\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais, NoFloatCountersInSection, NoEqCountersInSection, ThmDefs]{cedram}
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\begin{document}
\frontmatter

\title{Systèmes dynamiques discrets}

\author[\initial{A.} \lastname{Fathi}]{\firstname{Albert} \lastname{Fathi}}

\address{Département de Mathématiques, École Normale Supérieure de Lyon,
46, Allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France}

\email{afathi@umpa.ens-lyon.fr}

\thanks{Journées X-UPS 1996. Aspects des systèmes dynamiques: le premier retour. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1996, et Éditions de l'École polytechnique, 2009}

\maketitle
\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section{Quelques généralités et quelques exemples}

Dans ce chapitre nous allons introduire la notion de système dynamique et expliquer l'objet de la théorie sur quelques exemples afin d'illustrer quelques-uns des concepts.

\Subsection{Définitions}

\begin{definition}
Un système dynamique discret est une application
continue $f:X\to X$ de l'espace topologique $X$ dans lui-même.
\end{definition}

Le fait que $f$ envoie $X$ dans lui-même permet de considérer les
itérées $f^n$, $n\in \NN$, où
$$f^n=\underbrace{f\circ\cdots\circ f}_{n\;{\rm fois}}.$$
On peut alors définir les trajectoires ou orbites d'un point:

\begin{definition}[Orbite d'un point]
Si $f:X\to X$ est un système dynamique,
l'orbite positive de $x$ par $f$ est
$${\cal O}^f_+(x)=\{f^n(x)\,|\, n\in\NN\}.$$
Si $f$ est bijective, on définit l'orbite de $x$ par ${\cal O}^f(x)=\{f^n(x)\,|\, n\in\ZZ\}$ ainsi que l'orbite négative ${\cal O}^f_-(x)=\{f^{-n}(x)\,|\, n\in\NN\}$.
\end{definition}

L'objet de la théorie des systèmes dynamiques est l'étude
du comportement des orbites et de la façon dont elles varient avec
le point initial.

Pour étudier la suite ${\cal O}^f_+(x)$, on fait ce que l'on fait
d'habitude avec une suite, c'est-à-dire que l'on regarde ses points d'accumulation.

S'il existe $n\geq 1$ tel que $f^n(x)=x$, on dit que $x$ est périodique,
la période d'un point périodique $x$ est le plus petit entier
$n\geq 1$ tel que $f^n(x)=x$.

On note $\omega_f(x)$ l'ensemble des points d'accumulation de la suite
$f^n(x),n\in \NN$. Si $x\in\omega_f(x)$, on dit que $x$ est récurrent.
Si $\omega_f(x)=X$, on dit que $x$ est d'orbite dense. Si tout
point de $X$ est d'orbite dense, on dit que que $f$ est minimal.

La meilleure façon de comprendre les notions est de les tester
sur des exemples.

\subsection{Les rotations sur le cercle}

Commençons par un des exem\-ples les plus connus, les rotations.

\begin{proposition}
Soit $\cercle$ le cercle unité dans $\CC$. Si $\alpha\in \cercle$,
on définit $R_\alpha:\cercle \to\cercle$ par $R_\alpha(z)=\alpha z$.
Si $\arg (\alpha)\in 2\pi\QQ$, toutes les orbites de~$R_\alpha$ sont
périodiques de même période. Si $\arg (\alpha)\notin 2\pi\QQ$, alors
$R_\alpha$ est minimal.
\end{proposition}

\begin{proof}
On a $R^n_\alpha=R_{\alpha^n}$ d'où le résultat dans le cas où $\arg(\alpha)\in \QQ$. Dans le cas où $\arg (\alpha)\notin 2\pi\QQ$, posons
$\beta=\arg(\alpha)/2\pi\notin \QQ$. Le sous-groupe additif de~$\RR$ engendré
par $1$ et $\beta$ est dense dans $\RR$. Soit alors $z\in \cercle$ et
$x\in \RR$ tel que $z=e^{2i\pi x}$. On peut trouver des suites d'entiers
$(n_j)_{j\in\NN}$ et $(p_j)_{j\in\NN}$, tels que
$x=\lim_{j\to\infty} n_j\beta+p_j$ donc $z=\lim_{j\to\infty}
e^{2i\pi( n_j\beta+p_j)}=\lim_{j\to\infty}\alpha^{n_j}=
\lim_{j\to\infty}R_\alpha^{n_j}(1)$. Par conséquent l'orbite de~1 est dense.
Or pour tout $z\in \cercle$, on a $R^n_\alpha(z)=\alpha^nz=zR^n_\alpha(1)$,
ce qui montre la densité des autres orbites.
\end{proof}

L'exemple des rotations nous donne des systèmes où le comportement
d'une orbite est essentiellement le même quel que soit le point dont on part.

