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\let\cal\mathcal

\begin{document}
\frontmatter

\title{Équations différentielles}

\author[\initial{F.} \lastname{Laudenbach}]{\firstname{François} \lastname{Laudenbach}}

\address{Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, UMR 6629 du C.N.R.S., Université de Nantes,
44322 Nantes, France}

\email{francois.laudenbach@univ-nantes.fr}
\urladdr{https://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~laudenba/}

\thanks{Journées X-UPS 1996. Aspects des systèmes dynamiques: le premier retour. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1996, et Éditions de l'École polytechnique, 2009}

\maketitle
\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section{Point de vue qualitatif}

Avec son mémoire \emph{sur les courbes définies par une
équation différentielle}, publié entre 1881 et 1886, Henri
Poincaré a ouvert la voie pour une approche des équations
différentielles où la priorité n'est plus donnée à
la \emph{résolution} mais à une étude plus
géométrique (ou topologique) des solutions, en particulier de
leurs propriétés asymptotiques.

\Subsection{Équation différentielle du premier ordre autonome}

On se donne:
\begin{itemize}
\item
un ouvert $\Omega$ de $\RR^{n}$,

\item
une application $X:\Omega\to\RR^{n}$ de classe $C^{1}$.
\end{itemize}

Le $\RR^{n}$ contenant la source est un espace affine
(ensemble de points). Le $\RR^{n}$ but en est l'espace vectoriel
sous-jacent. L'application $X$ est un \emph{champ de vecteurs} défini
sur l'ouvert $\Omega$. Le vecteur $X(x)$ est souvent représenté
par le bipoint $\left( x, x+X(x)\right) $.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{picture}(-15,3)
\put(-6.5,1){$x$}
\put(-6.7,2.5){$X(x)$}
\put(-10,2.5){\includegraphics[height=4\unitlength,angle=-90]{fig1}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{}
\end{figure}

L'équation différentielle associée s'écrit
$$
\dot x=X(x).
$$
Une solution $\gamma$ est une application différentiable
$\gamma:I\to \Omega$,
définie sur un intervalle $I\subset \RR$ de la \emph{droite du
temps}, telle que
$$
{d\gamma\over dt} (t)=X\bigl(\gamma(t)\bigr).
$$

\skpt
\begin{remarques*}
\begin{enumerate}
\item
Par la composition $X\circ \gamma$, on
voit d'abord que $\gamma$ est
de classe~$C^{1}$, puis que $\gamma$ est $C^{k+1}$ lorsque $X$ est $C^{k}$
($k=1,2,\ldots,+\infty$).

\item
Si $\gamma_{0}$ est une solution définie sur $I_{0}$ et
si $t_{0}\in \RR$, alors $\gamma_{1}(t)=\gamma_{0}(t-t_{0}) $ est une
solution définie sur $I_{1}=I_{0}+t_{0}$. Que la translation dans le
temps envoie l'ensemble des solutions en lui-même manifeste le
caractère autonome de l'équation différentielle,
c'est-à-dire que les vecteurs $X(x)$ ne dépendent que de la
position $x$ et pas du temps.

\item
La restriction d'une solution $\gamma:I\to\Omega$ à un
sous-intervalle ouvert $J$ donne évidemment une solution
$\gamma|J:J\to \Omega$.
\end{enumerate}
\end{remarques*}

Une \emph{solution maximale} est une solution qui n'est pas la
restriction stricte d'une autre solution ou encore qui n'admet aucun
prolongement. On établit que toute solution est \og contenue\fg dans
une solution maximale; cela résulte du lemme de Zorn, si on tient
à ce résultat avant d'avoir le théorème d'unicité
locale, celui-ci le donnant à peu de frais. Une \emph{ orbite } est l'image d'une solution maximale.

Le \emph{portrait de phases} est la figure formée par l'ensemble des
orbites. Du point de vue topologique, une orbite peut être
\begin{itemize}
\item
un point d'\emph{équilibre} (zéro du champ
de vecteurs),

\item
une orbite \emph{périodique}, image d'une solution maximale
périodique de période non nulle (dans ce cas l'orbite est
homéomorphe à un cercle),\enlargethispage{\baselineskip}

\item
l'image d'une solution maximale injective (ce qui n'implique
pas que l'orbite soit homéomorphe à $\RR$; elle peut être
\emph{récurrente}, c'est-à-dire repasser une infinité de fois
arbitrairement près de chacun de ses points, comme le fait une ligne
partout dense dans un tore, et, dans ce cas, un voisinage d'un point dans
l'orbite n'est jamais connexe pour la topologie induite).
\end{itemize}

Cette classification nécessite un argument qui est laissé au
lecteur. Par ailleurs, grâce aux arguments de Baire, on peut établir
qu'une orbite compacte, non réduite à un point, est une orbite périodique.

\begin{small}
\begin{quote}
Détaillons ce fait rarement traité. Le résultat classique de Baire est le sui\-vant: \emph{Tout compact dénombrable a un point isolé}. Soit maintenant $C$ une orbite compacte d'un champ de vecteurs~$X$ donné sur un ouvert de $\RR^n$. La compacité assure l'existence d'un $\varepsilon>0$ et d'un nombre fini de disques (affines de dimension~2) fermés $T_1, \ldots, T_k$, avec la propriété suivante: si $U_i$ désigne l'intérieur du domaine balayé par $T_i$, soumis au flot de~$X$ dans l'intervalle de temps $]-\varepsilon,+\varepsilon[$ (voir \S\, 1.5), la réunion des~$U_i$ recouvre $C$. Soit $T$ la réunion des $T_i$ ; l'intersection $T\cap C$ est bien compacte. Elle est faite d'un nombre au plus dénombrable de points, car le temps de parcours entre deux passages consécutifs de $C$ sur $T$ est minoré. Cette dénombrabilité permet de diminuer légèrement les rayons des $T_i$, tout en gardant la propriété de recouvrement, de sorte qu'aucun point de $T\cap C$ ne se trouve au bord d'un des $T_i$. D'après Baire, $T\cap C$ a un point isolé. Mais tous les points d'une orbite se ressemblent~; donc tous les points sont isolés et ils sont en nombre fini. La périodicité de l'orbite est alors facile a établir puisqu'un intervalle de temps de longueur $2k\varepsilon $ suffit à la parcourir entièrement, alors même qu'elle porte une solution définie pour tout temps (voir le critère de complétude).
\end{quote}
\end{small}

\begin{enonce*}{Théorème fondamental}[forme faible]
Les orbites forment une partition de $\Omega$. Chaque orbite non
réduite à un point est une courbe lisse (sans point double ni
point de rebroussement).
\end{enonce*}

