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\begin{document}
\frontmatter

\title[Séries formelles provenant de systèmes différentiels]{Séries formelles provenant de~systèmes différentiels linéaires méromorphes}

\author[\initial{M.} \lastname{Loday-Richaud}]{\firstname{Michèle} \lastname{Loday-Richaud}}

\address{Département de Mathématiques, Université de Paris~XI\\
91405 Orsay Cedex, France}

\thanks{Journées X-UPS 1991. Séries divergentes et procédés de resommation. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1991}

\maketitle
\vspace*{-\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\section*{Introduction}
L'étude qui suit est une étude locale au
voisinage d'un point $x_{0}$ de $\CC$ que, sauf précision
contraire, nous placerons toujours à l'origine
$(x_{0}=0)$. Les systèmes différentiels considérés
sont de la forme
$${dY\over dx}=A(x)Y \leqno [A]$$
où ${d/ dx}$ est la dérivation usuelle
par rapport à la variable complexe~$x$, où
$A(x) =[a_{(j,\ell)}(x)]_{1\leq j,\ell\leq n}$
est une matrice $n\times n$ à coefficients méromorphes
en $x_{0}=0$ et où
$$
Y=\left[
\begin{array}{c}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{array}
\right]
$$
est le
vecteur inconnu. Ainsi le vecteur dérivée de $Y$
s'écrit
$$
{dY\over dx}=\left[
\begin{array}{c}
{dy_{1}/ dx}\\
\vdots\\
{dy_{n}/ dx}
\end{array}
\right]
$$
Les
équations différentielles considérées sont des
équations différentielles linéaires analytiques en
$x_{0}=0$ c'est-à-dire de la forme
\[
a_{n}(x){d^{n}\over dx^{n}}y+a_{n-1}(x){d^
{n-1}\over dx^{n-1}}y + \cdots +a_{0}(x)y=0 \leqno
(D)
\]
où les coefficients $a_{j}(x)$ sont
analytiques en $0$ et où ${d^{j}y/dx^{j}}$
désigne la dérivée $j^{\grave eme}$ de l'inconnue
$y$. Quitte à diviser ces équations par une puissance
convenable de $x$ nous supposerons en outre que les
coefficients $a_{j}$ ne s'annulent pas simultanément en
$0$.

Dans une première partie nous décrivons les solutions
formelles en $x_{0}=0$ des systèmes différentiels.
Celles-ci sont calculables par des algorithmes
explicites qui reposent de façon essentielle sur la
notion de polygone de Newton. Le polygone de Newton d'un
\emph{système} étant difficile à définir nous passerons
ici par l'intermédiaire de polygones de Newton
d'\emph{équations différentielles} associées au système
étudié. Bien que disposant d'algorithmes, les calculs
sont en général longs et difficiles à mener
jusqu'à leur terme. Ils contiennent entre autres la
résolution d'équations algébriques quelconques.
Ceci n'exclut pas le traitement à la main d'exemples
\og simples\fg mais justifie de l'utilisation d'un
système de calcul formel; les codes \textsc{desir} et \textsc{desir2} bientôt opérationnels feront de tels
calculs. Nous indiquons l'origine de chacun des facteurs
des solutions formelles et succinctement comment les
calculer.
Nous indiquons en outre dans quels cas ces solutions
contiennent des séries convergentes (cas où $0$
est un point ordinaire ou singulier régulier) et dans
quel cas elles peuvent contenir des séries divergentes
(cas où $0$ est un point singulier irrégulier).\enlargethispage{\baselineskip}

La deuxième partie traite de la sommation de celles
des séries obtenues qui sont divergentes. Une série
sommable sur tout un voisinage de $0$ est une
série convergente par définition. Il s'agit donc de
sommer ces séries divergentes sur des secteurs de
sommet $0$. La position de ces secteurs est à peu
près indifférente mais leur ouverture est importante:
sur des secteurs trop petits une telle série divergente
admet une infinité de sommes possibles; sur des
secteurs trop gros elle n'en n'admet aucune. Et dans les
cas compliqués dits à plusieurs niveaux il n'y a pas de
bonne taille intermédiaire assurant l'existence d'une
somme unique. Il faut faire intervenir d'autres
critères de choix que nous n'aborderons pas ici.
Disons simplement que d'une part, toutes les sommes
possibles sont faciles à décrire à partir de l'une
d'elles et que d'autre part le consensus sur le choix à
faire est actuellement général. Nous indiquons les
outils, transformations de Borel et de Laplace,
ramification, accélération d'Ecalle et les formules
intégrales construites avec ces outils qui définissent
\og les\fg sommes de ces séries divergentes.

Enfin en appendice, nous démontrons dans un cas simple
mais significatif, dit cas de niveau un, que les
formules proposées donnent bien des sommes des séries
divergentes associées au système différentiel.
La démonstration proposée suit la méthode
d'Ecalle \cite{Ec85} qui repose sur des arguments de
perturbation et de séries majorantes. Elle a
l'avantage d'être courte tout en n'utilisant que des
résultats élémentaires sur les systèmes
différentiels et le produit de convolution. Une autre
démonstration due à Martinet et Ramis repose sur des
arguments de type asymptotique. Mentionnons
enfin que l'existence de ces sommes mais sans formules
de définition a été établie préalablement par
Ramis par des arguments cohomologiques \cite{Ra85}.

\part*{Première partie}
\subsection{Système différentiel ou équation différentielle?}

L'étude des systèmes différentiels linéaires à
coefficients méromorphes est équivalente à celle
des équations différentielles linéaires
analytiques. Nous choisissons de travailler avec des
systèmes plutôt qu'avec des équations parce que
l'écriture matricielle se prête mieux à la
description des espaces de solutions.

Rappelons qu'on passe facilement d'une équation à
son système compagnon
\begin{align*} \tag*{$[A_{D}]$}
{dY\over dx} &= A_{D}Y \\
&{\rm avec} \quad A_{D}
=\left[
\begin{array}{ccccc}
0&1&0&\cdots&0\\
0& 0& 1&\ddots&\vdots\\
\vdots&{} &\ddots&\ddots&0\\
0&0&\cdots&0&1\\
-{a_{0}/ a_{n}}&-{a_{1}/
a_{n}}&\cdots&-{a_{n-2}/ a_{n}}&-{a_{n-1}/
a_{n}}
\end{array}
\right]
\end{align*}
en prenant pour inconnue
$$
Y=\left[
\begin{array}{c}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{array}
\right] \quad\mbox{où}\quad y_{1}=y,\ y_{2}={dy_{1}\over dx},\ldots,\ y_{n}={d^{n-1}y_{1}\over dx^{n-1}}
$$
Réciproquement, on peut passer d'un système à une
équation en rame\-nant le système à la forme
compagnon. Et ceci peut se faire par un changement
linéaire d'inconnue $Y=PZ$ à coefficients
méromorphes (il s'agit des coefficients de la matrice
$P$). Ce changement est algorithmique mais si lourd qu'il
reste plus théorique que pratique.

Nous notons $(A_{j})$ l'équation différentielle
associée au système $[A]$ par élimination de toutes
les inconnues sauf la $j^{\grave eme} \ y_{j}$.

\subsection{Point ordinaire et point singulier}

Le point $x_{0}=0$ est un \emph{point singulier} d'un
système $[A]: {dY/ dx}=A(x)Y$ si c'est un pôle de
l'un au moins des coefficients de la matrice $A$. Dans le
cas d'une équation
\[\tag{$D$}
a_{n}(x){d^{n}\over dx^
{n}}y+a_{n-1}(x){d^{n-1}\over dx^{n-1}}y + \cdots
+a_{0}(x)y=0
\]
le point $x_{0}=0$ est un point singulier
si c'est un zéro du coefficient $a_{n}(x)$. Lorsque
$x_{0}=0$ n'est pas singulier on dit qu'il est {\it
ordinaire}.

\subsection{Polygone de Newton}

Le polygone de Newton d'une équation~($D$) est
facile à construire et il est l'outil essentiel pour le
calcul des solutions formelles. Dans le cas d'un système
$[A]$ on utilise le polygone de Newton de l'une
quelconque des équations $(A_{j})$ associée au
système par élimination de toutes les inconnues sauf
une, $y_{j}$.

On opère comme suit: on détermine la partie
principale des coefficients de ($D$)
$$
a_{j}(x) = a_{j,\ell (j)}x^{\ell (j)}+O(x^{\ell (j)+1})
$$
et on marque dans le demi-plan $\RR^{+}\times {\bf
R}$ les points de coordonnées $(j,\ell (j)-j)$.
Le \emph{polygone de Newton} de (D) est l'enveloppe
convexe de la famille des deuxièmes quadrants $\{
(u,v) \vert u\leq j \ {\rm et}\ v\geq \ell (j)-j\}$ de
sommets chacun des points marqués (voir exemples et dessins en
encadré).

\Subsection{Point singulier régulier et point singulier
irrégulier}

Lorsque le point $x_{0}=0$ est singulier on distingue
deux cas dits \emph{singulier régulier} ou \emph{singulier
irrégulier} suivant que le polygone de Newton est
réduit ou non à un seul côté horizontal.
Nous allons voir que la forme et le comportement des
solutions sont tout à fait différents suivant que l'on
est dans l'un ou l'autre cas.

\subsection{Étude locale au point ordinaire \texorpdfstring{$x_{0}=0$}{x0}}

Les résultats sont classiques, connus depuis le \textsc{xix}\ieme siècle (\cite[chap.\,VII]{Ca1}, \cite{Ca2}, \cite[Th.\,9.3.c et d, p.\,94]{He}).
Nous énonçons les résultats sous une forme
qui prépare la suite et dans le
contexte des systèmes différentiels; une solution
est alors un vecteur de dimension $n$, la dimension du
système.

Les solutions séries formelles
$\sum_{p\in \NN}C_{p}x^{p}$ forment un
espace vectoriel sur $\CC$ et elles sont
en \og nombre suffisant\fg pour que la dimension de cet espace
soit égale à $n$. En outre, elles sont convergentes et
leur domaine de convergence contient au moins un disque
commun de centre $0$, en fait n'importe quel disque qui ne
contient aucun point singulier autre que $0$. Sur
ce disque commun les sommes de ces séries formelles
(sommes au sens usuel de la sommation des séries
convergentes) forment un espace vectoriel de dimension
$n$ de vraies solutions du système.

On appelle
\emph{matrice fondamentale de solutions} du système ou
plus simplement, \emph{solution fondamentale} du système
toute matrice dont les vecteurs colonnes sont $n$
solutions linéairement indépendantes. Pour être
précis on parlera de solution fondamentale formelle ou
analytique suivant le contexte choisi. Étant donné deux
solutions fondamentales $F$ et $H$, toutes deux soit
formelles soit analytiques sur un même domaine de
définition, il existe une matrice constante inversible
$C$ faisant passer de l'une à l'autre:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$
H=FC, \qquad C\in \mathrm{GL}(n;\CC).
$$

\subsection{Étude locale au point singulier régulier \texorpdfstring{$x_{0}=0$}{x0}}

Ces résultats sont eux aussi classiques depuis le \textsc{xix}\ieme siècle. Les solutions séries
formelles, s'il en existe, ne sont en général pas
assez nombreuses pour constituer une solution
fondamentale: elles forment toujours un espa\-ce
vectoriel mais celui-ci est en général de dimension
inférieure à~$n$, voire nulle.

