\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais, NoFloatCountersInSection]{cedram}
\setcounter{tocdepth}{2}
%\XUPScorrections

\newcommand{\lcr}{[\![}
\newcommand{\rcr}{]\!]}
\DeclareMathOperator{\Div}{Div}

\begin{document}
\frontmatter

\title{Courbes algébriques}
\author[\initial{M.} \lastname{Raynaud}]{\firstname{Michel} \lastname{Raynaud}}
\address{Département de Mathématiques, Université de Paris XI,
91405 Orsay Cedex, France}

\thanks{Journées X-UPS 1993. Codes géométriques algébriques et arithmétique sur les corps finis. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1993}

\maketitle

\tableofcontents
\mainmatter
Sur le corps des complexes $\CC$, une surface de Riemann $X$ est définie par un atlas de cartes à valeurs dans des ouverts de $\CC$, avec des changements de cartes holomorphes. Lorsque $X$ est compacte, $X$ est algébrique, c'est-à-dire peut être définie par des équations polynomiales homogènes, dans un espace projectif convenable. Le passage des équations polynomiales à un atlas résulte alors du théorème des fonctions implicites. Il utilise la topologie de $\CC$ et les fonctions analytiques. Nous allons voir comment on peut contourner cette difficulté sur un corps commutatif $k$ quelconque.

Désormais $k$ désigne un corps commutatif, de caractéristique $p\geq 0$. Notons d'abord que le calcul différentiel algébrique garde un sens: un polynôme à coefficients dans $k$, en les variables $x_{1},\ldots, x_{n}$, admet des dérivées partielles par rapport aux $x_{j}$, de définition purement algébrique. Si $A$ est une $k$-algèbre de type fini, quotient de $k [x_{1}, \cdots, x_{n}]$ par un idéal $I$, le $A$-module des $k$-différentielles $\Omega^{1}_{A/k}$ de $A$ est le quotient du $A$-module libre de base les $dx_{j}$, par les relations $df=0$, où~$f$ parcourt un système de générateurs de $I$. Notons que si $p>0$ et si~$g$ est une puissance $p$-ème d'un élément de $A$, on a automatiquement $dg=0$.\enlargethispage{\baselineskip}%

\section{Courbes lisses, affines ou projectives}
\subsubsection*{Carte étale}
Considérons une variété algébrique affine $X$, de
$k$-algèbre $A=k[x_{1},\ldots,x_{n}]/I$. Les points rationnels de $X$
correspondent aux $n$-uples $a=(a_{1},\ldots,a_{n})$ dans $k^{n}$ qui annulent les polynômes de $I$. En un tel point, l'évaluation des fonctions en $a$ définit un morphisme de $k$-algèbre $A\to k$. Son noyau est donc un idéal maximal $m$. On obtient ainsi une bijection entre les points de $X$ dans $k^{n}$ et les idéaux maximaux $m$ de $A$, tels que $A/m$ soit $k$-isomorphe à $k$. Mais il y a lieu d'élargir la notion de point de $X$, en considérant tous les \emph{idéaux maximaux} de $A$. Si $m$ est un tel idéal maximal, le quotient $A/m$ est un corps extension de $k$. Comme c'est aussi une $k$-algèbre de type fini, cette extension est automatiquement de degré fini sur $k$. Ainsi un point $a$ de $X$ correspond à un idéal maximal $m_{a}$ de $A$ et admet un corps résiduel $k(a)=A/m_{a}$, de degré fini sur $k$. Un tel point devient rationnel si on étend le corps de définition de $k$ à $k(a)$.

Supposons que l'idéal $I$ soit engendré par $f_{1},\ldots,f_{n-1}$ et
que le mineur $\Delta$ des dérivées partielles des $f_{j}$ par rapport
à $x_{1},\ldots,x_{n-1}$ soit inversible dans $A$. Lorsque $k=\CC$, le
théorème des \emph{fonctions implicites} nous dit alors que $x_{n}$ est une coordonnée locale sur $X$, vue comme surface de Riemann. Sur un corps $k$ général, il n'y a plus de théorème des fonctions
implicites. Notons toutefois qu'avec les hypothèses faites, $dx_{n}$ est
une base du $A$-module $\Omega^{1}_{A/k}$. La projection $X\to \cA$ sur la droite affine, qui envoie $(x_{1},\ldots,x_{n})$ sur $x_{n}$ est appelée un \emph{morphisme étale}. Ainsi un morphisme étale correspond à un isomorphisme local sur les complexes.

Sous les hypothèses ci-dessus, nous dirons que $X$ est \emph{une courbe
affine lisse}, de coordonnée étale $x_{n}$. Une coordonnée
étale ne correspond plus en général à un morphisme injectif
dans la droite affine, mais du point de vue du calcul différentiel, elle
conduit au même confort qu'une carte holomorphe sur les complexes.

\subsubsection*{Courbe affine}
Une variété affine $X$ d'anneau $A=k[x_{1} ,\ldots,x_{n}]/I$ est une courbe lisse, si localement pour la topologie de Zariski, elle admet une coordonnée étale au sens précédent. De façon précise, si $a$ est un point de $X$, on demande qu'il existe un polynôme $g$ dans $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$, non nul en $a$, tel que dans le localisé $k[x_{1},\ldots,x_{n}][g^{-1}]$, l'image de $I$ soit
engendrée par $n-1$ éléments $f_{1},\ldots,f_{n-1}$ de
$k[x_{1},\ldots,x_{n}]$, avec un mineur d'ordre $n-1$ de la matrice jacobienne inversible en $a$.

\subsubsection*{Courbe projective}
On définit de même une courbe lisse
projective, dans l'espace projectif $\PP^{n}$, de coordonnées homogènes $U_{0},\ldots,U_{n}$, en considérant cette fois un idéal $I$ d'équations homogènes, qui localement est engendré par $n-1$ équations, dont la matrice jacobienne admet un mineur d'ordre $n-1$ inversible.