\subsection{Équation différentielle linéaire}

On se donne un endomorphisme $A$ de $\RR^{n}$ et on considère sur
$\RR^{n}$ l'équation différentielle
$$
\dot x=Ax.
$$
Les solutions maximales sont $\gamma(t)=e^{tA}x_{0}$, $t\in
\RR$. L'allure du portrait de phases ne dépend que du spectre, à
quelques détails ou exceptions près. La figure suivante
rassemble la terminologie en vigueur pour le portrait de phases
correspondant à un couple
\[
(\text{trace}(A), \text{déterminant}(A)).
\]
La
parabole correspond aux zéros du discriminant~$\Delta$ de l'équation
caractéristique de $A$.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\smaller
\centerline{\includegraphics[height=6\unitlength,angle=-90]{fig2}}
\begin{picture}(-15,-4)
\put(-5.8,2.8){$F$}
\put(-5.8,1.5){$NI$}
\put(-5.8,1){$N$}
\put(-5.8,0){$S$}
\put(-7.5,3.7){$\det$}
\put(-4.7,2.7){$\Delta=0$}
\put(-4.2,.7){trace}
\put(-4.9,1.4){n\oe ud}
\put(-4.9,1.1){répulsif}
\put(-11,1.4){n\oe ud}
\put(-11,1.1){attractif}
\put(-9.6,2.3){foyer}
\put(-9.6,2){attractif}
\put(-7.5,2.3){foyer}
\put(-7.5,2){répulsif}
\put(-8,0){selle}
\put(-8.18,3){centre}
\end{picture}
\end{center}
\caption{}
\end{figure}

La figure suivante présente les portraits de phases pour chacun des
points mar\-qués sur la verticale en pointillés: S, N, NI, F.

\begin{figure}[htb]
\noindent\mbox{}\hfill
\begin{minipage}[t]{4.5\unitlength}
\begin{center}
\centerline{\includegraphics[height=3\unitlength,angle=-90]{fig3-1}}

\smallskip
$S$: selle

\bigskip\bigskip\noindent
\centerline{\includegraphics[height=3\unitlength,angle=-90]{fig3-3}}

\smallskip
$NI$: en général, n\oe ud impropre
\end{center}
\end{minipage}\ \hfill\
\begin{minipage}[t]{4.5\unitlength}
\begin{center}
\centerline{\includegraphics[height=3\unitlength,angle=-90]{fig3-2}}

\smallskip
$N$: n\oe ud

\bigskip\bigskip\noindent
\centerline{\includegraphics[height=3\unitlength,angle=-90]{fig3-4}}

\smallskip
$F$: foyer ou miroir
\end{center}
\end{minipage}\hfill\mbox{}
\end{figure}

Le spectre de $A$ ne dépend pas de l'orientation du plan et donc ne
détermine pas le sens de rotation des spirales d'un foyer. Aussi peut-on
avoir la figure \emph{miroir } de celle dessinée
ci-dessus. La diagonalisabilité n'est pas non plus une
propriété spectrale; si la valeur propre est double, le {\it
n\oe ud impropre} correspond au cas non diagonalisable. Enfin il y a
quelques cas particuliers:
\begin{itemize}
\item
si $\mathop{\rm trace}(A)=0$, le point d'équilibre est un \emph{centre};
toutes les orbites, autres que~$0$, sont périodiques (ellipses);

\item
si $A$ est scalaire, les orbites, autres que $0$, sont les
demi-droites ouvertes issues de l'origine.
\end{itemize}

\subsubsection*{Fait remarquable} Les portraits de phases N, NI et F sont
deux à deux \emph{topologiquement conjugués}: il existe
un homéomorphisme de~$\RR^{2}$ envoyant les orbites de l'un sur les
orbites de l'autre.

\subsection{Un exemple d'équation différentielle non linéaire provenant de la mécanique}

L'équation différentielle (du second ordre) du \emph{pendule
sans frottement} est $$\ddot x =-\sin x;$$
ici toutes les constantes
physiques sont égales à $1$. En traitant la vitesse (angulaire)
comme une variable indépendante, on se ramène à une
équation différentielle du premier ordre dans $\RR^{2}$:
\begin{align*}
\dot x &= y\\
\dot y &= -\sin x
\end{align*}
Le plan des $(x,y)$ est l'espace des \emph{phases} (ou des états du
système). La variable~$x$ parcourt l'espace des \emph{configurations} (ou
des positions). Le champ de vecteurs correspondant est noté $(x,y)$.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\centerline{\includegraphics[height=6.9\unitlength,angle = -90]{fig4}}
\begin{picture}(-15,-4)
\put(-7.5,3.9){$y$}
\put(-4,2.1){$x$}
\put(-4.9,1.6){$\pi$}
\put(-10.6,1.6){$-\pi$}
\put(-6.8,.55){$E=1$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{}
\end{figure}

Soit $E(x,y)= \displaystyle {y^{2}/ 2} -\cos x$ la fonction {\it
énergie}. Comme
\[
\langle \mathop{\rm grad} E(x,y), X(x,y)\rangle=0
\]
identiquement, la fonction $E$ est une \emph{ intégrale première}
du champ: les orbites sont contenues dans les niveaux $E=\rm constante$. En fait dans cet exemple chaque orbite s'identifie à une composante connexe par arcs de l'ensemble $\{E(x,y)={\rm const.}\}$ privé des points d'équilibre.

