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\begin{document}
\frontmatter

\title{Systèmes dynamiques hyperboliques}

\author[\initial{P.} \lastname{Foulon}]{\firstname{Patrick} \lastname{Foulon}}

\address{Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université Louis Pasteur et UMR 7501 du CNRS,
7 rue René-Descartes, F--67084 Strasbourg cedex, France}

\email{patrick.foulon@univ-amu.fr}
\urladdr{https://www.i2m.univ-amu.fr/perso/patrick.foulon/}

\thanks{Journées X-UPS 1996. Aspects des systèmes dynamiques: le premier retour. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1996, et Éditions de l'École polytechnique, 2009}

\maketitle
\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section*{Introduction}
Pour produire des systèmes dynamiques avec un comportement riche et complexe, il faut de la récurrence. Presque toute orbite doit revisiter souvent (indé\-fini\-ment) un voisinage de son origine. C'est pour forcer ce retour (de Poincaré) que nous allons travailler avec des modèles linéaires \og compactifiés\fg. Mais ce n'est pas suffisant: il~faut aussi une forte sensibilité aux conditions initiales. Les modèles hyperboliques qui présentent une sensibilité exponentielle uniforme sont les exemples les plus simples.

\section{Les automorphismes linéaires hyperboliques}

\subsection{Le cadre géométrique, les tores}

Dans cette partie nous présentons brièvement les tores. Plusieurs
résultats sont admis ou laissés en exercice.

Le tore $\TT^{k}$ de dimension $k\geq 1$ est le groupe abélien
quotient de $(\RR^{k}, +)$ par le sous-groupe abélien
$(\ZZ^{k},+)$. On note $\pi:\RR^{k} \to \RR^{k}/\ZZ^{k}$ la projection sur les classes. Comme d'habitude on considère
$\RR^{k}$ muni de sa structure euclidienne canonique qui
détermine sa topologie. Le tore $\TT^{k}$ est, lui, muni de la {\it
topologie quotient} correspondante, pour laquelle notamment $\pi$
est continue. Cette topologie est aussi définie par la distance $d$
sur le tore:
$$
d(a,b)= \inf \{ \norme{x-x'}_{\RR^{k}},\ \pi (x)= a,\ \pi (x') = b\}.
$$
Nous aurons à considérer des applications continues $f: \TT^{k}
\to \TT^{k}$. Il est bon de remarquer qu'il existe alors $F = f \circ
\pi: \RR^{k} \to \TT^{k}$ elle aussi continue. Nous admettrons (ou
exercice)

\begin{figure}[htb]
\vspace*{-.5\baselineskip}
\centerline{\includegraphics[height=5.2\unitlength]{foulonfig1}}
\vspace*{-.5\baselineskip}
\caption{\label{fig1}}
\end{figure}

\begin{proposition}\label{1.1.1}
Soit $f:\TT^{k} \to \TT^{k}$ une application continue. Il existe un \emph{relèvement} $\wt f:
\RR^{k} \to \RR^{k}$ de $f$, c'est à dire une application
continue telle que le diagramme suivant commute\vspace*{-3pt}
\[
\begin{array}{c}
\xymatrix{
\RR^{k} \ar[r]^-{\wt f}\ar[d]_{\pi} & \RR^{k}\ar[d]^{\pi} \\
\TT^{k} \ar[r]^-{f} & \TT^{k}
}
\end{array} \qquad \pi \circ \wt f = f \circ \pi.\quad
\]
\end{proposition}

Deux relèvements $\wt f_{1}, \wt f_{2}$ d'une même
application $f$ diffèrent par un entier:\vspace*{-3pt}
$$\wt f_{1} = \wt f_{2} +
z_{0}, \quad z_{0} \in \ZZ^{k},$$
d'après la relation de commutation.

Pour faire du \emph{calcul différentiel} sur le tore $\TT^{k}$, il nous
faudrait le munir d'une structure de variété différentiable. Par
faute de temps et de place nous dirons qu'une application $f: \TT^{k}
\to \TT^{k}$ est dans $C^{1} (\TT^{k}, \TT^{k})$ si un quelconque de ses
relèvements~$\wt f$ est continûment différentiable. Nous
noterons que la \emph{différentielle} $D_{p} f$ de $f$ en un point
$p$ du tore $\TT^{k}$ est donnée par l'endomorphisme linéaire de $\RR^{k}$
$$
D_{p} f = D_{x} \wt f
$$
pour un quelconque $x\in \RR^k$ tel que $\pi (x)=p$.

\begin{enonce*}[remark]{Exercice} Vérifier que le terme de droite de cette égalité
est bien indépendant du représentant $x$.
\end{enonce*}

Les mêmes définitions et notations s'étendent sans peine aux
applications de classe $C^{k}$, et aux fonctions $g: \TT^{k} \to \CC$
à valeurs dans $\CC$ (ou $\RR$).

A plusieurs reprises un point $p$ du tore sera représenté par ses
\emph{\og coordonnées\fg} notées
$$
p = (x_{1},\ldots, x_{k}) \mod (1),
$$
où $x =(x_{1},\ldots,x_{k})\in \RR^{k}$ et $\pi(x)=p$.

\subsection{La mesure de Haar sur les tores}

Pour calculer des moyen\-nes il nous sera utile de disposer d'une \emph{mesure}
sur le tore $\TT^{k}$ qui présente des propriétés analogues à
celle de la mesure de Lebesgue de~$\RR^{k}$ (nous utiliserons sans
le dire l'identification donnée par le \emph{théorème de
représentation} de Riesz).

\begin{theoreme}\label{1.2.1}
Il existe une unique mesure de Radon (forme linéaire sur l'espace des fonctions continues à support
compact) sur le tore $\TT^{k}$ qui soit invariante par les translations
et de masse totale $1$.
\end{theoreme}

On la note $m$, on l'appelle \emph{mesure de Haar} de $\TT^{k}$. Elle est
donnée par la relation\vspace*{-3pt}
$$
\forall \varphi \in C^{0}(\TT^{k},\CC),\ \ m(\varphi) \!=\! \int_{\TT^{k}} \varphi \cdot dm \!=\! \int\cdots\int_{[0,1]^{k}} \varphi \circ \pi (x)\cdot dx_{1}\cdots dx_{n}.
$$

\begin{proof}[Idée de la démonstration]
La formule définissante nous donne évidemment une forme linéaire
sur $C^{0} (\TT^{k}, \CC)$. De plus, comme $\varphi \circ \pi$ est une
fonction $\ZZ^{k}$-périodique, nous avons, pour tout $\beta \in
\RR^{k}$,\vspace*{-3pt}
$$
\int\cdots \int_{[0,1]^k} \varphi \circ \pi (x+\beta) dx_{1} \cdots
dx_{n} = \int \cdots\int_{[0,1]^{k}} \varphi \circ \pi (x) dx_{1} \cdots dx_{n}.
$$
Il en résulte que la mesure de Haar est invariante par les
translations car pour tout $\alpha \in \TT^{k}$, si $\tau_{\alpha}$ est
la translation de $\alpha$, il existe $\beta \in \RR^{k}$ tel que $\pi (\beta)=\alpha$ (voir 1.1.1) et\vspace*{-3pt}
$$
\tau_{\alpha} \circ \pi = \pi \circ \wt \tau_{\alpha} = \pi \circ
\tau_{\beta}.
$$
Nous admettrons l'unicité. Enfin, $m(\TT^{k})= \int_{\TT^{k}} 1 dm = 1$.
\end{proof}

\subsection{Les automorphismes linéaires des tores}

Le modèle linéaire servira de fil conducteur tout au long de cet
exposé. Tout endomorphisme linéaire $L$ de $\RR^{k}$ tel que
$L(\ZZ^{k}) \subset \ZZ^{k}$ induit naturellement un
homomorphisme $F_{L}$ de $\TT^{k}$. L'ensemble de ces homomorphismes
sera noté $\endom(\TT^{k})$. Remarquons que\vspace*{-3pt}
\[
F \in\endom(\TT^{k}) \iff\exists!\; L\in \endom(\RR^{k}),\ L = \widetilde F.
\]
De plus nous avons

\begin{proposition}\label{1.3.1}
Si $F_{L} \in \endom(\TT^{k})$, alors
\begin{enumeratei}
\item
$F_{L}$ est continue,

\item
$F_{L}$ est un homéomorphisme si et seulement si $\det L = \pm1$.
\end{enumeratei}
\end{proposition}

Nous dirons qu'un homomorphisme $F_{L}$ est dans l'ensemble~$\aut(\TT^{k})$
des \emph{automorphismes} linéaires du tore si $F_{L}$ est un
\emph{homéomorphisme}.

\skpt
\begin{proof}
\begin{enumeratei}
\item
Soit $U$ un ouvert de $\TT^{k}$. Sa préimage est, par définition de
la topologie induite, un ouvert de $\RR^k$. La
projection est ici une application ouverte et il n'y a plus qu'à
invoquer la continuité de $L$.

