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\begin{document}
\frontmatter

\title{Polytopes convexes entiers}

\author[\initial{M.} \lastname{Brion}]{\firstname{Michel} \lastname{Brion}}

\address{Laboratoire de Mathématiques,UMR 128 du CNRS,
Ecole Normale Supérieure de Lyon\\
46 allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07}

\email{Michel.Brion@univ-grenoble-alpes.fr}
\urladdr{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~mbrion/}

\thanks{Journées X-UPS 1995. Aspects géométriques et combinatoires de la convexité. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1995}

\maketitle
\tableofcontents
\mainmatter

\section*{Introduction}
On présente quelques résultats sur les polytopes convexes entiers,
c'est-à-dire les sous-ensembles d'un espace vectoriel $\RR^d$
qui sont l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points de $\ZZ^d$.
C'est un sujet élémentaire, mais qui ne s'est développé que
depuis les années soixante; en particulier, les travaux pionniers d'E.\,Ehrhart, professeur de \hbox{lycée} à Strasbourg, y ont joué un rôle
important. Ehrhart a étudié le nombre de points entiers dans un
polytope convexe entier, et dans ses multiples rationnels. On
redémontre une partie de ses résultats dans la première partie de
ce texte (\ref{subsec:1.1} et \ref{subsec:1.2}); quelques compléments sont donnés sans
démonstration en \ref{subsec:1.3} et \ref{subsec:1.4}. La deuxième partie est consacrée à
une généralisation récente (1991) de la formule sommatoire
d'Euler-MacLaurin; on y calcule la somme des valeurs d'une fonction
polynomiale aux points entiers d'un polytope convexe entier. Dans la
troisième partie, on expose un théorème de Betke et Kneser (1985)
qui décrit toutes les \og mesures finiment additives\fg
sur les polytopes convexes entiers,
qui sont invariantes par automorphismes affines entiers. Enfin, dans la
quatrième partie, on fait le point sur des travaux plus récents,
concernant les mesures finiment additives et invariantes par
translations.

Le présent texte n'est ni détaillé (en compléter les
démonstrations peut être une bonne source d'exercices), ni exhaustif.
En particulier, on fait l'impasse sur les relations entre polytopes convexes
entiers et géométrie algébrique ou symplectique, bien que
ces relations jouent un rôle essentiel dans beaucoup de travaux
récents. Pour ces liens, on renvoie entre autres à \cite{T}, \cite{B2} et
\cite{A}.

\section{Le polynôme d'Ehrhart d'un polytope convexe entier}
\subsection{}\label{subsec:1.1}
On considère l'espace vectoriel réel $\RR^d$ de dimension
$d$, et le réseau $\ZZ^d$ dans $\RR^d$. Un
\emph{polytope convexe} $P$ dans $\RR^d$ est l'enveloppe convexe d'un
nombre fini de points de $\RR^d$. On appelle
\emph{dimension} de~$P$, et on note $\dim(P)$, la dimension de l'espace affine
engendré par $P$. On~appelle \emph{intérieur relatif} de~$P$, et on désigne par $P^0$, l'intérieur
de~$P$ dans l'espace affine qu'il engendre.
L'enveloppe convexe dans $\RR^d$ d'un nombre
fini de points de $\ZZ^d$ est appelée \emph{polytope convexe entier}.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.8]{xups95-02_fig1}
\end{center}
\caption{\label{fig1}}
\end{figure}

On cherche à compter les points entiers dans $P$ et $P^0$,
c'est-à-dire à dénom\-brer les ensembles (finis)
$P\cap\ZZ^d$ et $P^0\cap\ZZ^d$.
Des propriétés remarquables des nombres de points
entiers dans les multiples $nP$ et $nP^0$, considérés comme
fonctions de l'entier positif $n$, ont été découvertes par E.
Ehrhart; voir \cite{E1}, \cite{E3}, \cite{E4}. Voici une partie de ses résultats.

\begin{theoreme*}
Il existe un unique polynôme $i_P(t)$,
de degré $\dim(P)$, à coefficients rationnels, tel que
$$i_P(n)={\rm card}(nP\cap\ZZ^d)$$
pour tout entier $n\geq 1$. De plus, on a: $i_P(0)=1$ et
$$i_P(-n)=(-1)^{\dim(P)}\,{\rm card}(nP^0\cap\ZZ^d)$$
pour tout entier $n\geq 1$ (\og loi de réciprocité\fg).
\end{theoreme*}

\subsection{Démonstration}\label{subsec:1.2} Considérons d'abord le cas où
$P$ est un simplexe de sommets $s_0,\ldots,s_d$, c'est-à-dire:
$P$ est l'enveloppe convexe des points affinement indépendants
$s_0,\ldots,s_d$. Définissons un sous-ensemble $C$ de
$\RR^d\times\RR$ par
$$C=\{(v,t)\mid v\in tP,\,t\geq 0\}.$$
Alors $C$ est le cône convexe fermé dont les arêtes sont
engendrées par les vecteurs (linéairement indépendants)
$(s_0,1),\ldots,(s_d,1)$. De plus, pour tout $v\in\RR^d$, on a:
$v\in nP\cap\ZZ^d\Leftrightarrow (v,n)\in(\ZZ^d\times\ZZ)\cap C$.
Notons~$\Pi$ le sous-ensemble de $\ZZ^d\times\ZZ$ formé des points
qui peuvent s'écrire $\sum_{i=0}^d\,t_i(s_i,1)$ avec des $t_i\in[0,1[$.
Alors les couples $(m,n)$ tels que $m\in nP\cap\ZZ^d$ sont ceux
qui peuvent s'écrire
$$(m,n)=(m_0,n_0)+\sum_{i=0}^d\,x_i(s_i,1)$$
où $(m_0,n_0)\in\Pi$ et où les $x_i$ sont des entiers non
négatifs; une telle décomposition est unique.
Par conséquent, le nombre de points de $nP\cap\ZZ^d$ est le coefficient
de $z^n$ dans la série formelle
$$F_P(z)=\sum_{(m_0,n_0)\in\Pi}\,z^{n_0}
\sum_{x_0,\ldots,x_d\geq 0}\,z^{x_0+\cdots+x_d}.$$
Observons que $0\leq n_0 \leq d$ pour tout $(m_0,n_0)\in\Pi$
et que $n_0=0$ implique $m_0=0$. Par suite, il existe des entiers
$\delta_0,\ldots,\delta_d$ tels que
$$F_P(z)=(\delta_0+\delta_1z+\cdots+\delta_dz^d)\cdot(1-z)^{-d-1}.$$
De plus, $\delta_0=1$. En développant la série, on en déduit que
$${\rm card}(nP\cap\ZZ^d)=\delta_0{n+d\choose d}
+\delta_1{n+d-1\choose d}+\cdots+\delta_d{n\choose d}$$
où $\binom{t}{d}$ désigne le polynôme
$\sfrac{t(t-1)\cdots(t-d+1)}{d!}$. Ainsi, la fonction $n\mto{\rm card}(nP\cap\ZZ^d)$ est
polynomiale, et la valeur en 0 de cette fonction est 1.
Notons $\Pi'$ le sous-ensemble de $\ZZ^d\times\ZZ$ formé des points
qui peuvent s'écrire $\sum_{i=0}^d\,t_i(s_i,1)$ avec des
$t_i\in]0,1]$.
On montre comme ci-dessus que
$$\sum_{n=1}^{\infty}\,{\rm card}(nP^0\cap\ZZ^d)\,z^n=
\sum_{(m_0,n_0)\in\Pi'}\,z^{n_0}(1-z)^{-d-1}.$$
\begin{figure}[htb]
\setlength{\unitlength}{.7cm}
\begin{center}
\begin{picture}(14,4)
\put(0,0){\vector(1,0){5}}
\put(0,0){\vector(0,1){3}}
\put(0,0){\line(3,1){4.5}}
\put(0,0){\line(2,3){1}}
\put(4.5,-.5){$\RR^d$}
\put(-.5,2.5){$\RR$}
\put(.5,1.9){$(s_0,1)$}
\put(4.7,1.3){$(s_1,1)$}
\put(2.5,1.2){$\Pi$}
\multiput(1,1.5)(.15,.05){31}{\circle*{.05}}
\multiput(4.5,1.5)(.1,.15){11}{\circle*{.05}}
\put(9,0){\vector(1,0){5}}
\put(9,0){\vector(0,1){3}}
\put(10,1.5){\line(3,1){4.5}}
\put(13.5,1.5){\line(2,3){1}}
\put(13.5,-.5){$\RR^d$}
\put(8.5,2.5){$\RR$}
\put(9.5,1.9){$(s_0,1)$}
\put(13.7,1.3){$(s_1,1)$}
\put(11.5,1.2){$\Pi'$}
\multiput(9,0)(.15,.05){31}{\circle*{.05}}
\multiput(9,0)(.1,.15){11}{\circle*{.05}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{\label{fig2}}
\end{figure}

