\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais, NoFloatCountersInSection, NoEqCountersInSection,ThmDefs]{cedram}
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\let\cal\mathcal
\let\bm\boldsymbol
\def\bq{{\bm q}}
\def\diam{\mathop{\rm diam}\nolimits}

\newtheorem{theor}{Théorème}
\newtheorem{propo}{Proposition}[section]
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\newtheorem{lem}{Lemme}[section]
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\newcommand{\module}[1]{\|#1\|}

\begin{document}
\frontmatter

\title{Courbes de Julia sans tangente}

\author[\initial{A.} \lastname{Douady}]{\firstname{Adrien} \lastname{Douady}}

\address{Département de Mathématiques, Bât. 425,
Université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France}

\thanks{Journées X-UPS 1996. Aspects des systèmes dynamiques: le premier retour. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1996, et Éditions de l'École polytechnique, 2009}

\maketitle
\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section*{Introduction}

Étant donné un nombre complexe $c$, on note $f_{c}$ l'application $z \mto z^{2} + c$ de $\CC$ dans lui-même. Considérons pour tout point $z_{0} \in \CC$ l'\emph{orbite} de $z_{0}$ par $f_{c}$, c'est-à-dire la suite des $z_{n} = f^{n}_{c} (z_{0})$. Pour $c=0$, la situation est simple: si $|z_{0}| < 1$, la suite $z_{n}$ tend vers $0$, si $|z_{0}| > 1$, on a $|z_{n}|\to \infty$, si $|z_{0}|=1$, on a $|z_{n}|=1$ pour tout $n$; l'application $\gamma_{0}: t\mto e^{2i\pi t}$ est un homéomorphisme de $\TT$ sur le cercle unité $J_{0}$ qui conjugue l'application $\bq: t\mto 2 t$ à $f_{0}$ restreinte à $J_{0}$.

Dans cet exposé nous allons montrer que, pour $|c|< {1/ 4}$, on a une situation analogue jusqu'à un certain point.

\skpt
\begin{theor}\label{th1}
\begin{enumeratea}
\item
Pour $|c|< {1/4}$, il existe une courbe $J_{c}$ dans $\CC$ telle que $f_{c}(J_{c})=J_{c}$, et un homéomorphisme $\gamma_{c}$ de $\TT$ sur $J_{c}$ conjuguant $\bq$ à $f_c$

\item
L'application $f_{c}$ a deux points fixes, un $\alpha_{c}$ dans la région $\Delta$ entourée par $J_{c}$ et un $\beta_{c}$ sur $J_{c}$. Pour $z_{0} \in \Delta$, l'orbite $(z_{n})$ de $z_{0}$ tend vers $\alpha_{c}$; pour $z_{0}$ dans la région extérieure à $J_{c}$ on a $|z_{n}| \to \infty$.
\end{enumeratea}
\end{theor}

\subsubsection*{Commentaire}
Par courbe dans $\CC$, on entend un ensemble homéomorphe à un cercle. L'assertion (a) est simplement qu'il existe une application continue injective $\gamma_{c}: \TT\to \CC$ telle que $f_{c} \circ \gamma_{c} = \gamma_{c} \circ \bq$; on peut appeler $J_{c}$ son image et comme $\TT$ est compact $\gamma_{c}$ sera un homéomorphisme de $\TT$ sur $J_{c}$. L'ensemble $\Delta$ est l'ensemble des points de $\CC-J_{c}$ par rapport auxquels $\gamma_{c}$ a un indice $\not= 0$.

Le théorème suivant montre les limites de l'analogie avec le cas $c=0$.

\begin{theor}\label{th2}
Dans les conditions du théorème \ref{th1}, si $c\not = 0$, la courbe~$J_{c}$ n'a de tangente en aucun point.
\end{theor}

On dit que $J_{c}$ est la \emph{courbe de Julia} de $f_{c}$. Les théorèmes \ref{th1} et \ref{th2} sont valables sous une hypothèse plus faible que $|c|< {1/ 4}$. Il suffit que $f_{c}$ ait un point fixe $\alpha$ attractif, c'est-à-dire tel que $f_{c} (\alpha)=\alpha$, $|f'_{c}(\alpha)|<1$. Les valeurs de $c$ pour lesquelles cela a lieu forment la région $W$ bornée par une cardioïde symétrique par rapport à $\RR$, ayant un rebroussement en $1/4$ et passant par le point $-3/4$. Cette région contient le disque $\DD_{1/4}$.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\centerline{\includegraphics[scale=.9]{douadyfig1b}}
\begin{picture}(-11,-7)
\put(-7.3,4.7){$W$}
\put(-6,4.3){$\scriptstyle\DD_{1/4}$}
\put(-8.7,3.6){$-1$}
\put(-2.8,3.6){$1$}
\put(-5.4,3.7){$0$}
\put(-5.3,6.8){$i$}
\end{picture}
\end{center}
\vspace*{-\baselineskip}
\caption{\label{douadyfig1}}
\end{figure}
Mais la démonstration sous cette hypothèse demanderait des outils savants d'analyse complexe.

Pour démontrer le théorème \ref{th1}, on construit $\gamma_{c}: \TT\to \CC$ continue et satisfaisant $f_{c} \circ \gamma_{c}= \gamma_{c} \circ \bq$. On montre ensuite qu'elle est injective en construisant un inverse.

La démonstration du théorème \ref{th2} se fait en plusieurs étapes.
\begin{enumerate}
\item
Il y a un point où $J_{c}$ n'a pas de tangente. Cela est facile si $c$ n'est pas réel: le point fixe $\beta_{c}$ convient car il a un multiplicateur non réel. Si $c$ est réel, on montre qu'il y a un cycle d'ordre 3 à multiplicateur non réel, cela est assez délicat.