\item
Si $F_{L}$ est un homéomorphisme de $\TT^{k}$ son inverse
$F_{L}^{-1}$ admet un unique
relèvement linéaire $B=L^{-1}$. Par conséquent $L^{-1}(\ZZ^{k})\subset \ZZ^{k}$. Ainsi $L$ et $L^{-1}$ sont à coefficients
entiers dans la base canonique de $\RR^{k}$. On conclut en
remarquant que $\det (L^{-1})= 1/\det L$ doit lui aussi être un
entier.

Réciproquement si $\det L = \pm 1$ alors $L^{-1}$ est à
coefficients entiers, et, d'après~(i) l'application induite $F_{L^{-1}}$
est continue ainsi que $F_{L}$. Elles sont inverses l'une de
l'autre.\qedhere
\end{enumeratei}
\end{proof}

Un automorphisme linéaire du tore nous fournit un nouvelle exemple
de transformation préservant la mesure de Haar. Plus précisément
nous avons

\begin{proposition}\label{1.3.2}
Si $F_{L} \in\aut(\TT^{k})$ alors $F_{L*} m = m$.
\end{proposition}

\begin{proof}
D'après le théorème de Riesz il faut
vérifier que pour toute $g\in C^{0} (\TT^{k}, \RR)$ nous avons\vspace*{-3pt}\enlargethispage{3\baselineskip}
$$
\int_{\TT^{k}} g \circ F_{L} \cdot dm = \int_{\TT^{k}} g\cdot dm.
$$
En se référant au théorème 1.2.1, il suffit en fait d'observer
que $F_{L*} m$ est invariante par translation. Pour tout $\alpha \in
\TT^{k}$, et $\beta \in \RR^{k}$ tel que $\pi (\beta)=\alpha$\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\int_{\TT^{k}} g \circ \tau_{\alpha} \circ F_{L} \cdot dm & = \int \cdots
\int_{[0,1]^{k}} g \circ \tau_{\alpha} \circ F_{L} (\pi (x))\cdot
dx_{1}\cdots dx_{n} \\
& = \int \cdots \int_{[0,1]^{k}} g \circ \tau_{\alpha}\cdot\pi(L(x))\cdot
dx_{1} \cdots dx_{n}\\
& = \int\cdots \int_{[0,1]^{k}} g(\pi(L(x)+\beta)) \cdot dx_{1} \cdots
dx_{n}\\
& = \int\cdots \int_{[0,1]^{k}} g(F_{L}(\pi(x +
L^{-1}(\beta))))\cdot dx_{1}\cdots dx_{n} \\
& = \int_{\TT^{k}} g\circ F_{L} \cdot dm.
\end{align*}

L'invariance de la masse est évidente par surjectivité.
\end{proof}

Encore une propriété générale, les automorphismes linéaires
des tores ont beaucoup d'orbites périodiques. Elles sont mêmes
partout denses.

\begin{proposition}\label{1.3.3}
Pour tout $F_{L} \in \aut(\TT^{k})$
\begin{enumeratei}
\item
$\QQ^{k}/\ZZ^{k} \subset {\rm Per}(F_{L})$,

\smallskip
\item
$\overline{{\rm Per} (F_{L})} = \TT^{k}$.
\end{enumeratei}
\end{proposition}

\skpt
\begin{proof}
\begin{enumeratei}
\item
L'ensemble défini pour $q\in \ZZ$ par
$$
\Lambda_{q} =\left\{ \pi \Bigl( \frac{P_{1}}{q},\ldots, \frac{P_{k}}{q}\Bigr),\
(P_1,\ldots,P_k)\in \ZZ^{k}\right\}
$$
contient $q^{k}$ éléments. Il est invariant par $F_{L}$ puisque $L$ est
à coefficients entiers et
$$
F_{L}\left(\pi\Bigl(\frac{P_{1}}{q},\ldots, \frac{P_{n}}{q}\Bigr)\right) = \pi \Bigl(
\frac{1}{q} L \left( P_{1},\ldots, P_{n}\right)\Bigr).
$$
Par conséquent, pour tout $x\in \Lambda_{q}$ il existe $n_{1}<
n_{2}$ dans $\NN$ tels que $F^{n_{2}}_{L} (x) = F^{n_{1}}_{L}(x)$,
donc $F^{n_{2}}_{L} (x) = x$.

\item
est dès lors évident.\qedhere
\end{enumeratei}
\end{proof}

\subsection{Les automorphismes linéaires hyperboliques des tores}

Ils vont constituer notre principal exemple de système
dynamique. Mais aupa\-ra\-vant nous allons faire une digression
justifiée par leurs actions, elles aussi hyperboliques, sur certains
espaces fonctionnels.

\begin{definition}\label{1.4.1}
Un endomorphisme continu $L: E\to E$ de
l'espace de Banach $E$ est dit hyperbolique, s'il existe:
\begin{itemize}
\item
une décomposition invariante par $L$ en somme de sous-espaces fermés $E = E^{s} \oplus E^{u}$,
\item
une norme $\norme{\mbox{ }}$ dite adaptée et qui définit la topologie,
\end{itemize}
telles que
\begin{enumeratei}
\item
l'endomorphisme $L_{| E^{u}}: E^{u} \to E^{u}$ est inversible,
d'inverse continu,
\item
les endomorphismes $L_{| E^{s}}$ et $(L_{| E^{u}})^{-1}$ sont des contractions
(c'est-à-dire que l'on a $\bnorme{L_{| E^{s}}}, \bnorme{(L_{| E^{u}})^{-1}}< 1 $),
\item
pour tout $x\in E$, si on écrit $x = x^{s}+ x^{u}$ avec $x^{s} \in
E^{s}$, $x^{u} \in E^{u}$, alors $\norme{x}=\max (\norme{x^{s}}, \norme{x^{u}})$.
\end{enumeratei}
\end{definition}

Par exemple, un automorphisme linéaire de $\RR^{k}$ est
hyperbolique si et seulement s'il n'a pas de valeurs propres sur $\CC$ de module $1$.

\begin{enonce*}[remark]{Exercice} Le démontrer.
\end{enonce*}

Pour cela, on pourra aussi faire l'exercice suivant.

\begin{enonce*}[remark]{Exercice}
Soient $A\in\endom(\RR^k)$, $\rho(A)$ le maximum des modules des valeurs propres réelles ou complexes de $A$. Montrer que pour tout $\varepsilon>0$ on peut trouver une norme sur $\RR^k$ pour laquelle $\norme{A}\leq \rho(A)+\varepsilon$.
\end{enonce*}

\begin{definition}\label{1.4.2}
Un automorphisme linéaire $F_{L}$ du tore
$\TT^{k}$ est dit hyperbolique s'il est induit par un automorphisme
linéaire hyperbolique de $\RR^{k}$. On notera $H(\TT^{k})$ leur
ensemble.
\end{definition}

Un exemple bien connu sur le tore $T^{2}$:
$$
F_{L} (x,y) = (2 x+y, x+ y) \mod(1),\ \ \text{avec }L(x,y) = (2 x+ y, x + y).
$$
Les valeurs propres de $L$ sont
$$\lambda_{2} = \lambda_{1}^{-1} =
\frac{3-\sqrt{5}}{2} < 1 < \lambda_{1} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} {}.$$

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=4\unitlength]{foulonfig2}}
\caption{\label{fig2}}
\end{figure}

Leurs propriétés dynamiques s'apparentent à celles de
l'application expansive sur le cercle unité $z\to z^{p}$, elles sont
plus complexes que celles des translations des tores, comme nous allons
l'observer. Quand on essaye de dénombrer les orbites périodiques,
on s'aperçoit que leur nombre croît (asymptotiquement)
exponentiellement. En effet:

\begin{proposition}\label{1.4.3}
Soit $F_{L}$ un automorphisme linéaire
hyperbolique du tore $\TT^{k}$. Si $N_{p} (F_{L})$ est le nombre de
points périodiques de période qui divise l'entier $p > 1$ alors
\begin{align*}
N_{p}(F_{L}) &= \module{\det ( L^{p} - \id_{\RR^{k}} )}\tag{i}
\\
\lim_{p\to \infty} \frac{1}{p} \log N_{p} (F_{L})&= \sum^{r}_{i=1}
\mu_{i} \log | \lambda_{i}|\tag{ii}
\end{align*}
où les $\lambda_{i}$ sont les valeurs propres de $L$ de module
$\module{\lambda_{i}}> 1$, et $\mu_{i}$ sont les multiplicités
correspondantes.
\end{proposition}

\skpt
\begin{proof}
\begin{enumeratei}
\item
Un point $x\!\in\! \TT^{k}$ est périodique de
période $p$ si $(F_{L}^{p}- \id_{\TT^{k}})(x)\!=\!0$. L'automor\-phisme
$F_{L}$ étant hyperbolique, $L$ l'est et par conséquent~$L^{p}$
aussi. Donc $F^{p}_{L} - \id_{\TT^{k}}$ est induit par un automorphisme
linéaire de~$\RR^{k}$. Il va nous falloir un lemme (assez
amusant) pour compter les préimages.

\begin{lemme*}
Soit $F_{A} \in \endom(\TT^{k})$, tel que de plus $\det A\neq 0$. Alors, pour tout $x \in \TT^{k}$ on a $\# F_{A}^{-1} \{ x\} = \module{\det A}$.
\end{lemme*}

\begin{proof}[Preuve du lemme]
Comme $A$ est bijective, $F_{A}$ est surjective
donc pour tout $x \in \TT^{k}$, il existe un point $y\in \TT^{k}$ tel que
$F_{A} (x) = y$. Par conséquent $F_{A}^{-1} \{ x\} = y + F^{-1}_{A}
\{ 0\}$ a un cardinal qui ne dépend pas de $x$.