Faisons-le par exemple pour l'arc
$\alpha$, composante de $\{E=+1\}$ dans $\{y>0\}$ ayant les points
$(-\pi,0)$ et $(\pi,0)$ dans son adhérence (voir plus loin,
critère de complétude). Comme $\alpha$ est
d'adhérence compacte, une solution maximale contenue dans $\alpha$
est définie pour tout temps de $-\infty$ à $+\infty$. Si elle ne
tendait pas vers les points d'équilibre pour $t \to\pm\infty$, la
vitesse serait minorée en module et la longueur de $\alpha$ serait
infinie, ce qui est clairement faux puisque l'adhérence de $\alpha$
est le graphe
d'une fonction différentiable au-dessus d'un intervalle fermé
borné.

\subsection{Autre exemple dans le plan}\label{subsecautreex}
\[
\begin{cases}
\dot x = -y+x(1-x^{2}-y^{2})\\\
\dot y= x +y(1-x^{2}-y^{2})
\end{cases}
\]

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\centerline{\includegraphics[height=3.4\unitlength,angle=-90]{fig5}}
\begin{picture}(-15,-4)
\put(-5.7,4){$a$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{}
\end{figure}

Pour $a\in \RR^{2}$ hors du cercle unité, une solution maximale
telle que $\gamma(0)=a$ est définie sur un intervalle
$]t_{-},+\infty[$ avec $t_{-}>-\infty$ (\emph{durée de vie} finie dans le
passé).

Le théorème de Poincaré-Bendixson énonce que, pour tout
champ de vecteurs~$X$ de classe $C^{1}$ dans le plan ayant des zéros
isolés, les
orbites ont un comportement
asymptotique analogue à ceux rencontrés sur les figures
précédentes. Précisément, si $\gamma$ est une solution
de $\dot x=X(x)$ (définie jusqu'à $t=+\infty$), on définit
son ensemble $\omega$-\emph{limite}
comme l'ensemble des valeurs d'adhérence des suites $\gamma(t_{n})$,
$t_{n}\to +\infty$. Le théorème énonce que si un tel
ensemble est compact, non vide et qu'il ne contient pas de zéros de $X$,
alors il
est formé d'une orbite périodique.

En revanche, à partir de la dimension $3$, on a des
phénomènes beaucoup plus compliqués; les orbites
périodiques d'un champ de vecteurs sont loin en général de
donner tous ses
ensembles $\omega$-limites sans zéros. Par exemple il existe un champ de
vecteurs $X$ dans $\RR^{3}$ avec les propriétés suivantes:
\begin{itemize}
\item
$X$ est tangent à un tore de révolution $T\cong
S^{1}\times S^{1}$.

\item
Pour tout $a\in T$, l'orbite ${\cal O}_{a}$ est partout dense
dans $T$.

\item
Le champ $X$ n'a ni zéros ni orbites périodiques dans
le tore plein bordé par $T$ \ (K.\,Kuperberg, 1993). Ce
dernier résultat met un terme à de longues recherches sur une
question soulevée par H.\,Seifert en 1950 concernant la
nécessité pour un champ de vecteurs sur la sphère de
dimension $3$ d'avoir une orbite périodique.

\item
Même
propriété à l'extérieur du
tore plein (très facile à obtenir).
\end{itemize}

\Subsection{Théorèmes généraux}
\begin{enonce*}{\textup{(1)} Théorème local}
Pour tout $x_{0}\in\Omega$, il existe $\varepsilon>0$ et $r>0$ avec les propriétés suivantes:
\begin{itemize}
\item
la boule fermée $B(x_{0},r)$ est contenue dans $\Omega$;

\item
pour tout $x\in B(x_{0},r) $ il existe une solution
$\gamma:{}]-\varepsilon, +\varepsilon[{}\to \Omega$ de condition initiale
$\gamma(0)=x$;

\item
pour tout $\varepsilon'\in {}]0,\varepsilon]$, toute solution
$\gamma':{}]-\varepsilon',
+\varepsilon'[{}\to \Omega$ de condition initiale $x$ est la restriction de
$\gamma$.
\end{itemize}
\end{enonce*}

\begin{remarque*}
Par translation dans le temps, mutatis
mutandis, le temps $t=0$ de la condition initiale peut être
remplacé par $t=t_{0}$.
\end{remarque*}

\begin{enonce*}{Conséquence}
Pour tout $x\in \Omega$, il existe une
unique solution maximale $\gamma:{}]t_{-}(x), t_{+}(x)[{} \to \Omega$ de
condition initiale $x$.
\end{enonce*}

En effet, si $\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ sont deux solutions
maximales de même condition initiale
$\gamma_{1}(0)=\gamma_{2}(0)=x$ définies respectivement sur des
intervalles $I_{1}$ et $I_{2}$, il y a un plus grand intervalle $J$,
$0\in J\subset I_{1}\cap I_{2}$, sur lequel
$\gamma_{1}(t)=\gamma_{2}(t)$. L'intervalle $J$ est fermé dans $I_{1}\cap I_{2}$. Par l'unicité locale, il est impossible que
$\gamma_{1}$ et $\gamma_{2}$ diffèrent au-delà d'un temps
$t_{0}$. Donc $\sup J=\sup I_{i}$ pour $i=1$ ou 2; autrement dit, une
solution prolonge l'autre. Mais comme les deux solutions sont maximales elles
coïncident dans le futur de $0$ (idem dans le passé).