\pagebreak[2]

\begin{figure}[!p]
\hbox{\vrule height .4pt depth
0pt width \textwidth}

\begin{center}
\bfseries Exemples commentés dans le texte et dessins de
polygones de Newton
\end{center}
\medskip
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape
\centerline{Exemple 0: La singularité $x_{0}=0$ est régulière.}

\noindent
\begin{minipage}[t]{.7\textwidth}
\begin{align*}
xy'-ay &=
0\tag*{$(E_0)$}
\end{align*}
où on note $y'= {dy/ dx}$ et on a $a\in \CC$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.25\textwidth}
\mbox{}
\begin{center}
\begin{picture}(1.5,2)(0,0)
%axe horizontal
\put(0,0){\vector(1,0){1.5}}
\put(1.4,-.3){${}_u$}

%axe vertical
\put(0,0){\vector(0,1){2}}
\put(-.3,1.9){${}_v$}

%coordonnees
\put(0,0){\circle*{.15}}
\put(0,-.3){${}_0$}

\put(1,0){\circle*{.15}}
\put(1,-.3){${}_1$}

\multiput(0,.5)(.2,-.2){3}{\circle*{.03}}
\multiput(0,1)(.2,-.2){5}{\circle*{.03}}
\multiput(0,1.5)(.2,-.2){5}{\circle*{.03}}
\multiput(.2,1.8)(.2,-.2){4}{\circle*{.03}}

\thicklines
\put(0,0){\line(1,0){1}}
\put(1,0){\line(0,1){2}}

\end{picture}
\end{center}
\vspace*{\baselineskip}
\end{minipage}
\noindent

Les solutions sont proportionnelles à $y(x) =x^{a}$.
Lorsque le coefficient $a$ est un entier positif la
singularité du système en $0$ ne se répercute pas sur
les solutions. On dit dans ce cas que $0$ est un \emph{point
singulier apparent} au sens de \og qui a l'apparence d'un
point singulier\fg.

\hspace*{.1\textwidth}\hrulefill\hspace*{.1\textwidth}

\medskip
\begin{center}
Exemple 1: Équation d'Euler; la singularité $x_{0}=0$ est
irrégulière de~niveau $1$.
\end{center}

\noindent
\begin{minipage}[t]{.7\textwidth}
$$x^{2}y'+y=x$$
Elle n'est pas de la forme étudiée ici mais elle le
devient si on la dérive après l'avoir écrite
$xy'+{1\over x}y =1$. On obtient l'équation
\begin{align*}
x^{3}y''+(x^{2}+x)y'-y=0\tag*{$(E_{1})$}
\end{align*}
qui admet pour solutions celles de l'équation d'Euler
et celles de l'équation sans second membre associée
$x^{2}y'+y=0$. Son système compagnon s'écrit
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.25\textwidth}
\mbox{ }

\begin{center}
\begin{picture}(2.5,3)(0,0)
%axe horizontal
\put(0,0){\vector(1,0){2.5}}
\put(2.4,-.3){${}_u$}

%axe vertical
\put(0,0){\vector(0,1){3}}
\put(-.3,2.9){${}_v$}

%coordonnees
\put(0,0){\circle*{.15}}
\put(0,-.3){${}_0$}

\put(1,0){\circle*{.15}}
\put(1,-.3){${}_1$}

\put(2,0){\circle*{.03}}
\put(2,-.3){${}_2$}

\put(-.3,1){${}_1$}

\put(1,1){\circle*{.15}}

\put(2,1){\circle*{.15}}

\multiput(0,.5)(.2,-.2){3}{\circle*{.03}}
\multiput(0,1)(.2,-.2){5}{\circle*{.03}}

\multiput(0,1.5)(.2,-.2){7}{\circle*{.03}}
\multiput(0,2)(.2,-.2){8}{\circle*{.03}}
\multiput(0,2.5)(.2,-.2){9}{\circle*{.03}}
\multiput(.2,2.8)(.2,-.2){9}{\circle*{.03}}
\multiput(.6,2.9)(.2,-.2){7}{\circle*{.03}}

\thicklines
\put(0,0){\line(1,0){1}}
\put(1,0){\line(1,1){1}}
\put(2,1){\line(0,1){2}}

\end{picture}
\end{center}
\end{minipage}

\par\noindent
\[\arraycolsep4pt
{dY\over dx}= \begin{bmatrix}
0& 1\\
{1/ x^{3}}& -({1/ x}+{1/ x^
{2}})
\end{bmatrix}
Y
\qquad\mbox{où }\quad
Y=\begin{bmatrix}
y\\ y'
\end{bmatrix}.
\tag*{$[E_{1}]$}
\]

\medskip
\hspace*{.1\textwidth}\hrulefill\hspace*{.1\textwidth}

\medskip
\begin{center}
Exemple 2: Équation d'Euler-bis; la singularité
$x_{0}=0$ est irrégulière de~niveau~$2$.
\end{center}
\noindent
\begin{minipage}[t]{.7\textwidth}
\[
{x^{3}\over 2}y'+ y = x^{2}
\]
Elle est obtenue à partir de l'équation d'Euler par
le changement de variable $x\mapsto x^{2}$. Sous forme
homogène elle s'écrit
\[
x^{4}y''+ (x^{3}+2x)y'-4y=0\tag*{$(E_2)$}
\]
et sous forme de système
\[\arraycolsep4pt
{dY\over dx} = \left[
\begin{array}{cc}
0& 1\\
{4/ x^{4}}& {-({1/ x}+{2/ x^{3}})}
\end{array}
\right]Y.
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.25\textwidth}
\mbox{ }

\begin{center}
\begin{picture}(2.5,4)(0,0)
%axe horizontal
\put(0,0){\vector(1,0){2.5}}
\put(2.4,-.3){${}_u$}

%axe vertical
\put(0,0){\vector(0,1){4}}
\put(-.3,3.9){${}_v$}

%coordonnees
\put(0,0){\circle*{.15}}
\put(0,-.3){${}_0$}

\put(1,0){\circle*{.15}}
\put(1,-.3){${}_1$}

\put(2,0){\circle*{.03}}
\put(2,-.3){${}_2$}

\put(-.3,1){${}_1$}

\put(-.3,2){${}_2$}

\put(1,2){\circle*{.15}}

\put(2,2){\circle*{.15}}

\multiput(0,.5)(.2,-.2){3}{\circle*{.03}}
\multiput(0,1)(.2,-.2){5}{\circle*{.03}}

\multiput(0,1.5)(.2,-.2){6}{\circle*{.03}}
\multiput(0,2)(.2,-.2){7}{\circle*{.03}}
\multiput(0,2.5)(.2,-.2){8}{\circle*{.03}}
\multiput(0,3)(.2,-.2){9}{\circle*{.03}}
\multiput(0,3.5)(.2,-.2){10}{\circle*{.03}}
\multiput(.2,3.8)(.2,-.2){9}{\circle*{.03}}

\multiput(.6,3.9)(.2,-.2){7}{\circle*{.03}}

\thicklines
\put(0,0){\line(1,0){1}}
\put(1,0){\line(1,2){1}}
\put(2,2){\line(0,1){2}}

\end{picture}
\end{center}
\end{minipage}
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}

\bigskip
\hrule
\end{figure}

\begin{figure}[p]
\hbox{\vrule height .4pt depth
0pt width \textwidth}

\begin{center}
\bfseries Exemples commentés dans le texte et dessins de
polygones de Newton
(suite)
\end{center}

\medskip
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape
\begin{center}
Exemple 3: Équation de Ramis-Sibuya;\\
la singularité
$x_{0}=0$ est irrégulière des niveaux $1$ et $2$.
\end{center}

\noindent
\begin{minipage}[t]{.6\textwidth}
\[
Dy =4x+2x^{2}+10x^{3}-3x^{4}
\]
où
\begin{align*}
D=x^{5}(2&-x){d^{2}\over dx^{2}}\\
&+x^{2}(4+5x^{2}-2x^{3}){d\over dx}+2(2-x+x^{2})
\end{align*}
Sous forme homogène elle s'écrit
\[
D_{3}y=0 {\qquad \rm avec}\tag*{$(E_3)$}
\]
\begin{align*}
D_{3}&= (8x^{6}+18x^{8}-16x^{9}+3x^{10}){d^
{3}\over dx^{3}}\\
&+(16x^{3}+\cdots+12x^{9}){d^{2}\over
dx^{2}}\\
&+(16x+\cdots+6x^{8}){d\over
dx}+(-16+\cdots+12x^{5}).
\end{align*}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.33\textwidth}
\mbox{ }

\begin{center}\setlength{\unitlength}{.9cm}
\begin{picture}(3,7)(0,0)
%axe horizontal
\put(0,0){\vector(1,0){3.5}}
\put(3.4,-.3){${}_u$}

%axe vertical
\put(0,0){\vector(0,1){7.5}}
\put(-.3,7.4){${}_v$}

%coordonnees
\put(0,0){\circle*{.15}}
\put(0,-.3){${}_0$}

\put(1,0){\circle*{.15}}
\put(1,-.3){${}_1$}

\put(2,0){\circle*{.03}}
\put(2,-.3){${}_2$}

\put(3,0){\circle*{.03}}
\put(3,-.3){${}_3$}

\put(0,1){\circle*{.15}}
\put(-.3,1){${}_1$}
\put(1,1){\circle*{.15}}
\put(2,1){\circle*{.15}}

\put(0,2){\circle*{.15}}
\put(-.3,2){${}_2$}
\put(1,2){\circle*{.15}}
\put(2,2){\circle*{.15}}

\put(0,3){\circle*{.15}}
\put(-.3,3){${}_3$}
\put(1,3){\circle*{.15}}
\put(2,3){\circle*{.15}}
\put(3,3){\circle*{.15}}

\put(0,4){\circle*{.15}}
\put(-.3,4){${}_4$}
\put(1,4){\circle*{.15}}
\put(2,4){\circle*{.15}}
\put(3,4){\circle*{.15}}

\put(0,5){\circle*{.15}}
\put(-.3,5){${}_5$}
\put(1,5){\circle*{.15}}
\put(2,5){\circle*{.15}}
\put(3,5){\circle*{.15}}

\put(-.3,6){${}_6$}
\put(1,6){\circle*{.15}}
\put(2,6){\circle*{.15}}
\put(3,6){\circle*{.15}}

\put(-.3,7){${}_7$}
\put(1,7){\circle*{.15}}
\put(2,7){\circle*{.15}}
\put(3,7){\circle*{.15}}

\multiput(0,.5)(.2,-.2){3}{\circle*{.03}}
\multiput(0,1)(.2,-.2){5}{\circle*{.03}}

\multiput(0,1.5)(.2,-.2){7}{\circle*{.03}}
\multiput(0,2)(.2,-.2){8}{\circle*{.03}}
\multiput(0,2.5)(.2,-.2){9}{\circle*{.03}}
\multiput(0,3)(.2,-.2){10}{\circle*{.03}}
\multiput(0,3.5)(.2,-.2){11}{\circle*{.03}}
\multiput(0,4)(.2,-.2){12}{\circle*{.03}}
\multiput(0,4.5)(.2,-.2){13}{\circle*{.03}}
\multiput(0,5)(.2,-.2){14}{\circle*{.03}}
\multiput(0,5.5)(.2,-.2){14}{\circle*{.03}}
\multiput(0,6)(.2,-.2){15}{\circle*{.03}}
\multiput(0,6.5)(.2,-.2){15}{\circle*{.03}}
\multiput(.2,6.8)(.2,-.2){14}{\circle*{.03}}
\multiput(.2,7.3)(.2,-.2){14}{\circle*{.03}}

\multiput(.6,7.4)(.2,-.2){12}{\circle*{.03}}

\thicklines
\put(0,0){\line(1,0){1}}
\put(1,0){\line(1,1){1}}
\put(2,1){\line(1,2){1}}
\put(3,3){\line(0,1){4.5}}

\end{picture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip
\hspace*{.1\textwidth}\hrulefill\hspace*{.1\textwidth}

\medskip
\begin{center}
Exemple 4: Équation d'Airy; la singularité $x_{0}=0$ est
irrégulière de niveau ${3/ 2}$.
\end{center}

\smallskip

\noindent
\begin{minipage}[t]{.7\textwidth}
\[
y''-zy=0
\]
Traditionnellement
son point singulier est placé à l'infini. On le
ramène à l'origine par le changement de variable
$z={1/ x}$. Elle s'écrit alors
$$
x^{5}y''+2x^{4} y'-y=0. \leqno ({ E_{4}})
$$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.25\textwidth}
\mbox{ }

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{.9cm}
\begin{picture}(2.5,4)(0,0)
%axe horizontal
\put(0,0){\vector(1,0){2.5}}
\put(2.4,-.3){${}_u$}

