\documentclass[XUPS,XML,SOM,Unicode,francais, NoFloatCountersInSection, NoEqCountersInSection]{cedram}
\usepackage{xups91-04}
\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
\frontmatter

\title[Séries divergentes de la Mécanique Céleste]{Séries divergentes\\ de la Mécanique Céleste\\ (problèmes planétaires)}

\author[\initial{A.} \lastname{Chenciner}]{\firstname{Alain} \lastname{Chenciner}}

\address{Département de Mathématiques, Université de Paris VII\\
2, place Jussieu, 75250 Paris cedex 05, France}

\thanks{Journées X-UPS 1991. Séries divergentes et procédés de resommation. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1991}

\maketitle
\tableofcontents
\mainmatter

\section*{Introduction}

La recherche de solutions \og quasi-périodiques\fg des équations qui
décrivent le mouvement des planètes, et plus précisément la
question de l'existence parmi ces solutions de celle qui nous intéresse tant,
ont conduit depuis deux siècles à des expressions approchées, puis
formelles, dont la signification est l'objet de la présente causerie.

Ces équations, qui dans l'idéalisation du \og Problème des $(n+1)$ corps\fg\ ---
les planètes et le soleil sont des points matériels strictement régis
par la loi de Newton --- définissent après fixation du centre de gravité
un \og système hamiltonien\fg à $3n$ degrés de liberté (voir le
paragraphe 1), ont pour limite lorsque les masses des planètes tendent vers
zéro la réunion de $n$ \og Problèmes de Kepler\fg dont les solutions dans le
domaine d'énergies pertinent sont des mouvements elliptiques non couplés.
Exprimées en termes des proportions d'aires balayées sur chaque ellipse
par le segment joignant au soleil la planète correspondante (anomalies
moyennes ou longitudes moyennes, voir le paragraphe 2), les solutions du
système limite deviennent des fonctions quasi-périodiques du temps ayant
$n$ fréquences, éventuellement dépendantes (deuxième loi de Kepler).
Il s'agit d'une situation très dégénérée, les solutions
quasi-périodiques d'un système hamiltonien à $3n$ degrés de liberté
\og complètement intégrable\fg non dégénéré (voir le paragraphe 3)
ayant pour la plupart $3n$ fréquences. Cette dégénérescence est levée
dans l'approximation suivante dans laquelle on ne tient compte des interactions
planétaires qu'en moyenne sur un grand nombre de révolutions tout en
oubliant les termes non linéaires en les excentricités et les
inclinaisons
des ellipses képlériennes. Les solutions ainsi obtenues sont célèbres
(mouvements de Laplace-Lagrange, voir le paragraphe 3) : elles fournirent
à Laplace la première \og preuve\fg de la stabilité d'un système
planétaire. Les nouvelles fréquences, qui lèvent la dégénérescence,
sont celles des mouvements \og séculaires\fg des périhélies et des n\oe uds des
ellipses képlériennes.\enlargethispage{\baselineskip}

La relation du système ainsi \og moyenné\fg au système
complet des équations de Newton est élucidée dans le paragraphe
quatre : au niveau des \og séries formelles\fg, il représente bien une
approximation de ce dernier pourvu qu'on ne considère pas les solutions
dans lesquelles les fréquences des mouvements képlériens approchés ne sont
pas indépendantes (\og résonances en moyens mouvements\fg). C'est d'ailleurs la
proximité d'une telle résonance dans le couple Jupiter-Saturne (le fameux
$2-5$) qui est à l'origine des \og inégalités\fg de leurs mouvements dont
l'explication est l'une des plus belles découvertes de Laplace.

Il reste à comprendre les mouvements séculaires au-delà de
l'approximation linéaire en excentricités et inclinaisons et à
construire des séries --- a priori seulement formelles en les masses
planétaires --- qui définissent les
solutions quasi-périodiques recherchées.
Cette construction est indiquée dans le paragraphe 5 pour le Problème des
trois corps dans le plan que la complète intégrabilité du système
sécu\-laire qui lui est associé rend plus simple que le problème
général : loin des résonances en moyens mouvements et des résonances
séculaires, on obtient des séries formelles en les masses planétaires.
Dans le cas général, il faut également effectuer des développements
formels en excentricités et inclinaisons.

Tout ceci n'est que formel bien qu'une démonstration de
ce fait soit difficile (paragraphe 6). Les arguments de Poincaré montrent que
la divergence de ces séries est très probable dans la situation
dégénérée qui nous intéresse,
et ce bien que l'existence
de solutions quasi-périodiques du Problème des trois corps dans le plan soit
prouvée par Arnold et que la convergence ait lieu lorsque la
non-dégénérescence permet de fixer les fréquences indépendamment des
masses planétaires (Moser, Zehnder).
De toute façon, les résultats semi-numériques de Jacques Laskar sur deux
cents millions d'années indiquent que nous ne sommes probablement pas sur une
solution quasi-périodique des équations de Newton.\enlargethispage{\baselineskip}

\section{Forme hamiltonienne des équations dans un repère
héliocentrique; approximation képlérienne}

Soient $m_{0}, m_{1},\ldots, m_{n}$ les masses, $y_{0}, y_{1},\ldots,
y_{n}$ les positions de $n\!+\!1$ corps ponctuels dans l'espace
identifié à $\RR^{3}$ par le choix d'un repère
galiléen. Les équations de Newton s'écrivent
$$
m_{j}{d^{2}y_{j}\over dt^{2}} = \gamma \sum_{\substack{0\leq k \leq n\\ k \not= j}}{m_{j}m_{k}\over |y_{j}-y_{k}|^{3}}
(y_{k}-y_{j})\quad (j=0,\ldots,n),
$$
où $(y_{0},\ldots, y_{n})$ appartient au complémentaire dans
$(\RR^{3})^{n+1}$ de l'union des \emph{diagonales} d'équations $y_{j}
= y_{k}.$ Définissant les \emph{moments}
$$x_{i} = m_{i}\, {dy_{i} \over
dt},
$$
on obtient la forme \emph{hamiltonienne} de ces équations:
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\begin{array}{ll}
\begin{array}{rcl}
{\dfrac{dx_{j}}{ dt}}&=& {-\dfrac{\partial{\cH}}{ \partial y_{j}}}\\[10pt]
{\dfrac{dy_{j}}{dt}}&=& {\dfrac{\partial {\cH}}{ \partial x_{j}} }
\end{array}
&(j = 0,\ldots, n),
\end{array}\\
{\cH (x,y) = \dpl\sum^{n}_{j=0}\dfrac {|x_{j}|^{2}}{ 2m_{j}} -
\gamma \sum_{0 \leq j < k \leq n}\dfrac{m_{j}m_{k}}{|y_{k} - y_{j}|}},
\end{array}
\right.
\tag*{($\cH$)}
\end{align*}
où l'on a noté
\begin{align*}
x&=(x_1,\ldots,x_n)\\
x_{j} &= (x_{j1}, x_{j2},x_{j3})\quad(j=0,\ldots,n),\\
{\partial \cH\over \partial x_{j}} &=
\Bigl({\partial \cH\over \partial x_{j1}},\ {\partial \cH\over \partial
x_{j2}},\ {\partial \cH\over \partial x_{j3}}\Bigr),\quad \text{etc.}
\end{align*}
$\cH$ est le \emph{hamiltonien} ou énergie totale, somme
de l'énergie cinétique et de l'énergie
potentielle.
Introduisons la \emph{$2$-forme symplectique standard} sur $\RR^{3(n+1)} \times
\RR^{3(n+1)}$
$$
\omega = \sum^{n}_{j=0}\; \sum^{3}_{k=1} dx_{jk}\wedge dy_{jk},
$$
encore notée $\omega = dx \wedge dy$. Les équations $(\cH)$
s'écrivent encore
$$
{d\over dt} (x_{j}, y_{j}) = \Bigl(- {\partial \cH\over \partial
y_{j}},\ {\partial \cH\over \partial x_{j}}\Bigr) = \grad_{\omega} \cH,
$$
où le \emph{gradient symplectique} $\grad_{\omega}$ est défini
par l'identité, valable pour tout champ de vecteurs $X$,
$$
\omega (X, \grad_{\omega} \cH) = d \cH\cdot X.
$$
On comparera bien entendu au gradient \emph{riemannien} défini par
$$
\< X, \grad \cH \> = d \cH\cdot X,
$$
dont le gradient symplectique ne diffère que par une rotation de
${\pi/ 2}$ dans chaque 2-plan $(x_{jk}, y_{jk})$ (à condition bien
entendu d'avoir choisi le produit scalaire euclidien dans
$\RR^{6(n+1)}$). La \emph{conservation de l'énergie} par le flot d'un
gradient symplectique s'en déduit immédiatement (figure 1,
schématique).

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{picture}(1,1)

\put(0,0){\vector(4,-1){1}}
\put(0,0){\vector(1,4){.3}}
\put(0,0){\circle*{.1}}

\put(1,0){$\grad_\omega\cH$}
\put(0.4,1){$\grad\cH$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{$\cH=\mbox{cste}$}
\end{figure}

De même qu'une isométrie transforme un gradient en gradient,
un changement de coordonnées dans $\RR^{2N}$
$$
\Phi: (a_{1},\ldots, a_{N}, b_{1},\ldots, b_{N}) \longmapsto
(p_{1},\ldots, p_{N}, q_{1},\ldots, q_{N})
$$
qui préserve $\omega$: $\sum^{N}_{i=1}da_{i} \wedge d b_{i} =
\sum^{N}_{i=1} d p_{i} \wedge d q_{i}$, transforme le gradient
symplectique de $\cH (p,q)$ en celui de la fonction correspondante
$H = \cH \circ \Phi$. Un tel $\Phi$ est dit \emph{symplectique} ou
\emph{canonique}.

