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\begin{document}
\frontmatter

\title{Volumes mixtes des corps convexes}

\author[\initial{B.} \lastname{Teissier}]{\firstname{Bernard} \lastname{Teissier}}

\address{URA 762 du CNRS, DMI, Ecole Normale Supérieure,
45, Rue d'Ulm, 75005 Paris}

\email{bernard.teissier@imj-prg.fr}
\urladdr{https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/}

\thanks{Journées X-UPS 1995. Aspects géométriques et combinatoires de la convexité. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1995}

\maketitle
\vspace*{-3\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section*{Introduction}
Le but de ces exposés est de présenter un chapitre de l'étude des corps convexes qui permet de prouver un raffinement de l'inégalité isopérimétrique et qui fournit un critère \emph{numérique} d'égalité à translation près de deux corps convexes permettant de caractériser le cas d'égalité.

Pour commencer je reproduis un aperçu historique publié il y a quelques années.

\section{Le problème isopérimétrique}

\begin{quote}
\smaller
\emph{Cependant, les théories ont leurs commencements: des allusions
vagues, des essais
inachevés, des problèmes particuliers; et même lorsque ces
commencements importent peu
dans l'état actuel de la Science, on aurait tort de les passer sous
silence.}\par\nopagebreak
\hfill Frédéric Riesz, 1913\par\vskip.5cm
\end{quote}

Le problème isopérimétrique n'est peut-être pas un \og grand problè\-me\fg, mais il est certainement un vieux problème. Son origine mythique est la nécessité pour la reine Didon d'enfermer la plus grande surface possible avec une peau de boeuf; elle eut l'idée de la découper en lanières et dut ensuite se demander quelle forme donner à un fil pour qu'il enferme la plus grande surface possible. J'appellerai problème isopérimétrique le problème consistant à montrer que parmi tous les domaines du plan ayant un périmètre donné, le disque est celui qui a la plus grande aire. Je l'ai choisi pour illustrer comment un problème d'énoncé fort simple peut en Mathématiques donner naissance à des concepts assez profonds pour qu'ils aillent ensuite enrichir des branches de Mathématiques a priori fort éloignées. Ce problème de géométrie euclidienne a fécondé l'analyse, puis plus récemment la géométrie riemannienne et la géométrie algébrique. Sa version multidimensionnelle a permis en 1982 de donner une démonstration fulgurante d'un problème de combinatoire posé en 1926 et qui avait résisté à de nombreux efforts. Je veux aussi insister sur le fait qu'il n'a pu être posé clairement que vers le début du 18ème siècle et n'a été résolu qu'à la fin du 19ème alors que les Grecs de l'époque classique étaient déjà tout-à-fait conscients de la propriété extrémale du cercle. On insiste souvent à juste titre sur le fait que les Mathématiques inventent des concepts dont l'utilité \og pratique\fg n'apparaît parfois que plusieurs décennies ou siècles plus tard, et que la recherche mathématique est donc un investissement à très long terme. En sens inverse, il est aussi vrai que des problèmes \og concrets\fg peuvent contribuer à créer des concepts mathématiques pendant plusieurs siècles; l'histoire que je vais esquisser est en fait celle d'une longue méditation mathématique, commencée il y a au moins 2400 ans et qui n'est pas encore terminée, sur les concepts d'aire et de volume, et sur le concept d'extremum. Je dois aussi souligner que la motivation de ces recherches n'était pas dans les applications. Les architectes navals n'ont pas attendu la démonstration rigoureuse de l'inégalité isopérimétrique pour faire des hublots ronds. Comme le dit joliment T.\,Bonnesen dans l'introduction de son livre \og sur le problème des isopérimètres et des isépiphanes\fg(1929): \og Et ces propriétés du cercle et de la sphère sont tellement intuitives que, pour l'homme de bon sens, il paraît superflu d'en donner des démonstrations. Pour les géomètres au contraire la démonstration exacte des théorèmes en question a présenté des difficultés assez grandes\fg. Cependant les retombées pratiques des mathématiques au développement desquelles le problème isopérimétrique a contribué sont incalculables et dépassent de très loin ce qu'aurait pu donner une réflexion \og pilotée par les applications\fg (pour n'en citer qu'une classe: les calculs sur les vibrations des structures, par exemple les ponts).

C'est là une autre idée que j'aimerais illustrer dans cet exposé: la recherche de la rigueur est un puissant moteur pour l'invention, et fournit ainsi des champs d'application bien plus vastes que la \og vérité utile\fg que l'on cherchait à établir.

Il est possible que le premier énoncé mathématique du problème isopérimétrique soit dû à Archimède (287-212 av. J.C.) mais la première solution d'un problème analogue qui soit parvenue jusqu'à nous est celle de Zenodorus qui vivait entre 200 av. J.C. et 90 après J.C. Celui-ci prouve par exemple que parmi tous les polygones ayant un nombre donné de côtés et inscrits dans un cercle donné, c'est le polygone régulier qui enferme la plus grande aire.\par Polybius (201-120 av. J.C.) insiste sur le fait que les gens mesurent l'aire des villes et des camps par leur circonférence; il ajoute: \og l'ennui est que nous avons oublié nos leçons de géométrie\fg Proclus, qui vivait au cinquième siècle, mentionne des procès opposant (au premier siècle?) des membre de communautés d'agriculteurs grecs où la terre devait être également répartie entre tous, mais l'était selon le périmètre\ldots\ avec les résultats que l'on pense au moment de la récolte. Le rapport entre le périmètre et l'aire n'était donc pas tout-à-fait clair bien que la propriété d'extrémalité du cercle ait été clairement vue, au moins parmi les courbes que connaissaient bien les Grecs: coniques et polygones. Il paraît d'ailleurs que certains commentateurs tardifs mettaient en doute la proposition d'Euclide selon laquelle tous les triangles qui ont une base donnée et dont le sommet opposé parcourt une droite parallèle à la base enferment la même aire, pour la raison que l'on peut faire tendre le périmètre vers l'infini en éloignant le sommet sur la parallèle. Le problème théorique semble ensuite reposer jusqu'au 18ème siècle, et va se réveiller dès que le calcul infinitésimal donnera des techniques pour étudier le problème que voici: étant donnés un ensemble de courbes, et une grandeur associée à chaque courbe de l'ensemble (par exemple un temps de parcours, une variation d'énergie), déterminer la ou les courbes qui rendent maximale ou minimale cette grandeur; c'est la naissance du calcul des variations comme branche de l'analyse. La solution des premiers problèmes de calcul des variations, comme celui de la \og courbe brachystochrone\fg qui est la courbe joignant deux points donnés d'un plan vertical le long de laquelle le temps de chute d'une bille sans frottement est minimal, cette solution, dis-je, est obtenue en écrivant qu'un extremum (maximum ou minimum) \og annule la dérivée par rapport à la courbe\fg; cela conduit pour chaque problème à des équations appelées équations d'Euler. Les courbes qui satisfont ces équations sont candidates à donner le maximum ou le minimum cherché, mais il se peut aussi qu'aucune de ces courbes ne donne l'extremum, et qu'en fait cet extremum ne soit pas atteint. Décider de l'existence de l'extremum est la difficulté majeure du calcul des variations mais comme, dans les cas analogues à celui de la brachystochrone, les équations d'Euler peuvent être assez facilement intégrées pour donner explicitement la solution cherchée, le problème de l'existence de la solution ne se posait pas.

