\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais, NoFloatCountersInSection, NoEqCountersInSection, ThmDefs]{cedram}
\graphicspath{{xups94-03_figures}}
\setlength{\unitlength}{.8cm}
\let\ligne\relax

\renewcommand{\thepart}{\Roman{part}}
\AtBeginDocument{%
\renewcommand\partname{Partie}%
}

\let\dpl=\displaystyle
\def\Arg{\mathop{\rm Arg}\nolimits}
\def\Arctg{\mathop{\rm Arctg}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\subsetneq{\mathop{\subseteq_{\!\!\!\!/}}}
\let\sm\relax
\def\IN{\mathaccent"017 } \let\rond\IN

\newcommand{\T}{\S\,}
\newcommand{\qqbox}[1]{\quad\text{#1}\quad}
\DeclareMathOperator{\reel}{R\acute{e}}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}

\makeatletter
\def\lsectionpart{\let\l@section\l@part}
\makeatother

\begin{document}
\frontmatter

\title{L'ensemble de Julia dépend-il continûment du polynôme?}

\author[\initial{A.} \lastname{Douady}]{\firstname{Adrien} \lastname{Douady}}

\address{Département de Mathématiques, Bât. 425,
Université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France}

\thanks{Journées X-UPS 1994. Aspects des systèmes dynamiques (des équations différentielles aux itérations de fonctions). Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1994, et Éditions de l'École polytechnique, 2009}

\maketitle
{\let\ligne\\ \tableofcontents}
\mainmatter

\section*{Introduction}

Étant donné un polynôme complexe $f: \CC \to \CC$ de degré
$d\geq 2$, on définit \emph{l'ensemble de Julia rempli} $K(f)$ et
\emph{l'ensemble de Julia} proprement dit $J(f)$ (\T 4). Tous deux sont
des compacts non vides de $\CC$. L'ensemble $J(f)$ est la frontière
de $K(f)$, et $K(f)$ est la réunion de $J(f)$ avec les composantes
connexes bornées de $\CC -J(f)$. L'ensemble $K(f)$ peut être
d'intérieur vide (auquel cas $J(f)=K(f)$), ou d'intérieur non vide.
L'ensemble $J(f)$ est la fermeture de l'ensemble des points
périodiques répulsifs. Les composantes connexes de
l'intérieur de $K(f)$ sont toujours reliées à des points
périodiques non répulsifs de $f$. Les points périodiques
sont décrits au \T 3.

Dans cet exposé, nous examinons à quel point $K(f)$ et $J(f)$
dépen\-dent continûment de $f$, quand $f$ parcourt l'ensemble
$\cP_{d}$ des polynômes de degré $d$.

Il nous faut d'abord donner un sens à la question. On le fait en
définissant la \emph{métrique de Hausdorff} sur l'ensemble ${\rm
Comp}^{*} (\CC)$ des compacts non vides de $\CC$ (\T 1). La distance de
Hausdorff est définie comme sup de deux semi-distances ce qui permet
de décomposer la continuité pour des applications à valeurs
dans ${\rm Comp}^{*}(\CC)$ en semi-continuités supérieure et
inférieure. Au contraire de ce qui se passe pour les fonctions à
valeurs dans $\RR$, les deux semi-continuités jouent des rôles
très différents: la semi-continuité supérieure est
beaucoup plus naturelle.

L'application $f\mto K(f)$ est semi-continue supérieurement, et
$f\mto J(f)$ est semi-continue inférieurement. Toutes deux sont
continues en~$f_{0}$ si $K(f_{0})$ est d'intérieur vide.

Le fait pour $K(f_{0})$ d'avoir un intérieur non vide peut être
dû à la présence de cycles attractifs, de cycles
paraboliques ou de disques de Siegel. Il peut y en avoir plusieurs pour
le même $f_{0}$ si $d>2$, mais en degré 2 ils s'excluent
mutuellement. Nous examinons l'effet sur la continuité de ces trois
types de cycles.

Les cycles attractifs ne causent en fait aucune discontinuité (\T
6). Les disques de Siegel causent une discontinuité dans $f\mto
J(f)$, mais aucune pour $f\mto K(f)$ (\T 7).

Un cycle parabolique cause une discontinuité dans $f\mto K(f)$ et
dans $f\mto J(f)$. Ces discontinuités peuvent être
décrites et analysées avec précision. Nous les ferons dans
la partie II pour l'exemple le plus simple: l'application $z\mto z +
z^{2}$. L'outil principal pour cette étude est fourni par les \emph{coordonnées de Fatou}.

Je remercie l'Union des Professeurs de Spéciale et l'École Polytechnique, en particulier Nicole Berline et Claude Sabbah, qui ont organisé cette rencontre, Bodil Branner et Nuria Fagella pour leur aide dans la préparation de ce texte et Jacques Carette qui a réalisé les figures à l'ordinateur. Ce texte paraît en anglais dans les comptes-rendus d'une rencontre semblable (short course) organisée par Robert Devaney de l'université de Boston et qui a eu lieu a Cincinnati sous l'égide de l'American Mathematical Society\footnote{N.d.E.: la référence exacte de l'article est \og Does a Julia set depend continuously on the polynomial?\fg in \emph{Complex dynamical systems (Cincinnati, OH, 1994)}, p.~91--138, Proc. Sympos. Appl. Math., vol.~49, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.}.

\part{Propriétés de continuité}

\section{La métrique de Hausdorff}

Soit $E$ un espace métrique. Notons Comp$(E)$ l'ensemble des
compacts de $E$ et posons ${\rm Comp}^{*}(E)= {\rm Comp}(E)- \{
\emptyset\}$. Nous allons munir ${\rm Comp}^{*}(E)$ d'une distance
appelée la distance de Hausdorff. Nous donnons la définition et
quelques propriétés dans le cadre général des espaces
métriques arbitraires, mais en fait nous nous intéressons
seulement au cas $E=\CC$.

Soient $X$ et $Y$ deux compacts de $E$. Nous disons que $X$ est contenu
dans $Y$ à $r$ près si $X$ est contenu dans le $r$-voisinage de
$Y$, c'est-à-dire si $d(x,Y)\leq r$ pour tout $x\in X$. Nous notons
$\partial (X,Y)$ le plus petit $r$ tel que $X\subset Y$ à $r$
près, soit
$$
\partial (X,Y) = \sup_{x\in X} d(x,Y).
$$
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=5\unitlength,angle=-90]{douadyfig1}}
\caption{}
\end{figure}

La \emph{distance de Hausdorff} $d_{H}$ est définie par
$$
d_{H}(X,Y) =\sup (\partial (X,Y), \partial (Y,X)).
$$
Les conventions usuelles concernant l'ensemble vide nous amènent
à poser $d(x, \emptyset )=\nobreak\infty$, $\partial (X,\emptyset
)=\infty$ pour $X \neq\emptyset$ et $\partial (\emptyset,\emptyset)=0$.
Pour éviter des diffi\-cul\-tés sans pertinence, nous travaillons
sur ${\rm Comp}^{*}(E)$, autrement dit nous ne considérerons que des
compacts non vides.

\begin{enonce*}{Proposition 1.1} La fonction $d_{H}$ est une distance sur
${\rm Comp}^{*} (E)$.
\end{enonce*}

\skpt
\begin{enonce*}{Lemme 1.2}
\begin{enumerate}
\item[{\rm (a)}]
On a $\partial (X,Y)=0$ si et seulement si $X\subset Y$.
\item[{\rm (b)}]
Pour $X,Y,Z$ dans ${\rm Comp}^{*}(E)$, on~a
$$
\partial (X,Z) \leq \partial (X,Y) +\partial (Y,Z).
$$
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\skpt
\begin{proof}
{\rm (a)} On a
\begin{align*}
\partial (X,Y) = 0 \iff (\forall x \in X)\; d(x,Y) = 0
&\iff (\forall x \in X)\; x\in Y\\
&\iff X\subset Y.
\end{align*}
On a la deuxième équivalence parce que $Y$ est fermé.

{\rm (b)} Posons $r_{1}= \partial (X,Y)$ et $r_{2} =\partial (Y,Z)$.
Pour $x\in X$, on peut trouver $y\in Y$ tel que $d(x,y) \leq r_{1}$,
puis $z\in Z$ tel que $d(y,z) \leq r_{2}$. On a alors $d(x,z) \leq r_{1}
+r_{2}$, d'où $d(x,Z) \leq r_{1} +r_{2}$. Comme cela vaut pour tout
$x\in X$, on~a $\partial (X,Z) \leq r_{1} + r_{2}$.
\end{proof}

\skpt
\begin{proof}[Démonstration de la proposition 1.1]

{\rm (a)} $d_{H} (X,Y) = d_{H} (Y,X)$ est évident sur la
définition.

{\rm (b)} $\dpl d_{H} (X,Y) = 0 \iff \partial (X,Y) = \partial
(Y,X) =0 \iff (X \subset Y $ et $\dpl Y \subset X) \iff
X = Y$.

{\rm (c)} De $\partial (X,Z) \leq \partial (X,Y) + \partial (Y,Z)$ et $\partial(Z,X) \leq \partial (Y,X) + \partial (Z,Y)$ on tire $d_{H} (X,Z) \leq d_{H} (X,Y) + d_{H} (Y,Z)$.
\end{proof}

À partir de maintenant nous munissons ${\rm Comp}^{*}(E)$ de la distance
de Hausdorff et nous le considérons donc comme un espace
métrique. Ceci nous permet d'utiliser des expressions comme \og $X_{n} \to X$ quand $n \to \infty$\fg ou \og $X_{\lambda}$ dépend
continûment de $\lambda \in \Lambda$\fg.

\section{Applications semi-continues à valeurs \ligne dans \texorpdfstring{${\rm
Comp}^{*}(E)$}{CE}}

La distance de Hausdorff $(X,Y)\mto d_{H} (X,Y)$ est le sup des deux
semi-distances $(X,Y) \mto \partial (X,Y)$ et $(X,Y)\mto \partial
(Y,X)$. Ceci nous permet de décomposer la propriété de
continuité pour une application $\Lambda \to {\rm Comp}^{*}(E)$ en
semi-continuités supérieure et inférieure.

Comparons avec $\RR$: la distance $(x,y)\mto |y-x|$ sur $\RR$ peut
s'exprimer comme
$$
| y-x| = \sup((y-x)^{+}, (x-y)^{+})
$$
où $r^{+} =\sup (r,0)$. Rappelons qu'une fonction $f: \Lambda \to \RR$
est dite \emph{semi-continue supérieurement} en $\lambda_{0}$ si
$$
(f (\lambda) - f (\lambda_{0}))^{+} \to 0 \qqbox{quand} \lambda \to \lambda_{0},
$$
c'est-à-dire:
$$
(\forall \varepsilon > 0 )\; (\exists\, V_{{\rm vois} \lambda_{0}} ) \;(\forall \lambda \in V)\quad
f(\lambda) < f(\lambda_{0} )+\varepsilon.
$$
On dit que $f$ est \emph{semi-continue inférieurement} en $\lambda_{0}$
si
$$
(f (\lambda_{0})-f(\lambda))^{+} \to 0 \qqbox{quand} \lambda \to \lambda_{0}
$$
c'est-à-dire
$$
(\forall \varepsilon > 0)\;(\exists\, V_{{\rm vois}\lambda_{0}})\;(\forall \lambda \in V)\quad
f(\lambda)> f(\lambda_{0}) -\varepsilon.
$$
Par analogie, nous disons qu'une application $\phi : \Lambda \to {\rm
Comp}^{*}(E)$ est \emph{semi-continue supérieurement} en $\lambda_{0}$ si
$$
\partial (\phi (\lambda), \phi (\lambda_{0}))\to 0 \qqbox{quand} \lambda \to
\lambda_{0},
$$
c'est-à-dire
$$
(\forall \varepsilon > 0)\; (\exists\, V_{{\rm vois}\lambda_{0}}) \;(\forall \lambda \in V)\quad
\phi (\lambda) \subset \phi (\lambda_{0})\ \hbox{à}\ \varepsilon \ \hbox{près}.
$$
Nous disons que $\phi$ est semi-continue inférieurement en $\lambda_{0}$
si
$$
\partial (\phi(\lambda_{0}), \phi (\lambda)) \to 0\qqbox{quand} \lambda \to
\lambda_{0},
$$
c'est-à-dire
$$
( \forall \varepsilon > 0)\; (\exists\, V_{{\rm vois}\lambda_{0}})\; (\forall \lambda \in V)\quad
\phi (\lambda)\supset \phi (\lambda_{0})\ \hbox{à}\ \varepsilon\ \hbox{près}.
$$
Mais il y a une différence avec le cas de $\RR$, qui est toute en
faveur du nouveau cas. Dans le cas de $\RR$, il est difficile à
quelqu'un de normal, même après quelques efforts, de s'y
retrouver entre les deux semi-continuités. Dans le cas de ${\rm
Comp}^{*}(E)$, les deux semi-continuités jouent des rôles
très différents: la semi-continuité supérieure est
très naturelle à considérer, à cause de
l'interprétation donnée dans la Prop.\,2.1. ci-dessous, tandis que
la semi-continuité inférieure est une propriété un peu
bizarre.

Si $E$ et $F$ sont deux espaces métrisables, on dit qu'une
application $f: E\to F$ est \emph{propre} si $f$ est continue et si
l'image inverse de tout compact de $F$ est un compact de $E$. Toute
application propre est fermée, c'est-à-dire que l'image d'un
fermé est fermée (\cite{Bbk})

\begin{enonce*}{Proposition 2.1} Soient $E$ un espace métrique, $\Lambda$ un
espace métrisable et $(X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ une famille de
sous-ensembles de $E$. Considérons l'espace~$\cH$ des $(X,x)\in \Lambda
\times E$ tels que $x\in X_{\lambda}$. Alors les propriétés
suivantes sont équivalentes:
\begin{enumerate}
\item[$(1)$] l'application $\lambda \mto X_{\lambda}$ est semi-continue
supérieurement de $\Lambda$ dans ${\rm Comp}^{*} (E)$;
\item[$(2)$]
$\cH$ est fermé dans $\Lambda \times E$ et la projection $p_{\cH} :
\cH \to \Lambda$ est propre et surjective.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\skpt
\begin{proof}
(2) $\Rightarrow$ (1): Pour tout $\lambda$,
l'ensemble $X_{\lambda}$ est un compact non vide de $E$. Étant donné
$\lambda_{0}\in \Lambda$ et $\varepsilon > 0$, l'ensemble
\[
A = \{ (\lambda,x)\in \cH \mid d(x,X_{\lambda_{0}}) \geq \varepsilon\}
\]
et un fermé de $\cH$ ne rencontrant pas
$p^{-1}_{\cH} (\lambda_{0})$. Donc $p_{\cH} (A)$ est fermé dans $\Lambda$ et
$W = \Lambda - p_{\cH} (A)$ est un voisinage de $\lambda_{0}$. Pour $\lambda \in W$,
on~a $\partial (X_{\lambda}, X_{\lambda_{0}}) < \varepsilon$.

(1) $\Rightarrow$ (2):
Puisque $X_{\lambda} \neq \emptyset$ pour tout $\lambda$, la projection
$p_{\cH}$ est surjective. Soit $L \subset \Lambda$ un compact, et soient
$((\lambda_{n},x_{n}))_{n\in \NN}$ une suite dans $p^{-1}_{\cH} (L)$. Comme
$(\lambda_{n})$ est une suite dans $L$, on peut supposer qu'elle tend vers
un point $\lambda_{0} \in L$. Posons $r_{n} = d(x_{n}, X_{\lambda_{0}})$. Par
semi-continuité, $r_{n} \leq \partial (X_{\lambda_{n}}, X_{\lambda_{0}})\to0$.

Pour tout $n$ on peut trouver un point $y_{n} \in X_{\lambda_{0}}$ tel que
\hbox{$d(x_{n}, y_{n}) = r_{n}$}. De la suite $(y_{n})$ dans $X_{\lambda_{0}}$ on
peut extraire une suite convergeant vers un point $y_{0} \in
X_{\lambda_{0}}$. Alors $(\lambda_{n},x_n) \to (\lambda_{0}, x_{0})$.\qed

\subsubsection*{Remarque 2.2} Si $\Lambda$ est localement compact, la condition (2) est équivalente~à:
\begin{enumerate}
\item[$(2')$] $\cH$ est fermé dans $\Lambda \times E$, pour chaque $\lambda_{0}
\in \Lambda$ on peut trouver un voisinage $V$ de $\lambda_{0}$ dans $\Lambda$ et un
compact $K$ dans $E$ tels que $X_{\lambda} \subset K$ pour $\lambda \in V$, et
$p_{\cH}$ est surjective.
\end{enumerate}
Si $E$ est compact, (2) est équivalente à:
\begin{enumerate}
\item[$(2'')$] $\cH$ est fermé dans $\Lambda \times E$ et $p_{\cH}$ est surjective.
\end{enumerate}

\section{Points périodiques}
\subsection{Multiplicateur}

Soit $f:\CC\to \CC$ un polynôme complexe de degré $d$. On note
$f^{k}$ le $k$-ième itéré de $f$.

Un point $x\in \CC$ est \emph{périodique de période} $k$ si
$f^{k}(x)=x$, $f^{i}(x)\neq x$ pour $0 < i < k$. Le \emph{cycle}
engendré par $x$ est alors $\xi = \{ x_{0},\ldots, x_{k-1}\}$,
où $x_{i} = f^{i}(x)$. Le \emph{multiplicateur} de $\xi$ est
$$
\rho_{\xi} = f'(x_{0} )\cdot f'(x_{1})\cdots f'(x_{k-1}) = (f^{k})' (x_{i})\mbox{ pour tout }i.
$$
Pour $z$ voisin de $x_{i}$, $f^{k}(z)-x_{i}$ est
approximativement $\rho_{\xi} \cdot(z - x_{i})$.