\item
Il y a dans $J_{c}$ un ensemble dense de points où $J_{c}$ n'a pas de tangente. C'est facile à partir du résultat précédent par images réciproques.

\item
On montre que $J_{c}$ possède une propriété d'autosimilitude avec distorsion bornée. À partir de là, s'il y avait un point où $J_{c}$ a une tangente, on montre que $J_{c}$ contiendrait un arc $\cal C^{1}$, c'est-à-dire ayant une tangente en chaque point (et variant continûment avec le point). Ce serait en contradiction avec le pas (2).
\end{enumerate}

\section{La courbe de Julia}

\subsection{Mise en place}

On note $\DD_{a,r}$ le disque ouvert de centre $a$ et de rayon $r$: $\DD_{a,r} = \{ z |\ | z-a|<r\}$. On écrit $\DD_{r}$ pour $\DD_{0,r}$.

On fixe $c$ avec $|c|< 1/4$. La fonction $f_{c}$ a deux points fixes~$\alpha$ et~$\beta$, solutions de $z^{2} - z + c = 0$; on convient que $|\alpha| \leq |\beta|$. On a $|\alpha\beta|=|c| < {1/ 4}$, d'où $|\alpha|< {1/ 2}$, et $\beta=1-\alpha$, d'où ${1/ 2} < |\beta| < {3/ 2}$.

Le point $\alpha$ est un point fixe \emph{attractif}. Cela signifie que la dérivée de $f_{c}$ en $\alpha$ est de module $<1$. En effet cette dérivée est $2\alpha$, et on vient de voir que $|\alpha| < {1/ 2}$. Le point fixe $\beta$, lui est \emph{répulsif}. En effet $|\beta|> {1/ 2}$.

On pose\vspace*{-3pt}
$$
U_{0}=\DD_{3/2},\quad V_{0}= \DD_{1/2},\quad A_{0}=U_{0}\setminus \ov{V}_{0} =\{ z| 1/2 < |z| < 3/2\}.$$
Pour $n\geq U$, on pose\vspace*{-3pt}
$$
U_{n} = f^{-n}_{c}(U_{0}),\quad V_{n} = f^{-n}_{c} (V_{0}),\quad A_{n} = f_{c}^{-n}(A_{0})= U_{n} \setminus \ov{V}_{n}.$$
On pose également\vspace*{-3pt}
\begin{gather*}
U_{-1} = f_{c}(U_{0}) = \DD_{c,9/4},\quad V_{-1} = f_{c} (V_{0})=\DD_{c,1/4},\\ A_{-1} =U_{-1} \setminus \ov V_{-1} = f_{c} (A_{0}).
\end{gather*}
Comme $A_{0}$ est symétrique on a $A_{0}= f^{-1}_{c}(A_{-1})$.

On a $\ov{V}_{-1}\subset V_{0}$ et $\ov{U}_{0}\subset U_{-1}$, d'où $\ov{A}_{0} \subset A_{-1}$ et $\ov{A}_{n} \subset A_{n-1}$ pour tout $n$. On voit par récurrence $(*)$ que, pour tout $n$, $A_{n}$ est limité par deux courbes simples $\RR$-analytiques $\Gamma_{n}^{+}$ et $\Gamma^{-}_{n}$ entourant $0$ et $c$, avec~$\Gamma^{+}_{n}$ bord de $U_{n}$ et $\Gamma^{-}_{n}$ bord de $V_{n}$.

On a $|f'_{c}|< 1$ sur $V_{0}$, et sur $\ov{V}_{-1}$ le module $|f'_{c}|$ est borné par une constante $< 1$. Il en résulte $(*)$ que pour tout $z\in V_{-1}$ l'orbite de $z$ tend vers $\alpha$. Cela a encore lieu pour tout $z\in V_{\infty} = \bigcup V_{n}$, puisque pour un tel $z$ l'orbite finit par entrer dans $V_{-1}$. Réciproquement si l'orbite $(z_{n})$ de $z$ tend vers $\alpha$ on a $z_{n} \in V_{0}$ donc $z \in V_{n}$ pour un certain~$n$, donc $V_{\infty}$ est exactement l'ensemble des points dont l'orbite tend vers~$\alpha$: c'est le \emph{bassin d'attraction} de $\alpha$.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\centerline{\includegraphics[height=6\unitlength]{sorensen2}}
\end{center}
\vspace*{-\baselineskip}
\caption{La courbe de Julia (image de Dan Sorensen)}
\end{figure}

\subsection{Construction du lacet \texorpdfstring{$\gamma$}{g}}

On construit par récurrence une suite de lacets $(\gamma_{n})$ de $\beta$ à $\beta$ dans $A_{0}$ (en fait~$\gamma_{n}$ est dans $A_{n}$). Par un lacet $\gamma$ nous entendons une application continue de $\TT$ dans~$\CC$, ou ce qui revient au même de $[0,1]$ dans $\CC$ avec $\gamma(0)= \gamma(1)$.

On pose $\gamma_{0}(t)= e^{2i\pi t}\cdot\beta$. On définit $\gamma_{n}:[0,1]\to A_{0}$ par récurrence par\vspace*{-3pt}
\begin{itemize}
\item
$\gamma_{n+1} (t)\in f_{c}^{-1} (\gamma_{n}(2t))$,

\item
$\gamma_{n+1}$ continue,

\item
$\gamma_{n+1}(0)=\beta$.
\end{itemize}

On voit par récurrence $(*)$ que, pour tout $n$, on a $\gamma_{n}(1)=\beta$ et $\gamma_{n}$ fait une fois le tour de $0$ et de $c$. L'image de $\gamma_{n}$ est contenue dans $A_{n}$.

\begin{lemme*}
La suite d'applications $(\gamma_{n})$ est uniformément convergente sur $[0,1]$.
\end{lemme*}

\begin{proof}
Pour $z$ et $z'$ dans $A_{n}$, définissons $d_{A_{n}} (z,z')$ comme la lon\-gueur minimum d'un chemin dérivable de $z$ à $z'$ dans $A_{n}$: c'est donc $|z'-z|$ si le segment $[z,z']$ est contenu dans $A_{n}$, et en tous cas on a $|z-z'|\leq d_{A_{n}} (z,z')$.