Observons que $\Pi$ et $\Pi'$ sont échangés par la symétrie centrale
qui envoie $(m,n)$ sur $(s_0+\cdots+s_d-m,d+1-n)$, d'où
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\,{\rm card}(nP^0\cap\ZZ^d)
&=\sum_{(m,n)\in\Pi}\,z^{d+1-n}(1-z)^{-d-1}\\
&=\sum_{i=0}^d\delta_iz^{d+1-i}(1-z)^{-d-1}
\end{align*}
et finalement
$${\rm card}(nP^0\cap\ZZ^d)=\delta_0{n-1\choose d}+
\delta_1{n\choose d}+\cdots+\delta_d{n+d-1\choose d}.$$
D'autre part, on a
\[
{-t\choose d}=(-1)^d{t+d-1\choose d}
\]
et ceci
entraîne la loi de réciprocité pour les simplexes entiers.
Considérons maintenant le cas d'un polytope entier $P$ quelconque.
Alors $P$ peut être subdivisé par des simplexes entiers,
c'est-à-dire qu'il existe une famille finie de simplexes entiers
$(S_j)_{j\in J}$, telle que:
\begin{enumeratei}
\item
si $F$ est une face de $S_j$, alors $F=S_k$ pour un $k\in J$;

\item
si $j,k\in J$, alors $S_j\cap S_k$ est une face
(éventuellement vide) de~$S_j$ et de $S_k$;

\item
$P$ est réunion disjointe des intérieurs relatifs des
$S_j$.
\end{enumeratei}
On en déduit que
$${\rm card}(nP\cap\ZZ^d)=
\sum_{j\in J}\,{\rm card}(nS_j^{\circ}\cap\ZZ^d).$$
La première partie de la preuve entraîne que
${\rm card}(nP\cap\ZZ^d)$ est fonction polynomiale de $n$; le
polynôme correspondant est
$$i_P(t)=\sum_{j\in J}\,(-1)^{\dim(S_j)}\,i_{S_j}(-t)$$
d'après la loi de réciprocité pour les simplexes entiers. La
valeur en~$0$ de ce polynôme est donc
$\sum_{j\in J}\,(-1)^{\dim(S_j)}=1$ (caractéristique
d'Euler-Poincaré de $P$). De plus, on a:
$$(-1)^{\dim(P)}\,i_P(-t)=
\sum_{j\in J}\,(-1)^{{\rm codim}(S_j)}\,i_{S_j}(t)$$
où on pose ${\rm codim}(S_j)
=\dim(P)-\dim(S_j)$. Mais pour tout entier $n\geq 0$, on a:
\begin{align*}
\sum_{j\in J}\,(-1)^{{\rm codim}(S_j)}\,i_{S_j}(n)&=
\sum_{j\in J}\,(-1)^{{\rm codim}(S_j)}\,{\rm card}(nS_j\cap\ZZ^d)\\
&={\rm card}(nP^{\circ}\cap\ZZ^d)
\end{align*}
d'après l'identité d'Euler. Ceci démontre la loi de
réciprocité pour $P$.

\subsection{Les coefficients du polynôme d'Ehrhart}\label{subsec:1.3}
Avec les notations de \ref{subsec:1.1}, écrivons
$$i_P(t)=a_0(P)+a_1(P)\,t+\cdots+a_d(P)\,t^d$$
(on suppose pour simplifier que $P$ engendre $\RR^d$, c'est-à-dire que
$\dim(P)=d$). Notons $\vol_d(P)$ le volume de $P$, normalisé
de façon que les mailles du réseau $\ZZ^d$ soient de volume 1.
De même, toute $k$-face de $P$ a un volume bien défini
$\vol_k(F)$; en effet, puisque l'espace affine engendré par $F$ est
rationnel, son intersection avec $\ZZ^d$ y induit un réseau, et
celui-ci permet de normaliser le volume.

\begin{proposition*}
Avec les notations précédentes, on a:
$a_d(P)=\vol_d(P)$~et
$$a_{d-1}(P)={1\over 2}\sum_{F\subset P}\,\vol_{d-1}(F)$$
où la somme porte sur les $(d-1)$-faces de $P$.
\end{proposition*}

\begin{proof}
Pour $n$ entier positif, on a:
$$i_P(n)={\rm card}(nP\cap\ZZ^d)={\rm card}(P\cap\tfrac{1}{n}\ZZ^d)
=\sum_{m\in P\cap{1\over n}\ZZ^d}1.$$
Par suite, $n^{-d}i_P(n)$ est une somme de Riemann pour l'intégrale
$\int_P\,dx=\vol_d(P)$, d'où
$a_d(P)
=\lim_{n\to\infty}n^{-d}i_P(n)
=\vol_d(P)$.
La seconde équation se déduit de la loi de réciprocité; en
effet, celle-ci implique
$$i_{P^{\circ}}(n)=a_d(P)n^d-a_{d-1}(P)n^{d-1}+\cdots$$
et ainsi
$$\lim_{n\to\infty}\,n^{-d+1}(i_P(n)-i_{P^{\circ}}(n))=2a_{d-1}(P).$$
D'autre part, $P\setminus P^{\circ}$ est réunion des $(d-1)$-faces de $P$,
et leurs intérieurs relatifs sont deux à deux disjoints. D'où
$$\lim_{n\to\infty}\,n^{-d+1}(i_P(n)-i_{P^{\circ}}(n))=
\sum_{F\subset P}\vol_{d-1}(F)$$
par l'argument précédent.
\end{proof}

En particulier, lorsque $d=2$, on retrouve
la \emph{formule de Pick} (voir~\cite{Pi}): le nombre de points entiers dans
un polygone convexe entier $P$ est égal à l'aire de $P$, plus la
moitié du nombre de points entiers sur le bord de $P$, plus 1. Cette
formule est d'ailleurs valable pour les polygones entiers simplement
connexes; pour la démontrer directement, on subdivise le polygone en
triangles entiers, qui ne contiennent pas d'autres points entiers que
leurs sommets. On montre ensuite que pour un tel triangle $ABC$, les
vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ forment une base du réseau; en
particulier, l'aire du triangle est $1/2$.
En dimension 3, tout se complique. En effet, dans $\RR^3$ muni
du réseau $\ZZ^3$, considérons le tétraèdre $T(p,q)$
de sommets $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,p,q)$ où~$p$ et~$q$
sont des entiers premiers entre eux tels que $0\leq p<q$. Alors $T(p,q)$ ne
contient pas d'autres points entiers que ses sommets; mais $T(p,q)$ n'est
pas engendré par une base de $\ZZ^3$, car il est de volume $q/6$.
Tout tétraèdre entier, ne contenant pas d'autres points entiers que
ses sommets, est l'image d'un $T(p,q)$ par un automorphisme affine
entier; ce résultat non trivial est dû à White, voir \cite{W}.
\begin{figure}[htb]
\setlength{\unitlength}{.9cm}
\begin{center}
\begin{picture}(5,5)
\put(2,2){\vector(1,0){3}}
\put(2,2){\vector(0,1){3}}
\put(2,2){\vector(-1,-1){2}}
\put(.5,.2){$x$}
\put(4.7,1.7){$y$}
\put(1.7,4.7){$z$}
\put(3,2){\line(-1,4){.5}}
\put(3,2){\line(-3,-1){1.5}}
\put(1.5,1.5){\line(2,5){1}}
\multiput(2,2)(.025,.1){21}{\circle*{.05}}
\put(2.6,4.2){$(1,1,3)$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{: $T(1,3)$\label{fig3}}
\end{figure}

Pour un polytope convexe entier $P$ de dimension $3$, on a:
$$i_P(t)=1+a_1(P)\,t+{1\over 2}\sum_{F\subset P}\vol_2(F)\,t^2
+\vol_3(P)\,t^3$$
et le seul terme inconnu est $a_1(P)$. Contrairement au cas de la
dimension 2, on ne peut exprimer ce terme en fonction des volumes des
arêtes de $P$. En effet les faces de $T(p,q)$ sont de volume 1/2,
et ses arêtes sont de volume 1. D'où
$$a_1(T(p,q))={\rm card}(T(p,q)\cap\ZZ^3)-1-a_2(T(p,q))-a_3(T(p,q))
=2-{q\over 6}$$
et notre assertion.
Plus généralement, en dimension $d$, on ne peut exprimer aucun des coefficients $a_1(P),\ldots,a_{d-2}(P)$ en fonction des termes $\dpl\sum_{F\subset P}^{}\vol_k(F)$ (somme sur les faces de dimension $k$); voir [K]. Par contre, $a_k(P)$ est
combinaison linéaire des volumes des $k$-faces de~$P$, avec des
coefficients qui ne dépendent que de la géométrie locale de $P$ en
ces faces. Plus précisément, pour toute face $F$, considérons le
cône $P_F$ engendré par les points $-f+p$ où $p\in P$ et
$f\in F$ (voir figure \ref{fig4}). Alors $P_F$ est un cône convexe polyédral rationnel
(c'est-à-dire: $P_F$ est engendré par un nombre fini de demi-droites
entières). De plus, le plus grand sous-espace linéaire contenu dans
$P_F$ est la direction de la face $F$.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.9]{xups95-02_fig4}
\end{center}
\caption{\label{fig4}}
\end{figure}

\begin{theoreme*}
On peut associer à tout cône convexe
polyédral rationnel~$\sigma$,
un nombre rationnel $\mu(\sigma)$ tel que
$$a_k(P)=\sum_{F\subset P}\,\mu(P_F)\vol_k(F)$$
où la somme porte sur les $k$-faces de $P$.
\end{theoreme*}

Ceci résulte de \cite{M4}; voir aussi \cite{B2}. Par exemple, pour
les faces de dimension $d-1$, on peut prendre $\mu(P_F)=1/2$ d'après
le calcul de $a_{d-1}(P)$, et c'est le seul choix possible.
Pour les faces de dimension plus petite, il n'y a pas de choix unique de
$\mu$.