C'est je crois une des grandes contributions du problème isopérimétrique que d'avoir obligé les mathématiciens à poser le problème de l'existence des solutions des problèmes variationnels, et voici comment: Les équations d'Euler n'ont de sens que sous des hypothèses de dérivabilité, donc de régularité des courbes considérées, qui ne sont pas du tout naturelles dans le problème isopérimétrique. Après des travaux analytiques pas vraiment concluants de Jacob et Johan Bernoulli et de Brook Taylor les géomètres du début du 19ème avaient donc cherché des solutions géométriques et Jacob Steiner avait inventé une construction géométrique, la symétrisation de Steiner, qui associe à chaque domaine qui n'est pas un cercle et à une direction de droite un nouveau domaine ayant la même aire et un périmètre plus petit. Steiner a cru pouvoir en déduire une propriété d'extrémalité du cercle équivalente à la propriété isopérimétrique: parmi les courbes qui enferment une aire donnée, il a le plus petit périmètre. Mais il supposait explicitement l'existence d'un extremum. O. Perron a fait observer que le même schéma de démonstration prouverait que \og le nombre 1 est le plus grand nombre entier\fg; à tout nombre entier $a$ différent de 1 on peut en effet associer un nombre entier plus grand, son carré $a^2$. Cet argument montre en fait que le nombre 1 est le seul candidat possible pour réaliser le maximum, et l'erreur de cette \og démonstration\fg est évidemment qu'ici le maximum n'existe pas. Il a ainsi souligné que le problème essentiel est celui de prouver l'existence d'une courbe ayant la propriété extrémale, par exemple en trouvant des condition nécessaires et suffisantes pour qu'une courbe soit extrémale.

C'est à peu près à la même époque que Lejeune-Dirichlet affirmait la possibilité de prolonger une fonction donnée sur le bord d'un domaine $D$ du plan en une fonction $f$ définie à l'intérieur de celui-ci et minimisant une \og énergie\fg. Les sources physiques de la théorie du potentiel (cherchant à mettre dans un même cadre mathématique le potentiel gravitationnel et le potentiel électrostatique) faisaient que nul ne doutait de l'existence de telles fonctions, dites \og harmoniques\fg, mais l'usage fait par Riemann de ce \og principe de Dirichlet\fg, et peut-être aussi l'accent mis sur les problèmes d'existence à propos du problème isopérimétrique, ont amené plus tard les mathématiciens à s'interroger sur ses conditions précises de validité. Les méthodes mises au point à propos du problème isopérimétrique, ainsi que des méthodes d'analyse, ont contribué à la création d'une magnifique théorie qui contient en particulier le problème de Dirichlet, le problème isopérimétrique, et des inégalités d'analyse reliant la forme d'un domaine du plan à la fréquence fondamentale d'un tambour dont la membrane aurait la forme de ce domaine. L'analogue dans ce dernier cas du théorème isopérimétrique est que parmi tous les domaines du plan ayant la même aire, c'est le disque qui donne la note fondamentale la plus basse. Une partie de cette théorie donne des conditions suffisantes pour l'existence de solutions d'un problème de calcul des variations et a permis à Weierstrass et Schmidt de résoudre finalement de manière satisfaisante le problème isopérimétrique dans les années 1880.\par Tout cela ne constitue aujourd'hui qu'une toute petite partie du calcul des variations, qui continue d'être utilisé partout en physique, l'idée restant depuis Maupertuis et Laplace que tout mouvement, une fois représenté dans un espace de configuration convenable, doit se faire de façon à minimiser une dépense d'énergie convenablement définie. Par exemple les fameuses équations de Yang-Mills de la Physique contemporaine sont des équations variationnelles. La symétrisation de Steiner est devenue une technique classique de calcul des variations qui sert à prouver des résultats d'analyse. Les généralisations de la partie \og fréquence fondamentale d'un tambour\fg, que les mathématiciens appellent \og spectre du laplacien\fg forment en ce moment un domaine de recherche très actif où coopèrent la géométrie et l'analyse fine.\par Tout récemment Colin de Verdière a trouvé des liens entre ce spectre du laplacien pour une surface et le nombre minimum de couleurs nécessaire pour colorier une carte tracée sur cette surface (qui est égal à 4 pour la sphère d'après le Théorème des quatre couleurs, mais ceci est une autre histoire, du moins pour le moment).\par Le problème isopérimétrique en dimension supérieure, qui consiste en dimension 3 à montrer que parmi tous les solides ayant la même surface du bord (appelés isépiphanes) c'est la boule qui possède le plus grand volume, avait été abordé géométriquement dès le début du 19ème, en particulier par Steiner. Il y a des difficultés nouvelles car le comportement du volume est plus compliqué; par exemple on ne peut pas du tout se ramener, comme dans le plan, au cas où les domaines considérés sont convexes. Pour bien comprendre il faut écrire quelques formules. Il y a un résultat quantitatif, l'\og inégalité isopérimétrique\fg: $$(\Vol(\partial D))^d \geq d^d\Vol({\bf B})\Vol(D)^{d-1},$$ reliant le volume $(d-1)$- dimensionnel du bord $\partial D$ d'un domaine~$D$ de l'espace euclidien de dimension $d$ et le volume de $D$ (ainsi que celui de la boule ${\bf B}$ de rayon 1, qui intervient comme une constante ne dépendant que de la dimension), sous la seule contrainte que ces deux quantités aient un sens, c'est-à-dire pour les domaines qui ne sont pas des \og Fractals\fg. En dimension $d=2$, cela donne $$L^2\geq 4\pi S\ ,$$ où $L$ est le périmètre du domaine et $S$ sa surface, et le problème isopérimétrique revient à montrer que l'on a l'égalité seulement si le domaine est un disque. La démonstration générale de l'inégalité isopérimétrique remonte aux années 1930. Dès que la dimension de l'espace est au moins 3, on peut avoir égalité pour des domaines autres que la boule de dimension $d$, mais on peut montrer cependant que si $D$ donne l'égalité dans l'inégalité isopérimétrique, alors $D$ est une boule à laquelle on a ajouté un \og voile\fg de volume nul. Si l'on veut que l'égalité n'ait lieu que pour la boule, on peut se restreindre à l'étude des corps convexes, et l'on a alors bien mieux. Étant donnés deux domaines convexes $K$ et $K'$ de l'espace affine de dimension $d$, il est clair qu'ils peuvent avoir le même volume sans être égaux à une translation près. Il se trouve que l'on peut généraliser le concept de volume comme ceci: étant donnés deux convexes $K$ et $K'$ on peut intercaler naturellement entre le volume de $K$ et celui de $K'$ des volumes mixtes bien définis ne dépendant que de $K$ et $K'$ pour obtenir une suite de $d+1$ nombres positifs ou nuls $v_0,v_1,\ldots ,v_d$, avec $v_0=\Vol(K)$ et $v_d=\Vol(K')$. Le miracle est que deux convexes $K$ et $K'$ sont égaux à une translation près si et seulement si tous leurs volumes mixtes sont égaux. Si $K'$ est la boule de rayon 1, le volume mixte $v_1$ est le volume $(d-1)$-dimensionnel du bord $\partial K$ divisé par $d$ (en dimension 3, c'est donc le tiers de la surface du bord). L'inégalité isopérimétrique est dans ce cas une conséquence des inégalités bien plus précises que voici:\vspace*{-3pt}
$$
v_{i}^2 \geq v_{i-1}v_{i+1}\quad \hbox{\rm pour $i=1,2,\ldots,d-1$}.
$$
Cela suffit pour prouver que parmi les convexes, on n'a égalité dans l'inégalité isopérimétrique que si $K$ est une boule. Ces inégalités ont vers 1980 servi à prouver une conjecture combinatoire (la conjecture des permanents de van der Waerden) qui avait résisté à beaucoup d'efforts depuis 1926 et ont d'autres applications en combinatoire. Elles ont d'autre part été reliées, au moyen d'un dictionnaire établi récemment entre la théorie des convexes et une partie de la géométrie algébrique, à des inégalités de la \og Théorie de Hodge\fg. Comme cette dernière, toute géométrique qu'elle soit, descend en ligne directe du principe de Dirichlet, cette relation est en fait une résurgence moderne et géométrique de l'analogie féconde entre le problème isopérimétrique et le problème de Dirichlet. Cela a inspiré des énoncés dont la vérification permettrait entre autres choses de préciser et généraliser des inégalités de géométrie algébrique utilisées pour démontrer la célèbre conjecture de Weil correspondant pour les courbes algébriques sur les corps finis à l'hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction $\zeta$, qui est en ce moment le \og grand problème\fg par excellence. Les volumes mixtes ont aussi été introduits vers 1983 dans la théorie des espaces de Banach, qui sont des espace de dimension infinie où la géométrie de la \og boule de rayon un\fg joue le rôle central, et des variantes de l'inégalité isopérimétrique jouent en ce moment un rôle crucial dans certaines parties de l'étude de la géométrie des objets les plus généraux pour lesquels les vocables de distance, boule, volume, etc. ont un sens, appelés variétés riemanniennes. Ceci nous ramène donc à la Géométrie, d'où nous étions partis.\enlargethispage{\baselineskip}