On dit que le cycle $\xi$ est \emph{attractif} si $|\rho_{\xi}| < 1$, \emph{répulsif} si $|\rho_{\xi}| > 1$, \emph{indifférent (ou neutre)}
si $|\rho_{\xi}| = 1$. Les cycles indifférents se divisent en \emph{cycles paraboliques} (cas où~$\rho_{\xi}$ est une racine de
l'unité) et cycles \emph{indifférents irrationnels}.

Le \emph{multiplicateur} d'un point périodique est le multiplicateur
du cycle qu'il engendre. Un point périodique est attractif,
répulsif, etc., s'il en est ainsi du cycle qu'il engendre.

\subsection{Cycles attractifs}

Si $x$ est un point périodique attractif de période $k$, le \emph{bassin} $A_{x}$ de $x$ est
$$\textstyle\{ z\in \CC \mid f^{nk}(z)\to x\mbox{ quand }n\to
\infty\}.
$$
C'est un ouvert contenu dans $\rond{K}$,
et $x\in A_{x}$. Le \emph{bassin immédiat} $A^{0}_{x}$ est la
composante connexe de $A_{x}$ contenant $x$. Le \emph{bassin} (\resp \emph{bassin immédiat}) du cycle engendré par~$x$ est
$$
A_{\xi} = \bigcup_{0\leq i < k} A_{x_{i}}\ (\mbox{\resp } A^{0}_{\xi} =
\bigcup_{0\leq i < k} A^{0} _{x_{i}}).
$$
Le résultat suivant est classique. Rappelons qu'un \emph{point
critique} de~$f$ est un point où la dérivée $f'$ s'annule.

\begin{enonce*}{Théorème 3.1}[Fatou, Julia] Le bassin immédiat
d'un cycle attractif contient toujours un point critique.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{Corollaire} Le nombre maximum de cycles attractifs pour un polynôme de degré $d$ est $d -1$.
\end{enonce*}
En effet, un polynôme de degré $d$ a au plus $d-1$ points
critiques distincts.

En fait on~a un meilleur résultat:

\begin{enonce*}{Théorème 3.2} Le nombre maximum de cycles non
répulsifs pour un poly\-nô\-me de degré $d$ est $d-1$.
\end{enonce*}

\subsubsection*{Plan de la démonstration} La démonstration repose sur la
notion d'application à allure polynomiale. Une \emph{application
à allure polynomiale} $f: U' \to U$, où $U$ est $U'$ sont deux
ouverts de $\CC$ limités par des courbes de Jordan $\gamma$ et $\gamma'$
avec $\ov{U'} \subset U$, est une application holomorphe $U'\to
U$ qui admet un prolongement continu $\ov{U'} \to \ov{U}$
induisant une application $\gamma ' \to \gamma$. Le \emph{degré} de $f$ est le
degré de l'application induite $\gamma ' \to \gamma$. Une application à
allure polynomiale de degré $d$ a $d-1$ points critiques (en
comptant avec multiplicité). Si $f$ est un polynôme de degré
$d$, l'application
$$
f : f^{-1}(D_{R}) \to D_{R}
$$
est à allure polynomiale pour $R$ assez grand.

Le théorème 3.1 s'étend aux applications à allure
polynomiale: tout cycle attractif attire au moins un point critique.
Il suffit de recopier la démonstration pour les polynômes. Par
conséquent, une application à allure polynomiale de degré
$d$ a au plus $d-1$ points critiques.

L'avantage de ce nouveau cadre est le suivant: alors qu'il est
difficile de mo\-di\-fier un polynôme de façon à rendre
attractifs tous les cycles non répulsifs, cela est très facile
pour les applications à allure polynomiale. Par suite une
application à allure polynomiale de degré $d$ a au plus $d-1$ cycles
non répulsifs --- sinon l'application modifiée donnerait une
contradiction. Ceci s'applique notamment aux polynômes.
\end{proof}

\subsection{Cycles paraboliques}

Soit maintenant $x$ un point parabolique de période $k$ et de
multiplicateur $\rho = e^{2i\pi p/q}$ ($p$ et $q$ premiers entre eux).
Alors $f^{kq}$ est tangent à l'identité en $x$. On peut trouver~$Q$ demi-droites d'origine $x$ appelées les \emph{axes d'attraction},
alternant avec~$Q$ autres appelées les \emph{axes de répulsion},
avec la propriété suivante: si $z$ est voisin de~$x$ sur un axe
d'attraction (\resp de répulsion), $f^{kq}$ rapproche (\resp éloigne) $z$ de~$x$. Les axes d'attraction et de répulsion sont
déterminés de la façon suivante:

En mettant l'origine en $x$, l'application $f^{kq}$ se met sous la forme
$$
z \mto z (1+ c z^{Q} + O(z^{Q+1}))
$$
avec $c\neq 0$, $Q \geq 1$. Les valeurs de $z$ pour lesquelles
$cz^{Q}$ est réel $< 0$ (\resp $> 0$) forment les axes d'attraction
(\resp de répulsion).

L'application linéaire tangente $z \mto \rho \cdot z$ envoie les axes
d'attraction sur axes d'attraction et axes de répulsion sur axes de
répulsion. On voit ainsi que $Q$ est nécessairement un multiple
de $q$.

Pour chaque axe d'attraction $L$, il y a des points $z$ tels que
$f^{kqn}(z)\to x$ tangentiellement à $L$. Ces points forment un
ouvert non vide $A_{L}$ qui contient un segment~$S$ de $L$ ayant $x$
pour une de ses extrémités. Nous appelons $A_{L}$ le \emph{bassin} de $L$, et la composante connexe $A^{0}_{L}$ de $L$ qui contient
$S$ le \emph{bassin immédiat}. Le point $x$ est sur la frontière
de $A^{0}_{L}$. Le bassin (\resp bassin immédiat) de $x$ est la
réunion des $A_{L}$ (\resp $A^{0}_{L}$) pour $L$ axe d'attraction,
et si $\xi$ est le cycle engendré par $x$ nous définissons~$A_{\xi}$ (\resp $A^{0}_{\xi}$) comme la réunion des bassins (\resp bassins immédiats) des points du cycle.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=5\unitlength,angle=-90]{douadyfig2}}
\caption{}
\end{figure}

Le résultat suivant est analogue au théorème~3.1:

\begin{enonce*}{Théorème 3.3}[Fatou, Julia] Le bassin immédiat
d'un cycle parabolique contient toujours au moins un point critique (en
fait $\nu = Q/q$ points critiques).
\end{enonce*}

\subsection{Cycles indifférents irrationnels}

Soit maintenant $x$ un point périodique indifférent irrationnel
de période $k$ et de multiplicateur $\rho = e^{2i\pi\theta}$, $\theta \in
\RR-\QQ$. Alors $x$ peut être linéarisable (cas de Siegel)
ou non linéarisable (cas de Cremer). On dit que $x$ est \emph{linéarisable} s'il y a un voisinage ouvert $U$ de $x$ tel que
$f^{k}(U)=U$ et un isomorphisme $\phi : U\to \DD$ tel que $\phi \circ
f^{k}\circ \phi^{-1} : \DD \to \DD$ soit la rotation $z \mto \rho \cdot
z$. Le~plus grand $U$ possible est le \emph{disque de Siegel}
$\Delta_{x}$ de $x$.

Des résultats de Cremer, Siegel, Bruno, Yoccoz donnent des
conditions pour qu'un point périodique indifférent irrationnel
soit linéarisable. Pour les polynômes quadratiques, on~a

\begin{enonce*}{Théorème 3.4}[Bruno, Yoccoz] Soit $f$ un
polynôme quadratique avec un point périodique indifférent
irrationnel $x$ de période $k$ et de multiplicateur $\rho =
e^{2i\pi\theta}$, $\theta \in \RR-\QQ$. Soient $p_{n}/q_{n}$ les réduites du
développement de $\theta$ en fraction continue. Alors $x$ est
linéarisable si et seulement si
$$
\sum {\log q_{n+1}\over q_{n}} < \infty. \leqno(\cB)
$$
\end{enonce*}

L'implication $(\cB)\Rightarrow$ linéarisabilité est due à
Bruno, et vaut pour un polynôme de degré quelconque, et
même pour tout germe de fonction holomorphe. La réciproque est
due à Yoccoz.

\section{Ensemble de Julia rempli et ensemble de Julia d'un~polynôme}

Soit $f : \CC\to\CC$ un polynôme complexe de degré $d\geq 2$. On
note $f^{n}$ le $n$-ième itéré de $f:f^{0}=I$, $f^{n+1}=f\circ f^{n}$. Nous écrivons parfois $z_{n}$ pour
$f^{n}(z)$.

On dit que $z$ \emph{s'échappe} par $f$ si $f^{n}(z)\to \infty$ quand
$n\to \infty$. On peut trouver un $R > 0$ tel que tout $z$ vérifiant
$|z|\geq R$ s'échappe. Une telle valeur de $R$ est appelée un
\emph{rayon d'échappement}. Pour $f: z\mto a_{d}z^{d} + \cdots +
a_{0}$, le rayon
$$
R = {1+ |a_{d}|+ \cdots + |a_{0}|\over |a_{d}|}
$$
est un rayon d'échappement.

En fait, dès qu'un point commence à s'échapper pour de bon,
la convergence vers $\infty$ est incroyablement rapide. Par exemple,
pour $f(z)= z^{2}+ c$ avec $|c| \leq 2$, si $|z_{n}| \geq 3$ pour un
certain $n$, on~a $|z_{n+10}| > 10^{300}$: c'est plus que le rapport du
volume de l'univers connu jusqu'aux quasars les plus lointains au volume
d'un proton.

Nous notons $K(f)$ l'ensemble des points qui ne s'échappent pas par
$f$, et nous l'appelons \emph{l'ensemble de Julia rempli} de $f$. \emph{L'ensemble de Julia} proprement dit est la frontière $J(f)$ de
$K(f)$. L'ensemble $K(f)$ est compact. En effet, il est contenu dans
$D_{R}$ dès que $R$ est un rayon d'échappement, et il est
fermé: si un point $z$ s'échappe, on~a $|f^{n}(z)| > R$ pour un
certain $n$, d'où $|f^{n}(z')|> R$ avec le même $n$ si~$z'$ est
assez voisin de $z$, et l'ensemble des points qui s'échappent est
ouvert.

L'ensemble $K(f)$ n'est jamais vide, car il contient les points fixes de
$f$, solutions de $f(z)-z=0$. En fait il est toujours infini non
dénombrable. Il résulte du principe du maximum que son
complémentaire $\CC-K(f)$ ne peut pas avoir de composante connexe
bornée, donc $\CC-K(f)$ est connexe.

Suivant les coefficients de $f$, l'ensemble $K(f)$ peut être connexe
ou non connexe, il peut être d'intérieur vide (auquel cas
$J(f)=K(f)$) ou d'intérieur non vide. En vertu d'un théorème
de Fatou et Julia, $K(f)$ est connexe si et seulement si aucun point
critique de $f$ ne s'échappe.

\enlargethispage{-\baselineskip}
\pagebreak[2]
\skpt
\begin{enonce*}{Proposition 4.1}
\begin{enumerate}
\item[{\rm (a)}] Tout point périodique attractif appartient à
$\rond{K}(f)$.

\item[{\rm (b)}] Tout point périodique répulsif appartient à $J(f)$.

\item[{\rm (c)}] Tout point parabolique appartient à $J(f)$.

\item[{\rm (d)}] Tout point de Siegel (indifférent irrationnel linéarisable)
appar\-tient à $\rond{K}(f)$.

\item[{\rm (e)}]
Tout point de Cremer (indifférent irrationnel non
linéarisable) appartient à $J(f)$.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\begin{proof}
(a) et (d) sont immédiats. Le bassin
attractif ou le disque de Siegel de $x$ est un voisinage de $x$ contenu
dans $K(f)$. Réciproquement, supposons que $x$ soit un point
périodique de période~$k$ avec $x\in\rond{K}(f)
$, et soit $U$ la composante connexe de $\rond{K}(f)$
contenant $x$. Alors $f^{k}$ applique $U$ dans $U$. L'ouvert $U$ est
isomorphe à $\DD$, soit $\phi:U\to \DD$ un isomorphisme tel que
$\phi(x)=0$ et considérons $h= \phi \circ f^{k}\circ \phi^{-1} : \DD \to
\DD$. On a $h(0)=0$, et $h'(0)$ est le multiplicateur
$\rho=(f^{k})'(x)$. D'après le lemme de Schwarz, on~a $|\rho| \leq
1$, et si $|\rho|=1$ l'application $h$ est la rotation $z\mto \rho
z$. Ceci démontre (b) et (e).

Remarquons que si $x$ est parabolique avec $\rho = e^{2\pi i p/q}$,
alors $f^{kq}$ est tangente à l'identité en $x$, mais ne peut
être l'identité puisque c'est un polynôme de degré
$d^{kq}$. Donc $x$ ne peut être linéarisable, et ceci
établit (c).
\end{proof}

D'après un théorème de Sullivan, et des résultats
antérieurs de Fatou, les composantes de l'intérieur de $K(f)$
sont toujours reliées à des cycles non répulsifs, d'une fa\c
con que nous allons décrire.

Les ensembles de la forme suivante:

(A) Bassin immédiat d'un point périodique attractif

(P) Bassin immédiat d'un axe d'attraction d'un point parabolique

(S) Disque de Siegel

\noindent
sont des composantes connexes de $\rond{K}(f)$.

Si $U$ est une composante connexe de $\rond{K}(f)$,
son image $f(U)$ est encore une composante connexe de
$\rond{K}(f)$. On dit que $U$ est périodique si
$f^{k}(U)=U$ pour un certain $k>0$, pré-périodique si
$f^{\ell}(U)$ est périodique pour un certain $\ell \geq 0$. Les
composantes de l'un des types (A), (P), (S) ci-dessus sont
périodiques.

\begin{enonce*}{Théorème 4.2}[Sullivan]
Toute composante connexe de
$\rond{K}(f)$ est pré-pério\-dique.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{Théorème 4.3}[Fatou]
Toute composante connexe
périodique de $\rond{K}(f)$ est de l'un des types
(A), (P), (S).
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{Corollaire 4.4} Si tous les cycles de $f$ sont répulsifs,
on a $\rond{K}(f)=\emptyset$.
\end{enonce*}

L'ensemble $J(f)$, frontière de $K(f)$, est compact, non vide et
d'intérieur vide. L'ensemble $K(f)$ est la réunion de $J(f)$ avec les
composantes connexes bornées de $\CC-J(f)$. D'après un
théorème de Fatou et Julia, $J(f)$ est la fermeture de l'ensemble
des points périodiques répulsifs. Pour tout $\alpha \in J(f)$,
l'ensemble $J(f)$ est la fermeture de l'ensemble des images inverses
itérées de $\alpha$.

\section{Semi-continuités de \texorpdfstring{$K(f)$ et $J(f)$ en fonction de $f$}{plein}}

Notons $\cP_{d}$ l'ensemble des polynômes complexes de degré
$d$. Un tel polynôme s'écrit
$$
f(z)= a_{d} z^{d} + a_{d-1} z^{d-1} +\cdots + a_{0} \qqbox{avec} a_{d}
\neq 0.
$$
Ainsi $\cP_{d}$ peut s'identifier à $\CC^{*} \times \CC^{d}$, ce qui
le munit d'une topologie.

\skpt
\begin{enonce*}{Théorème 5.1}
\begin{enumerate}
\item[{\rm (a)}] L'application $f\!\mto\! K(f)$ de $\cP_{d}$ dans ${\rm
Comp}^{*}(\CC)$ est semi-continue supérieu\-re\-ment.

\item[{\rm (b)}] L'application $f\!\mto\! J(f)$ de $\cP_{d}$ dans ${\rm
Comp}^{*}(\CC)$ est semi-continue inférieu\-re\-ment.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\skpt
\begin{proof}
(a) Pour $f\in \cP_{d}$, considérons le
rayon d'échappement
$$
R_{f} = {1+ |a_{d}| +\cdots + |a_{0}| \over |a_{d}|}.
$$
Il dépend continûment de $f$. L'ensemble des couples $(f,z) \in
\cP_{d}\times \CC$ tels que $z$ s'échappe par $f$ est
$$\{ (f,z)\mid (\exists\, n)\;|f^{n}(z)| > R_{f}\}.
$$
Il est donc ouvert, et son
complémentaire $\cK = \{ (f,z)\mid z\in K (f)\}$ est fermé dans
$\cP_{d} \times \CC$. Comme $K(f) \neq \emptyset$ pour tout $f$ et
\[
\cK\subset \{ (f,z)\mid |z| \leq R_{f}\},
\]
la projection $p_{\cK} : \cK\to
\cP_{d}$ est propre et surjective (\cf Remar\-que~2.2). On peut donc
appliquer la proposition 2.1.