\subsection{Le nombre de points entiers dans un tétraèdre}\label{subsec:1.4}
On va donner la valeur du coefficient $a_1(P)$ lorsque $P$ est un
tétraèdre entier dans $\RR^3$; le résultat final est dû à J.
Pommersheim (voir \cite{Po}) et il fait intervenir des expressions
arithmétiques appelées \og sommes de Dedekind\fg (voir \cite{RG}).
Soit $A$ une arête de $P$; soient $F_1$ et $F_2$ les faces de $P$ qui
contiennent $A$. Notons $\overline{\RR^3}$ le quotient de $\RR^3$ par
la droite affine engendrée par $A$, et $\overline{\ZZ^3}$
l'image de $\ZZ^3$ dans $\overline{\RR^3}$.
On peut trouver une base $(e_1,e_2)$ du groupe
abélien libre $\overline{\RR^3}$ telle que $e_1$ et~$\overline{F_1}$
engendrent la même demi-droite.
Alors la demi-droite engendrée par~$\overline{F_2}$ est
engendrée par $pe_1+qe_2$ où $p$, $q$ sont des entiers
premiers entre eux. De plus, on peut supposer que $1\leq p<q$.
Définissons la \emph{somme de Dedekind} associée à $(p,q)$ par
$$s(p,q)=\sum_{i=1}^{q-1}\,(\!(\sfrac{i}{q})\!)(\!(\sfrac{pi}{q})\!)$$
où $(\!(x)\!)=x-[x]-\sfrac{1}{2}$ si $x$ n'est pas entier, et $(\!(x)\!)=0$
sinon. Enfin, posons $m_A=q$ et $d_A=-s(p,q)+\sfrac{1}{4}$.

\begin{theoreme*}
Avec les notations précédentes, on a:
$$a_1(P)=\sum_A\,\left( {1\over 36 m_A}
\left( {\vol_2(F_{A,1})\over\vol_2(F_{A,2})}+
{\vol_2(F_{A,2})\over\vol_2(F_{A,1})}\right) +d_A\right) \,\vol_1(A).$$
\end{theoreme*}

En particulier, lorsque $P\subset\RR^3$ a pour sommets $(0,0,0)$,
$(a,0,0)$, $(0,b,0)$, $(0,0,c)$ où $a$, $b$, $c$ sont des entiers
positifs, on trouve:
\begin{multline*}
a_1(P)={1\over 12}\left( {ab\over c}+{bc\over a}+{ac\over b}+{d^2\over abc}\right)
+{a+b+c+A+B+C\over 4}\\
-As\left( {bc\over d},{aA\over d}\right)
-Bs\left( {ac\over d},{bB\over d}\right) -Cs\left( {ab\over d},{cC\over d}\right)
\end{multline*}
où $A={\rm pgcd}(b,c)$, $B={\rm pgcd}(a,c)$, $C={\rm pgcd}(a,b)$ et
$d=ABC$.
Dans le cas où $a$, $b$, $c$ sont premiers entre eux deux à
deux, on retrouve une formule due à Mordell, et redécouverte par
Ehrhart; voir \cite{Ml},~\cite{E2}. D'autre part, Kantor et Khovanskii ont
redémontré les résultats de Pommersheim, dans le cadre de leur
généralisation de la formule sommatoire d'Euler et MacLaurin (voir
\cite{KK2} et \ref{subsec:2.3} ci-dessous). Enfin,
Cappell et Shaneson ont annoncé une formule qui dénombre les
points entiers dans un simplexe entier de dimension quelconque, voir \cite{CS}.

\section{Une généralisation de la formule sommatoire d'Euler et Mac\-Laurin}

On expose un résultat de Pukhlikov, Kantor et Khovanskii (voir
\cite{KK1} et \cite{PK2}) qui généralise aux polytopes convexes entiers la
classique \emph{formule sommatoire d'Euler et MacLaurin}:
\begin{multline*}
\sum_{m=a}^b f(m)=\int_a^b f(x) dx+{f(a)+f(b)\over 2}\\
+
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}{B_n\over(2n)!}
(f^{(2n-1)}(b)-f^{(2n-1)}(a))
\end{multline*}
pour tout intervalle entier $[a,b]$, et pour toute fonction
\hbox{$f:[a,b]\to\CC$} suffisamment régulière. Ici les $B_n$ sont les
\emph{nombres de Bernoulli}, définis par la série génératrice
$${z\over 1-\exp(-z)}=1+{1\over 2}z+
\sum_{n=1}^{\infty}\,(-1)^{n-1}{B_n\over(2n)!}z^{2n}.$$
On peut reformuler ce résultat en introduisant l'\emph{opérateur
différentiel de Todd}:
$$\Td(\partial/\partial h)=
{\partial/\partial h\over 1-\exp(-\partial/\partial h)}
=1+{1\over 2}\;{\partial\over\partial h}+\sum_{n=1}^{\infty}\,(-1)^{n-1}
{B_n\over(2n)!}\;{\partial^{2n}\over\partial h^{2n}}.$$
C'est une série formelle en l'opérateur de dérivation partielle
$\partial/\partial h$. Observons que
\begin{multline*}
\Td(\partial/\partial h)\int_a^{b+h}\,f(x)\,dx\Big|_{h=0}\\
=\int_a^b\,f(x)dx+
{1\over 2}f(b)+\sum_{n=1}^{\infty}\,(-1)^{n-1}{B_n\over(2n)!}
f^{(2n-1)}(b).
\end{multline*}
On a donc:
$$\sum_{m=a}^b\,f(m)=\Td(\partial/\partial h_1)\Td(\partial/\partial h_2)
\int_{a-h_1}^{b+h_2}\,f(x)\,dx\Big|_{ h_1=h_2=0}.$$
C'est cette version de la formule sommatoire d'Euler et MacLaurin qu'on va
géné\-raliser aux polytopes convexes entiers, en établissant au
passage d'autres formules sommatoires.

\subsection{}\label{subsec:2.1} On conserve les notations de \ref{subsec:1.1}, et on note
$$A=\ZZ[x_1,x_1^{-1},\ldots,x_d,x_d^{-1}]$$
l'anneau des polynômes de Laurent en $d$ variables,
à coefficients entiers. Cet anneau est intègre; on
note $K$ son corps des fractions. Le monôme de Laurent
$x_1^{m_1}\cdots x_d^{m_d}$ sera souvent noté $x^m$, avec
$m\in\ZZ^d$.
On note $M$ l'ensemble des \og séries formelles\fg
$\sum_{m\in \ZZ^d}\,a_m\,x^m$ où les~$a_m$ sont des entiers relatifs.
L'ensemble $M$ est un groupe abélien, et même un
$A$-module: on peut multiplier une série formelle par un
polynôme, mais le produit de deux séries formelles n'est pas
défini en général.
Une série formelle $f\in M$ est dite \emph{sommable} s'il
existe $Q\in A$ non nul, tel que la série formelle $Qf:=P$ est
dans $A$. La \emph{somme} de $f$ est alors $P/Q\in K$.
On vérifie que la somme de $f$ est uniquement définie, si elle
existe. Par exemple, pour $m\in \ZZ^d\setminus\{0\}$ fixé,
la série $\sum_{n=0}^{\infty}\,x^{nm}$ est sommable,
et sa somme est $(1-x^m)^{-1}$; tandis que la série
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\,x^{nm}$ est sommable, de somme nulle.
Revenons aux polytopes convexes entiers. Soit $P$ un tel polytope.
Pour $s$ sommet de $P$, rappelons que $P_s$
désigne le cône engendré par les $-s+p$ avec $p\in P$.
C'est un cône convexe polyédral rationnel.

\skpt
\begin{theoreme*}
\begin{enumeratei}
\item
Pour tout cône convexe polyédral
rationnel $\sigma$, la série formelle
$$\varphi(\sigma):=\sum_{x\in\sigma\cap\ZZ^d}\,x^m$$
est sommable; notons $\Phi(\sigma)$ sa somme. De plus, $\Phi(\sigma)=0$
si $\sigma$ contient une droite.

