\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais, NoFloatCountersInSection]{cedram}
\usepackage{xups93-04}
\setcounter{tocdepth}{2}
%\XUPScorrections


\begin{document}
\frontmatter

\title[Nombre de points d'une variété algébrique]{Nombre de points\\ d'une variété algébrique\\ sur un corps fini}

\author[\initial{C.} \lastname{Houzel}]{\firstname{Christian} \lastname{Houzel}}

\address{Département de Mathématiques,Université de Paris VII,
2, place Jussieu, 75230 Paris cedex 05, France}

\thanks{Journées X-UPS 1993. Codes géométriques algébriques et arithmétique sur les corps finis. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1993}

\maketitle
\vspace*{-2\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\vspace*{-\baselineskip}
En 1949, A. Weil a associé à toute variété algébrique sur
un corps fini $k$ une \emph{fonction zêta} liée au nombre de points de
la variété dans les diverses extensions finies de $k$ et il a
formulé des conjectures célèbres au sujet de cette fonction. Les
conjectures de Weil ont été un des principaux stimulants pour le
développement de la géométrie algébrique abstraite, en
particulier dans l'{\oe}uvre d'A. Grothendieck; elles ont été
finalement démontrées par P. Deligne en 1973 en utilisant les outils
élaborés par Grothendieck.

Dans cet exposé, nous allons essayer d'expliquer l'histoire qui
précède la formulation des conjectures de Weil et de montrer comment on
a pu arriver à les concevoir.

La fonction zêta classique, celle de Riemann, donne des informations sur la
distribution des \emph{nombres premiers} dans l'anneau $\ZZ$ des entiers. Sa
définition a été étendue par Dedekind au cas d'un \emph{corps de
nombres algébriques} $K$ (extension finie de $\QQ$); la fonction zêta de
Dedekind est liée à la distribution des \emph{idéaux premiers} dans
l'anneau des entiers de $K$ et elle informe aussi sur le nombre des classes
d'idéaux de $K$.

\section{E. Artin}
Dans sa thèse (1921, publiée en 1924), E. Artin a développé,
sur le modèle de la théorie des corps quadratiques, une théorie
arithmétique des extensions quadratiques $\Omega = K (\sqrt{D})$ du corps des
fractions rationnelles $K = \FF_{p}(t)$ à coefficients dans un corps
fini $\FF_{p}$ ($p$ nombre premier impair); une telle extension est
engendrée par la racine carrée d'un polynôme $D$ (sans facteur
carré) à coefficients dans $\FF_{p}$. Artin y définit l'anneau
des entiers, les idéaux de cet anneau, qui se décom\-posent d'une manière
unique en produits d'idéaux \emph{premiers} et se partagent en un nombre
fini de \emph{classes modulo} les idéaux principaux; le nombre $h$ de ces
classes est 1 si $D$ est de degré 0 ou 1 et 2 si $D$ est de degré 2. En
vue d'évaluer $h$ dans les autres cas, Artin associe une fonction zêta
au corps $\Omega$ sur le modèle de celle de Dedekind en théorie des
nombres:
$$
\ZZZ (s) = \ZZZ_{D}(s) = \sum_{\aa} {1\over |N \aa|^{s}};
$$
dans cette formule $\aa$ parcourt l'ensemble des idéaux non nuls, $N\aa$ est la
\emph{norme} de l'idéal $\aa$, c'est-à-dire le polynôme unitaire qui
engendre le produit $\aa\aa'$ de $\aa$ par son \emph{conjugué} $\aa'$ (obtenu par
l'automorphisme de~$\Omega$ qui change $\sqrt{D}$ en $-\sqrt{D}$; le produit est
automatiquement un idéal principal) et, pour chaque polynôme $F \in
\FF_{p}[t]$ de degré $n$ on pose $|F| = p^{n}$ (on notera que $|N\aa|$
est le nombre d'éléments de l'anneau résiduel $\bmod \aa$). La
variable $s$ est complexe et la série converge pour ${\rm Re}(s) > 1$; comme dans
le cas des corps de nombres, on peut écrire $\ZZZ (s)$ sous forme d'un
produit étendu à tous les \emph{idéaux premiers}:
$$\ZZZ (s) =
\prod_{\pp} {1\over 1 - |N \pp|^{-s}}.
$$
Artin regroupe dans ce produit les $\pp$ qui divisent un même polynôme irréductible $P\in \FF_{p}[t]$, puis en transformant à nouveau le produit en série il trouve
$$
\ZZZ (s) = {1\over 1-p^{-(s-1)}} \sum_{F}
\left[ {D\over F}\right] {1\over |F|^{s}}
$$
où $F$ parcourt l'ensemble des polynômes
unitaires à coefficients dans $\FF_{p}$ et où $\left[ {D\over F}\right] = \pm 1$
est un symbole analogue à celui de Jacobi en théorie des nombres. Ce
symbole fait l'objet d'une \emph{loi de réciprocité}, établie par
Artin, qui permet de montrer que la somme
$$\sigma_{\nu}=
\sum_{|F|=p^{\nu}} \left[ {D\over F}\right]
$$
est nulle pour $\nu \geq n
= \deg D$ lorsque $n \geq 1$; ainsi, pour $D$ non constant, $$\ZZZ_{D}(s)
= {1\over 1-p^{-(s-1)}}\sum_{\nu -0}^{n-1} {\sigma_{\nu}\over
p^{\nu s}}.
$$
Lorsque $D$ est constant, on peut supposer que c'est une racine primitive $g\mod p$ et on trouve que
$$
\ZZZ_{g} (s) = {1\over 1-p^{-(s-1)}}\cdot{1\over
1+p^{-(s-1)}};
$$
dans tous les cas $\ZZZ (s)$ est rationnelle en $p^{-s}$.

