Big(\frac{b^{2}}{a}\Big)^{N}\quad
\begin{cases}
\text{pour tout entier $N\geq 0$}\\
\text{si $b^{2} \leq a\leq |b| < b_{0}$,}
\end{cases}
\tag{B2}
\end{align*}
et finalement
\[
|W(a,b) | \leq C_{N} a^{N}\quad
\begin{cases}
\text{pour tout entier $N\geq 0$}\\
\text{si $a \geq |b|$.}
\end{cases}
\tag{B3}
\]
\end{theorem}
\enlargethispage{1.2\baselineskip}%

On rappelle que $r$ est la régularité des fonctions $g_{\pm}$. Cet énoncé nous apprend à distinguer entre deux régimes.

Dans le premier régime, défini par $0 < a < b^{2}$, l'ondelette
$\psi_{(a,b)}$ \og vibre plus fortement\fg que le chirp $f(t)$. Dans le
calcul de $W(a,b)= \int^{\infty}_{-\infty} f(t)\bar\psi_{(a,b)} (t)dt$,
$f(t)$ joue le rôle de la fonction régulière et $\psi_{(a,b)}$ celui de
la \og fonction oscillante\fg. Une version fractionnaire de la formule
d'intégration par parties conduit alors à (B1). Dans le second
régime, défini par $b^{2} \leq a\leq |b|$, c'est l'inverse qui se
produit: \og le chirp vibre plus intensément que l'ondelette\fg et les
intégrations par parties successives se font à l'aide des
primitives itérées du chirp.

Naturellement le même énoncé reste vrai si l'on utilise une base
orthonormée d'ondelettes orthogonales \cite{5}.

Un groupe de physiciens dirigé par A.\,Grossmann et B.\,Torrésani
avait, bien avant l'existence du théorème, découvert
l'heuristique correspondante. Cette heuristique concerne l'existence
d'une \og ligne de crête\fg, ligne définie par la condition que pour
tout $b$ fixé, $a\mto |W (a,b)|$ y atteigne son maximum (ou une
valeur ayant le même ordre de grandeur).

Le théorème 8 nous apprend que cette \og ligne de crête\fg est
définie par $a=b^{2}$. Ce type de comportement de $|W(a,b)|$
caractérise les singularités oscillantes.

\section{Application à la détection d'ondes gravitationnelles}

Citons \og La Recherche\fg (vol. 26, Juin 1995, page 634).

\og À des années-lumière de nous, des étoiles meurent et
explosent. D'autres tombent sur leur astre-compagnon... D'après la
relativité \hbox{généralisée} d'Einstein, ces ébranlements
cosmiques font vibrer l'espace-temps. Comment détecter les ondes
gravitationnelles ainsi produites?

Deux projets mis au point pour l'an 2000, LIGO et VIRGO, devraient
récompenser une quête engagée voilà plus de trente ans.\fg

Des calculs théoriques prédisent l'onde gravitationnelle émise
par la coalescence de deux étoiles à neutron. Il s'agit d'un
signal $s(t)$ de la famille des chirps, dont l'expression analytique
est
$$
s(t) = (t_{0}-t)^{-1/4} \cos [ \varphi +\omega (t_{0} -t)^{5/8}].
$$
Nous avons omis l'amplitude dont l'ordre de grandeur se situe autour
de $10^{-22}$!

L'appareillage servant à détecter d'éventuelles ondes
gravitationnelles est nécessairement agité d'un incessant bruit
thermique et le signal $s(t)$ que nous devons détecter est noyé
dans ce bruit.

Le débruitage traditionnel consiste à utiliser un filtre
\og passe-bas\fg éliminant le \og bruit blanc\fg dont l'énergie est
essentiellement concentrée dans les hautes fréquences.

Mais dans notre cas, la \og signature\fg du signal $s(t)$ est
l'accélération des vibrations lorsqu'on s'approche de l'instant
fatidique $t_{0}$ où la coalescence se produit. En tuant le bruit,
on tue également le signal.

Suivant un paradigme établi par D.\,Donoho, il convient de
décomposer le signal $s(t)$ dans une base orthonormée adaptée
à l'étude des chirps, par exemple dans la base des ondelettes
temps-échelle.

Ce choix conduit à l'utilisation de \og l'algorithme de Marseille\fg
décrit par le théorème.

B. Torrésani a exploré cette voie mais a montré qu'elle
conduisait à une impasse compte tenu d'un rapport signal/bruit
très défavorable.

Aujourd'hui B. Torrésani et son équipe s'orientent vers ce que
l'on appelle les \og méthodes paramétriques\fg en traitement du
signal. On tient alors compte de la structure explicite du signal
recherché.

\section{Indications bibliographiques}
\begin{itemize}
\item
À mon avis, les cinq meilleurs ouvrages sur les ondelettes
sont (par ordre alphabétique) \cite{1,2,3,4}.

\item
Le lecteur intéressé par les résultats en direction des
mathématiques pourra consulter \cite{5}.

\item
Un très bel exposé sur l'échantillonnage, le théorème
de Shannon et les problèmes reliés est \cite{6}.

\item
Ensuite les références concernant la fonction de Riemann sont \cite{7,7bis,8,9,10,11}.

\item
Enfin les renseignements historiques concernant la révolution numérique sont extraits de la revue Daedalus, Journal of the American Academy of Arts and Sciences, Winter 1998, \og Science in Culture\fg.
\end{itemize}

\backmatter
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups98-01}
\end{document}