Utilisons maintenant le fait que $F_{A}$ est localement
injective. Plus précisément soit $B=B(0,R)$ la boule ouverte dans
$\RR^{k}$ de centre~$0$ de rayon $R < \inf (1/2,1/2\| A\|)$. La
projection $\pi$ est injective en restriction aux ouverts $V = B \cap
A^{-1} (B)$ et $A(V)$.

Pour $X\in V$, si $0 = F_{A} (\pi (X))=\pi
(A(X))$ alors $A(X)=0$. Par injectivité de~$A$ il vient $X=0$. Nous
en déduisons que si $y,y' \in F_{A}^{-1} \{ x\}$ sont distincts, alors
$(y+ \pi (V)) \cap (y' + \pi (V))= \emptyset$. En effet sinon il existe $x$ et $x'$ dans $V$ tels que $y+\pi(x)=y'+\pi(x')$. En appliquant $F_A$ il vient $F_A(\pi(x))=F_A(\pi(x'))$, soit $\pi(A(x))=\pi(A(x'))$. Par injectivité de $\pi$ sur $A(V)$ il vient $A(x)=A(x')$, soit $x=x'$.

Le cardinal de $F_{A}^{-1} \{ x\}$ est donc, par invariance de la
mesure de Haar, borné par $1/m (\pi (V))$ ($m (\pi (V)) \not=0$).

Soient $t_{1},\ldots,t_{n}$ les préimages de $0$ par $F_{A}$. On a
$$
F_{A}^{-1} (F_{A} (\pi (V))) = \bigcup^{n}_{i=1} (\pi (V) + t_{i} )
$$
Ce qui nous donne $m (F_{A} (\pi (V)) = n\cdot m (\pi (V))$, en raison de l'invariance de la mesure de Haar par $F_{A}$. Il nous reste à
appliquer la formule du changement de variable pour vérifier que $m
(F_{A} (\pi (V))) = \module{\det A} m (\pi (V))$.
\end{proof}

\item
Soient $(\lambda_{1}, \dots, \lambda_{r'}) \in \CC^{r'}$
les valeurs propres de $L$, $(\mu_{i})$ leur multiplicités. Un simple
développement nous donne
$$
| \det (L^{p} - \id) | = \biggl|\prod_{i=1}^{r'} (\lambda_{i} - 1)^{\mu_{i}}\biggr|.
$$
D'où nous tirons
$$
\frac{1}{p} \log\module{ \det (L^{p} - \id) } = \sum^{r'}_{1=i} \mu_{i}
\frac{\log|\lambda^{p}_{i}-1|}{p}.
$$
D'autre part, pour tout nombre complexe qui n'est pas une racine de
l'unité,
$$
\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \log\module{ \lambda^{n} -1 } =
\begin{cases}
0 & \text{si \ $|\lambda| < 1$}\cr
\log|\lambda| & \text{si \ $|\lambda| > 1$}
\end{cases}
$$
d'où le résultat.\qedhere
\end{enumeratei}
\end{proof}

\subsection{Variétés stables et instables}

\begin{definition}\label{1.5.1}
Soit $f$ un homéomorphisme d'un espace métrique $X$.
\begin{enumeratei}
\item
La variété stable $W^{s}_{x}$ du point $x\in X$ est l'ensemble
$$
W^{s}_{x}=\{y\in X\mid \lim_{n\to\infty} d(f^{n}(x),f^{n}(y))=0\}.
$$

\item
La variété instable $W^{u}_{x}$ du point $x$ de $X$ est l'ensemble
$$
W^{u}_{x}=\{y\in X \mid \lim_{n\to\infty} d(f^{-n}(x),f^{-n}(y))=0\}.
$$
\end{enumeratei}
\end{definition}

Dans les applications, on souhaite en fait montrer que ces ensembles
ont des propriétés plus fortes, comme par exemple d'être des
variétés différentielles.

Ces notions sont particulièrement bien adaptées aux automorphismes
linéaires hyperboliques des tores, puisque nous avons le

\begin{theoreme}\label{1.5.2}
Pour un automorphisme $F_{L}: \TT^{k}\to \TT^{k}$ linéaire hyperbolique du tore,
\begin{enumeratei}
\item
les variétés stables et instables de $0$ sont respectivement
$W^{s}_{0}=\pi(E^{s})$ et $W^{u}_{0}=\pi(E^{u})$.

\item
Pour tout point $x\in \TT^{k}$ on a
$$
W^{s}_{x}=x+W^{s}_{0},\quad W^{u}_{x}=x+W^{u}_{0}.
$$

\item
Soit $d$ une distance provenant d'une norme. Pour $\varepsilon $
assez petit on a
\begin{align*}
W^{s}_{x,\varepsilon } :=\{y\mid\forall n\in\NN \;
d(F^{n}_{L}(x), F^{n}_{L}(y))\leq\varepsilon\}&\subset
W^{s}_{x}\\
&=\bigcup_{n\in\NN} F^{-n}_{L}W^{s}_{F^{n}_{L}(x),\varepsilon}.
\\
\tag*{et}
W^{u}_{x,\varepsilon} :=\{y\mid\forall n\in\NN \;
d(F^{-n}_{L}(x), F^{-n}_{L}(y))\leq\varepsilon\}&\subset
W^{u}_{x}\\
&=\bigcup_{n\in\NN} F^{-n}_{L}W^{u}_{F^{n}_{L}(x),\varepsilon}.
\end{align*}
\item
Si la distance $d$ vient d'une norme $\|\, \|$ sur $\RR^{k}$ adaptée à $L$, alors pour tout $\varepsilon$ assez petit,
$$
W^{s}_{x,\varepsilon}=x+\pi (B^{s}(0,\varepsilon)),\quad W^{u}_{x,\varepsilon}=x+\pi(B^{u}(0,\varepsilon))
$$
(où $B^{s}(0,\varepsilon)=\{v\in E^{s}\mid\|v\|\leq \varepsilon\}$, $B^{u}(0,\varepsilon)=\{v\in E^{u}\mid\|v\|\leq \varepsilon\}$).
\end{enumeratei}
\end{theoreme}

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1\unitlength}
\centerline{\includegraphics[height=4\unitlength,angle=-90]{foulonfig3}}
\begin{picture}(-15,-4)
\put(-9.9,4.2){$(0,1)$}
\put(-9.9,-.4){$(0,0)$}
\put(-6,-.4){$(1,0)$}
\put(-6,4.2){$(1,1)$}
\end{picture}
\end{center}
\vspace*{\baselineskip}
\caption{\label{fig3}$F_{L}(x,y)=(2x+y,x+y)\bmod(1)$, $W_{0}^{u}$ est la droite $y=\sfrac{(\sqrt5 -1)x}{2}\bmod (1)$}
\end{figure}

\skpt
\begin{proof}
(iv) Soit $\db\, \db$ une norme sur $\RR^{k}$ adaptée à $L$. On notera $d$ les distances correspondantes sur
$\RR^{k}$ et $\TT^{k}$.

Soit $\delta=\min\{\db z\db\mid z\in\ZZ^{k}-\{0\}\}$. Si $d(0,y)$
et $d(0,F_{L}(y))$ sont $< \delta\db L\db^{-1}/2$, on peut trouver
$v\in \RR^{k}$ et $z\in\ZZ^{k}$ tels que:
$$
\pi(v)=y ; \ \db v\db =d(0,y),\ \db L(v)+z\db =d(0,F_{L}(y)).
$$
Observons que $z=0$, car
\begin{align*}
\db z\db&\leq \db z+L(v)\db +\db-L(v)\db \\
&\leq d(0,F_{L}(y))+\db L\db\,
\db v\db\\
&= d(0,F_{L}(y))+d(0,y)\norme{L}\\
&\leq \left( d(0,F_{L}(y))+d(0,y)\right) \norme{L}\ \text{car }\norme{L}\!\geq\! \norme{L_{|E_u}^{}}\!\geq\! \norme{L_{|E_u}^{-1}}_{}^{-1}\!>\!1\\
&<\delta.
\end{align*}
Par conséquent
$$
\forall \varepsilon< \delta \db L\db^{-1}/2,\quad
W^{s}_{x,\varepsilon}=\pi\left(\{v\in\RR^{k}\mid\forall n\in\NN\;\db L^{n}(v)\db\leq\varepsilon\}\right).
$$
Mais tout $v\in\RR^{k}$, se décompose en $v=v_{s}+v_{u}$,
$v_{s}\in E^{s}$, $v_{u}\in E^{k}$. La norme étant adaptée, nous avons
\begin{align*}
\norme{L^{-n}(L^{n}(v_{u}))}=\db v_{u}\db &\leq \db
L^{-1}_{\mid_{E^{u}}}\db^{n}\db L^{n}(v_{u})\db \\
&\leq \db L^{-1}_{\mid_{E^{u}}}\db^{n}\db L^{n}(v)\db\\
&\leq\db L^{-1}_{\mid_{E^{u}}}\db^{n}\cdot\varepsilon.
\end{align*}
Le terme de droite de l'inégalité tends vers $0$ quand
$n\to\infty$. Donc $v_{u}=0$ et $v\in E^{s}$ avec $\db v\db \leq\varepsilon$.