Pour relier la fonction zêta au nombre $h$ des classes d'idéaux, Artin
étudie, pour chaque classe d'idéaux $\KK$ la somme partielle $\ZZZ(s,\KK)$
de la série obtenue en prenant $\aa \in \KK$. Dans le \og cas imaginaire\fg ($D$
de degré impair ou bien de degré pair avec un coefficient dominant non
carré dans $\FF_{p}$), ils trouve que $\ZZZ (0, \KK) = {1/ w}$
indépendamment de la classe $\KK$, où $w$ est le nombre des {\em
unités} de $\Omega$ (éléments inversibles de l'anneau des entiers); ainsi
$$
h =
\begin{cases}
-w\ZZZ (0) = 1&\mbox{si $D = g$,}\\ 
\sigma_{0}+\sigma_{1}+ \cdots +\sigma_{n-1}&\mbox{si $\deg D = n \geq 1$.}
\end{cases}
$$
Le cas \og réel\fg ($D$ de degré pair avec un
coefficient dominant carré) est un peu plus compliqué: on a
$\sigma_{0}+\sigma_{1}+ \cdots +\sigma_{n-1} =0$ comme conséquence de la loi de
réciprocité et on n'atteint pas $h$ en considérant $\ZZZ$ en 0; mais on a, indépendamment de $\KK$,
$$
\lim_{s \to 1} (s-1)\ZZZ (s,\KK) = {(p -1)R\over |\sqrt{D}|\log p},
$$
où le nombre $R$ est défini
de manière que $|\varepsilon_{0}| = p^{R}$, $\varepsilon_{0}$ étant une \og unité
fondamentale\fg de $\Omega$. Ainsi
$$
h = {|\sqrt{D}|\over (p -1)R} \sum^{n-1}_{\nu - 0} {\sigma_{\nu}\over p^{\nu}}
$$
et le résidu de $\ZZZ(s)$ en son pôle $s=1$ est $\sfrac{h}{\kappa \log p}$,
où $\kappa = \sfrac{|\sqrt{D}|}{(p -1)R}$. On trouve une forme analogue pour ce
résidu dans le cas imaginaire grâce à l'\emph{équation
fonctionnelle} de la fonction zêta, qui se démontre sur les fonctions
partielles $\ZZZ (s, \KK)$:
$$
\ZZZ (1-s)= 
\begin{cases}
\dpl {1-p^{-(s-1)}\over 1-p^{s}}\left( \sqrt{\sfrac{|D|}{p}}\right) ^{2s-1}\cdot\ZZZ(s) &\mbox{pour $n$ impair}\\ \\
\dpl {1-p^{-(s-1)}\over 1-p^{2s}}\left( \sqrt{|D|}\right) ^{2s-1}\cdot\ZZZ(s) &\mbox{pour $n$ pair}
\end{cases}
$$
et $D$ de coefficient dominant $g$; les valeurs $\kappa $ correspondantes sont
respectivement $\sqrt{\sfrac{|D|}{p}}$ et $\sfrac{2\sqrt{|D|}}{p +1}$. Il y a
aussi une équation fonctionnelle dans le cas réel; Artin l'obtient
à partir des précédentes grâce à l'identité facile
\[
\ZZZ_{D} (s+ {\pi i\over\log p}) = {1-p^{-(s-1)}\over 1+p^{-(s-1)}}\cdot
\ZZZ_{gD} (s)\tag{$*$}
\]
et elle s'écrit
$$
\ZZZ(1-s) = \Bigl( {1-p^{-(s-1)}\over
1+p^{s}}\Bigr) ^{2} \left( \sqrt{|D|}\right)^{2 s-1} \ZZZ(s).
$$

L'équation fonctionnelle se traduit par des relations entre les
coefficients $\sigma_{\nu}$:
\begin{align*}
\sigma_{2m-\nu} &= p^{m-\nu_{\sigma_{\nu}}}\quad\mbox{si $\deg D = 2m+1$ est impair}\\
\tag*{et}
\sigma_{2m-\nu} \pm p\sigma_{m\nu-1} &= p^{m-\nu}
(\sigma_{\nu}\pm p\sigma_{\nu-1})\quad\mbox{si $\deg D = 2m$ est pair}
\end{align*}
($\pm = +$ dans le cas imaginaire et $-$ dans le cas réel). À l'aide de ces relations, le calcul
des $\sigma_{\nu}$ et de $h$ devient facile pour les petites valeurs de $p$ et
de $m$ et Artin donne des tables de ces nombres pour deg $D=3, p =3, 5$ et
$7$ et pour deg $D=4, p =3$.

Par ailleurs $(\ast)$ montre que $\ZZZ_{D} \bigl(1 + \sfrac{\pi i}{\log p}\bigr)$
n'est pas nul puisque le résidu de $\ZZZ_{gD}$ en $s =1$ n'est pas nul;
comme $\ZZZ$ est une fonction périodique de $s$ (de période $\sfrac{2\pi
i}{\log p}$), elle ne s'annule en aucun des points $1 + \sfrac{(2n + 1)\pi
i}{\log p}$ et Artin en déduit qu'elle ne s'annule pas sur la droite
${\rm Re }(s) = 1$.

Dans les cas correspondant à ses tables numériques, Artin va plus loin
en établissant l'analogue de l'\emph{hypothèse de Riemann}; les
zéros (non triviaux) de $\ZZZ$ sont sur la droite ${\rm Re }(s) = {1/ 2}$. Ceci
signifie encore que les racines $z = \beta_{\nu} \not= \pm 1$ de l'équation
algébrique $z^{n-1} + \sigma_{1} z^{n-2} + \cdots + \sigma_{n-1} =0$ sont toutes de
valeur absolue $p^{1/2}$. Pour $n =3$, cette équation se réduit
à $z^{2} + \sigma_{1} z+p =0$ et l'hypothèse de Riemann signifie donc
que les racines de cette équation sont imaginaires conjuguées ou encore
que $|\sigma_{1}| < 2\sqrt{p}$; les tables donnent $|\sigma_{1}| \leq 3$ pour $p=3$, $|\sigma_{1}| \leq\nobreak 4$ pour $p =5$ et $|\sigma_{1}| \leq 5$ pour $p =7$,
d'où l'hypothèse de Riemann. Pour $n =4$ l'équation $z^{3} + \sigma_{1}
z^{2} + \sigma_{2}z + p = 0$ avec $\sigma_{2} = p-1 + \sigma_{1}$ (racine triviale $-
1$); ses racines non triviales sont celles de l'équation $z^{2} +
(\sigma_{1}-1) z + p =0$ et l'hypothèse de Riemann s'écrit dans ce cas
$|\sigma_{1}-1| < 2\sqrt{p}$ qu'Artin vérifie pour $p = 3$ ou $5$.