%axe vertical
\put(0,0){\vector(0,1){4.5}}
\put(-.3,4.4){${}_v$}

%coordonnees
\put(0,0){\circle*{.15}}
\put(0,-.3){${}_0$}

\put(1,0){\circle*{.03}}
\put(1,-.3){${}_1$}

\put(2,0){\circle*{.03}}
\put(2,-.3){${}_2$}

\put(-.3,1){${}_1$}

\put(-.3,2){${}_2$}

\put(-.3,3){${}_3$}

\put(1,3){\circle*{.15}}

\put(2,3){\circle*{.15}}

\multiput(0,1)(.2,-.2){2}{\circle*{.03}}

\multiput(0,1.5)(.2,-.2){3}{\circle*{.03}}
\multiput(0,2)(.2,-.2){4}{\circle*{.03}}
\multiput(0,2.5)(.2,-.2){5}{\circle*{.03}}
\multiput(0,3)(.2,-.2){6}{\circle*{.03}}
\multiput(0,3.5)(.2,-.2){7}{\circle*{.03}}
\multiput(0,4)(.2,-.2){8}{\circle*{.03}}
\multiput(.2,4.3)(.2,-.2){8}{\circle*{.03}}

\multiput(.6,4.4)(.2,-.2){7}{\circle*{.03}}
\multiput(1,4.5)(.2,-.2){5}{\circle*{.03}}

\thicklines
\put(0,0){\line(2,3){2}}
\put(2,3){\line(0,1){1.5}}

\end{picture}
\end{center}
\vspace*{\baselineskip}
\end{minipage}

\noindent
Les niveaux, contrairement aux apparences ici, ne sont pas
les pentes non nulles du polygone de Newton de
l'équation ou du système lui-même. Ce sont
exactement les pentes du polygone de
Newton d'un système associé dit système des
endomorphismes. Mais on peut déjà les deviner sur le
polygone de Newton de l'équation elle-même.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}

\bigskip
\hrule
\end{figure}

Mais on obtient le
résultat espéré en leur adjoignant simplement des
puissances de $x$ et des logarithmes. De façon
précise le système différentiel admet une
solution fondamentale de la forme $Y(x) = F(x)x^{L}$
où $F(x)$ est une matrice inversible à coefficients
séries formelles ou séries méromorphes formelles
et où $L$ est une matrice constante. On note $x^{L}:=
e^{L\log(x)}$.

On peut imposer, si on le désire,
que la matrice $L$, appelée \emph{matrice des exposants
de monodromie formelle} soit sous forme de Jordan. Nous
notons désormais par la même lettre $Y$ aussi bien
le vecteur inconnu qu'une matrice fondamentale de
solutions, le contexte ne prêtant jamais à
confusion.

Une propriété remarquable de ces solutions est que
toutes les séries formelles contenues dans $F$ sont
convergentes. Ici encore, elles convergent dans un même disque de centre $0$ dès que celui-ci ne
contient pas d'autre point singulier que $0$. Par
ailleurs, l'expression formelle $x^{L}$ est une vraie
fonction multivaluée c'est-à-dire une fonction
définie non pas sur $\CC$ mais sur la surface de Riemann
du logarithme au voisinage de $0$. Ainsi, l'expression
$$
Y(x) = F(x)x^{L}
$$
définit une solution fondamentale analytique au
voisinage de $0$ ($0$ exclu) sur la surface de Riemann du
logarithme. Les autres solutions fondamentales sont
toutes les matrices de la forme $Z(x) = Y(x)C$ avec $C$
matrice constante inversible.

\subsection{Étude locale au point singulier irrégulier
\texorpdfstring{$x_{0}=0$}{x0}}

La situation dans ce cas est beaucoup plus compliquée.
Elle fait apparaître des phénomènes nouveaux
désignés globalement sous le nom de {\it
phénomène de Stokes} et qui se traduisent dans la
réalité par des dilatations ou des
compressions brutales alors même que les quantités
étudiées sont très régulières puisqu'analytiques. Les avatars techniques de ce phénomène
sont d'une part que la variable $x$ ne suffit plus
toujours aux calculs {---} il faut en prendre une racine
$t = x^{1/ \nu}$ {---}, d'autre part que les séries
entières qui apparaissent dans les calculs sont en
général divergentes.
Mentionnons que le degré de ramification $\nu$ est
facile à \og lire\fg sur le polygone de Newton: c'est le
p.p.c.m. des dénominateurs des pentes non nulles des
différents côtés du polygone de Newton. En
particulier, il divise $n!$. Lorsque $\nu =1$ on dit
qu'on est dans \emph{le cas sans ramification} et lorsque
$\nu \neq 1$ dans \emph{le cas avec ramification}.

Ce phénomène s'accompagne
d'une grande instabilité numérique au voisinage du
point singulier qui exclut toute approche numérique de
tels points singuliers de l'extérieur. C'est pourquoi, si
l'on veut analyser en détail ce qui se passe à
proximité de ces points on est amené à la démarche
opposée qui consiste à commencer par une étude
formelle c'est-à-dire une étude au point singulier
lui-même puis à concrétiser les solutions
formelles en de vraies fonctions solutions qui nous
permettent de nous éloigner du point singulier. C'est
ainsi que nous avons présenté l'étude dans le cas
où $0$ est un point ordinaire ou singulier régulier,
la concrétisation des solutions formelles se faisant
alors naturellement et globalement sur tout un voisinage
de $0$ en remplaçant les séries formelles obtenues
par leur somme au sens usuel du terme. Dans le cas d'un
point singulier irrégulier celles des séries à
sommer qui sont divergentes n'admettent pas, par
définition, de somme sur un vrai voisinage de $0$. Il
faut introduire une sommation directionnelle
c'est-à-dire sur des secteurs de sommet $0$ et de
bissectrice une direction donnée. Dans le cas de
séries convergentes la série apparaît comme le
développement de Taylor de sa somme. Il est naturel de
demander aux séries divergentes à sommer d'être
de même le développement de Taylor
de leur \og somme\fg: on dit alors \emph{développement
asymptotique}.

Dans le cas de séries convergentes la somme est unique
et vérifie automatiquement les mêmes équations
différentielles que la série. Dans le cas de
séries divergentes l'unicité n'est jamais assurée
et les contraintes différentielles ne sont pas
automatiquement transmises. Il~est légitime de
vouloir imposer aux sommes de satisfaire aux mêmes
équations différentielles que les séries qu'elles
sont supposées concrétiser. Ce faisant on n'acquiert
pas nécessairement l'unicité même par des choix
adaptés des secteurs d'asymptoticité et on perd
l'existence dès lors que les secteurs deviennent trop
gros. Mais comme toujours, le plus gênant dans la
théorie est le défaut d'unicité qui contraint à
d'autres critères de choix, mais quels critères?
Nous décrivons dans la deuxième partie
une solution possible et depuis peu
unanimement privilégiée à ce problème de
sommation pour les séries divergentes provenant de
systèmes différentiels linéaires méromorphes. Ce
problème qui doit de façon substantielle son
avancement à divers auteurs, J.-P.\,Ramis, B.\,Malgrange,
J.\,Martinet, Y.\,Sibuya, pour n'en citer que quelques uns, a
atteint la fin d'une étape avec la théorie de la
résurgence et de l'accélération de J.\,Ecalle dans
les années 1985-90. Ce sont les formules intégrales
qui résultent de cette théorie dans le cas linéaire
que nous décrivons dans cette deuxième partie. Mais
auparavant, nous terminons la première partie avec la
description des solutions formelles et
des formes particulières qu'on peut leur donner pour
faciliter la démonstration de leur sommabilité.

Un résultat classique, connu depuis le début du
siècle (Poincaré, Fabry) affirme qu'un système
différentiel linéaire admet une solution
fondamentale de la forme
$$
\widehat Y=\widehat \phi t^{\nu L}e^{Q(1/t)}
$$
où $\nu$ est le degré de ramification défini
ci-dessus $(t^{\nu}=x)$, $Q= \diag (q_{1},q_{2},\dots,q_{n})$ est une matrice
diagonale dont les termes diagonaux sont des polynômes de la variable $1/t$ sans terme constant, où~$L$
est la matrice constante des exposants
de monodromie formelle et où~$\widehat \phi$ est une
matrice inversible à coefficients séries formelles
en $t$.

\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape
\par\noindent
Le système compagnon de l'équation d'Euler admet
pour solution fondamentale formelle
\[
\arraycolsep4pt
\widehat Y = \widehat \phi (x)e^{Q}, \quad Q=\begin{bmatrix}
{1/ x}& 0\cr
0& 0
\end{bmatrix}, \quad\widehat\phi (x)=\begin{bmatrix}
1& \widehat f_{1}\cr
-{1/ x^{2}}& \widehat f'_{1}
\end{bmatrix}
\]
avec $\widehat f_{1}={\sum_{n\geq0}}(-1)^{n} n! x^{n+1}$ et $ \widehat f'_{1}$ la série
dérivée de $\widehat f_{1}$.

La série $\widehat f_{1}$ est la série d'Euler
c'est-à-dire l'unique solution formelle de
l'équation d'Euler $x^{2}y'+y = x$ qui vérifie $y(0)
=0$.

Cet exemple appartient au cas sans ramification: il
n'est pas nécessaire d'introduire une variable $t$,
racine de $x$ ($\nu =1$).
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}
\renewcommand{\figurename}{Exemple}
\caption{Équation d'Euler}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape
\par\noindent
Le système compagnon de l'équation d'Airy admet
pour solution fondamentale formelle
$$
\widehat Y =\begin{bmatrix}
A& B\cr
A'& B'\cr
\end{bmatrix}
$$
où $A$ et $B$ sont les \og séries\fg d'Airy, $A'$ et
$B'$ leur dérivée par rapport à $x$,
c'est-à-dire, en notant $t=x^{1/2}$:
\begin{align*}
A& = \biggl({\sum_{n\geq 0}}(-1)^
{n}a_{n}t^{3n}\biggr)t^{-{1/ 2}}\exp\bigl(-{2/ 3t^{3}}\bigr)\\ \\
B& = \biggl({\sum_{n\geq
0}}a_{n}t^{3n}\biggr)t^{-{1/ 2}}\exp\bigl({2/ 3t^{3}}\bigr)
\end{align*}
avec $a_{0} = 1$ et pour $n\geq 1$,
\begin{align*}
a_{n} &={(2n+1)(2n+3)\,\cdots\, (6n-1)\over 144^{n}n!}\\
& = {1\over
2\pi}\left({3/4}\right)^{n}{1\over
n!}\Gamma(n+{5/ 6})\Gamma(n+{1/ 6}).
\end{align*}
Cet exemple appartient au cas avec ramification avec pour
ordre de ramification $\nu =2$.

On a $L =0$ et
$Q=\begin{bmatrix}
-{2/ 3t^{3}}& 0\cr
0& {2/ 3t^{3}}
\end{bmatrix}$.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}
\renewcommand{\figurename}{Exemple}
\setcounter{figure}{3}
\caption{Équation d'Airy}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

Une amélioration relativement récente de ce
résultat \cite{BJL79} permet de supprimer la ramification
dans le facteur série formelle $\widehat \phi$ par un choix
adéquat de la matrice $L$.