Ensuite on revient à la définition. Si un point $y\!\in\! W^{s}_{0}$,
il existe un~$N$ tel que $n\geq N$, $d(F^{n}_{L}(y),0)<\varepsilon$, donc
$F^{N}_{L}(y)$, est dans $W^{s}_{0,\varepsilon}$. Ce~qui prouve (iii) pour
l'origine et une distance adaptée.

Par ailleurs, $E^{s}=\bigcup_{n\in\NN}L^{-n}(B^{s}(0,\varepsilon))$, et donc
\begin{align*}
\pi(E^{s}) &=\bigcup_{n\in\NN}\pi(L^{-n}(B^{s}(0,\varepsilon)))\\
&=\bigcup_{n\in\NN}F^{-n}_{L}(\pi(B^{s}(0,\varepsilon)))\\
&=W^{s}_{0}.
\end{align*}

Il ne nous reste plus qu'à considérer la feuille stable d'un point
$x\not= 0$. Puisque $F_{L}^{n}(x)-F^{n}_{L}(y)=F^{n}_{L}(x-y)$, on a $y\in
W^{s}_{x}$ si et seulement si $x-y\in W^{s}_{0}$.

Pour conclure (iii), remarquons que si $d_1$ est une distance pas
nécessairement adaptée, mais qui donne la topologie, alors par la
compacité de $\TT^{k}$, il existe $\lambda>0$, tel que
$d_{1}\geq \lambda d$. Il en résulte que
\[
\{y\mid\forall n\in\NN \
d_{1}(F^{n}_{L}(x),F_{L}^{n}(y))\leq\lambda\varepsilon\}\subset W^{s}_{x}.\qedhere
\]
\end{proof}

Pour la suite, voici une importante propriété des feuilles stables
(instables).

\begin{proposition}\label{1.5.3}
les variétés stables et instables d'un automorphisme linéaire hyperbolique du tore $F_{L}: \TT^{k}\to \TT^{k}$ sont denses dans $\TT^{k}$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Il suffit de montrer que la feuille stable
(instable) de $0$ est partout dense dans $\TT^{k}$. Choisissons sur $\RR^{k}$ une norme $\db\, \db$ adaptée. Pour tout $x\in \TT^{k}$,
considérons la suite $x_{n}=F^{n}_{L}(x)$. On peut choisir des
relevés $y_{n}\in[0,1]^{k}$, $\pi(y_{n})=x_{n}$. Si on écrit
$y_{n}=y^{s}_{n}+y^{u}_{n}$ suivant la décomposition $E^{s}\oplus
E^{u}$, on a, par compacité de $[0,1]^{k}$, l'inégalité $\db y^{u}_{n}\db\leq \db
y_{n}\db\leq C$. Par conséquent
$$
\db L^{-n}(y^{u}_{n})\db\leq \db L^{-1}_{\mid_{E^{u}}}\db^{n}\cdot
C\to 0 \ \mbox{quand} \ n\to\infty.
$$
Ainsi\vspace*{-5pt}
\begin{align*}
x &= \pi(L^{-n}(y^{s}_{n})+L^{-n}(y^{u}_{n}))\\
&=\lim_{n\to \infty}\pi(L^{-n}(y^{s}_n))\\
&=\lim_{n\to\infty} F^{-n}_{L}(\pi(y^{s}_{n})).
\end{align*}
Mais $\pi(y^{s}_{n})\in W^{s}_{0}$.
\end{proof}

Cette propriété va nous donner dans le paragraphe suivant des
informations sur la dynamique des automorphismes linéaires
hyperboliques du tore.

\subsection{Transitivité et mélange topologique}

La dynamique d'une translation $\tau_{\alpha}: T^{n}\to T^{n}$
dépend de son vecteur de translation $\alpha$. Un point $\alpha\in
T^{n}$ est irrationnel si, quelque soit un relevé $\beta\in \RR^{n}$ ($\pi(\beta)=\alpha$) et $k\in\ZZ^{n}$, alors
$k\cdot\beta\in\RR-\ZZ$.

Dans ce cas, la dynamique de $\tau_{\alpha}(x)=x+\alpha$ est minimale,
ce~qui signifie, rappelons-le, que toutes ses orbites sont
denses. Cependant toutes les translations sont des isométries. Ce
qui exclut qu'elles puissent assurer un mélange topologique comme le
font les automorphismes linéaires hyperboliques.

\begin{definition}\label{1.6.1}
Un système dynamique $f: X\to X$ est dit
\begin{enumeratei}
\item
topologiquement mélangeant si pour toute paire d'ouverts
$U,V\subset X$, il existe un entier $N$, tel que
$$
\forall n>N \quad f^{n}(U)\cap V\not=\emptyset.
$$

\item
topologiquement transitif, si il existe $n_{0}>0$, tel que
$$
f^{n_{0}}(U)\cap V\not=\emptyset.
$$
\end{enumeratei}
\end{definition}

A l'évidence, (ii) est plus faible. Si $X$ est un espace métrique
complet, la transitivité topologique entraîne l'existence d'une
orbite dense, par le théorème de Baire (exercice).

\skpt
\begin{proposition}\label{1.6.2}
\begin{enumeratei}
\item
Les automorphismes linéaires hyperboliques des tores sont
topologiquement mélangeant.

\item
Une isométrie n'est pas topologiquement mélangeante.
\end{enumeratei}
\end{proposition}

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=4\unitlength]{foulonfig4}}
\caption{\label{fig4}}
\end{figure}

En particulier une translation n'est pas topologiquement
mélangeante.

\skpt
\begin{proof}
(ii) Supposons que l'isométrie $f: \TT^{k} \to \TT^{k}$ est
topologiquement mélangeante. Pour tout triplet $x,y,z$ de points de $\TT^{k}$,
posons $\delta = d(y,z)$ et choisissons $\varepsilon < \delta /10$. Par
hypothèse il existe $N$ tel que pour tout $n > N$, il existe $x'_{n} \in f^{n} (B (x, \varepsilon)) \cap B (y, \varepsilon)$ et $x''_{n} \in f^{n} (B (x,\varepsilon)) \cap B (z, \varepsilon)$. Mais alors $f^{-n} (x'_{n})$ et $f^{-n} (x''_{n})$ sont dans $B (x,\varepsilon)$ ce qui nous permet d'écrire
\begin{align*}
\delta = d(y,z) & \leq d(y, x'_{n} ) + d (x'_{n}, x''_{n}) + d
(x''_{n},z)\\
& \leq \varepsilon + d (f^{-n} (x'_{n}), f^{-n} (x''_{n}))+
\varepsilon\\
& \leq 3 \varepsilon~!
\end{align*}

(i) Soient $F_{L}$ un automorphisme linéaire hyperbolique, $U$ et $V$
deux ouverts non vides de $\TT^{k}$ et $\varepsilon \ll 1$. Par la
densité de la variété stable $W^{s}_{0}$ de l'origine, il existe
un point $x\in U \cap W^{s}_{0}$. Dès lors $F^{n}_{L}(x)\to 0$ quand
$n\to \infty$. On trouve de même un point $y\in V \cap W^{u}_{0}$, tel
que $F^{-n}_{L} (y) \to 0$ quand $n\to \infty$. Ceci entraîne que
pour $n$ suffisamment grand $x + F^{-n}_{L} (y) \in U$, et $F^{n}_{L}
(x + F^{-n}_{L} (y)) = F^{n}_{L} (x) + y \in V$.
\end{proof}

Remarquons que nous avons, hormis la densité des variétés stables,
et instables utilisé le fait que $0$ est un point fixe.

\subsection{Les problèmes de moyennes}

L'exemple des automorphis\-mes des tores nous présente une telle
complexité topologique qu'il semble naturel d'étudier des moyennes
de fonctions plut{ô}t que leurs valeurs ponctuelles. On va observer un
caractère \og probabiliste\fg assez marqué de ces systèmes.