Comme un ruisseau qui reçoit des affluents, le courant de pensée issu du problème isopérimétrique s'est mêlé à bien d'autres, inspirés des applications ou bien des problèmes les plus \og purs\fg, et ce que nous observons aujourd'hui est le résultat de ces mélanges. Distinguer la part des eaux qui provient de chaque affluent est impossible et d'ailleurs sans grand intérêt, mais je pense que la géométrie du \og réseau hydrographique\fg, dont je n'ai présenté ici qu'une partie, peut donner une idée de la richesse de la construction mathématique.

Je remercie Régine Douady pour ses commentaires utiles et Sylvain Gallot pour les nombreuses améliorations qu'il a suggérées.

\section{Corps convexes}

L'enveloppe affine d'une partie $E$ de $\R^d$, c'est-à-dire le plus
petit sous-espace affine
contenant $E$, est notée $E^{\rm aff}$; la \og dimension affine\fg de $E$,
que nous appellerons ici
simplement dimension, est par définition la dimension de son enveloppe affine. Cette dimension
vaut
$$\max\{ i\geq 0 \mid \hbox{il existe $i+1$ points$\ x_0,\ldots,
x_i$ de $E$ affinement libres}\}.$$
L'intérieur d'une partie $E$ de $\R^d$ est
noté $\rond {E}$,
tandis que son intérieur dans $E^{\rm aff}$ (ou intérieur relatif) est
noté $\rond
{E}^{\rm aff}$; l'égalité
$\rond {E} =\rond {E}^{\rm aff}$ équivaut à $\dim E=d$. L'adhérence
de $E$ est
notée
$\overline E$ (pas d'ambiguïté ici).
\begin{definition}\label{2.1}
Une partie $E$ de $\R^d$ est dite \og \emph{convexe}\fg
si pour tous $x$
et
$y$ dans $E$ le segment $[x,y]$ est inclus dans $E$, c'est-à-dire pour
tout $\lambda\in [0,1]$ on a $\lambda x+(1-\lambda)y\in E$.
\end{definition}

Un raisonnement par récurrence immédiat montre que cette définition
équivaut à la
suivante (stabilité de $E$ par passage au barycentre d'une famille finie
quelconque d'éléments de $E$):

\emph{Pour tout entier $p \geq 2$ et tout $p$-uple $(\lambda_1,\ldots
,\lambda_p)$ de nombres
réels positifs vérifiant $\lambda_1+\cdots +\lambda_p=1$ et pour tout
$p$-uple
$(x_1,\ldots, x_p)$ d'éléments de $E$, on a $\lambda_1x_1+\cdots
+\lambda_px_p\in E
$.}

\begin{definition}\label{2.2}
Un corps convexe est un sous-ensemble convexe
compact de $\R^d$.
La dimension d'un corps convexe est la dimension de son enveloppe affine;
un corps
convexe est de dimension $d$ si et seulement si il est d'intérieur non
vide.
\end{definition}

Nous
noterons
${\cal K}^d$ l'ensemble des corps convexes de
$\R^d$.

Si l'on a choisi une origine dans l'espace affine $\R^d$, on peut
définir les opérations
élémentaires suivantes sur les corps convexes:
\begin{itemize}
\item
La
translation par
un vecteur $a\in \R^d$:
\[
(K,a)\mto K+a=\{x+a\mid x\in K\}.
\]

\item
La dilatation ou homothétie d'un facteur $\lambda\in \R_+$:
$$(K,\lambda)\mto \lambda K = \{\lambda x\mid x\in
K\}.$$

\item
La \it somme de Minkowski \rm de deux corps convexes:
$$K+K'=\{x+y\mid x\in K,\ y\in K'\}.$$\par\noindent
Cette dernière opération joue un rôle fondamental dans la suite de
cet exposé.
Il faut noter aussi l'existence d'opérations qui ne sont pas partout
définies dans ${\cal
K}^d$, mais qui ont aussi leur importance:

\item
La réunion $K\cup K'$ (quand elle est convexe!).

