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\hyphenation{diver-gent diver-gen-te diver-gen-tes direc-tion}
\begin{document}
\frontmatter

\title[Séries divergentes et théories asymptotiques]{Séries divergentes\\ et théories asymptotiques}

\author[\initial{J.-P.} \lastname{Ramis}]{\firstname{Jean-Pierre} \lastname{Ramis}}
\address{I.R.M.A.,
7, rue René Descartes, 67084 Strasbourg Cedex, France}

\thanks{Journées X-UPS 1991. Séries divergentes et procédés de resommation. Prépublication du Centre de mathématique de l'École polytechnique, 1991}

\maketitle
\begin{flushright}
\begin{footnotesize}
Break on through to the other side.\\
\emph{Jim Morrison}.

...all prohibitions are made only to be broken, must be broken\\
\emph{A. S. Byatt}, Possession.

\end{footnotesize}
\end{flushright}
\vspace*{1.5\baselineskip}
\tableofcontents
\mainmatter

\vspace*{-3\baselineskip}
\mbox{}
\section*{Introduction}
Ces deux exposés sont consacrés à un très vieux sujet et à
quelques uns de ses nombreux développements récents. Dans une première
partie nous dégagerons l'efficacité théorique et pratique de l'utilisation
des séries divergentes sur quelques exemples historiques. La seconde partie
sera consacrée aux fondements rigoureux de la théorie des séries
divergentes, dont on dispose aujourd'hui grâce à des progrès très
récents\footnote{L'exposé de cette
théorie est (depuis peu...) possible avec des outils mathématiques
élémentaires et classiques. Les démonstrations restent souvent longues,
techniques et délicates et nécessitent quelques instruments récents; il est
impossible de les exposer ici.}, et à ses relations avec la théorie des
développements asymptotiques. Nous terminerons, dans la troisième partie, par
quelques applications aux systèmes dynamiques algébriques (ou
analytiques).

\section{Petite histoire des séries divergentes}
Il ne s'agit pas de développer un historique complet de l'utilisation des
séries divergentes en Mathématiques (ce travail reste à faire...), mais
d'expliquer sur quelques exemples l'intérêt du sujet, de constater
l'efficacité de cette utilisation, tout en dégageant quelques méthodes et en
préparant les éclaircissements théoriques qui viendront en 2. J'ai choisi
pour cela de décrire quelques étapes décisives: chez \textsc{Leibniz}, \textsc{Euler},
\textsc{Cauchy}, \textsc{Stokes}, \textsc{Stieltjes}, \textsc{Poincaré}, \textsc{Borel}, \textsc{Hardy}. (Je reviendrai plus loin sur l'évolution récente.)

\Subsection{La sommation des séries divergentes: que peut-on rêver?}
Pour la rédaction de ce paragraphe j'ai utilisé la très agréable
présentation du livre de D.\,Dumont (voir note \ref{note:Dumont}).

Je commencerai par citer quelques phrases du
mathématicien anglais \textsc{J.\,E.\,Littlewood} extraites de la préface au livre
posthume de son ami \textsc{G.\,H.\,Hardy} \emph{Divergent series} \cite{H1}:
\vskip 2pt

\emph{The title holds curious echoes of the past, and of Hardy's past. Abel wrote
in 1828: \og Divergent series are the invention of the devil and it is shameful to
base on them any demonstration whatsoever\fg. In the ensuing period of critical
revision they were simply rejected. Then came a time when it was found that
something after all could be done about them. This is now a matter of course,
but in the early years of the century the subject, while in no way mystical or
unrigorous, was regarded as sensational, and about the present title, now
colourless there hung an aroma of paradox and audacity.}