(b) Nous allons utiliser la description de $J(f)$ comme fermeture de
l'ensemble des points périodiques répulsifs. Soient $f_{0}$ un
point de $\cP_{d}$ et $\varepsilon > 0$. On peut trouver un ensemble fini $X =\{
x_{1},\ldots, x_{N}\}$ de points périodiques répulsifs pour
$f_{0}$ qui remplit $J(f_{0})$ à ${\varepsilon /2}$ près, c'est
à dire tel que $\partial (J(f_{0}),X)\leq {\varepsilon/ 2}$. Chaque
$x_{i}$ est solution d'une équation $f_{0}^{k_{i}} (z)- x = 0$.
C'est une solution simple de cette équation, car la dérivée
est $\rho_{x_{i}} -1 \neq0$. On peut donc appliquer le théorème
des fonctions implicites; on trouve un voisinage $W$ de $f_{0}$ dans
$\cP_{d}$ et des fonctions holomorphes $\xi_{i}: W \to \CC$ telles que
$\xi_{i} (f_{0}) = x_{i}$ et $\xi_{i} (f)$ périodique de période
$k_{i}$ pour~$f$. Si on~a choisi $W$ assez petit, $\xi_{i} (f)$ est
encore répulsif, et $|\xi_{i}(f)-x_{i}| \leq {\varepsilon/ 2}$ pour tout
$f\in W$. On a alors
\[
\partial(X,J(f)) \leq \partial (X, \{
\xi_{i}(f)\})\leq {\varepsilon/ 2}\quand\partial (J (f_{0}),J(f))\leq \varepsilon.\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{enonce*}{Corollaire 5.2} Soit $f_{0} \in \cP_{d}$ un point tel que
$\rond{K}(f_{0}) =\emptyset$, de sorte que
$J(f_{0})=K(f_{0})$. Alors les deux applications $f \mto K(f)$ et
$f\mto J(f)$ sont continues en $f_{0}$.
\end{enonce*}

Ceci résulte du théorème 5.1, et du lemme 5.4 ci-dessous.
Nous démontrons d'abord le lemme 5.3, non pour l'utiliser mais
simplement pour s'échauffer.

\begin{enonce*}{Lemme 5.3} Soient $\Lambda$ un espace topologique, $u$ et $v$ deux
fonctions $\Lambda \to \RR$ avec $u$ semi-continue inférieurement et $v$
semi-continue supérieurement. On suppose que $u(\lambda)\leq v(\lambda)$
pour tout $\lambda \in \Lambda$, et $u(\lambda_{0})= v(\lambda_{0})$. Alors $u$ et $v$
sont continues en~$\lambda_{0}$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $\varepsilon > 0$. Il existe un voisinage $W$ de
$\lambda_{0}$ tel que, pour $\lambda \in W$, on ait $u(\lambda)\geq u (\lambda_{0})-\varepsilon$
et $v (\lambda)\leq v (\lambda_{0})+\varepsilon$. Pour $\lambda \in W$, on~a donc
\[
u(\lambda_{0})-\varepsilon \leq u(\lambda) \leq v(\lambda) \leq v (\lambda_{0})+ \varepsilon = u
(\lambda_{0})+\varepsilon,
\]
d'où
\[
|u (\lambda)-u(\lambda_{0} )| \leq \varepsilon\quand|v(\lambda)-v(\lambda_{0})|\leq \varepsilon.\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{enonce*}{Lemme 5.4} Soient $\Lambda$ un espace topologique, $\lambda \mto
X_{\lambda}$ et $\lambda \mto Y_{\lambda}$ deux applications $\Lambda \to {\rm
Comp}^{*}(E)$, la première semi-continue inférieurement et la
seconde semi-continue supérieurement. On suppose que $X_{\lambda}
\subset Y_{\lambda}$ pour tout $\lambda \in \Lambda$ et $X_{\lambda_{0}} =\nobreak Y_{\lambda_{0}}$.
Alors $\lambda \mto X_{\lambda}$ et $\lambda \mto Y_{\lambda}$ sont continues en
$\lambda_{0}$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $\varepsilon > 0$. Il existe un voisinage $w$ de
$\lambda_{0}$ dans $\Lambda$ tel que $\partial (X_{\lambda_{0}}, X_{\lambda}) \leq \varepsilon$
et $\partial (Y_{\lambda}, Y_{\lambda_{0}}) \leq \varepsilon$ pour $\lambda \in W$. Pour
$\lambda \in W$, on~a aussi
$$
\partial ( Y_{\lambda_{0}}, Y_{\lambda}) =\partial (X_{\lambda_{0}}, Y_{\lambda}) \leq
\partial (X_{\lambda_{0}}, X_{\lambda}) \leq \varepsilon
$$
et
$$
\partial (X_{\lambda},X_{\lambda_{0}})=\partial (X_{\lambda}, Y_{\lambda_{0}}) \leq
\partial (Y_{\lambda}, Y_{\lambda_{0}}) \leq \varepsilon.\eqno\qed
$$

\begin{figure}[p]
\noindent\smaller
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centerline{\includegraphics[height=5.5\unitlength,angle=90]{douadypl1-1}}
\end{minipage}
\ \hfill\
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centerline{\includegraphics[height=5.5\unitlength,angle=90]{douadypl1-2}}
\end{minipage}
\hfill\mbox{}
\sm
\centerline{deux avec des cycles attractifs}

\vspace*{5mm}
\noindent\mbox{}
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centerline{\includegraphics[height=5.5\unitlength,angle=90]{douadypl1-3}}
\end{minipage}
\ \hfill\
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centerline{\includegraphics[height=5.5\unitlength,angle=90]{douadypl1-4}}
\end{minipage}
\hfill\mbox{}
\sm
\centerline{deux avec des cycles paraboliques}

\vspace*{5mm}
\noindent
\mbox{}
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centerline{\includegraphics[height=5.5\unitlength,angle=90]{douadypl1-5}}
\centerline{un avec un disque de Siegel}
\end{minipage}
\ \hfill\
\begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
\centerline{\includegraphics[height=5.5\unitlength,angle=90]{douadypl1-6}}
\centerline{si tous les cycles sont répulsifs,}
\centerline{$\rond{K}(f)=\emptyset$ (ici $f(z)=z^2+i$)}
\end{minipage}
\hfill\mbox{}

\begin{center}
\renewcommand\figurename{Planche}
\setcounter{figure}{0}
\caption{Quelques ensembles de Julia}
\end{center}
\end{figure}
\section{L'effet des bassins attractifs}

Dans ce paragraphe, on montre que les bassins attractifs ne produisent
de discontinuité ni dans $f \mto K(f)$ ni dans $f\mto J(f)$.

Notons $A(f)$ la réunion des bassins des cycles attractifs de $f$.
L'ensemble $A(f)$ est réunion de composantes connexes de
$\rond{K} (f)$. Il est donc ouvert, et $J(f)\cup A(f)$
est fermé donc compact.

\skpt
\begin{enonce*}{Proposition 6.1}
\begin{enumerate}
\item[{\rm (a)}] L'application $f\mto J(f) \cup A(f)$
est une application semi-continue inférieu\-re\-ment $\cP_{d} \to {\rm
Comp}^{*}(\CC)$

\item[{\rm (b)}] L'application $f\mto K(f)-A(f)$ est une application semi-continue
supérieu\-re\-ment $\cP_{d} \to {\rm Comp}^{*}(\CC)$.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{Corollaire 6.2} Si l'intérieur de $K(f_{0})$ est formé
exclusivement de bas\-sins attractifs, les applications $f\mto K(f)$ et
$f\mto J(f)$ sont continues en $f_{0}$.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{Lemme 6.3} L'ensemble $\cA = \{ (f,z)\mid z \in A(f)\}$ est
ouvert dans $\cP_{d} \times \CC$.
\end{enonce*}

Avant de démontrer ce lemme, introduisons une définition. Nous
dirons qu'une partie $L$ de $\CC$ est un \emph{piège contractant} de
période divisant $k$ pour~$f$ si $L$ est un compact convexe non vide
et $f^{k}(L) \subset \mathop{L}\limits^{\circ}$ avec $|(f^{k})'| < 1$ sur
$L$. Si $L$ est un piège contractant de période divisant $k$
pour~$f$, il existe un point $x\in L$ tel que $f^{nk}(z)\to x$ pour tout
$z\in L$. Le point $x$ est un point périodique attractif pour~$f$ et
$L$ est contenu dans son bassin immédiat.

Si $x$ est un point périodique attractif pour~$f$, le disque
fermé $\ov D_{x,r}$ est un piège contractant pour~$f$ si $r$
est assez petit. Si $L$ est un piège contractant pour $f_{0}$, c'est
aussi un piège contractant pour~$f$ si $f$ est assez voisin de
$f_{0}$.

\subsubsection*{Démonstration du lemme 6.3} Soit $(f_{0},z_{0})\in \cA$. On
peut trouver un piège contractant $L$ pour $f_{0}$ et un entier $n$
tel que $f^{n}_{0} (z_{0}) \in \mathop{L}\limits^{\circ}$. Pour $(f,z)$
assez voisin de
$(f_{0}, z_{0})$, on~a encore $f^{n}(z)\in \mathop{L}\limits^{\circ}$
avec le même $n$,
et $L$ est un piège contractant pour~$f$, d'où $z\in A(f)$ et
$(f,z)\in \cA$.
\end{proof}

\skpt
\begin{proof}[Démonstration de la proposition 6.1]
(a) Fixons $f_{0} \in
\cP_{d}$ et $\varepsilon > 0$. Soit $X = X_{1} \cup X_{2}$ un ensemble fini dans
$J(f_{0} )\cup A(f_{0})$, le remplissant à ${\varepsilon/ 2}$ près,
avec $X_{1} \subset J(f_{0})$ et $X_{2} \subset A(f_{0})$. On peut trouver
un voisinage $W$ de $f_{0}$ dans $\cP_{d}$ tel que, pour $f\in W$, on
ait $\partial (X_{1}, J(f))\leq {\varepsilon / 2}$ et $X_{2}\subset A(f)$.
Alors
$$
\partial(X, J(f)\cup A(f)) \leq {\varepsilon \over 2} \qqbox{et} \partial
(J(f_{0}) \cup A(f_{0}), J(f)\cup A(f))\leq \varepsilon
$$

(b) La projection $p_{\cK} : \cK \to \cP_{d}$ est propre et $\cK-\cA$
est fermé dans $\cK$, donc $p_{\cK}$ induit une application propre
$\cK-\cA\to \cP_{d}$. Cette application est surjective car
$K(f)-A(f)\supset J(f)\neq \emptyset$ pour tout $f$. On peut donc
appliquer la proposition~2.1.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du corollaire 6.2]
On peut appliquer le lemme
5.4. aux couples $(f \mto J(f)\cup A(f), f \mto K(f))$ et
$(f\mto J(f), f \mto K(f)-A(f))$.
\end{proof}

\section{L'effet des disques de Siegel}

Il est facile de voir que la présence d'un disque de Siegel produit
une discontinuité dans $f\mto J(f)$. Il est beaucoup moins
évident que cela n'en produit pas dans $f\mto K(f)$.

\begin{enonce*}{Proposition 7.1} Soit $f_{0}$ un polynôme de degré $d$
ayant un point périodi\-que indifférent irrationnel
linéarisable $x$. Alors $f\mto J(f)$ n'est pas continue en
$f_{0}$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $k$ la période de $x$, le point $x$
est solution simple de l'équation $f^{k}_{0}(z)-z=0$, car la
dérivée est $\rho_{x} - 1 \neq 0$. Par le théorème des
fonctions implicites, on peut trouver une fonction holomorphe $\xi :
W\to \CC$, où $W$ est un voisinage de $f_{0}$ dans $\cP_{d}$, telle
que $\xi(f_{0})=x$ et $\xi(f)$ périodique de période $k$ pour
$f$. L'application $f\mto \rho_{\xi(f)} = (f^{k})'(\xi(f))$ est
holomorphe sur $W$, et non constante (sinon tous les polynômes de
degré $d$ auraient un cycle indifférent~!). C'est donc une
application ouverte, et on peut trouver une suite $f_{n} \to f_{0}$
telle que $\xi(f_{n})$ soit répulsif. On a alors
\[
\xi(f_{n})\in J(f_{n})\quand\partial(\{ x\}, J(f_{n}))= d(x, J(f_{n}))\to 0.
\]
Mais
$x\not\in J(f_{0})$, donc $d ( x, J(f_{0}))\neq0$. Il en
résulte que $\partial(J(f_{n}), J(f_{0}))$ ne tend pas vers $0$.
\end{proof}

\begin{enonce*}{Proposition 7.2} Soit $f_{0}$ un polynôme de degré $d$
ayant un point périodi\-que indifférent irrationnel avec un disque
de Siegel $\Delta$. Alors $\partial(\ov \Delta, K(f))\to 0$ quand $f\to f_{0}$
dans $\cP_{d}$.
\end{enonce*}

Soit $k$ la période de $x$ et soit $\phi : \Delta \to \DD$ un
isomorphisme conjuguant $f^{k}_{0}$ à la rotation $z\mto
e^{2i\pi\theta}z$. Pour $r < 1$, posons $\Gamma_{r} =\{ z\in \Delta\mid|\phi(z)|=r\}$.
Étant donné $\alpha > 0$, on dit qu'une suite $(z_{n})_{n\in\NN}$ est
une \emph{orbite de $f_{0}$ à $\alpha$ près} si $(\forall n)$ $| z_{n+1}
- f_{0}(z_{n})| \leq \alpha$. On dit que $(z_{n})$ couvre un compact $L$
à $\varepsilon$ près si $\cup \ov D_{z_{n},\varepsilon} \supset L$

\begin{enonce*}{Lemme 7.3} Pour tout $r<1$ et tout $\varepsilon>0$, il existe un $\alpha >0$ tel que:
\begin{enumerate}
\item[{\rm (a)}]
toute suite $(z_{n})_{n\in \NN}$ qui est une orbite de $f_{0}$ à
$\alpha$ près avec $z_{0}\in\Gamma_{r}$ couvre $\Gamma_{r}$ à $\varepsilon$
près;
\item[{\rm (b)}]
toute suite $(z_{n})_{n\in\NN}$ qui est une orbite pour $f_{0}$
à $\alpha$ près avec $z_{0} \in \Delta$, $|\phi (z_{0})| \leq r$, et
$z_{N}\not\in \Delta$ ou $\phi (z_{N}) > r$ pour un certain $N$, couvre
$\Gamma_{r}$ à $\varepsilon$ près.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\skpt
\begin{proof}
(a) Fixons $r < 1$ et $\varepsilon > 0$. On peut
supposer $\varepsilon < d(\Gamma_{r},\CC -\Delta)$. On peut trouver un entier $m$ tel
que, pour tout $z\in \Gamma_{r}$, l'ensemble $\{ f^{k_{i}}_{0} (z)\}_{0\leq
i < m}$ remplisse $\Gamma_{r}$ à ${\varepsilon / 2}$ près. On peut alors
trouver $\alpha$ tel que, pour toute suite $(z_{n})$ qui est une orbite pour
$f^{k}_{0}$ à $\alpha$ près avec
$$
| z_{i}- f_{0}^{k_{i}} (z_{0})| \leq {\varepsilon \over 2} \qqbox{pour} 0 \leq i
< m.
$$
Alors $\{z_{i}\}_{0 \leq i < m}$ couvre $\Gamma_{r}$ à $\varepsilon$ près. Remarquons qu'on peut trouver un $\alpha$ qui marche pour tout $r\in
[r_{1},r_{2}]$ si $r_{1}< r_{2}<1$.

(b) On peut trouver $\varepsilon_{1}$ tel que $|r-r'| \leq \varepsilon_{1} \Rightarrow
d_{H}(\Gamma_{r}, \Gamma_{r'}) \leq {\varepsilon/2}$, et $\alpha_1$ tel que $|z-z'| \leq
\alpha_{1} \Rightarrow |\phi(z) -\phi (z')| \leq \varepsilon_{1}$. D'après la
partie~(a), on peut trouver un $\alpha_{2}$ tel que toute orbite pour
$f_{0}$ à $\alpha_{2}$ près avec $d(z_{0}, \Gamma_{r}) \leq {\varepsilon /
2}$ couvre $\Gamma_{r}$ à $\varepsilon$ près. Prenons $\alpha = \inf
(\alpha_{1},\alpha_{2})$. Si $(z_{n})$ satisfait aux hypothèses de (b),
$|\phi(z_{n})|$ bouge par pas $\leq \varepsilon_{1}$ tant qu'il est défini.
Il y a donc un $n_{0}$ tel que $||\phi(z_{n_{0}})|-r| \leq \varepsilon_{1}$, et
les $z_{n_{0}+p}$ couvrent $\Gamma_{r}$ à $\varepsilon$ près.
\end{proof}

\begin{enonce*}{Lemme 7.4} Pour $z\in \Delta$, la distance $d(z, K(f))$ tend
vers $0$ quand $f\to f_{0}$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $y$ un point périodique répulsif
pour $f_{0}$. D'après le théorème des fonctions implicites,
on peut trouver un voisinage $W$ de $f_{0}$ dans $\cP_{d}$ et des
fonctions analytiques $\xi$ et $\eta$: $W\to \CC$ telles que
$\xi(f_{0})=x$, $\eta (f_{0})= y$, $\xi(f)$ et $\eta(f)$
périodiques pour~$f$. Si $z=x$, on~a $d(z, K(f))\leq |z-\xi(f)|\to
0$; on peut donc supposer $z\neq x$ et ne s'intéresser qu'aux
polynômes $f$ pour lesquels $z\not\in K(f)$. Puisque $\xi(f)\in
K(f)$ et $z\not\in K(f)$, il existe un point $w \in [\xi(f),z]_{\Delta}\cap
J(f)$, où $[z',z]_{\Delta} = \phi^{-1} ([\phi(z'),\phi (z)])$.