Nous supposons donné un ensemble $X$ muni d'une mesure de
probabilité $\mu$, \ie $\mu (X)=1$, et une transformation $T: X\to
X$ qui préserve la mesure i.e., pour tout ensemble mesurable $A$, on a
$\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)$. Nous noterons ceci $(X, \mu, T)$.

\begin{definition}\label{1.7.1} Soit $(X,\mu,T)$,
\begin{enumeratei}
\item
la moyenne temporelle d'une fonction $f: X\to \RR$ (ou $\CC$) est définie lorsqu'elle existe par
$$
f^{*} (x) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum^{n-1}_{p= 0}
f (T^{p} (x)),\quad x\in X,\ n \in \NN.
$$

\item
La moyenne spatiale d'une fonction mesurable $f: X \to \RR$
est définie par
$$
\overline f = \int_{X} f(x) d\mu.
$$
\end{enumeratei}
\end{definition}

Un des principaux résultats sur les moyennes est donné par le

\begin{theoreme}[G.D. Birkhoff, théorème ergodique ponctuel]\label{1.7.2}
Soit $T: X \to X$ une transformation qui préserve la
mesure de probabilité $\mu$ et $f \in L^{1}(X,\mu)$. Alors $f^{*} (x)$
existe pour $\mu$-presque tout $x\in X$, \ie il existe $\Omega \subset X$, $\mu(\Omega) = 1$ et pour
tout $x \in \Omega$, $f^*(x)$ existe. De plus $f^*$ est sommable et
$$\int_X f^* d\mu = \int_X fd\mu.$$
\end{theoreme}

Nous admettrons ce résultat. Un cas intéressant à
considérer est celui où $f = \chi_A$ est la fonction
caractéristique d'un ensemble $A \subset X$ mesurable. Il
vient alors
$$\chi^*_A(x) = \lim_{n \to \infty}
{1\over n} \# \{0 \leq j \leq n-1\mid T^j(x) \in A\}.$$
Ce qui s'interprète naturellement comme le temps moyen
passé par l'orbite ${\cal O}_x$ du point $x$ dans
l'ensemble $A$.

Ceci conduit naturellement à la notion d'ergodicité. Mais auparavant nous suggérons au lecteur de tester l'exercice suivant.

\begin{enonce}[remark]{Exercice}\label{1.7.3}
Soit $F_L(x,y) \to (2x+y,x+y) \bmod (1)$ l'automorphisme linéaire hyperbolique
du tore déjà rencontré. Considérons sur~$\TT^2$ la fonction
$f(x,y) = e^{2i\pi x}$, $(x,y) \in T^2$ et $W^s_0$ la
variété stable de $(0,0)$.
\begin{itemize}
\item
Montrer que pour $(x,y) \in W^s_0$, $f^*(x,y) = 1$.

\item
Montrer que ${\ov f} = \int_{T^2}\cdot f\cdot dm = 0$. En
déduire que $f^*$ et ${\overline f}$ sont différentes sur
un ensemble dense. Comparer avec le théorème de Birkhoff et
avec ce qui va suivre.
\end{itemize}
\end{enonce}

\subsection{Ergodicité}
Nous allons maintenant étudier la complexité, mais au niveau mesurable. La notion centrale est celle d'ergodicité.
\begin{definition}\label{1.8.1}
Soit $T: X \to X$ une
dynamique. Une mesure de pro\-ba\-bilité $T$-invariante $\mu$
est ergodique si pour tout ensemble invariant $A \subset
X$ on a $\mu(A) = 1$ ou $\mu(A) = 0$.
\end{definition}

Nous aurons surtout à l'esprit la proposition suivante.

\begin{proposition}\label{1.8.2}
Les propriétés suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item
$(X,T,\mu)$ est ergodique.
\item
Si $f \in L^1(X,\mu)$ est une fonction $T$-invariante,
alors $f$ est presque partout constante.
\item
Si $f \in L^2(X,\mu)$ est une fonction $T$-invariante,
alors $f$ est presque partout constante.
\item
Pour toute fonction $f \in L^1(X,\mu)$ nous avons
$f^*(x) = \int_X fd\mu$, $\mu$-presque sûrement.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\skpt
\begin{remarques*}
\begin{itemize}
\item
La propriété n$^\circ4$ est la plus connue. Elle est
fréquemment employée par les physiciens comme base de la
thermodynamique statistique.

\item
Si une mesure a un rôle particulier, comme dans
le cas de la mesure de Haar sur les tores, on parle
plutôt de transformation ergodique en oubliant souvent
par rapport à quelle mesure.
\end{itemize}
\end{remarques*}

\skpt
\begin{proof}
$(2) \Rightarrow (3)$. Comme la
mesure est finie on a $L^2(X,\mu) \subset L^1(X,\mu)$. En effet, puisque
$|f(x)\cdot1| \leq (|f(x)|^2 + |1|^2)/2$ on a
$$\int_X |f(x)| \leq {1\over 2} \int_X |f(x)|^2 d\mu +
{1\over 2}\int_X 1\cdot d\mu < \infty.$$

$(3) \Rightarrow (1)$ Si $A$ est un ensemble mesurable
invariant, sa fonction caractéristique $\chi_A(x) = 1$ si $x\in A$, $\chi_A(x) = 0$ si $x \notin A$ est invariante, $\chi_{A}\circ T = \chi_A$ et est évidemment de carré sommable. Elle est donc presque sûrement constante, \ie $\mu(A) = 0$ ou $\mu(A) = 1$.

$(1) \Rightarrow (2)$ Soit $f$ une fonction réelle,
$T$-invariante, absolument sommable (si $f$ est à valeurs
dans ${\CC}$ on fait de même avec les parties réelle
et imaginaire). Pour tout $c \in {\RR}$, l'ensemble
$A_c = \{x \in X \mid f(x) \leq c\}$ est invariant par
$T$. Donc $\mu(A_c) = 0$ ou~$1$. Ce qui permet aisément de
conclure.

$(2) \Rightarrow (4)$ Par le théorème de Birkhoff on a $f^*
\in L^1(X,\mu)$. De~plus $f^* \circ T = f^*$. Donc $f^*$ est
$\mu$-presque sûrement une constante, disons égale à $c$.
Il vient, en utilisant une nouvelle fois le théorème de
Birkhoff,
$$f^*\stackrel{\mu\,\rm ps}{=} c = \int_X c d\mu = \int f^*d\mu = {\overline f}.$$

$(4) \Rightarrow (3)$ Si une fonction $f\in L^2(X,\mu)$ est invariante, alors
$$
s_n(x)=\frac1n \sum_{i=0}^{n-1}f(T^i(x))=\frac1n \sum_{i=0}^{n-1}f(x)=f(x)
$$
donc $f^*(x)=\lim_{n\to \infty}^{}s_n(x)$. Mais d'après (4), $f^*(x)=\ov f$ $\mu$-presque sûrement.
\end{proof}

Voici enfin un résultat plus concret.

\begin{proposition}\label{1.8.3}
Un automorphisme linéaire hyperbolique du tore $F_L:\TT^n\to \TT^n$ est ergodique.
\end{proposition}

\begin{proof}
Soit donc $F_L:\TT^n\to \TT^n$. D'après 1.3.2, $F_{L*}^{}m=m$. Soit par ailleurs $f\in L^2(\TT^n,\mu)$. Si $x=(x_1,\ldots,x_n)$ $\mod (1)$ est un point du tore et $k\in \ZZ^n$, on peut évaluer son coefficient de Fourier $c_k(f)$ qui est donné par
$$
c_k(f)=\int_{\TT^n}^{}f(x)e_{}^{-2i\pi\langle k,x\rangle}dm
$$
où $\langle k,x\rangle$ est modulo les entiers le produit scalaire euclidien d'un relevé de $x$ avec le vecteur entier $k$. On peut écrire de même
$$
c_k(f\circ F_L)=\int_{\TT^n}^{}f(F_L(x))e_{}^{-2i\pi\langle k,F_L^{-1}F_L(x)\rangle}dm.
$$
Par invariance de la mesure de Haar il vient
$$
c_k(f\circ F_L)=\int_{\TT^n}^{}f(x)e_{}^{-2i\pi\langle B(k),x\rangle}dm=c_{B(k)}^{}(f)
$$
avec $B\!=\!{}^t(L_{}^{-1})$. Si une fonction $f:\TT^n\!\to\! \CC$ est invariante ($f\circ F_L\!=\!f$), ses coefficients de Fourier satisfont d'après ce qui précède à
$$
c_{B(k)}^{}(f)=c_k(f\circ F_L)=c_k(f).
$$
Remarquons par ailleurs que pour tout $k_0\in\ZZ^n-\{0\}$, l'ensemble $\{B^i(k_0)\mid i\in\NN\}$ est infini. Sinon, il existerait $i\neq j$ tel que $B^i(k_0)=B^j(k_0)$; mais, par hypothèse, $B$ n'a pas de valeur propre sur le cercle unité. Comme $f\in L^2(\TT^n,m)$, on peut pour tout $k_0\in\ZZ^n-\{0\}$ écrire la majoration
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\module{c_{B^n(k_0)}^{}(f)}^2<\sum_{k\in\ZZ^n}^{}\module{c_k(f)}^2=\int_{\TT^n}^{}\module{f}^2dm<\infty,
$$
ce qui implique que $c_{k_0}^{}(f)=0$.
\end{proof}

