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\begin{document}
\frontmatter

\title[Propriétés spectrales de systèmes dynamiques discrets]{Propriétés spectrales\\ de systèmes dynamiques discrets}

\author[\initial{M.} \lastname{Queffélec}]{\firstname{Martine} \lastname{Queffélec}}

\address{UFR de Mathématiques et UMR 8524 du CNRS, UST Lille,
F--59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France}

\email{Martine.Queffelec@univ-lille1.fr}

\thanks{Journées X-UPS 1996. Aspects des systèmes dynamiques: le premier retour. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1996, et Éditions de l'École polytechnique, 2009}

\maketitle

\tableofcontents
\mainmatter

Cet exposé fait suite aux exposés de A.\,Fathi \cite{Fat} et P.\,Arnoux \cite{Arn}.
Nous nous proposons d'étudier des systèmes dynamiques qui sont à l'opposé des systèmes
chaotiques, et dans lesquels, en particulier, tout point est d'orbite dense (systèmes minimaux).
C'est le cas de la rotation irrationnelle agissant sur le cercle. Un système minimal peut
également s'obtenir en partant d'une suite à valeurs dans un ensemble fini $\{1,2,\ldots,s\}$ et en lui
associant le système $(X,T)$ où $X$ est l'orbite fermée de la suite dans $\{1,2,\ldots,s\}^\NN$ (ou
$\{1,2,\ldots,s\}^\ZZ$), sous l'action du shift unilatéral $T$ (ou bilatéral). Lorsque la suite
initiale est uniformément récurrente, c'est-à-dire tout mot de la suite y apparaît avec
lacunes bornées, le système est minimal.
Pierre Arnoux dans \cite{Arn} a défini un outil combinatoire: la \emph{fonction complexité}, pour
mesurer le degré d'imprévisibilité d'une telle suite, et par là-même
la relative richesse du système associé.

On développera ici une approche spectrale de cette tentative de classification: si~$\mu$ est une
mesure sur $X$ invariante par le shift $T$, on fait une étude fine du spectre de l'opérateur unitaire
$f\mto f{\circ}T$ sur $L^2(X,\mu)$, cette étude étant particulièrement significative lorsque le
système admet une seule mesure invariante! Cette analyse peut être menée à bout pour certaines
classes de systèmes dont on choisira quelques exemples représentatifs.

Un autre point de vue, considéré initialement par les physiciens, consiste à
décrire le spectre de l'opérateur de Schrödinger discret dont le potentiel est une suite à valeurs
dans un ensemble fini. Rappelons que cet opérateur $H$ est défini sur $\ell^2(\ZZ)$ par
$$H\varphi(n)=\varphi(n+1)+\varphi(n-1) +v(n)\varphi(n)$$ où $v$ est le potentiel de $H$.

Lorsque $v$ est une suite périodique, le spectre de $H$ est absolument continu, alors qu'il est (ps)
discret dans le cas aléatoire. Que peut-on dire dans le cas d'une suite \og intermédiaire\fg?

\section{Systèmes dynamiques discrets: propriétés statis\-tiques }
Albert Fathi a défini un système dynamique discret comme étant un couple $(X,T)$, où $X$ est un
espace topologique et $T$ une application continue de $X$ dans lui-même. Étudier la dynamique du
système, c'est étudier le comportement des orbites, c'est-à-dire des itérées $T^n (x)$ suivant
le point initial $x$.

On sera amené à élargir la notion de système dynamique au cadre mesurable et plus seulement
topologique, même si les exemples intéressants sont en dynamique topologique.

Rappelons les deux exemples fondamentaux, cités dans \cite{Fat}, qui, du point de vue de la dynamique,
sont diamétralement opposés:
\begin{itemize}
\item
le premier, important car il permet de modéliser de nombreux phénomènes dynamiques, est
celui du \emph{shift à $n$ symboles.} Dans ce cas~$X$ est l'espace métrique compact
$\{0,1,\ldots,n-1\}^\NN$,
(ou~$\{0,1,\ldots,n-1\}^\ZZ$), noté parfois $\Sigma_n$ et la transforma\-tion, $T$, est le shift
unilatéral (ou décalage)
défini par $$T(x)_k=x_{k+1}$$ (ou le même shift bilatéral).
Ce système, à lui seul, possède toutes les propriétés caractéristiques du \emph{chaos} tel qu'il est
défini dans \cite{De}: il~est transitif, sensible aux conditions initiales et l'ensemble des orbites
périodiques est dense dans $X$.

\item
Le second est celui de la rotation irrationnelle sur le cercle unité, c'est-à-dire l'application
$R_\alpha$ définie par:$$ R_\alpha x:= x+\alpha\bmod 1$$ avec $\alpha$ irrationnel,
si on identifie le cercle unité $\TT$ à $\RR/\ZZ$. Dans cet exemple, tout point initial est
d'orbite dense. La dynamique de ce système est donc réduite, puisqu'il n'y a pas d'orbite périodique,
pas de sensibilité aux conditions initiales (deux points voisins engendrent des orbites
proches). Par contre, l'étude appro\-fondie de l'orbite d'un point a soulevé de nombreuses questions
de nature arith\-métique (approximation diophantienne, fractions continues).
\end{itemize}

C'est aux systèmes de cette seconde espèce que nous allons nous intéresser.

\begin{definition}
Un système dynamique $(X,T)$ est dit \emph{minimal} si toute orbite est dense dans $X$, ou de fa\c
con équivalente, si les seuls sous-ensembles fermés~$E$ vérifiant $$T(E)\subseteq E$$ sont $X$ et
$\emptyset$.
\end{definition}

Les problèmes qui se posent alors sont les suivants:
\begin{enumerate}
\item
Peut-on décrire le comportement de chaque orbite, ou, tout du moins, de la plupart d'entre
elles?

\item
Comment mesurer la complexité d'une orbite? Quels outils utiliser?
\end{enumerate}

Pour tenter d'apporter des réponses, nous allons, lorsque ce sera possible, munir notre système d'une
mesure invariante par $T$.

\subsection{Mesures invariantes}

Avant de définir précisément ce qu'est une mesure invariante, rappelons que la notion apparaît
naturellement en physique statistique avec la \emph{mesure d'équilibre} $\mu$ d'un système physique
évoluant au cours du temps. Si le système au temps initial est dans l'état $x$, il est
dans l'état $Tx$ au temps suivant, et $T$ est une transformation de l'espace des états $X$ dans
lui-même. Par exemple, lorsque le système est fini et $A$ un ensemble d'états
possibles, $\mu(A)$ est la probabilité que le système soit dans l'un de ces états, ceci
indépendamment de l'instant considéré. La mesure $\mu$ est invariante par $T$.

Les mesures invariantes apparaissent de façon naturelle en mathématiques également comme nous
allons le voir, mais commençons par en donner une définition.
\begin{definition}
Soit $X$ un espace muni d'une tribu $\cal A$ et $T$ une application mesurable de $X$ dans lui-même.
La mesure de probabilité~$\mu$ définie sur $(X,\cal A)$ est \emph{invariante par $T$}, ou \emph{$T$-invariante}, si, pour tout ensemble $A$ de la tribu,
$$\mu(T^{-1}A) = \mu(A). $$
\end{definition}

Revenons à nos deux exemples.

\subsubsection{Le shift bilatéral à $n$ symboles}
L'espace métrique
compact $$X=\{0,1,\ldots,n-1\}^\ZZ$$ est muni naturellement de la tribu de ses boréliens.
Cette tribu est engendrée par les cylindres qui sont à la fois ouverts et fermés. Supposons qu'à
chaque étape les valeurs $0,1,\ldots,n-1$ apparaissent avec probabilités respectives $p_0,p_1,\ldots,p_{n-1}$
(c'est-à-dire $p_i>0$ et $\sum p_i=1$), et ceci indépendamment d'une étape à l'autre. Cela revient à
considérer sur le système la mesure produit $$\mu = \{p_0,p_1,\ldots,p_{n-1}\}^\ZZ=\bigotimes_\ZZ(p_0\delta_0+p_1\delta_1+\cdots+p_{n-1}\delta_{n-1}),$$ qui est
clairement invariante par $T$. On parle alors de \emph{Bernoulli-shift}.

Notons qu'il y a déjà beaucoup de mesures invariantes sur $(X,T)$.

\subsubsection{La rotation irrationnelle}
On sait qu'il n'existe qu'une seule mesure de probabilité sur le
cercle invariante par toutes les translations, à savoir la mesure de Haar ou de Lebesgue sur $\TT$
identifié à $[0,1)$.
C'est aussi la seule mesure de probabilité invariante par $R_\alpha$ quand $\alpha$ est irrationnel:
il suffit en effet de prouver que la mesure de Lebesgue est la seule mesure de probabilité $\mu$ sur
$\TT$ vérifiant $$\int f(x+\alpha) d\mu(x) = \int f(x) d\mu(x)$$
pour n'importe quelle fonction continue $f$ sur $\TT$; mais en itérant cette identité, $\mu$
vérifie
$$\int f(x+n\alpha) d\mu(x) = \int f(x) d\mu(x)$$
pour tout $n$. Par densité modulo $1$ de la suite $(n\alpha)$ et en utilisant la continuité uniforme
de $f$, on obtient, quitte à prendre une sous-suite, $$\int f(x+t) d\mu(x) = \int f(x) d\mu(x)$$
ceci pour tout $t$. D'où le résultat.
(On peut aussi calculer les coefficients de Fourier de la mesure $\mu$, et vérifier qu'ils sont
tous nuls sauf celui d'indice $0$.)

M. Keane écrit dans \cite {BKS}: \og measure-preserving transformations are beautiful!\fg. J'ajouterais
\og invariant measures are beautiful too\fg. Voici donc d'autres exemples pour illustrer cette
affirmation.