\item
La différence $K-K'=\{x\in \R^d\mid x+K'\subset K\}$ (quand elle est
convexe!).
\end{itemize}

\Subsubsection*{Exemples de corps convexes}
\begin{itemize}
\item
Les polytopes sont les enveloppes convexes d'un ensemble fini de points
de $\R^d$; si
tous les points sont à coordonnées entières (c'est-à-dire dans
${\bf Z}^d$), on dit
que le polytope est entier.

\item
Parmi tous les polytopes d'intérieur non vide de $\R^d$, ceux qui sont
l'enveloppe
convexe de $d+1$ points sont les plus simples; on les appelle \emph{simplexes}.
\end{itemize}

Les
caractères numériques naturels et
évidents d'un polytope sont le nombre de ses faces de chaque dimension,
et le nombre
des points
à coordonnées entières qu'il contient. Un invariant de nature plus
profonde est le
polynôme d'Ehrhart d'un polytope entier, qui forme le sujet du texte de
Brion.

Pour un corps convexe quelconque, son volume et le volume (en~dimension
un de
moins) de son bord se présentent naturellement.

Un outil fondamental dans l'étude des corps convexes est la \emph{fonction
d'appui}
associée à un corps convexe. Cette notion permet de penser à un corps
convexe
comme à une fonction.
On notera $\R^{d *}$ l'espace vectoriel dual de $\R^d$.

\begin{definition}\label{2.3}
Soit $K$ un corps convexe dans $\R^d$. La fonction
d'appui de $K$
est l'application $H_K\colon \R^{d *}\to \R$ définie par
$$H_K(u)=\sup_{x\in K}u(x).$$
\end{definition}

Pour $K$ fixé, la fonction $H_K(u)$ est ce que l'on appelle une \emph{jauge}, c'est-à-dire une fonction qui satisfait les deux conditions suivantes:
\begin{enumeratea}
\item
$H_K$ est convexe:
\begin{multline*}
H_K(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)\leq
\lambda_1H_K(u_1)+\lambda_2H_K(u_2)\\ 
\text{pour $\lambda_1,\lambda_2\in
\R_+$, $\lambda_1+\lambda_2=1$}.
\end{multline*}
\item
$H_K$ est positivement homogène:
$$H_K(\lambda u)=\lambda H_K(u)\ \ \hbox{\rm pour } \lambda\in \R_+.$$
\end{enumeratea}
Remarquons que ces deux conditions ont encore un sens pour une fonction
définie sur un cône
convexe de $\R^{d *}$.

En fait, à tout couple formé d'une fonction convexe $f\colon
C\to \R$ définie sur
un cône convexe
$C$ et d'un point $x_0\in C$, on peut associer une jauge
$$y\mto \partial f(x_0;y)=\lim_{\lambda \to
0^+}{{f(x_0+\lambda
y)-f(x_0)}\over {\lambda}}.$$
Cette construction nous servira plus bas. En attendant, retenons la

\begin{proposition}\label{2.4}
L'application $K\mto H_K$ est une bijection
de l'ensemble des
corps convexes de $\R^d$ sur l'ensemble des jauges définies sur
${\R^d}^*$. L'application
réciproque est donnée par
$$H\mto K_H=\{x\in \R^d\mid u(x)\leq H(u)\ \ \hbox{\rm pour tous }\ u\in
{\R^d}^*\},$$
et la fonction d'appui de $K_H$ est $H$.
\end{proposition}

La démonstration est très facile.

\subsubsection*{Exercice}
Montrer que les jauges correspondant à des polytopes sont
celles qui sont
\og linéaires par morceaux\fg en ce sens qu'il existe une partition finie de
${\R^d}^*$ en cônes
convexes $\sigma_i$ telle que $H_K$ soit linéaire dans chaque $\sigma_i$;
il existe $q_i$ tel
que $$\hbox{\rm pour tout }u\in \sigma_i\ ,\ H_K(u)=u(q_i).$$
Les polytopes entiers donnent des cônes convexes $\sigma_i$ qui sont
rationnels (définis
par des inégalités
$\ell_s(u)\geq 0$ portant sur des formes linéaires $\ell_s$
à coefficients entiers). Deux polytopes tels que les décompositions en
cônes qui leurs
correspondent soient les mêmes sont dits \emph{analogues}. Cela signifie
que leurs faces sont
parallèles.

\section{Volumes mixtes}

Le but de ce paragraphe est d'établir l'existence des volumes mixtes
dans le
cas des polytopes et de donner leurs premières propriétés. \par
L'histoire commence avec une formule démontrée par Steiner sur le
volume de l'épaississement d'un corps convexe. \par
Soit $K\subset \R^d$ un corps convexe; pour tout nombre réel positif
$\rho$, soit
$T_\rho(K)$ l'ensemble des points de $\R^d$ situés à une distance $\leq
\rho$ de~$K$. Le volume de $T_\rho(K)$ est un polynôme en $\rho$ de degré $d$ dont
le
terme constant est le volume ($d$-dimensionnel) de $K$. \par
La première étape de la preuve est la formule suivante, due à
\hbox{Cauchy}:

\begin{proposition}\label{3.1}
Soient $P$ un polytope de $\R^d$ d'intérieur
non vide
et $x_0\in \rond P$.
Notons $P_i=A_i\cap P$, $1\leq i\leq k$, ses faces de dimension $d-1$
($A_i$ est un
hyperplan de $\R^d$).
Alors:
$$\Vol_d(P)={{1}\over{d}}\sum_{i=1}^k\hbox{\rm
d}(x_0,A_i)\hbox{\rm
Vol}_{d-1}(P_i).$$\end{proposition}

\begin{proof}
Découpons $P$ en $k$ pyramides $Q_i=\hbox{\rm conv}(\{x_0\}\cup P_i)$,
de sommet
commun $x_0$
et de base $P_i$.
Deux telles pyramides ont pour intersection un polytope inclus dans un
hyperplan de
$\R^d$, dont le volume $d$-dimensionnel est nul; on en déduit la formule
attendue
puisque le volume de la $i$-ème pyramide vaut ${{1}\over{d}}\hbox{\rm
d}(x_0,A_i)\Vol_{d-1}(P_i)$.
\end{proof}