Une autre propriété de ce système, due au fait que les rotations sont des isomé\-tries, est que deux points proches restent proches pour tous les itérés. Une telle propriété est évidemment idéale pour
les modélisations de systèmes physiques ou biologiques, car on ne
connaît dans ce cas la condition initiale qu'à l'erreur de sa mesure près
et le fait que cette erreur n'explose pas par itération permet donc de faire des prédictions à long terme. Malheureusement, il résulte de la théorie des
systèmes dynamiques qu'en général les systèmes
n'ont pas ce genre de propriété.

\subsection{Les décalages de Bernoulli}

Soit $p$ un entier $\geq 1$. On considère l'espace:
$$\Sigma_p^+=\{1,\dots,p\}^\NN.$$
On notera un point de $\Sigma_p^+ $
par $\bm x$. Un tel point $\bm x$ est la donnée d'une
suite $(x_n)_{n\in\NN}$ avec $x_n\in \{1,\dots,p\}$ pour tout $n\in \NN$.
Le nombre $x_n$ est appelé la $n$\textsuperscript{ième} coordonnée de $\bm x$.

On munit $\Sigma_p^+$ la topologie produit. Cette topologie est
définie par la métrique
$$d((x_n)_{n\in\NN},(y_n)_{n\in\NN})=\sum_{n\in\NN}
\frac{|x_n-y_n|}{2^{n}}.$$
\begin{itemize}
\item
Si $d((x_n)_{n\in\NN},(y_n)_{n\in\NN})<\delta$, alors $x_i=y_i$ pour tout
$i\in \NN$ tel que $2^{-i}\geq\delta$.

\item
Si $x_i=y_i$ pour tout $i$ avec
$0\leq i\leq q$, alors $d((x_n)_{n\in\NN},(y_n)_{n\in\NN})\leq p2^{-q}$.
\end{itemize}
Donc
on peut rendre deux suites de $\Sigma_p^+$ proches en rendant un
grand nombre de leurs premières coordonnées égales.

Le décalage de Bernoulli $\sigma_p^+:\Sigma_p^+\to \Sigma_p^+$ est défini par:
$$\sigma_p^+[(x_n)_{n\in\NN}]=(y_n)_{n\in\NN}, \hbox{ \rm où } y_n=x_{n+1}.$$

\begin{proposition}
Les points périodiques de
$\sigma_p^+$ sont denses dans $\Sigma_p^+$. Il y a un point de $\Sigma_p^+$
dont l'orbite (positive) par $\sigma_p^+$ est dense dans $\Sigma_p^+$.
On a la sensibilité par rapport aux conditions initiales. Plus
précisément si ${\bm x}\neq{\bm y}$, alors
$\sup_{n\in\NN} d((\sigma_p^+)^n({\bm x}),
(\sigma_p^+)^n({\bm y}))\geq 1$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Remarquons qu'un point ${\bm y}=(y_n)_{n\in\NN}$ est
périodique pour $\sigma_p^+$, si la suite $(y_n)_{n\in\NN}$ est périodique. Pour approcher \hbox{${\bm x} \!=\!(x_n)_{n\in\NN}$} par un point périodique,
il suffit de tronquer la suite $(x_n)_{n\in\NN}$ assez loin et de la rendre
périodique.

Un point ${\bm x}=(x_n)_{n\in\NN}$ est d'orbite dense si toute suite
finie d'éléments de $\{1,\dots,p\}$ apparaît comme sous-suite
de $(x_n)_{n\in\NN}$. Comme l'ensemble des suites finies à valeurs
dans $\{1,\dots,p\}$ est dénombrable, il n'est pas difficile
en mettant l'ensemble de toutes ces suites finies bout à bout de
fabriquer un point d'orbite dense.