\setcounter{subsubsection}{0}
\subsubsection{Fractions continues et mesure de Gauss}
Prenons $X:=[0,1]\setminus \QQ$ et définissons $T$ par $$Tx:=\{{1/ x}\}={1/ x}-[{1/
x}],$$ la partie fractionnaire de $\dpl{1/ x}$. Gauss, dans une lettre à Laplace (1812), écrit qu'il a
trouvé une probabilité invariante par $T$; il s'agit de la mesure à densité
$$ {1\over \log2}\, {1\over {1+x}}$$
par rapport à la mesure de Lebesgue $m$ sur $X$.
Malheureusement, il n'explique pas comment il l'a trouvée et c'est beaucoup plus tard qu'on la
retrouve comme point fixe d'un opérateur de Perron-Frobenius. C'est donc la seule probabilité
$T$-invariante équivalente à la mesure de Lebesgue $m$ (ayant les mêmes ensembles négligeables).
L'opérateur de Perron-Frobenius dans ce cas est l'opérateur $\Phi$ défini sur $L^1(X,m)$ par:
$$\Phi f(x)=\sum_{n\geq1}f\Bigl({1\over{x+n}}\Bigr){1\over{(x+n)^2}}$$
et $\Phi$ admet un seul point fixe $f$ qui est tel que $\mu=f\cdot m$ est une mesure $T$-invariante~\cite{BKS}.

\subsubsection{Produit de Riesz}
On s'intéresse cette fois à la transformation définie par $Tz:=z^2$ sur le cercle unité,
que l'on préfère voir comme la transformation $Tx:=2x\bmod1$ sur
l'espace $X:= \TT$ identifié à $[0,1)$. Cette transformation possède de nombreuses
probabilités discrètes invariantes, par exemple la probabilité de masses $\dpl{1/ 2}$ aux points
$\{\dpl{1/ 3},{2/ 3}\}$\ldots\ et une seule probabilité équivalente à la mesure de Lebesgue $m$, la
mesure de Lebesgue elle-même! Mais elle admet de nombreuses probabilités continues, singulières par
rapport à $m$ c'est-à-dire portées par un borélien de mesure de Lebesgue nulle. Un exemple est
celui-ci qui apparaîtra naturellement dans la suite. Il s'agit d'une mesure faisant partie d'une
classe d'exemples cons\-truits par M. Riesz qui, initialement, cherchait une mesure dont on
connaisse de façon explicite les coefficients de Fourier.

Notons $$P_N(t):=\prod_{n=0}^{N-1}(1-\cos 2\pi 2^nt)$$ pour tout $N\geq 1$.
La suite $(P_N)\cdot m$ converge pré-faiblement dans $M(\TT)$, espace des mesures bornées sur $\TT$, vers une probabilité $\rho$ continue, $T$-invariante, vérifiant
\begin{gather*}
\begin{split}
\wh\rho(2n)&=\wh\rho(n)\\
\wh\rho(2n+1)&=-{{\wh\rho(n)+\wh\rho(n+1)}\over 2}
\end{split}\Biggr\}
\quad\text{pour $n\geq0$,}\\
\tag*{et}
\wh\rho(-n)=\wh\rho(n)\hspace*{4.3cm}
\end{gather*}
On la note abusivement
$$\rho:=\prod_{n=0}^{\infty}(1-\cos 2\pi 2^nt). $$

\subsubsection{$\theta$-shift}
Considérons le nombre d'or $\theta=\psfrac{1+\sqrt5}{2}$ et la transformation $$Tx:=\theta x\bmod 1$$
définie sur $X:=[0,1)$. Il existe une unique probabilité $T$-invariante équivalente à la mesure de
Lebesgue, qui admet la densité
\[
\begin{cases}
\dpl{\theta^3\over{1+\theta^2}} &\text{si } 0\leq x<\theta^{-1}, \\[8pt]
\dpl{\theta^2\over{1+\theta^2}} &\text{si }\theta^{-1}\leq x <1.
\end{cases}
\]
Le terme $\theta$-shift sera justifié plus loin.

\begin{remarque*}
Le problème d'existence ou d'unicité de mesure invariante (finie ou non) reste un
problème difficile et crucial puisque, en général, l'espace et la transformation sont donnés, mais
pas la mesure invariante. Le problème peut d'ailleurs se poser pour une famille de transformations.
Une généralisation de 1. est le résultat suivant (voir par exemple \cite{ZQ}): Si $X$ est un espace
métrique compact et $(T_i)$ une famille d'isométries de $X$, il existe une mesure invariante par
tous les~$T_i$.
\end{remarque*}

On se restreindra aux cas où il existe une mesure de probabilité invariante.

Si $X$ est un espace métrique compact, et $T$ une application continue de $X$ dans lui-même, il
existe toujours des probabilités boréliennes préservées par $T$. Il suffit de prendre une limite
pré-faible dans $M(X)$ de la suite de probabilités
$$\mu_N= {1\over N}\sum_{n<N} \delta_{T^nx}$$

\subsubsection*{Problème}
Pour terminer ce paragraphe citons une conjecture partiellement résolue:
une probabilité sur $[0,1)$, continue, qui est à la fois $2$- et $3$-invariante est-elle nécessairement la
mesure de Lebesgue?

\subsection{Ergodicité}
On oublie un instant la propriété topologique de minimalité, pour s'intéresser à la propriété
d'ergodicité, propriété analogue dans le cadre mesurable, mais qui dépend de la mesure invariante
choisie. Soit $(X,{\cal A},T,\mu)$ notre système, où, désormais, $\mu$ est $T$-invariante; on veut
préciser l'analyse de chaque orbite d'un point de vue statistique si possible.

\subsubsection*{Question 1}
Fixons $B\in\cal A$ partie mesurable de $X$; étant donné $x\in\nobreak X$, visite-t-il
$B$ sous l'action de $T$ et combien de fois?

Une réponse partielle est fournie par le théorème de récurrence de Poincaré:
\begin{theoreme}[Poincaré]
Soit $(X,{\cal A},T,\mu)$ un système dynamique et soit $B\in\nobreak \cal A$ une partie de $X$ de mesure $>0$; alors,
pour $\mu$-presque tout $x\in B$
$${\cal N}(x,B):=\{n\geq 0 ; T^n x\in B\}$$
est infini.
\end{theoreme}

\Subsubsection*{Commentaires}
\begin{enumerate}
\item
Ce théorème donne une réponse pour les points de $B$, mais ne dit rien sur les
points du complémentaire de $B$.

\item
La question 1, pour tout $x$ de $X$, n'a d'intérêt que si $X$ ne se décompose pas en deux morceaux
de mesure positive et invariants par $T$, car alors les orbites pourraient être piégées dans l'un de
ces morceaux. C'est l'hypothèse que nous allons faire et qui n'est pas restrictive.
\end{enumerate}

\begin{definition}
La probabilité $\mu$ définie sur $(X,{\cal A},T)$ et $T$-invariante est dite \emph{ergodique} si tout
ensemble $A$ de $\cal A$ vérifiant $$T^{-1}A\subseteq A$$ est de mesure $0$ ou $1$.
\end{definition}
On remarque que la propriété se teste en fait aussi bien sur les ensembles complè\-tement
invariants, c'est-à-dire vérifiant $T^{-1}A= A$.

La réponse à la question 1 est alors donnée par le théorème ergodique (qui est une généralisation de
la loi forte des grands nombres):
\begin{theoreme}[ergodique de Birkhoff]
Soit $(X,{\cal A},T,\mu)$ un système dy\-na\-mique où $\mu$ est une probabilité ergodique; soit $B$ un
ensemble fixé dans $\cal A$. Alors, si on pose
$$S_n(x):= \#\{0\leq k<n ; T^k x\in B\},$$
pour $\mu$-presque tout $x$,
$$\lim_{n\to\infty} {1\over n}S_n(x) =\mu(B). $$
\end{theoreme}
Plus généralement, si $f$ est une fonction $\mu$-intégrable sur $X$, alors, pour $\mu$-presque
tout $x$,
$$\lim_{n\to\infty} {1\over n}\sum_{k<n} f(T^k x) = \int f d\mu. $$

\subsubsection*{Commentaire}
Malgré son nom, ce théorème admet une version plus géné\-rale sans l'hypothèse
d'ergodicité, et fournit alors une version améliorée du théorème de Poincaré:
$$\lim_{n\to\infty} {1\over n}\#({\cal N}(x,B)\cap [0, n-1]) >0$$
pour $\mu$-presque tout point $x$ de $B$.

\Subsubsection*{Exemples}
\begin{enumerate}
\item
La mesure de Lebesgue est ergodique pour la rotation irrationnelle; plus généralement, lorsque $T$
admet une unique probabilité invariante, celle-ci est automatiquement ergodique, car les
probabilités ergodiques sont les points extré\-maux du convexe compact $M_T(X)$ constitué des
probabilités $T$-invariantes sur $X$. Un tel système (ou plus simplement l'application $T$) sera dit
\emph{uniquement ergodique}.

\item
La mesure de Lebesgue est également ergodique pour la transformation $Tx:=2x\bmod 1$
comme on peut le vérifier en utilisant une définition équiva\-lente de l'ergodicité:
\begin{definition}
Soit $(X,{\cal A},T,\mu)$ un système dynamique. La probabilité~$\mu$ est ergodique pour $T$ si et
seulement si, toute fonction mesurable $f:X \mto \RR$ vérifiant
$$f(Tx)=f(x)$$
$\mu$-presque partout, est égale presque partout à une constante.
\end{definition}
Il suffit de le vérifier pour les fonctions bornées sur $\TT$ et d'utiliser le dévelop\-pement
d'une telle $f$ en série de Fourier.

Le produit de Riesz $\rho$ défini dans le paragraphe précédent est aussi ergodique pour cette
transformation (elle possède en fait une propriété plus forte).
Or on peut vérifier que deux probabilités ergodiques distinctes du même convexe compact $M_T(X)$ sont
nécessairement étrangères (elles habitent sur des boréliens disjoints). Cela
prouve que cette mesure est singulière.