Dans les nouvelles coordonnées, les équations du mouvement
conservent donc la forme hamiltonienne.

Tous les changements de coordonnées que nous ferons seront
canoniques; une méthode générale de construction sera
donnée dans le paragraphe 4, mais nous commençons par un
exemple élémentaire, la \emph{réduction du centre de masse}
par les coordonnées \emph{héliocentriques} de Poincaré.
Posons
\begin{align*}
X_{0} &= x_{0}+ \cdots+x_{n},\\
X_{j} &= x_{j}\quad (j = 1,\ldots, n),\\
Y_{0}&= y_{0},\\
Y_{j} &=y_{j}- y_{0}\quad (j=1,\ldots, n).
\end{align*}
Le caractère symplectique de la transformation est évident. Puisque
$$\sum^{n}_{j=0} m_{j} {d^{2}y_{j} \over dt^{2}} = 0,$$
on peut choisir le repère
galiléen de façon que $X_{0}= 0$. On peut alors oublier les variables
$X_{0}, Y_{0}$ (réduction) et définir le mouvement des $n$ masses $m_{1},
\ldots, m_{n}$ (planètes) autour de la masse $m_{o}$ (soleil) par le
système hamiltonien dans $\RR^{6n}$
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\begin{array}{ll}
\begin{array}{rcl}
\dpl{{dX_{j}\over dt}}& = &- {\dfrac{\partial H} {\partial y_{j}}}\\
{\dfrac{dY_{j}} {dt}}&=&
{\dfrac{\partial H} {\partial x_{j}}}
\end{array}
&\quad(j = 1,\ldots, n),
\end{array}\\[10pt]
H = H_{0} + H_{1}, \\
{H_{0} (X,Y) = \dpl\sum^{n}_{j=1} \biggl[\frac{\module{X_{j}}^{2}} {2 \mu_{j}} - \gamma {\mu_{j}
M_{j}\over\module{Y_{j}}}\biggr]}, \\
{H_{1} (X,Y) = \dpl- \gamma \sum_{1 \leq {j} < k \leq n} \frac{m_{j}m_{k}} {\module{Y_{j} -
Y_{k}}} + \sum_{1 \leq {j} < k \leq n} \frac{X_{j}\cdot X_{k}}{ m_{0}}},
\end{array}
\right.
\tag*{($H$)}
\end{align*}
où $\mu_{j} = {m_{0} m_{j}/( m_{0} + m_{j})}$, $M_{j} = m_{0}+m_{j}$.

Le terme $H_{0}$, encore appelé hamiltonien \emph{non perturbé} décrit
une somme de problèmes à 2 corps $(m_{0}$ et $m_{j})$ non couplés
en coordonnées héliocentriques canoniques; on peut l'interpréter
comme une somme de \emph{problèmes de Kepler} dans lesquels un centre fixe de
masse $M_{j}$ attire une particule mobile de masse $\mu_{j}$. Nous ne nous
intéresserons qu'aux solutions elliptiques de ces problèmes de
Kepler.

Si les $m_{j}$, $j=1,\ldots, n$, sont beaucoup plus petites que $m_{0}$, ce
qu'on supposera, et si les mouvements des planètes restent proches de
mouvements circulaires coplanaires de rayons bien distincts, ce qu'on supposera également, le terme
$H_{1}$ reste au cours du mouvement très inférieur à $H_{0}$. On
l'appelle la \emph{fonction perturbatrice} (le premier et le deuxième terme sont
appelés respectivement \emph{partie principale} et \emph{partie complémentaire}
de la fonction perturbatrice).

\section{Variation des constantes}

On fabrique des coordonnées avec les diverses \emph{constantes} des mouvements
képlériens elliptiques décrits par les solutions de $(H_{0})$, \ie avec les \emph{éléments} des ellipses parcourues ; on complète
par des angles paramétrant ces ellipses. Le hamiltonien non perturbé~$H_{0}$ prend alors une forme particulièrement simple et résoudre~$(H)$
revient à comprendre la \emph{variation des constantes} (à la Lagrange) au
cours des mouvements réels: variation de la taille (demi-grand axe), de
l'excentricité, de l'inclinaison, précession des n{\oe}uds et des
périhélies.

Plus précisément, nous utiliserons deux systèmes de
coordonnées dûs à {Poincaré}, qui ont entre eux la relation des
coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes, à ceci
près qu'il s'agit de coordonnées \emph{polaires symplectiques} $(d x
\wedge d y = d r \wedge d \theta)$:
$$
x = \sqrt{2r} \cos \theta, y = \sqrt{2r}\sin \theta.
$$
Issues des classiques \emph{coordonnées de Delaunay}\footnote{que l'on peut
retrouver en appliquant la \emph{méthode de Hamilton-Jacobi} au problème
de Kepler.}, ces \emph{coordonnées de Poincaré} sont
particulièrement bien adaptées à la description des mouvements planétaires proches de mouvements horizontaux et
circulaires.

\subsubsection*{Notations} $\TT^{n}$ désigne le tore $(\RR/2 \pi \ZZ)^{n}$, produit de
$n$ cercles.

\Subsubsection*{Coordonnées de Poincaré cartésiennes}
\noindent$
\left(\Lambda_{j},\lambda_{j},u_{j} = \xi_{j} + i\eta_{j}, z_{j} = p_{j} +i
q_{j}\right)_{j=1,\ldots, n} \in (\RR_{+})^{n}\times \TT^{n} \times \CC^{n}
\times \CC^{n},
$
\Subsubsection*{Coordonnées de Poincaré polaires}
\noindent$
\left(\Lambda_{j}, \lambda_{j}, H_{j}, h_{j}, Z_{j},\zeta_{j}\right)_{j=1,\ldots, n} \in
(\RR_{+})^{n}\times \TT^{n}\times (\RR_{+})^{n}\times \TT^{n}\times (\RR_{+})^{n} \times \TT^{n},
$
\par\noindent
où l'on a posé\enlargethispage{3\baselineskip}
\begin{align*}
\Lambda_{j} & =  \sqrt{\gamma} \mu_{j} \sqrt{M_{j}}\sqrt{a_{j}} \quad\mbox{($a_{j} = 1/2$ grand axe de la $j^{\grave{e}me}$ ellipse}\\[-5pt] &\hspace*{8cm}\text{képlérienne),}\\
\lambda_{j} & = \ell_{j}+ g_{j} + \theta_{j}\quad\mbox{(longitude moyenne),}\\
H_{j} & = \Lambda_{j} (1-\sqrt{1-e^{2}_{j}}), \\
Z_{j} &= \Lambda_{j}\sqrt{1-e^{2}_{j}} (1-\cos\ i_{j}), \\
-h_{j} & = g_{j} +\theta_{j} \quad\mbox{(longitude du périhélie),}\\
-\zeta_{j} & =\theta_{j} \quad\mbox{(longitude du n\oe ud
ascendant),}\\
u_{j} & =  \xi_{j} + i \eta_{j} =\sqrt{2H_{j}} e^{ih_{j}}=
\sqrt{\Lambda_{j}} e_{j} (1+O(e^{2}_{j})) e^{ih_{j}}, \\
z_{j} & = p_{j} + iq_{j} =\sqrt{2Z_{j}} e^{i\zeta_{j}} =\sqrt{\Lambda_{j}}
i_{j} (1+O(e^{2}_{j}) + O(i^{2}_{j})) e^{i\zeta_{j}}.
\end{align*}
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1.3\unitlength}
\begin{picture}(8.8,8.3)

\thicklines
\put(0,3){\line(1,0){7}}
\put(0,3){\line(1,1){2.5}}
\thinlines
\put(2.5,5.5){\line(1,0){7}}
\put(7,3){\line(1,1){2.5}}

\put(4.4,4.4){\circle*{.1}}
\put(4.2,4.3){$\scriptstyle 0$}
\put(4.4,4.4){\vector(0,1){2}}
\put(4.4,4.4){\vector(1,0){2}}
\put(4.4,4.4){\vector(-1,-1){1}}

\thicklines
\put(4.5,0){\line(2,3){4}}
\put(8.5,6){\line(-3,2){3.75}}

\thinlines
\put(6.5,3){\line(-3,2){3.75}}
\put(4.5,0){\line(-3,2){3.75}}
\put(.75,2.5){\line(2,3){4}}

\put(6.88,3.15){$\scriptstyle i_{j}$ \,\,\scriptsize inclinaison}
\put(5.7,3.6){\scriptsize n\oe ud ascendant}
\put(8,5){\scriptsize plan horizontal}
\put(8,4.8){\scriptsize de référence}
\put(6,8){\scriptsize plan de l'ellipse}
\put(6,7.8){\scriptsize képlérienne}
\put(4.1,7){$\scriptstyle \ell_{j}=$ \scriptsize anomalie moyenne}
\put(4.1,6.8){$\scriptstyle \hphantom{\ell_{j}}=$ \scriptsize proportion d'aire balayée}
\put(5.6,6){\scriptsize périhélie}
\put(4.55,4.35){$\scriptscriptstyle (M_{j})$}
\put(4.3,4){$\scriptstyle \theta_{j}$}
\put(5.1,4.2){$\scriptstyle g_{j}$}
\put(3.7,4.4){\scriptsize foyer}
\put(3.2,3.9){\scriptsize centre}
\put(3.1,3.1){$\scriptstyle a_{j}$}
\put(3.5,4.2){$\scriptstyle a_{j}e_{j}$}
\put(1.35,4.2){ \scriptsize ($\scriptstyle e_{j}=$ \scriptsize excentricité)}
\put(3.2,6){$\scriptstyle \frac{1}{m_{j}}X_{j}$}
\put(4.5,6.1){$\scriptstyle (\mu_{j})$}
\put(4.5,5.8){$\scriptstyle Y_{j}$}
\end{picture}
\end{center}

\caption{}
\end{figure}
Les coordonnées $u_{j}, z_{j}$ sont l'avatar symplectique des
coordonnées $e_{j}e^{ih_{j}}$, $i_{j}e^{i\zeta_{j}} $ utilisées par les astronomes.