\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape
\par\noindent
Le système compagnon de l'équation d'Airy admet
pour solution fondamentale formelle
$$
\widehat Y = \widehat F(x)x^{J}Ue^{Q}
$$
où $Q$ est comme précédemment,
où
\[\arraycolsep4pt
U= \begin{bmatrix}
1& 1\cr
1& -1\cr
\end{bmatrix},
\quad J= \begin{bmatrix}
1/4& 0\cr
0& 3/4\cr
\end{bmatrix},\quad
\widehat F =\begin{bmatrix}
\wh F_1&\wh F_2\\\wh F_3&\wh F_4\end{bmatrix}
\]
avec
\begin{align*}
\wh F_1&=\sum_{n\geq 0}a_{2n}x^{3n}\\
\wh F_2&= \sum_{n\geq
0}-a_{2n+1}x^{3n+1}\\
\wh F_3&={1\over x}\sum_{n\geq 0}\bigl(-a_{2n+1}+
(3n+{1/ 4})a_{2n}\bigr)x^{3n}\\
\wh F_4&={1\over x^3}\biggl(a_0
+\sum_{n\geq
0}\bigl(a_{2n+2}-(3n+{7/ 4})a_{2n+1}\bigr)x^
{3n+3}\biggr)\end{align*}
Seul le facteur $e^{Q}$ contient la variable ramifiée
$t$; les séries sont de vraies séries formelles en
$x$.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}
\renewcommand{\figurename}{Exemple}
\setcounter{figure}{3}
\caption{Équation d'Airy}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

La détermination des solutions formelles est
algorithmique: pour déterminer les polynômes
$q_{1},\dots,q_{n}$ de la diagonale de $Q$ on résout les
équations caractéristiques du système. Ces
équations associées à chaque côté oblique du
polygone de Newton généralisent les classiques
équations caractéristiques des équations
différentielles à coefficients constants. Les exposants
de monodromie formelle s'obtiennent par la méthode de
Frobenius \cite{For}: les valeurs propres sont les racines
des équations indicielles associées au côté
horizontal de divers polygones de Newton; les
logarithmes qui peuvent apparaître lorsque certaines
de ces valeurs propres diffèrent d'un entier sont plus
difficiles à déterminer. Par identification on obtient
enfin les coefficients des séries formelles comme
solutions d'équations de récurrence linéaires.

\subsection{Forme normale}

Supposons que $\widehat Y = \widehat \phi (x) x^{L}e^{Q(1/t)}$
soit une solution fondamentale formelle dans laquelle le
facteur $\widehat \phi(x)$ soit non ramifié. Alors le
système $$
{dY\over dx}=A_{0}Y \leqno [A_{0}]
$$
qui admet la matrice $Y_{0}=x^{L}e^{Q(1/t)}$ pour
solution fondamentale est à coefficients méromorphes.
On l'appelle \emph{une forme normale} du système
considéré. Et le facteur $\widehat \phi (x)$ est une
solution du système différentiel linéaire
méromorphe de dimension $n^{2}$
$$
{dF\over dx} = A(x)F-FA_{0}(x) \leqno [A_{0};A]
$$

\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape
\par\noindent
Sans précautions particulières le facteur $\widehat \phi$
qui relie le système $[A_{0}]$ au système $[A]$ n'est
pas unique même si on lui impose une valeur initiale
en~$0$. Ainsi le système
\[\arraycolsep4pt
\frac{dY}{dx} = AY,\quad A =
\begin{bmatrix}
-k/x& 0\cr
0& 0\cr
\end{bmatrix},\quad k\in \NN,
\]
qui a pour solution
fondamentale
\[\arraycolsep4pt
Y_{0} = x^{L},\quad L =
\begin{bmatrix}
-k& 0\cr
0& 0\cr
\end{bmatrix}
\]
peut être choisi comme forme normale. Le
système de passage est alors $[A;A]: {dY/
dx} = FA-AF$ et il admet les deux solutions
linéairement indépendantes
\[\arraycolsep4pt
\widehat \phi = I
\text{ (l'identité)}\quand \widehat \phi = I+\begin{bmatrix}
0& 0\cr
x^{k}& 0\cr
\end{bmatrix}
\]
qui toutes deux vérifient la condition initiale
$\widehat \phi(0) =I$.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}
\par\medskip
\centerline{\smaller Contre-exemple d'unicité}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

\subsection{Forme préparée}

Un changement linéaire d'inconnue $X = PY$ à
coefficients méromorphes n'affecte ni la convergence ni
la sommabilité des séries apparaissant dans les
solutions formelles. Et un tel changement permet de
modifier arbitrairement un nombre arbitrairement grand de
termes dans $\widehat \phi (x)$. En particulier, on peut
toujours se ramener au cas où $\widehat \phi$ s'écrit $\widehat
\phi (x) = I + O(x^{p})$ avec $p$ entier quelconque fixé
à l'avance. Nous notons $\widehat F$ le facteur $\widehat \phi$
ainsi normalisé.

Il est en outre possible de
normaliser la forme normale $[A_{0}]$ de telle sorte
que le système $[A_{0};A]$ admette une solution série
formelle~$\widehat F$ déterminée de manière unique par
la condition initiale $\widehat F(0) = I$. L'idée consiste
à réduire les valeurs propres de $L$ modulo les
entiers ($0\leq {\rm Re} \lambda \leq 1$) par un
changement linéaire d'inconnue qui multiplie~$Y_{0}$
à gauche par des puissances convenables de $x$. Ainsi, le
contre-exemple ci-dessus n'a plus cours.

\subsection{Phénomène de Stokes}

Notons $\check \phi (x) x^{\check L}e^{\check Q}$ une
solution fondamentale formelle du système $[A_{0};A]$
de dimension $n^{2}$. Les polynômes~$\check q$ non
nuls de la diagonale de $\check Q$ sont exactement les
polynômes $q_{j}-q_{\ell}$ pour tous les couples
$(q_{j},q_{\ell})$, $q_{j}\neq q_{\ell}$ extraits de la
diagonale de $Q$. Ce sont ces polynômes qui jouent le
rôle fondamental dans le phénomène de Stokes.
Leurs degrés sont appelés \emph{les niveaux} du
système. Les directions pour lesquelles l'une des
exponentielles $e^{\check q}$ au moins est à
décroissance maximale (le terme dominant de $\check q
(1/x)$ est réel négatif) sont appelées les {\it
directions anti-Stokes} du système. Celles pour
lesquelles le terme dominant est purement imaginaire sont
appelées les \emph{directions de Stokes} du système.

\begin{figure}[hb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape
\par\noindent
L'équation différentielle
$$
x^{2}y'-y=0
$$
admet la série nulle $\widehat f (x) =0$ comme solution
formelle.

La fonction nulle $f_{1}(x) \equiv 0$ et la
fonction $f_{2}(x) = \exp (-1/x)$ sont toutes deux
des solutions de cette équation asymptotiques à $\widehat
f$ sur le demi-plan ${\rm Re}\, x>0$. Mais lorsqu'on
franchit l'un ou l'autre des demi-axes imaginaires, alors
que $f_{1}$ reste asymptotique à $0$, la fonction
$f_{2}$ devient fortement non bornée puisqu'à
croissance exponentielle. Numériquement, pour $x$ proche
de l'origine dans le demi-plan ${\rm Re}\, x >0$ les deux
fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ sont indiscernables mais leurs
prolongements analytiques apparaissent comme fort
différents.

Ceci explique les difficultés
rencontrées lors de la résolution numérique
des équations différentielles: des
erreurs exponentiellement petites se transforment tout
naturellement en des erreurs exponentiellement grandes !
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}
\par\noindent
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

Les directions anti-Stokes sont celles qui régissent
le phénomène de Stokes: nous verrons que les sommes de
$\widehat F$ déterminées suivant deux directions voisines
se recollent analytiquement sur leur domaine commun de
définition, sauf éventuellement quand ces deux
directions sont situées de part et d'autre d'une
direction anti-Stokes; on dit alors que cette direction
anti-Stokes est une \emph{direction singulière} pour~$\widehat F$.

Les directions de Stokes sont les directions en
lesquelles se manifeste le phénomène de Stokes:
c'est en franchissant ces directions qu'une \og solution\fg
$F(x)$ asymptotique à $\widehat F$, donc parfaitement
bornée, peut présenter brutalement une forte croissance
exponentielle qui sera instantanément signalée par un
\og overflow\fg sur votre ordinateur ! La raison en est la
possible présence d'exponentielles $e^{\check q}$
asymptotiquement indiscernables tant que celles-ci sont
plates (asymptotiques à la série nulle) et qui
apparaissent brutalement lorsqu'elles cessent d'être
plates, précisément lorsqu'on traverse une direction de
Stokes.

\part*{Deuxième partie}

Nous nous proposons maintenant de décrire des formules
de sommation pour les séries formelles $\widehat F$ qui
apparaissent dans la résolution formelle en $0$ de
systèmes différentiels linéaires méromorphes.
Seul pose problème le cas des séries divergentes.
Nous avons vu qu'alors~$0$ est nécessairement un point
singulier irrégulier du système différentiel
considéré et que la sommation est nécessairement
polarisée: dans chaque direction $\theta$ sauf un
nombre fini de directions singulières qui sont des
directions anti-Stokes on définit un opérateur de
sommation~$S_{\theta}$. Ceci signifie que la fonction
$S_{\theta}(\widehat F)$ est définie sur un secteur
contenant $\theta$, qu'elle y est asymptotique à $\widehat
F$ et que substituée à $\widehat F$ dans la solution
formelle elle en fait une vraie solution du système. Ces
opérateurs sont en outre des homomorphismes d'algèbres
différentielles (\cf \cite{Ra91}).

Dans une direction singulière, on peut considérer deux
opérateurs naturels, un opérateur à gauche
$S_{\theta}^{-}$ défini par la sommation
$S_{\theta+\epsilon}$ à gauche de $\theta$ et
\og arbitrairement\fg proche de $\theta$ et un opérateur à~droite~$S_{\theta}^{+}$ défini par la sommation
$S_{\theta-\epsilon}$ à droite de $\theta$ et
\og arbitrairement\fg proche de $\theta$. La matrice faisant
passer de la solution obtenue par sommation à gauche à
celle obtenue par sommation à droite est appelée une
\emph{matrice de Stokes}. Plus précisément, si $\widehat Y
= \widehat F Y_{0}$ est une solution fondamentale formelle et
$\theta$ une direction singulière, on a une relation du
type
$$
S_{\theta}^{+}(\widehat F)Y_{0,\theta} = S_{\theta}^
{-}(\widehat F)Y_{0,\theta} C_{\theta}$$
où $Y_{0,\theta}$ est la vraie fonction associée à
la solution formelle $Y_{0}$ de la forme normale par le
choix d'un argument (on choisit en général l'argument
principal\ $0\leq \theta <2\pi$). La matrice constante
inversible $C_{\theta}$ est la matrice de Stokes
(principale) de $\widehat Y$ dans la direction $\theta$.

\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}\par
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape\par
L'équation d'Euler admet pour solution
formelle la série d'Euler
$$
\widehat f_{1}(x) = \sum_{n\geq 0}(-1)^{n} n!
x^{n+1}. $$
Cette série est divergente et ses coefficients ont une
croissance de type $n!A^{n}$ (avec ici $A = 1$): on dit
que cette série est \emph{Gevrey de niveau $1$}. Nous allons
voir qu'elle est même \emph{$1$-sommable}.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}

\renewcommand{\figurename}{Exemple}
\setcounter{figure}{0}
\caption{Équation d'Euler}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}



On montre que pour une forme normale donnée la famille
des matrices de Stokes en les différentes directions
singulières caractérise la singularité à
changement d'inconnue $Y=PX$ linéaire méromorphe
près. Nous n'abordons pas dans ce qui suit ces questions
de classification des singularités. Nous nous bornons
à décrire les opérateurs de sommation $S_{\theta}$.
Ces opérateurs dépendent des niveaux du système que
nous supposons entiers (cas sans ramification). En effet,
le changement de variable $t=x^{1/\nu}$ multiplie les
niveaux par $\nu$; on peut donc toujours se ramener au
cas sans ramification.