On pourrait déduire la singularité du théorème ergodique appliqué à $f(x):=e^{2i\pi x}$ sur $[0,1)$
avec les mesures $m$ et $\rho$ successivement, en remarquant que
$$\int f dm =0$$ alors que $$\int f d\rho =\wh\rho(1)= -{1\over3}$$

\item
La mesure de Gauss et la mesure associée au $\theta$-shift sont toutes deux ergodiques et cela
peut résulter du théorème de Ruelle-Perron-Frobenius. En appliquant le théorème ergodique à la
transformation~$T$ de Gauss par exemple, on peut obtenir des résultats presque sûrs sur la répartition
des quotients partiels: à tout $x\in [0,1]\setminus \QQ$ on associe la suite d'entiers $a_1=a_1(x)=[{1/ x}]$
et pour $n>1$, $a_n=a_n(x)=a_{n-1}(Tx)$, appelés \emph{quotients partiels} de $x$.
\end{enumerate}

\begin{proposition}
Pour chaque entier $k\geq1$, pour presque tout $x$, la fréquence relative d'apparition de $k$ parmi
les $a_n(x)$ est $${1\over{\log2}}\log{{(k+1)^2}\over{k(k+2)}}. $$
En particulier presque tout $x$ est à quotients partiels non bornés.
\end{proposition}

\subsubsection*{Question 2} Peut-on décider, pour un point initial $x$ fixé, s'il appartient ou non à cet
ensemble de mesure pleine pour lequel la limite existe dans le théorème ergodique?

\begin{definition}
Supposons que $X$ soit un espace métrique compact. Le~point $x$ est dit \emph{générique} pour le
système dynamique $(X,{\cal A},T,\mu)$~si
$$\lim_{n\to\infty} {1\over n}\sum_{k<n} f(T^k x) = \int f d\mu$$
pour toute $f$ continue sur $X$.
\end{definition}

Par le théorème ergodique, $\mu$-presque tout $x$ est générique mais il est difficile d'exhiber un
seul point, comme on peut le voir par exemple avec les nombres normaux. On rappelle qu'un nombre est
\emph{normal en base $q$}, si la suite de ses digits en base $q$ est une suite normale, c'est-à-dire
telle que, pour chaque $n$, tout motif de longueur~$n$ apparaît dans la suite avec la fréquence
$q^{-n}$. Il résulte du théorème ergodique appliqué à la transformation $x\mto qx\bmod 1$ que
presque tout nombre est normal en base $q$ (et même en toute base); mais on ne sait pas décider si
le nombre $\sqrt 2$ par exemple est normal en base $2$, comme le pensait Borel.

Le résultat suivant sera précieux puisqu'il nous permettra d'étudier toute orbite:
\begin{theoreme}[Oxtoby]
Supposons l'espace métrique compact et le sys\-tè\-me uniquement ergodique. Alors tout point est
générique; plus précisément, pour toute $f$ continue sur $X$
$$\lim_{n\to\infty} {1\over n}\sum_{k<n} f(T^k x) = \int f d\mu$$
uniformément sur $X$.
\end{theoreme}

\Subsubsection*{Commentaires}
\begin{enumerate}
\item
Il y a en fait équivalence entre l'unique ergodicité du système et la
convergence uniforme vers une constante des moyennes de Birkhoff de toute fonction
continue. La démonstration en est assez simple (voir par exemple \cite{Wa}).

\item
Après cette étude (rapide) on peut dire que la minimalité est la version topologique de
l'unique ergodicité, alors que la version topologique de l'ergodicité est la transitivité
(existence d'un point d'orbite dense lorsque $X$ est un compact sans point isolé.)
\end{enumerate}

À noter une classe importante d'exemples \cite{De}:

\begin{proposition} Tout homéomorphisme du cercle sans orbite périodique --- donc de nombre de rotation
irrationnel --- est uniquement ergodique.
\end{proposition}

\subsection{Isomorphismes de systèmes et codage}
Le problème d'isomorphisme entre systèmes dynamiques est naturel: étant donné un système, n'est-il
pas simplement une autre version d'un système déjà connu, dont la dynamique est plus simple à
étudier? Cela peut répondre aussi à un besoin de classification. Enfin, les systèmes symboliques
sont relativement bien connus, et un outil pour comprendre un système dynamique abstrait serait une
représentation symbo\-lique d'un tel système.
Fathi a défini dans \cite{Fat} la notion de semi-conjugaison et de conjugaison en dynamique
topologique, deux systèmes (topologiquement) conjugués ayant la même dynamique.

On va introduire une notion d'isomorphisme pour les systèmes mesurés, moins exigeante que la notion de conjugaison
pour les systèmes topologiques et plus adaptée à notre préoccupation. Un tel
système, rappelons-le, est muni d'une probabilité invariante.
\begin{definition}
Les systèmes $(X,{\cal A}, T, \mu)$ et $(X',{\cal A}', T', \mu')$
sont métri\-que\-ment isomorphes s'il existe une application mesurable
\[
h:X\mto X'
\]
vérifiant
$$\mu(h^{-1}A')=\mu'(A') \quad{\rm pour}\ A'\in {\cal A}'$$
$$h\circ T = T'\circ h$$
et s'il existe $Y\subset X$ et $Y'\subset X'$ vérifiant
$$\mu(Y)=1\qquad \mu'(Y')=1$$
tels que $h:Y\mto Y'$ soit bijective et bimesurable ($h$ est une presque-bijection bimesurable).
\end{definition}

La théorie ergodique s'intéresse aux propriétés préservées par ce type d'iso\-mor\-phisme
(ergodicité par exemple). L'exemple suivant va éclaircir et justifier cette définition.

\subsubsection*{Exemple 1}
Notons $T_2$ l'application $x\mto 2x\bmod 1$ définie sur $X$ identifié à
$[0,1)$. Il est prouvé dans \cite{Fat} que le système $(X,T_2)$ est semi-conjugué au $2$-shift,
$(\Sigma_2^+, T)$, où $\Sigma_2^+$ désigne le compact $\{0,1\}^\NN$. Les rationnels dyadiques
admettant deux décompositions, l'application ne peut être bijective; de toute façon, les deux
systèmes ne peuvent être conjugués puisque $\Sigma_2^+$ est totalement discontinu.

Par contre, $(\Sigma_2^+, T, \{{1/2},{1/2}\}^\NN)$ et $(X,T_2, m)$ sont des systèmes
métriquement isomorphes. Pour le voir, il suffit de considérer l'application de
semi-conjugaison $h:\Sigma_2^+\mto X$ définie par
$$h(u):=\sum_1^{\infty} {u_n\over2^n}$$
Puis on la restreint au départ à l'ensemble des suites de $0-1$ qui, à~partir d'un certain rang,
ne sont pas identiquement nulles ou identiquement égales à $1$, et à l'arrivée, à $X$ privé des
rationnels dyadiques. Par ailleurs les mesures sont échangées par $h$.

La semi-conjugaison s'est révélée un excellent candidat comme isomorphisme de systèmes mesurés, ce
qui sera souvent le cas.

\subsubsection*{Exemple 2}
Considérons le système $(X,T,\mu)$ où la transformation $T$ est définie sur
$X:=[0,1)$ par $Tx:=\theta x \bmod 1$, $\theta$ étant le nombre d'or $\psfrac{1+\sqrt5}{2}$. On a exhibé sur $X$ une probabilité $T$-invariante (équivalente à la mesure de Lebesgue et
unique parmi celles-ci) notée~$\mu$. Ce système est (métriquement) isomorphe à un \emph{sous-shift de
type fini} appelé le \emph{$\theta$-shift}, muni d'une mesure markovienne.

Rappelons qu'un sous-shift désigne simplement un système topologique cons\-titué d'une
partie fermée $Y$ de $X=\{0,1,\ldots,n-1\}^{\NN\,{\rm ou}\,\ZZ}$, invariante par le shift. Le
complémentaire de $Y$ dans $X$ étant ouvert, c'est une union dénombrable de cylindres ouverts
disjoints, qu'on peut, sans restriction, supposer définis par des contraintes portant sur des
coordonnées consécutives ou blocs; ainsi, le fermé est défini par une liste dénombrable de blocs
interdits. Le sous-shift $(Y,T)$ est dit \emph{sous-shift de type fini} lorsque la liste des blocs
interdits est finie. À~un tel sous-shift est associée une matrice de transition (à~coef\-ficients
$0-1$) $M$ qui contient une grande partie de l'information statistique du système, et de coefficients
$M_{ij}=1$ si $ij$ est un mot permis, $0$~sinon. Ainsi $Y:=\Sigma_M$ est l'ensemble
$$\{x\in \{0,1,\ldots,n-1\}^{\NN\,{\rm ou}\,\ZZ}: M_{x_i x_{i+1}}=1\}$$

Le $\theta$-shift est le sous-shift de $\Sigma_2^+$ constitué des suites de $0$ et de $1$ dans lesquelles le bloc $11$ n'apparaît pas. On le note $\Sigma_\theta$. La matrice~$M$ correspondante est
simplement $$\arraycolsep4pt\begin{pmatrix}1 &1 \cr
1 & 0 \end{pmatrix}$$
de polynôme caractéristique $X^2-X-1=0$.
À toute suite $(x_n)$ de $\Sigma_\theta$ on peut associer le réel $x=\sum x_n \theta^{-n}$; il est
aussi naturel de définir l'application de $X$ dans $\Sigma_\theta$ par
$$x\mto (x_n)\in \{0,1\}^\NN\quad \hbox{\rm où}\quad x_n=\begin{cases}
0 & \text{si $T^n x\in [0,\theta^{-1}[$},\cr
1 & \text{sinon},
\end{cases}$$
c'est-à-dire la décomposition en base $\theta$, qui est bien définie en dehors des réels
admettant deux écritures (les réels de $\QQ(\theta$) ayant une écriture avec un nombre fini de
termes non nuls et une se terminant par la suite $0101010101\cdots $).

La mesure invariante sur $\Sigma_\theta$ est la mesure transportée par cette application. C'est
une mesure de \emph{Markov} définie sur les cylindres de~$\Sigma_\theta$ par
$$\mu([\omega])=g_{\omega_0}\cdot d_{\omega_\ell}\cdot{1\over \theta^l}$$
si $\omega=\omega_0\cdots\omega_\ell$ et si $(g_a)_a$, $(d_a)_a$ sont les vecteurs propres à gauche et à
droite de la matrice $M$ pour la valeur propre $\theta$, normalisés par $\sum_a g_ad_a=1$.