Dans l'un ou l'autre des systèmes de coordonnées de Poincaré le
hamiltonien $H$ s'écrit $\cF = \cF_{0} + \cF_{1}$, où\vspace*{-3pt}
$$
\cF_{0} = \sum^{n}_{j=1} \biggl({-\gamma^{2} \mu_{j}^{3}M_{j}^{2}\over 2
\Lambda^{2}_{j}}\biggr),
$$
et les équations $(H)$ deviennent
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\begin{array}{rcl}
\dpl{{d\Lambda_{j}\over dt}}&=&\dpl{ - {\partial \cF\over \partial \lambda_{j}}},\\
\dpl{{d\lambda_{j}\over dt}} &=&\dpl{ {\partial \cF\over \partial \Lambda_{j}}}, \\[10pt]
\dpl{{d\xi_{j}\over dt}} &=&\dpl{- {\partial \cF\over \partial \eta _{j}}},\\
\dpl{{d \eta_{j}\over dt}} &=&\dpl{{\partial \cF\over \partial \xi_{j}}},\\[10pt]
\dpl{{d p_{j}\over dt}}&=&\dpl {- {\partial \cF\over \partial q_{j}}}, \\
\dpl{{dq_{j}\over dt}}&=&\dpl {{\partial \cF\over \partial p_{j}}},
\end{array}
&\qquad(j =1,\ldots, n)
\end{array}
\right.
\tag*{$(\cF)_{\rm cart.}$}
\]
en coordonnées cartésiennes, et
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{ll}
\begin{array}{rcl}
\dpl{{d\Lambda_{j}\over dt}}&=&\dpl{ - {\partial \cF\over \partial \lambda_{j}}},\\
\dpl{{d\lambda_{j}\over dt}} &=&\dpl {{\partial \cF\over \partial \Lambda_{j}}}, \\[15pt]
\dpl{{dH_{j}\over dt}} &=&\dpl{- {\partial \cF\over \partial h_{j}}},\\
\dpl{{d h_{j}\over dt}} &=&\dpl{{\partial \cF\over \partial H_{j}}},\\[15pt]
\dpl{{d Z_{j}\over dt}}&=&\dpl{ - {\partial \cF\over \partial \zeta_{j}}}, \\
\dpl{{d\zeta_{j}\over dt}}&=&\dpl{ {\partial \cF\over \partial Z_{j}}},
\end{array}
&\qquad(j =1,\ldots, n)
\end{array}
\right.
\tag*{$(\cF)_{\rm pol.}$}
\end{align*}
en coordonnées polaires. Notons que la deuxième famille d'équations de $(\cF)_{\rm cart.}$ prend en coordonnées complexes la forme
particulièrement agréable
\[
\begin{split}
{{du_{j}\over dt}} &= {i {\partial \cF\over \partial \overline{u}_{j}}}\\
{{dz_{j}\over dt}} &={ i{\partial \cF\over \partial \overline{z}_{j}}}.
\end{split}
\qquad(j = 1,\ldots, n)
\]
Dans les deux cas, les solutions de $(\cF_{0})$ sont comme on s'y attendait de
la forme
\begin{align*}
\Lambda_{j}& =\mbox{constante}, \\
\lambda_{j}&=\mbox{constante} + n_{j}t \quad\text{(2ème loi
de Kepler)},
\end{align*}
les autres coordonnées étant constantes, et telles que
$n^{2}_{j} a^{3}_{j} = \gamma M_{j}$ (3ème loi de Kepler).

Les développements en séries que nous avons en vue nous amènent
à choisir\footnote{c'est un point faible de cette théorie; le choix est assez arbitraire.} un petit paramètre $\mu$ qui mesure la \emph{distance} de $\cF$
au hamiltonien non perturbé $\cF_{0}$. Le plus simple est de poser $m_{j} =
\mu \widetilde{m}_{j}$ où $m_{o}$ et les $\widetilde{m}_{j}$, $j = 1,\ldots, n,$ sont
considérés comme $O(1)$, et de choisir de nouvelles coordonnées
$(\widetilde{\Lambda}_{j}, \widetilde{\lambda}_{j},\widetilde{u}_{j}, \widetilde{z}_{j})$ [\resp.
$(\widetilde{\Lambda}_{j}, \widetilde{\lambda}_{j}, \widetilde{H}_{j},\widetilde{h}_{j}, \widetilde{Z}_{j}, \widetilde{\zeta}_{j})$], définies par
\begin{align*}
\widetilde{\Lambda}_{j}&={1\over \mu} \Lambda_{j}, \\ \widetilde{\lambda}_{j} &=\lambda_{j},\\
(\widetilde{u}_{j}, \widetilde{z}_{j}) &= {1\over \sqrt{\mu}}(u_{j}, z_{j}).
\end{align*}
Ces coordonnées ne conservent la forme symplectique qu'à homothétie
près, ce qu'on rétablit en remplaçant $\cF$ (qui est d'ordre 1 en
$\mu$) par $F = ({1/ \mu}) \cF$, \ie en changeant l'échelle de
temps.

Développant $F$ par rapport à $\mu$, on met le hamiltonien du mouvement
des planètes sous la forme de ce que Poincaré nomme \emph{\og le~pro\-blème
fondamental de la dynamique\fg}:
$$
F = F_{0} + \mu F_{1} + O(\mu^{2}),
$$
où
$$
F_{0} = \sum^{n}_{j=1} \Bigl({-m_{0}^{2} \widetilde{m}_{j}^{3}\over \tilde
\Lambda_{j}^{2}}\Bigr)
$$
(attention, ce n'est $({1/ \mu})  \cF_{0}$ qu'à $O(\mu)$
près) et $F_{1}$ est somme d'une fonction des $\widetilde{\Lambda}_{j}$ (qui
provient de $({1/ \mu})  \cF_{0})$ et de la fonction perturbatrice
$$
-\gamma \sum_{1 \leq j < k \leq n}\break {\widetilde{m}_{j} \widetilde{m}_{k}\over \module{Y_{k} -
Y_{j}}} + \sum_{1 \leq j < k \leq n} {\widetilde{X}_{j} \cdot \widetilde{X}_{k}\over
m_{0}}
$$
écrite dans les nouvelles variables (on a noté $\widetilde{X}_{j} = ({1/ \mu})  X_{j}$).

\section{Mouvements séculaires dans l'approximation de Laplace}

À l'ordre $0$ ($\mu = 0$), $F$ se réduit à $F_{0}$ qui décrit
l'évolution de $n$ mouvements képlériens indépendants. Dans l'espace
des phases de dimension $6n$, chaque courbe intégrale appartient à un
tore de dimension $n$ d'équations
\begin{align*}
\widetilde{\Lambda}_{j} &=\mbox{constante} ,\\
\widetilde{u}_{j} &=\mbox{constante} ,\qquad (j =
1,\ldots, n)\\ \widetilde{z}_{j} &=\mbox{constante} ,
\end{align*}
sur
lequel les $\widetilde{\lambda}_{j}$ sont coordonnées globales; la restriction
à un tel tore du système $(F_{0})$ est simplement
$$
{d \widetilde{\lambda}_{j}\over dt} = n_{j},\quad j = 1,\ldots, n,
$$
les fréquences $n_{j}$ dépendant des constantes choisies. Suivant les
rapports de dépendance sur le corps $\QQ$ des nombres rationnels des
${n_{j}/2\pi}$, l'adhérence de chaque courbe intégrale dans un
tore donné est un tore dont la dimension peut varier de $1$ (orbite
périodique si tous les~$n_{j}$ sont multiples entiers d'une même
fréquence) à $n$ (si les ${n_{j}/ 2\pi}$ ($j = 1,\ldots, n$) sont
indépendants sur $\QQ$). La figure 3 est une représentation grossière
de la situation.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{picture}(10,5.5)(0,0)

\thicklines
\put(0,0){\line(0,1){4}}
\put(0,0){\line(2,1){3}}

\thinlines
\put(3,1.5){\line(0,1){4}}
\put(0,4){\line(2,1){3}}

\put(0,2){\vector(2,1){3}}
\put(1.5,.75){\vector(0,1){4}}

\put(1.3,2.75){$\scriptstyle 0$}
\put(1.5,2.75){\vector(1,0){6}}

\put(1.6,4.5){$\scriptstyle{\widetilde z_j}$}
\put(2.6,3){$\scriptstyle{\widetilde u_j}$}

\put(6,2.95){$\scriptstyle{(\RR_+)^n\times\TT^n}$}
\put(6.5,2.3){$\scriptstyle{(\widetilde \Lambda_j,\widetilde \lambda_j)}$}