On a $|f'_{c}(z)| > 1$ pour $z\in A_{0}$, et $\lambda=(\inf_{z\in A_{1}} |f'_{c}(z)|)^{-1} < 1$. Tout chemin $\eta$ de longueur $\ell$ dans $A_{0}$ admet deux relèvements $\eta '$ et $\eta''$ dans~$A_{1}$, de même longueur $\leq \lambda \ell$.

On peut construire $(*)$ une application continue $H: [0,1]^{2}\to A_{0}$ telle que
\begin{align*}
H (0,s) &= H (1,s) =\beta,&\\
H(1,0) &= \gamma_{0} (t),\quad H(t,1) = \gamma_{1}(t).&
\end{align*}

Notons $\mu$ la borne supérieure des longueurs des chemins $\eta_{t}: s\mto H(t,s)$ de $\gamma_{0}(t)$ à $\gamma_{1}(t)$. On construit par récurrence pour tout $t$ un chemin $\eta_{n,t}$ de $\gamma_{n} (t)$ à $\gamma_{n+1}(t)$ dans $A_{0}$: ce chemin est un relèvement de $\eta_{(n-1),2t}$, et sa longueur est $\leq \lambda^{n} \mu $. Par suite, pour tout $t$ et tout~$n$, on a
$$
\module{\gamma_{n}(t)- \gamma_{n+1}(t)} \leq d_{A_{0}} (\gamma_{n} (t), \gamma_{n+1} (t)) \leq \lambda^{n} \mu.
$$
Il en résulte que la suite de lacets $(\gamma_{n})$ est une suite de Cauchy pour la convergence uniforme sur $[0,1]$.
\end{proof}

On note $\gamma$ la limite des $\gamma_{n}$. C'est un lacet continu, et la relation
$$
f(\gamma_{n+1}(t))= \gamma_{n}(2t)
$$
donne par passage à la limite $ f(\gamma(t))= \gamma(2t)$.

\subsection{Injectivité de \texorpdfstring{$\gamma$}{g}}

On va construire par récurrence une suite d'applications $\varphi_{n}:\ov{A_{n}}\to \TT$. On définit $\varphi_{0}: \ov{A_{0}}\to \TT$ par
$$\varphi_{0}(z)= {1\over 2\pi} {\rm Arg} (z/ \beta).$$

Quand $z$ décrit un lacet dans $\ov{A_{1}}$ qui fait un tour autour de $0$, le~point $f(z)$ fait deux tours dans $\ov{A_{0}}$ autour de $c$ et donc aussi de $0$, et un relèvement de $\varphi_{0}(f(z))$ dans~$\RR$ augmente de $2$. On peut donc $(*)$ définir $\varphi_{1}: \ov{A_{1}} \to \RR$ par
\begin{itemize}
\item
$\varphi_{1} (z)\in \bq^{-1} (\varphi_{0}(f(z)))$, où $\bq: \TT \to \TT$ est l'application $t \mto 2t$,

\item
$\varphi_{1}$ continue,

\item
$\varphi_{1} (\beta)=0$.
\end{itemize}

Quand $z$ parcourt un lacet dans $\ov{A_{1}}$, un représentant de $\varphi_{1}(z)- \varphi_{0}(z)$ dans $\RR$ revient inchangé. Autrement dit l'application $\varphi_{1}-\varphi_{0}: \ov{A_{1}} \to \TT$ admet un relèvement continu $\delta: \ov{A_{1}} \to \RR$.

On peut définir par récurrence $\varphi_{n}: \ov{A_{n}}\to \TT$ par
\[
\varphi_{n+1} (z)= \varphi_{n} (z) + \left[ {1\over 2^{n}} \delta (f^{n}_{c}(z))\right]
\]
où $[x]$ désigne la classe de $x$ dans $\TT$. On vérifie par récurrence que
\[
2 \varphi_{n+1}(z) =\varphi_{n}(f_{c}(z)).
\]
Sur $\bigcap \ov{A_{n}}$, la suite des $\varphi_{n}$ converge uniformément vers une fonction continue $\varphi: \bigcap \ov{A_{n}}\to \TT$ qui vérifie $\bq\circ \varphi =\varphi \circ f_{c}$.

L'image $J$ de $\gamma$ est contenue dans $\bigcap A_{n}$, et $\varphi \circ \gamma: \TT \to \TT$ est une application continue de degré $1$ (ce qui signifie qu'elle admet un relèvement $g:\RR\to \RR$ vérifiant $g(x+1)= g(x)+1$ commutant avec~$\bq$). En effet\vspace*{-4pt}
$$
\bq\circ \varphi \circ \gamma = \varphi \circ f \circ \gamma = \varphi \circ \gamma \circ \bq.
$$
Comme on l'a vu dans l'exposé précédent (Th.\kern2pt1, partie 3.2), ce ne peut être que l'identité.

Il en résulte que $\gamma$ est injective. Comme $\TT$ est compact, $\gamma$ est un homéomorphisme de $\TT$ sur son image $J$.