\section{Non linéarité et stabilité structurelle}
\subsection{Le fer à cheval}

En 1965 S. Smale a construit un difféomorphisme $f: \RR^{2}\to
\RR^{2}$ du plan avec une dynamique très complexe qui admet une
infinité d'orbites périodiques de périodes arbitrairement
grande.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\smaller
\setlength{\unitlength}{\unitlength}
\centerline{\includegraphics[width=1.8\unitlength,angle=-90]{foulonfig5}}
\begin{picture}(-15,-3)
\put(-12.2,2){$\Delta$}
\put(-12.8,-.4){$\Delta^{0}$}
\put(-11.6,-.4){$\Delta^{1}$}
\put(-11,.8){$\stackrel{\dpl A}{\to}$}
\put(-5.15,.8){$\stackrel{\dpl \varphi}{\to}$}
\put(-9,1.5){$f=\varphi\circ A$}
\put(-5.17,.2){$\Delta_{0}$}
\put(-5.17,1.5){$\Delta_{1}$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{\label{fig5}}
\end{figure}

En fait on ne s'intéresse qu'à un difféomorphisme du rectangle
$\Delta = [0,1]^{2}$ sur son image. La construction s'effectue comme
sur la figure par composition d'une application linéaire hyperbolique
$A: (x,y) \to (3 x, y/3)$ avec une transformation non
linéaire $\varphi$, le tout étant tel que
\begin{align*}
f(\Delta^{0})&= \Delta_{0},&f_{|\Delta^{0}}: (x,y) &\to (3 x, \tfrac{1}{3} y)\\
f(\Delta^{1})&= \Delta_{1},&f_{|\Delta^{1}}: (x,y) &\to (-3x +3, - \tfrac{1}{3} y + 1).
\end{align*}

Pour comprendre l'itération de $f$ il est bon de chercher un sous-ensemble $\Lambda$ de~$\Delta$ invariant par le
difféomorphisme. Remarquons que

\noindent
\setlength{\unitlength}{1\unitlength}
\begin{picture}(11,2)
\put(1.3,1.6){\includegraphics[height=1.5\unitlength,angle=-90]{foulonfig5-2}}
\put(1.3,-.25){\smaller$\Delta^{0}$}
\put(2.35,-.25){\smaller$\Delta^{1}$}
\put(3,1){$= f^{-1}(\Delta) \cap \Delta = \{ x\in \Delta \mid f(x) \in \Delta \}$}
\put(5.5,.35){$=\Delta^{1} \cup \Delta^{0}$}
\end{picture}

\noindent
et

\noindent
\setlength{\unitlength}{1\unitlength}
\begin{picture}(11,2.2)
\put(1.3,1.7){\includegraphics[height=1.5\unitlength,angle=-90]{foulonfig5-3}}
\put(.8,1.3){\smaller $\Delta_{0}$}
\put(.8,.3){\smaller $\Delta_{1}$}
\put(3,1.3){$= f (\Delta) \cap \Delta = \{ x \in \Delta \mid f^{-1} (x) \in \Delta\}$}
\put(3,.45){$= \Delta_{1} \cup \Delta_{0} =f(\Delta^{1}) \cup f (\Delta^{0})$}
\end{picture}

\pagebreak[2]
\noindent
Par itération il vient
\par \noindent\nopagebreak
\setlength{\unitlength}{1\unitlength}
\begin{picture}(11,2.2)
\put(.3,1.8){\includegraphics[height=1.5\unitlength,angle=-90]{foulonfig5-4}}
\put(2,1.5){$= f^{-2} (\Delta) \cap f^{-1} (\Delta)\cap \Delta$}
\put(4,1){$ = \{ x \in \Delta \mid f(x)\in \Delta, f^{2}(x) \in \Delta \}$}
\put(2,.4){$= f^{-1}(\Delta^{1}\cup \Delta^{0} ) \cap (\Delta^{1} \cup \Delta^{0})= \cup \Delta^{\omega_0, \omega_{-1}},$}
\put(2,-.1){avec $\omega_{0},\omega_{-1}\in \{ 0,1\},\;\Delta^{\omega_{0}, \omega_{-1}} = \Delta^{\omega_{0}} \cap f^{-1}(\Delta^{\omega_{-1}})$.}
\end{picture}
\vspace*{3pt}\enlargethispage{3pt}

\noindent
De la même manière nous pouvons écrire
\begin{align*}
f^{-n}(\Delta)\cap\cdots \cap \Delta &= \bigcup \Delta^{\omega_{0}, \ldots,
\omega_{-n}},\quad (\omega_{0},\ldots, \omega_{-n}) \in \{ 0,1\}^{n+1}\\
\tag*{et}
\Delta^{\omega_{0},\ldots,\omega_{-n}}&= \bigcap^{n}_{i=0}
f^{-i}(\Delta^{\omega_{-i}}).
\end{align*}
La largeur des rectangles verticaux décroît exponentiellement, et
$\bigcap_{i=0}^{n}f^{-i}(\Delta)$ est la réunion de $2^{n}$ rectangles
verticaux. Lorsque $n\to \infty$ nous obtenons $\bigcap^{\infty}_{i=0}
f^{-i}(\Delta) = K \times [0,1]$ où $K$ est l'ensemble de Cantor
triadique.

De la même manière nous obtenons par image directe des réunions
de rectangles horizontaux

\vspace{5pt}
\noindent
\setlength{\unitlength}{1\unitlength}
\begin{picture}(11,2)
\put(.2,1.95){\includegraphics[height=1.8\unitlength,angle=-90]{foulonfig5-5}}
\put(2.2,1){$= \Delta \cap f (\Delta) \cap f^{2}(\Delta) = \bigcup
\Delta_{\omega_{1},\omega_{2}}, \quad (\omega_{1},\omega_{2})\in \{
0,1\}^{2};$}
\end{picture}

\noindent
et plus généralement
\begin{align*}
\Delta \cap f (\Delta)\cap \cdots \cap f^{n} (\Delta) &= \bigcup
\Delta_{\omega_{1}, \dots, \omega_{n}}\quad (\omega_{1},\ldots, \omega_{n})\in \{ 0,1\}^{n}\\
\tag*{avec}
\Delta_{\omega_{1},\ldots,\omega_{n}} &= \bigcap^{n}_{i=1} f^{i}(\Delta^{\omega_{i}} ).
\end{align*}
A nouveau l'intersection infinie nous donne
$$
\bigcap^{\infty}_{i=0} f^{i} (\Delta) = [0,1] \times K.
$$
L'ensemble $\Lambda = \bigcap^{+\infty}_{-\infty} f^{i}(\Delta)$ est
un ensemble invariant par $f$; de plus $\Lambda = K \times K$. Nous
pouvons aussi introduire les ensembles
$$
\Delta (\omega_{-n},\ldots, \omega_{0}, \omega_{1},\ldots
\omega_{n}) = \Delta^{\omega_{0},\ldots,\omega_{-n}} \cap
\Delta_{\omega_{1},\ldots,\omega_{n}}.
$$
Ce qui nous fournit une bijection $h: \Sigma_{2} =\{ 0,1\}^{\ZZ}
\to K\times K$. En~munissant $\Sigma_{2}$ de la topologie produit on
peut montrer que $h$ est un homéomorphisme. On obtient surtout le
résultat suivant.

\begin{proposition}\label{2.1.2}
Le difféomorphisme $f$ du fer à cheval
est, en restriction à l'ensemble invariant $\Lambda$, conjugué à
un décalage de Bernoulli. Ce qui s'écrit
$$
f_{|\Lambda} \circ h = h \circ \sigma_{2}.
$$
\end{proposition}

Pour ces notions on peut se reporter à l'exposé de A.~Fathi dans ce volume. En utilisant la proposition~1.3.1 qui s'y trouve, on obtient

\begin{corollaire}\label{2.1.3} Les points périodiques de $f_{|\Lambda}$
sont denses dans $\Lambda$, $\ f_{|\Lambda}$ est topologiquement
transitif dans $\Lambda$.
\end{corollaire}

On a même des résultats plus précis: $P_{n}(f_{|\Lambda})= 2^{n}$ et $f_{\Lambda}$ est topologiquement mélangeant dans $\Lambda$.