\put(2.5,4){\circle*{.1}}
\put(3.2,4.2){$\scriptstyle{\widetilde u_j,\widetilde z_j}$ \scriptsize fixés}
\put(3.15,4.2){\vector(-4,-1){.6}}
\thicklines
\put(2.5,4){\line(1,0){5}}
\thinlines
\put(6,4.2){\scriptsize tore $\scriptstyle \TT^n$}
\put(6,3.6){$\scriptstyle \widetilde \Lambda_j$ \scriptsize fixés}

\put(1.8,.75){\scriptsize \og espace séculaire\fg $\scriptstyle =$ espace de}
\put(1.8,.3){\scriptsize $\scriptstyle n$-uples d'ellipses
$\scriptstyle \subset\CC^{2n}=\RR^{4n}$}
\put(1.9,.55){\vector(-2,3){.5}}

\end{picture}
\end{center}

\caption{Ordre $0$}
\end{figure}

À l'ordre $1$ (oubli des termes $O(\mu^{2})$) le problème possède
déjà la complexité du cas général mais on peut, comme
Laplace et les astronomes à sa suite, considérer le \emph{système
moyenné} ou \emph{système séculaire à l'ordre $1$}, de
hamiltonien\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{align*}
F_{0} + \mu R &= F_{0} + {1\over (2 \pi)^{n}} \int_{\TT^{n}} F_{1} d \widetilde{\lambda}\\
&= F_{0} - {\mu\over (2 \pi)^{n}} \int_{\TT^{n}} \gamma \sum_{1 \leq j<
k \leq n} {\widetilde{m}_{j} \widetilde{m}_{k}\over \module{Y_{j} - Y_{k}}} d \widetilde{\lambda}
\end{align*}
dans lequel on ne retient des variations \emph{à courtes périodes} (\ie
celles des $\widetilde{\lambda}_{j}$) que leur moyenne\footnote{On montre que la
moyenne de la partie complémentaire de la fonction perturbatrice est identiquement
nulle} pour s'intéresser exclusivement aux variations \emph{à longues
périodes} ou \emph{séculaires} des ellipses képlériennes. Ce
système décrit le mouvement sous l'attraction newtonienne de $n$
ellipses massives dont la masse est répartie proportionnellement à
l'aire balayée par le rayon vecteur issu du foyer. Il est encore assez
compliqué (voir le paragraphe 5) mais si, suivant toujours Laplace, on
remplace $R$ par le début $R^{(2)}$ de son développement de Taylor en $0$
(\ie aux mouvements horizontaux et circulaires directs) par rapport aux variables
$\widetilde{u}_{j}, \widetilde{z}_{j},$ il devient analysable et c'est sa résolution
qui a fourni à Laplace son célèbre théorème sur la \emph{stabilité} du système solaire: d'une part, les $\widetilde{\lambda}{j}$
n'apparaissant plus dans le hamiltonien moyenné, \emph{les $\widetilde{\Lambda}_{j}$ sont des constantes du mouvement}; d'autre part, $R^{(2)}$
étant une forme quadratique en les $\widetilde{\xi}_{j}, \widetilde{\eta}_{j},\tilde
p_{j}, \widetilde{q}_{j} $ (dont les coef\-ficients dépendent des
constantes $\widetilde{\Lambda}_{j})$, les variations séculaires sont maintenant
décrites par un système linéaire sur $\RR^{4n}$ (coordonnées
$\widetilde{\xi}_{j}, \widetilde{\eta}_{j},\widetilde{p}_{j}, \widetilde{q}_{j}$) dépendant des
$\widetilde{\Lambda}_{j}$. Le contenu du théorème de Laplace est \emph{le
caractère purement imaginaire des valeurs propres de ce système
linéaire}, d'où l'on déduit la représentation de la figure 4.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{picture}(10,5.5)(0,0)

\thicklines
\put(0,0){\line(0,1){4}}
\put(0,0){\line(2,1){3}}

\thinlines
\put(3,1.5){\line(0,1){4}}
\put(0,4){\line(2,1){3}}

\put(0,2){\vector(2,1){3}}
\put(1.5,.75){\vector(0,1){4}}

\put(1.3,2.75){$\scriptstyle 0$}
\put(1.5,2.75){\vector(1,0){6}}

\put(1.6,4.5){$\scriptstyle{\widetilde z_j}$}
\put(2.6,3){$\scriptstyle{\widetilde u_j}$}

\put(6,2.95){$\scriptstyle{(\RR_+)^n\times\TT^n}$}
\put(6.5,2.3){$\scriptstyle{(\widetilde \Lambda_j,\widetilde \lambda_j)}$}

\put(0.1,3.8){$\scriptstyle \RR^{4n}$}
\put(1.5,3.5){\line(1,0){4.5}}
\put(1.5,2){\line(1,0){4.5}}
\put(3.5,3.7){\scriptsize tore $\scriptstyle \TT^{3n}$ ($\scriptstyle \widetilde \Lambda_j$ constantes)}

\put(1.8,.75){\scriptsize mouvement séculaire de précession}
\put(1.8,.3){\scriptsize des périhélies et des n\oe uds}
\put(1.9,.55){\vector(-1,3){.6}}

\end{picture}
\end{center}

\caption{Ordre $1$, approximation linéaire}
\end{figure}
Dans l'espace des phases, les solutions sont maintenant contenues dans des
tores de dimension $3n$ (qui est la moitié de la dimension $6n$ de l'espace
des phases, ce n'est pas un hasard~!) obtenus en fixant les \emph{actions}\vspace*{-3pt}\enlargethispage{2\baselineskip}
\[
\widetilde{\Lambda}_{j},\quad
\widehat H_{j} = {1\over 2} \module{\widehat u_{j}}^{2},\quad
\widehat Z_{j}={1\over
2} \module{\widehat z_{j}}^{2},
\]
où $\widehat H_{j}$, $\widehat Z_{j}$ sont les analogues de
$\widetilde{H}_{j}$, $\widetilde{Z}_{j}$ après un changement de coordonnées
linéaire symplectique qui transforme la forme quadratique~$R^{(2)}$ en une
somme de carrés $\sum^{u}_{j=1} \alpha_{j} | \widehat u_{j} |^{2} + \beta_{j} | \widehat
z_{j} |^{2}$ (passage à une base propre de la matrice qui représente
$R^{(2)}$).\enlargethispage{\baselineskip}

[En fait l'adhérence des solutions dans chacun de ces tores est un tore
dont la dimension n'excède pas $3n-1$: la conservation du moment
cinétique implique en effet l'existence d'une relation entre les
périodes de précession des n{\oe}uds qui limite à $2n-1$ le nombre
de fréquences séculaires indépendantes. Sur le plan technique, on
se débarrasse de ce problème par une \emph{réduction du moment cinétique} qu'il est inutile de décrire ici].

L'hypothèse la plus optimiste sur les mouvements réels --- la \og \hbox{complète} intégrabilité\fg\ --- peut maintenant
être avancée: l'espace des phases\footnote{plus précisément le complémentaire d'une réunion d'hypersurfaces, elle-même feuilletée par des tores de dimension inférieure à $3n$.} serait feuilleté par une famille
à $3n$ paramètres de tores invariants de dimension $3n$ et un
changement de coordonnées symplectique existerait qui \emph{redresse} ces
tores (figure 5).
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{picture}(10,5.5)(0,0)

\thicklines
\put(0,0){\line(0,1){4}}
\put(0,0){\line(2,1){3}}

\thinlines
\put(3,1.5){\line(0,1){4}}
\put(0,4){\line(2,1){3}}

\put(0,2){\vector(2,1){3}}
\put(1.5,.75){\vector(0,1){4}}

\put(1.3,2.75){$\scriptstyle 0$}
\put(1.5,2.75){\vector(1,0){6}}

\put(1.6,4.5){$\scriptstyle{\widetilde z_j}$}
\put(2.6,3){$\scriptstyle{\widetilde u_j}$}

\put(6.5,2.3){$\scriptstyle{(\widetilde \Lambda_j,\widetilde \lambda_j)}$}

\put(3.5,3.7){\scriptsize tore $\scriptstyle \TT^{3n}$}

\end{picture}

\begin{picture}(10,5.5)(0,0)

\thicklines
\put(0,0){\line(0,1){4}}
\put(0,0){\line(2,1){3}}

\thinlines
\put(3,1.5){\line(0,1){4}}
\put(0,4){\line(2,1){3}}

\put(0,2){\vector(2,1){3}}
\put(1.5,.75){\vector(0,1){4}}

\put(1.3,2.75){$\scriptstyle 0$}
\put(1.5,2.75){\vector(1,0){6}}

\put(1.6,4.5){$\scriptstyle{\widetilde z_j}$}
\put(2.6,3){$\scriptstyle{\widetilde u_j}$}

\put(6.5,2.3){$\scriptstyle{(\widehat \Lambda_j,\widehat \lambda_j)}$}
\put(6,1.9){\scriptsize (action, angle)}

\put(1.5,3.5){\line(1,0){4.5}}
\put(1.5,2){\line(1,0){4.5}}
\put(3.5,3.7){\scriptsize tore $\scriptstyle \TT^{3n}$ redressé}

\put(1.5,2.75){\vector(1,2){.5}}
\put(1.8,3.8){\scriptsize action}
\put(.2,3){\scriptsize angle}

\end{picture}
\end{center}

\caption{}
\end{figure}

\enlargethispage{2\baselineskip}\noindent
Les ellipses képlériennes seraient donc animées d'une lente
précession des périhélies et des n{\oe}uds, accompagnée de
variations bornées des demi-grands axes, des excentricités, et des
inclinaisons.