\subsubsection*{Le flot} On note $t\mto\varphi(x,t)$ la solution
maximale de $\dot x=X(x)$ de condition initiale $x$. Elle vérifie:
$$
\begin{cases}
\varphi(x,0)=0\\
\dpl{\partial\varphi\over\partial t} (x,t) =X\bigl(\varphi(x,t)\bigr)
\end{cases}
$$
Considérer le flot, c'est envisager d'un même coup d'\oe il
toutes les solutions; en particulier, pour autant qu'elle soit
définie pour un certain $t$, l'application $x\mto
\varphi(x,t)$ décrit la position au temps $t$ des domaines de
$\Omega$ entraînés par la dynamique du champ de vecteurs.

\emph{Le domaine de définition du flot est ${\cal D}\subset
\Omega\times\RR$}:
$$
{\cal D}=\bigcup_{x\in \Omega}\{x\}\times{} ]t_{-}(x),t_{+}(x)[.
$$
Le domaine ${\cal D}$ est un voisinage de chacun de ses points, donc
un ouvert de $\Omega\times \RR$. C'est vrai pour $(x,0)$ d'après le
théorème local puis pour $(x,t_{0})$ d'après la remarque.

\subsubsection*{Loi du flot}
Si $t_{1},\ t_{2},\ t_{1}+t_{2}\in\
]t_{-}(x), t_{+}(x)[$, on a
$$
\varphi(x, t_{1}+t_{2})=\varphi\left( \varphi(x,t_{1}),t_{2}\right).
$$
En effet $\varphi(x,t_{1}+t)$ et
$\varphi\left( \varphi(x,t_{1}),t\right) $ sont solutions de
l'équation différentielle et coïncident pour $t=0$.

\begin{enonce*}{\textup{(2)} Théorème de régularité}
Le flot est de classe $C^{1}$.
\end{enonce*}

La différentiabilité est difficile mais la continuité
résulte de techniques assez élémentaires de majoration a
priori (lemme de Gronwall).

Le champ de vecteurs $X$ est dit \emph{complet} si le flot est défini
pour tout temps: ${\cal D} =\Omega\times \RR$. Soit $t\in \RR$
fixé; on pose $\varphi_{t}(x)=\varphi(x,t)$. Alors:
\begin{enumerate}
\item
$\varphi_{t}$ \emph{est un difféomorphisme de $\Omega$}
\begin{itemize}
\item
bijectif car $\varphi_{-t}\circ
\varphi_{t}=\varphi_{t}\circ \varphi_{-t}= \mathop{\rm Id}_{\Omega}$,
\item
différentiable comme l'est le flot,
\item
d'inverse différentiable car $\varphi_{-t}$ est
différentiable.
\end{itemize}
\item
$t\mto\varphi_{t}$ \emph{est un homomorphisme de groupes}
$\RR\to{\rm Diff}(\Omega)$.
\end{enumerate}

\begin{enonce*}{Critère de complétude}
Si l'orbite ${\cal O}_{x}=\bigcup_{t\in]t_{-}(x),t_{+}(x)[}\,\varphi(x,t)$ est d'adhé\-rence compacte, alors $]t_{-}(x),t_{+}(x)[{} =\RR$; autrement dit, la
durée de vie de l'orbite est infinie dans le futur comme dans le passé.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Supposons $t_{+}(x)<+\infty$. Par
l'hypothèse de compacité il existe une suite $t_{n}\to t_{+}(x)$
telle que la suite $x_{n}=\varphi(x,t_{n})$ converge; soit $a=\lim
x_{n}$. On sait que ${\cal D}$ contient
un voisinage $V\times ]-\varepsilon,+\varepsilon [$ de $(a,0)$. Pour $n$ assez grand, $x_{n}\in V$ et $t_{+}(x)-t_{n}<\varepsilon$. Les formules
\begin{align*}
t\mto\begin{cases}
\varphi(x,t)&\text{si }t \in{}]t_{-}(x),t_{+}(x)[\\
\varphi(x_{n},t-t_{n})&\text{si } t\in{}]t_{n}-\varepsilon,
t_{n}+\varepsilon [
\end{cases}
\end{align*}
donnent deux solutions coïncidant pour
$t=t_{n}$. Donc elles se laissent réunir pour donner une solution de
condition initiale $x$ définie sur
$]t_{-}(x),t_{n}+\varepsilon[$. C'est une contradiction puisque
$t_{n}+\varepsilon>t_{+}(x)$.
\end{proof}

\subsection{Conjugaison topologique d'un foyer et d'un n{\oe}ud}
Soit $\dot x= Ax$ où $A$ est une matrice de similitude dilatante;
le flot est $\phi(x,t)=e^{At}x$. Soit $\dot y=By$ où $B$ est une
matrice diagonale à valeurs propres positives; soit
$\psi(y,t)=e^{Bt }y$. On prouve ci-dessous qu'\emph{il existe un
homéomorphisme $h$ conjuguant les deux flots}: pour tout $x\in
\RR^{n}$ et tout $t\in \RR$,
$$
\psi(h(x),t)=h(\phi(x,t)).
$$

Pour tout $x\not=0$, il existe un unique temps
$\theta(x)$ tel que $\phi(x,\theta(x))$ appartienne au cercle
unité $S^{1}$. En effet un calcul simple donne:
$$
{\partial\ \over\partial t}\|\phi(x,t)\|^{2}>0,\ \
\|\phi(x,t)\|\mathop{\to}\limits_{t\to-\infty}0 \ \ {\rm et}\ \
\|\phi(x,t)\|\mathop{\to}\limits_{t\to+\infty}+\infty;
$$
la première inégalité traduit le fait géométrique
que le champ de vecteurs, \emph{générateur infinitésimal} du
flot $\phi$, n'est jamais tangent aux cercles centrés à l'origine.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, $\theta(x)$
existe et est unique. Le théorème des fonctions implicites,
appliqué à l'équation $\|\phi(x,t)\|^{2}-1=0$, donne que $\theta $
est $C^{\infty}$. Sur $\RR^{2}\setminus 0$ la conjugaison
cherchée est donnée par
$$
h(x)=\psi\Bigl(\phi(x,\theta(x)), -\theta(x)\Bigr).
$$
Quand $\|x\|\to 0$, $\theta(x)$ tend vers $+\infty$ et donc $h(x)$ tend vers 0,
parce qu'il
appartient à $\psi(S^{1}, -\theta(x))$. Ainsi $h$ se
prolonge en un homéomorphisme de $\RR^{2}$, différentiable
partout sauf en 0, en posant $h(0)=0$. Par construction cet
homéomorphisme conjugue les deux flots et donc les portraits de
phases.