\subsubsection*{Exemple}
Considérons l'application de la droite projective $\PP$, de coordonnées homogènes $(\lambda,\mu)$, dans l'espace projectif
$\PP^{3}$, de coordonnées homogènes $(U,V,W,T)$, donnée par les
formules:
$$
U = \lambda^{3},\quad V = \lambda^{2} \mu , \quad W = \lambda \mu^{2}, \quad T =\mu^{3} .
$$
Alors, l'image est une courbe lisse définie comme l'intersection des trois quadriques:
$$
UT-VW = UW-V^{2} = VT - W^{2} =0.
$$

\subsubsection*{Corps des fractions et anneaux locaux}
On considère désormais une courbe lisse $X$, affine ou projective, et
on suppose qu'elle est connexe, c'est-à-dire qu'il n'y a pas sur $X$ de
fonction algébrique idempotente non triviale. Alors $X$ admet un corps des fractions rationnelles $F=F(X)$ qui est une extension de type fini de $k$, de degré de transcendance 1. Dans le cas affine, d'anneau
$A=k[x_{1},\ldots,x_{n}]/I,A$ est alors intègre et $F$ n'est autre que le
corps des fractions de $A$. Dans le cas projectif, de coordonnées
homogènes $U_{j}$ et lorsque la courbe $X$ n'est pas contenue dans un
hyperplan de coordonnées, $F$ est engendré par les fonctions induites sur la courbe par les $U_{i}/U_{j}$.

Considérons, dans l'espace affine de coordonnées $x_{1},\ldots,x_{n}$, une courbe affine $X$, passant par l'origine $o$ et admettant $x_{n}$ pour coordonnée étale. Si on complète $k[x_{1},\ldots,x_{n}]$ pour la topologie définie par l'idéal maximal $(x_{1},\ldots,x_{n})$, on obtient
l'anneau de séries formelles $k\lcr x_{1},\ldots,x_{n}\rcr$ et dans ce contexte formel, on dispose à nouveau d'un théorème des fonctions implicites: les $x_{i}$ s'expriment comme séries formelles en $x_{n}$ sans terme constant. En particulier le complété de l'anneau local de $X$ en $o$ est $k\lcr x_{n}\rcr$, donc est un anneau de valuation discrète. Rappelons qu'un \emph{anneau de valuation discrète} $R$ est un anneau local principal intègre qui n'est pas un corps. Son unique idéal maximal $m$ est alors engendré par un élément non nul et $R/m$ est le corps résiduel.
Les idéaux non nuls de $R$ sont les puissances de~$m$. Par exemple,
l'anneau des germes de fonctions holomorphes au voisinage de $0$ dans $\CC$ est
un anneau de valuation discrète. Il en est de même des localisés en les idéaux maximaux d'un anneau d'entiers de corps de nombres.

Revenons à notre courbe $X$ passant par l'origine $o$. L'anneau local de
$X$ en $o$ est un anneau de valuation discrète, puisqu'il en est ainsi de
son complété. Plus généralement, en tout point $z$ d'une courbe lisse~$X$, l'anneau local des germes de fonctions algébriques en $z$ est un anneau de valuation discrète $\cO_{X,z}$, de corps des fractions $F=F(X)$,
de corps résiduel $k(z)$, extension finie de $k$. Si $X$ est affine
d'algèbre~$A$ et si $z$ correspond à l'idéal maximal $m$ de $A$,
l'anneau local $\cO_{X,z}$ se déduit de $A$ par localisation par les
éléments de $A-m$.

Rappelons qu'un corps est \emph{parfait} s'il est de caractéristique
zéro ou bien s'il est de caractéristique $p>0$ et si tout
élément est une puissance $p$-ème. En particulier les corps finis et les corps algébriquement clos sont parfaits.

Lorsque le corps de base est parfait, le corps résiduel $k(z)$ au point~$z$ d'une courbe lisse $X$ se relève canoniquement dans le complété de
l'anneau local en $z$, qui se trouve donc être isomorphe à l'anneau de
séries formelles $k(z)\lcr t\rcr$.

Ainsi lorsque $X$ est une courbe lisse affine connexe, son anneau $A$ est un
anneau noethérien intègre dont les localisés aux divers idéaux
maximaux sont des anneaux de valuation discrète. Un tel anneau est un \emph{anneau de Dedekind}. À côté des anneaux des courbes affines lisses, les anneaux de Dedekind les plus utiles sont les anneaux d'entiers d'un corps de nombres. Un tel anneau est presqu'aussi confortable qu'un anneau principal: tout idéal est localement principal et tout idéal $I$ non nul s'écrit de manière unique comme produit d'un nombre fini d'idéaux maximaux.

Soit $X$ une $k$-courbe lisse connexe de corps des fractions $F$ et soit~$k'$ la fermeture intégrale de $k$ dans $F$. Alors $k'$ est une extension finie
séparable de $k$ et $X$ est en fait une courbe sur $k'$. Il y a
intérêt à remplacer le corps des constantes $k$ par $k'$, ce qui
assure que la courbe~$X$ reste connexe après toute extension de corps. On
dit alors que $X$ est \emph{géométriquement connexe}.

Une courbe $X$ est munie de la \emph{topologie de Zariski} pour laquelle les
ouverts non vides sont les complémentaires des ensembles finis de points.
Cette topologie n'est pas séparée mais elle assure que si $f\in F(X), f$
est définie sur un ouvert de $X$ et l'ensemble des zéros et des
pôles de $f$ sont des fermés.

\subsubsection*{Courbes projectives et places}
Sur le corps des complexes une courbe projective, munie de la topologie héritée de celle de $\CC$, est \emph{compacte}. Nous allons donner une caractérisation des courbes projectives sur un corps quelconque.