Si ${\bm x} =(x_n)_{n\in\NN}\neq{\bm y} =(y_n)_{n\in\NN}$,
il existe un $n$ avec $x_n\neq y_n$. Il~en résulte que
les coordonnées d'ordre $0$ de $(\sigma_p^+)^n({\bm x} )$ et $(\sigma_p^+)^n({\bm y})$ diffèrent, par conséquent
$d((\sigma_p^+)^n({\bm x}),(\sigma_p^+)^n({\bm y}))\geq 1$.
\end{proof}

Nous ne donnons pas ici de définition formelle de la sensibilité
aux conditions initiales. Nous la prenons au sens intuitif: les prédictions précises de comportement à long terme des orbites
ne peuvent se faire qu'en connaissant la condition initiale avec
une précision de plus en plus grande. Par exemple, si $f:X\to X$
satisfait à la propriété suivante:
$$
\exists \varepsilon_0,\,\forall x,x'\in X,\quad x\neq x'\implies \sup_{n\in\NN}d(f^n(x),f^n(x'))\geq \varepsilon_0,
\leqno(\clubsuit)
$$
alors, il est clair que $f$ est sensible aux conditions initiales.
La propriété ($\clubsuit$) est appelée expansivité.
Dans le cas où $f$ est un homéomorphisme, si on veut obtenir
des exemples avec $X$ non fini, il faut remplacer, dans la condition
($\clubsuit$),
le $\sup$ sur $\NN$ par un $\sup$ sur $\ZZ$.

On peut aussi considérer
$\Sigma_p=\{1,\dots,p\}^\ZZ$, muni de la topologie produit.
Le décalage $\sigma_p:\Sigma_p\to \Sigma_p$ est aussi défini par:
$$\sigma_p[(x_n)_{n\in\ZZ}]=(y_n)_{n\in\ZZ}, \quad\text{où } y_n=x_{n+1}.$$
À la différence de $\sigma_p^+$, l'application $\sigma_p$ est
inversible.
On peut voir de la même manière que les points périodiques de
$\sigma_p$ sont denses dans~$\Sigma_p$ et qu'il y a un point
d'orbite dense. De même $\sigma_p$ est sensible aux conditions
initiales.

Smale a montré que, sous des conditions assez générales,
il y a une copie d'un décalage de Bernoulli dans pratiquement tous les systèmes dynamiques
sur un espace de dimension supérieure ou égale à~2. Ce~qui montre
qu'en général un système est sensible aux conditions initiales.

\subsection{Un exemple de semi-conjugaison}

Considérons le système dynamique $m_p:\cercle \to\cercle, z\mto z^p $,
où $p$ est une entier $\geq 2$. Nous allons voir que $m_p$ a une dynamique
très riche. En fait $m_p$ est \og pratiquement\fg une version du système
dynamique $\sigma_p^+$.

Définissons $\theta_p:\Sigma_p^+\to[0,1]$ par:
$$\theta_p[(x_n)_{n\in\NN}]=\sum_{n\in\NN}\frac{x_n-1}{p^{n+1}},$$
c'est-à-dire que l'on fait correspondre à $(x_n)_{n\in\NN}$ le réel
dont le développement en base $p$ est $0,x'_0x'_1\dots x'_n\dots$ avec
\[
x'_n=x_n-1\in\{0,\dots,p-1\}.
\]
On voit donc que $\theta_p$ est surjective.
Il n'est pas difficile de montrer qu'elle est continue et même lipschitzienne:
$$|\theta_p({\bm x})-\theta_p({\bm y})| \leq\sum_{n\in\NN}\Big|\frac{x_n-1}{p^{n+1}}-\frac{y_n-1}{p^{n+1}}\Big|\leq
\sum_{n\in\NN}\frac{|x_n-y_n|}{p^{n+1}}=
\frac{d({\bm x},{\bm y})}{p}.$$
Il est clair sur la formule que $\theta(\sigma_p^+({\bm x}))$
est la partie fractionnaire de $p\theta({\bm x})$.
Si on définit alors $\psi_p:\Sigma_p^+\to\cercle$
par:
$$
\psi_p ({\bm x})=e^{2i\pi \theta ({\bm x}) },
$$
on en déduit que l'on a $\psi_p\circ \sigma_p^+({\bm x})=
m_p\circ \psi_p({\bm x})$, ce qui s'exprime
par la commutativité du diagramme:
$$\xymatrix{
\Sigma_p^+ \ar[r]^-{\sigma_p^+}\ar[d]_{\psi_p}& \Sigma_p^+ \ar[d]^{\psi_p}\\
\cercle \ar[r]^-{m_p}& \cercle
}$$
ce qui nous amène à la définition:

\begin{definition}[Semi-conjugaison topologique]
Si $h:X\to X$ et $f:Y\to Y$ sont des applications continues
des espaces topologiques $X$ et $Y$. On dit que l'application
continue \emph{surjective} $\psi:X\to Y$
est une semi-conjugaison topologique
entre $f$ et $h$ si $f\circ\psi=\psi\circ h$,
c'est-à-dire que le diagramme suivant est commutatif:
$$\xymatrix{
X \ar[r]^-{h}\ar[d]_{\psi}& X\ar[d]^{\psi} \\
Y \ar[r]^-{f}& Y
}$$
\end{definition}