En revanche, $h$ n'est en général pas différentiable à l'origine.
S'il l'est, par dérivation d'application composée, on a
$$
Dh(0)\cdot A= B\cdot Dh(0)
$$
Comme les spectres de $A$ et de $B$ sont disjoints, cette relation
implique $Dh(0)=0$. Donc même si $h$ est différentiable à
l'origine, son inverse ne l'est pas.

La conjugaison topologique entre un foyer et un n\oe ud
impropre sera abordée dans la partie suivante.

\section{Stabilité des équilibres}
Les champs de vecteurs gradients donnent un bon exemple où la
dynamique est complètement comprise, d'ailleurs très simple:
les ensembles limites sont les points d'équilibre. Pour un tel
champ, la
stabilité des points d'équilibre consiste seulement à
savoir si un point critique de fonction est un minimum local ou non. La
discussion de la stabilité des points
d'équilibre pour les champs de vecteurs qui ne sont pas des
gradients relève d'idées similaires. L'exposé se
terminera par un bref aperçu sur la stabilité des orbites
périodiques; on se demandera par exemple à quelle condition une
orbite périodique est un \emph{attracteur}, question qui fera entrer
dans le monde des dynamiques discrètes.

\subsection{Dynamique de gradient}
Soit $f:\RR^{n}\to \RR$ une fonction de classe $C^{2}$. On suppose que
les sous-niveaux de $f$ sont compacts. (Par définition, le
sous-niveau de la valeur $c\in \RR$ est
$E(c)=f^{-1}\bigl(]-\infty,c]\bigr)$). Soit $X=-\mathop{\rm grad} f$ (le
signe $-$ est l'usage des \emph{topologues}); c'est
un champ de classe $C^{1}$. Soit $\phi$ son flot. On a
$$
{\partial\ \over \partial t}\Bigl(f\circ\phi(x,t)\Bigr)=-\| \mathop{\rm
grad}f\bigl(\phi (x,t)\bigr)\|^{2}
$$
qui est strictement négatif sauf si $x$ est un point critique de
$f$, c'est-à-dire un point où $\mathop{\rm grad}f(x)=0$. Pour $x$ fixé,
la demi-orbite des temps $\geq0$ est contenue dans le compact
$E(f(x))$. Donc $\phi(x,t)$ est défini pour tout $t>0$ en vertu du
critère de complétude donné précédemment.

\begin{theoreme*}
On suppose que $f$ n'a qu'un
nombre fini de points critiques dans toute partie compacte. Alors
$\phi(x,t)$ tend vers un point critique pour $t\to +\infty$.
\end{theoreme*}

\skpt
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
On établit d'abord le fait suivant:
\emph{si $t_{n}\to +\infty$ et si $x_{n}=\phi(x,t_{n})\to a$, alors $\mathop{\rm grad}f(a)=0$.}

En effet la suite $f(x_{n})$ tend en décroissant
vers $f(a)$. Comme $t\mto f(\phi(x,t))$ est monotone
décroissante, on a $f(\phi(x,t))>f(a)$ pour tout $t\geq 0$.

Par ailleurs, si $a$ n'est pas un point critique,
$f(\phi(a,1))<f(a)$. Par continuité du flot,
$f(\phi(x_{n},1))\to f(\phi(a,1))<f(a).$ Mais par la loi du flot,
$f(\phi(x_{n},1)) =f(\phi(x,t_{n}+1))>f(a) $. Contradiction.

\item
Si $\Bigl(\phi(x,t)\Bigr)_{t\geq 0}$ a deux valeurs
d'adhérence $a_{0}$ et $a_{1}$, on a la figure suivante:

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\centerline{\includegraphics[height=6.8\unitlength,angle=-90]{fig6}}
\begin{picture}(-15,-4)
\put(-4.4,1.1){$a_{1}$}
\put(-9.6,1.1){$a_{0}$}
\put(-11,2.5){$S$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{}
\end{figure}

Soit $S$ une petite sphère centrée en $a_{0}$ évitant tous
les points critiques. Par le théorème des valeurs
intermédiaires appliqué à $t\mto
\|\phi(x,t)-a_{0}\|^{2}$, on voit que l'orbite ${\cal O}_{x}$ coupe $S$
une infinité de fois. Comme $S$ est compact, $S$ contient une valeur
d'adhérence de ${\cal O}_{x}$, c'est-à-dire un point critique en
vertu du point (1). Contradiction.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

Les minimums locaux sont des points d'équilibre {\it
asymptotiquement stables}. Les points critiques qui ne sont pas des
minimums locaux sont \emph{instables}. Ces concepts sont expliqués
ci-dessous.