Comme application du théorème ergodique, on peut obtenir des résultats sur la fréquence d'apparition
d'une lettre ou d'un mot dans le développement de presque tout nombre. Par exemple

\begin{proposition}
Pour presque tout $x\in [0,1)$, la fréquence d'apparition de $0$ dans son développement en base
$\theta$ est $${\theta^2\over{1+\theta^2}}$$
\end{proposition}

Étant donné une partition finie de $X$,
$$X=X_0\cup X_1\cup\cdots \cup X_p$$
on peut associer à tout $x$ la suite $\omega(x)\in\Omega=\{a_0,a_1,\ldots,a_p\}^\NN$ définie
par
$$\omega(x)_n=a_j\quad{\rm si}\quad T^n x\in X_j. $$
On a codé l'orbite de $x$ par une suite infinie de $\Omega$, et on dit que la partition est
\emph{génératrice} si deux points différents de $X$ ont des codages différents. En général le
codage n'est pas défini de manière unique aux points frontières de la partition et en leurs
pré-images, ce qui induit au mieux un isomorphisme métrique entre le système initial et le système
symbolique.

\subsubsection*{Exemples}
C'est le cas de $x\mto 2x \bmod 1$ et la partition $X_0=[0,{1/2}[$, $X_1=[{1/2},1)$ ou $x\mto \theta x \bmod 1$ et la partition $X_0=[0,\theta^{-1}[$, $X_1=[\theta^{-1},1)$.

Un autre exemple important est celui du codage de fonction unimodale \cite{De}.

Le désordre est plus facile à mesurer pour les systèmes symboliques. C'est un des intérêts du codage.

Un outil pour mesurer la richesse d'un système dynamique est la notion d'entropie, \emph{entropie
topologique} $h_{\rm top}$ dans le cadre topologique et \emph{entropie métrique} $h_\mu$ dans le cadre d'un
système muni d'une mesure $\mu$. Pour un sous-shift~$X$, notons $W(X,k)$ le nombre de blocs de
longueur $k$ apparaissant dans $X$; alors
$$h_{\rm top}=\limsup_{k\to \infty}{1\over k} \log W(X,k)$$
que l'on peut adopter comme définition.

\begin{proposition}
Soit $\Sigma_M$ un sous-shift de type fini de matrice $M$ \emph{pri\-mi\-tive} (une puissance de $M$ a tous
ses coefficients $> 0$). Alors l'entropie topologique est $\log\lambda$ où $\lambda$ est la valeur
propre dominante de la matrice.
\end{proposition}

\begin{proof}
Notons plus simplement $W(X,n)$ par $W(n)$; $W(2)$ est le nombre de $1$ dans
$M$ et donc $$W(2) = \sum_{i,j} M_{ij}$$
Maintenant si $n\geq2$, $$M_{ij}^{(n)}=\sum_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-1}} M_{ii_1}M_{i_1i_2}\cdots M_{i_{n-1}j}$$
et $M_{ii_1}M_{i_1i_2}\cdots M_{i_{n-1}j}=1$ signifie que $ii_1i_2\cdots i_{n-1}j$ est un mot de $X$ de
longueur $n+1$; $M_{ij}^{(n)}$ est donc le nombre de mots de $W(n+1)$ commençant par $i$ et
finissant par $j$, et
$$W(n+1)=\sum_{i,j} M_{ij}^{(n)}$$
La proposition résulte alors du théorème de Perron-Frobenius \cite{Se}:

\begin{theoreme}[Perron-Frobenius] Soit $M$ une matrice carrée, à coefficients positifs, et primitive.
Alors $M$ admet une valeur propre dominante strictement positive,
racine simple de son polynôme caractéristique, et admettant un vecteur propre à droite et à
gauche strictement positifs.
\end{theoreme}

Si $\lambda$ est cette valeur propre dominante, on a clairement
$$c\leq {W(n+1)\over {\lambda^n}} \leq C $$
où $c$ et $C$ sont deux constantes positives, et la proposition suit.
\end{proof}

La proposition reste vraie lorsque la matrice $M$ est seulement \emph{irréductible} (pour chaque couple
$(i,j)$ on peut trouver un entier $n$ tel que $M_{ij}^n$ soit $>0$) en utilisant la version du
théorème de Perron-Frobenius dans ce cas.

L'entropie topologique est un invariant topologique (pour la conjugaison) et l'entropie métrique un
invariant pour l'isomorphisme métrique; un système d'entropie strictement positive, tel que le
sous-shift de type fini, est un système dont l'aléatoire est riche.

\subsection{Système associé à une suite}
On s'intéresse désormais aux systèmes $(X,T,\mu)$ avec $X$ métrique compact et d'entropie
topologique nulle. Pour un tel système, l'entropie, quelle qu'elle soit, est un outil insuffisant
pour mesurer l'aléatoire qu'il contient. (Pour un espace métrique compact $X$ et un homéomorphisme
$T$,
\[
h_{\rm top}= \sup\{h_\mu ; \mu \in M_T(X)\},
\]
ce qui nous dispense d'introduire la notion
d'entropie métrique!). De~ce point de vue, les systèmes infinis les plus pauvres sont les
\emph{systèmes sturmiens}. Un système sturmien est un système engendré par une suite sturmienne,
c'est-à-dire une suite de \emph{complexité} minimale parmi les suites non périodiques. Étant donné une
suite $u$ ne prenant qu'un nombre fini de valeurs, on considère pour tout $n$ le nombre $p(n)$ des
mots de la suite de longueur $n$; la fonction $p$, appelée fonction complexité, a été étudiée en
\cite{Arn}.

Le système engendré par $u$, est $(X,T)$ avec $X=\overline{\mathrm{Orb}}(u)$, $T$ le shift
(unilatéral ou bilatéral) sur $X$. Par construction de $X$, une suite $x$ est dans $X$ si et
seulement si tout mot $x_ix_{i+1}\cdots x_j$ de $x$ est un mot de la suite initiale.\enlargethispage{\baselineskip}

Les systèmes sturmiens apparaissent lors du codage de la rotation irrationnelle et ont été analysés
dans \cite{Arn}.
Rappelons un des résultats:

\begin{proposition} Soit $R_\alpha$ la rotation irrationnelle sur $X=[0,1)$, et
notons $X_0=[0,1-\alpha[,\ X_1=[1-\alpha,1)$.
Alors le système $(X,R_\alpha,m)$ est métriquement isomorphe à un système sturmien.
\end{proposition}

\subsubsection*{Exemple}
Lorsque $\alpha = \psfrac{3-\sqrt5}{2}$, le codage envoie $0$ sur la suite
$$u=001001010010010100101001001010010010100101\cdots $$ et le système initial, sur le système engendré
par la suite $u$, c'est-à-dire $(X,T,\mu)$, où~$\mu$ l'image de $m$.

Soit plus généralement $u$ une suite de $A^\ZZ$. Le système $(X,T)$
associé à la suite $u$ est minimal si et seulement si tout mot de la
suite (ou~de n'importe quelle autre suite de $X$) y apparaît avec des lacunes bornées. Cela résulte
d'une caractérisation plus générale de Gottschalk. En combinant ceci avec le théorème d'Oxtoby on
obtient alors:

\begin{theoreme}
Le système associé à la suite $u$ est minimal et uniquement ergo\-dique (on dit alors \emph{strictement
ergodique}) si et seulement si tout mot de la suite admet une fréquence uniforme $>0$; plus
précisément, si $B=b_1b_2\cdots b_\ell$ apparaît dans $u$,
\begin{multline*}
\lim_{n\to\infty} {1\over n}\#\{k;m+1\leq k\leq m+n: u_{k+1}u_{k+2}\cdots u_{k+\ell}=
b_1b_2\cdots b_\ell\}\\
 = d_B >0
\end{multline*}
uniformément par rapport à $m$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
$B$ étant un mot de $u$, notons $[B]$ le cylindre engendré par $B$.
Supposons le système strictement ergodique. Si $\mu$ est l'unique probabilité invariante du système,
il suffit d'appliquer le théorème d'Oxtoby à la fonction continue $f=\mathbf{1}_{[B]}$ pour obtenir la
limite cherchée avec $d_B= \mu([B])$. Par mini\-malité, cette limite est $>0$.

Réciproquement, la fonction d'ensembles $d_B$ vérifie
\begin{gather*}
0\leq d_B\leq1,\quad d_B=1\ si\ B=\emptyset,\\
d_B=\sum_{b\in A} d_{Bb} =\sum_{b\in A} d_{bB}.
\end{gather*}
Il existe alors une mesure $\mu$ de probabilité $T$-invariante sur les boréliens de $X$ telle que
$\mu([B])=d_B$ pour tout mot $B$. Le fait que $(X,T)$ soit uniquement ergodique résulte de la
caractérisation d'Oxtoby d'un tel système, et la minimalité découle de la condition $d_B >0$ pour
tout $B$. À noter que par minimalité, le support fermé de~$\mu$ est~$X$ tout entier.
\end{proof}

Toute l'information statistique d'un système strictement ergodique est con\-tenue dans l'une
quelconque des suites $x\in X$. On se restreint à ce type de système lorsque l'on veut étudier le
désordre d'une suite ou d'une configuration bien déterminée. C'est une situation très différente de
celle d'un Bernoulli-shift par exemple.

\subsubsection*{Exemples} Certaines classes de suites ont été systématiquement étudiées; nous allons
commencer par des cas particuliers avant de tenter une généralisation.