Arbitrairement près de $w$, on peut trouver un point $z_{0} \in
J(f)$ qui soit une image inverse itérée par $f$ de $\eta(f)$. On
peut supposer $|\phi(z_{0})| \leq r = | \phi(z)|$. Si~$f$ est
suffisamment proche de $f_{0}$, l'orbite de~$z_{0}$ par $f$ est une
orbite pour $f_{0}$ à $\alpha$ près. On a $|\phi(z_{0})| \leq r$ et
il existe un $N$ tel que $z_{N} =\eta (f)\not\in \Delta$ ou $|\phi (\eta(f))|
> r$. Donc $(z_{n})$ couvre $\Gamma_{r}$ à $\varepsilon$ près. En particulier
il y a un $n$ tel que $|z-z_{n}| < \varepsilon$, donc $d(z,K(f))< \varepsilon$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la proposition 7.2]
Fixons $\varepsilon$ et soit $Z$
un ensemble fini dans $\Delta$ couvrant $\ov\Delta$ à ${\varepsilon/ 2}$
près. D'après le lemme 7.4, on peut trouver un voisinage $W$ de
$f_{0}$ dans $\cP_{d}$ tel que $d(z, K(f))\leq {\varepsilon/ 2}$ pour $z\in
Z$ et $f\in W$. On a alors $\partial(\ov\Delta, K(f))\leq \varepsilon$ pour tout
$f\in w$.
\end{proof}

\begin{enonce*}{Corollaire 7.5} Posons $U =\cup_{n} f^{-n}(\Delta)$. On a
$\partial (J(f_{0})\cup U, K(f))\to 0$ quand $f\to f_{0}$
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{Corollaire 7.6} Soit $f_{0} \in \cP_{d}$ un polynôme sans
cycle parabolique. Alors $f\mto K(f)$ est continue en $f_{0}$.
\end{enonce*}

\subsubsection*{Indication} L'intérieur de $K(f_{0})$ est formé
exclusivement de bassins de cycles attractifs et de disques de Siegel
avec leurs images inverses itérées.

\section{Un théorème de Mañé-Sad-Sullivan}

Savoir que deux compacts sont proches pour la distance de Hausdorff ne
nous dit en rien qu'ils se ressemblent du point de vue topologique.
Ainsi tout compact peut être approché par des ensembles de
Cantor, voire par des ensembles finis.

La théorie de Mañé-Sad-Sullivan fournit des cas où l'on sait que
des ensembles de Julia --- ou des ensembles de Julia remplis --- sont
homéomorphes. Voici un des résultats principaux:

\begin{enonce*}{Théorème 8.1} Soit $\Lambda$ une variété
$\CC$-analytique et $(f_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ une famille
$\CC$-analytique de polynômes de degré $d$. Supposons que $\Lambda$
soit simplement connexe, et que $f_{\lambda}$ n'ait de cycle parabolique
pour aucun $\lambda$. Choisissons un point de base $\lambda_{0} \in \Lambda$. Alors
\begin{enumerate}
\item[{\rm(a)}]
on peut trouver de façon unique, une famille d'homéomorphismes
$$
(\phi_{\lambda}= \phi_{\lambda_{0},\lambda} : J(f_{\lambda_{0}})\to J(f_{\lambda}))_{\lambda\in\Lambda}
$$
de façon que:
\begin{enumerate}
\item[{\rm(i)}]
$(\lambda,x)\mto \phi_{\lambda} (x)$ soit continue sur $\Lambda \times
J(f_{\lambda_{0}})$;
\item[{\rm(ii)}]
$\phi_{\lambda}$ conjugue $f_{\lambda_{0}}$ à $f_{\lambda}$, c'est-à-dire
$\phi_{\lambda} \circ f_{\lambda_0} = f_{\lambda} \circ \phi_{\lambda}$;
\end{enumerate}
\item[{\rm(b)}]
on peut étendre, pour chaque $\lambda$, l'application $\phi_{\lambda}$ en
un homéomorphisme $\phi_{\lambda} : K(f_{\lambda_{0}})\to K(f_{\lambda})$. Il
n'y a pas d'unicité. On peut s'arranger pour que $\phi_{\lambda}(x)$
dépende continûment de $(\lambda,x)$, mais pas toujours pour que
$\phi_{\lambda}$ conjugue $f_{\lambda_{0}}$ à $f_{\lambda}$.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{Corollaire 8.2} Soit $S$ la fermeture dans $\cP_{d}$ de
l'ensemble des polynômes ayant un cycle indifférent. Si $f_{0}$
et $f_{1}$ sont dans la même composante connexe de $\cP_{d}-S$,
l'ensemble $J(f_{1})$ est homéomorphe à $J(f_{0})$, et
$K(f_{1})$ est homéomorphe à $K(f_{0})$.
\end{enonce*}

On peut trouver une démonstration du théorème~8.1 dans \cite{MSS} ou dans~\cite{D4}. Le corollaire 8.2 s'en déduit immédiatement: on peut
trouver un ouvert simplement connexe $\Lambda$ dans $\cP_{d}-S$ contenant
$f_{0}$ et $f_{1}$.

\skpt
\begin{remarques*}
(1) Fixons $f_{0}$ dans $\cP_{d}-S$. Pour $f$ proche de $f_{0}$, le
compact $K(f)$ est l'image de $K(f_{0})$ par un homéomorphisme
proche de l'identité. Ceci est plus fort que la conclusion du Cor.\,7.6. Mais l'hypothèse aussi est plus forte: on demande qu'il y ait
tout un voisinage de~$f_{0}$ dans~$\cP_{d}$ formé de polynômes
n'ayant pas de cycle indifférent (on~peut remplacer indifférent
par parabolique, ça ne change rien).

(2) Dans le cas $d=2$, pour les polynômes de la forme $z\mto
z^{2}+c$, l'ensemble~$S$ est la frontière de l'ensemble de
Mandelbrot. Le corollaire affirme en particulier que, pour $c_{0}$ et
$c_{1}$ dans la même composante connexe de
$\rond{M}$, les ensembles $K(f_{c_{0}})$ et
$K(f_{c_{1}})$ sont homéomorphes, ainsi que $J(f_{c_{0}})$ et
$J(f_{c_{1}})$.
\end{remarques*}

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[width=.9\textwidth]{douadypl2}}
\begin{center}
\renewcommand\figurename{Planche}
\caption{}
\end{center}
\end{figure}

\part{L'implosion parabolique}

Dans cette II\ieme partie nous analysons sur un exemple les
discontinuités en un point $f_{0}$ causées pour $f\mto K(f)$
et $f\mto J(f)$ par la présence d'un cycle parabolique pour
$f_{0}$. Les \S\T 9 à 13 sont essentiellement descriptifs. L'exposé
devient plus technique au \T 14. Le résultat principal est
énoncé au \T 11 (théorème~11.3). Les \S\T 14 à 21 sont
consacrés à donner l'essentiel de sa démonstration.

\section{Un exemple parabolique typique}

Nous choisissons l'exemple le plus simple possible, à savoir:
$$
f_{0} : z\mto z + z^{2}.
$$
Un \emph{point parabolique} de période $k$ pour un polynôme de
degré $d>1$ est un point $\alpha$ avec $f^{k}(\alpha)=\alpha$ et $\rho =
(f^{k})'(\alpha)=e^{2i\pi p/q}$ pour des entiers $k>0$, $q>0$, $0\leq p< q$
avec $p$ et $q$ premiers entre eux. Pour $f_{0}: z\mto z + z^{2}$ on
a $d=2$, $\alpha =0$, $k=1$, $q=1$, $p=0$. Nous allons faire de cet
exemple une étude approfondie.

Le polynôme $f_{0}$ est affinement conjugué à $z\mto
z^{2} +{1/ 4}$. Le point ${1/ 4}$ est le point de rebroussement
de la grande cardioïde de l'ensemble de Mandelbrot. L'ensemble de Julia
rempli $K(f_{0})$ est le \emph{chou-fleur} centré en $\omega = - {1/2}$. Sa frontière $J(f_{0})$ est une courbe de Jordan.

Considérons maintenant
$$
f_{\varepsilon}: z\mto z + z^{2} + \varepsilon,
$$
qui est affinement conjugué à $z\mto z^{2} \!+\!{1/ 4} \!+\!\varepsilon$,
pour $\varepsilon$ réel voisin de~$0$.

Pour $\varepsilon < 0$, le point ${1/ 4} +\varepsilon$ est à l'intérieur de la
cardioïde, l'application $f_{\varepsilon}$ a un point fixe attractif,
$K(f_{\varepsilon})$ est un disque topologique, $J(f_{\varepsilon})$ est une courbe de
Jordan; on~a
$$
K(f_{\varepsilon})\to K(f_{0})\qqbox{et} J(f_{\varepsilon}) \to J(f_{0})\qqbox{quand} \varepsilon
\to 0.
$$
Pour $\varepsilon > 0$, le point ${1/ 4} + \varepsilon$ est à l'extérieur de
l'ensemble de Mandelbrot, donc $K(f_{\varepsilon})$ est un ensemble de Cantor et
$J(f_{\varepsilon}) =K(f_{\varepsilon})$. Comme $J(f_{0})\neq K(f_{0})$, il y a
forcément une discontinuité dans l'une au moins des applications
$\varepsilon \mto K (f_{\varepsilon})$, $\varepsilon \mto J(f_{\varepsilon})$ sur $\RR_{+}$ en $\varepsilon = 0$.

\section{Le batteur à {\oe}ufs}

Considérons maintenant $f_{\varepsilon}: z \mto z+ z^{2} +\varepsilon$ avec $\varepsilon > 0$
petit, disons $0 < \varepsilon \leq \varepsilon_{0}$ où $\varepsilon_{0} = \dpl{1/ 25}$. On a
$K(f_{\varepsilon})\cap \RR = \emptyset$ car $f_{\varepsilon} (x) > x$ pour tout $x\in
\RR$, donc tout point réel s'échappe.

L'application $f_{\varepsilon}$ a deux points fixes $\alpha = i \sqrt{\varepsilon}$ et $\ov\alpha
= - i \sqrt{\varepsilon}$. Si on conjugue par l'homothétie de rapport
$\dpl{1/ \sqrt{\varepsilon}}$ de façon à envoyer $\alpha$ et $\ov\alpha$ en $i$
et $-i$, l'application devient
$$
F_{\varepsilon} : Z\mto Z + \sqrt{\varepsilon} (Z^{2} + 1)
$$
qui est la méthode d'Euler de pas $\sqrt{\varepsilon}$ pour l'équation
différentielle
$$
\dot Z = Z^{2} + 1.
$$
Les solutions de cette équation différentielles décrivent
les cercles du faisceau de cercles ayant pour points limites $i$ et
$-i$. Les orbites de $F_{\varepsilon}$ suivent approximativement ces cercles.
C'est ce que nous appelons la \emph{dynamique du batteur à {\oe}ufs}.

Cette description est valable dans un compact fixe du plan des $Z$ quand
$\varepsilon \to 0$ (ça donne un compact qui se rétrécit dans le plan
des~$z$).

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=5\unitlength,angle=-90]{douadyfig3}}
\caption{}
\end{figure}

Tandis que les points tournent sur ces cercles, ils dérivent
lentement de $\alpha$ ou $\ov \alpha$ vers $\RR$, car chaque pas se fait sur la
tangente. Les multiplicateurs sont $1\pm 2i \sqrt{\varepsilon}$, donc $\alpha$ et
$\ov\alpha$ sont très légèrement répulsifs. L'effet
dominant est la rotation.

\section{Scénarios imaginables}

Qu'arrive-t-il à l'ensemble de Cantor $K(f_{\varepsilon})= J(f_{\varepsilon})$ quand
$\varepsilon > 0$ tend vers~$0$? A priori, on peut imaginer deux
scénarios (voir planche~3). Pour les décrire, introduisons une notation.
L'ensemble de Cantor triadique $C_{1/3}$ est obtenu à partir de
$I=[0,1]$ par la recette suivante: on enlève le tiers du milieu
ouvert puis on enlève le tiers du milieu (ouvert) de chacun des
intervalles qui restent et on recommence: enfin on prend l'intersection
des compacts ainsi obtenus.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{.5cm}
\begin{minipage}{6\unitlength}
\centerline{\includegraphics[height=9\unitlength,angle=90]{douadypl3-1}}
\end{minipage}
\ \hfill$\longrightarrow$\hfill\
\begin{minipage}{6\unitlength}
\centerline{\includegraphics[height=9\unitlength,angle=90]{douadypl3-2}}
\end{minipage}
\\
\centerline{Scénario $1$}

\vspace*{1.5cm}
\begin{minipage}{6\unitlength}
\centerline{\includegraphics[height=8.3\unitlength]{douadypl3-3}}
\end{minipage}
\ \hfill$\longrightarrow$\hfill\
\begin{minipage}{6\unitlength}
\centerline{\includegraphics[height=9\unitlength,angle=90]{douadypl3-4}}
\end{minipage}
\\
\centerline{Scénario 2}
\par
\vspace*{1cm}
\textsc{Planche 3}
\end{center}
\end{figure}

Pour $0 < \delta$, notons $C_{\delta}$ l'ensemble de
Cantor obtenu par le même procédé, sauf qu'à chaque pas
on enlève de chaque intervalle de longueur $\ell$ un intervalle
ouvert centré de longueur $\delta\cdot\ell$.

Quand $\delta \to 0$, le Cantor $C_{\delta}$ tend vers $I$ (pour la métrique
de Hausdorff).

\subsubsection*{Scénario 11.1} Pour $\varepsilon > 0$ petit, $J(f_{\varepsilon})$ se trouve sur une
courbe voisine de $J(f_{0})$ tout comme $C_{\delta}$ se trouve dans $I$ pour
$\delta$ petit. En d'autres termes on~a une famille continue $(\Gamma_{\varepsilon})$ de
courbes de Jordan, et $J_{\varepsilon}$ est obtenu à partir de $\Gamma_{\varepsilon}$ en
ôtant une infinité de petits arcs ouverts.

\subsubsection*{Scénario 11.2} Pour $\varepsilon > 0$ petit, $J(f_{\varepsilon})=K(f_{\varepsilon})$ est
obtenu à partir de $K(f_{0})$ en y faisant une fente fine le long du
segment $K(f_{0})\cap \RR$, et une infinité d'autres fentes très
fines qui disconnectent complètement cet ensemble. Ainsi $K(f_{\varepsilon})$
se trouve situé dans $K(f_{0})$ (ou dans un disque topologique
voisin) comme $C_{\delta} \times C_{\delta}$ dans le carré~$I^{2}$ pour $\delta$
petit.

Le premier scénario ne donnerait aucune discontinuité pour $f\mto
J(f)$, mais en donnerait une pour $f\mto K(f)$, car $K(f_{0})$ n'est
pas approximativement contenu dans $K(f_{\varepsilon})=J(f_{\varepsilon})$ pour $\varepsilon > 0$
petit.

Le second scénario ne donnerait pas de discontinuité pour $f\mto
K(f)$, mais en donnerait une pour $f\mto J(f)$, car
$J(f_{\varepsilon})=K(f_{\varepsilon})$ n'est pas approximativement contenu dans
$J(f_{0})$.

Ce qui se passe en fait ne suit aucun de ces deux scénarios. C'est bien
plus horrible, donc bien plus beau. Pour commencer les deux applications
$\varepsilon \mto J(f_{\varepsilon})$ et $\varepsilon \mto K(f_{\varepsilon})$ ont une
discontinuité. Est-ce que ça veut dire que $J(f_{\varepsilon})=
K(f_{\varepsilon})$ a une limite $L$ quand $\varepsilon \to 0$ avec
$J(f_{0})\subsetneq
L\subsetneq K(f_{0} ) $, ou qu'il n'y a pas de
limite du tout?

Il faut bien qu'il y ait un peu une limite, pour la raison suivante:
Pour $\varepsilon \leq 1$, $K(f_{\varepsilon})$ est contenu dans
$\ov{D}_{4}$. Or ${\rm Comp}^{*}(\ov{D}_{4})$ est compact.
Je vous ai caché cela au \T 1 mais, pour tout espace métrique
compact~$E$ l'espace ${\rm Comp}^{*}(E)$ est compact pour la
métrique de Hausdorff. Donc de toute suite $(\varepsilon_{n})$ tendant vers
$0$ on peut extraire une suite $(\varepsilon_{n_{k}})$ telle que
$K(f_{\varepsilon_{n_{k}}})$ ait une limite $L$. On a $J(f_{0}) \subset L \subset
K(f_{0})$ en vertu des propriétés de semi-continuité, et en
fait on peut montrer qu'on a toujours
$J(f_{0})\subsetneq
L\subsetneq K(f_{0}) $. Mais $L$ dépend de la
suite d'où on est parti, et éventuellement de la sous-suite
choisie, de sorte que $J(f_{\varepsilon})= K(f_{\varepsilon})$ ne tend pas vers une
limite. Comme nous le verrons au \T 21, ce qui se produit est ce qui
suit:

\begin{enonce*}{Théorème 11.3} On peut trouver une application $\tau :
]0,\varepsilon_{0}]\to \TT$ appelée la fonction phase, admettant un relèvement
continu $\wt\tau :{}]0,\varepsilon_{0}]\to \RR$ qui tend vers $-\infty$ quand
$\varepsilon\to 0$
(de sorte que $\tau$ n'a pas de limite), et une application continue
injective $\theta \mto L_{\theta}$ de $\TT$ dans ${\rm Comp}^{*}\CC$
vérifiant $J(f_{0})\subsetneq
L_{\theta}\subsetneq K(f_{0}) $ pour tout $\theta$, de fa\c
con que $K(f_{\varepsilon_{\nu}})\to L_{\theta}$ pour toute suite $(\varepsilon_{\nu})$
tendant vers $0$ avec $\tau(\varepsilon_{\nu})\to \theta$.
\end{enonce*}

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=5.5\unitlength]{douadyfig4}}
\caption{~: Dans l'espace ${\rm Comp}^{*}(\CC)$, les points $L_{\theta}$ forment un cercle
topologique, et la courbe $(K(f_{\varepsilon}))_{\varepsilon > 0}$ spirale asymptotiquement
à ce cercle quand $\varepsilon \to 0$. Les points $K(f_{0})$ et $J(f_{0})$
sont isolés de cette figure.}
\end{figure}

\section{L'implosion}

Ce paragraphe est seulement descriptif.