Soit $X$ une $k$-courbe lisse, connexe, de corps des fractions $F$.

\begin{definition*}
Une \emph{$k$-place} de $F$ est un anneau de valuation
discrète $V$ contenant $k$, et de corps des fractions $F$.
\end{definition*}

Nous avons vu qu'à tout point $z$ de $X$, correspond une $k$-place de~$F$: l'anneau local $\cO_{X,z}$.

\begin{proposition*}
Si $X$ est une courbe lisse projective, connexe, les
$k$-places de $F(X)$ sont en bijection avec les points de $X$.
\end{proposition*}

Ainsi, on obtient une caractérisation des points d'une courbe projective et
lisse en terme du corps des fractions $F(X)$ et du corps des constantes $k$.
Elle est indépendante du plongement projectif. On dit qu'une courbe
projective est \emph{complète}, par opposition aux courbes affines pour
lesquelles il manque un nombre fini de points qui apparaîtront \og à
l'infini\fg, si l'on plonge l'espace affine dans l'espace projectif.

\begin{proposition*}
Supposons le corps $k$ \emph{parfait}. L'application $X\mapsto F(X)$, réalise une bijection entre les courbes
lisses, complètes, connexes et les corps $F$, extension de type fini de
$k$, de degré de transcendance $1$.
\end{proposition*}

Pour construire la courbe $X$ à partir de $F$, on procède comme suit.
On choisit un élément $x$ de $F$ transcendant sur $k$. Alors
$[F:k(x)]=d$ est fini. Soit $A_{1}$ (\resp $A_{2}$) la clôture
intégrale de $k[x]$ (\resp $k[x^{-1}]$) dans $F$. C'est une $k$-algèbre
de type fini, qui est l'algèbre d'une courbe affine lisse $X_{1}$ (\resp
$X_{2}$) (c'est ici que sert $k$ parfait). Par recollement de $X_{1}$ et
$X_{2}$ au-dessus de $k[x,x^{-1}]$, on obtient une courbe complète~$X$,
lisse, de corps des fractions $F$, réalisée comme revêtement
(ramifié) de degré $d$, de la droite projective de coordonnée $x$.

\begin{remarque*}
Une courbe lisse complète se réalise de multiples fa\c
cons comme courbe projective. Si de plus $k$ est infini, on peut toujours la
réaliser comme courbe gauche dans $\PP^{3}$. Les plus accessibles de ces
courbes gauches sont celles qui sont intersection complète de deux surfaces
de degrés $d_{1}$ et $d_{2}$. En dehors de ce cas très exceptionnel, et
de celui encore plus exceptionnel des courbes planes, les équations
explicites de la courbe plongée sont difficiles à utiliser. On va
plutôt s'intéresser à des propriétés intrinsèques de la
courbe, indépendantes de tout plongement projectif.
\end{remarque*}

\section{Diviseurs et faisceaux inversibles}
Soit $X$ une courbe lisse, connexe, définie sur le corps $k$ et de corps
des fractions $F$. On note $\Div(X)$ le groupe libre commutatif, de base les
points de $X$. Un diviseur est donc donné par une combinaison formelle
$D=\sum_{z}n_{z} z$, où $z$ parcourt les points de $X$ et où les $n_{z}$
sont des entiers presque tous nuls. Le diviseur $D$ est dit $\geq 0$ si
$n_{z}\geq 0$, pour tout $z$. Si $f$ est un élément non nul de $F$, on
lui associe son diviseur $(f)= \sum_{z}v_{z}(f)z$, où $v_{z}$ est la
valuation de l'anneau local $\cO_{X,z}$, qui vaut 1 sur un générateur de
l'idéal maximal. Les diviseurs de la forme $(f)$ sont les diviseurs
principaux. Deux diviseurs sont linéairement équivalents s'ils
différent par un diviseur principal.

Un faisceau inversible $\cL$ sur $X$ est un faisceau localement isomorphe au
faisceau structural $\cO_{X}$, pour la topologie de Zariski. On~peut toujours
recouvrir $X$ par deux ouverts affines $U$ et $U'$, tels que ${\cL}_{|U}$ (\resp $\cL_{|U'}$) soit engendré par une base $s$ (\resp $s'$). Alors sur
$U\cap U'$, on a $s'=us$, où $u$ est une fonction inversible. Le faisceau
des 1-formes différentielles $\omega=\Omega^{1}_{X}$ est un faisceau inversible
localement engendré par la différentielle $dx$ d'une coordonnée
étale~; on l'appelle le \emph{faisceau canonique}.

À tout diviseur $D$, on associe classiquement un faisceau inversible noté
$\cO_{X}(D)$ qui est un sous-faisceau du faisceau constant $\underline{F}$ des fonctions
rationnelles sur $X$. Pour tout ouvert $U$ de $X$, les sections de $\cO_{X}(D)$
sur $U$, sont les fonctions rationnelles $f$ sur $U$, telle que $[(f) + D]_{|U}
\geq 0$. Pour $U$ assez petit, un générateur de $\cO_{X}(D)_{|U}$ est une fonction $f$ de $F$ telle que $[(f) + D]_{|U} =0$. En particulier, les sections globales de $\cO_{X}(D)$ sont les fonctions rationnelles $f$ telles que $(f) +D\geq 0$.

Réciproquement, si on part d'un faisceau inversible $\cL$ sur $X$, le
faisceau $\cL\otimes_{\cO_{X}} \underline F$ est isomorphe à $\underline F$. Le choix d'une section non nulle de $\cL\otimes_{\cO_{X}} \underline F$ permet d'identifier $\cL$ à un sous-faisceau de $\underline F$, de la forme $\cO_{X}(D)$, pour un diviseur $D$ convenable. Changer de section, revient à remplacer $D$ par un diviseur linéairement équivalent. On obtient ainsi un dictionnaire entre classes d'isomorphismes de faisceaux inversibles et classes de diviseurs.