\begin{corollaire}\label{3.2}
On reprend les mêmes notations que
ci-dessus; quelle que
soit l'origine choisie dans $\R^d$, si $u_i$ désigne le vecteur unitaire
sortant de la
$i$-ème face, c'est-à-dire le vecteur tel que
\[
A_i = \{x\in
\R^d\mid u_i(x)=H_P(u_i)\}
\]
et $P=\bigcap_i\{x\in \R^d\mid u_i(x)\leq H_P(u_i)\}$ on a:
$$\Vol_d(P)={{1}\over{d}}\sum_{i=1}^kH_P(u_i)\hbox{\rm
Vol}_{d-1}(P_i).$$
\end{corollaire}

\begin{proof}
Si l'origine est en $x_0$, il suffit de remarquer que $H_K(u_i)$
représente la distance du plan
$A_i$ à $x_0$ et la formule découle immédiatement de la proposition.
Notons que cette
expression reste valable quel que soit le choix de l'origine dans $P$, toujours d'après
l'interprétation géométrique de la proposition; autrement dit,
l'expression est toujours
valable si on remplace $P$ par $P-{a}$, quel que soit $a\in P$; or
$${{1}\over{d}}\sum_{i=1}^kH_{P-\{a\}}(u_i)\Vol_{d-1}(P_i-\{a\})=\Vol_d(P)-f(a),$$
où $f$ désigne la forme linéaire
$$a\mto \sum_{i=1}^ku_i(a)\Vol_{d-1}(P_i).$$

Cette égalité résulte de l'invariance du volume par translation.
Mais on a prouvé que $f$ est nulle sur $P$ dont l'intérieur est non vide;
par suite, $f$ est identiquement nulle et
l'expression ci dessus est donc valable si on substitue $P-\{a\}$ à $P$,
quel que soit $a\in
\R^d$.
\end{proof}

Intéressons nous maintenant à la proposition \ref{3.1}. Le cadre
général de
l'étude sera le
suivant: $ P_1,\ldots,P_r$ sont des polytopes dont on note $H_1,\ldots
,H_r$ les fonctions
d'appui et $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ sont
des réels positifs; on note $P$ le polytope
$\lambda_1P_1+\cdots+\lambda_rP_r$ et on suppose
que $\dim (P)=d$. Il est alors immédiat que $H_P$ vaut
$\lambda_1H_1+\cdots+\lambda_rH_r$. On note $F_1,\ldots,F_q$ les faces de dimension $d-1$ de $P$, $u_1,\ldots,u_q$ les vecteurs unitaires sortants
correspondants, $F_{i,1},\ldots,F_{i,k(i)}$ les faces de dimension $d-2$
de $F_i$ et de même $v_{i,1},\ldots,v_{i,k(i)}$. En
utilisant les résultats du \T 2, on obtient:
\begin{align*}
\Vol_d(P)&={1\over d}\sum_{i=1}^qH_P(u_i)\hbox{\rm
Vol}_{d-1}(F_i)\\
&={1\over d}\sum_{j=1}^r\lambda_j\biggl( \sum_{i=1}^qH_j(u_i)\hbox{\rm
Vol}_{d-1}(F_i)\biggr) \\
&={1\over d}\sum_{j=1}^r\lambda_j\biggl( \sum_{i=1}^q\!H_j(u_i)\biggl( {1\over
{d-1}}\!\sum_{\ell =1}^{k(i)}\!\partial H_P(u_i;v_{i,\ell })\hbox{\rm
Vol}_{d-2}(F_{i\ell})\biggr) \biggr) \\
&={1\over
{d(d-1)}}\sum_{j=1}^r\sum_{m=1}^r\lambda_j\lambda_mv_{j,m},
\end{align*}
où le facteur $v_{j,m}$ vaut:
$$v_{j,m}=\sum_{i=1}^q\sum_{\ell =1}^{k(i)}H_j(u_i)\partial
H_m(u_i;v_{i,\ell })\Vol_{d-2}(F_{i\ell})$$
On continue ainsi et bien que l'écriture exacte du résultat final de ce
calcul en fonction des
dérivées successives des fonctions $H_i$ soit fastidieuse, il est
clair qu'on obtient une
expression du type:
$$\Vol_d(\lambda_1P_1+\ldots+\lambda_rP_r)=\sum_{\vert \alpha
\vert
=d}{{d!}\over {\alpha!}}\Vol(P_1^{[\alpha
_1]},\ldots,P_r^{[\alpha_r]})\lambda_1^{\alpha _1}\ldots
\lambda_r^{\alpha _r},$$ où $\alpha$ désigne un $r$-uplet d'entiers
positifs ou nuls
$(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$, $\vert \alpha\vert $ est la somme
$\alpha_1+\cdots +\alpha_r$ et
$\alpha !$ est égal au produit $\alpha_1 !\cdots \alpha_r!$.

\begin{definition}\label{3.3}
Le $\alpha$-ième volume mixte des polytopes $P_1,\ldots,P_r$ est le
coefficient
$$\Vol(P_1^{[\alpha _1]},\ldots,P_r^{[\alpha_r]}).$$
\end{definition}
D'après le corollaire ci-dessus, ce coefficient est indépendant de
l'origine choisie (mais
dépend bien sûr des positions relatives des polytopes) et aussi de
l'ordre dans lequel on
écrit les $P_i^{[\alpha_i]}$. Le volume de la combinaison linéaire de
polytopes
$\lambda_1P_1+\cdots +\lambda_rP_r$ (supposée de dimension $d$) est donc
bien un
polynôme homogène de degré $d$ en les
$\lambda_i$ dont les coefficients sont les volumes mixtes, au facteur
$\sfrac{d!}{\alpha !}$
près. L'extension de ce résultat aux
éléments de ${\cal K}^d$ fait l'objet du paragraphe suivant.

On commence par vérifier la
\begin{proposition}\label{3.4}
Les volumes mixtes croissent avec les polytopes; plus
précisément, si
$P_1,\ldots,P_r$ et $Q_1,\ldots,Q_r$ sont deux suites de polytopes
vérifiant $P_i\subset Q_i$
pour tout $i$, on a, pour tout $r$-uplet $\alpha$ de
poids $d$:
$$\Vol(P_1^{[\alpha _1]},\ldots,P_r^{[\alpha_r]})\leq \hbox{\rm
Vol}(Q_1^{[\alpha
_1]},\ldots,Q_r^{[\alpha_r]}).$$
En particulier tous les volumes mixtes sont $\geq 0$.
\end{proposition}

Nous ne donnons pas ici la démonstration.