Les dessins à l'ordinateur montrent quelque chose d'assez semblable
au scénario~1, sauf qu'il y a des boucles en pointillé qui spiralent
vers l'intérieur (planche~3). Le diamètre de ces boucles ne tend
pas vers $0$ quand $\varepsilon \to 0$ chaque (grande) boucle porte une suite de
petites boucles. Quand $\varepsilon$ varie, les petites boucles
voyagent le long des grandes boucles, et quand la phase a fait un tour
la suite se retrouve approximativement dans la même position,
simplement décalée, et les dessins sont pratiquement
indiscernables. Au même moment, les toutes petites boucles qui sont
sur les petites boucles sont aussi revenues à leur place.

Suivons un point $x_{\varepsilon}$ quand $\varepsilon$ varie depuis $\varepsilon =\varepsilon_{0}$
jusqu'à $\varepsilon$ tendant vers $0$, au moyen des homéomorphismes
$\phi_{\varepsilon_{0},\varepsilon}: K(f_{\varepsilon_{0}}) \to K(f_{\varepsilon})$ évoqués
au \T 8. Autrement dit, posons
$$
x_{\varepsilon} = \phi_{\varepsilon_{0},\varepsilon} (x)
$$
où $x$ est un point choisi dans $J(f_{\varepsilon_{0}})$. Quand $\varepsilon \to 0$,
le point $x_{\varepsilon}$ tend vers un point $x_{0} \in J(f_{0})$, et ceci
définit une application $\phi_{\varepsilon_{0},0} : J(f_{\varepsilon_{0}})\to J(f_{0})$.
Cette application est continue, elle est surjective mais non injective:
les points de $J(f_{0})$ qui sont dans l'orbite inverse de $\alpha_{0} =0$
ont deux images réciproques par $\phi_{\varepsilon_{0},0}$, les autres points
en ont une. Bien que $\phi_{\varepsilon_{0},0}$ soit continue, la convergence de
$\phi_{\varepsilon_{0},\varepsilon}$ vers $\phi_{\varepsilon_{0},0}$ a lieu ponctuellement, il n'y a pas
d'uniformité. Une bonne raison est que
$\partial(J(f_{\varepsilon}),J(f_{0}))\not\rightarrow 0$.

Imaginons maintenant $\varepsilon$ variant de $0$ à $\varepsilon_{0}$. Les points de
l'orbite inverse de $\alpha_{0}$ se cassent en deux dès que $\varepsilon$ devient
$> 0$. Les autres points ont chacun un mouvement continu, mais il n'y a
pas d'uniformité dans cette continuité. Il y a des points qui
bougent très vite vers l'intérieur, de sorte qu'une région
fixe de $\rond{K} (f_{0})$ à une distance $>0$ de
$J(f_{0})$ peut très bien se trouver envahie par des points de
$J(f_{\varepsilon})$ dès que $\varepsilon$ devient $>0$.

C'est cette situation que j'essaye de décrire de façon imagée
en disant que $J(f_{0})$ subit une implosion, comme un tube de
télévision rempli de
vide.

\section{La raison des discontinuités}

L'application $f\mto K(f)$ peut se factoriser en
$$
f \mto \{ f^{n}\}_{n\in \NN} \mto K(f).
$$
Dans ce paragraphe, nous essayons d'expliquer que la cause de la
discontinuité réside dans la première application $f\mto
\{ f^{n} \}_{n\in\NN}$.

Fixons des points de base réels dans $V^{-}$ et $V^{+}$, disons $a=
- {1/ 8}$ et $b= {1/ 8}$. Pour $\varepsilon > 0$, on~a $f^{n}_{\varepsilon}(a)\to
\infty$ quand $n\to \infty$, définissons le temps de batteur à \oe ufs $T(\varepsilon)$
comme le plus petit $n$ tel que $f^{n}_{\varepsilon}(\alpha)\geq b$. On a
$f^{T(\varepsilon)}_{\varepsilon}(a)\in [b, f_{\varepsilon}(b)]$, donc de toute suite de valeurs de
$\varepsilon$ tendant vers $0$ on peut extraire une suite $(\varepsilon_{n})$ telle que
$f^{T(\varepsilon_{n})}_{\varepsilon_{n}} (a)$ ait une limite~$b^{*}$.

\begin{enonce*}{Proposition 13.1}[P. Lavaurs]
Pour une telle suite,
l'application $f^{T(\varepsilon_{n})}_{\varepsilon_{n}}$ converge, uniformément sur
tout compact de $\rond{K} (f_{0})$, vers une fonction
holomorphe $g:\rond{K} (f_{0})\to \CC$, qui commute
à $f_{0}$.
\end{enonce*}

Cette proposition sera démontrée au \T 18, après qu'on ait
introduit des coordonnées où il est particulièrement commode
de travailler. Il s'agit des coordonnées de Fatou. La proposition
13.1 jette quelque lueur sur la raison des discontinuités.

Appelons \emph{dynamique sur} $\CC$ un ensemble $\cG$ d'application \hbox{$g :U\!\to\! \CC$}, avec $U\subset \CC$ ouvert, qui soit stable par restriction
et composition. Autrement dit:
\begin{enumerate}
\item[$(1)$] $(g : U \to \CC) \in \cG,\quad U' \subset U \Longrightarrow g|U'\in \cG$.
\item[$(2)$]
$(g_{1} : U_{1} \to \CC) \in \cG, \ (g_{2} :U_{2}\to \CC ) \in \cG,\quad
g(U_{1}) \subset U_{2}\Longrightarrow g_{2} \circ g_{1} \in \cG$.
\end{enumerate}
La dynamique $\cG$ est \emph{fermée} si, pour toute suite
$(g_{n}:U_{n}\!\to\! \CC)$ dans $\cG$, si $g_{n}\to g$ uniformément sur
tout compact de $U$, on~a $(g: U\!\to\! \CC)\!\in\! \cG$.

On dit qu'une suite $(\cG_{\nu})$ de dynamiques sur $\CC$ \emph{converge
géométriquement} vers une dynamique $\cG$ si

(1) Pour $(g: U\to \CC) \!\in\! \cG$ on peut trouver une suite $(g_{\nu})$
avec $(g_{\nu} : U_{\nu} \to \CC) \!\in\nobreak\!\nobreak \cG_{\nu}$, $g_{\nu}\to g$
uniformément sur tout compact de $U$;

(2) si $\nu_{k} \to \infty$, $(g_{\nu_{k}} : U_{\nu_{k}} \to \CC) \in
\cG_{\nu_{k}}$ pour tout $k$, $g_{\nu_{k}} \to g : U \to \CC$
uniformément sur tout compact de $U$, alors on~a $(g: U\to \CC)\in
\cG$.

La notion de limite géométrique est familière aux
spécialistes des groupes klei\-niens.

Étant donné un polynôme $f:\CC \to \CC$, la \emph{dynamique}
$[f]$ \emph{engendrée} par $f$ est l'ensemble des restrictions des
itérées de $f$. Pour ce qui est des polynômes $f_{\varepsilon}:z
\mto z+z^{2} +\varepsilon$, la situation est la suivante: Pour chaque $\varepsilon
\geq 0$ la dynamique $[f_{\varepsilon}]$ est fermée. Mais $[f_{0}]$ \emph{n'est pas} la limite des $[f_{\varepsilon}]$ pour $\varepsilon > 0$ tendant vers $0$. Pour
une suite $(\varepsilon_{n})$ comme dans la proposition 13.1, l'application $g:
\rond{K} (f_{0})\to \CC$ appartient à la limite des
$[f_{\varepsilon_{n}}]$, mais pas à $[f_{0}]$.

Nous ne prétendons pas pouvoir définir une application $\cG
\mto K(\cG)$ avec des propriétés de continuité
raisonnables, mais on peut quand même affirmer que c'est la
discontinuité de $f\mto [f]$ qui se reflète dans celle de
$f\mto K(f)$, et aussi dans celle de $f\mto J(f)$.

\section{Coordonnées de Fatou}

Revenons à l'application $f_{0} : z\mto z+z^{2}$. On peut
trouver des cartes dans lesquelles l'expression de $f_0$ est
$$
\zeta \mto \zeta + 1.
$$
Plus précisément, notons $V^{-}$ et $V^{+}$ les disques ouverts
ayant pour diamètre $]- {1/ 4},0[$ et $]0, {1/ 4}[$
respectivement.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=5\unitlength,angle=-90]{douadyfig5}}
\caption{}
\end{figure}

\skpt
\begin{enonce*}{Lemme 14.1}
\begin{enumerate}
\item[{\rm(a)}] L'application $f_{0}$ est injective sur $V^{-}$
et sur $V^{+}$.
\item[{\rm(b)}] On a $f_{0} (V^{-})\subset V^{-}$ et $f_{0} (V^{+})\supset V^{+}$.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\begin{proof}
Faisons le changement de variable $\dpl Z= - {1/z}$. L'application $z\mto z_{1} = z+ z^{2}$ devient $\dpl F: Z \mto
Z_{1} = Z + 1 + \spfrac{1}{Z-1}$. Les disques $V^{+}$ et $V^{-}$ deviennent respectivement
les demi-plans
$$
U^{+} = \{ z = x + iy \mid x < - 4\}\qqbox{et} U^{-}=\{
z = x+iy\mid x > 4\}.
$$
Sur $U_{+} \cup U_{-}$, l'application se comporte comme la translation
$Z\mto Z+1$: le terme d'erreur est majoré par ${1/ 4}$ et sa
dérivée par ${1/9}$. En particulier $F$ est injective sur
$U^{+}$ et $U^{-}$, on~a $F(U^{+}) \subset U^{-}$ et
$F(U^{+})\supset U^{+}$. Le lemme en découle.
\end{proof}

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=5\unitlength]{douadyfig6}}
\caption{}
\end{figure}

Nous allons maintenant faire un nouveau changement de variable $Z\mto
\zeta$ de façon à nous débarrasser du terme d'erreur. Appelons
\emph{région gauche} (\resp \emph{région droite}) un ensemble dans
$\CC$ de la ferme $\{ z = x + iy \mid x < h(y)\}$ (\resp $>$) où $h:
\RR \to \RR$ est une fonction continue.

\begin{enonce*}{Théorème et Définition 14.2} On peut trouver des
applications holomorphes injectives $\phi^{+} : V^{+}\to \CC$ et
$\phi^{-}: V^{-} \to \CC$ telles que
\begin{enumerate}
\item[{\rm(a)}]
$\phi^{+} (V^{+})$ est une région gauche et $\phi^{-}(V^{-})$
est une région droite.

\item[{\rm(b)}]
$\phi^{+} (f_{0}(z)) = \phi^{+} (z) + 1$ si $z$ et $f(z)$ sont dans
$V^{+}, \phi^{-} (f_{0}(z))= \phi^{-} (z) + 1$ si $z\in V^{-}$.
\end{enumerate}
De telles applications sont appelées des \emph{coordonnées de Fatou}.
Elles sont uniques à une constante additive près.
\end{enonce*}

\begin{proof}[Esquisse de démonstration]
Reprenons les notations du lemme
14.1 et de sa démonstration. Notons $X^{+} = V^{+}/p = U^{+}/F$ le
quotient de~$V^{+}$ par la relation d'équivalence identifiant $z$ et
$f(z)$ quand ils sont tous deux dans $V^{+}$. L'espace $X^{+}$ est une
cylindre topologique et une surface de Riemann.

Il résulte du théorème d'uniformisation de Riemann que toute
surface de Riemann homéomorphe à un cylindre est
$\CC$-analytiquement isomorphe à $B_{h}/\ZZ$, où $B_{h} =\{ z =
x + iy \mid | y | < {h/2}\}$, pour un certain $h\in{}]0, +\infty]$
appelé le \emph{module}, ou à $H/\ZZ$ où $H$ est le demi-plan
supérieur (module infini unilatéral). Dans le cas qui nous
concerne, on peut montrer que le module est infini bilatéral, autrement
dit $X^{+} \simeq \CC/\ZZ$. Choisissons un isomorphisme $\psi : X^{+}
\buildrel\simeq \over \longrightarrow \CC/\ZZ$ et notons~$\chi_{F}$
l'application de passage au quotient $U^{+} \to X^{+}$. Comme $U^{+}$
est simplement connexe, l'application $\psi \circ \chi_{F} : U^{+} \to
\CC/\ZZ$ se relève en une application $\phi^{+}_{U} : U^{+} \to
\CC$. En composant avec le changement de variable $z\mto Z = \dpl-{1/z}$, on obtient une application $\phi^{+} : V^{+} \to \CC$. Par
construction, on~a un diagramme commutatif
$$
\xymatrix@C=1.5cm{
V^{+} \ar[r]_-{\approx}^-{z\to Z}\ar[d]^-{\chi_{f}} & U^{+}\ar[d]_-{\chi_{F}}\ar[r]^-{\phi^{+}_{U}}& \CC\ar[d]^-{\chi_{\ZZ}}\\
V^{+}/f \ar[r]^-{\approx} & U^{+}/F \ar[r]^-{\psi} & \CC/\ZZ
}
$$
Si $Z$ et $Z_{1}$ sont deux points de $U^{+}$ avec $Z_{i} = F(Z)$, les
points $\phi^{+}_{U}(Z)$ et $\phi^{+}_{U}(Z_{1})$ ont même image par
$\chi_{\ZZ}$, donc diffèrent d'un entier et cet entier ne
dépend pas de $\ZZ$ (application continue d'un connexe dans un
discret). On peut vérifier que $\phi^{+}_{U} (Z_{1}) -
\phi^{+}_{U}(Z) = 1$ (pourvu qu'on n'ait pas échangé les deux
bouts), et que $\phi^{+}(z)= \phi^{+}_{U}(Z)$ a les propriétés
voulues.

On construit de même $\phi^{-}$.

On voit facilement que des coordonnées de Fatou sont
nécessairement obtenues par ce procédé. Il y a certains
choix dans la construction:
\begin{itemize}
\item
choix de $\psi$: si on prend soin de ne pas échanger les
deux bouts, $\psi$ ne peut être modifié que par une translation
dans le groupe $\CC/\ZZ$;

\item
choix du relèvement $\phi$ de $\psi \circ \chi_{F}$ --- qui
ne peut être modifié que par une translation entière.
\end{itemize}

Ces choix ne modifient les coordonnées de Fatou que par l'addition
d'une constante.
\end{proof}

\subsubsection*{Remarque} On peut choisir les coordonnées de Fatou
réelles sur \hbox{$\RR \cap V^{+}$} et $R\cap V^{-}$.

\section{Prolongement des coordonnées de Fatou}

\skpt
\begin{enonce*}{Proposition 15.1}
\begin{enumerate}
\item[{\rm(a)}]
La coordonnée de Fatou attractive $\phi^{-} : V^{-} \to \CC$ se
prolonge en une fonction holomorphe $\wh\phi^{-} :
\rond{K}(f_{0})\to \CC$ vérifiant, pour tout $z\in\rond{K}(f_{0})$,
$$
\wh \phi^{-} (f_{0}(z)) = \wh\phi^{-}(z) +1.
$$

\item[{\rm(b)}]
L'inverse $\psi^{+} : \phi^{+} (V^{+})\to V^{+}$ de la coordonnée de
Fatou répulsive se prolonge en une application $\wh\psi^{+} \CC \to
\CC$ vérifiant, pour tout $\xi \in\CC$,
$$
\wh \psi (\xi + 1) = f_{0} (\wh\psi^{+}(\xi)).
$$
\end{enumerate}
\end{enonce*}

Nous appelons $\wh\phi^{-}$ la \emph{coordonnée de Fatou étendue} et
$\wh\psi^{+}$ le \emph{paramétrage de Fatou étendu}.

\begin{proof}
Reprenons les notations de 14.1. Pour $Z\in
U^{-}$, $|F^{n}(Z)|$ tend vers $\infty$ et $\Arg F^{n} (Z)$ tends vers $0$ quand $n\to
\infty$, donc pour $z\in U^{-}$ le point $f^{n}_{0}(z)$ tend vers $0$
tangentiellement à $\RR_{-}$. Au point parabolique $0$, l'unique axe
d'attraction est $\RR_{-}$, et $\RR_{+}$ est l'axe de répulsion. Le
disque ouvert $V^{-}$ est contenu dans le bassin de $0$, et ce bassin
est $\rond{K}(f_{0})$ puisque
$\rond{K}(f_{0})$ est connexe. C'est aussi le bassin
immédiat.