Supposons de plus la courbe $X$ \emph{complète}. On définit alors le
degré d'un diviseur $D = \sum_{z}n_{z}z$, par la formule:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\[
\text{degré}(D) =\sum_{z}n_{z} [k(z) : k],
\]
où $[k(z) : k]$ désigne le degré sur $k$
de l'extension résiduelle $k(z)$. Alors tout diviseur principal $(f)$ est
de degré 0 (\ie le degré du diviseur des zéros est égal à
celui des pôles). En particulier, on peut parler du degré d'une classe
de diviseurs, et si $\cL$ est un faisceau inversible, isomorphe à
$\cO_{X}(D)$, on définit le degré de $\cL$ comme étant celui de
$D$. Toujours dans le cas où $X$ est complète, le $k$-espace vectoriel
$H^{0}(X, \cL)$, des sections globales de $\cL$, est de dimension
finie. Chaque section non nulle $s$ de $\cL \approx \cO_{X}(D)$ admet un
ensemble de zéros qui est un diviseur $\Delta \geq 0$, linéairement
équivalent à $D$. Si $X$ est géométriquement connexe, les seuls
éléments non nuls de $F$, de diviseur nul, sont les éléments
non nuls de $k$. On obtient ainsi une bijection entre l'espace projectif des
droites du $k$-vectoriel $H^{0}(X, \cL)$, où $\cL = \cO_{X}(D)$, et
l'ensemble des diviseurs $\Delta \geq 0$, linéairement équivalents à
$D$. En particulier, si $\cL$ est degré $< 0, H^{0}(X, \cL) =0$.

\section{Le genre}
Sur les complexes, une surface de Riemann $X$ compacte connexe a un genre $g$, défini par sa topologie: comme espace topologique $X$ est un tore à $g$ trous. Mais $g$ est aussi la dimension sur $\CC$ de l'espace des formes différentielles holomorphes sur $X$. C'est cette dernière
définition qui va pouvoir s'adapter au cas d'un corps quelconque.

\begin{definition*}
Soit $X$ une $k$-courbe lisse complète
géométriquement connexe. Le genre $g$ de $X$ est la dimension sur $k$
du $k$-espace vectoriel $H^{0}(X, \omega)$, espace des formes différentielles
algébriques~sur~$X$.
\end{definition*}

\begin{remarque*}
On peut aussi déterminer le genre $g$ de $X$, à partir du degré de $\omega$ qui est $2g- 2$.
\end{remarque*}

\subsubsection*{Exemple}
Rappelons que sur l'espace projectif $Q=\PP^{n}$ et pour tout
entier $m$, on note $\cO_{Q}(m)$ le faisceau inversible des \og fonctions\fg
homogènes de degré $m$. Si $X$ est une courbe plane, lisse de degré
$d$, dans le plan projectif $Q = \PP^{2}$, le faisceau $\omega_{X}$ est isomorphe
à $\cO_{Q}(d-3)_{| X}$ et le genre de $X$ est $(d-1)(d-2)/2$.

Soit $\pi : Y \to X$ un morphisme fini de degré $d$ entre courbes lisses,
complètes géométriquement connexes. Supposons que le corps des
fractions $F(Y)$ de $Y$ soit une extension séparable de $F(X)$. Alors~$\omega_{Y}$ contient $\pi^{*}(\omega_{X})$, l'image réciproque par $\pi$ du
faisceau~$\omega_{X}$, de sorte qu'il existe un faisceau d'idéaux $\cV_{Y/X}$
sur $Y$, tel que $\omega_{Y} = \pi^{*}(\omega_{X}) [\cV_{Y/X}]^{-1}$. Le faisceau
$\cV_{Y/X}$ est la \emph{différente} de $Y$ par rapport à $X$ et
correspond à un diviseur $\geq 0$ sur $Y : \sum_{y} n_{y}y$, avec $n_{y}\geq
0$. De plus, $n_{y}>0$ si et seulement si $\pi$ est ramifié en $y$. En~comparant les degrés on trouve la \emph{formule de Hurwitz}:
$$
2{\rm genre}(Y) -2 = d [2{\rm genre}(X) -2] +\deg \cV_{Y/X}.
$$

L'avantage de cette formule est que le calcul du degré de la différente
se ramène à un calcul local en chacun des points de ramification de
$\pi$: si $y$ est un point de $Y$ au-dessus du point $x$ de $X$ et si $t$
(\resp $\tau$) sont des coordonnées étales centrées en $x$ (\resp
$y$), on a $dt = u \tau^{n_{y}} d\tau$, où $u$ est une unité en $y$.

\begin{itemize}
\item
En un point $y$ de $Y$ où l'indice de ramification $e_{y}$ de $\pi$ est
d'ordre premier à $p$ (on dit alors que la ramification est
modérée), l'exposant~$n_{y}$ de $y$ dans la différente est
$e_{y}-1$, comme dans le cas complexe.
\item
Par contre, en un point $y$ où l'indice de ramification
géométrique est multiple de $p$ (on dit qu'il y a ramification
sauvage), l'exposant~$n_{y}$ de~$y$ peut être arbitrairement
élevé, indépendamment du degré~$d$.
\end{itemize}

\subsubsection*{Exemple}
Plaçons nous en caractéristique $p >0$. Considérons
la droite affine de coordonnée $x$ et le revêtement galoisien de groupe $\ZZ/p\ZZ$, d'équation:
$$
U^{p}-U = H(x),
$$
où $H(x)$ est un polynôme en $x$, de degré $m >0$ premier à
$p$. Ce revêtement de la droite affine est non ramifié et s'étend
en un revêtement $Y$ de la droite projective $\PP$, totalement ramifié
au-dessus de l'infini. Notons $\infty'$ l'unique point de $Y$ au-dessus du
point $\infty$ de $\PP$ et calculons l'exposant de $\infty'$ dans la
différente $\cV_{Y/\PP}$.