\begin{enonce}{Théorème et définition}\label{3.5}
Soient $K_1,\dots,K_r$ $r$
éléments de ${\cal
K}^d$. Alors le volume de la somme de Minkowski $\lambda_1K_1+\cdots
+\lambda_rK_r$ est un
polynôme homogène de degré $d$ en les $\lambda_j$; on note:
$$\Vol_d(\lambda_1K_1+\cdots +\lambda_rK_r)=\sum_{\vert \alpha
\vert
=d}{{d!}\over {\vert \alpha \vert !}}\Vol(K_1^{[\alpha
_1]},\ldots
,K_r^{[\alpha_r]})\lambda_1^{\alpha _1}\cdots
\lambda_r^{\alpha _r}.$$ Les coefficients mis en
évidence ci-dessus s'appellent les volumes mixtes des corps convexes
$K_1,\ldots,K_r$.
\end{enonce}

La démonstration consiste essentiellement à se ramener au cas de
polytopes en utilisant le
fait que tout corps convexe est limite d'une suite de polytopes et les
faits que le volume est une
fonction continue sur ${\cal K}^d$ muni de la métrique de Hausdorff (dont
la définition est
rappelée au \T 4) et qu'une limite de polynômes de degré $d$ est un
polynôme de degré $d$.
Soulignons encore que les volumes mixtes sont invariants par
translation.

Dans le cas
particulier où
$r=2$, cela donne
$$\Vol_d(\lambda_1K_1+\lambda_2K_2)= \sum_{i=1}^d{d\choose
i}v_i\lambda_1^i\lambda_2^{d-i},\ \ \hbox{\rm où}\ v_i=\Vol
(K_1^{[i]},K_2^{[d-i]})$$
\noindent et l'on a les égalités $$v_0=\Vol (K_2),\ \ v_d=\Vol (K_1).$$
Si de plus $K_2$ est la boule unité $\B$ de $\R^d$, on peut observer que
la somme de
Minkowski $K+\lambda \B$ est le tube de rayon $\lambda$ autour de $K$ et on
retrouve la
formule de Steiner
$$\Vol (K+\lambda \B)=\Vol (K)+d\Vol (K^{[d-1]},\B^{[1]})\lambda +\cdots
+\Vol (\B)\lambda^d.$$
De plus, c'est un exercice de calcul intégral de vérifier que l'on a
$$ d\Vol (K^{[d-1]},\B^{[1]})=\lim_{\lambda\to 0_+}\Bigl( {{\Vol
(K+\lambda \B)-\Vol
(K)}\over \lambda}\Bigr) =\Vol_{d-1}(\partial K).$$
C'est cette égalité qui fait le raccord entre la théorie des volumes
mixtes et l'inégalité
isopérimétrique. \par
En effet le résultat principal de la théorie est le suivant, où l'on
a gardé les notations
introduites ci-dessus:

\begin{theoreme}[Inégalités d'Alexandrov-Fenchel]\label{3.6}
On a entre les volumes mixtes $v_i=\Vol (K_1^{[i]},K_2^{[d-i]})$ de deux corps convexes les inégalités suivantes:
$$v_{i-1}^2\geq v_iv_{i-2}\quad \hbox{\rm pour}\ 2\leq i\leq d,$$\noindent que
l'on peut aussi écrire
$${v_d\over v_{d-1}}\leq {v_{d-1}\over v_{d-2}}\leq \cdots \leq {v_1\over v_0}.$$
Si toutes ces inégalités sont des égalités, soit $\rho$ la valeur commune des quotients $v_i/v_{i-1}$; alors $\rho K_1=K_2$ à une translation près.
\end{theoreme}

Par télescopage ($=$ simplification dans les produits) des inégalités on
déduit en élevant
$v_d/v_{d-1}$
à la puissance
$d-1$ que l'on a
$$v_d^{d-i}v_0^i\leq v_{d-1}^d$$ ou encore en échangeant les rôles de
$K_1$ et $K_2$
$$v_1^d\geq v_0^{d-1}v_d$$ avec égalité si et seulement si tous les
rapports $v_i/v_{i-1}$
sont égaux entre eux. En majorant ou minorant $\left(
v_i/v_{i-1}\right) ^{i(d-i)}$ par
télescopage on obtient pour $0\leq i\leq d$ les inégalités
$$v_i^d\geq v_0^{d-i}v_d^i.$$ On en déduit immédiatement le

\begin{corollaire}[Inégalité de Brünn-Minkowski]\label{3.7}
On a pour
deux corps convexes de
$\R^d$ l'inégalité
$$\Vol (K_1+K_2)^{1/ d}\geq\Vol (K_1)^{1/ d}+\Vol (K_2)^{1/
d}$$
\noindent avec égalité si et seulement si les deux convexes sont
homothétiques à
translation près.
\end{corollaire}

En fait comme l'a prouvé Lyusternik dans les années 1930,
l'inégalité de
Brünn-Minkowski déborde largement le cadre des convexes et est valable
pour
deux sous-ensembles compacts quelconques de $\R^d$.

En tous cas on
déduit de ce qui
précède en prenant
$K_2=\B$ et notant
$K$ pour $K_1$ l'inégalité isopérimétrique; il suffit de se
souvenir que $v_1=d^{-1}\Vol
(\partial K)$ pour obtenir
$$\Vol (\partial K)^d\geq d^d\Vol (K)^{d-1}\Vol (\B)$$
\noindent
c'est-à-dire l'inégalité isopérimétrique; de plus il résulte de ce qui précède que pour
un corps convexe $K$, on a égalité si et seulement si~$K$ est à
translation près
homothétique à une boule, c'est-à-dire est une boule.

Il faut souligner que l'on a des inégalités d'Aleksandrov-Fenchel pour
les volumes mixtes de
$d$ corps convexes quelconques de $\R^d$; notant $K_i$ pour $K_i^{[1]}$,
elles prennent la forme:
$$\Vol (K_1,\ldots,K_d)^2\!\geq\! \Vol (K_1,K_1,K_3,\ldots,K_d) \Vol
(K_2,K_2,K_3,\ldots,K_d).$$
Le cas d'égalité est encore plus délicat à déterminer.
On retrouve les inégalités vues plus haut en remarquant que l'on peut
interpréter la notation
$\Vol (K_1^{[i]},K_2^{[d-i]})$ comme signifiant que l'on a pris $i$ fois
$K_1$ et $d-i$ fois $K_2$
pour former $(K_1,\ldots,K_d)$.

Notons $\tilde{\cal K}^d$ le quotient de ${\cal K}^d$ par la relation
d'équivalence correspondant
à la translation, muni de la topologie quotient de celle de Hausdorff.
Les volumes mixtes
définissent une application continue
$$\tilde{\cal K}^d\times \tilde{\cal K}^d\to \R^{d+1},$$
et il est remarquable que la diagonale de l'espace de dimension infinie qui
est à gauche soit
l'image inverse de la multidiagonale $w_0\!=\!\cdots \!=\!w_d$ de
$\R^{d+1}$.