Plus précisément, il existerait dans la région de l'espace des
phases qui nous intéresse des \emph{coordonnées actions-angles}\vspace*{-3pt}
\[
(\widehat
\Lambda_{j}, \widehat \lambda_{j}, \widehat H_{j}, \widehat h_{j}, \widehat Z_{j}, \widehat
\zeta_{j})_{j= 1,\ldots, n}
\]
dans lesquelles les tores en question seraient
obtenus en fixant les \emph{actions} $\widehat \Lambda_{j}, \widehat \lambda_{j},\widehat
H_{j}, \widehat Z_{j}$ ($j = 1,\ldots, n$). Une condition nécessaire et
suffisante pour que ceci ait lieu est que, dans les nouvelles coordonnées,
le hamiltonien soit indépendant des angles:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{2\baselineskip}
$$
\widehat F = \widehat F (\widehat \Lambda_{j}, \widehat H_{j}, \widehat Z_{j}).\vspace*{-3pt}
$$
En effet, on aurait\vspace*{-3pt}
$$
0 = {d \widehat \Lambda_{j}\over dt} = -{\partial \widehat F\over \partial
\widehat \lambda_{j}},\quad \text{etc.}
$$
mais alors les fréquences\vspace*{-3pt}
$$
\widehat n_{j} =
{d\widehat \lambda_{j}\over dt} = {\partial \widehat F\over \partial \widehat
\Lambda_{j}}$$
resteraient constantes au cours du mouvement, qui serait donc
\emph{quasi-périodique}.

Si de plus la transformation\vspace*{-3pt}
\[
(\widetilde{\Lambda}_{j}, \widetilde{H}_{j}, \widetilde{Z}_{j}, \widetilde{\lambda}_{j}, \widetilde{h}_{j}, \widetilde{\zeta}_{j})\mto(\widehat \Lambda_{j}, \widehat H_{j}, \widehat Z_{j}, \widehat \lambda_{j}, \widehat h_{j}, \widehat \zeta_{j})
\]
était analytique\footnote{Ceci ne peut se produire pour les
coordonnées sous forme polaire que si le tore qui nous intéresse
correspond à des mouvements suffisamment différents des mouvements
circulaires et horizontaux (excentricités et inclinaisons ne doivent pas
être trop petites par rapport au masses)} et dépendait analytiquement
du petit paramètre~$\mu$, les solutions de (F) seraient données par des
\emph{séries de Lindstedt}\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
(L)\left\{
\begin{array}{rcl}
\widetilde{\Lambda}_{j}&=& \widetilde{\Lambda}_{j}^{0}+\sum_{k\geq
1}\mu^{k}\Phi_{j,k} \Bigl(\widetilde{\lambda}_{j}^{0}+n_{j}(\mu) t, \widetilde{h}_{j}^{0} +
m_{j}(\mu)t,\widetilde{\zeta}^{0}_{j} + \kappa_{j} (\mu)t\Bigr),\\[10pt]
\widetilde{\lambda}_{j} &=& \widetilde{\lambda}_{j}^{0}+n_{j}(\mu) t\\
&&+\sum_{k\geq
1}\mu^{k}\varphi_{j,k} \Bigl(\widetilde{\lambda}_{j}^{0}+n_{j}(\mu) t, \widetilde{h}_{j}^{0} +
m_{j}(\mu)t,\widetilde{\zeta}^{0}_{j} + \kappa_{j} (\mu)t\Bigr),\\[10pt]
\widetilde H_{j}& = &\widetilde{H}_{j}^{0} + \sum_{k\geq 1}\mu^{k} \Psi_{j,k}\Bigl(\widetilde{\lambda}_{j}^{0}+n_{j}(\mu) t, \widetilde{h}_{j}^{0} +m_{j}(\mu)t,\widetilde{\zeta}^{0}_{j} + \kappa_{j} (\mu)t\Bigr),\\[10pt]
\widetilde{h}_{j}&=& \widetilde{h}^{0}_{j} + m_{j} (\mu) t\\
&&+\sum_{k\geq 1} \mu^{k} \psi _{j,k} \Bigl(\widetilde{\lambda}_{j}^{0}+n_{j}(\mu) t, \widetilde{h}_{j}^{0} +m_{j}(\mu)t,\widetilde{\zeta}^{0}_{j} + \kappa_{j} (\mu)t\Bigr),\\[10pt]
\widetilde Z_{j}& = &\widetilde Z_{j}^{0} \!+\! \sum_{k\geq 1} \mu^{k}\Theta
_{j,k}\Bigl(\widetilde{\lambda}_{j}^{0}+n_{j}(\mu) t, \widetilde{h}_{j}^{0} +
m_{j}(\mu)t,\widetilde{\zeta}^{0}_{j} + \kappa_{j} (\mu)t\Bigr),
\\[10pt]
\zeta_{j} &=& \widetilde{\zeta}^{0}_{j}+ \kappa_{j} (\mu)t\\
&&+ \sum_{k\geq
1}\mu^{k}\theta_{j,k}\Bigl(\widetilde{\lambda}_{j}^{0}+n_{j}(\mu) t, \widetilde{h}_{j}^{0} + m_{j}(\mu)t,\widetilde{\zeta}^{0}_{j} + \kappa_{j} (\mu)t\Bigr),
\end {array}
\right.
\end{align*}
où les $\Phi_{j,k}$, $\varphi_{j,k}$ etc.\ sont des fonctions analytiques sur le
tore $\TT^{3n}$ et où les différentes fréquences $n_{j}
(\mu),\ldots,$ sont analytiques en $\mu$ et en les constantes $\widetilde
\Lambda_{j}^{0}, \widetilde{H}_{j}^{0}, \widetilde{Z}_{j}^{0}$, et vérifient $m_{j}
(0)= \kappa_{j} (0) = 0$.

[En développant ces expressions par rapport à $\mu$ et en regroupant
les termes correspondant à une même puissance de $\mu$, ce qu'on se
gardera bien de faire, on obtiendrait les développements classiques des
astronomes contenant des termes \emph{séculaires} $t^{a}$ ou $t^{a} \sin bt$,
qui proviennent du développement de termes du type $\sin (\alpha + \mu \omega t)$].

Nous allons voir qu'au niveau formel, des solutions quasi-pério\-diques
données par de telles séries existent, mais qu'il y a
très certainement \emph{divergence}.

Dans le cas du problème plan des 3 corps $(n = 2)$, les développements
en série se font comme ci-dessus par rapport au seul paramètre $\mu$
qui caractérise le rapport des masses planétaires à la masse du
soleil. Dès que l'on aborde le problème de $n+1 \geq 3 $ corps dans
l'espace ou de $n+1 \geq 4$ corps dans le plan, il faut également effectuer
des développements formels par rapport aux excentricités et aux
inclinaisons des ellipses képlériennes.

\section{Élimination des longitudes moyennes}

Comme premier pas dans la construction de séries de Lindstedt, nous
élucidons dans ce paragraphe le rôle du système moyenné \hbox{$(F_{0}+ \mu R)$}.

Voici les notations allégées que nous utiliserons\footnote{On notera que $(\xi,\eta)$ varie dans un certain domaine borné
$\Delta$ de $\RR^{2n} \times\RR^{2n}$.}:
\begin{align*}
\Lambda &= (\widetilde{\Lambda}_{j})_{j =
1,\ldots, n}\in \RR^{n},\\
\lambda& = (\widetilde{\lambda}_{j})_{j=1 ,\ldots, n} \in \TT^{n},\\
\xi &= ((\widetilde{\xi}_{j})_{j = 1,\ldots, n}, (\widetilde{p}_{j})_{j = 1,
\ldots, n}) \in \RR^{2 n},\\
\eta&=((\widetilde{\eta}_{j})_{j=1,\ldots, n},(\widetilde{q}_{j})_{j=1,\ldots, n})\in
\RR^{2n} ,\\
F_{(\mu)} &= F_{0}+ \mu F_{1}+ \mu^{2} F_{2} + \cdots
\end{align*}
Cherchons une famille (dépendant de $\mu$) de difféomorphismes
$$
\Phi_{\mu} : (\Lambda',\lambda', \xi', \eta') \longmapsto (\Lambda, \lambda,
\xi, \eta)
$$
\enlargethispage{-\baselineskip}%
\pagebreak[2]%
\noindent
telle que
\begin{enumeratei}
\item
$d \Lambda \wedge d \lambda + d \xi \wedge d \eta - (d \Lambda' \wedge d\lambda' + d \xi' \wedge d \eta') = 0$,
\item
$F_{(\mu)} (\Lambda,\lambda ,\xi, \eta) = F'_{(\mu)} (\Lambda',\xi', \eta')$,
\end{enumeratei}
où $F'_{(\mu)}$ est une fonction \emph{indépendante des angles} $\lambda'$
(\ie ayant les mêmes symétries que $F_{0}+ \mu R)$. La condition (i),
qui exprime que $\Phi_{\mu}$ est symplectique, s'écrit encore
$$
d \left(\Lambda \cdot d \lambda + \xi \cdot d \eta + \lambda' \cdot d \Lambda' + \eta' \cdot d
\xi' \right)= 0,
$$
où les points $\cdot$ désignent le produit scalaire euclidien, et il
suffit pour la remplir de trouver une famille de \emph{fonctions génératrices}
$S_{(\mu)} (\Lambda' ,\lambda, \xi', \eta)$ telles que
$$
d S_{(\mu)} = \Lambda
\cdot d \lambda + \xi \cdot d \eta + \lambda' \cdot d\Lambda' +\eta' \cdot d \xi',
$$
\ie
\[
{\partial S_{(\mu)}\over \partial \lambda} = \Lambda, \quad
{\partial S_{(\mu)}\over\partial \eta} = \xi, \quad
{\partial S_{(\mu)}\over \partial \Lambda'} = \lambda', \quad
{\partial S_{(\mu)}\over \partial \xi'} =\eta'.
\]
On traite ici les composantes de $\lambda$ comme des nombres réels et on exige que
les dérivées partielles ci-dessus soient périodiques en ces
variables. On exige de plus que la matrice de dérivées secondes mixtes
${\partial^{2} S _{(\mu)}/ \partial a' \partial b} $ (où $a'\in (\Lambda',\xi')$, $b \in (\lambda, \eta)$) soit inversible, ce qui permet de déterminer
$\Phi_{\mu}$ par application du théorème des fonctions implicites.
Enfin, puisque le hamiltonien $F_{(0)} = F_{0}$ ne dépend que des varia\-bles
$\Lambda$, on peut se restreindre aux $\Phi_{\mu}$ de la forme Identité
$+O(\mu)$. Une fonction génératrice de l'Identité étant
évidemment $\Lambda' \cdot \lambda + \xi' \cdot \eta$, on cherchera
$S_{(\mu)}$ sous la forme d'un développement formel en $\mu$
$$
S_{(\mu)}
(\Lambda', \lambda, \xi', \eta) = \Lambda' \cdot \lambda + \xi' \cdot
\eta + \sum^{\infty}_{k=1} \mu^{k} S_{k} (\Lambda', \lambda, \xi',\eta),
$$
dans lequel les conditions de périodicité imposent que
$$
S_{k} (\Lambda', \lambda, \xi', \eta) = \alpha_{k} \cdot \lambda + s_{k}
(\Lambda', \lambda, \xi', \eta)
$$
où $\alpha_{k} \in\RR^{n}$ et $s_{k}$ est périodique en
$\lambda$.