\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}\par
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape\par
L'équation d'Euler-bis admet pour
solution formelle la série d'Euler-bis
$$
\widehat f_{2}(x) = \sum_{n\geq0} (-1)^{n} n!
x^{2n+2} $$
Cette série est divergente mais ses coefficients ont une
croissance beaucoup moins rapide puisque de type
$\sqrt{n!}\,A^{n}$ (avec $A=1$): on dit que cette série
est \emph{Gevrey de niveau $2$}. Elle n'est pas $1$-sommable
mais elle est \emph{$2$-sommable}.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}
\renewcommand{\figurename}{Exemple}
\caption{Équation d'Euler-bis}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

Avant d'expliciter ces opérateurs nous introduisons les
outils sur lesquels ils reposent.

\begin{figure}[hb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}\par
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape\par
L'équation de Ramis-Sibuya admet pour
solution formelle la série
$$
\widehat f_{3}=\widehat f_{1} + \widehat f_{2}
$$
somme de la série d'Euler et de la série d'Euler-bis.
Comme $\widehat f_{1}$ et $\widehat f_{2}$ elle est Gevrey de
niveau~$1$ mais elle n'est pas de niveau~$2$. Elle n'est ni
$1$-sommable ni $2$-sommable mais elle est {\it
$(1,2)$-sommable}.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}

\renewcommand{\figurename}{Exemple}
\caption{Équation de Ramis-Sibuya}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

\subsection{Transformée de Borel formelle d'une série \texorpdfstring{$\widehat
f=\sum_{p\geq 0}f_{p}x^{p+1}$}{serie} sans terme
constant}
On pose
$$\widehat {\cal B}{\widehat f}(x):=\sum_{p\geq
0}{f_p \over \Gamma (p+1)}\,\xi^{p} \qquad
\Gamma (p+1)=p!$$

\subsection{Transformée de Borel dans la direction \texorpdfstring{$\theta$
d'une fonction~$f$ définie près de $0$ sur un secteur
de sommet $0$ bissecté par $\theta$ et d'ouverture
$\omega > \pi$}{theta}}
On pose (voir la figure~1)
$$
{\cal B}_\theta f(\xi):= {1\over
2i\pi}\int_{\gamma}f(x)e^{\xi/x}{dx\over x^2} $$
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=1.8]{xups91-02_fig1}}
\setcounter{figure}{0}
\caption{}
\end{figure}

On notera aussi ${\cal B}_\theta ={\cal B}_{1;\theta}$
pour indiquer le niveau~$1$.
Pour $f(x) = x^{p+1}$ on a ${\cal B}f(\xi)=({1/
\Gamma(p+1)})\xi^p$ (c'est la formule de Hankel).

La transformée de Borel d'une constante nécessite
une définition particulière: on est conduit à
prendre pour transformée de Borel, formelle ou non, de
1 la distribution $\delta$ de Dirac à l'origine. On
fait ainsi correspondre à l'élément neutre 1 de la
multiplication, l'élément neutre $\delta$ du produit
de convolution. Mais on peut toujours si on le désire
éliminer les constantes.

Sous de bonnes hypothèses qui seront réalisées
pour les séries provenant de systèmes de niveau~$1$, la
série $\widehat {\cal B}{\widehat f}(x)$ est convergente (\ie.
$\widehat f$ est Gevrey de niveau~$1$) et elle peut être
prolongée analytiquement jusqu'à l'infini dans
certaines directions $\theta$, plus précisément à
certains secteurs de sommet $0$ contenant la direction
$\theta$. On peut de même prolonger la transformée
de Borel ${\cal B}_\theta f(x)$ de certaines fonctions
$f$. Par abus, nous noterons encore ${\cal B}_\theta f$ ou
$\widetilde f$ cette fonction prolongée et nous la
désignerons encore par transformée de Borel de $\widehat f$
ou de $f$ dans la direction $\theta$.

\subsection{Transformée de Laplace dans la direction \texorpdfstring{$\theta$
d'une fonction $f$ définie sur la demi-droite
$d_{\theta}$ issue de $0$ et de direction~$\theta$}{theta}}
On pose (voir la figure~2)
$$
{\cal L}_{\theta}(f)(x):= \int_{d_{\theta}}f(\xi)e^
{-\xi /x}d\xi.
$$
\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hfill
\begin{minipage}[b]{.48\textwidth}
\centerline{\includegraphics[scale=1.2]{xups91-02_fig2a}}
\begin{center}
$\module{f(\xi)}\leq C_{}^{te}\exp(a\module{\xi})$\\
(Plan des $\xi$)
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[b]{.48\textwidth}
\centerline{\includegraphics[scale=1.2]{xups91-02_fig2b}}
\begin{center}
Disque d'analyticité de $\cL_\theta f(x)$\\
(Plan des $x$)
\end{center}
\end{minipage}
\hfill\mbox{}

\caption{}
\end{figure}

Lorsque $f$ est à croissance exponentielle d'ordre 1
sur la demi-droite $d_{\theta}$ la fonction ${\cal
L}_{\theta}(f)(x)$ est définie sur au moins un disque de
diamètre porté par $d_{\theta}$ et contenant $0$ sur
son bord. Plus précisément si $\vert f(\xi)\vert
\leq C^{te}\exp (a\vert \xi \vert)$ ce disque a un
diamètre de longueur $1/a$. On l'appelle un {\it
disque de Borel} dans la direction $\theta$.

\subsection{Opérateurs de ramification \texorpdfstring{$\rho_{k}$ et
$\rho_{1/k}$, $k\in \NN$}{rho}}

Notons $\CC_{x}^{*}$ un exemplaire de $\CC^{*}$ dont
la variable est appelée $x$ et ${\widetilde {{\bf
C}_{x}^{*}}}$ son revê\-te\-ment par les coordonnées
polaires ou surface de Riemann de $\log x$.
L'application
\[
\xymatrix{
\widetilde {\CC_{x}^{*}}\ar[d]&x=t^{1/k}\ar[d]\\
\widetilde {\CC_{t}^{*}}&t=x^k
}
\]
est un changement de variable analytique. L'opérateur
de ramification $\rho_{k}$ est l'action de ce changement
de variable sur les séries ou les fonctions de $x$.
Ainsi on a
$$
\rho_{k}(f)(t)=f(x) \quad {\rm avec} \quad x=t^{1/k}.
$$
L'opérateur réciproque $\rho_{1/k}$ agit sur les
séries ou les fonctions de $t$ et il est défini par
$\rho_{1/k}(\varphi)(x) = \varphi(x^k)$.

\subsection{Opérateurs d'accélération \texorpdfstring{$\brho_{(k,k');\theta}$}{brho}}

Pour $a>1$ on définit le \emph{noyau d'accélération}
${\cal C}_{a}$ de puissance $a$ par
$$
{\cal C}_a (\xi):= {1\over 2i\pi}\int_{\cal H} e^{u-u^
{1/a}\zeta}du $$
où ${\cal H}$ désigne un contour de Hankel \og autour\fg
de $\RR^-$ (voir la figure~3).
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=1]{xups91-02_fig3}}
\caption{}
\end{figure}

\noindent
Les noyaux ${\cal C}_a$ ont dans toute direction
vérifiant $\vert\arg \zeta\vert<(1-{1/
a}){\pi / 2}$, une croissance à l'infini du type
$$
\zeta^{b/2} e^{{1\over b}a^{-b/a}\zeta ^b} \quad\text{où $b$ vérifie} \quad
{1\over a}+{1\over b}=1. \leqno {(*)} $$

Le noyau ${\cal C}_2$ est le seul à être une
fonction classique:
$$
{\cal C}_{2}(\zeta) = {\zeta\over 2 \sqrt{\pi}}\,e^
{-\zeta^{2}/4} $$

Dans le cas où $a$ est rationnel, qui est le seul cas
que nous rencontrerons, les noyaux ${\cal C}_a$ sont des
fonctions $G$ de Meijer. En particulier, ils vérifient
des équations différentielles linéaires.

Les opérateurs d'accélération sont définis par
$$
\brho_{(k,k');\theta}(\varphi)(\tau):= {2i\pi\over
\tau}\int_{d_\theta}{\cal C}_{k'/k}\bigl({\xi/ \tau^
{k/k'}}\bigr)\varphi(\xi)d\xi \qquad (k<k'). $$

On a ${\cal L}_{k'\theta}\circ \rho_{k'/k}\circ {\cal
B}_{k\theta} = \brho_{(k,k');k\theta}$.
Mais alors que l'opérateur écrit au premier membre ne
s'applique qu'aux fonctions à croissance au plus
exponentielle d'ordre 1 à l'infini, l'opérateur
d'accélération au second membre est applicable aux
fonctions à croissance exponentielle d'ordre
$\spfrac{k'}{k'-k}>1$ (\cf formule $(*)$ ci-dessus). C'est
là son intérêt majeur.

On préfère parfois utiliser les \emph{opérateurs
d'accélération \og redressés\fg} définis par
$$
\bmA_{(k,k');\theta}:= \rho_{1/k'}\circ
\brho_{(k,k');k\theta}\circ \rho_k . $$
Ceux-ci sont applicables aux fonctions à croissance
exponentielle à l'infini d'ordre $\kappa$ avec
${1/ \kappa}= {1/ k}-{1/ k'}$. La
justification du qualificatif \og redressé\fg apparaîtra dans les diagrammes qui suivent: ils correspondent
à des flèches horizontales alors que les
opérateurs $\brho$ correspondent à des flèches
obliques.

\Subsection{Quelques propriétés de la transformation de
Borel}

Il s'agit de propriétés communes à la
transformation formelle ou fonctionnelle ainsi qu'au
prolongement analytique.
\par\medskip
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} Fonction ou série $f(x)$& Transformée de Borel $\widetilde
f(\xi)$\hfill\\
\hline \hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $x^{p+1}$, ($p\in\NN$)&$\xi^p/p!$\\
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $1$&$\delta$ (distribution de Dirac)\\
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $x^\alpha$ ($\alpha\in\CC$, $-\alpha\not\in\NN$)&$\xi_{}^{\alpha-1}/\Gamma(\alpha)$\\
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $f\cdot g$&$\widetilde f\ast \widetilde g (\xi)=\int_{0}^{\xi}\widetilde f(t)\widetilde g(\xi-t) dt$\\
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $x^2(d/dx)f(x)$&$\xi\widetilde f(\xi)$\\
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $g(x)=f(x)/x$ avec $g(0)=a_0$&$a_0\delta+(d/d\xi)\widetilde f(\xi)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Subsection{Quelques propriétés de la transformation de
La\-pla\-ce}
\par\medskip
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$}\hfill Fonction $\varphi(x)$\hfill&\hfill Transformée de Laplace $
\cL(\varphi)(x)$\hfill\\
\hline \hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $\varphi\ast \psi(\xi)$&$\cL(\varphi)(x)\cdot \cL(\psi)(x)$\\
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $\int_{0}^{u}\varphi(u)du$&$(1/x)\cL(\varphi)(x)$\\
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $(d/d\xi)\varphi(\xi)$&$\varphi(0)+(1/x)\cL(\varphi)(x)$\\
\hline
\vphantom{${\sum_1^2}$} $\xi\varphi(\xi)$&$x^2(d/dx)\cL(\varphi)(x)$\\
\hline
\end{tabular}
\par\medskip
\end{center}

Nous fixons désormais une forme normale $[A_0 ]$ du
système $[A]$ étudié et une solution fondamentale
normale $Y_{0} =x^L e^Q$ de celui-ci. Il~s'agit de
sommer le facteur série formelle $\widehat F (x)$ d'une
solution formelle $\widehat F Y_0$ de $[A]$. Nous avons vu
que $\widehat F$ est une solution du système de passage
$$
{dF\over dx} = AF-FA_0 \leqno{[A_0;A]}
$$
et qu'on peut imposer $\widehat F (0) =I$.