Le nombre $h$ de classes d'idéaux s'exprime au moyen de $\ZZZ (0)$ (cas
imaginaire) ou de $\ZZZ'(0)$ (cas réel) et par conséquent au moyen des racines $\beta_{\nu}$:
$$
h =
\begin{cases}
\displaystyle\prod^{n-1}_{\nu=1} (\beta_{\nu}-1)&\mbox{pour $n = \deg D$ impair,}\\
\displaystyle 2\prod^{n-1}_{\nu=1} (\beta_{\nu}-1)&\mbox{pour $n = \deg D$ pair dans le cas imaginaire,}\\
\displaystyle {1\over R} \prod^{n-2}_{v=1}(\beta_{\nu}- 1)&\mbox{pour $n = \deg D$ pair dans le cas réel.}
\end{cases}
$$
En utilisant l'hypothèse de Riemann,
Artin en déduit des encadrements pour $h$ et il trouve ainsi qu'il n'y a
qu'un nombre fini de corps $K(\sqrt{D})$ avec un nombre de classes $h$
donné; par exemple, si $p > 5$ et $n >3$, le nombre de classes est
$\geq 2$.

La fonction $\ZZZ$ donne aussi une estimation asymptotique du nombre $\pi (x)$
d'idéaux premiers $\pp$ tels que $|N\pp| = x$; on a
$$
\pi (p^{\nu}) =
{p^{\nu}\over \nu} + O(\sfrac{p^{\theta\nu}}{\nu})
$$
en notant $\theta$ la
borne supérieure des parties réelles des zéros de $\ZZZ$ (si~l'hypothèse de Riemann est vraie, $\theta = {1/ 2}$).

\section{F.\,K. Schmidt}
La théorie d'Artin a été étendue par F.\,K. Schmidt (1925, 1931)
au cas des extensions finies $K$ (non nécessairement quadratiques) d'un
corps de fonctions rationnelles $k (z)$ à coefficients dans un corps fini~$k$. Pour définir et étudier la fonction zêta dans ce cas plus
général, Schmidt a été amené à changer de point de vue
et à remplacer le modèle des corps de nombres algébriques par celui
des corps de fonctions algébriques d'une variable. Dedekind et Weber (1882)
avaient en effet développé, en s'inspirant de la théorie des
nombres algébriques, une théorie purement algébrique des extensions
finies $K$ du corps $\CC (z)$ des fonctions rationnelles à coefficients
complexes; une telle extension est formée des fonctions rationnelles en
deux variables $z$ et $u$ liées par une relation algébrique $F (z, u)
=0$. Le but de Dedekind et Weber était d'obtenir une définition
générale et rigoureuse des points de la surface de Riemann associée
à la fonction algébrique $u$ de $z$. Un point correspond à une {\em
place} $\rm P$ de $K$, sous-anneau de valuation de $K$ formé des fonctions
régulières au point considéré; un tel anneau possède un
unique idéal maximal $\pp$, formé des fonctions nulles au point et
l'homomorphisme ${\rm P} \to {\rm P}/\pp \cong \CC$ correspond à l'évaluation d'une
fonction au point.

Dans le cas de Schmidt, $\CC$ est remplacé par un corps fini $k$ (de~caractéristique $p_{0}$), mais on peut encore définir les places ${\rm P}$
de~$K$ (ce~sont les sous-anneaux intégralement clos de $K$ admettant~$K$
comme corps des fractions) et ceci d'une manière indépendante du choix
de la variable $z$; si $z \in {\rm P}$ cette place contient la fermeture entière
$\got I$ de $k[z]$ dans $K$, ${\got I} \cap \pp = \tilde \pp$ est un idéal {\em
premier} de $\got I$ et ${\rm P}$ est le localisé correspondant. Les places qui
ne contiennent pas $z$ s'interprètent comme des points à l'infini
relativement à la variable $z$ et on obtient toutes les places en
localisant les fermetures intégrales des deux anneaux $k [z]$ et $k[{1/ z}]$. Au lieu de travailler, comme Artin, avec un anneau
d'entiers $\got I$ et ses idéaux, Schmidt travaille avec les {\em
diviseurs} de $K$, qui sont des expressions formelles $\cc = \pp^{e_{1}}_{1}\pp^{e_{2}}_{2} \cdots \pp^{e_{s}}_{s}$ où les $\pp_{i}$ sont des idéaux
maximaux de places ${\rm P}_{i}$ et les exposants $e_{i}$ sont des entiers (non
nécessairement positifs); ces diviseurs forment un groupe multiplicatif
(commutatif) $\DD$ engendré librement par les diviseurs \emph{premiers} $\cc =
\pp$. Un diviseur est dit \emph{entier} si tous ses exposants sont $\geq 0$ et un
diviseur $\cc'$ est \emph{multiple} de $\cc''$ si ${\cc'/ \cc''}$ est entier. À un
élément $z$ non nul de $K$ on associe le diviseur $(z) =\pp^{e_{1}}_{1}\pp^{e_{2}}_{2} \cdots \pp^{e_{s}}_{s}$ où les $\pp_{i}$ sont tels que ${\rm P}_{i} z
\not= {\rm P}_{i}$ et les $e_{i}$ sont déterminés par ${\rm P}_{i}z =
\pp^{e_{i}}_{i}$; si $\tilde \cc = \tilde \pp^{e_{1}}_{1}\tilde \pp^{e_{2}}_{2} \cdots
\tilde \pp^{e_{s}}_{s}$ est un idéal d'un sous-anneau de Dedekind $R$ de~$K$
avec sa décomposition en produit d'idéaux premiers, on lui associe le
diviseur $\cc = \pp^{e_{1}}_{1} \pp^{e_{2}}_{2} \cdots \pp^{e_{s}}_{s}$ où, pour
chaque $i$, $\pp_{i}$ est l'idéal maximal de la place $R_{\tilde \pp_{i}}$.

L'\emph{ordre} est un homomorphisme du groupe $\DD$ dans le groupe $\ZZ$ des
entiers; pour un diviseur premier $\pp$, c'est le degré de l'extension
résiduelle ${\rm P}/\pp$ relativement à $({\rm P}\cap k[z])/(\pp\cap k[z])$; les
diviseurs d'éléments de $K$ sont d'ordre 0, donc tous les diviseurs
d'une même classe \emph{modulo} le sous-groupe $\HH$ des diviseurs
d'éléments de $K$ ont le même ordre. Si $z$ appartient à $K$
mais pas à $k$ et que $K$ est séparable sur $k(z)$, Schmidt associe à
l'extension $K/k(z)$ un diviseur \emph{différente} $\partial_{z}$ dont
l'ordre est l'indice de \emph{ramification} $w_{z}$ de $K$ sur $k(z)$; le {\em
genre} de $K$ est défini par
$$
g= {w_{z}\over 2} - m_{z}+1
$$
où $m_{z} =[K : k(z)]$ et il est indépendant du choix de $z$.