\subsection{Points qui ne sont pas sur \texorpdfstring{$J$}{J}}

Posons\vspace*{-1pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\[
\gamma^{-}_{0}(t) = {1\over 2|\beta|} \gamma_{0}(t)\quand \gamma_{0}^{+} (t)= {3\over 2|\beta|} \gamma_{0}(t).
\]
Les lacets $\gamma^{-}_{0}$ et $\gamma_{0}^{+}$ paramètrent le bord intérieur $\Gamma^{-}_{0}$ est le bord extérieur $\Gamma_{0}^{+}$ de~$A_{0}$. On construit comme dans la section 1.2 des lacets~$\gamma^{-}_{n}$ et $\gamma^{+}_{n}: \TT \to A_{0}$ qui paramètrent les bords intérieur et extérieur de~$A_{n}$, avec\vspace*{-6pt}
\begin{align*}
f_{c} \circ \gamma^{-}_{n+1} &= \gamma^{-}_{n} \circ \bq\\
f_{c} \circ \gamma^{+}_{n+1} &= \gamma^{+}_{n} \circ \bq\,
\end{align*}
les points de base étant obtenus en relevant le chemin radial de $\beta$ à $\beta^{-}_{0} = {1/ 2}\cdot\beta/|\beta|$ ou à $\beta^{+}_{0} = {3/ 2} \cdot \beta/|\beta|$.

Le même raisonnement que pour la démonstration du lemme montre $(*)$ que $\gamma^{-}_{n}$ et $\gamma^{+}_{n}$ convergent uniformément vers le lacet $\gamma$.

Soit $z$ un point de $\CC-J$. Si l'indice de $\gamma$ par rapport à $z$ est~1, pour $n$ assez grand, l'indice de $\gamma^{-}_{n}$ par rapport à $z$ est~1 aussi. Alors $z\in V_{n}$, donc l'orbite de~$z$ tend vers le point fixe attractif $\alpha$. Si l'indice de $\gamma$ par rapport à $z$ est $0$, pour~$n$ assez grand l'indice de $\gamma^{+}_{n}$ par rapport à $z$ est $0$ aussi. Alors $z\in \CC - U_{n}$, on a $f^{n}_{c}(z)\in \CC - U_{0}$ et l'orbite de $z$ tend vers $\infty$. Enfin si l'indice de $\gamma$ par rapport à~$z$ était un nombre $\nu$ différent de $0$ et $1$, il en serait de même pour $\gamma^{-}_{n}$ pour $n$ assez grand, ce qui est impossible.

On a donc fait une partition de $\CC$ en trois partie: la courbe $J$ qui est un fermé, le bassin d'attraction de $\alpha$ et celui de $\infty$ qui sont des ouverts.

\section{Points fixes ou périodiques à multiplicateur non réel}

\Subsection{Points fixes, points périodiques, multiplicateur}

Soit $f: \CC \to \CC$ une application polynomiale. Un \emph{point fixe} $\xi$ pour~$f$ est un point $\xi \in \CC$ tel que $f(\xi)=\xi$. Le \emph{multiplicateur} de $\xi$ est alors $f'(\xi)$. On dit que $\xi$ est attractif si $|f'(\xi)|< 1$, \emph{répulsif} si $|f'(\xi)|> 1$, \emph{indifférent} si $|f'(x)|=1$.

Un \emph{point périodique} de période $k$ est un point fixe de $f^{k}$, qui n'est pas point fixe de $f^{k'}$ pour $0 < k' < k$. Quand on parle du multiplicateur d'un point périodique de période $k$, il s'agit de son multiplicateur pour $f^{k}$. On parlera de même de point périodique attractif, répulsif, indifférent, etc.

Soit $\Gamma \subset \CC$ une courbe telle que $f(\Gamma)\subset \Gamma$. Si $\Gamma$ passe par un point périodique $\xi$ à multiplicateur $\rho$ non réel, la courbe $\Gamma$ ne peut pas avoir de tangente en $\xi$. En effet, si $\Gamma$ avait une tangente $D$ en $\xi$, la droite $D$ devrait être préservée par l'application tangente à $f$ en $\xi$, qui est $z \mto \xi + \rho(z-\xi)$, ce qui est impossible pour $\rho$ non réel (la multiplication par $\rho$ fait tourner d'un angle égal à l'argument de $\rho$).

\subsection{Existence d'un point sans tangente: cas \texorpdfstring{$c$}{c} non réel}

Considérons l'application $f_{c}: z\mto z^{2}+c$ avec $|c|< {1/ 4}$. La courbe de Julia $J_{c}$ passe par le point fixe $\beta$ de $f_{c}$, qui a pour multiplicateur $\rho=2\beta$.

Si $c$ n'est pas réel, $\beta$ n'est pas réel puisque $c=\beta-\beta^{2}$, donc $\rho$ est non réel et $J_{c}$ n'a pas de tangente en $\beta$.

Que se passe-t-il en fait?

Ici $\beta$ est un point fixe répulsif, et $J_{c}$ satisfait à $f^{-1}_{c} (J_{c})=J_{c}$. Soit~$z_{0}$ un point de~$J$ voisin de $\beta$ et définissons $z_{-n}$ par $z_{-n-1}= f^{-1}_{c}(z_{n})$, en~utilisant la branche de $f_{c}^{-1}$ qui a $\beta$ pour point fixe.

Les points $z_{-n}$ tendent vers $\beta$ approximativement sur une spirale logarithmique: à chaque fois $z_{n} -\beta$ a une longueur divisée approximativement par le module de~$\rho$, et son argument augmente approximativement de $(- {\rm Arg}\,\rho)$. Cela est suffisant $(*)$ pour affirmer que la courbe $J$ tend vers $\beta$ en spiralant: quand un point $z$ tend vers~$\beta$ sur~$J$, une détermination continue de l'argument de $z-\beta$ dans $\RR$ tend vers $\infty$.