Par récurrence sur $n$, on voit que l'on a
$f^n\circ\psi=\psi\circ h^n$. Il
en résulte qu'une telle semi-conjugaison topologique
envoie les orbites de $h$
sur les orbites de $f$. En particulier, elle envoie les orbites périodiques de $h$ sur des orbites périodiques de $f$. Comme $\psi$ est continue et surjective,
elle envoie un point d'orbite dense sur un point d'orbite dense.
En appliquant ces remarques à $\psi_p$, on obtient la proposition:

\begin{proposition}
Les points périodiques de
$m_p$, $p\geq2$, sont denses dans~$\cercle$. Il y a un point de $\cercle$
dont l'orbite (positive) par $m_p$ est dense dans $\cercle$.
\end{proposition}

Montrons que l'on a la sensibilité
aux conditions initiales pour $m_p$, $p\geq 2$.

\begin{proposition}
Le système dynamique $m_p:\cercle\to\cercle$, $p\geq 2$
est expansif, donc sensible aux conditions initiales.
\end{proposition}

\begin{proof}
Nous avons besoin d'un inverse local de l'exponentielle. Définissons $\widetilde{\exp{}}:\CC\to\CC$ par:
$$\widetilde{\exp{}}(z)=e^{2i\pi z}.$$
On a $\widetilde{\exp{}}(z)=\widetilde{\exp{}}(z')$ si et seulement si $z-z'\in\ZZ$ et
$\widetilde{\exp{}}^{-1}(\cercle)=\RR$; de plus,
c'est un difféomorphisme local.
Choisissons alors $\delta\in{}]0,1[$, assez petit pour que l'inverse~$\kappa$ de $\widetilde{\exp{}}$ soit défini sur le disque fermé $\ov B(1,\delta)=\{z
\, |\,z\in\CC, |z-1|\}$. On choisit la détermination avec
\hbox{$\kappa(1)\!=\!0$}. On a $\kappa(\cercle\cap\ov B(1,\delta))={}]-\alpha_0,
\alpha_0[$. Fixons alors $p\geq 1$ et choisissons $\delta_p<\delta$ tel que $z\in\cercle$ et $|z-1|<\delta_p$ implique $|p\kappa(z)|<\alpha_0$.
Supposons alors que $z_1,z_2\in\cercle$ vérifient $|z_1^{p^n}-z_2^{p^n}|<\delta_p$ pour tout $n\in\NN$. En~posant $z=z_1/z_2$,
on trouve $|z^{p^n}-1|<\delta_p$ pour tout $n\in\NN$. En~posant
$x_n=\kappa(z^{p^n})$, on a $p|x_n|<\alpha_0$, de plus
\[
\widetilde{\exp{}}(px_n)=(\widetilde{\exp{}}(x_n))^p=
\widetilde{\exp{}}(x_{n+1}).
\]
Donc $px_n=x_{n+1}$ car $|px_n|$ et $|x_{n+1}|$
sont tous les deux $<\alpha_0$. On voit alors par récurrence que
$|x_0|=p^{-n}|x_n|<p^{-n}\alpha_0$ pour tout $n\in \NN$ donc $x_0=0$ et
$z=1$; par conséquent $z_1=z_2$.
\end{proof}

\subsection{Remords final: les applications linéaires}

Les applications linéaires sont certainement,
en dimension finie, les applications que l'on comprend le mieux
au niveau des classes préparatoires (du moins, c'est ce que nous
espérons tous!). Il serait évidemment intéressant
de voir ce que donnent, dans ce cas, les notions introduites.

Soit $A:E\to E$ une application linéaire du $K$ espace vectoriel $E$,
avec $K=\RR$ ou~$\CC$.
Les points périodiques de période divisant $n$ sont $0$ ainsi que
les vecteurs
propres de~$A^n$ associées à la valeur propre~1.