\Subsection{Sommation dans le cas d'un système de niveau unique
\texorpdfstring{$k=1$}{k1}}

Supposons que le système $[A]$ n'admette qu'un seul
niveau \hbox{$k\!=\!1$}. Alors la série $\widehat F$ est sommable par
le procédé de sommation de niveau~1:
$$
\widehat F (x)\To{{\cal B}_{\theta}} \widetilde F (\xi)\To{\cal L} F(x)
$$
dans toute direction $\theta$ sauf un nombre fini de
directions singulières qui sont des directions
anti-Stokes du système. On dit alors que $\widehat F$ est
\emph{$1$-sommable}.
Domaines de définition de $\widehat F$, $\widetilde F$ et $F$:\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=1.1]{xups91-02_fig4}}
\par
\hspace*{.3cm}$\widehat F$ (Plan des $x$)
\hspace*{.8cm}$\widetilde F$ (Plan des $\xi$)
\hspace*{1.5cm}$F$ (Plan des $x$)
\hspace*{1cm}
\caption{}
\end{figure}

Cet énoncé a le sens suivant:
\begin{enumeratea}
\item
 la transformée de Borel formelle $\widehat
{\cal B}(\widehat F)$ de $\widehat F$ est convergente;

\item
dans une direction $\theta$ quelconque qui n'est
pas une direction anti-Stokes, la somme de la série
$\widehat {\cal B}(\widehat F)$ admet un prolongement analytique
complexe jusqu'à l'infini. Nous le notons ${\cal
B}_\theta (\widehat F ) = \widetilde F$;

\item
$\widetilde F $ est à croissance exponentielle
d'ordre 1 à l'infini au voisinage de la direction
$\theta$, \ie. il existe des constantes $C$ et $\alpha >0$
et des arguments $\theta_1$ et $\theta_2$ avec $\theta_1
\leq \theta \leq \theta_2$ tels que $$
\vert \widetilde F (\xi)\vert \leq C\exp \alpha\vert \xi
\vert $$
pour tout $\xi$ dont l'argument vérifie $\theta_1 \leq
\arg(\xi) \leq \theta_2$;

\item
La transformée de Laplace $F(x) = {\cal
L}_{\theta'} (\widetilde F)(x)$ de $\widetilde F$ existe dans
toutes les directions $\theta'$, $\theta_1 \leq \theta'
\leq \theta_2$ et elle est analytique sur la réunion
${\cal D}_{\theta_1, \theta_2}$ des disques de Borel de
diamètre de longueur $1\over \alpha$ dirigé par
$\theta'$;

\item
la fonction $F$ est asymptotique à $\widehat F$ en
$0$ sur ${\cal D}_{\theta_1 , \theta_2}$ et elle est
solution du système $[A_0;A]$. C'est donc une somme de
$\widehat F$ sur ${\cal D}_{\theta_1 , \theta_2}$.
\end{enumeratea}
Nous donnons en appendice les détails d'une
démonstration de ce résultat dans le cas où la
monodromie formelle $\widehat M = e^{2i\pi L}$ est triviale
\ie. $\widehat M =I$. La démonstration du cas général
est très voisine.

\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}\par
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape\par
La série d'Euler est un exemple
de série sommable de niveau $1$. On pourra remarquer que
la classique méthode de variation de la constante
appliquée à l'équation d'Euler correspond
exactement à ce procédé. Prenons par exemple la
direction $\theta =0$ ou demi-axe réel
positif. Les solutions de l'équation homogène $x^2
y'+y=0$ sont de la forme $y = C^{te} e^{1/x}$. La
méthode de variation de la constante donne directement
la solution
$$
f_1 (x) = \int_0^x e^{1/x} e^{-1/t}\ {dt\over t}
$$
et après le changement de variable $t \mapsto \xi$
défini par ${1/ t}-{1/ x} = {\xi/x}$
$$
f_1 (x) = \int_0^{+\infty} {1\over 1+\xi} e^{-{\xi/
x}}\ d\xi. $$
On obtient donc exactement $f_1 (x) = {\cal L}_0 ({\cal
B}_0 (\widehat f_1)) (x)$ puisque $\widehat{\cal B} (\widehat
f_1)(\xi) = \sum_{n\geq 0} (-1)^n \xi ^n$
et que cette série a pour somme $\spfrac{1}{1+\xi}$.
Observer en outre que, bien que la série $\widehat{\cal B} (\widehat
f_1)$ ait un rayon de
convergence égal à $1$, sa somme peut être prolongée analytiquement
jusqu'à l'infini au voisinage de la
direction $\theta =0$. Cette propriété vaut pour toute direction $\theta$ sauf $\theta
=\pi$ qui est la seule direction singulière de la série
d'Euler.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}
\renewcommand{\figurename}{Exemple}
\setcounter{figure}{0}
\caption{}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

\subsection{Sommation dans le cas d'un système de niveau unique~\texorpdfstring{$k$}{k} quelconque}

Supposons que le système $[A]$ n'admette qu'un seul
niveau $k$. Alors la série $\widehat F$ est sommable par le
procédé de sommation de niveau $k$
$$\xymatrix{
x=t^{1/k}\ar[d]& {\widehat F}(x)\ar[d]_{\rho_k}&&&& F(x)\\
t=x^k& {\widehat f}(t)\ar[rr]^-{{\cal B}_{k\theta}}&& {\widetilde
f}(\tau)\ar[rr]^-{{\cal L}_{k\theta}}&& f(t)\ar[u]_{\rho_{1/k}}
}$$
dans toute direction $\theta$ sauf un nombre fini de
directions singulières qui sont des directions
anti-Stokes du système. On dit alors que $\widehat F$ est
\emph{$k$-sommable}.
\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}\par
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape\par
La série d'Euler-bis est une série $2$-sommable. Ses
directions singulières sont les deux demi-axes
imaginaires. On vérifie aisément qu'on ne peut lui
appliquer le procédé de sommation de niveau~$1$ dans
aucune des directions $\theta \in{} ]-{3\pi/ 4} ,
-{\pi/ 4}[{} \cup{} ]{\pi/ 4} , {3\pi/ 4}[$.
Elle n'est donc pas $1$-sommable \cite{L-R90}. Dans les
autres directions $\theta$ on peut lui appliquer à la
fois le procédé de niveau~$1$ et le procédé de
niveau~$2$. La somme de niveau~$1$ est définie sur un
demi-plan, celle de niveau~$2$ sur un quart de plan tous
deux bissectés par $\theta$. Mais naturellement, sur
la partie commune de leur domaine de définition, les
deux sommes coïncident. Ce phénomène est
général: lorsque dans une direction $\theta$ on peut
appliquer plusieurs des opérateurs de sommation
$S_\theta $ les sommes obtenues coïncident sur la
partie commune de leur domaine de définition.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}
\renewcommand{\figurename}{Exemple}
\caption{}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

On a $\widehat f (t) = \rho_k (\widehat F)(x) = \widehat F (t^
{1/k})$ et $F(x) = f(x^k )$. On peut si on le
préfère rester dans les \og plans\fg des variables $x$
et $\xi$. En notant ${\cal B}_{k; \theta}:=
\rho_{1/k}\circ {\cal B}_{k\theta}\circ\rho_k$ et ${\cal
L}_{k; \theta}:= \rho_{1/k} \circ{\cal
L}_{k\theta}\circ\rho_k$ on a alors le diagramme de
sommation
\[
\xymatrix@C=1.5cm{
{\widehat F}(x)\ar[d]_{\rho_k}\ar[r]^-{{\cal B}_{k; \theta}}&\wt F^k(\xi)\ar[r]^-{{\cal L}_{k; \theta}}\ar@<.5ex>[d]^{\rho_{k}}& F(x)\\
\cbbullet\ar[r]^-{{\cal B}_{k\theta}}&\mbox{ $\cbbullet$ }\ar[r]^-{{\cal L}_{k\theta}}\ar@<.5ex>[u]^{\rho_{1/k}}&\cbbullet\ar[u]_{\rho_{1/k}}
}
\]
(on a $x=t^{1/k}$ et $ \xi=\tau^{1/k}$).
La méthode consiste donc à se ramener au cas de
niveau~$1$ par l'intermédiaire des opérateurs de
ramification~$\rho_k$ et $\rho_{1/k}$.
Domaines de définition correspondants: voir la figure~5.

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=1.1]{xups91-02_fig5a}}
\par
\hspace*{-1cm}$\widehat F$ (Plan des $x$)
\hspace*{.5cm}$\widetilde F$ (Plan des $\xi$)
\hspace*{1.5cm}$F$ (Plan des $x$)
\vspace*{\baselineskip}

\centerline{\includegraphics[scale=1.1]{xups91-02_fig5b}}
\par
\hspace*{-1cm}$\widehat f$ (Plan des $t$)
\hspace*{.5cm}$\widetilde f$ (Plan des $\tau$)
\hspace*{2.5cm}$f$ (Plan des $t$)

\setcounter{figure}{4}
\caption{}
\end{figure}

\subsection{Sommation dans le cas d'un système à deux niveaux~\texorpdfstring{$k_1$ et $k_2$ ($k_1<k_2$)}{kk}}

Supposons que le système $[A]$ admette les deux niveaux
$k_1$ et $k_2$. Alors la série $\widehat F$ est sommable
par le procédé suivant:
\[
\xymatrix{
{\widehat F}(x)\ar[d]_{\rho_{k_1}}&&&& F(x)\\
{\widehat f}(t_1)\ar[r]^-{{\cal B}_{k_1\theta}}&\wt f^1(\tau_1)\ar@{.>}[r]\ar[drr]|(.5)\hole^(.7){\brho_{(k_1,k_2)\string;k_1 \theta}}& \ar@{.>}[d]\\
&&\ar@{.>}[r]&\wt f^2(\tau_2)\ar[r]^-{{\cal L}_{k_2\theta}}&f(t_1)\ar[uu]_{\rho_{1/k_2}}
}
\]
(on commence par le niveau le plus bas). On dit que $\widehat
F$ est \emph{multisommable} ou \emph{accéléro-sommable}
et si on veut préciser les niveaux qu'elle est {\it
$(k_1 , k_2 )$-sommable}.

L'opérateur $\brho_{(k_1 ,k_2 ); k_1 \theta}$ est
l'opérateur d'accélération défini au début de
cette deuxième partie. C'est la forme intégrale de la
composée des trois flèches en pointillés \cite{L-R90}.

Cet énoncé a le sens suivant:
\begin{enumeratea}
\item
la série $\widehat {\cal B}_{k_1 \theta} \widehat f
(\tau_{1})$ est convergente;
\item
sa somme peut être prolongée à un
secteur $k_1 \theta_{1} < k_1 \theta < k_1 \theta_{2}$
voisinage du rayon $d_{k_1 \theta}$ en une fonction
${\widetilde f}^{1}$ à croissance exponentielle d'ordre
$k_2 / {(k_2 -k_1)}$;
\item
la fonction ${\widetilde f}^2$ déduite de
${\widetilde f}^1$ par accélération de puissance $k_2
/ k_1$ dans la direction $k_1 \theta$ est définie
et à croissance exponentielle d'ordre~1 sur un secteur
$]k_2 \theta_1 , k_2 \theta_2[$;
\item
sa transformée de Laplace est la somme
cherchée à condition de l'exprimer en fonction de
$x$ via l'opérateur de ramification $\rho_{1/k_2}$.
\end{enumeratea}
On peut si on le préfère rester dans les \og plans\fg
des variables~$x$ et~$\xi$. On a alors le diagramme de
sommation:\enlargethispage{2\baselineskip}
\[
\xymatrix{
{\widehat F}(x)\ar[d]_{\rho_{k_1}}\ar[r]^-{{\cal B}_{k_1; \theta}}&\wt F^1(\xi)\ar[rr]^-{\bmA_{(k_1,k_2)\string;\theta}}\ar@<.5ex>[d]^{\rho_{k_1}}&&\wt F^2(\xi)\ar@<.5ex>[dd]^{\rho_{k_2}}\ar[rr]^-{{\cal L}_{k_2; \theta}}&& F(x)\\
\wh f(t_1)\ar[r]^-{{\cal B}_{k_1\theta}}&\wt f^1(\tau_1)\ar@<.5ex>[u]^{\rho_{1/k_1}}\ar[rrd]_{\brho_{(k_1,k_2)\string;k_1 \theta}}&&&&\\
&&&\wt f^2(\tau_2)\ar@<.5ex>[uu]^{\rho_{1/k_2}}
\ar[rr]^-{{\cal L}_{k_2\theta}}&&f(t_2)\ar[uu]_{\rho_{1/k_2}}
}
\]
\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=1]{xups91-02_fig6a}}
\par
\hspace*{-1.2cm}$\widehat F(x)$
\hspace*{.6cm}$\rho_{1/k_1}\widetilde f^1(\xi)$
\hspace*{.8cm}$\rho_{1/k_2}\widetilde f^2(\xi)$
\hspace*{1.6cm}$F(x)$
\vspace*{\baselineskip}

\centerline{\includegraphics[scale=1.1]{xups91-02_fig6b}}
\par
\hspace*{-1.4cm}$\widehat f(x_1)$
\hspace*{.3cm}$\widetilde f^1(\tau_1)$
\hspace*{1.8cm}$\widetilde f^2(\tau_2)$
\hspace*{2cm}$f(t_2)$
\caption{Domaines de définition correspondants}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\mbox{}\hrulefill\mbox{}\par
\begin{small}
\begin{flushleft}\bgroup\itshape\par
La série de Ramis-Sibuya est $(1, 2)$-sommable. Il est
clair qu'elle n'est ni $1$-sommable ni $2$-sommable
puisqu'elle s'écrit
$$
\widehat f_3 = \widehat f_1 + \widehat f_2
$$
où $\widehat f_1$ est la série d'Euler qui est
$1$-sommable mais pas $2$-sommable et où~$\widehat f_2$ est la
série d'Euler-bis qui est $2$-sommable mais pas
$1$-sommable.