(a) Pour $z\in\rond{K}(f_{0})$ on~a $f^{n}_{0}(z)\in
V^{-}$ pour $n$ assez grand. On pose $\wh \phi^{-}(z) =\phi^{-}
(f^{n}_{0}(z))-n$ pour $n$ assez grand, en remarquant que cela ne
dépend pas du choix de $n$.

(b) Pour $\xi \in\CC$, on~a $\xi - n \in U^{+}$ pour $n$ assez grand. On
pose alors $\wh\psi^{+} (\xi)= f^{n}_{0}(\psi^{+}(\xi))$, en remarquant
que cela ne dépend pas du choix de $n$.

On vérifie immédiatement que $\wh\phi^{-}$ et $\wh\psi^{+}$
répondent à la question.
\end{proof}

Notons $\omega$ le point critique ${-1/ 2}$ de $f_{0}$, qui est centre
de symétrie pour $K(f_{0})$. Ajustons la coordonnée de Fatou
$\phi^{-}$ de façon que $\wh\phi^{-}(\omega)=0$. Nous avons alors:

\begin{enonce*}{Proposition 15.2} L'application $\wh \phi^{-} :
\rond{K}(f_{0})\to \CC$ est un revêtement
rami\-fié de degré infini, rami\-fié seulement au-dessus des
entiers négatifs. Les points critiques de $\phi^{-}$ sont les points
pré-critiques de~$f_{0}$, c'est-à-dire les points de $\cup
f^{-n}_{0}(\omega)$.
\end{enonce*}

Nous n'avons pas pour $\wh \psi^{+}$ une aussi jolie description.
Plutôt que de donner de la proposition15.2 une démonstration en forme,
nous trouvons plus instructif de donner une description
détaillée (sans démonstration) de $\wh\phi^{-}$.

Dans $V^{-}$, colorions le demi-disque supérieur en jaune, le
demi-disque inférieur en marron et le diamètre $V^{-} \cap \RR$ en
grenat. Remarquons que $f_{0}(z)$ a la même couleur que $z$. On
prolonge ce coloriage à tout $\rond{K}(f_{0})$ en
mettant $z$ de la même couleur que $f^{n}_{0}(z)$ pour $n$ grand. On
obtient ce que nous appelons \emph{l'échiquier parabolique}. Ce qui
est marqué en grenat est $S=U f^{-n}_{0} (]-1,0[)$, les cases sont
les composantes connexes de $\rond{K}(f_{0})-S$. Les
deux \emph{cases principales} sont les cases $B'$ et $B''$ qui
contiennent les demi-disques supérieur et inférieur de $V^{-}$.

L'application $\wh\phi^-$ induit un homéomorphisme biholomorphe de $B'$
sur le demi-plan supérieur $H$, réalisant donc l'uniformisation
de Riemann. Puisque $\wh \phi^{-}$ conjugue~$f_{0}$ à la
translation $\xi \mto \xi +1$ dans $H$, nous pouvons dire que $f_{0}:
B'\to B'$ est une application parabolique (c'est peut être de
là que vient la terminologie de \og points paraboliques\fg).

La situation est symétrique pour $B''$.

Les coins des cases de l'échiquier sont les points
pré-critiques; $\wh\phi^{-}$ les envoie sur les entiers négatifs.

Pour chaque case $B$, il existe un entier $n$ tel que $f^{n}_{0}$
applique $B$ biholomorphiquement sur $B'$ ou $B''$.

\section{Persistance des coordonnées de Fatou}

Considérons maintenant $f_{\varepsilon} : z \mto z + z^{2} +\varepsilon$ avec $\varepsilon >
0$ petit (disons $\varepsilon \in{}]0,\varepsilon_{0}]$, $\varepsilon_{0} = \dpl{1/25}$). Prenons
pour $V^{+}_{\varepsilon}$ (\resp $V^{-}_{\varepsilon}$) le disque bordé par le cercle
passant par ${1/ 4}$ (\resp $-{1/ 4}$) et les deux points fixes
$\alpha = i \sqrt{\varepsilon}$ et $\ov\alpha = - i \sqrt{\varepsilon}$.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=4\unitlength]{douadyfig7}}
\caption{}
\end{figure}

N'espérons plus obtenir une application $V^{-}_{\varepsilon} \to \CC$
conjuguant $f_{\varepsilon}$ à $\xi \mto \xi +1$ et appliquant
$V^{-}_{\varepsilon}$ sur une région droite, car l'orbite d'un point de
$V^{-}_{\varepsilon}$ en sort toujours au bout d'un temps fini.

\begin{enonce*}{Proposition et Définition 16.1} On peut trouver des
applications holomorphes injectives $\phi^{+}_{\varepsilon} : V^{+}_{\varepsilon} \to \CC$
et $\phi^{-}_{\varepsilon} : V^{-}_{\varepsilon} \to \CC$ telles que
\begin{enumerate}
\item[{\rm(a)}]
$\phi^{+}_{\varepsilon} (V^{+}_{\varepsilon})$ est une région de la forme
$$
\{ \zeta =\xi + i\eta \mid h^{+}_{1} (\eta) < \xi < h^{+}(\eta)\},
$$
où $\ h^{+}$ et $ h^{+}_{1}$ sont des fonctions continues $\RR \to\RR$ avec $h^{+}-h^{+}_{1} > 1$, et
de même pour $\phi^{-}_{\varepsilon}$.
\item[{\rm(b)}]
$\phi^{+}_{\varepsilon} (f_{\varepsilon}(z)) = \phi^{+}_{\varepsilon} (z) + 1$ chaque fois que
$z$ et $f_{\varepsilon}(z)$ sont tous deux dans $V^{+}_{\varepsilon}$, et de même pour
$\phi^{-}_{\varepsilon}$.
\end{enumerate}
Nous appelons encore ces applications coordonnées de Fatou. Elles
sont uniques à une constante additive près. Sur $V^{-}_{\varepsilon} \cap V^{+}_{\varepsilon}$ elles diffèrent d'une constante.
\end{enonce*}

\begin{proof}[Esquisse de démonstration]
Nous allons adapter la
démonstration de la Prop.\,14.2. Le changement de variable qui
convient ici est
$$
z \mto Z = {1\over 2\alpha} {\rm Log} {z-\alpha\over z-\ov\alpha}
$$
en choisissant sur $V^{-}_{\varepsilon}$ (\resp $V^{+}_{\varepsilon}$) la branche du Log
qui est voisine de $0$ quand $\varepsilon$, donc $\alpha$ tend vers $0$ à $z$ fixé.

Ceci transforme $V^{-}_{\varepsilon}$ et $V^{+}_{\varepsilon}$ en deux bandes verticales
$U^{-}_{\varepsilon}$ et $U^{+}_{\varepsilon}$.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=5\unitlength]{douadyfig8}}
\caption{}
\end{figure}

L'application $f_{\varepsilon} : z\mto z_{1}$ devient une application $F_{\varepsilon}
: Z \mto Z_{1}$ définie par
$$
Z_{1} = Z + {1\over \sqrt{\varepsilon}}\Arctg {\sqrt{\varepsilon}\over 1+z}.
$$
Pour $|z| \leq {1/ 4}$, le terme $(\sfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}) \Arctg
\spfrac{\sqrt{\varepsilon}}{1+ z}$ est assez voisin de $\spfrac{1}{1+z}$ pour qu'on
soit sûr que sa partie réelle est $> 0$. Les \hbox{espaces} quotients
$X^{+}_{\varepsilon}= U^{+}_{\varepsilon}/F_{\varepsilon}$ et $X^{-}_{\varepsilon}= U^{-}_{\varepsilon}/F_{\varepsilon}$ sont des
anneaux $\CC$-analytiques, c'est-à-dire des surfaces de Riemann
homéomorphes à des cylindres, et on peut montrer que leur module
est infini bilatéral. La démonstra\-tion rejoint alors celle de
14.2 pour montrer (a), (b) et l'unicité à constante additive
près. Sur l'ouvert $V^{-}_{\varepsilon} \cap V^{+}_{\varepsilon}$, le changement de
variable $z\mto Z$ ne prend pas la même valeur suivant que~$z$
est considéré comme élément de $V^{-}_{\varepsilon}$ ou de
$V^{+}_{\varepsilon}$. Cet ouvert donne les deux bandes $U^{-}_{\varepsilon}\cap
T_{{\pi/\sqrt{\varepsilon}}} U^{+}_{\varepsilon}$. Ces bandes sont assez larges pour
être sûr que l'orbite par $F_{\varepsilon}$ de tout point de $U^{-}_{\varepsilon}$
ou $U^{+}_{\varepsilon}$ les rencontre, de sorte que les inclusions de
$V^{-}_{\varepsilon}\cap V^{+}_{\varepsilon}$ dans $V^{-}_{\varepsilon}$ et $V^{+}_{\varepsilon}$ induit des
bijections de $(V^{-}_{\varepsilon}\cap V^{+}_{\varepsilon})/f_{\varepsilon}$ sur $X^{-}_{\varepsilon} =
V^{-}_{\varepsilon}/f_{\varepsilon}$ et $X^{+}_{\varepsilon} = V^{+}_{\varepsilon}/ f_{\varepsilon}$. En particulier
$(V^{-}_{\varepsilon} \cap V^{+}_{\varepsilon})/f_{\varepsilon}$ est un cylindre de module infini
bilatéral. On peut alors appliquer le raisonnement qui classe
l'unicité à constante additive près aux restrictions de
$\phi^{+}_{\varepsilon}$ et $\phi^{-}_{\varepsilon}$ à $V^{-}_{\varepsilon} \cap V^{+}_{\varepsilon}$.
\end{proof}

\subsubsection*{Remarque 16.2} Avec les conventions que nous avons prises,
l'application\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\[
z\mto Z=\frac{-i}{2\sqrt{\varepsilon}}\,{\rm Log}\,\frac{z-i\sqrt{\varepsilon}}{z+i\sqrt{\varepsilon}}
\]
tend quand $\varepsilon \to 0$ vers l'application $z
\mto Z = - \dpl{1/z}$ considérée au \T 14. Pour obtenir cet
avantage, nous en avons sacrifié un autre. Sur l'ouvert $V^{-}_{\varepsilon}$
et $V^{+}_{\varepsilon}$, on~a deux valeurs de $Z$ qui diffèrent de $\dpl{\pi/\sqrt{\varepsilon}}$. Avec un autre choix, on aurait pu s'arranger pour qu'elles
coïncident et obtenir une coordonnée de Fatou sur $V^{-}_{\varepsilon}\cup V^{+}_{\varepsilon}$.

\section{La phase}

Les coordonnées de Fatou $\phi^{-}_{\varepsilon}$ et $\phi^{+}_{\varepsilon}$
tendent-elles vers $\phi^{-}_{0}$ et $\phi^{+}_{0}$ quand $\varepsilon$ tend vers~$0$?

La question a besoin d'être précisée pour deux raisons:

(1) Le domaine de définition dépend de $\varepsilon$. Mais cela ne pose
guère de problème, car $\cV^{-} = \{ (\varepsilon,z)\mid z \in V^{-}_{\varepsilon}\}$
et $\cV^{+} =\{ (\varepsilon,z)\mid z \in V^{+}_{\varepsilon}\}$ sont ouverts dans
$[0,1]\times \CC$.

(2) Les applications $\phi^{-}_{\varepsilon}$ et $\phi^{+}_{\varepsilon}$ ne sont
définies qu'à une constante additive près. Il faut donc les
fixer par une normalisation.

Choisissons donc des points de base, par exemple $a = - {1/ 8}$ et
$b= {1/ 8}$ (qui sont dans $V^{\pm}_{\varepsilon}$ pour tout $\varepsilon \in[0,\varepsilon_{0}]$) et normalisons $\phi^{-}_{\varepsilon}$ et $\phi^{+}_{\varepsilon}$ par
$\phi^{-}_{\varepsilon}(a)= \phi^{+}_{\varepsilon}(b)=0$.

\begin{enonce*}{Proposition 17.1}
Avec ces conventions,\vspace*{-3pt}
$$
(\varepsilon, z) \mto \phi^{-}_{\varepsilon} (z)\qqbox{et} (\varepsilon,z) \mto \phi^{+}_{\varepsilon}(z)
$$
sont continues sur $\cV^{-}$ et $\cV^{+}$ respectivement.
\end{enonce*}

La démonstration, sans être vraiment difficile, nécessite
quelques outils d'analyse complexe. Nous ne la donnons pas ici.\enlargethispage{\baselineskip}

\subsubsection*{Remarque 17.2} Pour $\varepsilon> 0$, les fonctions $\phi^{-}_{\varepsilon}$ et $\phi^{+}_{\varepsilon}$
diffèrent d'une constante sur $V^{-}_{\varepsilon}\cap V^{+}_{\varepsilon}$. Nous
appelons cette constante la \emph{phase relevée} $\wt\tau(\varepsilon)$,
c'est-à-dire que nous posons
$$
\wt\tau(\varepsilon) =\phi^{+}_{\varepsilon}(z) -\phi^{-}_{\varepsilon}(z)\qqbox{pour} z\in
V^{-}_{\varepsilon} \cap V^{+}_{\varepsilon}.
$$

La phase relevée est reliée au temps de batteur à {\oe}ufs
$T(\varepsilon)$ introduit au \T 13 (plus petit $n$ tel que $f^{n}_{\varepsilon} (a)\geq
b$) par le résultat suivant:

\begin{enonce*}{Proposition 17.3} On a $-T(\varepsilon)\leq \wt\tau (\varepsilon) <
-T(\varepsilon)+1$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Posons $a' = f_{\varepsilon}^{T(\varepsilon)}(a)$, et
$a''=f_{\varepsilon}^{m}(a)$ avec $m$ choisi de façon que $a''\in V^{-}_{\varepsilon}
\cap V^{+}_{\varepsilon}$.

On a $\phi^{-}_{\varepsilon}(a'')= m$ et $\phi^{+}_{\varepsilon}(a'')=
\phi^{+}_{\varepsilon}(a')-(T(\varepsilon)-m)$, d'où $\wt\tau (\varepsilon) =
\phi^{+}_{\varepsilon}(a'')- \phi^{-}_{\varepsilon}(a'') = - T(\varepsilon) + \phi^{+}_{\varepsilon} (a')$.
Mais $a' \in [ b, f_{\varepsilon}(b)[$ par définition de $T(\varepsilon)$, et
$\phi^{+}_{\varepsilon}$ applique $[b, f_{\varepsilon} (b)[$ sur $[0,1[$, d'où $0\leq
\phi^{+}_{\varepsilon} (a') < 1$.
\end{proof}

\begin{enonce*}{Corollaire 17.4} La phase relevée $\wt\tau(\varepsilon)$ tend
vers $-\infty$ quand $\varepsilon \to 0$.
\end{enonce*}

En effet $T(\varepsilon)\to \infty$, puisque $f^{n}_{\varepsilon}(a)\to f^{n}_{0}(a)\in
[a,0[$ quand $\varepsilon \to 0$ avec $n$ fixé.

\subsubsection*{Remarque 17.5} On peut montrer que $\wt\tau(\varepsilon) = \dpl{-\pi/\sqrt{\varepsilon}}+\eta + o(1)$ avec $\eta \in\RR$.

\medskip
On note $\tau(\varepsilon)$ la classe de $\wt\tau(\varepsilon)$ dans $\TT=\RR/\ZZ$, et
nous l'appelons la \emph{phase}. On a $\tau(\varepsilon)=0$ si et seulement si
l'orbite de $a$ contient $b$. En~général, $\tau(\varepsilon)$ nous
renseigne sur la position relative des orbites de $a$ et $b$ à
droite de $b$. Comme conséquence du Cor.~17.4, on a:

\begin{enonce*}{Corollaire 17.6} La phase $\tau(\varepsilon)$ n'a pas de limite quand
$\varepsilon\to 0$.
\end{enonce*}

Pour $\sigma \in\CC$, notons $T_{\sigma}$ la translation $Z\mto Z + \sigma$.

\begin{enonce*}{Proposition 17.7} Pour $\varepsilon > 0$, l'application
$$
(\phi^{+}_{\varepsilon})^{-1} \circ T_{n+\wt\tau(\varepsilon)} \circ \phi^{-}_{\varepsilon}
$$
coïncide avec $f^{n}_{\varepsilon}$ là où elle est définie.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Soit $\xi \in \Omega^{-}_{\varepsilon} =
\phi^{-}_{\varepsilon}(V^{-}_{\varepsilon})$ un point tel que $\xi + n +\wt\tau(\varepsilon)\in
\Omega^{+}_{\varepsilon}$. Soit $m$ le plus grand entier $\leq n$ tel que $\xi + m\in
\Omega^{-}_{\varepsilon}$. Alors $\xi + i \in \Omega^{-}_{\varepsilon}$ pour $0 \leq i \leq m$, $\xi + m +\wt\tau(\varepsilon) \in \Omega^{+}_{\varepsilon}$ et par suite aussi $\xi + j +
\wt\tau(\varepsilon)\in \Omega^{+}_{\varepsilon}$ pour $m \leq j \leq n$. Si $\zeta =
\phi^{-}_{\varepsilon}(z)$, on~a
$$f^{m}(z) = (\phi^{-}_{\varepsilon})^{-1}(\xi + m) =
(\phi^{+}_{\varepsilon})^{-1} (\xi + m + \wt\tau(\varepsilon))$$
et
\[
f^{n}(z)=
f^{n-m}(f^{m}(z))=(\phi^{+}_{\varepsilon})^{-1} (\xi +n +\wt\tau (\varepsilon)).\qedhere
\]
\end{proof}

\begin{enonce*}{Corollaire 17.8} Soient $x$ un point de $V^{-}_{\varepsilon}$ et $n \in
\NN$ tels que $f^{n}_{\varepsilon}(x) \in V_{\varepsilon}^{+}$ et $f_{\varepsilon}^{i}(x) \in
V_{\varepsilon}^{-}\cup V_{\varepsilon}^{+}$ pour $0 \leq i \leq n$. Alors l'expression de
$f_{\varepsilon}^{n}$ au voisinage de $x$, dans les cartes $\phi^{-}_{\varepsilon}$ et
$\phi_{\varepsilon}^{+}$, est
$$
\xi \mto \xi + n + \wt \tau (\varepsilon).
$$
\end{enonce*}

\section{Applications de Lavaurs}

Nous sommes maintenant en mesure de définir l'application $g$ qui
intervient dans la proposition 13.1.

\begin{enonce*}[remark]{Définition 18.1} Une application de Lavaurs pour $f_{0}$
est une application $\rond{K} (f_{0}) \to \CC$ de la forme $g_{\sigma}$ de la
forme $\widehat \psi^{+}\circ T_{\sigma}\circ \widehat \phi^{-}$, où
$\widehat \phi^{-}$ et~$\widehat \phi^{+}$ sont la coordonnée et le
paramétrage de Fatou étendus pour $f_{0}$, et~$T_{\sigma}$ la
translation $\xi \mto \xi + \sigma$.
\end{enonce*}

On a $g_{\sigma}\circ f_{0} = f_{0}\circ g_{\sigma+1}$. L'ensemble des
applications de Lavaurs ne dépend pas du choix des coordonnées
de Fatou, mais la correspondance $\sigma \mto g_{\sigma}$ en dépend.