Qu'en est-il des points d'orbite dense? Pour cela, il faut avoir
une topologie sur~$E$. Donc on suppose maintenant que $E$ est une espace
vectoriel topologique et que~$A$ est continue. Pour rester dans
le cadre des programmes, supposons par exemple~$E$ normé.
On a alors la proposition suivante:

\begin{proposition}
Soit $f:E\to E$ une application $K$-linéaire du $K$-espace
normé $E$, avec $K=\RR$ ou $\CC$. Notons $E'_{\CC}$ le $\CC$-espace vectoriel
formé des applications $K$-linéaires continues de $E$ dans $\CC$.
Si $f$ a une orbite dense dans $E$, alors l'application transposée
$f^*:E'_{\CC}\to E'_{\CC},\varphi\mto \varphi\circ f$ n'a pas de valeur propre.
Par conséquent $E$ est nécessairement de dimension infinie.
\end{proposition}

\begin{proof}
Un vecteur propre non nul de $f^*$ associé à la valeur propre~$\lambda$ est une application continue $K$-linéaire non nulle
$\varphi:E\to\CC$, telle que $\forall x\in E$, $\varphi\circ f(x)=\lambda \varphi(x)$.
Si $x_0\in E $ a une orbite dense dans $E$, il s'ensuit par continuité
de $\varphi$ que $\{\varphi\circ f^n(x_0)\mid n\in\NN\}=\{\lambda^n\varphi(x_0)
\mid n\in\NN\}$ est dense dans le
$K$-espace vectoriel non nul $\varphi(E)\subset\CC$. Il n'est pas difficile de voir que ceci n'est pas possible (par exemple en remarquant que l'ensemble
des valeurs de la suite
$|\lambda^n\varphi(x_0)|$ est discret dans $[0,\infty[$\/).
\end{proof}

Cette proposition montre qu'il n'y a pas d'application linéaire
d'un espace vectoriel de dimension finie dans lui-même ayant
une orbite dense. On peut aussi démontrer ce fait en utilisant une décomposition
en blocs de Jordan et en analysant le comportement des orbites pour chaque bloc.

En dimension infinie, Rolewicz a montré dans les années 60 qu'il y a des applications linéaires qui ont des orbites denses. Le théorème
suivant peut être laissé en exercice afin d'animer la discussion
pendant votre repas:

\begin{theoreme}[Théorème de Rolewicz]
Considérons l'espace de Hil\-bert de suites
$\ell^2=\{(a_n)_{n\in\ZZ}\mid\sum_{n\in\ZZ} |a_n|^2<+\infty\}$.
Soit $\lambda\in{}]0,1[$,
définissons l'opérateur linéaire continu $T:\ell^2\to\ell^2$
par $T[(a_n)_{n\in\NN}]=(b_n)_{n\in\NN}$ où:
$$b_n=
\begin{cases}
\lambda a_{n-1}, &\text{si $n\geq 0$}\\
\lambda^{-1} a_{n-1}, &\text{si $n< 0$}.
\end{cases}
$$
Alors $T$ a une orbite dense dans $\ell^2$.
\end{theoreme}

En fait, il y a un exemple plus naturel en dimension infinie et que vous connaissez très bien.
Notons ${\cal C}^\infty([0,1],\RR)$ l'espace des fonctions
indéfiniment dérivables. On munit ${\cal C}^\infty([0,1],\RR)$ de
la topologie de convergence uniforme de toutes les dérivées.
Ce n'est pas un espace normé, mais c'est quand même un espace
vectoriel topologique et même ce que l'on appelle un espace de Fréchet.

\begin{proposition}
La dérivation ${\cal C}^\infty([0,1],\RR)\!\to\!{\cal C}^\infty([0,1],\RR)$, $\varphi\!\mto\!\varphi'$, est une application linéaire
continue ayant une orbite dense.
\end{proposition}

Cette proposition vous est laissée en exercice afin d'égayer le reste
de votre
week-end. Il faudra évidemment utiliser le théorème de Weierstrass
de densité des polynômes dans l'espace des fonctions indéfiniment dérivables. L'inverse à droite de la dérivation
\[
B:
{\cal C}^\infty([0,1],\RR)
\to{\cal C}^\infty([0,1],\RR)
\]
donné par intégration
\[
B(\varphi)(x)=\int_0^x\varphi(t)\,dt
\]
est aussi utile.

\section{Systèmes dynamiques discrets: stabilité structurelle}

Le but de ce chapitre est l'introduction de la notion de stabilité structurelle et l'étude d'un exemple simple où elle
intervient.