On peut montrer directement à titre d'exercice qu'elle
est $(1, 2)$-som\-ma\-ble~\cite{L-R90}. Rappelons que le noyau
d'accélération à utiliser dans ce cas est
$$
{\cal C}_2 (\zeta) = i \sqrt(\pi) \zeta e^{-{\zeta^2
/ 4}} $$
qui est de toute évidence à croissance exponentielle
d'ordre au plus $2$.
\egroup
\end{flushleft}
\end{small}
\renewcommand{\figurename}{Exemple}
\setcounter{figure}{2}
\caption{}
\mbox{}\hrulefill\mbox{}
\end{figure}

\subsection{Sommation dans le cas d'un système à un nombre
quelconque de niveaux}

Supposons que le système $[A]$ admette les niveaux
$k_1 < k_2 < \cdots < k_r$. Alors le procédé de
sommation précédent s'itère sans nouveauté. En
particulier les opérateurs d'accélération faisant
passer d'un niveau au suivant suffisent. Ici encore on
procède par niveaux croissants. Avec pour seule raison
de rester dans les limites de la feuille de papier nous
donnons le diagramme de sommation dans le cas de trois
niveaux seulement $k_1 < k_2 <k_3$:
\[
\xymatrix{
{\widehat F}(x)\ar[d]_{\rho_{k_1}}&&&&& F(x)\\
{\widehat f}(t_1)\ar[r]_-{{\cal B}_{k_1\theta}}&
\wt f^1(\xi_1)\ar[r]\ar[drr]|(.5)\hole^(.7){\brho_{(k_1,k_2)\string;k_1 \theta}}& \ar[d]\\
&&\ar[r]&\wt f^2(\xi_2)\ar[r]\ar[drr]|(.5)\hole^(.7){\brho_{(k_2,k_3)\string;k_2\theta}}& \ar[d]\\
&&&&\wt f^3(\xi_3)\ar[r]_-{{\cal L}_{k_3\theta}}&f(x_3)\ar[uuu]_{\rho_{1/k_3}}
}
\]
La série $\widehat F$ est sommable par ce procédé dans
toute direction~$\theta$~sauf un nombre fini de
directions singulières qui sont des directions
anti-Stokes du système. On dit que $\widehat F$ est \emph{multisommable} ou \emph{accéléro-som\-m\-able des
niveaux $k_1, k_2, \dots, k_r$} ou encore \emph{$(k_1, k_2,
\dots, k_r)$-sommable}.
Si on désire rester dans les \og plans\fg des variables
$x$ et $\xi$ on a:
\[
\xymatrix@C=.6cm{
{\widehat F}(x)\ar[d]_{\rho_{k_1}}\ar[r]^-{{\cal B}_{k_1; \theta}}&\wt F^1(\xi)\ar[rr]^-{\bmA_{(k_1,k_2)\string;\theta}}\ar@<.5ex>[d]^{\rho_{k_1}}&&\wt F^2(\xi)\ar@<.5ex>[dd]^{\rho_{k_2}}\ar[rr]^-{\bmA_{(k_2,k_3)\string;\theta}}&& \wt F^3(\xi)\ar@<.5ex>[ddd]^{\rho_{k_3}}\ar[rr]^-{{\cal L}_{k_3; \theta}}&& F(x)\\
\wh f(x1)\ar[r]_-{{\cal B}_{k_1\theta}}&\wt f^1(\xi_1)\ar@<.5ex>[u]^{\rho_{1/k_1}}\ar[rrd]_{\brho_{(k_1,k_2)\string;k_1 \theta}}&&&&&&\\
&&&\wt f^2(\xi_2)\ar@<.5ex>[uu]^{\rho_{1/k_2}}\ar[rrd]_{\brho_{(k_2,k_3)\string;k_2 \theta}}\\
&&&&&f(\xi_3)\ar@<.5ex>[uuu]^{\rho_{1/k_3}}
\ar[rr]_-{{\cal L}_{k_3\theta}}&&f(x_3)\ar[uuu]_{\rho_{1/k_3}}
}
\]

\addtocontents{toc}{\protect \lsectionpart}
\section*{Appendice}

Dans cet appendice nous détaillons une démonstration
de la sommabilité dans le cas particulier des
systèmes de niveau unique 1. Celle-ci bien que plus
simple que la démonstration du cas général est
typique des arguments à utiliser. Nous suivons la
méthode proposée par Ecalle ([E85], [E91]). Nous
rappelons qu'il en existe d'autres.

\begin{theoreme*}
Le facteur série formelle $\widehat F$ d'une solution
fondamentale formel\-le $\widehat F (x) x^L e^Q$ d'un
système différentiel linéaire méromorphe
\[
\tag*{[A]}
{dY\over dx} = AY
\]
quand celui-ci ne comporte qu'un seul
niveau égal à $1$ est sommable par le procédé de
sommation de niveau $1$
\[
\widehat F (x)\To{{\cal B}_{\theta}} \tilde F (\xi)
\To{{\cal L}_\theta} F(x)
\]
dans toute direction $\theta$ qui n'est pas une direction
anti-Stokes du système $[A]$.
\end{theoreme*}

\begin{proof}
Il s'agit d'établir les points
a. à e. déjà énoncés et que nous répétons
ici:
\begin{enumeratea}
\item
la transformée de Borel formelle $\widehat
{\cal B}(\widehat F)$ de $\widehat F$ est convergente;
\item
dans une direction $\theta$ quelconque qui n'est
pas une direction anti-Stokes, la somme de la série
$\widehat {\cal B}(\widehat F)$ admet un prolongement analytique
complexe jusqu'à l'infini. Nous le notons ${\cal
B}_\theta (\widehat F ) = \tilde F$;
\item
$\tilde F $ est à croissance exponentielle
d'ordre 1 à l'infini au voisinage de la direction
$\theta$, \ie qu'il existe des constantes $C$ et $\alpha >0$
et des arguments $\theta_1$ et $\theta_2$ avec $\theta_1
\leq \theta \leq \theta_2$ tels que\vspace*{-3pt}
$$
\vert \tilde F (\xi)\vert \leq C \exp\alpha\vert \xi
\vert $$
pour tout $\xi$ dont l'argument vérifie $\theta_1 \leq
\arg(\xi) \leq \theta_2$;
\item
La transformée de Laplace $F(x) = {\cal
L}_{\theta'} (\tilde F)(x)$ de $\tilde F$ existe dans
toutes les directions $\theta'$, $\theta_1 \leq \theta'
\leq \theta_2$ et elle est analytique sur la réunion
${\cal D}_{\theta_1, \theta_2}$ des disques de Borel de
diamètre de longueur $1/ \alpha$ dirigé par
$\theta'$;
\item
la fonction $F$ est asymptotique à $\widehat F$ en
$0$ sur ${\cal D}_{\theta_1 , \theta_2}$ et elle est
solution du système $[A_0;A]$. C'est donc une somme de
$\widehat F$ sur ${\cal D}_{\theta_1 , \theta_2}$.
\end{enumeratea}

Pour simplifier, nous faisons l'hypothèse que la
monodromie formelle $\widehat M =e^{2i\pi L}$ est triviale
mais la démonstration s'étend sans difficulté au
cas où $\widehat M$ est quelconque.
On peut alors réduire le
système étudié à la forme préparée suivante:\vspace*{-3pt}
$$
x^2 {d\over dx} Y = AY \leqno [A]
$$
avec $A(x) = \diag (a_1 , a_2 ,\dots) + x^2 B(x)$
où les $a_i$ sont des scalaires ($a_i \in \CC$) et où
$B(x)$ est analytique en $x=0$ avec $\diag B(0)
=0$. Le~système $[A]$ admet une solution
fondamentale formelle de la forme $\widehat Y (x) = \widehat F (x)
e^{Q(1/x)}$ avec\vspace*{-3pt}
$$
Q\bigl({1/ x}\bigr) = \diag \bigl(-{a_1/ x},
-{a_2/ x},\dots\bigr) \qquad {\rm et}\qquad \widehat F
(x) = I+O(x^2). $$
On choisit la forme normale\vspace*{-3pt}
\[
\tag*{[$A_0$]} x^2 {dY\over dx} =
A_0 Y
\]
où $A_0 = \diag  (a_1, a_2, \dots)$ et sa
solution fondamentale $Y_0 (x) = e^{Q(1/x)}$.
La matrice $\widehat F$ est l'unique solution série formelle
du système\vspace*{-3pt}
$$
x^2 {dF\over dx} = A_0 F-FA_0 +x^2 BF \leqno (1)
$$
qui vérifie $\widehat F (0) = I$.

Conformément aux propriétés de la transformation
de Borel le système transformé de Borel de (1)
s'écrit
$$
\xi\tilde F = A_0 \tilde F -\tilde F A_0 + (\widetilde
{x^2 B})*\tilde F. \leqno (\tilde 1 ) $$

Dans une matrice $U$ nous notons désormais $U^
{(j,\ell)}$ l'élément placé en $j^{\grave eme} $
ligne et $\ell^{\grave eme}$ colonne. Et si $U(x) =
\left [ \sum_{p\geq 0}U^{(j,\ell)}_p x^p\right ]$ nous
notons $\vert U \vert (x) =
\left [ \sum_{p\geq 0}\vert U^{(j,\ell)}_p \vert x^
p\right ]$ la \og série des modules\fg. On a $\vert
U(x)\vert \leq \vert \vert U\vert (x)\vert \leq \vert
U\vert(\vert x\vert)$.

L'idée de base est d'introduire la perturbation
régulière suivante du système $(1)$:
\[
x^2 {dF\over dx} - A_0 F+FA_0 = \varepsilon x^2 BF \leqno
(1_\varepsilon) 
\]
qui redonne le système (1) en substituant 1 à
$\varepsilon$. Par transformation de Borel $(1_\varepsilon)$
devient
$$
\xi\tilde F - A_0 \tilde F +\tilde F A_0 =\varepsilon
(\widetilde {x^2 B})*\tilde F. \leqno (\tilde
{1_\varepsilon}) $$
En développant les systèmes $(1_\varepsilon)$ et
$(\tilde {1_\varepsilon})$ s'écrivent
\begin{multline*}
\begin{bmatrix}
x^2 {d\over dx}F^{(1,1)}& (x^2 {d\over dx}-(a_1 -a_2
))F^{(1,2)}& \cdots\\[5pt]
(x^2 {d\over dx}-(a_2-a_1 ))F^{(2,1)}& x^2 {d\over dx}F^
{(2,2)}&\cdots\\[5pt]
\vdots& \vdots& \ddots
\end{bmatrix}\\
= \varepsilon x^2 BF \tag*{$(1_\varepsilon)$}
\end{multline*}
et
$$
\begin{bmatrix}
\xi \tilde {F}^{(1,1)}& (\xi-(a_1 -a_2 ))\tilde {F}^
{(1,2)} & \cdots\\[5pt]
(\xi-(a_2 -a_1))\tilde {F}^{(2,1)}& \xi \tilde {F}^
{(2,2)}& \cdots\\[5pt]
\vdots& \vdots& \ddots
\end{bmatrix} = \varepsilon (\widetilde {x^2 B} ) * \tilde
{F}. \leqno (\tilde {1_\varepsilon}) $$

On voit apparaître les points $\xi = a_j -a_\ell \neq
0$ comme singularités potentielles de $\tilde F$. En
revanche, le membre de droite étant divisible par
$\xi$, le point $\xi = 0$ n'apparaît pas comme tel.
Ces points $(a_j -a_\ell)$ déterminent les directions
anti-Stokes du système $[A]$.