\smallskip
Si l'on manipule des séries convergentes et leurs sommes, c'est en général
pour démontrer des égalités numériques ou fonctionnelles. Par exemple:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
\begin{align*}
\log 2 &= 1-{1\over 2}+{1\over 3}-\cdots\\
\tag*{ou}
\log 2 &= -\log {1\over 2}= {1\over 2}+ {1\over 2^2\ 2}+ {1\over 2^3\ 3}+\cdots
\end{align*}
Il est intéressant de disposer de plusieurs égalités de ce
type: l'égalité ci-dessus est évidemment meilleure que la précédente
pour un calcul numérique approché de $\log 2$ (la convergence est plus
rapide). D'où l'intérêt d'étendre les manipulations aux séries
divergentes et à leurs \og sommes\fg éventuelles pour augmenter l'arsenal des
identités disponibles. C'est dans cet esprit qu'ont travaillé les
mathématiciens du \textsc{xviii}\ieme siècle et en particulier \textsc{L.\,Euler}. Il est clair que pour fonder un tel calcul la sommation des séries
divergentes doit respecter certaines règles: en gros on doit pouvoir remplacer
dans les calculs utilisant les opérations usuelles une série par sa somme sans
contradiction.

Soit ${\cal D}$ la $\CC$-algèbre des séries numériques à termes
complexes (convergentes ou non): les opérations sont l'addition, la
multiplication par les scalaires et le produit de Cauchy. On désigne par
${\cal C}$ la sous-algèbre des séries \emph{absolument} convergentes. On dispose
d'un homomorphisme de $\CC$-algèbres
$$S: {\cal C}\to \CC$$
qui associe
à une série convergente $\sigma = \sum_{n=0}^{\infty } a_n$ sa
somme $S(\sigma)$.

On veut définir un opérateur $S^*$ de sommation pour \og des\fg séries
divergentes. Voici les premières règles qui paraissent
raisonnables pour $S^*$ (on peut donner les variantes sur les suites):
\begin{enumerate}
\item[(s$_1$)] Règle de \og régularité\fg: si $\sigma $ converge, $S(\sigma )= S^*(\sigma )$ (i.e.\ $S^*$ prolonge $S$);

\item[(s$_2$)]
Règle \og d'invariance par translation\fg:
$$\textstyle S^*(\sum_{n=0}^{\infty } a_n )\ = a_0 +
S^*(\sum_{n=1}^{\infty } a_n)$$
\item[(s$_3$)]
$S^*$ est $\CC$-linéaire;
\item[(s$_4$)]
$S^*$ est un homomorphisme pour la multiplication.
\end{enumerate}

Pratiquement, il est naturel de définir \emph{des} procédés de sommation~$S^*_1$ s'appliquant à des ensembles ${\cal D}_1$ de séries: ${\cal C}\subset
{\cal D}_1 \subset {\cal D}$. On~distinguera les cas où ${\cal D}_1$ est un
sous-espace vectoriel de ${\cal D}$ et où~$S^*_1$ satisfait les règles 1, 2,
et 3, et ceux où ${\cal D}_1$ est une sous-algèbre de ${\cal D}$ et où
$S^*_1$ satisfait les règles 1, 2, 3 et 4. Ce dernier cas, évidemment
beaucoup plus utile pour générer des identités intéressantes, va se
révéler le plus difficile à fonder théoriquement (la condition 4 n'est pas
facile à assurer\ldots).

Une idée naturelle est de remplacer \og séries numériques\fg
$\sum_{n=0}^{+\infty } a_n$ par \og séries
for\-mel\-les\fg $\sum_{n=0}^{+\infty } a_nx^n$ et de tenter ensuite de
\og faire $x=1$\fg.

On dispose alors d'un opérateur de sommation $S$ défini sur la
$\CC$\nobreakdash-al\-gè\-bre différentielle\footnote{Une $\CC$-algèbre
différentielle est une $\CC$-algèbre munie d'un endomorphisme $\CC$-linéaire $\delta $ qui est une dérivation: $\delta (ab)= a\delta (b)+\delta
(a)b$.}
des séries convergentes $(\CC\{ x\} ;x^2d/dx)$, et à valeurs dans la $\CC$-algèbre différentielle $({\cal O}_0;x^2d/dx)$ des germes de fonctions
holomorphes à l'origine. Le problème est de définir des algè\-bres
différentielles ${\cal A}_1$ de séries formelles divergentes: $\CC\{ x\}
\subset {\cal A}_1 \subset \CC[\![x]\!]$ et des opérateurs $S^*_1:\ {\cal A}_1\
\to $? vérifiant des règles \og raisonnables\fg:
\begin{enumerate}
\item[(S$_1$)]
Règle de \og régularité\fg: $S^*_1$ prolonge $S$;