La proposition qui suit est un raffinement de la proposition 13.1.

\begin{enonce*}{Proposition 18.2} Soit $(\varepsilon_{\nu})$ est une suite tendant vers
$0$ dans $]0, \varepsilon_{0}]$, et $(n_{\nu})$ une suite d'entiers tendant vers $+\infty$. Supposons que $\wt\tau(\varepsilon_{\nu})+n_{\nu}$ tende vers
une limite $\sigma \in R$. Alors $f_{\varepsilon_{\nu}}^{n_{\nu}}$ tend,
uniformément sur tout compact de $\rond{K} (f_{0})$, vers
l'application de Lavaurs $g_{\sigma}$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Supposons d'abord que $x_{0}\in V^{-}_{0}$ et
que $\sigma$ soit tel que $\phi^{-}_{0}(x) + \sigma \in U^{+}_{0}=
\phi^{+}_{0}(V^{+}_{0})$. On peut alors trouver un voisinage $\Lambda$ de~$x$ tel que
$$
(\phi^{+}_{\varepsilon_{\nu}})^{-1}\circ T_{n_{\nu}+\wt\tau (\varepsilon_{\nu})} \circ
\phi^{-}_{\varepsilon_{\nu}}
$$
soit défini sur $\Lambda$ pour $\nu$ assez grand, et converge
uniformément sur $\Lambda$ vers $g_{0}$. Sur $\Lambda$, on~a
$(\phi^{+}_{\varepsilon_{\nu}})^{-1}\circ T_{n_{\nu}+\wt\tau (\varepsilon_{\nu})} \circ
\phi^{-}_{\varepsilon_{\nu}} = f_{\varepsilon_{\nu}}^{n_{\nu}}$, donc
$f_{\varepsilon_{\nu}}^{n_{\nu}}\to g_{\sigma}$ uniformément sur $\Lambda$.

Soit maintenant $x$ un point arbitraire de $\rond{K} (f_{0})$ et $\sigma \in
\RR$ un réel arbitraire. On peut trouver $m_{1}\in \NN$ tel que $x'
= f_{0}^{m_{1}} (x) \in V^{-}_{0}$, et $\sigma'= \sigma - m_{1}-m_{2}$ avec
$m_{2}\in \NN$ tel que $\phi^{-}_{\varepsilon}(x') + \sigma'\in U_{0}^{+}$. Posant
$n'_{\nu} = n_{\nu}- m_{1}-m_{2}$, l'application
$f_{\varepsilon_{\nu}}^{n'_\nu}$ tend vers~$g_{\sigma}$, uniformément sur un
voisinage de $x'$, donc $f_{\varepsilon_{\nu}}^{n_{\nu}}$ tend vers
$f_{0}^{m_{2}} \circ g_{\sigma^{1}} \circ f_{0}^{m_{1}} = g_{\sigma}$
uniformément sur un voisinage de $x$.
\end{proof}

\section{Les ensembles \texorpdfstring{$K (f_{0}, g_{\sigma})$ et $J(f_{0}, g_{\sigma})$}{plein2}}

Dans ce paragraphe, nous définissons les ensembles qui vont
apparaître comme limite de $K (f_{\varepsilon})$ et $J (f_{\varepsilon})$ quand $\varepsilon
\to 0$.

Considérons $f_{0}$ et une application de Lavaurs $g_{\sigma}$. Nous
définissons d'abord les points qui \emph{s'échappent par} $(f_{0},
g_{\sigma})$.

Un point $\CC - K (f_{0})$ s'échappe par $f_{0}$, on dit qu'il
s'échappe par $(f_{0}, g_{\sigma})$. Un point de $J (f_{0})$ ne
s'échappe pas par $f_{0}$, et on ne peut pas lui appliquer $g_{\sigma}$,
à lui ni à aucune de ses images itérées par $f_{0}$: il
ne s'échappe pas par $(f_{0}, g_{\sigma})$. À un point $z \in \rond{K}
(f_{0})$ on peut appliquer~$g_{\sigma}$. Si $g_{\sigma}(z) \in \CC - K (f_{0})$,
il s'échappe ensuite par $f_{0}$, on dit que~$z$ s'échappe par
$(f_{0}, g_{\sigma})$. Si $g_{\sigma}(z)\in J (f_{0})$, il reste prisonnier,
donc $z$ ne s'échappe pas par $(f_{0}, g_{\sigma})$. Si $g_{\sigma}(z) \in
\rond{K} (f_{0})$, on peut appliquer $g_{\sigma}$ de nouveau, et cela donne
à $z$ encore une chance. Remarquons qu'appliquer d'abord $f_{0}$ ne
changerait rien, puisque $f_{0}$ et $g_{\sigma}$ commutent et que $K
(f_{0})$ est invariant par $f_{0}$ et $f_{0}^{-1}$.

Au total, on définit les points qui s'échappent par $(f_{0},
g_{\sigma})$ comme les points $z$ tels que $(\exists\, m \in \NN)$ $g^{m}_{\sigma}(z) \in \CC - K(f_{0})$. À prendre au sens de: il existe un
$m \in \NN$ tel que $g_{\sigma}^{m}(z)$ soit défini et appartienne à
$\CC - K (f_{0})$. Ceci inclue le cas $m =0$, donc les points
extérieurs à $K(f_{0})$ s'échappent. Nous notons $K(f_{0},
g_{\sigma})$ l'ensemble des points de~$\CC$ qui ne s'échappent pas par
$(f_{0}, g_{\sigma})$.

Nous définissons $J(f_{0}, g_{\sigma})$ comme la fermeture de
$$
\{z \mid(\exists\, m \in \NN) \; g_{\sigma}^{m}(z)\in J (f_{0})\}.
$$
C'est un compact
contenu dans $K(f_{0})$, et contenant $J(f_{0})$ puisque $m=0$ est
autorisé.

\begin{enonce*}{Proposition 19.1} L'ensemble $J(f_{0}, g_{\sigma})$ est la
frontière de $K(f_{0}, g_{\sigma})$.
\end{enonce*}

\begin{proof}
\hspace*{-2mm}Si $g_{\sigma}^{m}(z) \!\in\! J(f_{0})$, le point $z$ ne s'échappe pas, donc \hbox{$z\!\in\! K(f_{0}, g_{\sigma})$}, mais arbitrairement près de $z$ on peut trouver un $z'$ tel que \hbox{$g_{\sigma}^{m}(z')\in \CC-K (f_{0})$} puisque $g_{\sigma}^{m}$ est ouverte, donc $z\in \partial K
(f_{0}, g_{\sigma})$. Par suite $J(f_{0}, g_{\sigma}) \subset \partial K (f_{0}, g_{\sigma})$.

Réciproquement, soit $z \in \partial K (f_{0}, g_{\sigma})$, et fixons
$\delta > 0$, $z'$ avec $|z' -z| \subset \delta$ et $m$ tel que $g_{\sigma}^{m}(z')
\in \CC-K(f_{0})$. Ou bien $g_{\sigma}^{m}(z)$ est défini, ou bien
$(\exists\, m' < m)$ $g_{\sigma}^{m'}(z) \in J (f_{0})$. Dans le premier cas,
$g_{\sigma}^{m}(z) \in K (f_{0})$ et $g_{\sigma}^{m}(z')\in \CC-K(f_{0})$, donc
il existe un $z''$ dans le segment $[z, z']$ tel que $g_{\sigma}^{m}(z'')
\in J (f_{0})$.

Dans les deux cas $d (z, J (f_{0}, g_{\sigma}))< \delta$.

Comme ceci vaut pour tout $\delta >0$, on~a $z \in J (f_{0}, g_{\sigma})$.
\end{proof}

Nous fixons notre intérêt temporairement sur le cas où $\sigma$
est réel. Comme $g_{\sigma+1}= g_{\sigma}\circ f_{0} - f_{0}\circ g_{\sigma}$,
les ensembles $K (f_{0}, g_{\sigma})$ et $J (f_{0}, g_{\sigma})$ ne
dépendent que de la classe~$\theta$ de $\sigma$ dans $\TT = \RR/\ZZ$. Nous
les notons $K (f_{0}, \theta)$ et $J (f_{0}, \theta)$.

Les propriétés de semi-continuité s'étendent à ce
contexte: la proposition ci-dessous généralise le
théorème 5.1.

\begin{enonce*}{Proposition 19.2} Soit $(\varepsilon_{\nu})$ une suite tendant vers $0$
avec $\tau (\varepsilon_{\nu})\!\to\!\sigma\!\in\!\TT$. Alors
\begin{enumerate}
\item[{\rm(a)}]
$\partial (K(f_{\varepsilon_{\nu}}), K (f_{0}, \theta)) \to 0$;
\item[{\rm(b)}]
$\partial (J(f_{0}, \theta), J (f (\varepsilon_{\nu}))) \to 0$.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

\subsubsection*{Remarque 19.3} Nous verrons au \T 21 qu'en fait on~a $K (f_{0},
\theta) = J (f_{0}, \theta)$ pour $\sigma \in \RR$, de sorte que $K(f_{\varepsilon_{\nu}})$
tend vers $K(f_{0}, \theta)$. Nous avons énoncé la proposition 19.2
sous cette forme à titre d'étape dans la démonstration de ce
fait, et aussi parce qu'elle se généralise à des valeurs non
réelles de $\varepsilon$ comme on le verra au \T 22.

\skpt
\begin{proof}[Démonstration de la proposition 19.2]
(a) Si $z$ s'échappe par $(f_{0}, g_{\sigma})$, tout point $z'$
suffisamment voisin de $z$ s'échappe par $(f_{0}, \sigma)$, et aussi par
$f_{\varepsilon_{\nu}}$ pour $\nu$ assez grand en vertu de la proposition 18.2.
Par suite l'ensemble
$$
X =\bigcup (\{\varepsilon_{\nu}\}\times K (f_{\varepsilon_{\nu}})) \cup (\{0\} \times K
(f_{0}, g_{\sigma}))
$$
est fermé dans $(\{\varepsilon_{\nu}\}_{\nu\in\NN} \cup \{0\})\times
D_{4}$, donc compact, et on peut appliquer la proposition 2.1.

(b) Soit $\sigma\in \RR$ un représentant de $\theta$, et définissons
$n_{\nu}\in \NN$ de façon que \hbox{$\wt\tau (\varepsilon_{\nu}) + \eta_{\nu}\to\sigma$}.

Soit $X_{0}$ un point périodique répulsif pour $f_{0}$. Par le
théorème des fonctions implicites, on peut trouver une
application analytique \hbox{$\varepsilon\mto x_{\varepsilon}$} donnant $x_{0}$ et telle que
$x_{\varepsilon}$ soit périodique répulsif de même période pour
$f_{\varepsilon}$, au moins si $\varepsilon$ est assez petit.

Les points $z$ tels que $(\exists\, m, \ell)$ $f_{0}^{\ell}g_{\sigma}^{m}(z) =
x_{0}$ forment un ensemble dense dans $J(f_{0},g_{0})$. Pour un tel
point $z$, on~a $g^{i}_{\sigma}(z) \in \rond{K} (f_{0})$
pour $0 \leq i < m$, et $f^{mn_{\nu}}_{\varepsilon_{\nu}} \to g^{m}_{\sigma}$
uniformément sur un voisinage de $z$. On peut donc trouver une suite
$(z_{\nu})$ tendant vers $z$ telle que $f^{mn_{\nu}+\ell}
(z_{\nu})=x_{\varepsilon_{\nu}}$. Par suite $d(z,J(f_{\varepsilon\nu}))\to 0$.

Par un raisonnement semblable à celui de la démonstration du
théorème 5.1 (b), on montre que
\[
\partial (J(f_{0},\theta), J(f_{\varepsilon_{\nu}}))\to 0.\qedhere
\]
\end{proof}

\section{Le cas où le point critique s'échappe}

Soit $\omega$ le point critique de $f_{0}$ à savoir $\omega = - {1/ 2}$.
Choisissons $\sigma \in \CC$.

\begin{enonce*}{Théorème 20.1}[P. Lavaurs]
Si $\omega \not\in
K(f_{0},g_{0})$, l'ensemble $K(f_{0},g_{\sigma})$ est d'intérieur vide.
En d'autres termes on~a $K(f_{0}, g_{\sigma})=J(f_{0},J_{\sigma})$.
\end{enonce*}

Ce résultat est assez délicat à démontrer, et nous nous
contenterons d'indiquer les pas de la démonstration. Tous les
résultats de ce paragraphe sont tirés de la thèse de
Lavaurs.

Nous disons qu'un point $z$ est périodique pour $(f_{0},g_{\sigma})$ si
$$(\exists\,m,\ell,\ m+\ell>0)\quad f^{\ell}_{0}\circ g^{m}_{\sigma}(z)=z$$
(ce qui
signifie que $f^{\ell}_{0}g^{m}_{0}(z)$ est défini et $=z$). Le
multiplicateur $\rho$ de~$z$ est alors $(f^{\ell}_{0} \circ
g^{m}_{\sigma})'(z)$, nous disons que $z$ est répulsif si $|\rho| > 1$,
etc. Les points périodiques de $f_{0}$ sont périodiques pour
$(f_{0},g_{\sigma})$, car on peut prendre $m=0$.

Un point périodique pour $(f_{0},g_{\sigma})$ est aussi périodique
pour $(f_{0},g_{\sigma-1})$ car $g^{m}_{\sigma}= f^{m}_{0}g^{m}_{\sigma-1}$. Nous
dirons que $z$ est un \emph{point périodique généralisé
pour} $(f_{0},g_{\sigma})$ si $z$ est périodique pour $(f_{0},g_{\sigma-k})$
pour un certain $k\in\NN$.

Il nous faut également prendre en compte les deux \emph{multiplicateurs virtuels} (ou \emph{multiplicateurs renormalisés}) du point
fixe $\alpha_{0}$ de $f_{0}$. Ils sont définis de la façon suivante:

L'application $g_{\sigma}$ induit un isomorphisme
$$
E_{\sigma} : X^{-}_{0} = V^{-} / f_{0} \buildrel \approx\over\longrightarrow
X^{+}_{0} = V^{+}/f_{0}.
$$
D'autre part un point $\xi \in X^{+}_{0}$ qui est suffisamment voisin
d'un des bouts du cylindre est représenté par des points de
$V^{+}\cap \rond{K}(f_{0})$ qui sont dans la même
orbite, et qui définissent donc un point du quotient
$\rond{K} (f_{0})/f_{0}$ qui est aussi $X^{-}_{0}$. On
définit de cette façon l'\emph{application des cornes}
$h:X^{+}_{0} - A \to X^{-}_{0}$, où $A$ est un anneau compact.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1\unitlength}
\begin{picture}(-14,5.5)
\put(-5.8,3.5){$E$}
\put(-8.2,4.7){$h$}
\put(-8.2,1.1){$h$}
\put(-10.5,6.15){\includegraphics[height=6\unitlength,angle=-90]{douadyfig5b}}
\end{picture}
\end{center}
\vspace*{-\baselineskip}
\caption{}
\end{figure}

En composant, on obtient une application $E_{\sigma}\circ h : X^{+}_{0}- A
\to X^{+}_{0}$. On compactifie $X^{+}_{0}$ en la sphère de Riemann
$\ov\CC$, envoyant les deux bouts du cylindres sur $0$ et $\infty$. On
obtient ainsi une application
$$
L : \ov\CC - A \to \ov\CC
$$
ayant $0$ et $\infty$ comme points fixes, et que nous appelons la \emph{renormalisée} (parabolique) de $(f_{0},g_{\sigma})$. Les \emph{multiplicateurs virtuels} de $(f_{0},g_{\sigma})$ en $\alpha_{0}$ sont par
définition les multiplicateurs de $L$ en $0$ et $\infty$. On dit que
$\alpha_{0}$ est virtuellement attractif d'un côté et virtuellement
répulsif de l'autre si l'un de ces multiplicateurs est de module
$<1$ et l'autre de module $>1$, etc.