Le point central de la théorie de Schmidt est l'analogue du
théorème de \emph{Riemann-Roch} dans le théorie classique des
fonctions algébriques d'une variable, il permet d'évaluer le nombre des
diviseurs entiers qui appartiennent à une classe donnée de diviseurs $\CCC\in \DD/\HH$. Si $\cc$ est un diviseur donné, les diviseurs entiers
équivalents sont de la forme $(\alpha) \cc$ où $\alpha \in K$ est choisi tel que
$(\alpha)$ soit multiple de ${\ee/\cc}$ ($\ee$ note le diviseur neutre). Un premier
résultat (difficile) est que les $\alpha \in K$ tels que $(\alpha)$ soit multiple
d'un diviseur donné forment un sous-$k$-espace vectoriel de rang fini;
Schmidt établit ensuite que ce rang~$r$ ne dépend que de la classe $\CCC$
de $\cc$ dans le cas où le diviseur donné est~${\ee/\cc}$ et il
l'appelle la \emph{dimension} $\{ \CCC\} = r$ de $\CCC$. Si $k$ a $p$
éléments, le nombre de diviseurs entiers dans $\CCC$ est $(p^{r}-1)/
(p -1)$. Le théorème de Riemann-Roch s'énonce par la relation
$$
\{ \CCC\} = \Bigl\{ {\WW\over \CCC}\Bigr\} + q -g+1
$$
où $q$ est l'ordre de la classe $\CCC$ et
$\WW$ est la \emph{classe différentielle} de $K$, c'est-à-dire celle des
diviseurs ${\partial_{z}/n^{2}_{z}}$ où $z$ est un élément de
$K$ non dans $k$, de dénominateur $n_{z}$; on en tire (en faisant
successivement $\CCC = \HH$ et $\CCC = \WW$) que $\WW$ est d'ordre $2g -2$, donc la classe
\emph{complémentaire} $\CCC' = {\WW/ \CCC}$ de $\CCC$ est d'ordre $q' =2g-2-q$. Ceci permet de donner au théorème une forme symétrique
$$
\{\CCC\} -{q\over 2} = \{\CCC'\} - {q'\over 2};
$$
lorsque $q \geq 2g - 2, q'\leq 0$ donc
$$
\{\CCC'\} =0\qqbox{et}\{\CCC\} = q-g+1 \;(>0\mbox{ si } q>0).
$$

La fonction zêta associée par Schmidt au corps $K$ est définie par
le produit infini
$$
\ZZZ(s) = \prod_{\pp} {1\over 1-|\pp|^{-s}}
$$
étendu à tous les diviseurs premiers de $K$ et dans lequel $|\pp| =
p^{f}$ si $\pp$ est d'ordre $f$; le produit converge pour ${\rm Re}(s)>1$ et il est
égal à la somme de la série $\sum_{\cc} {1/
|\cc|^{s}}$ (où $\cc$ parcourt l'ensemble des diviseurs entiers). Schmidt somme
cette série réunissant les $\cc$ d'une même classe ; il n'y a qu'un
nombre fini de $\cc$ avec un ordre $< q_{0} = 2g-2$ et, pour les autres, le
nombre d'éléments de la classe est donné explicitement par le
théorème de Riemann-Roch; il démontre en même temps que le
p.g.c.d. des ordres des diviseurs premiers est 1 et il trouve finalement
$$
\ZZZ(s) = {1\over p -1} \sum^{q_{0}-1}_{q=1} \sum^{h}_{i=1}
{p^{\{\CCC^{(i)}_{q}\}}\over p^{qs}} + {hp^{-(g-1)}\over p-1}\cdot{p^{(2g-2)(1-s)}\over 1-p^{1-s}} + {h\over p-1} \cdot{1\over 1-p^{s}}
$$
où $h$ est le nombre (fini) des classes de diviseurs d'ordre 0. Cette
formule et le théorème de Riemann-Roch donnent l'équation
fonctionnelle
$$
\ZZZ (1-s) = p^{(g-1)(2s-1)}\ZZZ (s).
$$
Schmidt compare sa
fonction zêta à celle qu'on obtiendrait en considérant les
idéaux d'un anneau $\got I$ à la manière d'Artin et il retrouve les
résultats d'Artin dans le cas particulier des extensions quadratiques.

\section{H. Hasse}
H.\,Hasse a pu démontrer l'hypothèse de Riemann pour la fonction
zêta de Schmidt dans le cas où le genre $g$ est 1; il a exposé ce
résultat au Congrès international d'Oslo en 1936. Partant d'un
polynôme irréductible à deux variables $f (X, Y) \in \FF_{p} [X,
Y]$ ($p$ premier), il considère un facteur irréductible $f_{0}$ de
$f$ sur la clôture algébrique $k$ de $\FF_{p}$ et le corps $k_{0}$
engendré par les coefficients de $f_{0}$; le corps $K_{0}$ est alors
l'extension de $k_{0}$ engendrée par $X$ et $Y$ liés par $f_{0}(X, Y)
=0$. Si $q = p^{f}$ est le nombre d'éléments de $k_{0}$, la fonction zêta s'écrit
$$
\ZZZ(s) = \prod_{\pp} {1\over1-(N\pp)^{-s}} = \prod_{n \geq 1}\left( {1\over1-q^{-ns}}\right) ^{N_{n}} = 1 + {N_{1}\over q^{s}} + \cdots
$$
où $N_{n}$ est le nombre de diviseurs premiers de \emph{degré} $n$ (on dit
désormais \emph{degré} au lieu d'\emph{ordre} comme Schmidt); Hasse la
décompose en $\ZZZ_{0}(s) L(s)$ avec
$$
\ZZZ_{0}(s) = {1\over 1-\sfrac{1}{q^{s}}}\cdot
{1\over 1 - \sfrac{q}{q^{s}}} = 1 + {q+1\over q^{s}} + \cdots
$$
(fonction zêta de $k_{0}(X)$) et
$$
L(s) = 1 + {N_{1}-(q+1)\over q^{s}} + \cdots + {q^{s}\over
q^{2gs}} = \prod_{i = 1}^{g} \left( 1-\sfrac{\omega_{i}}{q^{s}}\right)
$$
où $g$ est le genre de $K_{0}$.