\begin{definition*}
Soit $X$ un champ de vecteurs $C^{1}$ et soit
$\phi$ son flot. Un point d'équilibre est stable si, pour tout
$\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que
\[
\|x-a\|\leq \delta\implique\|\phi(x,t)-a\|\leq \varepsilon
\]
pour tout $t>0$ (en particulier $t_{+}(x)=+\infty$). Le point d'équilibre est asymptotiquement stable, s'il est stable et si, pour tout $x$ assez proche de $a$,
$\phi(x,t)\mathop{\to}\limits_{t\to+\infty}a$.
\end{definition*}

\begin{exemple*}
Pour le pendule sans frottement, le point
$(x=0,\, y=0)$ est un point d'équilibre stable et non
asymptotiquement stable. Les orbites des points voisins de l'origine
sont des courbes fermées dont le diamètre tend vers 0 quand le
niveau d'énergie correspondant tend vers le minimum absolu.
\end{exemple*}

\begin{enonce*}{Critère de Liapounov}
Soit $L:V\to \RR$ une fonction continue, définie sur un voisinage $V$ de $a$ et
admettant $a$ pour minimum local strict. On suppose que, pour tout $x\not=a$, $t\mto L\circ\phi(x,t)$ est strictement décroissante (sur l'intervalle contenant $0$ où elle est définie). Alors $a$ est un point d'équilibre
asymptotiquement stable.
\end{enonce*}

La démonstration est en tout point analogue à celle donnée
pour les dynamiques de gradient et n'est pas reproduite ici. Une
fonction de Liapounov est une
fonction qui satisfait aux hypothèses de ce critère.

\begin{exemple*}
Le pendule avec frottement, dont le mouvement
est régi par l'équa\-tion différentielle:
$$
\ddot x=-\sin x -k\dot x\quad(k>0),
$$
qui équivaut au système du premier ordre
$$
\begin{cases}
\dot x = y\\
\dot y=-\sin x -ky.
\end{cases}
$$
La fonction énergie $E(x,y)={y^{2}/ 2}-\cos x$ est
une fonction de Liapounov; en effet
$$\langle \mathop{\rm grad}E,X\rangle=-ky^{2}\leq 0$$
et, hors des points d'équilibre, aucune
solution de l'équation différentielle n'est contenue dans un
niveau constant de $E$. D'après le critère, l'origine est un
point d'équilibre asymptotiquement stable.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\centerline{\includegraphics[height=6\unitlength, angle = -90]{fig7}}
\begin{picture}(-15,-5)
\put(-4.5,2.2){$x$}
\put(-7.5,5){$y$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{: $0<k<2$}
\end{figure}
\end{exemple*}


\subsection{Critère spectral pour la stabilité asymptotique}

On suppose que $0\in \RR^{n}$ est un point d'équilibre. Par un
développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0, on peut
écrire
$$
X(x)=Ax+X_{1}(x)
$$
avec $X_{1}(x)=\left( \dpl\int_{0}^{1}[DX(tx)-A]dt\right) x={\rm o}(\|x\|)$.
\begin{theoreme*}
Si les valeurs propres de $A$
sont de parties réelles $<0$, l'origine est un point d'équilibre
asymptotiquement stable.
\end{theoreme*}

\begin{proof}[Démonstration (d'après Pontryagin)]
Dans le cas d'un champ linéaire ($X_{1}(x)$ $=0$), les solutions sont
$x(t)=e^{tA}x_{0}$. Grâce à la réduction de Jordan de $A$
sur $\CC$ on établit que, si les valeurs propres sont
majorées par $-a<0$, il vient
$$
\|e^{tA}\|\leq {\rm const.}\, e^{-at} \leqno(*)
$$
Donc, pour $t\to +\infty$, on a $\|x(t)\|\to 0$, ce qui donne le
résultat dans le cas linéaire.

Par ailleurs, il existe une
fonction de Liapounov naturelle pour le champ $X_{0}(x)=Ax$, à
savoir:
$$
L(x)=\int_{0}^{+\infty}\|e^{tA}x\|^{2}\,dt.
$$
Cette intégrale est convergente d'après ($*$). La fonction $L$ est
une forme quadratique définie positive. Enfin,
\begin{align*}
\langle\mathop{\rm grad}L(x),X_{0}(x)\rangle &=
2\int_{0}^{+\infty}\langle e^{tA}x,e^{tA}Ax\rangle\, dt\\
&=\int_{0}^{+\infty}{d\ \over dt}\left( \|e^{tA}x\|^{2}\right) \,dt\\
&=-\|x\|^{2},
\end{align*}
est $<0$ si $x\not=0$, ce qui prouve que $L$ est une fonction de
Liapounov pour $X_{0}$. La même fonction est une fonction de Liapounov pour $X$ au voisinage
de l'origine. En effet
\begin{align*}
\langle\mathop{\rm grad}L(x),X_{1}(x)\rangle &=
2\int_{0}^{+\infty}\langle e^{tA}x,e^{tA}X_{1}(x)\rangle\, dt\\\
&={\rm o}(\|x\|^{2}).
\end{align*}
Donc $\langle\mathop{\rm grad}L(x),X(x)\rangle =-\|x\|^{2}+{\rm
o}(\|x\|^{2})$ est strictement négatif pour $x$ voisin de~0 distinct
de~0.
\end{proof}

\begin{remarque*}
En considérant une telle fonction de
Liapounov on peut cons\-truire une
conjugaison topologique entre un n\oe ud impropre et un n\oe ud propre.

Précisément soit $X$ et $Y$ deux champs de vecteurs
linéaires dont
les portraits de phases sont respectivement un n\oe ud impropre et un
n\oe ud propre. Quitte à changer l'un ou l'autre de ces champs en
son opposé, on peut supposer que l'origine est stable pour les
deux. Soient~$\phi$ et $\psi$ les flots respectifs. Soit alors $L$ la
fonction donnée par
$$
L(x)=\int_{0}^{+\infty}\|\phi(x,t)\|^{2}\,dt.
$$
Il existe une unique fonction $\theta:\RR^{2}\setminus \{0\}\to \RR$ telle que
$\phi(x, \theta(x))\in L^{-1}(1)$ et cette fonction est
différentiable par les mêmes arguments que dans l'exposé
précédent. On
choisit un difféomorphisme
$h_{0}:L^{-1}(1)\mathop{\to}\limits^{\cong}S^{1}$ entre
l'ellipse $L^{-1}(1)$ et le cercle unité. La conjugaison
cherchée est donnée sur
$\RR^{2}\setminus\{0\}$ par la formule suivante:
$$
h(x)=\psi\Big[h_{0}\Bigl(\phi\bigl(x,\theta(x)\bigr)\Bigr), -\theta(x)\Big]
$$
Elle s'étend continûment à tout le plan en posant $h(0)=0$.
\end{remarque*}