Choisissons une direction d'étude $\theta$ qui n'est
pas une direction anti-Stokes; nous notons $d_\theta$ la
demi-droite issue de $0$ et de direction $\theta$. Et
considérons un domaine ouvert $\Delta$, réunion
d'une boule de centre $0$ et d'un secteur, voisinage de
$d_\theta$, qui ne rencontre aucun des points $a_j
-a_\ell \neq 0$; nous notons
\[
m =
{\min_{(j,\ell)\mid a_j -a_\ell
\neq 0}\; \inf_{\xi \in \Delta}} \vert \xi-(a_j
-a_\ell)\vert
\]
la plus petite distance entre $\Delta$ et
les points $a_j-a_\ell \neq 0$ (voir la figure~7).

\begin{figure}[htb]
\centerline{\includegraphics[scale=1.5]{xups91-02_fig7}}
\setcounter{figure}{6}
\caption{}
\end{figure}

Les points (a), (b) et (c) sont établis dans les
lemmes 1 à 5 ci-dessous. Le point (d) est une
propriété classique de la transformation de Laplace
qui découle immédiatement des propriétés
rappelées dans la deuxième partie de ce texte. Le
point (e) s'obtient par un argument classique de passage
à la limite sous le signe somme.
\end{proof}

\skpt
\begin{lem}
\begin{enumeratei}
\item
Le système $(1_{\varepsilon})$ admet une unique solution série formelle \
$\widehat F(x,\varepsilon)=\widehat F_{0}+\sum_{i\geq 1}\, \widehat F_{i}\varepsilon^{i}$ qui vérifie $\widehat F_{0}=I$ et $\widehat F_{i}(0)=0$, $i\geq 1$. On a en fait
$\widehat F_{i}(x)=O(x^{2})$.

\item
Le système $(\widetilde 1_{\varepsilon})$ admet une unique solution série
formelle $\phi(\xi,\varepsilon)=\phi_{0}+\sum_{i\geq 1}\phi_{i}(\xi)
\varepsilon^{i}$, qui vérifie $\phi_{0}=\delta I$ et $\phi_{i}(0)=0$, $i\geq 1$.

\item
Les séries $\phi_{i}$ sont les transformées de Borel formelles de
$\widehat F_{i}$: $\phi_{i}=\widehat \cB(\widehat F_{i})$, $i\geq 1$.
\end{enumeratei}
Elles sont convergentes et elles admettent sur le domaine $\Delta$ un
prolongement analytique, que nous noterons encore $\phi_{i}(\xi)$. En outre,
$\phi_{0}=\widehat \cB(\widehat F_{0})$.
\end{lem}

\begin{proof}
Les $\widehat F_{i}$ sont déterminées de proche en proche à partir de
$\widehat F_{0}=I$ comme unique solution vérifiant \ $\widehat F_{i}(0)=0$ des
systèmes
\begin{multline*}
\begin{bmatrix}
x^{2}{d\over dx}F_{i}^{(1,1)} &(x^{2}{d\over dx}-(a_{1}-a_{2}))F_{i}^{(1,2)}
&\cdots\\[5pt]
(x^{2}{d\over dx}-(a_{2}-a_{1}))F_{i}^{(2,1)} &x^{2}{d\over dx}F_{i}^{(2,2)} & \\[5pt]
\vdots&\ddots &\end{bmatrix}\\
= x^{2}BF_{i-1}.\tag*{$(1-i)$}
\end{multline*}
Et l'hypothèse $\diag B(0)=0$ (en fait $B^{(j,\ell)}(0)=0$ si $a_{j}-
a_{\ell}=0$) entraîne $\widehat F_{i}(x)=O(x^{2})$.

Les $\phi_{i}$ sont déterminés de proche en proche à partir de
$\phi_{0}=\delta I$ comme unique solution vérifiant $\phi(0)=0$ des systèmes
\begin{multline*}
\begin{bmatrix}
\xi\, \phi_{i}^{(1,1)} &(\xi-(a_{1}-a_{2}))\phi_{i}^{(1,2)}&\cdots\\[5pt]
(\xi-(a_{2}-a_{1}))\phi_{i}^{(2,1)}&\xi\phi_{i}^{(2,2)}&\\[5pt]
\vdots &\ddots\end{bmatrix}\\
=(\widetilde{x^{2}B})*\phi_{i-1}\tag*{$(\widetilde {1-i})$}
\end{multline*}
déduits de $(1-i)$ par transformation de Borel.

Les mêmes conditions déterminent de toute évidence de vraies fonctions
$\phi_{i}$ solutions analytiques sur $\Delta$; (la série $x^{2}B(x)$ étant
convergente, sa transformée de Borel est une fonction analytique sur $\CC$
tout entier). Par unicité, ce sont les sommes des séries précédentes.
\end{proof}

\begin{remarque*}
Le point (iii) justifie du développement en
série de $\varepsilon$, c'est-à-dire de la nécessité d'une perturbation:
l'existence sur $\Delta$ d'une vraie fonction $\phi(\xi,\varepsilon)$ n'est pas
évidente au vu du système $(\widetilde 1_{\varepsilon})$ et cela, même si on fixe
$\varepsilon=1$.
\end{remarque*}

Nous allons montrer que les fonctions $\phi_{i}$ sont en module majorées
sur $\Delta$ par des fonctions positives $\psi_{i}$ dont la somme \ $\psi(\xi,\varepsilon)-\psi_{0}=\sum_{i\geq 1}\, \psi_{i}(\xi)\varepsilon^{i}$ est analytique
et à croissance exponentielle d'ordre 1 à l'infini. D'où, à la fois
l'existence de la fonction $\phi$ cherchée, son analyticité et sa
croissance exponentielle à l'infini sur $\Delta$. Pour cela on établit que
$\psi(\xi,\varepsilon)$ est la transformée de Borel en $x$ d'une fonction $G(x,\varepsilon)$
solution d'un système sans point singulier en $x=0$. (Sans l'hypothèse $\widehat M= I$ on obtiendrait un système à point singulier régulier en $x_0=0$ et on pourrait donc conclure de la même façon.)

\skpt
\begin{lem}
\begin{enumerate}
\item
Le système
\[
\begin{bmatrix}
\xi\, \widetilde G^{(1,1)} &m\, \widetilde G^{(1,2)}&\cdots\cr
m\, \widetilde G^{(2,1)}&\xi\, \widetilde G^{(2,2)}&\cr
\vdots &\ddots\cr\end{bmatrix}=\varepsilon(\widetilde{x^{2}|B|})*\widetilde G.\tag*{$(\widetilde {2_{\varepsilon}})$}
\]
(on remplace $\xi-(a_{j}-a_{\ell})$ par $m$ dans $(\widetilde {1_{\varepsilon}})$ lorsque $a_{j}-a_{\ell}\not=0$)
admet une unique solution série formelle
$$
\psi(\xi,\varepsilon)=\psi_{0}+\sum_{i\geq 1}\, \psi_{i}(\xi)\varepsilon^{i}
$$
vérifiant \ $\psi_{0}=\delta I$ \ et \ $\psi_{i}(0)=0$, \ $i\geq 1$.

\item
La série $\psi(\xi,\varepsilon)-\psi_{0}$ est à coefficients positifs et
converge pour tout $(\xi,\varepsilon)$. Notons encore $\psi(\xi,\varepsilon)-\psi_{0}$ sa
somme et $\psi_{i}(\xi)$ celles des séries $\psi_{i}(\xi)$.

\item
Pour tout $\varepsilon$, la fonction $\psi(\xi,\varepsilon)-\psi_{0}$ est à
croissance exponentielle d'ordre $1$ quand $\xi$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof}
Les séries $\psi_{i}(\xi)$ sont déterminées de proche en proche à
partir de $\psi_{0}=\delta I$ comme unique solution vérifiant $\psi_{i}(0)=0$
des systèmes
$$
\begin{bmatrix}
\xi\psi_{i}^{(1,1)} &m\, \psi_{i}^{(1,2)}&\cdots\cr
m\, \psi_{i}^{(2,1)}&\xi\psi_{i}^{(2,2)}&\cr
\vdots &\ddots\cr\end{bmatrix}=(\widetilde{x^{2}|B|})*\psi_{i-1}.
\leqno(\widetilde {2-i})
$$
Elles ont de toute évidence des coefficients positifs.

La série $\psi(\xi,\varepsilon)$ est la transformée de Borel de l'unique solution
\ $\widehat G(x,\varepsilon)=\widehat G_{0}+\sum_{i\geq 1}\widehat G_{i}(x)\varepsilon^{i}$
qui vérifie \ $\widehat G_{0}=I$ \ et \ $\widehat G_{i}(0)=0$, \ $i\geq 1$ du
système
\[
\begin{bmatrix}
x^{2}{d\over dx} G^{(1,1)} &m\, G^{(1,2)}&\cdots\cr
m\, G^{(2,1)}&x^{2}{d\over dx}G^{(2,2)}&\cr
\vdots &\ddots\cr\end{bmatrix}=\varepsilon\, x^{2}|B| G.\tag*{$(2_{\varepsilon})$}
\]
Or, quel que soit $\varepsilon$, l'origine $x=0$ est un point ordinaire de ce
système. La série $\widehat G(x,\varepsilon)$ est donc une série de $x$
convergente. Par suite, sa transformée de Borel $\psi(\xi,\varepsilon)$ a un rayon
de convergence infini et elle est à croissance exponentielle d'ordre 1 à
l'infini.
\end{proof}

\begin{lem}
Pour tout $\xi\in\RR^{+}\cap\Delta$ on a les
majorations
$$
|\phi_{i}(\xi)|\leq\psi_{i}(\xi)\quad\quad i\geq1.
$$
\end{lem}

\begin{proof}
Elle se fait par récurrence sur $i$ en comparant
les systèmes $(\widetilde {1-i})$ et $(\widetilde {2-i})$.
\end{proof}

\begin{lem}
Pour tout $\xi\in\Delta$ on a les
majorations
$$
|\phi_{i}(\xi)|\leq\psi_{i}(\xi),\quad i\geq1.
$$
\end{lem}

\begin{proof}
Soit $\theta'$ une direction quelconque et $\xi\in\Delta\cap d_{\theta'}$. On applique
le lemme précédent au système $(1^{*}_{\varepsilon})$ déduit de $(1_{\varepsilon})$
par le changement variable $x\mapsto e^{-i\theta}x$. A ce système est
associé le même système \og majorant\fg $(2_{\varepsilon})$, d'où le résultat.
\end{proof}

Il résulte de ces quatre lemmes que la série \
$\phi(\xi,\varepsilon)-\phi_{0}=\sum_{i\geq 1}\phi_{i}(\xi)\varepsilon^{i}$ \
définit pour tout $\varepsilon$, en particulier pour $\varepsilon=1$, une vraie fonction
solution de $(1_{\varepsilon})$ et à croissance exponentielle sur $\Delta$. On peut donc
énoncer (points (a), (b), et (c))

\begin{lem}
La série formelle \ $\widehat\cB \widehat F(\xi)-\delta I$ est convergente, sa somme
admet un prolongement analytique sur $\Delta$ qui est à croissance
exponentielle d'ordre $1$ à l'infini.
\end{lem}

\backmatter
\nocite{*}
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{xups91-02}
\end{document}