Avec ces notations
$$
N_{1}-(q+1) = \sum_{i=1}^{2g} \omega_{i}
$$
et l'hypothèse de Riemann, qui s'écrit $|\omega_{i}| = q^{1/2}$ pour $1\leq
i\leq 2g$, implique l'inégalité
$$
|N_{1} - (q+1)| \leq 2 g \sqrt{q}.
$$

Dans le cas où $g =1$, on a
$$
L(s) = 1 +{N_{1}-(q+1)\over q^{s}} + {q\over
q^{2s}}
$$
et l'hypothèse de Riemann signifie que les racines $\omega_{1}$ et
$\omega_{2}$ sont imaginaires conjuguées c'est-à-dire que
$$|N_{1} - (q+1)| \leq 2 \sqrt{q};
$$
des inégalités moins précises avaient été obtenues par Davenport et par Mordell dans le cas d'une équation
$$
Y^{2} = f(X) ,
$$
$f$ polynôme de degré 3 à coefficients dans $\FF_{p}$ (avec des
exposants ${3/ 4}$ ou ${2/ 3}$ au lieu de ${1/ 2}$).

Pour démontrer l'hypothèse de Riemann, Hasse étudie la structure de l'ensemble $\AA$ des \og points\fg de $K = k(X, Y)$ (ce sont, par définition, les diviseurs premiers de degré 1); parmi ces points, les~$N_{1}$ diviseurs premiers de degré 1 de $K_{0}$ sont caractérisés par leur inva\-riance relativement à l'opération de \emph{Frobenius} $\pi$, qui
provient de l'élévation à la puissance $q$ de $X$ et de $Y$. D'une
manière précise, $\pi: \varphi(X, Y) \mapsto \varphi (X^{q}, Y^{q})$ est un
isomorphisme de $K$ sur un sous-corps $K\pi = k(X^{q}, Y^{q})$ et on pose, pour
tout diviseur premier $\pp$ de~$K$,
$$\pi \pp = (N_{K/K\pi}\pp)^{\pi_{}^{-1}}.
$$
Hasse dit
qu'un isomorphisme $\mu$ de $K$ sur un sous-corps $K\mu$ est un {\em
méromorphisme} de $K$ et il le fait opérer sur $\AA$ en posant
$$
\mu \pp = (N_{K/K\mu}\pp)^{\mu^{-1}}.
$$
Lorsqu'on choisit une origine $\oo$ dans $\AA$ on
établit une correspondance bijective $\pp \mapsto {\pp/\oo}$ de $\AA$ sur le
groupe $\DD_{0}/\HH$ des classes de diviseurs de degré 0, d'où une loi de
groupe commutatif sur $\AA$; l'ensemble $M$ des méromorphismes de $\AA$ qui
laissent $\oo$ invariant a alors une structure d'\emph{anneau} (non
nécessairement commutatif) qui contient $\ZZ$. La \emph{norme}
$$
\mu \mapsto N(\mu) = [K : K\mu] \quad (\mu \in M)
$$
est multiplicative et c'est une fonction quadratique de $\mu$, d'où on déduit l'inégalité (de
Cauchy-Schwarz)
$$(N(\mu \pm \nu) - N(\mu) -N(\nu))^{2} \leq 4N(\mu) N(\nu)
$$
et le
fait que tout méromorphisme $\mu$ vérifie une équation du second
degré $\mu^{2} + \ell\mu + m =0$ avec
$$
\ell= N(\mu-1) -N(\mu) -1 = \mu + \bar\mu
\qqbox{et} m = N(\mu) = \mu \bar\mu
$$
($\bar\mu$ \og conjugué\fg de $\mu$);
l'inégalité précédente montre que $\ell^{2}\leq 4m$. Dans le cas
du méromorphisme $\pi$ de Frobenius, $m = N (\pi) =q$ et $N(\pi -1) =N_{1}$
(nombre de points fixe par $\pi$) donc
$$
\ell = N (\pi -1) -N(\pi)-1 =N_{1}-(q+1);
$$
l'inégalité trouvée est précisément celle qui
exprime l'hypothèse de Riemann.

Hasse termine son travail en indiquant une voie, suggérée par Deuring,
pour étendre cette théorie aux corps du genre $g$ quelconque. Pour $g
\geq 2$ il n'y a plus de loi de groupe sur $\AA$ ni d'anneau des
méromorphismes, mais on peut construire un anneau des \emph{correspondances}
sur le modèle de la théorie développée par Hurwitz en 1886 pour
les surfaces de Riemann (une correspondance $(m, n)$ associe un $n$-uple de
points à un $m$-uple de points).

\section{A. Weil}
C'est cette voie qu'A. Weil (1940) a suivie pour démontrer l'hypothèse
de Riemann dans le cas d'un genre $g$ quelconque. Mais pour développer sa
méthode, Weil a de nouveau déplacé le cadre théorique: au lieu
de la théorie des fonctions algébriques d'une variable, il prend pour
modèle celui de la \emph{géométrie} des courbes algébriques.
Ceci l'a amené à développer la géométrie algébrique sur
un corps de base (commutatif) arbitraire (Weil 1946) ou géométrie
algébrique abstraite. Sur un corps de base $k$ parfait (par exemple fini ou
algébriquement clos ou de caractéristique 0), un corps $K$ de fonctions
algébriques d'une variable peut s'interpréter comme le corps $\Omega_{k}$
des fonctions sur une courbe algébrique complète $\Gamma$ sans point
multiple qui admettent $k$ comme corps de définition; les diviseurs de $K$
correspondent aux \emph{diviseurs} sur $\Gamma$ rationnels par rapport à $k$,
qui sont des combinaisons linéaires de points de $\Gamma$ à coefficients
entiers. En géométrie, on note additivement la loi du groupe des
diviseurs. Si le corps de base $k$ est fini, à $q$ éléments, on
définit la fonction zêta de $\Gamma$ par
$$
Z (u) = \sum_{\aa} u^{\deg(\aa)} = \prod_{\pp} \left( 1 - u^{\deg(\pp)}\right) ^{-1}
$$
où la somme est étendue à tous les diviseurs positifs rationnels
par rapport à $k$ et le produit à tous les diviseurs premiers
rationnels par rapport à $k$; la variable $u$ remplace $q^{-s}$ et la
convergence a lieu pour $|u| < {1/ q}$. Weil établit que $Z$ est une
fonction \emph{rationnelle}, de la forme
$${P (u)\over (1-u) (1-qu)}
$$
où
$P$ est un polynôme de degré $2g$ où $g$ est le \emph{genre} de
la courbe $\Gamma$ et que l'on a une équation fonctionnelle
$$
Z\left( \sfrac{1}{qu}\right) = q^{1-g} u^{2-2g} Z(u);
$$
ceci résulte, comme dans la théorie de
Schmidt, du théorème de Riemann-Roch qui permet d'évaluer le rang
$\ell(\aa)$ (sur le corps des constantes) de l'espace vectoriel des diviseurs
positifs équivalents à un diviseur $\aa$ donné: $\ell(\aa) = \deg(\aa) -g+1 +r(\aa)$ où le genre $g$ est défini comme la valeur maximum de $\deg(\aa)-\ell(\aa)+1$ lorsque $\aa$ varie et $r(\aa) = \ell(\kk-\aa)$ en notant $\kk$ (k gothique) un diviseur
\emph{canonique}, c'est-à-dire la projection sur $\Gamma$ d'un cycle d'intersection $\Delta\cdot [(\theta)-\Delta]$ ($\Delta$ désigne la diagonale
du produit $\Gamma \times \Gamma$ et $\theta$ une fonction sur ce produit s'annulant à
l'ordre 1 le long de $\Delta$ et admettant $k$ comme corps de définition; la
classe $\omega = \{ \theta\} $ de $\theta$ \emph{modulo} les $\theta'$ qui s'annulent le long de
$\Delta$ à un ordre $> 1$ est appelée une \emph{différentielle} et le
diviseur $\kk = (\omega)$ ne dépend que de $\omega$). Tous les diviseurs canoniques
sont équivalents et de degré $2g -2$; on a $\ell(\kk) = g$ et $r(\kk)=1$.