Soit $\tau$ une coordonnée étale centrée en $\infty'$ et $t = 1/x$
la coordonnée sur $\PP$ centrée en $\infty$. La fonction rationnelle $U$
admet en $\infty'$ un pôle d'ordre $m$ et donc, puisque $(m, p)=1$, $dU$
admet en $\infty'$ un pôle d'ordre $m+1$. D'où, à des unités
locales près,: $d\tau/\tau^{m+1} \approx dU = - dH \approx dt/t^{m+1}$.
Donc $dt \approx (t/\tau)^{m+1} d\tau$. L'exposant dans la différente au
point $\infty'$ est donc $(p-1)(m+1)$, et par suite le genre de $Y$ est $g = (m-1)(p-1)/2$.

\section{Courbes de petit genre}
Soit $X$ une courbe complète lisse sur $k$, géométriquement
connexe, de genre $g$.
\begin{itemize}
\item
Si $g=0$, $X$ est canoniquement une \emph{conique} dans le plan projectif. Si de
plus elle possède un point rationnel, (en particulier si $k$ est fini), $X$
est isomorphe à la droite projective. Par contre sur $\RR$, la conique
\og imaginaire\fg d'équation $U^{2}+V^{2}+W^{2}=0$, n'a pas de points
rationnels. Sur un corps algébriquement clos de caractéristique~$2$, une
conique projective lisse admet pour équation $UV + W^{2}=0$. Le fait que la
dérivée par rapport à $W$ soit nulle, entraîne que toutes les
tangentes à la conique passent par le point $(0, 0, 1)$.

\item
Lorsque $g=1$, $X$ est une courbe \emph{elliptique}. Si $X$ possède un point
rationnel (ce qui est le cas en particulier si $k$ est fini), $X$ se réalise
comme cubique dans le plan projectif. En coordonnées homogènes $U, V,
W$, l'équation de la cubique peut être mise sous le forme:
$$
V^{2}W + a_{1}UVW + a_{3}VW^{2} = U^{3}+a_{2} U^{2}W + a_{4}UW^{2} +
a_{6}W^{3},
$$
avec un discriminant $\Delta \not= 0$.

Lorsque la caractéristique $p$ est différente de 2 et 3, on se
ramène, par translations, à la forme de Weierstrass habituelle:
$$
V^{2}W = U^{3} + a_{4}UW^{2} + a_{6}W^{3},
$$
avec $\Delta = -(4a_{4}^{3} + 27 a_{6}^{2})$.

\item
Lorsque $g =2$, $X$ ne se réalise pas comme courbe plane ou comme courbe
gauche intersection complète. Par contre, $X$ est hyperelliptique,
c'est-à-dire est canoniquement un revêtement séparable de degré
2 de la droite projective $\PP$.

Pour $p \not= 2$, ce revêtement est ramifié en 6 points
géométriques et~$X$ est la complétion projective d'une courbe
affine d'équation $y^{2} =\nobreak P_{6}(x)$, où $P_{6}$ est un polynôme de
degré 6, sans racines multiples. Si l'un des points de ramification est
rationnel et choisi à l'infini, $X$~est la complétion d'une courbe
affine d'équation $y^{2} = H(x)$, où $H$ est polynôme unitaire en
$x$ de degré 5, sans racines multiples.

Si $p=2$, le revêtement de la droite projective peut être ramifié
en 3, 2, ou 1 point géométrique et $X$ est la complétion projective
d'une courbe affine d'équation du type: $y^{2} + P_{3}(x)y + P_{6}(x) =0$,
où $P_{i}$ est un polynôme de degré $\leq i$. Par exemple,
l'équation $y^{2}- y = x^{5}$, conduit à une courbe de genre 2,
ramifiée uniquement au-dessus de $x = \infty$.

\item
Une courbe de genre 3, se réalise canoniquement comme quartique dans le
plan projectif, sauf si elle est hyperelliptique. Parmi les quartiques, on
trouve celle de Klein d'équation:
\[
U^{3}V + V^{3}W + W^{3}U =0.
\]
Sur les
complexes, cette courbe admet un groupe $G$ d'automorphismes qui est le
deuxième groupe fini simple: $G \approx PSL (\FF_{7})$ à 168
éléments. En caractéristique 3, le groupe d'automorphismes gonfle
jusqu'à devenir le groupe projectif $PU (3, 3)$ à 6048
éléments.
\end{itemize}

\section{Formule de Riemann-Roch et dualité}
Soit toujours $X$ une $k$-courbe lisse, complète, géométriquement connexe de genre $g$.

Si $\cF$ est un faisceau en groupes commutatifs sur $X$ pour la topologie de
Zariski, on dispose de ses groupes de cohomologie $H^{i}(X, {\cF})$, qui
sont nuls pour $i \not= 0,1$. Si $\cF$ est un faisceau inversible $\cL$,
les groupes $H^{i}(X, \cL)$ sont des $k$-vectoriels de dimension finie. On
note $H^{i}(\cL)$ la dimension sur $k$ de $H^{i}(X, \cL)$. Si $\cL$ est un faisceau inversible, $\cL^{*}$ désigne le faisceau
inversible dual. Lorsque $\cL = \cO_{X}(D)$, $\cL^{*} = \cO_{X}(-D)$.

La compréhension de la cohomologie des faisceaux inversibles est régie
par celle du faisceau dualisant $\omega$.