Une question importante est de trouver une forme \og stable\fg du cas
d'égalité, c'est-à-dire un
énoncé quantitatif disant que si les volumes mixtes sont presque
égaux, les deux corps
convexes sont presque égaux à translation près. Le prototype est le
résultat suivant:

Définissons le \emph{rayon inscrit} $r(K_2,K_1)$ (\resp le \emph{rayon
exinscrit} $R(K_2,K_1)$) de
$K_2$ par rapport à $K_1$ par:
\begin{align*}
r(K_2,K_1)&= \hbox{\rm Sup}\{r\in \R_+\mid rK_1\subset K_2\ \hbox{\rm à
translation près}\},\\
R(K_2,K_1)&= \hbox{\rm Inf}\{r\in \R_+\mid K_2\subset RK_1\ \hbox{\rm à
translation près}\}.
\end{align*}
Bonnesen et Flanders ont prouvé en dimension 2 que si $P(T)$ désigne le polynôme déterminé par
$$P(T)=\Vol (K_2+TK_1)\ \hbox{\rm pour}\ T\geq 0,$$
alors les racines $\rho_1,\rho_2$ de $P(-T)$ sont réelles (c'est
l'inégalité
d'Ale\-xandrov-Fenchel) et positives (car les coefficients de $P(T)$ sont
positifs), et de plus on a
$$\rho_1\leq r(K_2,K_1)\leq R(K_2,K_1)\leq \rho_2.$$
Cela donne en particulier pour le rayon $r$ du plus grand cercle inscrit
(\resp $R$ du plus petit
cercle exinscrit) d'un convexe du plan l'inégalité (avec les notation
introduites au \T1)
$$L^2-4\pi S\geq \pi^2 (R-r)^2.$$ En dimension supérieure on a un
résultat
de Diskant (voir \cite{B-Z}) mais il n'est plus vrai que les racines du polynôme
de Minkowski-Steiner
soient toujours réelles.

Ceci est à contraster avec ce qui se passe pour les \emph{déterminants
mixtes} de matrices
$d\times d$ symétriques définies positives. On peut en effet
développer une théorie tout
à fait analogue (en plus simple, \cf \cite{Sch}) à partir du polynôme
homogène de degré $d$
$$\hbox{\rm Det}(\lambda_1M_1+\cdots +\lambda_kM_k)$$ et l'on trouve que si
l'on écrit les
coefficients comme on l'a fait pour les volumes mixtes, on a entre les
déterminants mixtes que
cette écriture définit les inégalités d'Aleksandrov-Fenchel et que
de plus dans le cas de
deux matrices définies positives, les racines du polynôme $\hbox{\rm
Det}(M_2+\nobreak TM_1)$ sont
réelles. On n'a égalité dans les inégalités d'Aleksandrov-Fenchel
que si les deux matrices
sont proportionnelles.

Soulignons pour terminer que le caractère polynomial du volume d'une
combinaison linéaire
de convexes n'est pas accidentel et que la raison profonde en est, comme
pour le polynôme
d'Ehrhart, le~carac\-tère additif (propriété valuative) du volume; on
pourra consulter l'article
de MacMullen dans \cite{CA}.

\section{Volumes mixtes avec la boule unité}

Le but de ce paragraphe est de présenter les interprétations naturelles
des volumes mixtes
d'un corps convexe avec la boule unité et surtout de montrer que ces volumes mixtes forment
une base de l'espace des applications $\mu \colon {\cal K}^d\to \R$
qui sont continues
pour la métrique de Hausdorff, invariantes par translation, et
vérifient la condition de \emph{valuation}.
\begin{definition*}
Une application $\mu \colon {\cal K}^d\to
\Gamma$ de ${\cal K}^d$
dans un semi-groupe commutatif $\Gamma$ est appelée valuation si elle
satisfait:
$$\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)\ \hbox{\rm si $A\cup B$ est
convexe.}$$
\end{definition*}

Rappelons la définition de la distance de Hausdorff: soient $K_1$ et~$K_2$ dans ${\cal K}^d$. On
pose $$\hbox{\rm D}(K_1,K_2) = \hbox{\rm Inf}\{\rho\geq 0\mid K_1 \subset
K_2+\rho \B
\ \hbox{\rm et}\ K_2 \subset K_1+\rho \B\}.$$
$\hbox{\rm D}$ est une distance sur ${\cal K}^d$ appelée distance de
Hausdorff et l'inf est
atteint.

Pour cette métrique les volumes mixtes de $r$ corps convexes sont des
fonctions continues sur
$({\cal K}^d)^r$.\par\noindent
Remarquons par ailleurs que les volumes mixtes
$$w_i(K)=\Vol (K^{[i]},\B^{[d-i]})$$ d'un corps convexe avec la
boule unité sont invariants non seulement par l'action sur $K$ des
translations mais aussi par
celle des déplacements de l'espace $\R^d$ à cause de l'invariance du
volume par
déplacement et de la symétrie de la sphère. Ils vérifient aussi
$$w_i(\lambda K)=\lambda^iw_i(K).$$ Le résultat suivant, souvent
appelé \og Théorème fondamental de la Géométrie intégrale\fg n'en
est pas moins
surprenant:

\begin{theoreme}[Hadwiger]\label{4.1}
Soit
$\phi:{\cal K}^d\to\R$ une valuation continue et invariante par déplacement. Alors il existe
des nombres réels
$(\alpha_0,\ldots,\alpha_d)$ uniquement déterminés tels que pour tout
$K\in {\cal K}^d$
$$\phi (K)=\sum_{i=0}^d\alpha_iw_i(K).$$
\end{theoreme}
Autrement dit les applications $K\mto w_i(K)$ forment une base de
l'espace des valuations
à valeurs réelles continues et invariantes par
déplacement.

Nous allons voir des interprétations géométriques des volumes mixtes; je dois laisser de
côté parce qu'elle nous entraînerait trop loin celle qui est
probablement la plus importante:
les $w_i(K)$ sont des intégrales de fonctions symétriques de courbure
du bord $\partial
K$.

Soit $\hbox{\rm Graff}(d,k)$ l'espace des $k$-plans affines de $\R^d$.
C'est en fait une variété
algébrique réelle et on peut montrer qu'elle admet une mesure
invariante par les
déplacements de $\R^d$ qui est unique à homothétie près. \par
Un des beaux résultats de la Géométrie intégrale, appelé \emph{formule de Crofton} montre que le $i$-ième volume mixte avec la boule
d'un corps $K$ de
$\R^d$ est proportionnel à la mesure du sous-ensemble \hbox{$\hbox{\rm
Graff}(K,d-i)\subset
\hbox{\rm Graff}(d,d-i)$} des espaces affines de dimension $d-i$ qui le
rencontrent:

\begin{theoreme}\label{4.2}
Il existe une mesure
invariante $m_{d,d-i}$ sur l'ensemble $\hbox{\rm Graff}(d,d-i)$ telle que l'on ait
$$m_{d,d-i}\left( \hbox{\rm Graff}(K,d-i)\right) =w_i(K).$$
\end{theoreme}

Si l'on préfère, étant donnés deux corps convexes $K_1\subset K_2$
tels que~$K_2$ soit de
dimension $d$, la probabilité conditionnelle pour qu'un sous-espace
affine de dimension $d-i$
qui rencontre $K_2$ rencontre aussi~$K_1$ est le quotient
$w_i(K_1)/w_i(K_2)$.