Quant à la condition (ii), c'est une \emph{équation de Hamilton-Jacobi}
$$
F_{(\mu)} \Bigl({\partial S_{(\mu)}\over \partial \lambda},\lambda, {\partial
S_{(\mu)}\over \partial \eta},\eta\Bigl) = F'_{(\mu)}\Bigl(\Lambda', \xi',{\partial S_{(\mu)}\over \partial \xi'}\Bigl)
$$
dans laquelle les actions $\Lambda'$ apparaissent comme des paramètres.

Posons $F'_{(\mu)} = F'_{0} + \mu F'_{1} + \mu^{2} F'_{2} + \cdots$
L'identification des termes d'ordre $0$ en $\mu$ donne simplement
$$
F_{0} (\Lambda') = F'_{0} (\Lambda', \xi', \eta'),
$$
celle des termes d'ordre 1
$$
{\partial F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda')\cdot{\partial S_{1}\over \partial
\lambda} (\Lambda', \lambda,\xi', \eta) + F_{1} (\Lambda', \lambda, \xi',\eta)
= F'_{1} (\Lambda', \xi', \eta).
$$
Égalant les valeurs moyennes sur $\TT^{n}$ (coordonnées $\lambda$) des deux
membres, on voit que
$$
F'_{1} (\Lambda', \xi', \eta') = R (\Lambda', \xi', \eta') + {\partial
F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda')\cdot \alpha_{1};
$$
si le problème posé a une solution, on a donc nécessairement
$$
F'_{(\mu)}(\Lambda', \xi', \eta') = F_{0}(\Lambda') + {\partial F_{0}\over
\partial \Lambda} (\Lambda') \cdot \alpha_{1} + \mu R (\Lambda', \xi', \eta') +
O(\mu^{2}),
$$
qui, au terme (arbitraire) près en $\alpha_{1}$ et modulo les termes
d'ordre $2$ et plus en $\mu$, n'est autre que le système moyenné.

Pour montrer l'existence de $S_{1}$ il est naturel de développer les
fonctions en séries de Fourier relativement aux variables $\lambda$: la fonction
$$
s_{1} (\Lambda', \lambda, \xi', \eta) = \sum_{h = (h_{1},\ldots, h_n) \in
\ZZ^{n}- \{0\}} \sigma_{h} (\Lambda', \xi', \eta) e^{ih \cdot \lambda}
$$
est déterminée à partir de
$$
F_{1}(\Lambda, \lambda, \xi, \eta) - R (\Lambda, \xi, \eta) = \sum_{h
\in \ZZ^{n} - \{0\}} f_{h}(\Lambda, \xi, \eta) e^{ih \cdot \lambda}
$$
par les identités
$$
\sigma_{h}(\Lambda', \xi', \eta)= -{f_{h}(\Lambda', \xi', \eta)\over i h \cdot
{\partial F_0/ \partial \Lambda}(\Lambda')}.
$$
Les coefficients de la série de Fourier d'une fonction analytique
décroissant plus vite qu'une puissance arbitraire de $\module{h} = h_1+ \cdots +
h_{n}$, la série de Fourier de $s_{1}$ définira une fonction analytique tant que la croissance des \emph{petits dénominateurs} $h \cdot {\partial F_0/ \partial \Lambda} (\Lambda')$ sera polynomiale en~$\module{h}$, \ie tant que $\Lambda'$ appartiendra à l'un des sous-ensembles $D'_{\gamma,
\nu}$ du domaine de définition $D' \subset \RR^{n}$ de $\Lambda'$,
définis par
$$
D'_{\gamma,\nu} = \left\{\Lambda' \in D', \forall\, h \in \ZZ^{n}- \{0\}\,
\module{ h \cdot {\partial F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda') }\geq {\gamma\over
| h |^{\nu}}\right\}.
$$
Les fréquences $\omega_{0}(\Lambda') = {\partial F_{0\\}/ \partial
\Lambda} (\Lambda')$ sont celles des mouvements képlé\-riens non
perturbés décrits par $F_{0}$, et l'appartenance à $D'_{\gamma,
\nu}$ signifie que l'on ne s'approche pas trop des \emph{résonances en moyens
mouvements}, \ie des commensurabilités entre les
périodes de ces $n$ mouvements képlériens.

Nous avons donc montré l'existence d'un \emph{changement de coordonnées}
symplectique de la forme $\mbox{Identité} + O(\mu)$ qui, à l'ordre deux
près en $\mu$, transforme $F_{(\mu)}$ en le système moyenné $F_{0} +
\mu R$, à ceci près cependant que cette transformation
$$
(\Lambda', \lambda', \xi', \eta') \longmapsto (\Lambda, \lambda, \xi, \eta)
$$
n'est définie que \emph{suffisamment} loin des résonances en moyens
mouvements, \ie pour $\Lambda'$ appartenant à un sous-ensemble
de Cantor de $\RR^{n}$. Cette dernière restriction n'étonnera pas le
lecteur attentif qui aura noté l'analogie existant avec le
phénomène de la résonance mécanique : certaines configurations
des planètes se répétant périodiquement, de petits effets
s'ajoutent à l'infini et font exploser les coefficients de Fourier de la
transformation.

Revenant aux variables initiales, on voit qu'à la constance de $\Lambda'$
le long des solutions de $(F_{0} + \mu R)$ peuvent correspondre des
oscillations de $\Lambda$ d'autant plus grandes que l'on s'approche d'une
résonance en moyens mouvements. Ces variations des demi-grands axes
s'accompagnent d'\emph{inégalités} sur les longitudes moyennes, dont la plus
célèbre, découverte par Laplace, a une période d'environ 900
ans et provient de la petitesse de la combinaison
$$2 \times\mbox{(période de Saturne)}- 5\times\mbox{ (période de Jupiter)}
$$
(à titre de comparaison, la période de Jupiter est d'environ 12 ans).

Il est temps de remarquer que lorsque certaines variables habitent un ensemble
de Cantor, la notion de changement de coordonnées pose quelques
problèmes. Ne serait-ce que pour donner un sens à la formule $$\lambda
=\lambda' - \mu {\partial S_{1}\over \partial \Lambda'} + O(\mu^{2}),
$$
on a
besoin de pouvoir dériver par rapport aux variables $\Lambda'$. Effectuant
cette dérivation sur l'équation qui définit $S_{1}$, on constate
que la série de Fourier de chacune des dérivées partielles
${\partial S_{1}/ \partial \Lambda'}$ peut être calculée (par
récurrence sur l'ordre de dérivation), ce qui donne au changement de
coordonnées ainsi déterminé le statut de \emph{jet d'ordre infini} de
difféomorphisme le long de $D'_{\gamma, \nu} \times \TT^{n} \times \RR^{2n}
\times \RR^{2n}$ (cela signifie simplement que les dérivées par rapport
à \emph{toutes} les variables $\Lambda', \lambda', \xi', \eta'$ sont définies en tout point).

\subsubsection*{Exercice} Poursuivre le processus à tous les ordres en $\mu$ et
obtenir une transformation $\Phi_{\mu}$ sous la forme d'une série formelle
en $\mu$ dont les coefficients sont définis ainsi que leurs dérivées
le long d'un domaine $D'_{\gamma, \nu} \times \TT^{n} \times \Delta'$, qui rende indépendant des angles $\lambda'$ le hamiltonien~$F'_{(\mu)}$.