\subsubsection{Suite de Thue-Morse} Considérons $A^\ZZ$ où $A=\{-1,+1\}$. On définit la suite $(m_n)_{n\geq0}$ par\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$m_n=(-1)^{S_n}$$
où $S_n$ désigne la somme des chiffres de l'entier $n$ écrit en base $2$, c'est-à-dire\vspace*{-3pt}
$$S_n=n_1+n_2+\cdots+n_k$$
lorsque\vspace*{-3pt}
$$n=n_1+2\cdot n_2+\cdots+2^{k-1}\cdot n_k$$
de sorte que les $n_i$ valent $0$ ou $1$. Il est facile de voir que la suite $m$ est complè\-tement
déterminée par les relations\vspace*{-3pt}
$$m_0=1,\ m_{2n}=m_n,\ m_{2n+1}=-m_n,\ n\geq0$$
ce qui implique que la suite est $2$-automatique comme nous le verrons plus tard,
et aussi bien par les relations
$$m_0=1,\ m_{2^{n-1}+k}=-m_k,\ k\geq0,\ n\geq1$$
ce qui signifie que la suite est $2$-multiplicative. Cette suite
qui a été souvent étudiée et rencontrée dans différents domaines des mathématiques s'appelle \emph{suite de Thue-Morse}.

\begin{proposition}
La suite $m$ prolongée aux entiers négatifs par $m_n=m_{-n-1}$ engendre
sous le shift un système strictement ergodique et l'unique mesure in\-variante $\mu$ sur
$(X=\overline{\mathrm{Orb}}(m), T)$ vérifie
$$\mu([1])=\mu([-1])={1\over2}$$
$$\mu([B]) \in\Bigl\{{1\over 3\cdot 2^k},{1\over 6\cdot 2^k}\Bigr\}$$
pour tout mot $B$ de $m$ de longueur $\ell$, $2^k+1\leq \ell\leq2^{k+1},\ k\geq1$

\end{proposition}
La stricte ergodicité n'est pas plus difficile à établir dans un cadre plus général, ce qu'on verra
plus loin. La description de $\mu$ sur les cylindres a été faite par Dekking et V. Berthé
\cite{Be}.

\subsubsection{Suite de Toeplitz} Considérons la suite définie pour tout $n\in\ZZ$ par
$$t_n=m_n\cdot m_{n-1}$$
Il est facile de voir que
$$t_n=\begin{cases}
+1 & \text{si $n=0$},\cr
-1 & \text{si $n$ est impair}, \cr
(-1)^{k+1} & \text{si $n = 2^k(2m+1),\ k\geq 1$}.
\end{cases}$$
On peut construire cette suite ainsi: on se figure les entiers comme des cases à remplir; on place
$1$ en case $0$, puis $-1$ dans toutes les cases impaires. On remplit alors une case restante sur
deux par $1$, puis à nouveau une case restante sur deux par $-1$, une case restante sur deux par
$1$, etc.\ en alternant les $1$ et les $-1$.

Cette suite appelée \emph{suite de Toeplitz} engendre elle aussi un système stricte\-ment ergodique,
comme on le verra ci-dessous.

On s'aperçoit que le procédé de construction peut être généralisé à d'autres suites, en
remplissant différemment les trous; c'est ainsi, par exemple, qu'on peut construire les suites de
\emph{papiers pliés} \cite{AMF}.

\subsubsection{Suite de Fibonacci} Considérons $A= \{a,b\}$ et la suite dite de \emph{Fibonacci} à valeurs
dans $A$ définie de proche en proche par le règle suivante:
on part de $a$ et on lui substitue le mot $ab$; puis on recommence en remplaçant chaque $a$ par
$ab$ et chaque $b$ par $a$. On obtient une suite de mots de longueur tendant vers l'infini, chacun
commençant par le précédent, qui converge donc vers la suite $u$
$$abaababaabaababaababaabaababaabaababa\cdots. $$
La suite des longueurs des mots successifs n'est autre que la suite de Fibonacci d'où le nom de la
suite. De la même façon, on obtient
\begin{proposition}
La suite $u$ engendre
sous le shift un système strictement ergo\-dique et l'unique mesure in\-variante $\mu$ sur
$(X=\overline{\mathrm{Orb}}(u),T)$ vérifie\vspace*{-3pt}
\begin{gather*}
\mu([a])=\theta^{-1},\ \mu([b])=\theta^{-2}\\
\mu([B]) \in
\begin{cases}\dpl
\Big\{{1\over \theta^{k-1}},{1\over\theta^{k}}\Big\}&\text{si }n=F_{k}-1\\[5pt]
\dpl\Big\{{1\over \theta^{k-1}},{1\over\theta^{k}},{1\over\theta^{k+1}}\Big\}&\text{si }F_{k}\leq n<F_{k+1}-1
\end{cases}
\end{gather*}
pour tout mot $B$ de $u$ de longueur $n\geq2$, où $\theta$ désigne comme toujours le nombre d'or.
\end{proposition}

Il est facile d'établir que la fréquence d'apparition de la lettre $a$ est $\theta^{-1}$ et celle de
$b$, $\theta^{-2}$. La fréquence de tout mot a été calculée par Dekking et V. Berthé (\cite{Be}) a
étudié le cas plus général des suites sturmiennes.

\subsubsection{Suites substitutives} Les trois suites précédentes peuvent s'obtenir par un procédé de \emph{substi\-tution},\vspace*{-3pt}
$$a\to ab,\ b\to ba$$
pour la suite de Thue-Morse, et\vspace*{-3pt}
$$a\to ab,\ b\to aa$$
pour la suite de Toeplitz.

Plus généralement, $A$ étant un alphabet fini noté simplement $\{0,1,\ldots, s-1\}$, une substitution
$\zeta$ est une application de $A$ dans l'ensemble des mots construits sur~$A$, qui se prolonge par
juxtaposition, en une application encore notée $\zeta$ de $A^\NN$ dans lui-même. Une suite $u$ est
substitutive si elle est point fixe d'une substitution. La substitution est de longueur constante,
$q$, si les mots associés à chacune des lettres de~$A$ ont même longueur $q$; dans ce cas on désigne
par suite $q$-automatique toute image d'un point fixe par une application de $A$ dans $\CC$.

Un critère de Cobbham permet de décider si une suite est $q$-automatique:
\begin{proposition}
$(u_n)$ est $q$-automatique si et seulement si l'ensemble des suites $\{u(q^kn+m)_{n\geq0}\}$
lorsque $k\geq0$ et $m<q^k$ est un ensemble fini.
\end{proposition}
On définit la matrice de la substitution $M=M(\zeta)$: c'est une matrice $s\times s$ à coefficients
entiers dont le coefficient $M_{ij}$ est le nombre de $i$ dans le mot $\zeta(j)$. Si on itère $n$
fois la substitution $\zeta$, $ M(\zeta^n)={M(\zeta)}^n$.

On suppose pour simplifier et assurer l'existence d'un point fixe $u$ que, pour une lettre $a$, le
mot $\zeta(a)$ commence par $a$, et que la
suite des longueurs des mots ${\zeta}^n(b)$ tend vers $\infty$ avec $n$, pour $b\in A$.
Alors $u=\zeta^{\infty}(a)$ est un point fixe de $\zeta$.
Le système associé à la suite $u$ est comme toujours désigné par $(X=\overline{\mathrm{Orb}}(u),T)$ où, a
priori, $X$ est une partie de $A^\NN$. C'est un sous-shift avec beaucoup plus de contraintes que
n'en possède un sous-shift de type fini; ces contraintes d'ailleurs ne sont pas complètement décrites
par la matrice $M$ comme c'était le cas pour un sous-shift de type fini, puisqu'elle ne rend pas
compte de l'ordre d'apparition des lettres dans chaque substitué; c'est toute la différence! Pour les
décrire, il faudrait introduire la matrice des $2$-mots. Cependant, on peut déjà établir avec la
simple matrice $M$ quelques résultats.

\begin{theoreme}
Si la matrice $M(\zeta)$ est primitive, le système est strictement ergodique.
\end{theoreme}

La démonstration (due à P.\,Michel) résulte du théorème de Perron-Frobenius et se trouve dans
\cite{Qu}.

\begin{proposition}
Tout système $(X=\overline{\mathrm{Orb}}(u),T)$ est d'entropie nulle, et lorsque la matrice est primitive la
fonction complexité est en $O(n)$.
\end{proposition}

\begin{proof}
La fonction complexité d'une suite substitutive est de l'une des formes
suivantes: $O(1)$, $O(n)$, $O(n \log\log n)$, $O(n \log n)$, $O(n^2)$, \cite{AMF} et le fait qu'elle
soit de l'ordre de $n$ pour une substitution primitive résulte une fois de plus du théorème de
Perron-Frobenius~\cite{Qu}.
\end{proof}

\subsubsection{} D'autres classes de suites sont intéressantes, telles que les suites multipli\-catives, les suites
de Morses généralisées ou les suites définies par itération d'un cocycle à valeurs dans un groupe
fini...

\section{Propriétés spectrales}
On se place dans ce paragraphe, dans le cadre d'un système
dynamique $(X,T,\mu)$, avec $(X,\mu)$ espace de Lebesgue (isomorphe à l'intervalle unité muni de la
tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue --- ce qui n'est pas très restrictif) et $T$ inversible.
L'opérateur $U_T$ défini sur l'espace de Hilbert $L^2(X,\mu)$ par $$U_T(f):=f\circ T$$ est un
opérateur unitaire, auquel on va appliquer la théorie de la décomposition spectrale. Ceci nous
fournira un nouveau procédé de classification, qui, comme on le verra, permettra de distinguer les
systèmes d'entropie nulle.

Deux systèmes sont \emph{spectralement isomorphes}, si les opérateurs asso\-ciés sont
unitairement conjugués. Il est clair que l'isomorphisme métrique entraîne l'isomorphisme spectral,
puisque, avec les notations du paragraphe $1. 3$, les opé\-rateurs $U_T$ et $U_{T'}$ sont conjugués par
l'opérateur $V_h$ de multiplication par $h$. La réciproque est vraie pour certaines classes de
systèmes.

\subsection{Généralités sur la théorie spectrale}
Rappelons, dans le cas plus général d'un opérateur unitaire $U$ agissant sur un espace de Hilbert
séparable $H$, les principales caractéristiques spectrales. Il~faut noter que le spectre ensembliste
ne sera d'aucune utilité pour l'opérateur $U_T$ avec $T$ ergodique, car toujours égal à $\TT$.

\subsubsection{} On note $[U,h]$, \emph{l'espace cyclique} engendré par $h$, c'est-à-dire la fermeture de espace
vectoriel engendré par les
$U^nh$, $n\in \ZZ$.

L'opérateur $U$ restreint à un espace cyclique $[U,h]$ est isométriquement isomorphe à l'opé\-rateur $V$ de
multiplication par la fonction $e^{2\pi it}$ sur le Hilbert $L^2(\TT,\sigma_h)$ où $\sigma_h$,
la \emph{mesure spectrale} de $h$, est une mesure positive et bornée sur $\TT$ définie par ses
coefficients de Fourier:
$$ \wh{\sigma_h}(n):=\langle U^nh,h\rangle$$
pour tout $n\in \ZZ$.