\skpt
\begin{theoreme*}
\begin{enumerate}
\item
$H^{1}(X, \omega)$ est canoniquement isomorphe au corps $k$.
\item
Pour tout faisceau inversible $\cL$ sur $X$, et tout entier $i$,
l'accouplement
$$H^{i}(X, \cL)\times H^{1-i}(X, \omega \otimes \cL^{*}) \to H^{1}(X, \omega) =
k,$$
donné par le cup-produit, est une dualité parfaite.
\end{enumerate}
\end{theoreme*}

Rappelons que pour calculer la cohomologie d'un faisceau $\cF$ sur~$X$, on
considère une résolution de $\cF$:
$$
0 \to {\cF} \to {\cF}^{1} \to {\cF}^{2} \to \cdots ,
$$
où les ${\cF}^{i}$ sont acycliques, c'est-à-dire ont des groupes de
cohomologie $H^{i}(X, {\cF}^{i})$ nuls pour $j > 0$. Le groupe $H^{j}(X,
{\cF})$ est alors le $j$-ème groupe de cohomologie du complexe:
$$
H^{0}(X, {\cF}^{1}) \to H^{0}(X, {\cF}^{2}) \to \cdots
$$

Parmi les faisceaux acycliques, on trouve les faisceaux flasques $\cG$,
c'est-à-dire ceux pour lesquels, pour tout couple d'ouverts $U, V$ avec $V
\supset U$, toute section de $\cG$ sur $U$ s'étend en une section de
$\cG$ sur $V$.

Pour calculer $H^{1}(X, \omega)$, on dispose d'une résolution acyclique
naturelle de $\omega$. En effet, $\omega$ se plonge dans le faisceau constant $\omega
\otimes_{\cO_{X}} \underline F$ des formes différentielles rationnelles. Le
conoyau est le faisceau $M$ des parties polaires de différentielles. On
obtient ainsi une résolution flasque canonique de $\omega$, qui permet de calculer la cohomologie. En particulier, on a:
$$
H^{1}(X, \omega) = {\rm coker}[H^{0}(X, \omega \otimes_{\cO_{X}} \underline F) \to
H^{0} (X, M)].
$$
Notons qu'en chaque point $x$ de $X$, une section $\mu$ de $M$ admet un \emph{résidu} ${\rm Res}_{X}(\mu)$ qui est un élément du corps
résiduel $k(x)$. Si $x$ est un point rationnel et si $t$ est une
coordonnée étale centrée en $x, \mu$ s'écrit $(\sum_{-1}^{-n}
a_{i}t^{i}) dt$ et le résidu est le coefficient $a_{-1}$. On doit bien
sûr vérifier qu'il est indépendant du choix de $t$. Si $\mu$ est
une section de $M$, on peut, grâce à l'opération de trace,
définir la \og somme\fg des résidus $\sum_{x}{\rm Tr}_{k(x)/k}{\rm
Res}_{x}(\mu)$, qui est un élément de $k$. L'assertion (1) du
théorème équivaut alors à la conjonction des deux
propriétés suivantes:
\begin{enumerate}
\item
Pour toute forme différentielle rationnelle $\tau$, on a
\[
\sum_{x}{\rm Tr}_{k(x)/k}{\rm Res}_{x}(\tau) = 0.
\]
\item
Toute section $\mu$ de $M$, telle $\sum_{x}{\rm Tr}_{k(x)/k}{\rm
Res}_{x}(\mu) = 0$, est la partie polaire d'une différentielle rationnelle
$\tau$ sur $X$.
\end{enumerate}

On trouvera dans \cite{3} une démonstration accessible du théorème
ci-dessus, du moins lorsque le corps $k$ est algébriquement clos.

\begin{corollaire*}
On a $g = h^{1}(\cO_{X})$.
\end{corollaire*}

Pour tout faisceau inversible $\cL$ sur $X$, on définit la
caractéristique d'Euler-Poincaré de $\cL$, par $\chi (\cL) =
h^{0}(\cL) - h^{1}(\cL)$.

On connaît $\chi (\omega) = g-1$. On en déduit facilement le corollaire suivant:

\begin{corollaire*}
Pour tout faisceau inversible $\cL$ sur $X$, on a:
$$\chi (\cL) = 1-g +\mbox{\rm degré}(\cL).$$
\end{corollaire*}

Ainsi la caractéristique d'Euler-Poincaré se calcule au moyen
d'invariants numériques, par contre les dimensions des espaces de cohomologie $h^{i}({\cL})$ peuvent être plus difficiles à déterminer.

En combinant avec la formule de dualité on obtient:

\begin{corollaire*}[théorème de Riemann-Roch]
Pour tout faisceau inversible~$\cL$ sur $X$, on a
$$h^{0}(\cL) - h^{0}(\omega \otimes (\cL^{*})) = 1-g
+\mbox{\rm degré} (\cL).$$
\end{corollaire*}

Cet énoncé a l'avantage de ne plus faire intervenir que des espaces
de cohomologie en degré zéro. Si l'on choisit un diviseur $K$ dans la
classe canonique, il se reformule:
$$h^{0}(\cO_{X}(D)) - h^{0}(\cO_{X}(K-D)) = 1-g+ \mbox{\rm degré}(D).$$

\begin{corollaire*}
Pour $\mbox{\rm degré}(\cL) < 0$, on a $h^{0}(\cL)=0$. Pour $\mbox{\rm degré}(\cL) > 2g-2$, on a $h^{1}(\cL) =0$ et $h^{0}(\cL) = 1-g +
\mbox{\rm degré}(\cL)$.
\end{corollaire*}

\begin{remarque*}
Sur la droite projective, le théorème de
décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, nous
dit qu'étant donnée une partie polaire arbitraire, on peut trouver une
fonction rationnelle globale, définie à l'addition près d'une
constante, qui admet précisément la donnée comme partie polaire. Il
n'en va plus de même en genre $g >0$. Ainsi le corollaire précédent
nous dit que si on se donne un diviseur positif $D$ de degré $> 2g-2$,
$h^{0}(\cO_{X}(D))$ a pour dimension seulement $1-g +\hbox{degré}(D)$, qui
est strictement plus petit que $1 +\hbox{degré}(D)$ pour $g >0$.
\end{remarque*}

\section{Courbes sur les corps finis}
Désormais $k$ désigne un corps fini $\FF_{q}$, à $q$
éléments. On choisit une clôture algébrique $\bar k$ de $k$.
Pour tout entier $ m\geq 1$, $k_{m}$ désigne l'extension de degré $m$ de
$k$ contenue dans $\bar k$. On note $X\otimes_{k} k_{m}$ la courbe déduite
de $X$ par extension du corps de base $k$ à $k_{m}$ et $\bar X$ la courbe
$X\otimes_{k} \bar k$. Pour tout entier $m >0$, $X(k_{m})$ est l'ensemble fini
des points rationnels de $X\otimes_{k} k_{m}$.