\Subsection{Difféomorphismes d'Anosov -- Ensembles hyperboliques}

Ce qui va suivre s'étendra sans peine aux tores. Mais pour l'instant
conservons en tête le modèle du fer à cheval de
S.~Smale. Supposons que $U$ est un ouvert de $\RR^{k}$, $f: U \to
\RR^{k}$ un $C^{1}$-difféomorphisme sur son image, et qu'il
existe un sous ensemble $\Lambda \subset U$ compact $f$-invariant.

\begin{definition}\label{2.2.1}
L'ensemble $\Lambda$ est dit hyperbolique
pour l'application~$f$ s'il existe $C > 0$, $\lambda \in{} ] 0,1[$ et
pour tout $x \in \Lambda$ une décomposition $\RR^{k} = E^{s}_{x}
\oplus E^{u}_{x}$ en sous espaces stables et instables tels que
\begin{enumeratei}
\item
pour tout $v\in E^{s}_{x},\ \| D_{x} f^{n}(v)\| \leq C\lambda^{n} \| v\|$ ($n\geq 0$),
\item
pour tout $v \in E^{u}_{x}, \| D_{x} f^{-n}(u)\| \leq C\lambda^{n} \| v\|$ ($n\geq 0$),
\item
$D_{x} f(E^{s}_{x}) = E^{s}_{f(x)}$, $D_{x} f (E^{u}_{x}) =
E^{u}_{f(x)}$.
\end{enumeratei}
\end{definition}

\begin{remarque*}
En fait le choix de la norme importe peu, seul $C$
peut s'en trouver modifié. Plus généralement on choisit pour
chaque $x$ un produit scalaire défini positif, \ie une métrique
riemannienne.
\end{remarque*}

\begin{enonce*}[remark]{Exercice}
Montrer que l'ensemble $\Lambda$ du fer à cheval
est un ensemble hyperbolique et que l'on peut choisir $\lambda = 1/3$;
que la direction horizontale est la direction instable et la direction
verticale est la direction stable.
\end{enonce*}

\begin{definition}\label{2.2.2}
Un difféomorphisme du tore $f:\TT^k\to \TT^k$ est dit d'Ano\-sov si $\TT^k$ est un ensemble hyperbolique pour $f$.
\end{definition}

\begin{proposition}\label{2.2.3}
Un automorphisme hyperbolique du tore
\hbox{$F_{L}{:}\, \TT^{k}\!\to\! \TT^{k}$} est un difféomorphisme d'Anosov.
\end{proposition}

C'est presqu'une évidence, puisque nous avons pris dans la section~1.1 une définition qui occulte la réelle
difficulté, à savoir faire du calcul différentiel sur un
ensemble qui n'est pas naturellement un espace vectoriel. Mais nous
n'avons pas ici le temps de développer la théorie des variétés
différentiables et de leurs espaces tangents.

L'automorphisme $F_{L}$ admet un relevé $L$ qui est linéaire. Par
conséquent $F_{L}$ est $C^{\infty}$. D'autre part $D_{x} F_{L}:
\RR^{k} \to \RR^{k}$ est donné par $D_{x} F_{L} (v) = D_{x} L
(v) = L(v)$, puisqu'une application linéaire est sa propre
différentielle. Dans ce cas particulier notons que $E^{s}_{x} =
E^{s}$ et $E^{u}_{x}= E^{u}$, de sorte que la décomposition est alors
indépendante du point $x$.

\subsection{Dynamique symbolique}
Très souvent, les systèmes dynamiques sont codés par des dynamiques symbo\-li\-ques. Un cas particulier a déjà été rencontré avec le fer à cheval. Rappelons les notations. Soit
$$\Omega_N = \{\omega = (\ldots, \omega_{-1},\omega_0,\omega_1,\ldots) \mid \omega_i \in
\{0,\ldots, N-1\}\},$$
où on met une topologie donnée par la distance
$$d_\lambda(\omega,\omega') = \sum^{+ \infty}_{n = - \infty} {|\omega_n -
\omega'_n|\over \lambda^{|n|}}\qquad \lambda > 1.$$

\begin{enonce*}[remark]{Exercice}
Montrer que c'est une distance.
\end{enonce*}

La dynamique est donnée par le shift: $\sigma: \Omega_N \to \Omega_N$, $\sigma(\omega) = \omega'$, $\omega'_n = \omega_{n+1}$.

Les principaux exemples ne sont pas définis sur tout les mots de l'alphabet mais seulement un sous-ensemble déterminé par la donnée d'une matrice $A$. La procédure est la suivante. Soit $A = (a_{ij})$, \hbox{$0 \leq i,j \leq N-1$}, $a_{ij} = 0$ ou $1$, on considère alors
$$\Omega_A = \{\omega \in \Omega_N \mid a_{\omega_{n}\omega_{n+1}} =1, {\hbox{pour}}\ n \in {\ZZ}\}.$$

\begin{definition}\label{2.3.1}
La restriction $\sigma_{|\Omega_A} = \sigma_A$ est appelée une chaîne de Markov topologique, on dit aussi souvent un sous-shift de type fini.
\end{definition}

\subsection{Codage et partitions de Markov}
De la même manière que nous avons pu trouver un codage pour le fer à cheval, nous allons développer très brièvement une approche analogue pour les automorphismes hyperboliques des tores. Des techniques semblables existent pour les difféo\-morphismes d'Anosov, mais cela nous conduirait un peu loin.

Reprenons notre exemple favori $F_L(x,y) = (2x + y, x +y)$ sur le tore $\TT^2$, traçons des morceaux des variétés stables $W^s_0$ et instable $W^u_0$ passant par l'origine jusqu'à ce qu'elles se coupent suffisamment de fois pour séparer le tore en rectangles comme par exemple sur la figure~\ref{fig7} extraite de \cite{K.H}.
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=6\unitlength]{foulonfig7}}
\caption{\label{fig7}}
\end{figure}
On obtient, en tenant
compte des identifications, une partition de $\TT^2$ en deux rectangles $R^{(1)}$ et $R^{(2)}$. L'image de ces deux rectangles vue dans ${\RR}^2$ est représentée sur la figure \ref{fig8} par les symboles $F(R(2))$ et $F(R(1))$.
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=6\unitlength]{foulonfig8}}
\caption{\label{fig8}}
\end{figure}
Si on fait le calcul explicite on constate, en utilisant les identifications, que $F(R^{(1)}))$ est la réunion de 3 rectangles $\Sigma_0$, $\Sigma_1$, $\Sigma_3$, alors que $F(R(2))$ est la réunion de $\Sigma_2$ et~$\Sigma_4$. Par un calcul (assez fastidieux) on obtient une matrice \hbox{$A = (a_{ij})$}, $1 \leq i,j \leq 5$, telle que $a_{ij} = 0$ si $F(\Sigma_i) \cap \Sigma_j = \emptyset$, $a_{ij} = 1$ autrement;
$$\arraycolsep4pt
A = \left(
\begin{array}{ccccc}
1 &1 &0 &1 &0\\
1 &1 &0 &1 &0\\
1 &1 &0 &1 &0\\
0 &0 &1 &0 &1\\
0 &0 &1 &0 &1\\
\end{array}
\right).$$

Nous admettrons le résultat suivant.
\begin{proposition}\label{2.4.1}
L'automorphisme
\[
F_L: (x,y)= (2x + y, x+y)\mod (1)
\]
du tore $\TT^2$ est semi-conjugué au sous-shift de type fini $\sigma_A$ sur $\omega_5$.
\end{proposition}

Un des intérêts de cet exemple est que la semi-conjugaison n'est pas une bijection car le nombre de points périodiques de $\sigma_A$ de période qui divise $p$ est donné par $N_p(\sigma_A) = \tr A^p = \lambda^p_1 + \lambda^{-p}_1$, avec $\lambda_1 = (3 +\sqrt{5})/2$, et satisfait, d'après 1.4.2 (i),
$$N_p(\sigma_A) = N_p (F_L) + 2.$$

\begin{enonce*}[remark]{Exercice}
Montrer que $\sigma_A$ a trois points fixes alors que $F_L$ n'en a qu'un seul.
\end{enonce*}

\subsection{Stabilité des automorphismes hyperboliques}

Vous avez déjà rencontré dans le texte \cite{Fa} les notions de semi-conjugaison et de stabilité structurelle. Le théorème 2.3.1 de l'exposé de A.\,Fathi montre que le système dynamique $m_p: S \to S$, $p \geq q$, $z\mto z^P$ est structurellement stable. La preuve s'effectue en montrant que la semi-conjugaison cherchée s'obtient comme point fixe d'un certain opérateur contractant dans un espace de fonctions continues. Nous allons développer une stratégie semblable sur le tore $\TT^n$.

Nous allons juste rappeler/admettre quelques résultats sur l'homotopie que nous spécialiserons à notre contexte.

Deux applications continues $f,g: X \to Y$ où $X$ et $Y$ sont des espaces topologi\-ques, sont homotopes s'il existe une application \hbox{$H: [0,1] \times X\to Y$}, continue et telle que
$$H(0,x) = f(x),\qquad H(1,x) = g(x).$$

\begin{proposition}\label{2.5.1}
Soient $f,g: \TT^n \to\TT^n$ deux applications continues.
\begin{enumeratei}
\item
Elles sont homotopes si et seulement si leur différence admet un relèvement ${\widetilde f} -\nobreak {\widetilde g}: \RR^n\mto \RR^n$, qui est une application $\ZZ^n$ périodique, \ie, pour tout $(z_1,\ldots,z_n)\in\ZZ^n$
$$({\widetilde f} - {\widetilde g})(x_1+ z_1,\ldots, x_n+ z_n) = ({\widetilde f} - {\widetilde g})(x_1,\ldots,x_n).$$
\item
De plus une application $f: \TT^n \mto \TT^n$ homotope à l'identité $\id_{\TT^n}$ est surjective.
\end{enumeratei}
\end{proposition}

\begin{proof}[Démonstration (partielle)]
L'homotopie $H: [0,1]\times \TT^n \to \TT^n$ telle que $H(0,\cbbullet) = f(\cbbullet), H(1,\cbbullet) = g(\cbbullet)$ se relève aussi en une homotopie ${\widetilde H}:[0,1] \times \RR^n \to \RR^n$ telle que
${\widetilde H}(0,\cbbullet) = \wt f(\cbbullet)$ est un relevé de $f$,
${\widetilde H}(1,\cbbullet) = {\widetilde g}(\cbbullet)$ est un relevé de
$g$.