\item
Pour tout polytope convexe entier $P$, on a dans $K$:
$$\sum_{m\in P\cap\ZZ^d}\,x^m=\sum_{s}\,x^s\Phi(P_s)$$
(somme sur l'ensemble des sommets de $P$).
\end{enumeratei}
\end{theoreme*}

\pagebreak[2]
\skpt
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
On se ramène par subdivision au cas où le
cône $\sigma$ est engendré par $d$ arêtes dont les directions sont
linéairement indépendantes. Soient $m_1,\ldots,m_d$ les points à
coordonnées entières, premières entre elles, sur ces arêtes.
Soit $\Pi$ le sous-ensemble de $\ZZ^d$ formé des points qui peuvent
s'écrire $\sum_{i=1}^d\,t_im_i$ avec des $t_i\in[0,1[$. On vérifie,
comme dans la preuve du théorème \ref{subsec:1.1}, que
$$\varphi(\sigma)\prod_{i=1}^d\,(1-x^{m_i})=
\sum_{m\in\Pi\cap\ZZ^d}\,x^m.$$
Ainsi, $\varphi(\sigma)$ est sommable. Si de plus $\sigma$ contient une
droite, alors~$\sigma$ est invariant par une translation de vecteur
entier $m\neq 0$, d'où \hbox{$(1-x^m)\varphi(\sigma)=0$}.

\item
Pour toute face $F$ de $P$, on dispose du cône convexe $P_F$
engendré par les $-f+p$ avec $f\in F$ et $p\in P$. Notons $\wt P_F$ le cône $f+P_F$ où $f$ est un point arbitraire de $F^0$. Alors $\wt P_F$ ne dépend pas du choix de $f$, et on a $\varphi(\wt P_F)=x^f\varphi(P_F)$. Montrons qu'on a
dans $M$:
$$\sum_{m\in P\cap\ZZ^d}\,x^m=
\sum_F\,(-1)^{\dim(F)}\biggl( \sum_{m\in \wt P_F\cap\ZZ^d}\,x^m\biggr).\leqno(*)$$

L'énoncé en résulte, en sommant les séries et en observant que
la somme de $\sum_{x\in \wt P_F\cap\ZZ^d}\,x^m$ est nulle si $P_F$ contient
une droite, c'est-à-dire si $F$ n'est pas un sommet.
\par
Soit $m\in \ZZ^d$. Vérifions que $x^m$ apparaît avec le même
coefficient dans les deux membres de $(*)$. Si $m\in P$ alors $m\in \wt P_F$
pour toute face $F$. De plus $1=\sum_{F}\,(-1)^{\dim(F)}$ (identité
d'Euler). D'autre part, si $m\notin P$, notons $Q$ l'enveloppe convexe
de $P$ et de $m$; notons $R$ l'adhérence de $Q\setminus P$. Alors
les faces $F$ de $P$ telles que $m\notin \wt P_F$ sont exactement les faces
de~$R$ qui ne contiennent pas $m$. Mais puisque~$R$ est étoilé par
rapport à $m$, on a: $\sum_G\,(-1)^{\dim(G)}=1$
(somme sur toutes les faces $G$ de $R$), et
aussi $\sum_{H}\,(-1)^{\dim(H)}=0$ (somme sur les faces $H$ de
$R$ qui contiennent $m$). D'où $\sum_{m\notin \wt P_F}\,(-1)^{\dim(F)}=1$
et $\sum_{m\in \wt P_F}\,(-1)^{\dim(F)}=0$, ce qui termine la vérification
de $(*)$.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{}\label{subsec:2.2} On considère maintenant un polytope convexe entier $P$ de
dimension $d$, tel que tous les cônes $P_s$ (où $s$ décrit
l'ensemble des sommets de $P$)
ont exactement $d$ arêtes. Un tel polytope $P$ est appelé
\emph{simple}. Pour chaque sommet $s$, on note $m_1(s),\ldots,m_d(s)$
les points à coordonnées entières, premières entre elles, sur
les arêtes de $P_s$. On pose $\Pi_s:=\sum_{i=1}^d\,[0,1[ m_i(s)$.

\begin{theoreme*}
Soit $L$ une forme linéaire sur $\RR^d$, à
valeurs complexes, telle que $L(m_i(s))\neq 0$ pour tout $i$ et tout sommet $s$ de $P$.
Alors:
$$\sum_{m\in P\cap\ZZ^d}\,\exp L(m)=\sum_{s}\,
{\sum_{m\in\Pi_s\cap\ZZ^d}\,\exp L(s+m)\over\prod_{i=1}^d(1-\exp L(m_i(s)))}
\leqno(i)$$
et de plus:
$$\int_P \exp L(x) dx=(-1)^d\sum_{s}\,\exp L(s)
{\vert \det(m_1(s),\ldots,m_d(s))\vert\over\prod_{i=1}^d L(m_i(s))}
\leqno(ii)$$
\end{theoreme*}

\begin{proof}
D'après la preuve du théorème \ref{subsec:2.1}, on a:
$$\sum_{m\in P\cap\ZZ^d}\,x^m=\sum_{s}\,
{\sum_{m\in\Pi_s\cap\ZZ^d}\,x^{s+m}\over\prod_{i=1}^d(1-x^{m_i(s)})}$$
Pour en déduire (i), on voudrait substituer $\exp L(m)$ à $x^m$. A
cet effet, définissons un homomorphisme de groupes
$\varepsilon:A\to\CC$ par $\varepsilon(x^m)=\exp L(m)$.
Alors $\varepsilon$ est un homomorphisme d'anneaux. De~plus,
$\varepsilon$ s'étend au sous-anneau de $K$ formé des
fractions ayant pour dénominateur un produit de termes $1-x^{m_i(s)}$;
en effet, on a \hbox{$\varepsilon(1-x^{m_i(s)})=1-\exp L(m_i(s))$} et ce nombre
n'est pas nul. L'identité (i) en résulte. Pour (ii), observons que
le polytope $P$ est entier par rapport au réseau ${1\over n}\ZZ^d$ où
$n$ est un entier positif arbitraire. Appliquant~(i) à ce réseau et
divisant par $n^d$, on obtient
$${1\over n^d}\sum_{m\in P\cap{1\over n}\ZZ^d}\,\exp L(m)=\sum_s
\exp L(s){\sum_{m\in\Pi_s\cap\ZZ^d}\,\exp L(\sfrac{m}{n})\over
\prod_{i=1}^d\,n(1-\exp L(\sfrac{m_i(s)}{n}))}$$
On en déduit (ii) par passage à la limite, en observant que
\[
{\rm card}(\Pi_s\cap\ZZ^d)=\vert \det(m_1(s),\ldots,m_d(s))\vert.\qedhere
\]
\end{proof}

Remarquons que l'équation (ii) est valable pour tout polytope convexe
simple $P$, à sommets non nécessairement entiers; un bon exercice
consiste à démontrer directement cette identité. On renvoie à
\cite{B1} pour une généralisation du théorème \ref{subsec:2.2} aux polytopes
convexes entiers non nécessairement simples.

\subsection{}\label{subsec:2.3} On conserve les notations de \ref{subsec:2.2}, et on note $F_1,\ldots,
F_N$ les faces de codimension 1 de $P$. Chaque $F_i$ a pour équation
$f_i=0$ où $f_i$ est une forme affine sur $\RR^d$, définie à un
multiple près. On normalise $f_i$ en imposant que ses coefficients
soient entiers, premiers entre eux, et que $f_i(x)\geq 0$ pour tout
$x\in P$. Pour $h=(h_1,\ldots,h_N)\in\RR^N$, on note $P(h)$ le
polytope convexe défini par les inéquations $f_i(x)+h_i\geq 0$.
Ainsi $P(h)$ est obtenu par déplacement des faces de $P$.
On définit l'\emph{opérateur différentiel de Todd} en $N$
variables, par
$$\Td(\partial/\partial h_1,\ldots,\partial/\partial h_N)=
\prod_{i=1}^N{\partial/\partial h_i\over 1-\exp(-\partial/\partial h_i)}.$$
C'est une série formelle en les opérateurs de dérivation partielle
$\partial/\partial h_i$. En particulier, pour toute fonction polynomiale
$f(h_1,\ldots, h_N)$, l'expression
$$\Td(\partial/\partial h_1,\ldots,\partial/\partial h_n)f(h_1,\ldots,h_N)
=\Td(\partial/\partial h)f(h)$$
a un sens.

\begin{theoreme*}
Soit $P$ un polytope convexe entier de
dimension $d$. On suppose que chaque cône $P_s$ ($s$ sommet de $P$)
est engendré par une base du réseau $\ZZ^d$; en
particulier, $P$ est simple. Alors pour toute fonction polynomiale $f$
de degré au plus $n$ sur $\RR^d$, la fonction
$$h\to\int_{P(h)}\,f(x)\,dx$$
est polynomiale de degré au plus $n+d$ au voisinage de l'origine,
et on a:
$$\Td(\partial/\partial h)\int_{P(h)}\,f(x)\,dx\Big|_{h=0}
=\sum_{m\in P\cap\ZZ^d}\,f(m).\leqno(*)$$
\end{theoreme*}