\subsection{Conjugaison topologique et stabilité structurelle}

\begin{definition}[Conjugaison topologique]
Si $h:X\!\to\! X$ et $f:Y\!\to\! Y$ sont des applications continues
des espaces topologiques $X$ et $Y$. Une conjugaison topologique
entre $f$ et $h$ est semi-conjugaison topologique
$\theta:X\to Y$ où $\theta$ est un \emph{homéomorphisme} de $X$ sur $Y$.
\end{definition}

Il est clair que l'on tient là la notion raisonnable d'isomorphisme pour
les systèmes dynamiques.

\begin{exemple}
Considérons l'homothétie $h_\lambda:\RR\to\RR$,
où $\lambda\in{}]0,1[$. Montrons que deux telles applications sont
topologiquement conjuguées. En effet, si $\lambda_1$ et $\lambda_2$
appartiennent à $]0,1[$, alors, il existe $\alpha>0$ avec
$\lambda_1^\alpha=\lambda_2$. Définissons l'homéomorphisme
$\theta:\RR\to\RR$ par
\[
\theta(x)=
\begin{cases}
x^\alpha,&\text{ si }x\geq 0,\\
-|x|^\alpha,&\text{ si }x\leq 0.
\end{cases} 
\]
On vérifie
que $h_{\lambda_2}\circ\theta=\theta\circ h_{\lambda_1}$.
\end{exemple}

À titre d'exercice instructif, on pourra montrer que deux homéomorphismes
de l'intervalle $[0,1]$ sur lui-même n'ayant que $0$ et $1$ comme points
fixes sont toujours topologiquement conjugués.

Si on repense au problème de modélisation de systèmes physiques ou
biologiques, même quand on est arrivé à la loi qui gouverne le
phénomène, en général, cette loi va nous donner un système
dynamique $f:X\to X$ qui n'est pas complètement connu car la forme exacte
va dépendre de la mesure de certaines constantes qui interviennent dans
$f$. Par conséquent, une situation idéale est celle où une petite
erreur sur $f$ redonne une système topologiquement conjugué.
Ceci nous mène à une définition de la stabilité structurelle.
Afin de pouvoir la donner simplement, nous allons ne considérer que
des systèmes dynamiques définis sur une partie d'un espace normé.

\begin{definition}[Stabilité structurelle]
Supposons
que $X$ soit une partie de l'espace normé $E$.
Un système dynamique $f:X\to X$ est structurellement stable, s'il existe
$\varepsilon >0$ tel que toute application $g:X\to X$ vérifiant
$\|g-f\|_0=\sup_{x\in X}\|g(x)-f(x)\|<\varepsilon$ et $\lip(g-f)<\varepsilon$
est topologiquement conjuguée à $f$.
\end{definition}
Nous utilisons la notation $\lip(\varphi)$ pour désigner la
constante lipschitzienne de $\varphi:X\to Y$ application entre espaces métriques:
$$\lip(\varphi)=\sup\Big\{\frac{d(\varphi(x),\varphi(x'))}{d(x,x')}\mid x, x'\in X, x\neq x'\Big\}.$$

La définition que nous venons de donner de la stabilité structurelle est adaptée à notre contexte.

On peut se demander pourquoi on impose une condition de proximité lipschi\-tzien\-ne et pas seulement une proximité dans la topologie~$C^0$. Pour comprendre la nécessité de cette condition, nous proposons, l'exercice suivant:

\begin{exemple}
Soit $h$ un homéomorphisme strictement croissant de
$[0,1]$ sur lui-même. Montrer qu'il existe pour tout $\varepsilon >0$
deux homéomorphismes $h_1,h_2:[0,1]\to[0,1]$ tels que $\sup_{x\in[0,1]}
|h_i(x)-h(x)|<\varepsilon,i=1,2$, que $h_1$ soit l'identité sur un voisinage
de $0$ et que $h_2$ admette $0$ comme point fixe isolé.
\end{exemple}

\Subsection{Stabilité structurelle des dilatations linéaires}

\begin{theoreme}
Soit $A:E\to E$ un isomorphisme linéaire de l'espace
de Banach E. Si $\|A^{-1}\|<1$, alors $A$ est structurellement stable.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Nous allons appliquer le théorème de point fixe de Banach.
Introduisons
${\cal C}_b(E,E)$
des fonctions
continues $\theta:E\to E$ bornées, c'est-à-dire vérifiant:
$$\|\theta\|_0=\sup\{\|\theta(x)\|\mid x\in E\}<\infty.$$
L'espace ${\cal C}_b(E,E)$ est un espace de Banach pour la norme
$\|.\|_0$.