On a ${\widetilde H}(t,y+z) = {\widetilde H}(t,y) + A_t(z)$, pour $t \in [0,1]$, $y \in \RR^n$, $z \in \ZZ^n$, et $A_t$ est une endomorphisme de $\RR^n$ à coefficients nécessairement entiers. Par continuité $A_0(z) = A_1(z)$, pour tout $z \in \ZZ^n$ et donc $({\widetilde f} - {\widetilde g})(y + z) = ({\widetilde f} - {\widetilde g})(y)$.

Pour la réciproque supposons que ${\widetilde f} - {\widetilde g} = \wt h$ est une application $\ZZ^n$-périodique. Définissons ${\widetilde H}: [0,1] \times \RR^n \to \RR^n$ par ${\widetilde H}(t,y) = {\widetilde g}(y) + (1-t)\wt h(y)$. On vérifie aisément que ${\widetilde H}$ se projette en une homotopie sur $\TT^n$.
\end{proof}

Voici un premier résultat de stabilité.

\begin{theoreme}\label{2.5.2}
Tout difféomorphisme $g: \TT^n\to \TT^n$ homotope à un automorphisme linéaire hyperbolique $F_L: \TT^n \to \TT^n$ admet $F_L$ comme facteur \ie il existe $h: \TT^n \to \TT^n$ continue surjective telle que $h \circ g = F_L \circ h$. La semi-conjugaison est unique et homotope à l'identité. De plus si $g$ est $C^0$-proche de $F_L$ alors la semi-conjugaison est $C^0$-proche de l'identité.
\end{theoreme}

\begin{proof}
On cherche une application $h:\TT^n \mto \TT^n$, homotope à l'identité et telle que $h\circ g = F_L \circ h$. D'après la proposition 2.5.1, $h$ sera alors
surjective et il existera ${\widehat h}: \RR^n\to \RR^n$, $\ZZ^n$-périodique, telle que $\id_{\RR^n} + {\widehat h}$ soit un relevé de $h$. Comme $h$ et $F_L$ sont homotopes, il~existe une application ${\widehat g}: \RR^n \to \RR^n$, continue, $\ZZ^n$-périodique telle que $L + {\widehat g}$ est une relèvement de $g$. L'équation de semi-conjugaison qui s'écrit aussi sous la forme $h =F^{-1}_L \circ h\circ g$, se traduit en termes de relèvement en
$$\id_{\RR^n} + {\widehat h} = L^{-1} \circ (\id_{\RR^n} + {\widehat h}) \circ (L + {\widehat g}).$$

Ce qui nous conduit à
$${\widehat h} = L^{-1}{\widehat g}+ L^{-1}\circ {\widehat h} \circ (L + {\widehat g}) :={\cal L}({\widehat h}).\leqno{(*)}$$

Notre espace fonctionnel est l'ensemble $ {\cal F}$ des applications continues $\ZZ^n$-périodiques doté de la distance
\[
\|{\widehat \psi} - {\widehat \varphi}\| =\sup_{{y \in[0,1]^n}}\|{\widehat \psi}(y) - {\widehat \varphi}(y)\|.
\]
Il est complet. Malheureusement ${\cal L}$ n'est pas un opérateur contractant pour cette distance. Uti\-li\-sons l'hyperbolicité de $L$. Il existe une décomposition $\RR^n = E^u \bigoplus E^s$, et au moins une norme adaptée
que nous prenons pour définir une distance $d_1$ sur ${\cal F}$. Nous noterons aussi~$p_u$ et~$p_s$ le projecteur sur~$E^u$ parallèlement à $E^s$
(respectivement sur~$E^s$ parallèlement à $E^u$), ${\widehat h}_u = p_u \circ {\widehat h}$, ${\widehat g}_u = p_u \circ {\widehat g}$, etc. L'équation~$(*)$ se décompose en utilisant l'invariance de la décomposition par $L$ en
$${\widehat h}_u = L^{-1}_u {\widehat g}_u +L^{-1}_u \circ {\widehat h}_u \circ (L + {\widehat g}) := {\cal L}_u({\widehat h}_u)\leqno{(**)}$$
et
$${\widehat h}_s = L^{-1}_s {\widehat g}_s + L^{-1}_s \circ{\widehat h}_s \circ (L + {\widehat g}) :={\cal L}_s({\widehat h}_s).\leqno{({*}{*}{*})}$$

On vérifie que ${\cal L}_u$ est un opérateur contractant car
$$\|{\cal L}_u({\widehat h}'_u)- {\cal L}_u({\widehat h}_u)\| =\|L^{-1}_u({\widehat h'}_u - {\widehat h}_u)\circ(L + {\widehat g}))\| \leq\|L^{-1}_u\|\cdot\|{\widehat h'}_u- {\widehat h}_u\|$$
et $\|L^{-1}_u\| = \lambda < 1$.
Il existe donc un unique point fixe ${\widehat h}_u$. De plus comme quand $n\to \infty$, ${\cal L}^n_u(0)\to {\widehat h}_u$ nous avons la majoration
\begin{align*}
\|{\widehat h}_u\| &\leq \biggl(\sum^\infty_{n = 0} \lambda^n\biggr)\cdot\|{\cal L}_u(0)\|\\
&\leq {1\over 1-\lambda}\cdot\|L^{-1}_u\|\cdot\|{\widehat g}_u\|\\
&\leq {\lambda\over 1-\lambda} \|{\widehat g}_u\|
\end{align*}

Pour résoudre l'équation $({*}{*}{*})$ il vaut mieux la réécrire en utilisant le fait que $L + {\widehat g}$ est inversible puisque $g$ est un homéomorphisme. On obtient ainsi, en posant $S = (L + {\widehat g})^{-1}$,
$${\widehat h}_s = L_s \circ {\widehat h}_s \circ S - {\widehat g}_s \circ S :={\cal F}_s({\widehat h}_s).$$

Il s'agit encore d'un opérateur contractant. Pour le point fixe on peut obtenir l'estimée
$$\|{\widehat h}_s\| \leq {\|{\widehat g}_s\|\over 1 -\mu}\quad {\hbox{avec}}\quad \mu = \|L_s\|.$$

Finalement nous obtenons une solution unique ${\widehat h}= {\widehat h}_s + {\widehat h}_u$, qui est bien $\ZZ^n$-périodique, et qui se projette donc sur le tore $\TT^n$.
\end{proof}

Rappelons une définition.
\begin{definition}\label{2.5.3}
Soit $\|\ \|$ une norme sur $\RR^n$, $d$ la distance sur $\TT^n$ qui s'en déduit. On définit une topologie sur $C^1(\TT^n, \TT^n)$ par la distance $d_{C^1}(f_1,f_2) = \sup_{x \in \TT^n} d(f_1(x),f_2(x)) + \sup_{x \in \TT^n}\|D_xf_1 - D_xf_2\|$. Cette topologie ne dépend pas du choix de la norme $\|\ \|$. On l'appelle $C^1$\nobreakdash-topo\-logie.
\end{definition}

Avec des arguments proches de ceux du théorème on obtiendrait le résultat suivant:

\begin{proposition}\label{2.5.4}
Toute $C^1$-application $g:\TT^n\to \TT^n$ suffisamment pro\-che, dans la $C^1$-topologie, d'un automorphisme linéaire hyperbolique $F_L$ du tore est un facteur pour $F_L$, \ie il existe \hbox{$h':\TT^n\to \TT^n$} continue surjective telle que $g\circ h'=h'\circ F_L$.
\end{proposition}

Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer le théorème de stabilité structurelle.

\begin{theoreme}[Anosov]\label{2.5.5}
Soit $F_L: \TT^n \to \TT^n$ un automorphisme liné\-aire hyperbolique
du tore. Il existe un voisinage ${\cal U} \subset C^1(\TT^n, \TT^n)$ de~$F_L$ dans la $C^1$-topologie, tel que toute application $f \in {\cal U}$ est topologiquement
conjuguée à $F_L$.
\end{theoreme}

\begin{proof}[Démonstration (indication)]
En combinant le théorème 2.5.2 et la proposition 2.5.4 on obtient deux
semi-conjugaisons $h$ et $h'$. On vérifie aisément que $hh' = h''$ commute avec $F_L$. Il resterait à vérifier que ceci n'est possible que pour l'identité.
\end{proof}

\subsubsection*{Épilogue}
Pour conclure, je voudrais citer un résultat dont les techniques sortent du cadre de cet exposé.

\begin{theoreme*}[Franks]
Tout difféomorphisme d'Anosov sur le tore $\TT^n$ est topologiquement conjugué à un automorphisme linéaire hyperbolique.
\end{theoreme*}

\begin{enonce*}[remark]{Remarque finale}
Les notes de cet exposé doivent beaucoup à plusieurs ouvrages. Les deux principales sources ont été le livre \cite{K.H} de A. Katok et B. Hasselblatt et le cours \cite{F.L} \og Systèmes dynamiques\fg.
\end{enonce*}


\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups96-03}
\end{document}