Si $\alpha_{0}$ est virtuellement attractif, parabolique ou de Siegel d'un
côté, on peut définir son bassin ou son domaine de Siegel de
ce côté. Les théorèmes 4.2 et 4.3 de Sullivan et Fatou
s'étendent à ce contexte:

\begin{enonce*}{Proposition 20.2} Toute composante connexe\ $U$ de
$\rond{K}(f_{0},g_{\sigma})$ est pré-pé\-rio\-dique au
sens généralisé, c'est-à-dire qu'il existe des entiers
naturels $\ell, m, k$ avec $\ell + m > 0$ tels que $f^{\ell}_{0}
g^{m}_{\sigma}(U)$ soit périodique pour $(f_{0}, g_{\sigma-k})$.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}{Proposition 20.3} Toute composante connexe périodique de
$\rond{K}(f_{0},g_{\sigma})$ est de l'un des types suivants:
\begin{enumerate}
\item[{\rm (i)}]
le bassin attractif, le bassin parabolique ou le disque de Siegel
d'un point périodique pour $(f_{0},g_{\sigma})$ autre que le point fixe
parabolique $\alpha_{0}$;
\item[{\rm (ii)}]
le bassin attractif virtuel, le bassin parabolique virtuel ou le
domaine de Siegel de $\alpha_{0}$ d'un côté.
\end{enumerate}
\end{enonce*}

Pour obtenir le théorème 20.1, il nous reste à
démontrer:

\begin{enonce*}{Proposition 20.4} Si $\omega$ n'est pas dans $K(f_{0},g_{\sigma})$, tous les
points périodi\-ques pour $(f_{0}, g_{\sigma})$ sont répulsifs, sauf
le point parabolique $\alpha_{0}$ qui, lui, est virtuellement répulsif
des deux côtés.
\end{enonce*}

\section{Le cas où \texorpdfstring{$\sigma$}{s} est réel}

\begin{enonce*}{Proposition 21.1} Pour $\sigma \in \RR$, on~a
$$
K(f_{0}, g_{\sigma}) = J(f_{0}, g_{\sigma}).
$$
\end{enonce*}

\begin{proof}
On a $\wh\phi^{-} (\RR \cap
\rond{K} (f_{0}))=\RR$, $T_{\sigma}(\RR)=\RR$ et $\wh\psi^+ (\RR)= \RR^{*}_{+}$. Donc $g_{\sigma}(\omega)\in \RR^{*}_{+} \subset \CC -
K(f_{0}) \subset \CC - K (f_{0}, g_{\sigma})$, et on peut appliquer le
théorème~20.1.
\end{proof}

\begin{enonce*}{Corollaire 21.2} Soit $(\varepsilon_{\nu})$ une suite tendant vers $0$
dans $] 0, \varepsilon_{0}]$ telle que $\tau (\varepsilon_{\nu})\to \theta \in \TT$. Alors
$K(f_{\varepsilon_{\nu}})$ tend vers $K(f_{0},\theta)$ pour la métrique de
Hausdorff.
\end{enonce*}

\begin{proof}
Ce n'est pas autre chose que la Prop.\,19.2, en
remarquant que l'on a $K(f_{\varepsilon_{\nu}})= J(f_{\varepsilon_{\nu}})$ car
$c_{\varepsilon_{\nu}} = \dpl{1/ 4} +\varepsilon_{\nu}$ est en dehors de l'ensemble de
Mandelbrot, et $K(f_{0}, \theta) = J(f_{0}, \theta)$ d'après la Prop.\,21.1.
\end{proof}

Ce corollaire constitue un raffinement du théorème~11.3, qui est donc
démontré (à partir des résultats admis au \T 20).

\section{Et pour \texorpdfstring{$\varepsilon$}{e} non réel?}

Faisons maintenant parcourir à $\varepsilon$ le secteur $S\subset \CC$
défini par $|\varepsilon| \leq r_{0}= \dpl{1/25}$ et $|\Arg\varepsilon| \leq {\pi/4}$, soit $\reel \varepsilon \geq |\im\varepsilon|$. L'application $f_{\varepsilon}: z\mto z + z^{2}
+\varepsilon$ a deux points fixes $\alpha = i\sqrt{\varepsilon}$ et $\alpha'=- i\sqrt{\varepsilon}$. Entre les deux, on~a encore
une dynamique de batteur à {\oe}ufs.
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=6\unitlength]{douadyfig10}}
\caption{}
\end{figure}

On peut définir pour tout $\varepsilon \in S^{*} = S -\{ 0\}$ des ouverts
$V^{+}_{\varepsilon}$ et $V^{-}_{\varepsilon}$ de façon que:
\begin{enumerate}
\item
$V^{-}_{\varepsilon}$ tende vers $V^{-}_{0} \!=\!V^{-}$ quand $\varepsilon \!\to\! 0$ au sens
suivant:
$\ov{V^{-}_{\varepsilon}} \!\to\!\ov{V^{-}_{0}}$ et $\partial V^{-}_{\varepsilon}
\to \partial V^{-}_{0}$ pour la métrique de Hausdorff (ce qui
entraîne que tout compact de $V^{-}_{0}$ est contenu dans
$V^{-}_{\varepsilon}$ pour $\varepsilon$ assez voisin de~$0$), de même pour
$V^{+}_{\varepsilon}$;

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=5\unitlength]{douadyfig11}}
\caption{}
\end{figure}

\item
$V^{-}_{\varepsilon} / f_{\varepsilon}$, $V^{+}_{\varepsilon} / f_{\varepsilon}$ et $V^{-}_{\varepsilon}\cap
V^{+}_{\varepsilon}/f_{\varepsilon}$ soient des cylindres topologiques, et les inclusions
de $V^{-}_{\varepsilon} \cap V^{+}_{\varepsilon}$ dans $V^{-}_{\varepsilon}$ et $V^{+}_{\varepsilon}$
induisent des bijections de $(V^{-}_{\varepsilon} \cap V^{+}_{\varepsilon})/f_{\varepsilon}$ sur
$V^{-}_{\varepsilon}/f_{\varepsilon}$ et $V^{+}_{\varepsilon}/f_{\varepsilon}$.
\end{enumerate}

Cette fois nous ne cherchons pas à définir $V^{-}_{\varepsilon}$ et
$V^{+}_{\varepsilon}$ explicitement.
On a encore des coordonnées de Fatou $\phi^{-}_{\varepsilon} {:}\, V^{-}_{\varepsilon}\!\to\!\CC$ et $\phi^{+}_{\varepsilon} {:}\, V^{+}_{\varepsilon} \!\to\! \CC$. Elles sont uniques à
une constante additive près et diffèrent par une constante sur
$V^{-}_{\varepsilon}\cap V^{+}_{\varepsilon}$. Pour $\varepsilon$ assez petit, on~a $a = - {1/8} \in V_{\varepsilon}^{-}$ et $b = {1/ 8} \in V^{+}_{\varepsilon}$, et on peut
s'arranger pour que cela ait lieu pour tout $\varepsilon \in S$. On normalise
$\phi^{-}_{\varepsilon}$ et $\phi^{+}_{\varepsilon}$ par $\phi^{-}_{\varepsilon}(u) =
\phi^{+}_{\varepsilon}(b)=0$, et on définit la phase relevée $\wt\tau
(\varepsilon)$ comme la valeur de $\phi^{+}_{\varepsilon} -\phi^{-}_{\varepsilon}$ sur
$V^{-}_{\varepsilon}\cap V^{+}_{\varepsilon}$.

La fonction $\wt\tau$ est holomorphe, et le développement limité
$$\wt\tau (\varepsilon) = {-\pi/ \sqrt{\varepsilon}} + \eta + o(1)$$
est valable au
voisinage 0 sur $S$. On définit la \emph{phase complexe} $\tau (\varepsilon)$
comme la classe de $\wt \tau (\varepsilon)$ dans $\CC/\ZZ$.

Dans ce cadre, la proposition 19.2 est valable sans changement, avec la
même démonstration. Les résultats du \T 20 ont été
énoncés avec $\sigma$ complexe, ils peuvent donc s'appliquer
légitimement. Mais les résultats du \T 21 sont spécifiques
du cas $\sigma \in \RR, (\varepsilon_{\nu})$ suite dans $\RR^{*}_{+}$.

\enlargethispage{\baselineskip}%
Prenons maintenant une suite $(\varepsilon_{\nu})$ tendant vers $0$ dans $S^{*}$, avec $\tau (\varepsilon_{\nu}) \to \theta \in \CC/\ZZ$.
\begin{itemize}
\item
Si $K (f_{0}, \theta) = J (f_{0}, \theta)$, on~a $K (f_{\varepsilon_{\nu}}) \to K
(f_{0}, \theta)$ et $J(f_{\varepsilon_{\nu}})\to J (f_{0}, \theta) = K (f_{0}, \theta)$ (\cf proposition 2.1).

\item
Si l'intérieur de $K (f_{0}, \theta)$ consiste exclusivement
en bassins attractifs ou virtuel\-lement attractifs, on peut adapter la
démonstration du corollaire 6.2 et montrer que $K (f_{\varepsilon_{\nu}})
\to K (f_{0}, \theta)$ et $J(f_{\varepsilon_{\nu}}) \to J (f_{0}, \theta)$.

\item
Dans le cas général, on peut toujours extraire de
$(\varepsilon_{\nu})$ une suite telle que $f(\varepsilon_{\nu})$ et $J(\varepsilon_{\nu})$ aient
des limites $K^{*}$ et $J^{*}$. On a alors
$$
J (f_{0}) \subsetneq J (f_{0}, \theta) \subset
J^{*}\subset K^{*}\subset K (f_{0}, \theta) \subsetneq
K (f_{0}).
$$
Ceci garantit en tout cas qu'on a une discontinuité pour $f \mto
K (f)$ et $f \mto J (f)$ le long de la suite $(\varepsilon_{\nu})$.
\end{itemize}

\section{L'éléphant limite}

Dans le plan des valeurs de $\sigma$, définissons ${}^{\sigma}M$ par
$$
^{\sigma}M = \{ \sigma \mid \omega \in K (f_{0}, g_{0})\}.
$$
Cet ensemble est invariant par la translation $T_{1} : \sigma \mto \sigma +1$.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=4\unitlength]{douadyfig12}}
\caption{: ${}^\sigma M$}
\end{figure}

Considérons d'autre part l'ensemble de Mandelbrot $^{c}M = M$, qui
est le lieu de connexité de la famille $(z^{2}+c)_{c\in\CC}$. Notons
$W_0$ la composante principale de $^{c}\rond{M}$
(celle qui contient 0). Soit $^{\lambda}M$ l'image inverse de $^{c}M$ par
$\lambda \mto c = {\lambda/ 2} - {\lambda^{2}/ 4}$, qui est le lieu de
connexité de la famille $(\lambda z (1-2))_{\lambda\in \CC}$. Correspondant
à $W_0$ il y a dans $^{\lambda}M$ les deux disques $D_{0, 1}$ et
$D_{2, 1}$. En faisant le nouveau changement de variable $\mu =
\spfrac{-2i \pi}{\lambda-1}$, on obtient les deux demi plans $\{\mu \mid {\rm Im}\,\mu > \pi\}$ et $\{\mu \mid {\rm Im}\, \mu < -\pi\}$, correspondant aux deux disques. Il contient des \og membres\fg attachés aux points $x_{n}\pm i\pi$, $x_{n} = \dpl{\pi/ \tg (\pi/n)}$, qui ressemblent à des éléphants, avec des bébés éléphants entre eux.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[height=5\unitlength,width=15\unitlength]{douadyfig13}}
\caption{: ${}^\mu M$}
\end{figure}

Si on regarde l'image $^{\wt\tau}M$ de $M \cap S^{*}$ par $\wt\tau :
S^{*}\to \CC$, on obtiendra essentiellement la même chose puisque $c
= \dpl{1/ 4} + \varepsilon$ donne $\mu = \dpl{-\pi/ \sqrt{\varepsilon}}$ et qu'on a
$\wt \tau (\varepsilon) = \mu + \eta + o(1)$. Les dessins d'ordinateur
montrent que~$^{\mu}M$ ressemble de plus en plus à ${}^{\sigma}M$ à
mesure qu'on se déplace vers la gauche. Pour formuler un
énoncé précis, il nous faut définir une topologie sur
l'ensemble des fermés non nécessairement compacts de~$\CC$.

Pour $X \subset \CC$ fermé et $R > 0$, posons
$$
[X]_{R} = (X \cap D_{R}) \cup \partial D_{R}.
$$
On dit qu'une suite $(X_{n})$ de fermés tend vers un fermé
$X_{0}$ si $[X_{n}]_{R}$ tend vers $[X_{0}]_{R}$ pour tout $R$ fixé
au sens de la métrique de Hausdorff.

\begin{enonce*}{Conjecture 23.1} Le translaté $T_{\eta + n} {}^{\mu}M$
tend vers $^{\sigma}M$ quand $n \to \infty$.
\end{enonce*}

La moitié de cette conjecture peut se démontrer assez
facilement.

\begin{enonce*}{Théorème 23.2}[Lavaurs] Pour tout $R > 0$, $\partial
([T_{\eta +n} {}^{\mu}\!M]_{R}, [^{\sigma}\!M]_{R}) \to 0$ quand $n \to \infty$.
\end{enonce*}

C'est un énoncé de semi-continuité supérieure. Le point
clé est encore que le fait de s'échapper est une
propriété ouverte.

L'autre moitié, $\partial ([^{\sigma}\!M]_{R}, [T_{\eta +n}
{}^{\mu}\!M]_{R}) \to 0$, semble pour le moment hors d'atteinte. On peut
montrer que
$$
(\forall R)\quad \partial ([\partial\, {}^{\sigma}\!M]_{R}, [T_{\eta +n}
\partial\, {}^{\mu}\!M]_{R}) \to 0
$$
(attention, dans cette formule, $\partial$ a deux sens
différents~!). Mais il reste une possibilité que l'intérieur
de $^{\sigma}M$ ait des composantes farfelues qui ne soient pas limites de
composantes non hyperboliques de $M$; autant dire que la question est au
moins du niveau de la conjecture M.L.C.

\section{Autres polynômes ayant un cycle parabolique}

Regardons d'abord les polynômes quadratiques, qui peuvent toujours
par conjugaison affine se mettre sous la forme $P_{c} : z \mto z^{2}+
c$. Soit $P_{c_{0}}$ un polynôme ayant un cycle parabolique d'ordre
$k$, de multiplicateur $p = e^{2i\pi p/q}$ (avec $p$ et $q$ premier
entre eux). Dans le plan des paramètres, $c_{0}$ est la \og racine\fg
d'une \og composante hyperbolique\fg de $\rond{M}$,
composante connexe de $\rond{M}$ telle que $P_{c}$ a un
cycle attractif pour $c \in W$.

Il convient de distinguer deux cas:
\subsubsection*{Cas primitif} $\rho =1, W$ est une composante primitive; $\partial
W$ a un point de rebroussement aux points $c_{0}$, le cycle attractif de
$P_{c}$ pour $c\in W$ est d'ordre $k$.

La fermeture de chaque composante connexe de $\rond{K}
(P_{c_{0}})$ est un \og chou-fleur\fg. Quand $c$ parcourt un petit secteur
de sommet $c_{0}$ axé sur le rebroussement, chaque chou-fleur subit
une modification semblable à celle du chou-fleur standard $K
(P_{1/4})$, sauf qu'il n'y a en plus des filaments qui suivent
grossièrement le segment réel axe du chou-fleur et toutes ses
images réciproques. Si $c$ est sur le filament de $M$ qui mène
à $c_{0}$, les filaments dans $K(P_{c})$ maintiennent l'ensemble de
Julia connexe.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[width=\textwidth]{douadyfig14}}
\caption{}
\end{figure}

\subsubsection*{Cas satellite} $\rho = e^{2i\pi p/q}$, $0 < p < q, p$ et $q$ premiers
entre eux. La composante~$W$ est attachée en $c_{0}$ à une
composante $W_{0}$ et $c_{0}$ a $p/q$ comme argument interne dans
$W_{0}$. La période de $f_{c}$ pour $c\in W$ (\resp $W_{0}$) est
$k_{q}$ (\resp $k$). On peut dessiner dans $\CC$ deux secteurs $S'$ et
$S''$ de sommet $c_{0}$, centrés sur les deux demi-tangentes
communes à $W_{0}$ et $W$.

Quand $c$ décrit ces secteurs, il se produit pour chaque composante
connexe de $\rond{K} (P_{c_{0}})$ des
phénomènes analogues à ceux qui concernent le chou-fleur
standard.

Pour les polynômes quadratiques, le nombre $Q$ d'axes de
répulsion en un point parabolique de multiplicateur $p/q$ est
toujours égal à $q$. Pour un polynôme de degré
supérieur, on peut seulement affirmer que~$Q$ est multiple de $q$.
Si $Q=q$, il se produit des phénomènes analogues à ceux du
cas quadratique, et qui peuvent être analysés par le même
méthode. Si $Q> q$, la situation est plus compliquée, et n'a
jamais été complètement étudiée jusqu'ici. Mais il y
a toujours des sous-familles qui peuvent être analysées de cette
façon.

En tout cas il y a toujours une discontinuité pour $f \mto K (f)$
et une pour $f \mto J (f)$, en un point $f_{0}$ qui a un cycle
parabolique.


\backmatter
\addtocontents{toc}{\protect \lsectionpart}
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups94-03}
\end{document}