Cela résulte de l'identité
$$\langle P(U)\cdot h,P(U)\cdot h\rangle = \int_\TT \vert P(t)\vert^2 d\sigma_h(t)$$
pour tout polynôme trigonométrique $P$ et $h$ dans $H$.

\subsubsection{Spectre discret} $U$ est à spectre discret si l'espace vectoriel engendré par les
fonctions propres est dense dans $H$.

\subsubsection{Spectre simple}
$U$ est à spectre simple s'il existe $h\in H$ tel que $[U,h]=H$.

\subsubsection{Spectre simple de Lebesgue} $U$ est à spectre simple de Lebesgue, si $U$ est unitairement
conjugué à $V$ sur $L^2(\TT,m)$, ou encore s'il existe $h\in H$ tel que $(U^nh)_{n\in\ZZ}$
forme une base orthonormale de $H$. Dans ce cas, en effet, $\sigma_h = m$.

\subsubsection{} On dit que $U$ a une composante d'un certain type dans son spectre, si le spectre de la
restriction de $U$ à un sous-Hilbert invariant de $H$ est de ce type. Ainsi, $U$ a toujours un
spectre discret en restriction à l'espace vectoriel engendré par les fonctions propres.

Le théorème de décomposition spectrale peut s'énoncer ainsi:

\begin{theoreme} Soit $U$ un opérateur unitaire sur un Hilbert \hbox{séparable}~$H$. Il existe alors une suite
$(h_n)_{n\geq1}$ d'éléments de $H$ telle que
\begin{enumeratea}
\item
$[U,h_n]\perp[U,h_m]$ pour tous $n\neq m$

\item
$H=\bigoplus_{n\geq1} [U,h_n]$

\item
$\sigma_{h_1}\gg\sigma_{h_2}\gg\cdots$
\end{enumeratea}
\noindent
et la suite de mesures $(\sigma_{h_n})$ est unique à une équivalence prés.
\end{theoreme}

La \emph{multiplicité spectrale} de $U$ est le nombre minimal (fini ou infini) d'éléments
$f_1,\ldots,f_m$ pour lesquels il existe une décomposition $H=\bigoplus_{n\geq1} [U,f_n]$.

Revenons au cas d'un système dynamique et de l'opérateur $U_T$ avec $T$ ergo\-dique. Dans ce cas, les
fonctions propres, étant de module invariant par $T$, sont de module constant, que l'on peut
choisir égal à~$1$. Les valeurs propres sont simples et forment un sous-groupe de~$\TT$, de
même que la famille de fonctions propres normalisées.

Citons un premier
résultat que l'on peut trouver dans \cite{Pa} et qui clarifie les choses:

\begin{proposition} Soit $(X,T,\mu)$ avec $T$ inversible: ou bien $T$ est d'entropie mé\-trique nulle, ou
bien $U_T$ a une composante de Lebesgue de multiplicité infinie.
\end{proposition}

Autrement dit, les systèmes avec composante de Lebesgue de multiplicité infinie sont très riches du
point de vue de l'aléatoire. Intuitivement, l'apparition d'une composante de Lebesgue dans
le spectre dénote un certain hasard dans la des\-cription du système, alors qu'à l'opposé, un
spectre discret est le fait d'un système rigide comme nous allons le voir. En fait l'étude spectrale
apporte un autre éclairage à l'étude des systèmes de basse complexité, peut-être parce qu'on ne
sait pas interpréter celle-ci? Explorons quelques exemples en entropie nulle.

\subsubsection{Spectre discret} La rotation irrationnelle $ R_\alpha x:= x+\alpha\bmod 1$
agissant sur $[0,1)$ est à spectre discret; en effet les fonctions $e^{2\pi nit}$ avec $n$ dans
$\ZZ$ sont fonctions propres de $R_\alpha$ et forment une base de $L^2(\TT,m)$.

Le résultat suivant est dû à J.~von Neumann.

\begin{proposition} Toute transformation ergodique à spectre discret est métri\-quement isomorphe à une
rotation sur un groupe métrique compact abélien muni de la mesure de Haar.
\end{proposition}

C'est un des cas où les notions d'isomorphisme spectral et d'isomorphisme mé\-trique coïncident.
Si $\Gamma$ est le groupe discret des valeurs propres de la transforma\-tion $T$, toute translation
ergodique $T_g$ sur $G=\wh{\Gamma}$ admet $\Gamma$ comme spectre. Reste à montrer que deux systèmes
discrets avec le même spectre $\Gamma$ sont métriquement isomorphes; pour cela on construit à l'aide
des fonctions propres normalisées $(f_\gamma)$ et $(g_\gamma)$ et de leur propriété de groupe, un
isomorphisme des $\sigma$-algèbres qu'on étend aux espaces eux-mêmes.

\subsubsection*{Exemple 1}
La transformation de Kakutani définie sur $([0,1[,m)$ par
\[\arraycolsep4.5pt
Tx=
\begin{cases}
\dpl x+{1\over2} &\dpl \text{si }x<{1\over2},\\[8pt]
\dpl x-{1\over4} & \dpl \text{si }{1\over2}<x<{3\over4},\\[8pt]
\dpl x-{1\over4}-{1\over8} & \dpl \text{si }{3\over4}<x<{7\over8}\text{ etc.}
\end{cases}
\]
est à spectre discret car isomorphe à $\tau$, l'addition de
$1$ avec retenue sur le groupe $\Omega$ des entiers dyadiques muni de sa mesure de Haar.

Rappelons que $\Omega$ est l'ensemble $\{0,1\}^\NN$
muni de l'addition composante par composante avec retenue. $\Omega$ est un groupe métrique compact
pour la distance dyadique $d(\omega,\omega')=2^{-\inf \{k,\ \omega_k\neq {\omega'}_k\}}$.
Un élément $\omega\in\Omega$ peut être représenté
formellement par la somme infinie $\omega=\sum_{i=0}^{\infty}\omega_i2^{i}$, de sorte que les
entiers naturels, qui sont les $\omega$ avec un nombre fini de $1$, sont denses dans $(\Omega,d)$.
À noter que dans cette représentation, $-1=(1,1,\ldots,1,\ldots)$ et
$(\underbrace{0,\ldots,0}_n,1,1,\ldots)=-2^n$.

La mesure de Haar du groupe $\Omega$ n'est autre que la mesure produit $\{{1/2},{1/2}\}^\NN$. Ce système (uniquement ergodique) $(\Omega,\tau)$ est appelé le \emph{$2$-odomètre}. Voir \cite{Fr} pour une des\-cription géométrique de la transformation de Kakutani, et \cite{Pa} pour
une démonstration directe du fait que le spectre est discret.

\subsubsection*{Exemple 2} Un exemple important est celui-ci: soit $\theta$ le nombre d'or; on considère
$X_\theta$ l'ensemble des suites de $0-1$ sans $11$ (qui a permis de définir le $\theta$-shift) mais
muni cette fois de l'addition $T_\theta$ de $1$ avec retenue. Il s'agit en fait de la transformation
induite par $\tau$ sur $X_\theta$, car $x$ étant dans $X_\theta$,
$\tau(x)$ y est encore si le mot $11$ n'y apparaît pas; sinon on définit
$$T_\theta(x)=\tau^{n(x)}(x),\quad n(x)=\inf\{n\geq1;\ \tau^{n}(x)\in X_\theta\}. $$
On peut montrer que le système $(X_\theta,T_\theta)$ est uniquement ergodique et discret (alors que le
$\theta$-shift est d'entropie positive!). On montre pour cela qu'il est isomorphe à la rotation
$R_{\ov\theta}$ sur $[0,1)$, où $\ov\theta=1/\theta=\psfrac{\sqrt5-1}{2}$.

Notons $(F_n)$ la suite de Fibonacci avec $F_{-1}=0$, $F_0=F_1=1$ et considérons pour $x\in
X_\theta$, $$\phi(x)=\sum_{n=0}^\infty x_n(F_n\ov\theta-F_{n-1})\ (\bmod 1). $$
(Rappelons que de la théorie des fractions continues, il résulte \hbox{$\vert
F_n\ov\theta-F_{n-1}\vert<\dpl{1/ F_{n+1}}$}).
On montre alors que $\phi$ est une application continue de
$X_\theta$ dans $[0,1)$ qui vérifie $$\phi(T_\theta(x))=T_\theta(x) + \ov\theta\pmod 1. $$
Pour établir ce dernier point, soit $x\in X_\theta$ et notons $j$ le premier indice pour lequel
$x_jx_{j+1}=00$; les composantes précédentes de $x$ sont donc $0101\cdots01$ ou $1010\cdots01$
suivant la parité de $j$ puisque $11$ n'apparaît pas. Si $j$ n'existe pas, on pose $T_\theta(x)=0$.
Ainsi, pour les autres,
$T_\theta(x)=(0\cdots010x_{j+2}\cdots)$ et
$$\phi(T_\theta(x))=F_j\ov\theta-F_{j-1}+\sum_{k=j+2}^\infty x_k(F_k\ov\theta-F_{k-1}),$$ alors que
$$\phi(x)=F_2\ov\theta-F_1+F_4\ov\theta-F_3+\cdots+F_{j-1}\ov\theta-F_{j-2}+\sum_{k=j+2}^\infty
x_k(F_k\ov\theta-F_{k-1}). $$ L'identité découle de la relation $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$.

On montre enfin que $\phi$ est injective en dehors des suites $010101\cdots $ et $101010\cdots $ et
surjective.

\subsubsection{Spectre continu} Les fonctions constantes étant invariantes~par~$U_T$, $1$~est toujours
valeur propre, et on se restreint à l'orthogonal des constantes. Le spectre est continu si
$U_T$ n'admet pas d'autres valeurs propres; toutes les mesures spec\-trales sont alors des mesures
continues. Le premier exemple de transformation à spectre continu a été donné par Chacon; son idée
était de détruire l'arithmétique de la rotation afin de supprimer les valeurs propres. Il s'agit d'un
$3$-odomètre perturbé. La construction initiale de Chacon était géométrique (voir~\cite{Fr}), mais on
peut la décrire comme le shift d'un système symbolique, et même un système associé à une substitution
primitive.