En particulier, on a:
$\Td(\partial/\partial h)\vol(P(h))\vert_{h=0}
={\rm card}(P\cap\ZZ^d)$. Le~membre de gauche de $(*)$ dépend
doublement du réseau $\ZZ^d$: par la normalisation de
l'élément de volume, et par les normalisations des inéquations des
faces, qui servent à définir $P(h)$.

\begin{proof}
On utilise les notations de \ref{subsec:2.2}. On vérifie
d'abord que toute fonction polynomiale homogène de degré $n$ est
combinaison linéaire à coefficients constants de fonctions de la
forme $x\to L(x)^n$ où $L$ est une forme linéaire sur $\RR^d$, telle
que $L(m_i(s))\neq 0$ pour tous~$s$ et~$i$. On peut donc supposer que
$f(x)=L(x)^n$; alors $\int_{P(h)}\,f(x)\, dx$ est le terme homogène de
degré $n$ dans le développement en série de
$n!\int_{P(h)}\,\exp L(x)\,dx$ comme fonction de $L$.
Appliquons l'identité (ii) du théorème \ref{subsec:2.2} au polytope convexe
$P(h)$ pour $h$ assez petit. Les sommets de $P(h)$ sont alors
$$s(h)=s-\sum_{i=1}^d\,h_{j(s,i)}m_i(s)$$
où $j(s,i)$ est l'indice de la face $F_j$ de $P$ qui contient $s$,
mais qui ne contient pas l'arête de $P$ issue de $s$ et de direction
$m_i(s)$. De plus, chaque cône $P(h)_{s(h)}$ s'identifie à $P_s$.
\begin{figure}[htb]
\setlength{\unitlength}{.98cm}
\begin{center}
\hspace*{-3cm}
\begin{picture}(11,4)
\put(2.5,2.5){\line(3,1){2.5}}
\put(2.5,2.5){\line(-1,-3){.7}}
\put(2.5,2.5){\vector(3,1){1}}
\put(2.5,2.5){\vector(-1,-3){.4}}
\multiput(2.1,.75)(.1,-.05){10}{\circle*{.05}}
\multiput(2.2,1)(.1,-.05){11}{\circle*{.05}}
\multiput(2.3,1.25)(.1,-.05){12}{\circle*{.05}}
\multiput(2.4,1.5)(.1,-.05){13}{\circle*{.05}}
\multiput(2.5,1.75)(.1,-.05){14}{\circle*{.05}}
\multiput(2.6,2)(.1,-.05){11}{\circle*{.05}}
\multiput(2.7,2.25)(.1,-.05){16}{\circle*{.05}}
\multiput(2.9,2.5)(.1,-.05){17}{\circle*{.05}}
\multiput(3.5,2.62)(.1,-.05){16}{\circle*{.05}}
\multiput(3.9,2.75)(.1,-.05){15}{\circle*{.05}}
\multiput(4,3)(.1,-.05){15}{\circle*{.05}}
\multiput(4.42,3.1)(.1,-.05){15}{\circle*{.05}}
\multiput(5,2.5)(.1,-.05){7}{\circle*{.05}}
\put(3.5,1.35){$P$}
\put(2.3,2.6){$s$}
\put(1.3,.8){$F_1$}
\put(4.2,3.5){$F_2$}
\put(1.1,1.5){$m_2(s)$}
\put(2.3,3){$m_1(s)$}

\put(9.5,2.5){\line(3,1){2.5}}
\put(9.5,2.5){\line(-1,-3){.7}}
\put(9.3,1.9){\line(3,1){2.5}}
\put(10.1,2.7){\line(-1,-3){.7}}
\put(9.5,2.5){\vector(3,1){1}}
\put(9.5,2.5){\vector(-1,-3){.4}}
\multiput(9.1,.75)(.1,-.05){10}{\circle*{.05}}
\multiput(9.2,1)(.1,-.05){11}{\circle*{.05}}
\multiput(9.3,1.25)(.1,-.05){12}{\circle*{.05}}
\multiput(9.4,1.5)(.1,-.05){13}{\circle*{.05}}
\multiput(9.5,1.75)(.1,-.05){14}{\circle*{.05}}
\multiput(9.6,2)(.1,-.05){10}{\circle*{.05}}
\multiput(9.7,2.25)(.1,-.05){10}{\circle*{.05}}
\multiput(9.9,2.5)(.1,-.05){17}{\circle*{.05}}
\multiput(10.5,2.62)(.1,-.05){16}{\circle*{.05}}
\multiput(10.9,2.75)(.1,-.05){15}{\circle*{.05}}
\multiput(11,3)(.1,-.05){15}{\circle*{.05}}
\multiput(11.42,3.1)(.1,-.05){15}{\circle*{.05}}
\multiput(12,2.5)(.1,-.05){7}{\circle*{.05}}
\put(10.5,1.5){$P(h)$}
\put(8.7,2.6){$s(h)$}
\put(8.3,.8){$F_1$}
\put(11.2,3.5){$F_2$}
\put(8.1,1.5){$m_2(s)$}
\put(9.3,3){$m_1(s)$}
\put(10,1.9){$s$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{\label{fig5}}
\end{figure}

On a donc
$$\int_{P(h)}\,\exp L(x)\,dx=(-1)^d\sum_{s}\,{\exp
(L(s)-\sum_{i=1}^d\,h_{j(s,i)}L(m_i(s)))\over
\prod_{i=1}^d L(m_i(s))}.$$
En développant en série par rapport à $L$, on en déduit
la première assertion du théorème. De plus, pour
vérifier $(*)$, il suffit de montrer que
\begin{multline*}
(-1)^d\sum_{s} \Td(\partial/\partial h)
{\exp(L(s)-\sum_{i=1}^d\,h_{j(i,s)}L(m_i(s)))\over
\prod_{i=1}^d L(m_i(s))}\Big|_{h=0}\\
=\sum_{m\in P\cap\ZZ^d}\,\exp L(m)
\end{multline*}
Mais d'après le théorème \ref{subsec:2.2} (i), le second membre est égal à
$$\sum_{s}\,{\exp L(s)\over
\prod_{i=1}^d(1-\exp L(m_i(s)))}$$
Enfin, observons qu'on a pour tout $t\in\CC$:
$$\Td(\partial/\partial h)\exp(th)\vert_{h=0}={t\over 1-\exp(-t)}.$$
En effet, la dérivation par rapport à $h$ multiplie $\exp(th)$ par
$t$. On en déduit que
\begin{multline*}
\Td(\partial/\partial h)
\,\exp\biggl( L(s)-\sum_{i=1}^d\,h_{j(s,i)}L(m_i(s))\biggr) \Big|_{h=0}\\
=\exp L(s)\cdot\prod_{i=1}^d{-L(m_i(s))\over 1-\exp L(m_i(s))}.
\end{multline*}
Ceci permet de terminer la vérification de $(*)$.
\end{proof}

On trouvera dans \cite{KK1} et \cite{PK2}, des énoncés analogues, pour les
fonctions produit d'un polynôme par l'exponentielle d'une forme
linéaire. Lorsqu'on essaie de
généraliser le théorème dans une autre direction,
en affaiblissant les hypothèses sur les cônes $P_s$,
la situation est beaucoup moins claire; on renvoie
à \cite{KK2} pour des résultats partiels, qui permettent cependant
de retrouver la formule de Pommersheim énoncée en \ref{subsec:1.4}.

\section{Polynôme d'Ehrhart et mesures invariantes des
polytopes entiers}
On expose un résultat de Betke et Kneser qui caractérise le
polynôme d'Ehr\-hart, voir \cite{BK}.

\subsection{}\label{subsec:3.1} On conserve les notations de \ref{subsec:1.1}, et on note
${\cal P}(\ZZ^d)$
l'ensemble des polytopes convexes entiers. Une \emph{mesure (finiment
additive)} sur ${\cal P}(\ZZ^d)$, à valeurs dans un groupe abélien
$\Gamma$, est une application
$$\mu:{\cal P}(\ZZ^d)\to\Gamma$$
qui vérifie le \og principe d'inclusion et d'exclusion\fg: chaque fois
que $P\in{\cal P}(\ZZ^d)$ est réunion de
$P_1,\ldots, P_n\in{\cal P}(\ZZ^d)$,
on a
$$\mu(P)=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}\,
(-1)^k \mu(P_{i_1}\cap\cdots\cap P_{i_k})$$
Par exemple, le volume est une mesure à valeurs dans
$(1/d!)\ZZ$. L'application qui à $P$ associe son polynôme
d'Ehrhart $i_P$ est aussi une mesure: en effet le principe d'inclusion et
d'exclusion est vérifié pour tous les
$i_P(n)={\rm card}(nP\cap\ZZ^d)$ où $n\in\NN$, et donc pour
$i_P(t)$.
Notons ${\rm Aut}(\ZZ^d)$ le groupe des transformations affines
bijectives de $\RR^d$ qui préservent $\ZZ^d$;
ce groupe opère dans l'ensemble ${\cal P}(\ZZ^d)$.
Observons que $P$ et $g(P)$ ont le même nombre de points entiers, pour
tout $g\in{\rm Aut}(\ZZ^d)$; d'où $i_{g(P)}(t)=i_P(t)$. Ainsi,
\emph{le polynôme d'Ehrhart est une mesure invariante par
${\rm Aut}(\ZZ^d)$.} Réciproquement, on a le

\begin{theoreme*}
Soit $\mu:{\cal P}(\ZZ^d)\to\Gamma$ une mesure
invariante par ${\rm Aut}(\ZZ^d)$. Alors $\mu$ est fonction linéaire des
valeurs du polynôme d'Ehrahrt en $0,1,\ldots,d$, c'est-à-dire:
il existe $\gamma_0,\ldots,\gamma_d\in\Gamma$ tels que
$$\mu(P)=\sum_{k=0}^d\,\gamma_k\,i_P(k).$$
\end{theoreme*}