Ce dernier peut être appelé \emph{système séculaire d'ordre infini}. On notera que contrairement au système séculaire d'ordre 1, \ie au système moyenné, il n'est pas défini au voisinage des
fréquences~$\Lambda'$ qui correspondent à des \emph{résonances en
moyens mouvements}.

\section{Élimination des longitudes des n{\oe}uds et des périhélies,
séries de Lindstedt}
Considérons tout d'abord le problème des trois corps dans le plan. Ce cas
est particulier en ce que la conservation du moment cinétique suffit, pour
des raisons de dimension, à forcer l' \emph{intégrabilité
complète} du système moyenné. Autrement dit, le discours tenu dans
le paragraphe 3 sur le système linéarisé $(F_{0} + \mu R^{(2)})$ peut
l'être sur le système moyenné $(F_{0} + \mu R)$ lui-même.

La différence essentielle entre les deux est l'apparition de \emph{torsion}:
le paramètre $\Lambda$ étant fixé les fréquences des
mouvements appartenant à un tore invariant dans l'espace
$\RR^{4n}$(coordonnées $\xi, \eta$) dépendent \emph{effec\-ti\-vement} du tore
considéré, contrairement à ce qui se passe dans le cas linéaire
[pour qu'il n'en soit pas ainsi, il eût fallu que de miraculeuses identités
soient satisfaites; qu'elles ne le sont pas a été montré par
Arnold en 1961 dans sa tentative de preuve de la stabilité du système solaire].

Il est alors possible (exercice demandant un peu de réflexion) d'introduire
des coordonnées que nous noterons $(\Lambda, \lambda, \rho , \omega)$ sur
l'espace des phases\footnote{qui est maintenant de dimension $4 n$ et non $6 n$
(problème plan : on oublie les variables $\widetilde{Z}$ et $\widetilde
\zeta$)}, telles que le hamiltonien
$$
F_{(\mu)} (\Lambda, \lambda, \rho, \omega) = F_{0} (\Lambda) + \mu
F_{1}(\Lambda,\lambda,\rho, \omega) + \cdots
$$
ait une moyenne
$$
{1\over (2 \pi)^{n}} \int_{\TT^{n}} F_{1} (\Lambda, \lambda, \rho, \omega) d
\lambda = R (\Lambda,\rho)
$$
indépendante des angles $\omega$. Dans de telles coordonnées,
l'existence de torsion se traduit par l'inversibilité de la matrice de dérivées partielles ${{\partial^{2} R/ \partial \rho^{2}} (\Lambda, \rho)}$.

On peut alors reprendre les calculs du paragraphe précédent, en
cherchant maintenant un difféomorphisme
$$
\Phi_{\mu} : (\Lambda', \lambda', \rho', \omega') \mto (\Lambda,
\lambda, \rho, \omega),
$$
de fonction génératrice
$$
S_{(\mu)} (\Lambda', \lambda, \rho', \omega) = \Lambda' \cdot \lambda +
\rho' \cdot \omega + \sum^{\infty}_{k=1} \mu^{k} S_{k} (\Lambda', \lambda,
\rho', \omega),
$$
qui au lieu de (ii) vérifie
\[
F_{(\mu)} (\Lambda, \lambda, \xi, \eta)= F'_{(\mu)} (\Lambda', \rho'),\tag*{(iii)}
\]
où $F'_{(\mu)}$ est une fonction indépendante de \emph{tous} les angles
$\lambda', \omega'$ (\ie ayant les mêmes symétries que $F_{0} + \mu R)$.
À l'ordre $0$ en~$\mu$ on obtient comme précédemment
$$
F'_{(0)} (\Lambda', \rho') = F_{0} (\Lambda') ;
$$
à l'ordre $1$, on a de même
$$
{\partial F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda') \cdot {\partial S_{1}\over
\partial \lambda} (\Lambda', \lambda, \rho', \omega)+ F_{1} (\Lambda',
\lambda, \rho', \omega) = F'_{1} (\Lambda', \rho'),
$$
dont les solutions, si $\Lambda' \in D'_{\gamma, \nu}$, sont de la forme
$$
S_{1} (\Lambda',\lambda, \rho', \omega)= \alpha_{i} \cdot \lambda + \beta_{1} \cdot
\omega + \widetilde{s}_{1} (\Lambda',\lambda, \rho', \omega) + t_{1}(\Lambda',\rho', \omega),
$$
où $\alpha_{1} \in \RR^{n}, \beta_{1} \in \RR^{n}$, et la fonction $t_{1}$
sont arbitraires, et $\widetilde{s}_{1}$ est uniquement déterminée ainsi
que ses dérivées par rapport aux $\Lambda'$.

De plus on a nécessairement
$$
{\partial F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda') \cdot \alpha_{1} + R
(\Lambda', \rho') = F'_{1}(\Lambda', \rho').
$$
L'identification des termes d'ordre $2$ en $\mu$ donne (avec des notations
évidentes)
\begin{multline*}
F'_{2} (\Lambda', \rho')=\\
={\partial F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda') \cdot {\partial S_{2}\over
\partial \lambda} (\Lambda',\lambda, \rho',\omega) +
{1\over2}{\partial^{2}F_{0}\over \partial \Lambda^{2}} (\Lambda') \cdot
\left({\partial S_{1}\over\partial \lambda}(\Lambda',\lambda,
\rho',\omega)\right)^{2}\\
+ {\partial F_{1}\over \partial \Lambda}(\Lambda',\lambda,
\rho',\omega)\cdot{\partial S_{1}\over\partial \lambda}(\Lambda',\lambda,
\rho',\omega) +{\partial F_{1}\over\partial \rho} (\Lambda',\lambda,
\rho',\omega)\cdot {\partial S_{1}\over\partial \omega} (\Lambda',\lambda,
\rho',\omega)\\
+F_{2} (\Lambda',\lambda,\rho',\omega).
\end{multline*}
Si l'on groupe sous la dénomination $\Phi_{2}(\Lambda',\lambda,
\rho',\omega)$ les termes déjà déterminés, on obtient après
avoir posé
$$
S_{k} (\Lambda',\lambda, \rho',\omega) = \alpha_{k} \cdot \lambda + \beta_{k}
\cdot \omega + s_{k}(\Lambda',\lambda, \rho',\omega)
$$
où $s_{k}$ est périodique en les angles $\lambda$ et $\omega$,
l'équation
\begin{multline*}
{\partial F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda') \cdot {\partial s_{2} \over
\partial \lambda} (\Lambda',\lambda, \rho',\omega)\\
+ {\partial F_{1}\over
\partial \rho} (\Lambda',\lambda, \rho',\omega) \cdot {\partial t_{1}\over
\partial \omega} (\Lambda', \rho', \omega) + \Phi_{2} (\Lambda',\lambda,
\rho',\omega)\\
= F'_{2} (\Lambda', \rho') - {\partial F_{0}\over \partial
\Lambda} (\Lambda') \cdot \alpha_{2} - {\partial F_{1}\over \partial
\rho}(\Lambda',\lambda, \rho',\omega) \cdot \beta_{1},
\end{multline*}
qui intégrée sur les angles $\lambda$ devient
\begin{multline*}
{\partial R\over \partial \rho} (\Lambda', \rho') \cdot {\partial t_{1}\over
\partial \omega}(\Lambda', \rho',\omega) + {1\over (2 \pi)^{n}} \int_{\TT^{n}}
\Phi_{2} (\Lambda',\lambda, \rho',\omega) d \lambda\\
= F'_{2} (\Lambda', \rho')
- {\partial F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda') \cdot \alpha_{2}- {\partial
R\over \partial \rho} (\Lambda' , \rho') \cdot \beta_{1}.
\end{multline*}
Si l'on est suffisamment loin des \emph{résonances séculaires}\footnote
{\ie des commensurabilités entre les périodes des divers
périhélies (rappelons qu'il s'agit du problème des 3 corps $(n =
2)$ dans le plan).}, c'est-à-dire~si
$$
(\Lambda', \rho') \in \Delta'_{\gamma, \nu} = \left\{(\Lambda', \rho'),
\forall \ell \in \ZZ^{n} - \{0\}, \module{\ell \cdot {\partial R\over \partial \rho}
(\Lambda', \rho')}\geq {\gamma\over | \ell |^{\nu}}\right\},
$$
on détermine $t_{1}$ analytique en $\omega$ (et ses dérivées par
rapport aux variables $\Lambda', \rho')$. L'équation non moyennée
fournit alors $s_{2}$ à une fonction $t_{2} (\Lambda', \rho', \omega)$
près et la moyenne par rapport à tous les angles $\lambda, \omega$
donne
$$
F'_{2} (\Lambda', \rho') = {\partial F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda')
\cdot \alpha_{2} + {\partial R\over \partial \rho} (\Lambda', \rho') \cdot
\beta_{1} + R_{2}(\Lambda', \rho'),
$$
où
$$
R_{2}(\Lambda', \rho') = {1\over (2 \pi)^{2n}} \int_{\TT^{n}\times \TT^{n}}
\Phi_{2}(\Lambda',\lambda, \rho',\omega) \;d \lambda \;d \omega.
$$

Les étapes suivantes sont identiques et fournissent entre les $\alpha_{j}$,
les~$\beta_{j}$, et les $F'_{k} (\Lambda' ,\rho')$ les relations
$$
F'_{k}
(\Lambda', \rho') ={\partial F_{0}\over \partial \Lambda} (\Lambda')
\cdot \alpha_{k} + {\partial R\over \partial \rho}(\Lambda', \rho') \cdot
\beta_{k-1} + R_{j}(\Lambda', \rho'),
$$
où $R_{j} (\Lambda', \rho')$
dépend du choix que l'on a fait des $\alpha_{i}$, $i \leq k - 1$, et des~$\beta_{i}$, $i \leq k - 2$.