On a
$$
d(\log Z(u)) = \sum_{\pp} \sum^{\infty}_{m=1} \deg (\pp) u^{m\deg (\pp)}
{du\over u} = \sum^{\infty}_{n=1} \nu_{n}u^{n} {du\over u}
$$
où $\nu_{n} = \sum_{\deg (\pp)|n} \deg(\pp)$ s'interprète
comme le nombre de points $\rm P$ de $\Gamma$ dont le corps de définition $k({\rm P})$
est contenu dans l'extension~$k_{n}$ de degré $n$ de $k$ (unique sous-corps
à $q^{n}$ éléments dans la clôture algé\-brique de $k$).
Ainsi $\nu_{n}$ est le nombre de points fixes de la \emph{correspondance} de
Frobenius itérée $I_{n}$ définie par l'élévation des
coordonnées à la puissance $q^{n}$-ième.

Une correspondance $X$ sur $\Gamma$ est, par définition, un diviseur sur le
produit $\Gamma\times \Gamma$ (combinaison linéaire formelle à coefficients
entiers de courbes). On fait opérer $X$ sur les diviseurs de $\Gamma$ de la
manière suivante; si $X = X_{0}+\aa\times \Gamma$ où $X_{0}$ n'a pas de
composante de la forme ${\rm A}\times \Gamma$ ($\rm A$ point de $\Gamma$) et $\aa$ est un diviseur
de $\Gamma$, $X(\bb)$ est la deuxième projection de l'intersection $X_{0}(\bb\times
\Gamma)$ ($\bb$ diviseur quelconque de $\Gamma$). Le groupe additif des correspondances
est muni d'une forme bilinéaire $(X, Y) \mapsto I (X,Y)$ (à valeurs
entières) telle que $I(X,Y) = \deg (X\cdot Y)$ lorsque le produit d'intersection
$X\cdot Y$ est défini et d'une relation d'équivalence $\equiv$ telle que $X \equiv0$
équivaille au fait que $X$ transforme tout diviseur $\mm$ de degré 0 en
le diviseur $X(\mm)$ d'une fonction sur~$\Gamma$. Les correspondances se composent de
manière que $X\circ Y$ transforme~$\bb$ en $X(Y(\bb))$ et cette loi de
composition est compatible avec la rela\-tion d'équivalence; l'ensemble des
\emph{classes de correspondances} est ainsi muni d'une structure d'\emph{anneau}
(non commutatif) dont l'élément unité est la classe $\delta$ de la
diagonale $\Delta$. Cet anneau $A$ possède une anti-involution $\xi \mapsto
\xi'$ qui provient de la symétrie $P\times Q \mapsto Q\times P$ de
$\Gamma\times\Gamma$ et une \emph{trace} $\sigma : A \to \ZZ$ (forme linéaire) telle
que $\sigma(\xi') = \sigma(\xi)$ et $\sigma(\xi\cdot\eta) = \sigma(\eta\cdot\xi)$. La trace $\sigma(\xi)$
d'une classe de correspondances~$\xi$ est définie comme dans la théorie
de Hurwitz: si $X$ est une correspondance de classe $\xi$, on lui associe des
entiers $d(X)$ et $d'(X)$ de manière que les deux projections de $X$ sur
$\Gamma$ soient $d(X)\Gamma$ et $d'(X)\Gamma$, puis on pose
$S(X) =
d(X)+d'(X)-I(X\cdot\Delta)=\sigma(\xi)$ (cela ne dépend que de~$\xi$). La trace de $\delta$
est $2g$ où $g$ est le genre.

La clef de la démonstration de Weil est l'analogue abstrait d'un
théorème démontré par Castelnuovo et Severi (1926) pour la
géométrie algébrique complexe: pour toute classe de
correspondances $\xi \not= 0$, $\sigma(\xi \cdot\xi') >0$. Si le genre est 1, on a $\xi\cdot\xi' = N\delta$ avec un entier $N >0$, d'où $\sigma(\xi\cdot\xi') = 2 N>0$; pour les
genres supérieurs, Weil le démontre en travaillant dans la
variété $\Omega = \Gamma\times\Gamma\times \cdots \times\Gamma$ produit de $d(X)$
facteurs égaux à $\Gamma$. On en déduit (Cauchy-Schwarz) que $(\sigma(\xi\cdot\eta'))^{2} \leq \sigma(\xi \cdot\xi')\sigma(\eta \cdot\eta')$. Dans le cas de la
correspondance de Frobenius itérée $I_{n}$, on a\vspace*{-3pt}
$$
I_{n}\circ I'_{n} =q^{n}\Delta, \quad d(I_{n}) =1, \quad d'(I_{n})=q^{n}, \quad \deg(I_{n}\cdot \Delta)= \nu_{n}
$$
donc\vspace*{-3pt}
$$
S(I_{n}) =1 + q^{n}-\nu_{n}=\sigma(\iota^{n})
$$
en notant $\iota$ la classe de la correspondance de
Frobenius $I_{1}$; l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à
$\xi = \iota^{n}$ et $\eta = \delta$ s'écrit donc\vspace*{-3pt}
\[
|\sigma(\iota^{n})| = |1+q^{n} - \nu_{n}| \leq 2g q^{n/2}\tag{$**$}
\]

Le numérateur $P(u) = (1-u)(1-qu)Z(u)$ de la fonction zêta a pour
dérivée logarithmique\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$
d(\log P(u)) =-\sum^{\infty}_{n=1} \sigma(\iota^{n}) u^{n} {du\over u}
$$
et l'inégalité $(**)$ montre que cette série converge pour $|u|<
q^{-1/2}$; ainsi $P$ n'a ni zéro ni pôle dans ce disque et $Z$ n'y a
donc pas de zéro et pas d'autre pôle que $u = {1/ q}$.