Dans cet énoncé, on peut remplacer les valeurs en $0,1,\ldots, d$
par les valeurs en $n,n+1,\ldots,n+d$ où $n$ est un entier arbitraire.
En~effet, le polynôme d'Ehrhart appartient à l'ensemble des
fonctions polynomiales de degré au plus $d$, qui prennent des valeurs
entières en tous les entiers; notons $E_d$ cet ensemble. Pour
$0\leq k\leq d$, la fonction
$${t\choose k}={t(t-1)\cdots(t-k+1)\over k!}$$
est dans $E_d$, et ces fonctions forment une base du groupe abélien
$E_d$ (exercice). Il en est de même des fonctions $\binom{t+n}{k}$
pour $0\leq k\leq d$: ainsi, les valeurs en $n,n+1,\ldots,n+d$ de tout
$f\in E_d$ sont combinaisons linéaires entières des valeurs en
$0,1,\ldots,d$.

\subsection{Démonstration}\label{subsec:3.2} On commence par construire un groupe
abélien ${\cal BK}(\ZZ^d)$ et une application
\begin{align*}
{\cal P}(\ZZ^d)&\to{\cal BK}(\ZZ^d)\cr
P&\mto[P]
\end{align*}
qui vérifient la propriété universelle suivante: pour toute mesure~$\mu$, à valeurs dans $\Gamma$ et invariante par
${\rm Aut}(\ZZ^d)$, il existe un unique homo\-morphisme de groupes
$\tilde\mu:{\cal BK}(\ZZ^d)\to\Gamma$ tel que $\tilde\mu([P])=[P]$
pour tout $P\in{\cal P}(\ZZ^d)$. Autrement dit, l'application de
${\cal P}(\ZZ^d)$ vers ${\cal BK}(\ZZ^d)$ est la mesure
invariante par ${\rm Aut}(\ZZ^d)$ et universelle.
A cet effet, on définit ${\cal BK}(\ZZ^d)$ comme
le groupe abélien qui a pour géné\-rateurs les élé\-ments de
${\cal P}(\ZZ^d)$, et pour relations:
$$P-\sum_{k=1}^{n}(-1)_{}^{k-1}\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n} P_{i_1}\cap\cdots\cap P_{i_k}$$
pour tout $P$ qui est réunion de $P_1,\ldots, P_n$, et
$$P-g(P)$$
pour tous $P\in{\cal P}(\ZZ^d)$ et $g\in{\rm Aut}(\ZZ^d)$.
On note $[P]$ l'image du générateur $P$ dans ${\cal BK}(\ZZ^d)$;
il est clair que l'application ainsi définie est la mesure universelle.
Pour $0\leq k\leq d$, appelons \emph{$k$-simplexe standard} tout simplexe
entier de dimension $k$ et de volume $k$-dimensionnel $(1/k!)$.
Les $k$-simplexes standard sont les images par ${\rm Aut}(\ZZ^d)$ du
simplexe $S_k$ dont les sommets sont l'origine et les $k$ premiers
vecteurs d'une base de $\ZZ^d$. Le polynôme d'Ehrhart d'un tel
$k$-simplexe est:
$${t+k\choose k}={(t+1)(t+2)\cdots(t+k)\over k!}.$$
En dimension au moins trois, il existe des polytopes convexes entiers
qui n'admet\-tent aucune subdivision par des simplexes standard (par
exemple, les tétraèdres $T(p,q)$ définis en \ref{subsec:1.3}).
Cependant, on peut trouver de telles subdivisions si on s'autorise à
faire des différences de polytopes. Plus précisément, on
va montrer le résultat suivant.

\begin{proposition*}
Le groupe ${\cal BK}(\ZZ^d)$ est engendré
par les $k$-simplexes standard.
\end{proposition*}

Le théorème en résulte; en effet, soit $P$ un polytope convexe
entier. La proposition implique l'existence
d'entiers $x_0(P),\ldots,x_d(P)$ tels qu'on ait dans
${\cal BK}(\ZZ^d)$:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$[P]=\sum_{k=0}^d\,x_k(P)[\Delta_k].$$
Il en résulte d'une part que\vspace*{-3pt}
$$\mu(P)=\sum_{k=0}^d\,x_k(P)\mu(\Delta_k)$$
et d'autre part que\vspace*{-3pt}
$$i_P(t)=\sum_{k=0}^d\,x_k(P){t+k\choose k}.$$
Cette dernière équation permet d'exprimer les $x_k(P)$ comme
combinaisons linéaires entières de $i_P(0),\ldots,i_P(d)$.
Pour démontrer la proposition, observons que le groupe
${\cal BK}(\ZZ^d)$ est
engendré par les images des simplexes entiers; en effet, tout polytope
convexe entier~$P$ admet une subdivision par des simplexes entiers
$(S_j)_{j\in J}$ comme en~\ref{subsec:1.2}; alors on a dans ${\cal BK}(\ZZ^d)$:\vspace*{-3pt}
$$[P]=\sum_{j\in J}\,(-1)^{{\rm codim}(S_j)}\,[S_j].$$
De plus, par récurrence sur la dimension, on peut supposer que l'image
dans ${\cal BK}(\ZZ^d)$ de tout simplexe entier de dimension
$\leq d-1$ est dans le
sous-groupe engendré par les $[\Delta_k]$, $0\leq k\leq d-1$. Soit~$S$ un simplexe entier de dimension $d$ de sommets $x_0,\ldots, x_d$;
alors $d!\vol(S):=V(S)$ est un entier positif. Si $V(S)=1$, alors
$S$ est standard, et c'est terminé. On va montrer par récurrence sur
$V(S)$ que $[S]-V(S)[\Delta_d]$ appartient au sous-groupe engendré par
les $[\Delta_k]$, $0\leq k\leq d-1$.
Notons $F_0,\ldots,F_d$ les $(d-1)$-faces de $S$. Soit $p\in\ZZ^d$;
soient $F_{i_1},\ldots,F_{i_l}$ les faces dont l'hyperplan sépare
strictement~$p$ et~$S$;
soient $F_{j_1},\ldots,F_{j_m}$ les autres faces. Alors le polyèdre convexe
${\rm conv}(p,S)$ engendré par $p$ et $S$ admet deux subdivisions en simplexes entiers: l'une
par $S$ et les ${\rm conv}(p, F_{i_{\alpha}})$, et l'autre par les
${\rm conv}(p,F_{j_{\beta}})$.

\begin{figure}[htb]
\smaller
\setlength{\unitlength}{.8cm}
\begin{center}
\hspace*{-3cm}
\begin{picture}(11,4)
\put(2,2){\circle*{.05}}
\put(1.7,2){$p$}
\put(6,0){\line(0,1){3}}
\put(5,1){\line(1,-1){1}}
\put(5,1){\line(1,2){1}}
\multiput(2,2)(.3,-.1){11}{\circle*{.05}}
\multiput(2,2)(.4,.1){11}{\circle*{.05}}
\multiput(2,2)(.2,-.1){21}{\circle*{.05}}
\put(5.3,1){$S$}
\put(6.2,1){$F_j$}
\put(4.8,2){$F_{i_1}$}
\put(4.8,.5){$F_{i_2}$}

\put(9,0){\line(0,1){3}}
\put(9.2,1){$F_i$}
\put(8,1){\line(1,-1){1}}
\put(8,1){\line(1,2){1}}
\put(12,2){\circle*{.05}}
\put(12.2,2){$p$}
\multiput(12,2)(-.3,.1){11}{\circle*{.05}}
\multiput(12,2)(-.4,-.1){11}{\circle*{.05}}
\multiput(12,2)(-.3,-.2){11}{\circle*{.05}}
\put(7.8,2){$F_{j_1}$}
\put(7.8,.3){$F_{j_2}$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{\label{fig6}}
\end{figure}