\Subsection{Points d'équilibre instables sur deux exemples}
\subsubsection*{\textup{(a)} Pendule sans frottement}
Pour connaître le portrait de phases au voisinage du point
d'équilibre $(\pi, 0)$, il suffit d'y tracer les courbes d'énergie
constante. La fonction énergie $E$
admet $(\pi,0)$ comme point critique et en ce point la forme quadratique
$D^{2}E(\pi,0)$ est non dégénérée de signature
$(-,+)$. Le lemme de Morse assure qu'il existe un difféomorphisme
$g:V\to W$, où $V$ et $W$ sont des voisinages respectivement de
$(\pi,0) $ et de $(0,0)$ dans le
plan, tel que:
\begin{align*}
g(\pi,0)&=(0,0)\\
Dg(\pi,0)&=\left(
\begin{array}{cc}
1 &0\\
0 &1
\end{array}
\right)\\
E(x,y)&=q\circ g(x,y),\quad\forall x,\, y \in V
\end{align*}
où $\displaystyle {q(x,y)=1-{x^{2}\over 2}+{y^{2}\over 2}}$.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{.8cm}
\smaller
\centerline{\includegraphics[height=14.3\unitlength,angle=-90]{fig8}}
\begin{picture}(-15.5,-4)
\put(-.5,1.9){$x$}
\put(-11.2,1.9){$x-\pi$}
\put(-12.85,3.2){$y$}
\put(-2.2,3.2){$y$}
\put(-7.9,2.2){$g$}
\put(-9.5,1.3){(lemme de Morse)}
\put(-14.4,-.4){lignes $E=\rm const.$}
\put(-3.6,-.4){lignes $q=\rm const.$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{}
\end{figure}

\subsubsection*{\textup{(b)} Pendule avec frottement}
Au voisinage de $(\pi,0)$ on
peut écrire un déve\-lop\-pe\-ment limité du champ de vecteurs:
$$
X(x,y) =A\left( \begin{array}{c}x-\pi\\ y\end{array}\right) +{\rm o}(|x-\pi|+|y|),\qquad
A=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&-k\end{array}\right).
$$
Le champ de vecteurs $X_{0}(x,y)=A\begin{smallpmatrix}x\\ y\end{smallpmatrix}$ est le
champ de vecteurs dit \emph{ linéarisé} du champ $X$ au
point d'équilibre.
Le point d'équilibre $(\pi,0)$ est \emph{hyperbolique}, ce qui signifie que
toutes les valeurs propres de $ A$ sont
de parties réelles non nulles; ici l'une est réelle positive et
l'autre réelle négative. L'hypothèse d'hyperbolicité
permet d'appliquer les deux théorèmes suivants:

\subsubsection*{\textup{(1)} Le théorème de la variété stable}
Énoncé en dimension 2 avec deux valeurs propres réelles
de signes opposés, il affirme l'existence de 4 {\it
séparatrices} formant deux courbes lisses tangentes au champ $X$ et
aux directions propres de $A$ au point d'équilibre. Le
théorème général est dû à Hartman, mais on trouve un
traitement du cas particulier de la dimension 2 dans le livre de
Pontryagin.

\subsubsection*{\textup{(2)} Le théorème de Hartman--Grobman} Le portrait de
phases au voisinage du point d'équilibre est topologiquement
conjugué au portrait de phases du champ de vecteurs
linéarisé $ X_{0}$. En fait il existe un
homéomorphisme d'un voisinage du point $(\pi,0)$ sur un voisinage de
$(0,0)$ conjuguant les flots locaux de $X$ et de $X_{0}$.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\smaller
\setlength{\unitlength}{.8cm}
\centerline{\includegraphics[height=13.4\unitlength,angle=-90]{fig9}}
\begin{picture}(-15,-4)
\put(-.7,1.9){$x$}
\put(-10.7,1.9){$x-\pi$}
\put(-12.2,3.2){$y$}
\put(-2.2,3.2){$y$}
\put(-9.7,1.3){(théorème de Hartman)}
\end{picture}
\end{center}
\caption{}
\end{figure}

La question de la conjugaison
différentiable met en jeu des conditions de \emph{non-résonance}
entre les valeurs propres du linéarisé
(théorème de S. Sternberg); en un certain sens cette question
est au-delà de l'étude qualitative des équations
diffé\-ren\-tielles.

\subsection{Orbites périodiques attractantes}
Il s'agit de reconnaître quand une orbite périodique est
asymptotiquement stable au sens de Liapounov. On se donne un champ de
vecteurs $X$ sur un domaine de~$\RR^{n}$. On suppose que l'orbite ${\cal
O}_{a}$ du point $a$ est périodique de période~$T$. Soit $\phi$
le flot de~$X$. La question
est de savoir sous quelle condition on peut trouver un voisinage~$V$ de~${\cal O}_{a}$ tel que, pour tout $x\in\nobreak V$, la distance de $ \phi(x,t)$
à ${\cal O}_{a}$ tend vers 0 quand $t$ tend vers $+\infty$. On
introduit pour cela l'application de Poincaré dite de \emph{\hbox{premier retour}}.