Maintenant, on voit par un calcul explicite que la matrice des
dérivées partielles ${\partial^{2} F_{0} / \partial \Lambda^{2}}
(\Lambda')$ est inversible. Jointe à l'inversibilité déjà
évoquée de la matrice ${\partial^{2} R/ \partial
\rho^{2}}(\Lambda', \rho')$ (existence de \emph{torsion}), cette
propriété montre que l'application des actions dans les fréquences
$$
(\Lambda, \rho) \mto \Bigl({\partial F_{0}\over \partial \Lambda}
(\Lambda),{\partial R\over \partial \rho}(\Lambda, \rho)\Bigr)
$$
est un difféomorphisme local au voisinage de tout point $(\Lambda_{0},
\rho_{0})$. Le théorème des fonctions implicites montre alors qu'on
peut choisir les $\alpha_{k}$ et les $\beta_{k}$ (dépendant de
($\Lambda_{0}, \rho_{0}) \in D'_{\gamma, \nu} \cap \Delta'_{\gamma,\nu} !!!)$
de façon à annuler les ${\partial F'_{k}/ \partial
\Lambda'}(\Lambda_{0},\rho_{0})$ pour $k \geq 1$ et les ${\partial F'_{k}/\partial \rho'}(\Lambda_{0},\rho_{0})$ pour $k \geq 2$. On obtient ainsi des
séries de Lindstedt, pour les mouvements de 3 corps dans le plan, dont les
fréquences $(n_{j} (\mu) ,m_{j} (\mu))$ sont de la forme $({\partial F_{0}/\partial \Lambda} (\Lambda_{0}), \mu {\partial R/ \partial
\rho}(\Lambda_{0},\rho_{0}))$.

\begin{remarque*}
Nous avons déjà noté que de telles séries décrivent
des mouvements (formels) quasi-périodiques dans lesquels les
excentricités des ellipses képlériennes associées restent
bornées inférieurement par une constante dépendant du
paramètre de masse $\mu$. Pour décrire les mouvements très voisins
de mouvements circulaires, un \emph{changement d'origine} est nécessaire, qui
remplace le tore de dimension deux d'équations $\xi = \eta = 0$, invariant
par le système moyenné, par un tore de dimension deux invariant par le
système $F_{(\mu)}$ lui-même. Un tel tore existe et correspond
après réduction (\ie après passage au quotient par le
groupe des rotations du plan) à ce que Poincaré a appelé une
\emph{orbite périodique de première espèce}: les planètes
décrivent autour du soleil des orbites presque circulaires et se retrouvent
au bout d'une période dans la même situation à une rotation
près.

S'il y a au moins quatre corps, ou s'il s'agit du problème dans l'espace,
le système moyenné n'a plus de raison d'être \emph{complètement
intégrable}. Il l'est cependant à l'\emph{origine} $\xi = \eta = 0$, \ie dans un voisinage infinitésimal des mouvements circulaires directs et
horizontaux, pourvu que les valeurs propres du système linéaire
$(R^{(2)})$ vérifient des conditions de \emph{non-résonance} (théorie
de Birkhoff). Il est donc impossible d'écrire des séries de Lindstedt
qui correspondent à des \emph{fréquences séculaires} $\mu {\partial
R/ \partial \rho} (\Lambda_{0},\rho_{0})$ déterminées: ces
dernières ne sont plus données que comme des séries formelles, non
seulement en~$\mu$, mais également en excentricités et inclinaisons, et
ce sont de tels développements qui doivent être manipulés. Quant
aux mouvements formels ainsi décrits, on notera qu'ils sont du type de ceux
évoqués dans la remarque précédente.
\end{remarque*}


\section{Divergence des séries de Lindstedt}

C'est (au \og M.\fg près devant le nom propre) le titre du chapitre XIII
des \emph{Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste}.

Affirmation centrale à laquelle conduit tout l'ouvrage et pourtant
affirmation non mathématiquement démontrée...

Reprenons le problème des trois corps dans le plan et fixons
$(\Lambda_{0},\rho_{0}) \in D'_{\gamma,\nu} \cap \Delta'_{\gamma, \nu}$. Si les
séries correspondant à cette valeur des \emph{actions} convergent, elles
décrivent des solutions quasi-périodiques dont l'ensemble (pour toutes
les valeurs des angles initiaux) remplit un tore $\cT_{\mu}$ de dimension $4$
invariant par le système $(F_{(\mu)})$. Lorsque~$\mu$ varie, ce tore varie
continûment ainsi que les fréquences
$$
\Bigl({\partial F_{0}\over \partial
\Lambda} (\Lambda_{0}), \mu {\partial R\over \partial \rho}
(\Lambda_{0},\rho_{0})\Bigl)
$$
des solutions qu'il contient. Il existe donc une
infinité de valeurs de~$\mu$ arbitrairement proches de $0$ pour lesquelles
ces fréquences sont \emph{résonantes}: le tore $\cT_{\mu}$ est alors
feuilleté par une famille de tores invariants de dimension inférieure.
Une précaution est nécessaire à ce point: à~cause de
l'invariance du problème par rotations, \emph{chacun} des tores $\cT_{\mu}$
est feuilleté par des tores invariants de dimension trois, ces tores
étant eux-mêmes feuilletés par des tores invariants de dimension
deux pour les valeurs \emph{résonantes} de $\mu$.

On se débarrasse de ce problème en considérant le problème
\emph{réduit} dans lequel les deux arguments des périhélies des
planètes fictives sont remplacés par leur seule différence. Le
nombre de degrés de liberté passe ainsi de quatre à trois, les
tores invariants $\cT_{\mu}$ ont maintenant la dimension trois (deux
fréquences rapides $\omega_{0} = {\partial F_{0}/ \partial \Lambda}
(\Lambda_{0})$, une fréquence lente $\mu \omega_{1}$) et sont feuilletés par
des tores invariants de dimension deux pour les valeurs \emph{résonantes} de
$\mu$. Mais l'existence de telles familles continues de tores invariants de
dimension deux remplissant un tore de dimension trois est un phénomène
tout à fait exceptionnel. Il ne se produit le plus souvent que forcé
comme ci-dessus par une symétrie des équations, \ie par
une \emph{intégrale première} (ci-dessus, le moment cinétique). Mais
l'inexistence pour le problème des trois corps de telles intégrales
premières autres que celles, classiques, de l'énergie, du centre de
masse, et du moment cinétique, a été prouvée par Bruns dans le
cadre algébrique et par Poincaré dans le cadre analytique (pour ce
dernier dans un sens assez faible, il est vrai, puisque seules sont
envisagées les intégrales premières dépendant analytiquement du
paramètre $\mu$). C'est ce qu'on appelle la \emph{non-intégrabilité}
du Problème des trois corps. La démonstration de Poincaré repose
sur un examen approfondi du développement de Fourier de la fonction
perturbatrice. Elle constitue le c{\oe}ur du premier volume des \emph{Méthodes Nouvelles}.

Malheureusement la non-intégrabilité ne suffit pas directement à
assurer la divergence des séries de Lindstedt, bien qu'elle rende celle-ci
très probable pour la plupart des fréquences $(\omega_{0}, \mu
\omega_{1})$: les hypothétiques tores $\cT_{\mu}$ feuilletés par des
tores invariants de dimension deux ont en effet toutes les chances d'être
remplacés chacun par un nombre fini de tores invariants de dimension deux.

Il n'est même pas prouvé, bien qu'infiniment probable, que la
non-intégrabilité soit incompatible avec la convergence, pour des
fréquences diophantiennes $\omega_{0}$ fixées, de \emph{toutes} les
séries de Lindstedt à fréquences de la forme $(\omega_{o}, \mu
\omega_{1})$ (il n'y a pas de condition diophantienne sur l'unique
fréquence lente, ce qui est une particularité de plus du problème
des trois corps dans le plan). Une telle convergence implique pourtant
l'existence, comme dans le système moyenné, d'une famille à 1
paramètre $\omega_{1}$ de tores de dimension trois invariants par~$F_{(\mu)}$ (correspondant aux séries de fréquences $(\omega_{0}, \mu
\omega_{1}), \mu$ fixé) qui ne peuvent qu'\emph{entourer} un tore invariant de
dimension deux portant des mouvements quasi-périodiques de fréquences
$\omega_{0}$.

Notons que tout argument prouvant la divergence devra nécessairement faire
usage de la variation avec $\mu$ des fréquences en jeu, variation que force
la dégénérescence du Problème de Kepler: un avatar de la
théorie de Kolmogorov - Arnold - Moser (K.A.M.) dit en effet que, dans le
cas d'un problème non dégénéré (absence de fréquences
lentes) tel le problème des trois corps avec presque toute autre loi
d'attraction en puissance de la distance que la loi de Newton, les séries
de Lindstedt à fréquence diophantienne fixée $\omega_{0}$
convergent toujours~! Poincaré, qui considère ce cas dans le fameux
paragraphe 149 des \emph{Méthodes Nouvelles}, ne rejette pas cette
possibilité tout en la considérant comme \emph{\og fort invraisemblable\fg}.

Nous retiendrons que les séries de Lindstedt du Problème des 3~corps
dans le plan divergent très probablement, que la raison de la divergence
est géométrique, et que cette géométrie est bien difficile
à mettre en évidence.

\backmatter
\end{document}