Pour terminer la démonstration, il
suffit donc de trouver $p\in \ZZ^d$ tel que\vspace*{-3pt}\enlargethispage{2\baselineskip}
$$V({\rm conv}(p,F_i))<V(S)$$
pour $0\leq i\leq d$; autrement dit, que $p$ est plus proche de chaque
$F_i$ que le sommet de $S$ qui n'est pas dans $F_i$.
On va expliciter un tel point $p$. On peut supposer que les seuls
points entiers de $S$ sont ses sommets; alors les vecteurs
$x_1-x_0,\ldots,x_d-x_0$ sont indivisibles dans~$\ZZ^d$. Soit $s$ le plus
grand entier tel que $(x_1-x_0,\ldots,x_s-x_0)$ peut être complété
en une base de $\ZZ^d$. Quitte à remplacer $S$ par $g(S)$ pour un
$g\in{\rm Aut}(\ZZ^d)$, on peut supposer que $x_0=0$,
\hbox{$x_1=e_1,\ldots,x_s=e_s$}. Alors $x_{s+1}=a_1e_1+\cdots+a_de_d$ avec
${\rm pgcd}(a_{s+1},\ldots,a_d)>1$ par maximalité de $s$. On peut
supposer que $a_{s+2}=\cdots=a_d=0$, puis que\vspace*{-3pt}
$$0\leq a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_{s-1}<a_s$$
et $a_s>1$. Soit $r$ le plus grand entier tel que\vspace*{-3pt}
$$r<1+a_s^{-1}(a_1+\cdots+a_{s-1}-1),$$
alors $r<s$. Soit $p$ le point de coordonnées 0 ($s-r-1$ fois), 1~($r+1$ fois), 0 ($d-s$ fois). Vérifions que $p$ convient.
Pour $0\leq i\leq d$, notons~$F_i$ la $(d-1)$-face de $S$ qui ne
contient pas le sommet $x_i$. Notons $f_i$ l'unique forme affine sur
$\RR^d$ qui vaut 0 sur $F_i$ et 1 en $x_i$. Les valeurs des $f_i$ sont:\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
f_0&=x_1+\cdots+x_{s-1}+a_s^{-1}(1-a_1-\cdots-a_{s-1})x_s\\
&\hspace*{5cm}+g_0(x_{s+1},\ldots,x_d)-1,\\
f_i&=x_i-a_ia_s^{-1}x_s+g_i(x_{s+1},\ldots,x_d)
\quad(1\leq i\leq s-1),\\
f_s&=a_s^{-1}x_s+g_s(x_{s+1},\ldots,x_d),\\
f_j&=g_j(x_{s+1},\ldots,x_d)
\quad(s+1\leq j\leq d).
\end{align*}
Il faut vérifier que $\vert f_i(p)\vert<1$ pour $0\leq i\leq d$.
Observons d'abord que$p$ est dans l'hyperplan engendré par $F_i$,
pour tout $i\geq s+1$. D'autre part, on a:
$$f_0(p)=r+a_s^{-1}(1-a_1-\cdots-a_{s-1})$$
d'où $0\leq f_0(p)<1$.
On a aussi: $f_s(p)=a_s^{-1}\in[0,1[$ et pour $1\leq i\leq
s-r-1$, on a: $f_i(p)=-a_s^{-1}a_i\in]-1,0]$. Enfin, pour $s-r\leq i\leq
s-1$, on a: $f_i(p)=1-a_s^{-1}a_i$, d'où $f_i(p)\in[0,1]$. Si de plus
$f_i(p)=1$, alors $a_i=0$, d'où $a_1=\cdots=a_{i-1}=0$ et
$$r<1+a_s^{-1}(a_{i+1}+\cdots+a_{s-1}-1)<1+(s-1-i)$$
et $i<s-r$, contradiction.

\begin{remarque*}
La démonstration ci-dessus redonne l'existence du
polynôme d'Ehr\-hart, en n'utilisant que son calcul (facile) pour les
simplexes standard.
\end{remarque*}

\section{L'anneau des polytopes entiers}
On expose une partie des résultats de McMullen, Morelli,
Kantor, Pukh\-likov et Khovanskii sur l'anneau des polytopes et
son analogue entier, ainsi que leurs applications aux mesures (ou
valuations) invariantes par translations. Des constructions universelles
analogues à celle du groupe ${\cal BK}(\ZZ^d)$ de \ref{subsec:3.2}, joueront un
grand rôle dans cette dernière partie.

\subsection{Mesures et valuations sur les polytopes}\label{subsec:4.1}
On note ${\cal P}(\RR^d)$ l'ensemble des polytopes convexes
de $\RR^d$. Comme
en \ref{subsec:3.1}, on a la notion de \emph{mesure} (finiment additive) sur
${\cal P}(\RR^d)$, à valeurs dans un groupe abélien $\Gamma$. Une
notion apparemment plus faible est celle de \emph{valuation}: il s'agit
d'une application $\mu:{\cal P}(\RR^d)\to\Gamma$ telle que
$$\mu(P\cup Q)=\mu(P)+\mu(Q)-\mu(P\cap Q)$$
pour tous $P$ et $Q$ dans ${\cal P}(\RR^d)$ tels que $P\cup Q$ est aussi
dans ${\cal P}(\RR^d)$. En fait, ces deux notions coïncident, comme
le montre le résultat suivant.

\begin{proposition*}
Soit $\mu:{\cal P}(\RR^d)\to\Gamma$ une
application qui vérifie
$$\mu(P)=\mu(P\cap H^+)+\mu(P\cap H^-)-\mu(P\cap H)$$
pour tout $P\in{\cal P}(\RR^d)$ et pour tout hyperplan $H$ de
$\RR^d$, délimitant deux demi-espaces fermés $H^+$ et $H^-$. Alors
$\mu$ est une mesure.
\end{proposition*}

\begin{proof}
Notons ${\cal E}(\RR^d)$ le groupe abélien ayant
pour générateurs les élé\-ments de ${\cal P}(\RR^d)$ et pour
relations
$$[P]-[P\cap H^+]-[P\cap H^-]+[P\cap H]$$
où $P$ et $H$ sont comme ci-dessus, et où $[P]$ désigne l'image de
$P$ dans ${\cal E}(\ZZ^d)$. D'autre part, associons à tout polytope
convexe $P$ sa fonction caractéristique
${\bf 1}_P:\RR^d\to\{0,1\}$; notons $L(\RR^d)$ le
sous-groupe du groupe additif des applications de $\RR^d$ dans $\ZZ$,
engendré par les fonctions caractéristiques des polytopes convexes.
La relation évidente
$${\bf 1}_P={\bf 1}_{P\cap H^+}+{\bf 1}_{P\cap H^-}-{\bf 1}_{P\cap H}$$
permet de définir l'homomorphisme de groupes
$$\varphi:{\cal E}(\RR^d)\to L(\RR^d),\;[P]\to{\bf 1}_P.$$
L'énoncé de la proposition équivaut à l'injectivité de
$\varphi$. Pour la véri\-fier, considérons
$x=\sum[P_i]-\sum[Q_j]\in{\cal E}(\RR^d)$ tel que $\varphi(x)=0$.
Écrivons les
$P_i$ et les $Q_j$ comme intersections finies de demi-espaces; d'où
une famille (finie) d'hyperplans $(H_{\alpha})$. Le complémentaire de
la réunion de ces hyperplans n'a qu'un nombre fini de composantes
connexes, et chacune de ces composantes n'a qu'un nombre fini de faces
bornées; soit $(R_{\beta})$ la famille finie des adhérences de ces
faces.
Les relations
$$[P]=[P\cap H_{\alpha}^+]+[P\cap H_{\alpha}^-]-[P\cap H_{\alpha}]$$
permettent d'écrire les $P_i$ et $Q_j$ comme combinaisons entières
des $R_{\beta}$. Par suite, on a $x=\sum_{\beta}\,a_{\beta}[R_{\beta}]$
avec des $a_{\beta}$ entiers. Choisissons un $R_{\gamma}$ dont la
dimension est maximale parmi les dimensions des $R_{\beta}$ figurant
dans $x$. En évaluant $\varphi(x)$ en un point de l'intérieur relatif
de $R_{\beta}$, on obtient $a_{\beta}=0$.
On conclut par une récurrence immédiate.
\end{proof}

\subsection{L'anneau des polytopes (voir {\rm \cite{Mc1}, \cite{Mc2}})}\label{subsec:4.2}
Il existe une mesure (ou valuation) universelle sur ${\cal P}(\RR^d)$,
donnée par la construction suivante. Notons $\tilde\Pi(\RR^d)$
le groupe abélien ayant pour générateurs les éléments de
${\cal P}(\RR^d)$, et pour relations
$$[P\cup Q]-[P]-[Q]+[P\cap Q]$$
chaque fois que $P$, $Q$ et $P\cup Q$ sont dans ${\cal P}(\RR^d)$.
Alors \emph{l'application canonique
$${\cal P}(\RR^d)\to\tilde\Pi(\RR^d),\;P\to[P]$$
est la valuation universelle}. On s'intéresse plus particulièrement
aux valuations invariantes par un groupe de transformations affines, le
plus simple étant le groupe des translations. En désignant par
$\Pi(\RR^d)$ le quotient de $\tilde\Pi(\RR^d)$ par les relations
$$[v+P]-[P]\quad(v\in \RR^d,\;P\in{\cal P}(\RR^d)),$$
l'application canonique de ${\cal P}(\RR^d)$ dans $\Pi(\RR^d)$
est la valuation invariante par translations, universelle.
Rappelons que la \emph{somme de Minkowski} de deux polytopes convexes $P$
et $Q$ est définie par
$$P+Q=\{p+q\;\vert\;p\in P,q\in Q\};$$
c'est un polytope convexe. Du lemme ci-dessous résulte que la formule
$$[P][Q]=[P+Q]$$
définit une structure d'anneau sur $\tilde\Pi(\RR^d)$ et
$\Pi(\RR^d)$. Ce dernier est appelé \emph{l'anneau des polytopes}.