\subsection{Cas \texorpdfstring{$c$}{c} réel}

Ce cas est beaucoup plus délicat.
Le multiplicateur du point fixe $\beta$ est réel.

Il y a sur $J_{c}$ un cycle d'ordre 2, à savoir $\{ \gamma ({1/ 3} ), \gamma ({2/ 3})\}$, où $\gamma =\gamma_{c}$ est l'application étudiée dans la partie 1. Mais les points $\gamma ({1/ 3})$ et $\gamma ({2/ 3})$ sont conjugués, et le multiplicateur de ce cycle est réel.

Il y a deux cycles d'ordre 3, à savoir
\[
\{\gamma({1/ 7}), \gamma({2/ 7}), \gamma({4/ 7})\} \quand
\{\gamma ({3/ 7}), \gamma({5/ 7}), \gamma({6/ 7})\}.
\]
Ces deux cycles sont conjugués l'un de l'autre (conjugaison complexe), leurs multiplicateurs $\rho'$, $\rho''$ sont conjugués.

\begin{propo}%\label{1}
Pour $c\in{}] -1/4, 1/4[ - \{ 0\}$, les multiplicateurs $\rho'$ et $\rho''$ sont distincts, donc non réels.
\end{propo}

Nous proposerons pour cette proposition une démonstration algébrique assez savante $(!!)$. Il se peut qu'on puisse en trouver de plus simples.

\begin{proof}
On fait varier $c$ dans $\CC$ tout entier. La condition pour que~$z$ soit un point périodique de période divisant 3 s'écrit
$$
f^{3}_{c} (z) - z = 0.
$$
La fonction $(c,z) \mto f^{3}_{c}(z)-z$ est un polynôme à $2$ variables, de degré~$8$ en~$z$. Il est divisible par $f_{c} (z)-z$, qui est l'équation des points fixes.

En divisant, on obtient un polynôme $E(c,z)$ qui est de degré~$6$ en~$z$, qui s'écrit sous la forme
$$
z^{6} + e_{5} (c) z^{5}+ \cdots + e_{1} (c) z + e_{0} (c)\,
$$
où les $e_{i}$ sont des polynômes en $c$. Pour chaque $c$, il a 6 racines (éventuellement confondues) $\xi_{1}^{(c)}, \ldots, \xi_{6}^{(c)}$, mais on ne peut pas choisir $\xi_{1}(c)$ par exemple dépendant continûment de $c$. Les points $\xi_{i}(c)$ forment, s'ils sont tous distincts, deux cycles d'ordre~3, notons $\rho'$ et $\rho''$ leurs multiplicateurs.

\begin{lem}%\label{1}
La somme $s_{1}(c)=\rho'+ \rho''$ et le produit $s_{0}(c)= \rho' \rho''$ sont des polynômes en $c$.
\end{lem}

\begin{proof}
Considérons pour chaque $c$ le polynôme
$$
H (c, z) = z^{6} + h_{5} (c) z^{5} + \cdots + h_{1} (c) z + h_{0} (c)
$$
dont les racines sont les multiplicateurs\vspace*{-3pt}
$$
\rho_{i} (c) = 8 \xi_{i} (c)\cdot f_{c} (\xi_{i} (c))\cdot f^{2}_{c} (\xi_{i}(c)).
$$
Les coefficients $h_{k}(c)$ sont donnés par les fonctions symétriques élémentaires des $\rho_{i}(c)$, ils s'expriment comme polynômes symétriques en les $\xi_{i}(c)$, donc comme poly\-nô\-mes en $e_{0}(c), \ldots,e_{5}(c)$, et finalement comme polynômes en $c$.

Mais les trois $\xi_{i}$ d'un même cycle donnent le même $\rho$, qui est racine triple de $z\mto H(c,z)$. On a donc\vspace*{-3pt}
$$H(c,z)= (z^{2}-s_{1}(c)z+s_{0}(c))^{3}.$$

Ceci donne en particulier\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
h_{5}(c) & =- 6 s_{1}(c)\\
h_{4}(c) & = 6 s_{0}(c)-15 s_{1}(c).
\end{align*}
Comme $h_{4}$ et $h_{5}$ sont polynomiales en $c$, il en est de même de~$s_{1}$ et~$s_{0}$.
\end{proof}

\begin{lem}%\label{2}
Le polynôme $s_{0}$ est de degré $3$ en $c$, et $s_1$ est de degré $\leq 1$.
\end{lem}
Considérons pour chaque $c$ l'ensemble $K_{c}$ des $z$ tels que $f^{n}_{c}(z)$ ne tende pas vers $\infty$.

\begin{enonce*}{Sous-lemme}
Pour $|c| \geq 10$, l'ensemble $K_{c}$ est contenu dans l'anneau\vspace*{-3pt}
$$\DD_{2\sqrt{|c|}} - \DD_{1/2 \sqrt{|c|}}.$$
\end{enonce*}

\begin{proof}
Pour $|c|\geq 2$ et $|z|> 2 \sqrt{|c|}$ on a\vspace*{-3pt}
$$|
z^{2}| > 2 \sqrt{|c|},\quad |c| < {1\over 2} \sqrt{|c|}\cdot |z|
$$
d'où\vspace*{-3pt}
$$
|z^{2}+c|\geq {3\over 2} \sqrt{|c|} |z| \geq 3|z|.
$$
Par suite l'orbite $(z_{n})$ de $z$ reste dans $\CC - \DD_{2\sqrt{|c|}}$, et satisfait\vspace*{-3pt}
$$
|z_{n+1}| \geq 3|z_{n}|.
$$
Par suite $K_{c} \subset \DD_{2\sqrt{|c|}}$.