On note:
\begin{itemize}
\item $A_{m}$ le nombre de diviseurs $\geq 0$ sur $X$, de degré $m$,
\item $M_{m}$ le nombre de points de $X$ de corps résiduel $k_{m}$,
\item $N_{m}$ le nombre de points rationnels de $X\otimes_{k} k_{m}$.
\end{itemize}

Rappelons que pour $s$ complexe avec ${\rm Re}(s)>1$, on définit la fonction zêta de Riemann par la formule:\vspace*{-3pt}
$$
\zeta (s) = \sum \frac{1}{n^{s}} = \prod \frac{1}{(1-1/p^{s})},
$$
où $p$ parcourt l'ensemble des nombres premiers, c'est-à-dire encore le spectre maximal de $\ZZ$. Cette expression admet un analogue pour la courbe $X$, qui est la fonction zêta de la courbe $X$:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$
\zeta_{X} (s) = \prod_{X} \frac{1}{(1-1/(\#k(x))^{s})},
$$
où $\#k(x)$ désigne le cardinal du corps résiduel $k(x)$. Or, en un
point~$x$ où $[k(x) : k] =m$, on a $\#k(x) =q^{m}$. Par suite, si on pose $T= 1/q^{s}$ et\vspace*{-3pt}
\[
Z_{X}(T) = \prod_{x\in X} \frac{1}{(1-T^{\deg(x)})},\tag{$\ast$}
\]
on a $\zeta_{X}(s) = Z_{X} (q^{-s})$.

\begin{proposition*}
Les trois séries formelles suivantes sont égales, et coïncident avec $Z_{X}(T)$:
\begin{enumeratea}
\item\label{enum:a}
$\displaystyle\sum^{\infty}_{0} A_{m} T^{m}$,
\item\label{enum:b}
$\displaystyle\prod^{\infty}_{1} (1 - T^{m})^{-M_{m}}$,
\item\label{enum:c}
$\displaystyle\exp(\sum^{\infty}_{1} N_{m} T^{m}/m)$.
\end{enumeratea}
\end{proposition*}

L'expression \eqref{enum:b} résulte de $(\ast)$ en regroupant les termes qui correspondent à un degré $m$ donné.

L'égalité de \eqref{enum:a} et \eqref{enum:b} provient du fait que tout diviseur positif
s'écrit de manière unique comme somme de points de $X$ à
coefficients entiers $\geq 0$.

L'égalité de \eqref{enum:b} et \eqref{enum:c}, résulte, en prenant les dérivées
logarithmiques, de la relation $N_{m} = \sum_{d|m} d M_{d}$.

\begin{corollaire*}
On a $T Z'_{X}/Z_{X} = \sum^{\infty}_{1}
N_{m}T^{m}$.
\end{corollaire*}

Faisons l'observation suivante. Supposons avoir écrit $Z_{X}$ sous la forme $P/Q$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes en $T$ de terme constant 1. Écrivons dans $\CC [T]$:
$$
P = \prod_{i} (1- \alpha_{i}T), \quad Q = \prod_{j} (1 - \beta_{j}T).
$$
Alors
$$TZ'_{X}/Z_{X} = -\sum_{i} \alpha_{i} T/(1-\alpha_{i}T) +
\sum_{j}\beta_{j}T/(1-\beta_{j}T).
$$
Par suite on a:
$$
N_{m} = \sum_{j} \beta_{j}^{m} - \sum_{i} \alpha_{i}^{m}.
$$

\skpt
\begin{theoreme*}[André Weil]
\begin{enumerate}
\item
Il existe un polynôme de $\ZZ[T]$ de degré $2g : P_{1} = 1+
\cdots + q^{g}T^{2g}$, tel que $Z_{X}(T) = P_{1}(T)/(1-T) (1-qT)$, en
particulier $Z_{X}$ est une fraction rationnelle en $T$.
\item
On a $P_{1}(T) = \prod_{i=1}^{2g}(1-\alpha_{i}T)$, où les $\alpha_{i}$ sont
des entiers algébriques, qui, dans tout plongement dans $\CC$ ont pour
module $\sqrt{q}$. De plus l'application $\alpha \mapsto q/\alpha$ induit une permutation
des $\alpha_{i}$.
\end{enumerate}
\end{theoreme*}

Notons que toutes les propriétés ci-dessus, à l'exception du module
des $\alpha_{i}$, se déduisent formellement du théorème de
Riemann-Roch. Quant au fait que les $\alpha_{i}$ aient pour module $\sqrt{q}$, il équivaut au fait que les zéros de la fonction $\zeta_{X}(s)$ ont pour
partie réelle 1/2, un analogue de l'hypothèse de Riemann.

\begin{corollaire*}
Pour tout entier $m >0$ on a $N_{m} = 1
+q^{m}-\sum_{i=1}^{2g} \alpha_{i}^{m}$. En particulier,
$$
|N_{m} -(1+q^{m}) | \leq 2g q^{m/2}.
$$
\end{corollaire*}

\begin{corollaire*}
Le nombre $h$ de classes de diviseurs de degré $0$ sur $X$ est fini, égal $P_{1}(1)$.
\end{corollaire*}

Cela résulte du fait que pour un degré $m > 2g -2$, chaque classe
de diviseurs compte $(q^{m +1-g}-1)/(q-1)$ éléments, et par suite
$A_{m}=h (q^{m + 1-g}-1)/(q-1)$.