\item[(S$_2$)]
$S^*_1$ est un homomorphisme d'algèbres différentielles;

\item[(S$_3$)]
Si $J$ est l'opérateur \og développement asymptotique\fg (voir plus loin \T1.7), $JS^*_1$ est l'identité de ${\cal A}_1$.
\end{enumerate}

Il reste à décider où l'application
$$S^*_1:\ {\cal A}_1\to ?$$
prend ses valeurs.
Cela ne peut être ${\cal O}_0$: la condition 3 imposerait alors ${\cal A}_1=
\CC\{ x\} $. En fait nous verrons qu'il faut \og polariser\fg en choisissant
une direction $d$ issue de l'origine. On prendra ensuite ${?}={\cal A}_d$, la $\CC$-algèbre différentielle des fonctions holomorphes sur des germes de
secteurs bissectés par $d$ (d'ouverture et rayons arbitrairement \hbox{petits}). Pour
un direction $d$ fixée on verra qu'il y a \emph{deux} opérateurs \og naturels\fg
de sommation $S_d^+$ et $S_d^-$ (sommations latérales).
Pour des séries à termes réels on a envie de prendre pour ? les germes de
fonctions analytiques réelles sur les germes de $\RR^+-\{ 0\} $ ou $\RR^--\{ 0\} $ à l'origine. Ce point de vue se rapproche de celui d'\textsc{Euler}. Nous verrons qu'il conduit à certaines difficultés.

Revenons aux séries numériques et considérons les deux exemples suivants:\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
\sigma_0&:\ 1-1+1-1+1-1+\cdots\\
\tag*{et}
\sigma_1&:\ 1-2+3-4+5-6+\cdots
\end{align*}
Supposons que ces séries appartiennent à un ensemble de séries ${\cal
D}_1$ muni d'un opérateur de sommation $S^*$ satisfaisant les conditions
(s$_2$), et (s$_3$), et notons respectivement $S_0$ et $S_1$ les sommes de nos
deux séries. On a $S_0=1-S_0$, d'où $S_0= {1/ 2}$, et\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
S_1&= 1-2+3-4+5-6+\cdots\\
S_1&= 0+1-2+3-4+5-\cdots,\\
\tag*{d'où}2S_1&= 1-1+1-1+1-1+\cdots,
\end{align*}
et $S_1={1/ 4}$. Ainsi\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
1-1+1-1+1-1+\cdots&= {1\over 2}\\
1-2+3-4+5-6+\cdots&= {1\over 4}.
\end{align*}
Il semble que \textsc{Leibniz} ait été le premier à attribuer la valeur
${1/ 2}$ à la somme de $1-1+1-1+1-1+\cdots$.

Toujours en considérant nos deux exemples on peut deviner deux procédés de
sommation qui paraissent raisonnables et permettent de justifier le raisonnement
purement formel que l'on vient de faire. Ces deux procédés qui donnent
lieu à de larges généralisations sont la \emph{sommation par moyennes}
et la \emph{sommation d'Abel}.

L'idée de la sommation par moyennes est d'essayer de construire une \og mesure\fg
positive $dl$ de \emph{masse totale un} sur des parties de $\NN$ et de
définir la somme de la série $$\sum_{n=0}^{\infty } a_n$$
par
$$\int s_n\ dl(n)$$
où $s_n$ désigne la somme partielle
$$s_n=\sum_{p=0}^{n} a_p.$$
Le résultat doit être indépendant des premiers termes de la série. La
\og mesure\fg doit donc être nulle sur toute partie finie de $\NN$, ce qui
conduit à une contradiction si on la suppose $\sigma $-additive! Il faut donc
être moins exigeant et remplacer la notion de mesure part celle de
\og densité\fg \cite{FGA}. Si $l$ est une telle densité on notera $l(E)$ la masse d'un
sous-ensemble $E$ de $\NN$ (si elle existe). La plus simple façon de
construire une telle densité est d'utiliser la moyenne arithmétique de
Cesaro:

On répartit la masse un sur les $n+1$ points $0$, $1$,\dots,$n$,\footnote{La mesure correspondante est $\mu_n
={1\over n+1}(\delta_0 +\cdots+ \delta_n)$.} et on \og passe à la limite en $n$\fg:

Les moyennes $$t_n={s_0+s_1+\cdots+s_n\over n+1}$$ correspondant à la série
$1-1+1-1+1-1+\cdots$ tendent vers ${1/ 2}$ quand $n\to +\infty $ ($s_n$
prend alternativement les valeurs $1$ ou $0$).

Si on note $E$ l'ensemble des nombres pairs, $l(E)= \lim\mu_n(E)={1/ 2}$.

Ce procédé ne somme pas la série $1-2+3-4+5-6+\cdots$. Il~faut le faire
opérer deux fois: on trouve bien alors ${1/ 4}$ pour somme.

Plus généralement on peut répartir, pour chaque entier $n$ la masse un sur
un sous-ensemble \emph{fini} de $\NN$ et supposer que si $E$ est fini,
$l(E)=0$.

Si on suppose de plus que $\mu_n$ est porté par [$1,n$], cela revient à se donner
une \emph{matrice de Toeplitz régulière}, c'est-à-dire une matrice triangulaire
infinie:
$$\arraycolsep4pt
A= \left(
\begin{array}{ccccccc}
a_{00} &0 &0 &0 &\cdots &0 &\cdots\\
a_{10} &a_{11} &0 &0 &\cdots&0 &\cdots\\
{\cdot} &{\cdot} &{\cdot} &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\
{\cdot} &{\cdot} &{\cdot} &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\
a_{n0} &a_{n1} &\cdot &\cdot &\cdots &a_{nn} &\cdots\\
{\cdot} &{\cdot} &{\cdot} &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\
{\cdot} &{\cdot} &{\cdot} &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\
\end{array}
\right)$$
dont les coefficients sont des réels positifs, la somme des lignes étant
constamment égale à un et les colonnes étant des suites convergeant vers
zéro.

La matrice colonne des $t_n$ s'obtient alors en multipliant $A$ par la matrice
colonne des sommes partielles $s_n$.

La composition de deux procédés de moyenne correspond évidemment au
produit des matrices. Par exemple
$$\arraycolsep4pt 
C=\left(
\begin{array}{ccccc}
1 &0 &0 &\cdots&\\
1/2 &1/2 &0 &\cdots&\\
1/3 &1/3 &1/3 &\cdots&\\
\cdot&\cdot &\cdot&\cdot&\cdots
\end{array}
\right)$$
correspond à la méthode de Cesaro et
$$\arraycolsep4pt 
C^2=\left(
\begin{array}{ccccc}
1 &0 &0 &\cdots&\\
3/4 &1/4 &0 &\cdots&\\
11/18 &5/18 &2/18 &\cdots&\\
\cdot&\cdot &\cdot &\cdot &\cdots
\end{array}
\right)$$
a son itération utilisée plus haut.