Commençons par le lemme:

\begin{lemme}
Pour tout $\eta\in {\cal C}_b(E,E)$, il existe (un unique)
$\psi\in {\cal C}_b(E,E)$ tel que $A\circ (\id_E+\psi)=(\id_E+\psi)\circ
(A+\eta)$.
De plus, dans le cas où $E=\RR^n$, si $A(\ZZ^n)\subset \ZZ^n$ et $\eta$ est $\ZZ^n$-périodique,
alors $\psi$ est aussi $\ZZ^n$-périodique.
\end{lemme}

\begin{proof}
L'équation $A\circ (\id_E+\psi)=(\id_E+\psi)\circ (A+\eta)$ s'écrit
$$
\id_E+\psi=A^{-1}\circ (\id_E+\psi)\circ (A+\eta)=\id_E+A^{-1}\circ\psi\circ(A+\eta)+A^{-1}\circ\eta
$$
ou encore $\psi=A^{-1}\circ\psi\circ(A+\eta)+A^{-1}\circ\eta$. Il suffit alors
de montrer que l'application
\begin{align*}
\Theta:{\cal C}_b(E,E)&\to {\cal C}_b(E,E)\\
\psi&\mto A^{-1}\circ\psi\circ(A+\eta)+A^{-1}\circ\eta
\end{align*}
est une contraction.
Or
\begin{align*}
\|\Theta(\psi_1)-\Theta(\psi_2)\|_0&=\|A^{-1}\circ\psi_1\circ(A+\eta)-
A^{-1}\circ\psi_2\circ(A+\eta)\|_0\\
&\leq \|A^{-1}\|\|\psi_1-\psi_2\|_0.
\end{align*}

Dans le cas où $E=\RR^n$, $A(\ZZ^n)\subset \ZZ^n$ et $\eta$ est $\ZZ^n$-périodique,
le sous-espace de ${\cal C}_b(\RR^n,\RR^n)$ constitué par les fonctions
$\ZZ^n$-périodiques est fermé et invariant par $\Theta$, donc
le point fixe de $\Theta$ est dans ce sous-espace.
\end{proof}

\begin{lemme}
Avec les notations du lemme ci-dessus,
si l'on a $\lip(\eta)<\|A^{-1}\|^{-1}-1$ alors $\id_E+\psi$ est injective.
\end{lemme}

\begin{proof}
Commençons par remarquer que l'on a, pour tout
$x,y\in E$,
$$
\|Ax-Ay\|\geq \|A^{-1}\|^{-1}\|x-y\|.
$$
En posant $f=A+\eta$, on trouve
\begin{align*}
\|f(x)-f(y)\|&\geq \|Ax-Ay\|-\|\eta(x)-\eta(y)\|\\
&\geq (\|A^{-1}\|^{-1}-\lip(\eta))\|x-y\|.
\end{align*}
Notons
alors $k=\|A^{-1}\|^{-1}-\lip(\eta)>1$, on a donc
$\|f(x)-f(y)\|\geq k\|x-y\|$, pour tout $x,y\in E$. Par récurrence,
on obtient
\[
\|f^n(x)-f^n(y)\|\geq k^n\|x-y\|,
\]
pour tout $x,y\in E$ et
tout $n\in\NN$. Comme $k>1$, ceci nous donne:
$$
\forall x,y\in E,\quad x\neq y\implies \sup_{n\in\NN}\|f^n(x)-f^n(y)\|=\infty.
\leqno(\spadesuit)
$$
Posons $h=\id_E+\psi$. Pour tout $x\in E$, on a $\|h(x)-x\|\leq\|\psi\|_0$.
De plus pour tout $n\geq 0$, on a $A^n\circ h=h\circ f^n$. Si $h(x)=h(y)$,
on trouve que $h\circ f^n(x)=h\circ f^n(y)$ pour tout $n\in\NN$ et par conséquent
\[
\sup_{n\in\NN}\|f^n(x)-f^n(y)\|\leq 2\|\psi\|_0<\infty,
\]
par ($\spadesuit$),
on en conclut $x=y$.
\end{proof}

Pour conclure que $A+\eta$ est topologiquement conjugué
à $A$, il reste à voir que $h=\id_E+\psi$ est surjectif avec un inverse
continu. Il faut, en fait, raffiner l'argument donné plus haut
en échangeant le rôle de~$A$ et~$f$ et en jouant sur l'unicité de
$\psi$. Plutôt que de s'embarquer dans un raffinement technique de
ce qui précède, nous allons donner un argument direct dans le cas où
$E=\RR$; c'est ce seul cas que nous utiliserons dans la prochaine section
pour établir la stabilité
structurelle de $\cercle \to\cercle$, $z\mto z^p$, $p\geq 2$.