\skpt
\begin{remarques*}
\begin{enumerate}
\item
On note que $1 +q^{m}$ est le nombre de points rationnels de la
droite projective sur $k_{m}$. En particulier, quand $m$ tend vers l'infini,
$N_{m}$ est équivalent à $1 + q^{m}$.
\item
On retrouve que pour $g=0$ ou $1$, $X$ a toujours un point rationnel.
Sur le corps $k = \FF_{4}$, la courbe elliptique d'équation $y^{2}-y =
x^{3}+j$, où $j$ est une racine primitive troisième de l'unité, a
pour seul point rationnel le point à l'infini, et la borne inférieure
de Weil est atteinte.
\item
Considérons sur le corps $\FF_{3}$, la courbe de genre 2
d'équation: $y^{2} = P_{6}(x)$, avec $P_{6}= x^{6}+ x^{4}+x^{2}+1$. Elle
admet le maximum de points rationnels possible pour une courbe hyperelliptique,
à savoir~$8$. Par contre la courbe $y^{2} = -P_{6}(x)$ n'a pas de points
rationnels. C'est aussi le cas de la courbe $U^{p-1} + V^{p-1} + W^{p-1} =0$
sur le corps à $p$ éléments pour $p \geq 5$.
\end{enumerate}
\end{remarques*}

\begin{corollaire*}
Pour connaître $Z_{X}(T)$, et donc tous les $N_{m}$,
il suffit de connaître les $g$ premiers. En particulier, pour
connaître la fonction zêta d'une courbe elliptique, il suffit de
connaître $N_{1}$.
\end{corollaire*}

La démonstration de Weil \cite{4} utilise les propriétés d'intersection
du morphisme de Frobenius sur la jacobienne de $X$. On trouvera dans \cite{2} une
démonstration liée à la théorie des intersections sur les
surfaces. Une démonstration élémentaire, à partir de
Riemann-Roch a été donnée ultérieurement par Stepanov \cite{1}.

La justification la plus conceptuelle de l'expression de la fonction zêta
vaut en fait pour une variété algébrique lisse projective
quelconque et a été pressentie par Weil, lorsqu'il a formulé ses
célèbres conjectures sur les corps finis.

On commence par définir l'endomorphisme de Frobenius $\Phi$ sur $X$, qui
consiste à élever les fonctions à la puissance $q$. Soit $\bar\Phi$
l'extension de $\Phi$ à $\bar X$. Alors les $N_{m}$ points rationnels de
$X$ dans $k_{m}$ sont les $N_{m}$ points fixes de $\bar\Phi^{m}$.

Si l'on était sur les complexes, on pourrait utiliser la cohomologie
transcendante $H^{i}(X_{\rm top}, \QQ)$ et la formule de Lefschetz, qui exprime
le nombre de points fixes d'un endomorphisme, et plus généralement
d'une correspondance, comme somme alternée de ses traces sur la
cohomologie. Weil a suggéré qu'il devait exister une cohomologie de~$\bar X$ à valeur dans un corps (~?) de caractéristique zéro, qui
conduise à une formule des traces de Lefschetz:
$$
N_{m} = \sum (-1)^{i}{\rm Tr}(\bar\Phi^{m}, H^{i} (\bar X, ?)).
$$

Dans les années 60, Grothendieck a défini la cohomologie en question,
puis Grothendieck et Deligne ont démontré les conjectures de Weil en
toute dimension.

Choisissons un nombre premier $\ell$, distinct de la caractéristique $p$. À l'aide de la \emph{topologie étale}, on définit pour chaque entier $n
>0$, les groupes de cohomologie $H^{i}(\bar X, \ZZ/\ell^{n}\ZZ)$ qui sont des
$\ZZ/\ell^{n}\ZZ$-modules de type fini. Pour $n$ variable, ces cohomologies
forment un système projectif, et par définition, on pose:
$$
H^{i} (\bar X, \ZZ_{\ell}) =\varprojlim_{n} H^{i}(\bar X, \ZZ/\ell^{n}\ZZ)
$$
qui est un $\ZZ$-module de type fini, et $H^{i}(\bar X, \QQ_{\ell}) =
H^{i}(\bar X, \ZZ_{\ell}) \otimes_{\ZZ_{\ell}} \QQ_{\ell}$, qui est un
$\QQ_{\ell}$-espace vectoriel.

Lorsque $k = \CC$, les espaces de cohomologie $H^{i}(\bar X, \QQ_{\ell})$ sont
canoniquement isomorphes aux espaces de cohomologie $H^{i}(X_{\rm top}, \QQ_{\ell})$
associés à la variété topologique $X_{\rm top}$ sous-jacente
à $X$.

Pour une courbe propre et lisse, de genre $g$, sur un corps $k$
algébriquement clos, $H^{0}(X, \QQ_{\ell}) = \QQ_{\ell}$, $H^{1}(X,\QQ_{\ell})$ est de dimension $2g$, $H^{2} (X, \QQ_{\ell})$ est de dimension $1$.

Pour une variété algébrique propre et lisse, de dimension $d$, sur
un corps $k$ fini, le Frobenius $\bar\Phi$ agit par fonctorialité sur les
espaces $H^{i}(\bar X, \QQ_{\ell})$, et
$$P_{i}(T) = \det (1- T \bar\Phi | H^{i}
(\bar X, \QQ_{\ell}))
$$
est un polynôme à coefficients entiers,
indépendant de $\ell$, qui dans $\CC[T]$, s'écrit $\prod (1-\alpha_{j}T)$,
où les $\alpha_{j}$ sont des nombres complexes de module $q^{i/2}$. L'expression
de la fonction zêta de $X$, par rapport à la variable $T = q^{-s}$, est
alors:
$$
Z_{X}(T) = \frac{P_{1}(T) \cdots P_{2d-1}(T)}{P_{0}(T) \cdots P_{2d}(T)}.
$$
\backmatter
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups93-03}
\end{document}