L'équation fonctionnelle permet alors d'en déduire que $Z(u)$ ne
s'annule pas non plus pour $|u| > q^{-1/2}$ et que son seul pôle dans ce
domaine est $u = 1$; on a ainsi établi l'hypothèse de Riemann selon
laquelle les zéros de $Z(u)$ ont tous $q^{-1/2}$ pour valeur absolue.

Weil a poursuivi son travail en interprétant le polynôme $P$ comme un
polynôme caractéristique au moyen de la théorie des {\em
jacobiennes} de courbes (1948). À une courbe $\Gamma$ de genre $g$ est associée
une \emph{variété abélienne} $J$ de dimension $g$, birationnellement
équivalente au produit symétrique de $g$ facteurs égaux à $\Gamma$,
ainsi qu'une fonction \hbox{$\varphi : \Gamma\!\to\!J$} définie à une constante additive
près; rappelons qu'une variété abélienne est, par
définition, une variété de groupe qui est complète et que sa
loi de groupe est automatiquement commutative. Le groupe des points $J$ est
isomorphe au groupe des classes de diviseurs de degré~$0$ sur $\Gamma$ et
l'anneau $A$ des classes de correspondances sur $\Gamma$ s'identifie à l'anneau
des endomorphismes de $J$. Si $\ell$ est un nombre premier $\not= p$, le groupe
$\ggg_\ell(J)$ des points de $J$ dont l'ordre est une puissance de $\ell$ est isomorphe
à $\QQ^{2g}_{\ell}/\ZZ^{2g}_{\ell}$; à la classe de Frobenius $\iota$ est
associé un endomorphisme de $J$ qui opère sur ce groupe et que l'on
peut représenter par une matrice carrée $M_{\ell}(\iota)$ d'ordre $2g$ à
coefficients entiers $\ell$-adiques. Alors $P$ est le polynôme
caractéristique de cette matrice.

Weil a ensuite essayé d'étendre sa théorie à des
variétés algébri\-ques~$X_{0}$ de dimension quelconque définies
sur un corps fini $k$ à $q$ éléments: en notant encore $\nu_{n}$
le nombre des points $\rm P$ de $X_{0}$ tels que $k({\rm P})$ soit contenu dans le corps
$k_{m}$ à $q^{m}$ éléments, il définit la fonction zêta de
$X_{0}$ par les conditions $Z(0) =1$ et
$$
t{d\over dt} \log Z(t) =
\sum^{\infty}_{m=1} \nu_{m} t^{m}.
$$
Pour des exemples simples, il
est facile de calculer les $\nu_{m}$ et de déterminer explicitement $Z(t)$;
par exemple pour l'espace affine de dimension $r$ on $\nu_{m} = q^{mr}$ donc
$$
t{d\over dt}\log Z(t) = {q^{r}t\over 1-q^{r}t}\qqbox{et}Z(t) = {1\over 1-q^{r}t}.
$$
De même, pour l'espace projectif de
dimension $r$, $\nu_{m}=1+ q^{m}+\cdots +\nobreak q^{mr}$ donc
$$
t{d\over dt}\log Z(t) ={t\over 1-t} + {qt\over 1-qt} +\cdots +{q^{r}t\over 1-q^{r}t}
$$
ce qui donne
$$
Z(t) = {1\over (1-t)(1-qt)\cdots (1-q^{r}t)}.
$$
Le cas de la {\em
grassmannienne} des sous-espaces de dimension $r$ dans~$\PP_{n}$ est aussi calculé par Weil: on a
$$
\nu_{m} = {q^{m(n+1)}-1\over q^m-1} \cdots {q^{m(n+1)} - q^{mr}\over q^{m(r+1)}-
q^{mr}} = 1+b_{1} q^{m}+\cdots + b_{d}q^{dm}
$$
où $d = (n-r)(r+1)$ est la dimension de la grassmannienne et les
coefficients $b_{i}$ sont des entiers.
Ainsi
$$
t {d\over dt} \log Z(t) = {t\over 1-t} + b_{1} {qt\over 1-qt}+\cdots+
b_{d}{q^{d}t\over 1-q^{d}t},
$$
ce qui donne
$$
Z(t) = {1\over (1-t)(1-qt)^{b_{1}}\cdots (1-q^{d}t)^{b_{d}}};
$$
sur le corps des complexes, la grassmannienne correspondante a pour nombre de Betti $b_{i}$ en dimension $2i$.

Weil formule enfin ses conjectures générales à la fin d'un article
de 1949 consacré au cas des \emph{hypersurfaces monomiales},
c'est-à-dire des variétés d'équation
$$
a_{0}x_{0}^{n_{0}} +a_{1}x_{1}^{n_{1}} + \cdots + a_{r}x_{r}^{n_{r}} = b
$$
dans l'espace affine de dimension $r+1$. Il fait le décompte des points au moyen d'une méthode
déjà mise en {\oe}uvre par Hardy et Littlewood (1922) dans leur
étude du problème de Waring et reprise par Hasse et Davenport (1935)
à propos de l'équation $ax^{m} + by^{n} + cz^{r} = 0$; cette
méthode utilise les \emph{sommes de Gauss} bien connues en théorie des
nombres et elle permet d'établir, pour le nombre $N$ des points de
l'hypersurface avec $b=0$, l'inégalité
$$
|N-q^{r}| \leq M (q-1) q^{\psfrac{r-1}{2}}
$$
où $M$ est une constante dépendant seulement des exposants $n_{i}$. Le
calcul peut être mené à terme avec $b$ quelconque en supposant que
tous les $n_{i}$ sont égaux à un même nombre $n$; Weil trouve que
$$
Z(U) = {P_{r-1}(U)^{(-1)^{r}}\over (1-U) (1-qU)\cdots (1-q^{r-1}U)}
$$
où $P_{r-1}$ est un polynôme de degré $M$ dont tous les zéros
sont de valeur absolue $q^{-{r-1\over 2}}$. Or une variété
algébrique \emph{complexe} définie par une équation du même type
a des nombres de Betti $B_{r-1} = M$ et, pour $h < r-1, B_{h} = 1$ ou 0 selon
que $h$ est pair ou impair.