Si $|z|< 1/2\cdot\sqrt{|c|}$, on a $|z^{2}+c| \geq {3/ 4}\cdot |c|$ et $3/4\cdot|c| > 2 \sqrt{|c|}$ si $|c| \geq 10$, d'où $z\not\in K_{c}$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du lemme 2]
Tout point périodique de $f_{c}$ est dans $K_{c}$. Pour $|c|\geq 10$, les multiplicateurs
$$
\rho' = 8 \xi_{1} \xi_{2} \xi_{3} \quand \rho'' = 8 \xi_{4}\xi_{5} \xi_{6}
$$
(en choisissant bien les indexations) vérifient donc
$$
|c|^{3/2} \leq |\rho | \leq 64 |c|^{3/2}.
$$
et on a
\begin{align*}
|c|^{3} \leq |s_{0}| & \leq 2^{12} |c|^{3}\\
|s_{1}| & \leq 128 |c|^{3/2}.
\end{align*}
Comme $s_{1}$ et $s_{0}$ sont des polynômes, le lemme 2 en résulte.
\end{proof}

\subsubsection*{Démonstration de la proposition}
Il faut montrer que le discriminant $\Delta (c) =s_{1} (c)^{2}- 4 s_{0} (c)$ est $< 0$ pour $c \in{}] - {1/4},1/4 [ - \{ 0\}$.

On sait déjà que $\rho'$ et $\rho''$ sont conjugués, donc que $\Delta(c) \leq 0$ pour $c \in{}] - 1/4, 1/4[$. Pour $c=0$, on a $\gamma(t) = e^{2i\pi t}$,
$$
\gamma ({1/7})\cdot \gamma({2/ 7})\cdot\gamma ({4/ 7}) = 1, \quad \rho' = \rho'' = 8, \quad \Delta (0)=0.
$$
Mais $\Delta$ est un polynôme de degré 3 en $c$. La racine en $0$ est forcément double puisque $\Delta (c) \leq 0$ pour $c$ voisin de $0$. Il ne peut y avoir une autre racine dans l'intervalle $]-{1/ 4}, {1/4}[$ car elle serait simple et entraînerait un changement de signe.
\end{proof}

\begin{remarque*}
La troisième racine de $\Delta$ est en ${-7/ 4}$. Pour cette valeur de $c$, le polynôme $z\mto E(c,z)$ a 3 racines doubles $\xi_{1}$, $\xi_{2}$, $\xi_{3}$, avec
$$
f_{c}(\xi_{1})=\xi_{2}, \quad f_{c}(\xi_{2} )=\xi_{3}, \quad f_{c} (\xi_{3})=\xi_{1}.
$$
\end{remarque*}

\subsection{Densité des points sans tangente}

Soient $z$ un point de $J_{c}$ et $z' \in f^{-1}_{c}(z)$. Alors $z' \in J_{c}$, et si $J_{c}$ n'a pas de tangente en $z$ elle n'en a pas non plus en $z'$. Par récurrence, $J_{c}$ n'a alors de tangente en aucun point de $\bigcup f_{c}^{-n}(z)$.

\begin{lemme*} Pour tout $z\in J_{c}$, l'ensemble $\bigcup f^{-n}_{c}(z)$ est dense dans $J_{c}$.
\end{lemme*}

\begin{proof}
Comme $\gamma$ est un homéomorphisme de $\TT$ sur $J_{c}$ qui conjugue~$\bq$ à~$f_{c}$, il suffit de montrer que, pour tout $t \in \TT$, l'ensemble $\bigcup \bq^{-n}(t)$ est dense dans $\TT(*)$.
\end{proof}

Nous avons montré:

\begin{propo}%\label{2}
Si $J_{c}$ possède un point où elle n'a pas de tangente, l'ensemble des points où elle n'a pas de tangente est dense dans $J_{c}$.
\end{propo}

Cela a lieu en particulier pour tout $c \in \DD_{1/4} -\{ 0\}$.

\section{Distorsion bornée}

\subsection{Introduction, fonctions holomorphes}

Dans cette partie nous indiquons comment on démontre le théorème \ref{th2}. Nous utiliserons pour cela un théorème de distorsion bornée (théorème \ref{th3} ci-dessous).

Nous aurons besoin de la notion de fonction holomorphe, mais nous évitons l'usage de l'analyse complexe. Pour nous, une fonction holomorphe sur un ouvert $U$ de $\CC$ est une fonction $f: U\to \CC$ admettant une dérivée
\[
f'(z)=\lim_{z'\to z,\;z' \neq z}{f(z')-f(z)\over z'-z}
\]
continue. Nous n'aurons pas besoin de l'équivalence avec d'autres définitions. Nous n'utiliserons pas le fait qu'une limite uniforme de fonctions holomorphes est holomorphe, mais seulement le fait, beaucoup plus élémentaire, que si $(f_{n})$ est une suite de fonctions holomorphes sur $U$ convergeant uniformément vers $f$ et si $f'_{n}$ converge uniformément vers $g$, alors $f$ est holomorphe et $f'=g$ (en effet
\[
f(z_{1})- f(z_{0})=\int^{z_{1}}_{z_{0}} g(z)dz
\]
s'obtient par passage à la limite).

Nous utiliserons le théorème d'Ascoli (voir page suivante pour la définition de $\diam^*$): Soient $U$ un ouvert connexe vérifiant $\diam^{*} (U) < \infty$ et $(f_{n})$ une suite de fonctions sur $U$, lipschitziennes avec une cons\-tante $M$ indépendante de $n$. On suppose qu'il existe un point $x_{0} \in U$ tel que la suite $(f_{n}(x_{0}))$ converge. Alors on peut extraire de la suite $(f_{n})$ une suite convergeant uniformément sur $U$.