Il y a aussi une interprétation des $w_i(K)$ comme volumes moyens de
projections
orthogonales de $K$ sur des espaces de dimension $i$. Plus précisément,
notons $\hbox{\rm
Gr}(d,k)$ l'espace des sous-espaces vectoriels de dimension $k$ de $\R^d$.
C'est une variété
algébrique, compacte et admettant aussi une mesure invariante par les
déplacements de
$\R^d$. Étant donné $L\in \hbox{\rm Gr}(d,d-i)$, notons $\pi_L$ la
projection orthogonale sur
un espace de dimension $i$ parallèlement à $L$. Notons enfin $O_r$ le
volume de la boule
unité de $\R^r$. On a alors:

\begin{theoreme}\label{4.3}
Pour tout corps convexe $K\in {\cal K}^d$ on a l'égalité:
$$w_i(K)={{iO_{d-i-1}\cdots O_0}\over {dO_{d-2}\cdots O_{i-1}}}\int_{L\in
{\rm Gr}(d,d-i)}\Vol(\pi_L(K))dL.$$
\end{theoreme}

\section{Nombres de faces des polytopes}

Le caractère numérique naturel d'un polytope $P\subset \R^d$ est la suite des nombres de ses faces de toutes les dimensions; on note $f_i(P)$ le nombre des faces de dimension $i$ de $P$. La suite
$$f(P)=(f_0(P),\ldots ,f_{d-1}(P))$$
s'appelle le $f$-vecteur de $P$.

Le problème de caractériser les suites d'entiers qui sont les $f$\nobreakdash-vec\-teurs de polytopes remonte au moins à Euler, et c'est à Poincaré que l'on doit la première contrainte générale (calcul de la caractéristique d'Euler-Poincaré de la boule):
$$f_0-f_1+\cdots +(-1)^{d-1}f_{d-1}=1+(-1)^{d-1}$$
Pour aller plus loin il est commode d'introduire une suite d'entiers équivalente aux $f_i$ en convenant de poser $f_{-1}=1$ et en définissant
$$h_i=\sum_{j=0}^i{{d-j}\choose {d-i}}(-1)^{i-j}f_{j-1}.$$
On appelle évidemment $h_0(P),\ldots ,h_d(P)$ le $h$-vecteur de $P$. On remarque que $h_0=1$, $h_d=1$, et que l'on peut calculer les $f_i$ en
fonction des $h_j$ par
$$f_i=\sum_{j=0}^d{{d-j}\choose {d-1-1}}h_j.$$
Dans le cas particulier où toutes les faces de $P$ sont des simplexes (on
dit que $P$ est simplicial), on a une extension de la formule d'Euler-Poincaré:
\begin{proposition}[Dehn-Somerville]\label{5.1}
Pour un polytope simplicial $P$ on a les égalités
$$h_i(P)=h_{d-i}(P).$$
\end{proposition}

On peut montrer que ces relations engendrent l'espace affine de toutes les
relations
linéaires entre les $f_i(P)$ pour $P$ simplicial. La question qui reste
est de savoir s'il y a
d'autres contraintes sur les $f$-vecteurs ou les $h$-vecteurs de polytopes
simpliciaux.

Introduisons encore une notation: étant donnés des entiers positifs $g,i$ il existe une unique suite d'entiers positifs satisfaisant
$$n_i>n_{i-1}>\cdots >n_j\geq j\geq 1$$
et telle que
$$g={n_i\choose i}+{n_{i-1}\choose {i-1}}+\cdots +{n_j\choose j}.$$
C'est un exercice sur les coefficients du binôme.

Cela étant, on peut associer à $g,i$ l'entier suivant:
$$g^{\<i\>}={{n_i+1}\choose {i+1}}+{{n_{i-1}+1}\choose {i}}+\cdots
+{{n_j+1}\choose {j+1}},$$
posant $0^{\<i\>}=0$.

On dira qu'un vecteur $(g_0,\ldots ,g_c)\in {\bf Z}^{c+1}$ est un \emph{M-vecteur}
(M pour Macaulay) si il satisfait
$$g_0=1\ \hbox{\rm et}\ 0\leq g_{i+1}\leq g_i^{\<i\>}\ \hbox{\rm pour}\
1\leq i\leq c-1.$$
On peut montrer qu'un vecteur est un M-vecteur si et seulement si il existe
une algèbre graduée $R= \oplus R_i$ sur un corps $k$, engendrée par ses
éléments de degré un, de dimension finie comme espace vectoriel et telle que $\dim R_i=g_i$, $0\leq i\leq c$.

En 1971 McMullen énonça la remarquable conjecture suivante:

\begin{conjecture*}
Un vecteur $(h_0,\ldots ,h_d)\in {\bf Z}^{d+1}$ est le $h$-vecteur d'un polytope simplicial $P$ si et seulement si
\begin{enumerate}
\item
il satisfait $h_i=h_{d-i}$ et

\item
$(h_0,h_1-h_0,\ldots, h_{[d/2]}-h_{[d/2]-1})$ est un M-vecteur.
\end{enumerate}
\end{conjecture*}

Cette conjecture a été prouvée en 1979-80 par R.\,Stanley (\cite{St},
nécessité) et Billera-Lee (\cite{B-L}, suffisance). La preuve utilisait des outils puissants de Géométrie algébrique via le même dictionnaire entre polytopes et variétés algébriques qui sous-tend les résultats exposés par Brion.

Récemment McMullen a réussi à donner une version combinatoire de la preuve.

Plonger la théorie des polytopes dans la Géométrie algébrique permet de faire des opérations qui ne sont pas permises
pour les polytopes, comme prendre une section hyperplane d'une variété algébrique projective; une section hyperplane d'une variété algébrique qui \og provient\fg d'un polytope n'a plus cette propriété. McMullen étend combinatoirement l'univers des polytopes (essentiellement par des combinaisons linéaires formelles modulo des relations géométriques) et dans ce cadre étendu parvient à formuler et démontrer des résultats analogues à ceux que la Géométrie
algébrique prouve par sections hyperplanes.

\backmatter
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups95-04}

\end{document}