\subsubsection*{L'application de Poincaré}
Soit $H$ un hyperplan affine passant par $a$ et transverse à $X(a)$,
ce qui signifie que $X(a)$ dirige un supplémentaire de l'espace
vectoriel $\overrightarrow{H}$ sous-jacent à $H$.

\begin{proposition*}
Il existe un voisinage ouvert $V$
de $a$ dans $H$ et une fonction $C^{1}$, $\theta:V\to \RR$, telle
que $\phi(x,\theta(x))\in H$, pour tout $x\in V$, et que $\theta (a)=T$.
\end{proposition*}

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\smaller
\centerline{\includegraphics[height=6\unitlength,angle=-90]{fig10}}
\begin{picture}(-15,-5)
\put(-7.9,2.9){$P(x)$}
\put(-7,1.95){$x$}
\put(-6.8,1.35){$a$}
\put(-6.4,2){$V$}
\put(-6.4,.4){$H$}
\put(-4.2,3.2){$O_{a}$}

\end{picture}
\end{center}
\caption{}
\end{figure}

Partant d'un point de $H $ proche de $a$ la solution recoupe $H$
au bout d'un temps voisin de $T$. L'application $x\in V\mto
\phi(x,\theta(x))$ est notée $P$ et est appelée l'application de
Poincaré de premier retour sur la transversale $H$.

\skpt
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
On commence par trouver un ouvert $W$ de $H$, voisinage de $a$, et
$\varepsilon>0$ tels que $\psi:=\phi|W\times{}]-\varepsilon,
+\varepsilon[{}\to\,\RR^{n}$ soit un difféomorphisme sur un ouvert de
$\RR^{n}$. Cela est donné par le théorème d'inversion
locale. Il s'applique car la différentielle $D\psi(a,0)$ induit
l'identité sur $\overrightarrow{H}$ et vérifie $\displaystyle{\partial
\psi/\partial t}(a,0)=X(a)$. L'hypothèse de transversalité
assure que $D\psi(a,0)$ est surjective, donc inversible.

\item
Soit $U$ l'image de $\psi$. Par continuité de $x\mto
\phi(x,T)$ on trouve un voisinage ouvert $V$ de $a$ dans $W$ tel que
$x\!\in\! V$ implique $\phi(x,T)\!\in\!U$. Donc
$$
\phi(x,T)=\psi(y,\tau)
$$
pour un couple $y\in W,\ \tau\in{}]-\varepsilon,+\varepsilon[$. Comme $\psi $ est
un difféomorphisme, $x\mto \tau$ est $C^{1}$. Prenons alors
$\theta(x)=T-\tau(x)$. Par la loi du flot, il vient $y=\phi(x,\theta(x))$.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

La différentielle de $P$ en $a$ est reliée à la
différentielle en $a$ de $x\mto \phi_{T}(x)=\phi(x,T)$ de la fa\c
con suivante. Dans une base de $\RR^{n}$ dont les premiers vecteurs
appartiennent à $\overrightarrow{H}$ et dont le dernier est $X(a)$,
la matrice jacobienne $D\phi_{T}(a)$ prend la forme
$$
D\phi_{T}(a)=\left(
\begin{array}{cccc}
&&&0\\
&DP(a)&&\vdots\\
&&&0\\
\times&\cdots&\times&1
\end{array}\right)
$$
où $DP(a)$ désigne la matrice jacobienne en $a $ de
l'application de Poincaré $P$.

Par ailleurs, $D\phi_{T}(a)$ est la solution au temps $T$ de l'équation
différentielle linéaire (non autonome,
c.-à-d. dépendant du temps) dans l'espace des matrices réelles
$n\times n$
$$
\dot M= DX \bigl(\phi(a,t)\bigr)\circ M
$$
de condition initiale $M(0)=\mathop{\rm Id}$. Ici $\circ$ désigne le produit
matriciel et $DX(\cdot)$ désigne la
différentielle de $X$ au point indiqué, c'est-à-dire la
matrice des dérivées partielles $\displaystyle{\partial
X_{i}/\partial x_{j}}(\cdot)$ où $X_{1},\ldots,X_{n}$ sont les
composantes de $X$.

En général, on ne sait pas
résoudre explicitement cette équation différentielle. On a
seulement le théorème de la \emph{divergence} (théorème
de Liouville):

\emph{$\det D\phi_{T}(a)$ est la solution au temps $T$ de l'équation différentielle
linéaire dans~$\RR$, dépendant du temps,
$$\dot y={\rm div}X(\phi(a,t))y$$
de condition initiale $y(0)=1$.} Donc:
$$
{\rm det} D\phi_{T}(a)=e^{\int_{0}^{T}{\rm div}X\bigl(\phi(a,t)\bigr)dt}.
$$
Par exemple si $n=2$ et si la divergence du champ $X$ est strictement
négative le long de l'orbite ${\cal O}_{a}$, on déduit que
$DP(a)$ (qui est un nombre réel, strictement positif parce que
$D\phi_{T}(a)\!\in\! Gl_{+}(n)$) est $<\!1$. L'orbite périodique est
alors attractante; c'est ce qui se passe dans l'exemple \ref{subsecautreex}.

\begin{enonce*}{Théorème de stabilité}
Si le spectre de
$DP(a)$ est contenu dans l'inté\-rieur du disque unité, alors il
existe un voisinage $V$ de $a$ dans la transversale $H$ avec les
propriétés suivantes:
\begin{enumerate}
\item
$P(V)$ est contenu dans $ V$, ainsi $P^{n}=P\circ\cdots\circ P$ est
défini sur~$V$ pour tout $n>0$.
\item
Si $x\in V$, $P^{n}(x)\to a$ pour $n\to +\infty$ et la
distance $\phi(x,t)$ à ${\cal O}_{a}$ tend vers $0$ quand $t$ tend
vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

Cet énoncé est une version discrète du critère de
Liapounov sur la stabilité des équilibres. On notera qu'il y a
une exponentielle entre la condition spectrale de Liapounov et la
condition ci-dessus. Cela n'a rien d'étonnant car, si $a$ est un
point d'équilibre, on a:
$$
D\phi_{T}(a)=e^{TDX(a)}.
$$

\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups96-01}
\end{document}