On construit une suite de $0-1$ par blocs de la façon suivante: on part de $B_0=0$, $B_1=0010$,
et de proche en proche, on définit $B_{n+1}=B_nB_n1B_n$. Cette suite de blocs
converge vers une suite $$w=0010001010010001000101001010010001010010\cdots $$ La longueur $
$ du bloc
$B_n$ est $\psfrac{3^n+1}{2}$.
La transformation de Chacon est le shift sur le système engendré par $w$ qui est minimal puisque
tout mot de $w$ y apparaît avec lacunes bornées. Donnons une idée rapide de l'absence de
valeur propre (autre que~1). Soit $f$ une fonction propre associée à la valeur propre $\lambda$.
Les suites $w$ et~$T^{\ell_n}w$ commencent par le même mot $B_n$ et sont donc voisines pour $n$ grand.
Supposons que~$f$ puisse être choisie continue, de module $1$; alors $$f(T^{\ell_n}w)=\lambda^{\ell_n}f(w)
\sim f(w)$$ pour $n$ grand et $\lambda^{\ell_n}$ tend vers 1, ce qui, compte tenu de l'expression de
$\ell_n$, implique $\lambda=1$.

Cette transformation possède
d'autres propriétés: on peut établir ainsi que le spectre est simple et singulier (les mesures
spectrales sont singulières pour $h$ dans l'orthogonal des constantes). C'est le cas générique pour
des transformations ergo\-di\-ques d'entropie métrique nulle. L'existence d'une transformation à spectre
simple de Lebesgue est un problème ouvert, et exhiber une transformation avec une composante de
Lebesgue de multiplicité finie
est déjà une opération difficile.

\subsection{Classification spectrale de suites}
On se restreint pour \hbox{finir} aux suites ne prenant qu'un nombre fini de valeurs complexes, d'entropie
nulle, et engendrant un système uniquement ergodique, de sorte que toute suite du système a le même
comportement. On va essayer de décrire sur des exemples les mesures spectrales, et selon leur nature
(discrète, singulière, ou absolument continue), on en dédui\-ra une classification de la suite (ou du
système) de l'ordre vers le désordre.

Considérons le système associé à la suite $u$ prolongée à gauche de fa\c
con à conserver la stricte ergodicité. $X$ est alors l'ensemble des \hbox{$x\in A^\ZZ$} telles que
$x_ix_{i+1}\cdots x_j$ soit un mot de la suite initiale, pour tous $i,j\in \ZZ$. Notons $\mu$
l'unique mesure invariante du système. Il~résul\-te du théorème ergodique d'Oxtoby que, pour $f$
continue sur $X$, et pour tout $x\in X$,
\begin{align*}
\lim_{N\to\infty} {1\over N}\sum_{k<N} f(T^{k+n} x)\overline{f(T^k x)} &=\int f(T^n x)\overline{f(x)} d\mu\\
&=\wh{\sigma_f}(n)
\end{align*}
Si $\pi_0$ désigne la projection de $X$ sur la composante d'indice $0$, on a en particulier
(puisqu'elle est continue sur $X$)
$$\lim_{N\to\infty} {1\over N}\sum_{k<N} \pi_0(T^{k+n} x)\overline{\pi_0(T^k x)}=\lim_{N\to\infty}
{1\over N}\sum_{k<N} x_{n+k}\overline{ x_k}= \wh{\sigma_x}(n)$$
où $\sigma_x$ n'est autre que la mesure de corrélation de la suite $x$ introduite par Wiener. Cette
mesure peut aussi se définir comme la limite pré-faible dans $M(\TT)$, quand $N$ tend vers
$\infty$,
de la suite de mesures absolument continues $(P_N)\cdot m$ où
$$P_N(t)= {1\over N}\biggl|\sum_{n<N}x_n e^{2\pi int}\biggr|^2$$

La famille de mesures spectrales contient donc la mesure de corrélation de toutes les suites $x$,
la mesure de corrélation de toute suite $h(x)$ où $h:A\mto \CC$, et beaucoup plus.

\subsubsection*{Exemple 1: suites sturmiennes}
Elles ont été définies en \cite{Arn}. Soit donc $\alpha$ et $\beta$ deux réels de $]0,1[$ avec
$\alpha$ irrationnel. On définit sur l'ensemble~$\TT$ des réels modulo $1$
$$f_\beta(t) =\begin{cases}
+1 &\text{si $0\leq t<\beta$}, \cr
-1 &\text{si $\beta\leq t<1$.}
\end{cases}$$
et la suite $a$ de composante $a_n=f_\beta(n\alpha)$ pour tout entier $n\in \ZZ$.
Le~système engendré $(X,T)$ est constitué des suites $x$ de la forme
$$ x=(f_\beta(t+n\alpha))_{n\in \ZZ}$$
ou
$$ x=(g_\beta(t+n\alpha))_{n\in \ZZ},$$
$g$ étant la fonction définie par
$$g_\beta(t) =\begin{cases}
+1 &\text{si $0< t\leq\beta$}, \cr
-1 &\text{si $\beta< t\leq1$.}
\end{cases}$$
Si on pose $\phi(x)=t$, l'application $\phi$ est un isomorphisme métrique de $(X,T)$ sur $(\TT,R_\alpha)$ puisque continue et injective, sauf peut-être pour les $x$ associées à $t$ tel que
$t+n\alpha\equiv0$ ou $t+n\alpha\equiv\beta$ pour un $n$, auquel cas deux suites distinctes ont même
image par $\phi$. Mais cet ensemble est dénombrable.

On en déduit que le système est discret, ce qui n'est pas surprenant.

\subsubsection*{Exemple 2: suite de Toeplitz}

Soit $t$ la suite de Toeplitz définie précédemment et $(X_t,S,\nu)$ le système associé. On va montrer
que ce système est discret, en établissant un isomorphisme entre ce système et le $2$-odomètre
$(\Omega,\tau)$ avec sa mesure de Haar, où $\tau$ est l'addition de $1$ avec retenue.

Par construction, la suite de Toeplitz est constante sur des progressions ari\-thmétiques de plus en
plus lacunaires qui remplissent $\NN$. Plus précisément, si ${\cal P}_k$ est la progression
arithmétique
\[
\{2^k(2m+1),\ m=0,1,2,\ldots \},
\]
on rappelle que $t$ vaut constamment $(-1)^{k+1}$ sur
${\cal P}_k$, ceci pour tout $k\geq0$. Les entiers naturels sont denses dans $\Omega$ pour la
métrique $2$\nobreakdash-adique. On définit donc $\phi$ de $X$ dans $\NN$ par
$$\phi(S^nt)=n$$
Il est clair que $\phi$ échange $\tau$ et $S$. Maintenant, si $S^nt$ et
$S^mt$ sont proches dans $X_t$ et commencent par un même bloc de taille $2^k$, avec~$k$ grand, $n$ et
$m$ sont voisins pour la métrique $2$-adique, puisque \hbox{divisibles} par une même puissance $2^k$.
L'application~$\phi$, uniformément continue, se prolonge donc en une application continue de $X_t$ sur~$\Omega$
vérifiant encore $\phi\circ S=\tau\circ\phi$. Elle n'est pas injective, car $t$ admet deux
prolongements à gauche, selon que l'on choisit $t_1=1$ ou $t_1=-1$ avant de remplir les cases vers la
gauche avec la même règle. Ainsi $\vert\phi^{-1}(-2^n)\vert =2$; la mesure de Haar du groupe des
entiers dyadiques ne charge pas cet ensemble dénombrable et par unique ergodicité des deux
systèmes, les mesures invariantes sont échangées par $\phi$. On a bien un isomorphisme métrique.
On peut préciser les valeurs propres du système qui sont les rationnels dyadiques.

\subsubsection*{Exemple 3: suite de Thue-Morse}
Soit $m$ la suite de Thue-Morse définie précédemment et $(X_m,T,\mu)$
le système associé. On va décomposer $H=L^2(X_m,\mu)$ en deux sous-espaces invariants sur lesquels le
spectre est facile à décrire. L'application $\psi$ définie sur $X_m$ par
$$\psi(x)= (x_{n-1}x_n)_{n\in\ZZ}$$
commute avec le shift et définit donc un homomorphisme de $(X_m,T)$ sur $(X_t,S)$, l'espace
associé à la suite de Toeplitz, vérifiant $\psi(x)=\psi(x')$ si et seulement si $x=-x'$.

On décompose $H=H_d\oplus H_c$ où $H_d$ est le sous-espace fermé de $H$ constitué des fonctions
paires, et $H_c$ le sous-espace fermé de $H$ constitué des fonctions
impaires. Ces espaces sont invariants par $T$ ou $U_T$ et orthogonaux. D'après ce qui précède,
$U_T$ sur $H_d$ est spectralement isomorphe à $U_S$ sur $L^2(X_t,\nu)$ et donc à spectre discret.
Cela signifie que les fonctions paires sont dans le sous-espace fermé de $L^2(X_m,\mu)$ engendré par
les fonctions propres de $U_T$.