\subsection{Distorsion}

Soient $U$ et $V$ deux ouverts connexes de $\CC$, et~$f$ un homéomorphisme holo\-mor\-phe de $U$ sur $V$, c'est-à-dire admettant une dérivée $f'(z)\!\in\!\CC$ pour tout $z\!\in\! U$ dépendant continûment de $z$ (par exem\-ple $f$ peut être induite par un polynôme). Si $f'$ est constante sur~$U$, $f$ est affine, c'est-à-dire induite par une transformation~\hbox{$z \mto az+ b$}.

\begin{definition*} On appelle distorsion de $f$ sur $U$ et on note ${\rm dist}_{U} (f)$ la quantité
$$
\sup_{z_{0},z_{1} \in U}\module{\log {f'(z_{1})\over f'(z_{0})}}.
$$
\end{definition*}

\skpt
\begin{remarques*}
\begin{enumerate}
\item
Pour choisir la détermination du $\log$ on prend un chemin de $z_{0}$ à $z_{1}$, et on suit, pour $z$ parcourant ce chemin, la détermination de $\log ({f'(z)/ f'(z_{0})})$ qui prend la valeur~$0$ pour $z=z_{0}$.

\item
La définition fait intervenir le module du $\log$ et non le $\log$ du module. Cela permet de prendre en compte dans la distorsion le fait que $f$ courbe les segments de droite.
\end{enumerate}
\end{remarques*}

\Subsubsection*{Propriétés}
\begin{itemize}
\item
On a ${\rm dist}_{V}(f^{-1}) = {\rm dist}_{U}(f)$.

\item
Si $f: U \to V$ et $g: V\to W$ sont des homéomorphismes holomorphes, on a ${\rm dist}_{U} (g \circ f) \leq {\rm dist}_{U} (f) + {\rm dist}_{V} (g)$.

\item
Pour $z_{0}$ et $z_{1}$ dans $U$, on note $d_{U}(z_{0}, z_{1})$ la longueur minimum d'un chemin de $z_{0}$ à $z_{1}$ dans $U$, et on définit le \emph{diamètre interne} $\diam^{*}(U)$ comme la borne supérieure de $d_{U}(z_{0},z_{1})$ quand $z_{0}$ et $z_{1}$ varient dans $U$. Si $U$ est convexe, le diamètre interne de $U$ coïncide avec son diamètre au sens ordinaire. On a
$$
{\rm dist}_{U} (f) \leq \diam^{*} (U)\cdot \sup_{U} \module{{f''/ f'}}.
$$
En effet $\dpl({f'(z_{1})/ f'(z_{0})})$ est l'intégrale curviligne $\int_{z_{0}}^{z_{1}} {f''(z)/ f'(z)}\, dz$ sur un chemin de $z_{0}$ à $z_{1}$.
\end{itemize}

\subsection{Majoration de la distorsion}

Revenons à la situation qui nous intéresse, avec les notations des sections~1.1 et~1.2. En particulier
$$
\lambda = \Bigl(\inf_{z\in A_{1}} |f'_{c} (z)|\Bigr)^{-1} < 1.
$$
Pour tout ouvert connexe $W\subset A_{0}$ de diamètre $<1$, l'image réci\-pro\-que $f^{-1}_{c}(W)$ est réunion de deux ouverts $W'$ et $W''$ contenus dans~$A_{1}$, l'application $f_{c}$ induisant un homéomorphisme de chacun d'eux sur~$W$; on a $(*)$
$$
\diam^{*} W' = \diam^{*} W'' \leq \lambda \diam^{*} W.
$$
Soient $z_{0}$ un point de $A_{0}$ et $n$ un entier tel que $z_{i}= f^{i}_{c}(z)$ appartienne à $A_{0}$ pour $i\leq n$. Choisissons $\rho > 0$ tel que le disque $W_{0} = \DD_{z_{n},\rho}$ soit contenu dans $A_{0}$, et définissons $W_{i}$ pour $1 \leq i \leq n$ en prenant pour $W_{i}$ la composante connexe de $f^{-1}_{c} W_{i-1}$ qui contient $z_{n-i}$. L'application~$f_{c}$ induit pour $1 \leq i \leq n$ un homéomorphisme holomorphe de $W_{i}$ sur~$W_{i-1}$, et $f^{n}_{c}$ induit un homéomorphisme holomorphe de $\Omega = W_{n}$ sur $W_{0}$.

On a $\diam^{*} W_{i} \leq 2 \rho \lambda^{i}$. Sur $A_{0}$ on a $|f'_{c}| \geq 1$ et $f''_{c} = 2$, d'où $\dpl\module{{f''_{c}/f'_{c}}}\leq 2$. Par suite ${\rm dist}_{W_{i}} (f_{c}) \leq 4 \rho \lambda^{i}$ et
$$
{\rm dist}_{\Omega} (f^{n}_{c} ) \leq \sum^{n}_{i=1} {\rm dist}_{W_{i}} (f_{c}) \leq 4 \rho \sum^{n}_{i=1}\lambda^{i} \leq 4\rho \sum^{\infty}_{1} \lambda^{i} = {4\rho\lambda\over 1-\lambda}.
$$
Cette inégalité montre que, pour l'application $f^{-n}_{c}: W_{0} \to \Omega$, on a que $\log ((f_{c}^{-n})')$ est lipschitzienne de rapport ${2\lambda/ (1-\lambda)}$. En effet, pour $w', w''$ dans $W_{0}$, on peut considérer $w= (w'+w'')/2$, $W'_{0} =\nobreak \DD_{w,\rho'}$ où $\rho' = (1+\varepsilon) \dpl{|w'-w''|/2}$ avec $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, et définir~$W'_{i}$ pour $i \leq n$ par $W'_{i} = W_{i}\cap f^{-1}_{c}W'_{i-1}$.