\begin{lemme}
Toute application continue $h:\RR\to \RR$, vérifiant l'inégalité
$\sup_{t\in\RR}|h(t)-t|<\infty$, est surjective.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $K=\sup_{t\in\RR}|h(t)-t|$. On a
\[
h([-n,n])\supset [h(-n),h(n)].
\]
Or $h(n)\geq n-K$ et $h(-n)\leq -n+K$, par conséquent, pour $n$ grand,
$h([-n,n])\supset [-n+K,n-K]$.
\end{proof}
\skipqed
\end{proof}

\begin{remarque*}
L'argument précédent repose sur la connexité.
Le même lemme est vrai pour une application continue
$h:\RR^n\to \RR^n$, vérifiant
\hbox{$\sup_{x\in\RR^n}|h(x)-x|\!<\!\infty$}, mais la démonstration repose sur le théorème du point fixe de Brouwer (en fait, c'est équivalent au théorème de Brouwer).
\end{remarque*}

\subsection{Stabilité structurelle de $m_p$, $p\geq2$}
Le but de cette section est de démontrer le théorème:

\begin{theoreme}
Si $p\geq 2$, l'application $m_p:\cercle\to\cercle$ est structurellement
stable.
\end{theoreme}

Soit $f\!:\!\cercle\!\to\!\cercle$ une application continue telle
que $\|f-m_p\|_0\!<\!\varepsilon_1$ et $\lip(f-m_p)\!<\!\varepsilon_2$.
On a donc
$$\Big|\frac{f(z)}{z^p}-1\Big|= |{f(z)}-{z^p}|<\varepsilon_1.$$
En prenant $\varepsilon_1$ assez petit, on peut définir $\eta:\cercle\to
\RR$ par $\eta(z)=\kappa(f(z)z^{-p})$, où $k$ est l'inverse de
$\widetilde{\exp{}}$ introduit à la fin de la section {3.4}. Si on pose $\bar\eta=\eta\circ \widetilde{\exp{}}:
\RR\to \RR$, on a que $\bar\eta$ est continue, $\ZZ$-périodique et $\|\bar\eta\|_0\to 0$ quand $\varepsilon_1\to 0$. De plus, si on pose
$\ov f(x)=px+\bar\eta(x)$, on voit que $\widetilde{\exp{}}\circ
\ov f=f\circ\widetilde{\exp{}}$,
c'est-à-dire que le diagramme suivant est commutatif:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$\xymatrix{
\RR \ar[r]^-{\ov f}\ar[d]_{\wt{\exp{}}}& \RR\ar[d]^{\wt{\exp{}}} \\
\cercle \ar[r]^-{f}& \cercle
}$$

On peut aussi voir que $\lip(\bar\eta)\to 0$ quand $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$
tendent vers~$0$. Comme $p\geq 2$, l'application linéaire $A_p:\RR\to\RR$, $x\mto px$ a un inverse qui est une contraction, par conséquent, pour $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$
assez petit, on trouve un homéomorphisme $\ov h:\RR\to\RR$ de la forme
$\id_\RR+\psi$
tel que $A_p\circ \ov h=\ov h\circ \ov f$. Comme $\bar\eta$ est $\ZZ$-périodique et $A_p(\ZZ)=p\ZZ\subset\ZZ$,
on a que $\psi$ est $\ZZ$-périodique. Par conséquent
l'homéomorphisme $\ov h$ vérifie $\ov h(x+1)=\ov h(x)+1$. Il en
résulte que l'on peut définir un homéomorphisme
$h:\cercle \to \cercle$ tel que le diagramme suivant commute:\vspace*{-3pt}
$$\xymatrix{
\RR \ar[r]^-{\ov h}\ar[d]_{\wt{\exp{}}}& \RR\ar[d]^{\wt{\exp{}}} \\
\cercle \ar[r]^-{h}& \cercle
}$$
On vérifie sans peine que la relation $A_p\circ\ov h=\ov h\circ\ov f$ se traduit
par le fait que $h$ est une conjugaison topologique
entre $f$ et $m_p$.

Pour ceux qui savent ce qu'est la notion d'homotopie, nous proposons de résoudre l'exercice suivant:

\begin{enonce}[remark]{Exercice}
Si $f:\cercle\to\cercle$ est continue et homotope
à $m_p$, avec $p\geq 2$, montrer qu'il y a une semi-conjugaison entre
$f$ et $m_p$.
\end{enonce}

\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups96-02}
\end{document}