Si $f$ est impaire, $\pi_0\cdot f$ est une fonction paire et s'approche donc dans $L^2(X_m,\mu)$ par des
combinaisons linéaires de fonctions propres. Si $g_n$ est une telle combinaison
$\sum_{1\leq j\leq n}\alpha_jh_j$, $${\Vert\sigma_f-\sigma_{\pi_0\cdot g_n}\Vert}_M \leq
{\Vert f-\pi_0\cdot g_n\Vert}_{L^2}$$ Par le théorème spectral,\vspace*{-3pt}
$$\sigma_{\pi_0\cdot g_n}\ll\sigma_{\pi_0h_1}+\cdots+\sigma_{\pi_0h_n}$$
et, si $h$ est une fonction propre de module $1$ associée à la valeur propre~$\lambda$,\vspace*{-3pt}
$$\wh{\sigma_{\pi_0h}}(n)\ =\ \int
(\pi_0h)(T^n x)\overline{(\pi_0h)(x)} d\mu\ =\ \lambda^n\wh{\sigma_{\pi_0}}(n).$$
Tout revient à décrire la mesure de corrélation $\sigma$ de la suite $m$. Il~est facile d'établir à
l'aide des propriétés de $m$, les relations suivantes pour $\sigma$:\vspace*{-3pt}
\begin{gather*}
\left.\begin{split}
\wh\sigma(2n)&=\wh\sigma(n)\\
\wh\sigma(2n+1)&=-{{\wh\sigma(n)+\wh\sigma(n+1)}\over 2}
\end{split}\right\}\quad\text{pour $n\geq0$,}\\
\tag*{et}
\wh\sigma(-n)=\wh\sigma(n)\hspace*{4.45cm}
\end{gather*}
On en déduit\vspace*{-3pt}
$$\lim_{N\to\infty} {1\over N}\sum_{k<N}{\vert\wh\sigma(k)\vert}^2=0$$
et cela prouve que la mesure est continue d'après un critère de Wiener.
Le fait qu'elle soit étrangère à la mesure de Lebesgue découle de la théorie ergodique: en effet,
$\sigma$ est invariante et ergodique pour la transformation $x\mto 2x\bmod 1$,
tout comme la mesure de Lebesgue; comme elles sont différentes, elles sont étrangères.
On peut aussi décrire complètement cette mesure en calculant\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
P_{2^{N+1}}(t) &={1\over {2^{N+1}}}\biggl|\sum_{n<{2^{N+1}}}m_n e^{2\pi int}\biggr|^2\\
&={1\over {2^{N+1}}}\biggl|\sum_{n<2^{N+1}, n=2k}m_n e^{2\pi
int}+\sum_{n<2^{N+1}, n=2k+1}m_n e^{2\pi int}\biggr|^2\\
&={1\over {2^{N+1}}}\biggl|\sum_{k<2^N}m_k e^{2\pi i2kt}-\sum_{k<2^N}m_k
e^{2\pi i(2k+1)t}\biggr|^2\\
&=P_{2^N}(2t)(1-\cos(2\pi t))=\prod_{n=0}^{N}(1-\cos 2\pi 2^nt)
\end{align*}
On retrouve ainsi le produit de Riesz $\rho$ défini en début de texte.

On déduit de cette analyse que toute fonction de $H_c$ est à mesu\-re spectrale continue, plus
précisément, absolument continue par \hbox{rapport} au produit de Riesz $\rho$. La suite de Morse est
donc plus imprévisible que ne le sont les suites stur\-miennes ou de Toeplitz. Par là-même le système
associé est plus riche qu'il n'y paraît.

Il résulte aussi de cette étude que le système de Morse est une extension par un cocycle au-dessus
du système de Toeplitz isomorphe à son facteur discret. Par ce procédé, on a changé la nature du
spectre. Un exemple intéressant de Helson et Parry \cite{Pa} permet d'obtenir une composante
dénombrable de Lebesgue par l'extension d'un système discret.

\subsubsection*{Exemple 4: suite de Rudin-Shapiro}
La suite $(r_n)$ de Rudin-Shapiro est à valeurs $\pm1$ obtenue de proche en proche comme
coefficients d'une suite de polynômes trigonométriques $(P_n)$, $(Q_n)$ vérifiant
\begin{align*}
P_0(t)=Q_0(t)&=1\\
P_{k+1}(t)&=P_k(t)+e^{2\pi i2^kt}Q_k(t)\\
Q_{k+1}(t)&=P_k(t)-e^{2\pi i2^kt}Q_k(t)
\end{align*}
pour $k\geq1$.
Brillhart et Carlitz ont remarqué que, si $n$ se décompose en $\sum_0^k\varepsilon_j2^j$,
$$r_n=(-1)^{\varepsilon_0\varepsilon_1+\varepsilon_1\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_{k-1}\varepsilon_k}$$
autrement dit, $r_n=(-1)^{f(n)}$ où $f(n)$ est le nombre de $11$ dans l'écriture binaire de~$n$.
En particulier, $r_{2a+b}=(-1)^{ab}r_a$, soit
$$r_{2n}=r_n,\quad r_{2n+1}=(-1)^nr_n$$

On démontre que le système engendré est à spectre mixte: une partie discrète et une partie
continue qui est Lebesgue de multiplicité~$2$. Ceci peut s'établir en suivant le schéma de
la démonstration pour le système de Morse et en considérant le système associé à la suite de
type Toeplitz $(r_{n-1} r_n)$ isomorphe au $2$-odomètre. En particulier, on établit que la mesure de
corrélation $\sigma$ de la suite $(r_n)$ est la mesure de Lebesgue. Il y a plusieurs démonstrations
possibles de ce résultat; l'une, due à Kamae et purement arithmétique, utilise l'identité
$r_n=(-1)^{f(n)}$. Une autre, plus analytique, part de la définition de la mesure de corrélation
comme limite pré-faible de la suite de probabilités à densités
$$R_N(t)= {1\over N}\biggl|\sum_{n<N}r_n e^{2\pi int}\biggr|^2$$
On utilise pour cela la relation: $$\vert P_n\vert^2+\vert
Q_n\vert^2=2^{n+1}$$ qui découle de la règle du parallélogramme, de laquelle on déduit $R_N(t)\leq
C$, pour tout réel $t$ et tout $N\geq1$. Maintenant, si $K_L$ désigne le noyau de Fejer d'ordre $L$,
$(\sigma\star K_L)$ est une suite bornée par~$C$ dans~$L^{\infty}$; si $f\in L^{\infty}$ est une
valeur d'adhérence pré-faible de cette suite, $\wh f=\wh\sigma$. Par ailleurs, on vérifie que
\hbox{$(1/ 2^n)(\vert P_n\vert^2+\vert Q_n\vert^2)$} converge vague\-ment vers $2f\cdot m$; comme chaque
polynôme vaut identique\-ment~$2$, $f=1$ et $\sigma=m$.

Ce système est particulièrement intéressant de notre point de vue: c'est un système de basse
complexité avec cependant une composante de Lebesgue; cette suite, d'une certaine façon,
simule le hasard.

\subsubsection*{Exemple 5: substitutions}
Les exemples précédents peuvent, je pense, motiver une étude systématique des suites définies par
substitution. Si les suites sturmiennes forment une classe beaucoup plus importante du point de vue
de la cardinalité que celle des suites substitutives, les autres exemples relèvent des substitutions;
on l'a vu pour les suites de Morse et Toeplitz, mais c'est aussi le cas de la suite de Chacon ou de
la suite de Rudin-Shapiro (ci-dessous) ou même des suites de Morse généralisées obtenues par itération
de substitutions différentes.

On va exhiber la règle de substitution qui fournit la suite de Rudin-Shapiro.
Par le critère de Cobbham, la suite est $2$-automatique.
Il~nous faut donc trouver une substitution de longueur $2$: si $V_n$ désigne le bloc des coefficients
de $P_n$, et $W_n$ le bloc des coefficients de $Q_n$, tous deux de longueur $2^n$, on a:
$$V_0=W_0=1,\quad V_{n+1}=V_nW_n,\quad W_{n+1}=V_n\overline W_n$$
où $\overline W$ est le mot $W$ dans lequel on a échangé $1$ et $-1$. On code alors les $2$-mots
$11,\ 1-1,\ -11,\ -1-1$ par $a,\ b,\ \bar b,\ \bar a$ pour obtenir la suite
$aba\bar bab\bar ababa\bar b\bar a\bar ba\bar b\cdots$ d'où la substitution $a\to ab,\quad b\to
a\bar b$ en composant avec l'opération de symétrie; la suite de Rudin-Shapiro s'obtient en projetant
$a,b$ sur $1$, et $\bar a,\bar b$ sur $-1$.

La suite de Chacon s'obtient à partir de la substitution définie sur $A=\{a,b,c\}$ par
$$a\to ab,\quad b\to cab,\quad c\to ccab$$
et de la projection $h:A\to \{0,1\}$ vérifiant $h(a)=1$, $h(b)=h(c)=0$.

Pour les substitutions de longueur constante, il existe un critère très simple dû à M. Dekking
permettant de vérifier que le système associé est discret (et ainsi toutes les mesures spectrales
discrètes)
\begin{theoreme} Le système associé à la substitution primitive $\zeta$ de longueur $q$ sur l'alphabet
$A=\{a_1\cdots a_s\}$ est discret si et seulement si elle admet une coïncidence, c'est-à-dire, si
l'on peut trouver $n$ et $k<q^n$ tels que $$\zeta^n(a_1)_k=\zeta^n(a_2)_k=\cdots=\zeta^n(a_s)_k$$
(où $\zeta(a)_k$ est la $k$-ième lettre du mot $\zeta(a)$).
\end{theoreme}
Il en résulte immédiatement que la suite de Toeplitz engendre un système discret.

Par contre il n'existe pas de tel critère pour les substitutions de longueur non constante. Ainsi la
suite de Fibonacci engendre un système discret puisqu'elle est sturmienne. On peut aussi
établir un isomorphisme entre le système de Fibonacci, et le système discret $(X_\theta,T_\theta)$
étudié en 2. 1. Cette démonstration conduit à la conjecture suivante:

\begin{enonce}{Conjecture}
Une substitution primitive dont la valeur propre de
Perron-Frobenius est un nombre de Pisot unitaire est à spectre discret. \end{enonce}

Un nombre de Pisot $\theta>1$ est un entier algébrique dont tous les conjugués sont à l'intérieur
du disque ouvert $\{\vert z \vert <1\}$. Il est unitaire si le produit des racines de l'équation
vaut $\pm 1$. C'est le cas du nombre d'or $\theta$ puisqu'il est racine de \hbox{$X^2-X-1=0$} et que son
conjugué $\theta'= -{1/\theta}$.

La question est résolue pour un alphabet de deux lettres mais reste posée dans le cas général. Les questions suivantes sont également ouvertes:

\Subsubsection*{Questions}
\begin{enumerate}
\item
Peut-on caractériser les substitutions ayant une composante de Lebesgue, produisant ainsi des
suites de basse complexité mais imprévisibles?

\item
(Question attribuée à Banach) Existe-t-il une transformation ergodique à spectre simple de Lebesgue? 
\end{enumerate}


\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups96-04}
\end{document}