Nous avons obtenu le résultat suivant, qui est l'application à notre situation d'un théorème plus général de distorsion bornée:

\begin{theor}\label{th3}
La valeur de $c$ étant fixée dans $\DD_{1/4}$, il existe un $\rho_{0} > 0$ et un $M < \infty$ tels que, pour tout $z\in J_{c}$, tout $n$ et tout $\rho$ tel que $0 < \rho \leq \rho_{0}$, il existe un voisinage $\Omega$ de $z$ dans $\CC$ tel que $f^{n}_{c}$ induise un homéomorphisme holomorphe de~$\Omega$ sur $\DD_{f^{n}_{c}(z),\rho}$ avec
$$
{\rm dist}_{\Omega} (f^{n}_{c}) \leq M\rho.
$$
L'application $f^{-n}_{c}: \DD_{f^{n}_{c}(z),\rho} \to \Omega$ satisfait la propriété suivante: $\log ((f_{c}^{-n})')$ est lipschitzienne de rapport ${M/2}$.
\end{theor}

Ceci s'obtient en prenant pour $\rho_{0}$ la distance de $J_{c}$ au bord de $A_{0}$, et $M= \dpl{4\lambda/(1-\lambda)}$. L'intérêt du théorème réside que ces valeurs sont indépendantes de $z\in J_{c}$ et surtout de $n$.

\Subsection{Contradiction en supposant l'existence d'une tangente}

Soient $c\in \DD_{1/4}$ et $z_{0} \in J_{c}$. Posons $z_{n} = f^{n}_{c}(z_{0})$ et soit $(n_{k})$ une suite d'entiers telle que la suite extraite $(z_{n_{k}})$ converge vers un point $w$. Soient $M$ et $\rho_{0}$ satisfaisant aux conditions du théorème \ref{th3}. Pour tout $k$ il existe un voisinage $\Omega_{k}$ de $z_{0}$ tel que $f^{n_{k}}_{c}$ induise un homéomorphisme holomorphe de $\Omega_{k}$ sur $\DD_{z_{n_{k}},\rho_{0}}$.

Choisissons $\rho < \rho_{0}$. Le disque $\DD_{w,\rho}$ est contenu dans $\DD_{z_{n_{k}},\rho_{0}}$ pour~$k$ assez grand; considérons
\[
f^{-n_{k}}_c: \DD_{w,\rho} \to \Omega_{k}\quand \varphi_{k} = H_{k} \circ f_{c}^{-n_{k}}: \DD_{w,\rho} \to \CC,
\]
où $H_{k}$ est l'homothétie de centre $z_{0}$ et de rapport $h_{k} = (f_{c}^{n_{k}})' (z_{0})$, restreinte à $\Omega_{k}$. La fonction $\log (\varphi'_{k})$ diffère de $\log (( f_{c}^{-n_{k}})')$ par une constante, donc est lipschitzienne de rapport ${M/2}$ indépendant de~$k$. On a $\varphi'_{k}(z_{n_{k}})=1$, donc $|\log (\varphi'_{k}(w))| \leq {M/2} | w-z_{n_{k}}| \to 0$. Par le théorème d'Ascoli, quitte a extraire encore une suite, $\log \varphi'_{k}$ tend uniformément vers une fonction lipschitzienne $g: \DD_{w,\rho} \to \CC$.

Alors $\varphi_{k}$ tend uniformément vers la fonction $\phi:\DD_{w,\rho} \to \CC$ définie par
\begin{align*}
\phi(w')&=z_{0} + \int^{w'}_{w} e^{g(\zeta)} d\zeta,
\end{align*}
qui est holomorphe de dérivée $e^{g}$ ne s'annulant en aucun point.

On a $f_{c}(J_{c})= f^{-1}_{c} (J_{c})=J_{c}$, et par suite
$$
J_{c} \cap \DD_{w,\rho} = \varphi^{-1}_{k} (\Gamma_{k}) \quad\text{où}\quad \Gamma_{k} =H_{k} (J_{c}\cap \Omega_{k}).
$$
On a $|h_{k}|\geq 1/\lambda^{n_{k}}$, donc $|h_{k}|$ tend vers l'infini et $\Gamma_{k}$ peut être considéré comme un \og zoom\fg de $J_{c}$ sur $z_{0}$. Les fonctions $\varphi_{k}$ sont bornées indépendamment de $k$, donc $\diam \Omega_{k}\to 0$.

Quitte à extraire encore une fois une suite, on peut supposer que l'argument de~$h_{k}$ a une limite $\theta$. Supposons que $J_{c}$ ait en $z_{0}$ une tangente $L$, et soit $L'$ la droite déduite de $L$ par une rotation d'angle~$\theta$.

\begin{lemme*}
$J_{c} \cap \DD_{w,\rho} \subset \phi^{-1}(L')$.
\end{lemme*}

\begin{proof}
Soit $w' \in J_{c} \cap \DD_{w,\rho}$. Pour tout $k$, l'angle (mod $\pi$) de $\varphi_{k}(w') -\nobreak z_{0}$ avec $L'$ est majoré par la borne supérieure $\alpha_{k}$ pour $z'\in \Omega_{k} \cap J_{c}$ de l'angle de $z'-z_{0}$ avec $L$. Mais $\alpha_{k}$ tend vers $0$ par définition des tangentes. Par suite $\phi (w')\in L'$.
\end{proof}

Comme $\phi$ est dérivable en tout point de $\DD_{w,\rho}$, ceci entraîne que $J_{c}$ a une tangente en tout point de $J_{c} \cap \DD_{w,\rho}$.

On a vu que ceci est impossible si $c\not=0$, et cela achève la démonstration du théorème \ref{th2}.\qed

\backmatter
\end{document}