\begin{lemme*}
Soient $P$, $Q$, $R\in{\cal P}(\RR^d)$. Alors
$$(P\cup Q)+R=(P+R)\cup(Q+R).$$
Si de plus $P\cup Q\in{\cal P}(\RR^d)$, alors
$$(P\cap Q)+R=(P+R)\cap(Q+R).$$
\end{lemme*}

\begin{proof}
La première assertion est évidente, ainsi que
l'inclusion de $(P\cap Q)+R$ dans $(P+R)\cap(Q+R)$. Pour l'inclusion
opposée, soient $p\in P$, $q\in Q$ et $r_1$, $r_2\in R$ tels que
$p+r_1=q+r_2:=x$. Puisque $P\cup Q$ est convexe, le segment $[p,q]$
rencontre $P\cap Q$. Soit $t\in[0,1]$ tel que $tp+(1-t)q\in P\cap Q$.
Alors $x=tp+(1-t)q+tr_1+(1-t)r_2$ est dans $(P\cap Q)+R$.

Pour tout entier $k\geq 0$, notons $F_k\ZZ{\cal P}(\RR^d)$ le
sous-groupe de $\ZZ{\cal P}(\RR^d)$ engendré par les polytopes de
dimension au plus $k$. On définit ainsi des filtrations croissantes
des anneaux $\tilde\Pi(\RR^d)$ et $\Pi(\RR^d)$. La proposition~\ref{subsec:4.1}
entraîne que le groupe $\Pi(\RR^d)/F_{d-1}\Pi(\RR^d)$ a pour
générateurs les polytopes de dimension $d$, et pour relations:
$[P\cup Q]-[P]-[Q]$ avec $P$, $Q$ polytopes de dimension $d$, tels que
$P\cup Q$ est convexe et que $P\cap Q$ est contenu dans un hyperplan.
Ce groupe joue un rôle essentiel dans les problèmes de
décomposition des polyèdres, voir \cite{C}.
L'application ${\rm deg}:\ZZ{\cal P}\to\ZZ$ définie par
${\rm deg}(\sum\,n_P P)=\sum n_P$ est nulle sur les relations
de $\tilde\Pi(\RR^d)$ et $\Pi(\RR^d)$. On peut donc définir
des degrés sur $\tilde\Pi(\RR^d)$ et $\Pi(\RR^d)$;
ce sont des homomorphismes d'anneaux.
Pour tout $P\in{\cal P}(\RR^d)$, on pose
$$[P]^*=\sum_{F\subset P}\,(-1)^{\dim(F)}[F]$$
c'est-à-dire: $[P]^*=(-1)^{\dim(P)}[P^0]$ grâce à l'identité
(équivalente à la relation d'Euler):
$${\bf 1}_{P^0}=\sum_{F\subset P}\,(-1)^{{\rm codim}(F)}{\bf 1}_F.$$
On vérifie que * est un automorphisme involutif de $\tilde\Pi(\RR^d)$
et de $\Pi(\RR^d)$. Pour $\lambda\in\RR$ non nul, on définit
l'homothétie de rapport $\lambda$, notée $\lambda\cdot$, par:
$${\lambda}\cdot[P]=\begin{cases}
[\lambda P]& \text{si $\lambda>0$},\\
[-\lambda P]^*& \text{si $\lambda<0$.}
\end{cases}
$$
On obtient ainsi un automorphisme de $\tilde\Pi(\RR^d)$
et de $\Pi(\RR^d)$; on pose: $0\cdot P={\rm deg}(P)$.
\end{proof}

On doit à MacMullen des résultats très profonds sur la structure
de l'anneau $\Pi(\RR^d)$.
On va énoncer une version abstraite d'une partie de
ces résultats; des corollaires plus concrets seront donnés ensuite.

\begin{theoreme*}
Il existe une unique décomposition
$$\Pi(\RR^d)=\bigoplus_{k=0}^d\,\Pi_k$$
du groupe abélien $\Pi(\RR^d)$ telle que:
\begin{enumeratei}
\item
$\Pi_0=\ZZ$ et $\Pi_{\geq 1}=\Pi_1\oplus\cdots\oplus\Pi_d$
est le noyau de {\rm deg}.

\item
Pour $1\leq k\leq d$, le sous-groupe $\Pi_k$ a une structure
d'espace vectoriel réel, telle que pour tout $\lambda\in\RR$
et pour tout $x\in\Pi_k$, on a: $\lambda\cdot x=\lambda^kx$.

\item
L'espace vectoriel réel $\Pi_d$ est de dimension $1$.
\end{enumeratei}
\end{theoreme*}

\Changel

En fait, un isomorphisme de $\Pi_d$ sur $\RR$ est donné par le
volume. Ceci équivaut à un résultat classique de Hadwiger:
\emph{toute mesure sur ${\cal P}(\RR^d)$, invariante par translations,
et homogène de degré $d$, est un multiple constant du volume}
(voir \cite{H}). Observons d'autre part que l'énoncé (ii), joint au fait
que l'homothétie de rapport $\lambda$ est un automorphisme de
$\Pi(\RR^d)$, entraîne que $\Pi_k\,\Pi_l\subset \Pi_{k+l}$ pour
tous $k,l\in[1,d]$. Autrement dit, \emph{$\Pi_{\geq 1}$ est une
$\RR$-algèbre graduée}. Les démonstrations de McMullen sont élémentaires
mais astucieuses; on renvoie à \cite{B3} pour une approche plus algébrique,
et une généralisation du théorème de Hadwiger.

\Changelback

\subsection{L'anneau des polytopes entiers (voir \cite{M1}, \cite{M2}, \cite{PK1})}\label{subsec:4.3}
Comme en \ref{subsec:4.1}, on définit $\tilde\Pi(\ZZ^d)$ et son quotient
$\Pi(\ZZ^d)$ par le sous-groupe engendré par les $[m+P]-[P]$
où $m\in \ZZ^d$ et $P\in{\cal P}(\ZZ^d)$.
Les groupes abéliens $\tilde\Pi(\ZZ^d)$ et $\Pi(\ZZ^d)$
ont une structure d'anneau, muni d'une involution $*$.
On note $L(\ZZ^d)$ le sous-groupe de $L(\RR^d)$ engendré par les
fonc\-tions carac\-téristiques des éléments de
${\cal P}(\ZZ^d)$. L'application naturelle de
$\tilde\Pi(\ZZ^d)$ vers $L(\ZZ^d)$ est un isomorphisme.
\emph{Autrement dit, les notions de mesure et de valuation
coïncident pour les polytopes convexes entiers.}
Ce résultat, bien plus difficile que son analogue non entier
(proposition \ref{subsec:4.1}) est démontré par Morelli, voir \cite{M1}.
Comme ci-dessus, l'homothétie de rapport $n$
définit un endomorphisme $n\cdot$
de $\tilde\Pi(\ZZ^d)$ et de $\Pi(\ZZ^d)$, pour tout entier $n\neq 0$.
Les résultats de MacMullen s'étendent alors,
pourvu que l'on remplace $\Pi(\ZZ^d)$ par son produit tensoriel
avec $\QQ$; de plus, l'application naturelle de $\Pi(\ZZ^d)$ dans
$\Pi(\RR^d)$
est injective, voir \cite{M1}.
Voici un corollaire plus concret de ces résultats.
Soit $\mu$ une valuation sur les polytopes convexes entiers,
et invariante par translations par $\ZZ^d$; soit $P\in{\cal P}(\ZZ^d)$.
Alors \emph{l'application $\mu_P:\ZZ\to\Gamma$ définie par
$$\mu_P(n)=\begin{cases}
\mu(nP)& \text{si $n\geq 0$},\\
(-1)^{\dim(P)}\mu(-nP^0)& \text{si $n<0$}
\end{cases}
$$
est polynomiale de degré au plus $d$} (voir \cite{McS}).
En effet, une valuation invariante par translations, et
à valeurs dans $\Gamma$, n'est autre qu'un
homomorphisme du groupe $\Pi(\ZZ^d)$ vers $\Gamma$, et de plus
$\mu_P(n)=\mu(n\cdot[P])$. Un exemple de telle valuation est donné par:
$\mu(P)={\rm card}(P\cap\nobreak\ZZ^d)$; on retrouve ainsi les résultats
d'Ehrhart.

\backmatter
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups95-02}
\end{document}