Ces résultats conduisent Weil à formuler les conjectures suivantes:
\begin{enumerate}
\item
La fonction zêta d'une variété algébrique $X_{0}$ de
dimension $n$ sur $k$ est \emph{rationnelle}.
\item
Elle satisfait une \emph{équation fonctionnelle}
$$
Z\left( \sfrac{1}{q^{n}t}\right) = \pm q^{\sfrac{n\chi}{2}} t^{\chi} Z(t)
$$
où $\chi\!=\! (\Delta\cdot \Delta)$
joue le rôle de la \emph{caractéristique d'Euler-Poincaré}~de~$X_{0}$.
\item
On a
$$
Z(t) = {P_{1}(t)P_{3}(t)\cdots P_{2n-1}(t)\over
P_{0}(t)P_{2}(t)\cdots P_{2n}(t)}
$$
où $P_{0}(t) = 1 - t$, $P_{2n}(t) =1-q^{n}t$ et, pour $1\leq h\leq 2n-1$, $P_{h}(t)$ est un polynôme dont les
racines sont des entiers algébriques de valeur absolue $q^{-h/2}$.
\item
En définissant le \emph{nombre de Betti} $B_{h}$ de $X_{0}$ en
dimension $h$ comme le degré de $P_{h}$, on a $\chi =
\sum^{2n}_{h=0} (-1)^{h} B_{h}$. De plus, si $X$ est une
variété algébrique sans point multiple sur un corps de nombres
algébriques $K$, les nombres de Betti classiques de $X$ coïncident pour
presque tout idéal premier $\pp$ de $K$ avec ceux de la réduction $X_{\pp}$ de~$X$ $\text{mod }\pp$.
\end{enumerate}

A. Weil indique de plus un programme pour démontrer ces conjectures: il
s'agit de construire, pour les variétés algébriques $X$ (sans point
multiple) sur un corps fini $k$, une théorie cohomologique convenable;
cette théorie doit faire correspondre à chaque $X$ une suite d'espaces
vectoriels $H^{i}(X)$ sur un corps $K$ de \emph{caractéristique} 0 et ceci
d'une manière fonctorielle et avec les propriétés suivantes:
\begin{enumerate}
\item[(1)] \emph{Dualité de Poincaré}: si $X$ est de dimension $n$,
$h^{i}(X) =0$ sauf pour $0 \leq i\leq 2n$, $H^{2n}(X) \approx K$ et on a un
accouplement bilinéaire $H^{i}(X) \times H^{2n-i}(X) \to H^{2n}(X)$
permettant d'identifier $H^{2n-i}(X)$ au dual de $H^{i}(X)$.
\item[(2)] \emph{Formule de Künneth}: $H^{*}(X) \otimes_{K} H^{*}(Y) \approx
H^{*}(X\times Y)$.
\item[(3)] \emph{Classe d'un cycle}: il y a un homomorphisme $\gamma_{X}$,
fonctoriel et compatible avec la multiplication, du groupe $C^{i}(X)$ des
classes de cycles (pour l'équivalence numérique) de codimension $i$
dans $H^{2i}(X)$.
\item[(4)] \emph{Théorème de Lefschetz} pour les sections hyperplanes.
\end{enumerate}

Une telle théorie dispose d'une \emph{formule de Lefschetz} qui permet de
calculer le nombre de points fixes d'une correspondance $f\!\in\! H^{0}(X\!\times\! X)$
sous la forme
$$
\left\<f\cdot\Delta\right\> = \sum^{2n}_{i=0} (-1)^{i}{\rm Tr} (f_{i})
$$
où $f_{i}$ est l'endomorphisme de $H^{i}(X)$ induit par $f$; cette formule
est l'extension, en dimension quelconque, de la formule de Hurwitz pour les
courbes (pour lesquelles la jacobienne jouait d'ailleurs le rôle de~$H^{1}$). En notant $F$ la correspondance de Frobenius, on a
$$
\nu_{m} = \sum^{2n}_{i=0} (-1)^{i}{\rm Tr} F_{i}^{m}
$$
d'où\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
t {d\over dt} \log Z (t) &= \sum^{2n}_{i=0} (-1)^{i} \sum_{m} {\rm Tr} (F_{i}^{m})t^{m}\\
&= \sum^{2n}_{i=0}(-1)^{i+1} t {d\over dt} \log\det (1-tF_{i})
\end{align*}
et, finalement\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$
Z(t) = \prod^{2n}_{i=0} \det(1-tF_{i})^{(-1)^{i+1}}
$$
ce qui donne la première conjecture
(rationalité); la dualité de Poincaré donne l'équation
fonctionnelle (conjecture 2) et on déduit l'hypothèse de Riemann
(conjecture 3) des théorèmes de Lefschetz sur les sections hyperplanes,
qui permettent de raisonner par récurrence sur la dimension.

Weil (1954) a lui-même démontré ses conjectures dans certains cas
particuliers autres que ceux déjà indiqués, comme les intersections
de deux quadriques ou les surfaces cubiques. La première démonstration
de la conjecture 1 est due à Dwork (1959); elle n'utilise pas de
cohomologie mais une évaluation directe des $\nu_{m}$ à l'aide de sommes
de Gauss grâce à une technique de relèvements $p$-adiques et des
développements d'analyse $p$-adique. La méthode de Dwork a reçu par
la suite une interprétation cohomologique. Entre temps A. Grothendieck a pu
construire une théorie cohomologique répondant aux exigences de Weil et
démontrer une partie des conjectures; P. Deligne a établi les
théorèmes de Lefschetz pour la cohomologie de Grothendieck et il a
terminé la démonstration des conjectures.

Cette histoire est exemplaire des rapports entre l'arithmétique,
l'algèbre et la géométrie au vingtième siècle. Elle montre
la fécondité de la démarche qui consiste à transporter des
idées et des méthodes du cadre qui les a suscitées dans un cadre
différent. Mais l'hypothèse de Riemann classique, concernant la
fonction zêta du corps des rationnels n'est toujours pas démontrée
et il est peu probable qu'on l'atteigne par le genre de méthode dont nous
avons parlé.

\backmatter
\end{document}