À la matrice de Toeplitz
$$\arraycolsep4pt 
T= \left(
\begin{array}{ccccccc}
C_0^0 &0 &0 &0 &\cdots &0 &\cdots\\
{1/ 2}C_1^0 &{1/ 2}C_1^1 &0 &0 &\cdots&0 &\cdots\\
{\cdot} &{\cdot} &{\cdot} &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\
{\cdot} &{\cdot} &{\cdot} &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\
{(1/ 2)^n}C_n^0 &{(1/ 2)^n}C_n^1 &. &. &\cdots &{(1/ 2)^n}C_n^n &\cdots\\
{\cdot} &{\cdot} &{\cdot} &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\
{\cdot} &{\cdot} &{\cdot} &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\
\end{array}
\right)$$
correspond la \emph{transformation d'Euler}. Cette transformation se traduit au
niveau des séries par la transformation
$$b_n={1\over 2^{n+1}}\ (C_n^0 a_0 +C_n^1 a_1+\cdots+C_n^n a_n),$$
qui s'interprète au niveau de séries formelles associées par une
transformation homographique (admettant $1$ pour point fixe):
$$\widehat f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }
a_nx^n$$ $$\widehat g(y)=\sum_{n=0}^{\infty } b_ny^n$$
$$\widehat g(y) = \widehat f({y/2\over 1-y/2}).$$
Cette transformation a été introduite par \textsc{Euler} comme \emph{accélération de convergence}. Par exemple, appliquée à
$$1-{1\over 2}+{1\over 3}-\cdots$$
elle donne
$${1\over 2}+ {1\over 2^2\ 2}+ {1\over 2^3\ 3}+\cdots,$$
ce qui accélère le calcul de $\log 2$.

Au lieu d'utiliser des mesures $\mu_n$ paramétrées par $n\in \NN$ et à
support fini, on peut utiliser des mesures $\mu_t$ paramétrées par $t>0$ et
à support quelconque. Un exemple fondamental est la \og densité de Borel\fg
associée à la famille de mesures de Poisson
$$\mu_t = e^{-t}\sum_{n=0}^{\infty } {t^n\over n!}\delta_n.$$
Cette méthode, due à \textsc{E.\,Borel} (1899) fournit pour somme de la série\vspace*{-3pt}
$$\sum_{n=0}^{\infty } a_n$$
la limite (si elle existe)\vspace*{-3pt}
$${\lim_{t\to+\infty}} e^{-t} S(t),$$
où\vspace*{-3pt}
$$S(t) = \sum_{n=0}^{\infty } s_n{t^n\over n!}.$$
Nous reviendrons plus loin sur cette méthode qui est \emph{fondamentale}.
Si on l'applique à la \og série de Leibniz\fg
$$1-1+1-1+\cdots$$
on trouve encore\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$\lim\ e^{-t}{\rm ch} t = 1/2.$$

Après la description des méthodes de moyennes passons à celle des
méthodes \emph{abéliennes}. La plus simple est basée sur le théorème
d'Abel:

Si $\sum_{n=0}^{\infty } a_n$
est convergente, sa somme est donnée par
$${\lim_{x\to 1; x<1}}\sum_{n=0}^{\infty }
a_n\ x^n.$$
D'où l'idée, que l'on trouve chez \textsc{Euler}, de prendre dans certains cas de
séries divergentes, comme \emph{définition} de la somme de la série
$$\sum_{n=0}^{\infty } a_n$$
la limite\vspace*{-3pt}
$${\lim_{x\to 1; x<1}}\sum_{n=0}^{\infty }
a_n\ x^n$$ si elle existe.

Si l'on applique cette méthode à la série de Leibniz, on trouve
\[
\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n\ x^n\ =\ {1\over 1+x}\quand
{\lim_{x\to 1; x<1}}\ {1\over 1+x}= {1\over 2}
\]
comme on s'y attendait...

Pour la série
$$1-2+3-4+5-6+\cdots$$
on trouve
$$1-2x+3x^2+\cdots= {1\over(1+x)^2}$$ dont la limite est ${1/ 4}$.

Cette méthode se généralise de la façon suivante:
On pose $x=e^{-t}$. Alors $x^n=e^{-tn}$.

Soit $\{ \lambda_n\} $ une suite strictement croissante de réels strictement
positifs tendant vers $+\infty$ \emph{donnée}. À la série
$$\sum_{n=0}^{\infty } a_n$$
on associe (si elle existe pour tout $t>0$ assez petit) la fonction
$$f_t(x)= \sum_{n=0}^{\infty } a_n\ e^{-t\lambda_n},$$
et (toujours sous réserve d'existence) on \emph{définit} la somme par
$${\lim_{t\to 0; t>0}}\ \sum_{n=0}^{\infty }
a_n\ e^{-t\lambda_n}.$$

Nous reviendrons plus loin sur les exemples suivants:
\begin{itemize}
\item
$\lambda_n= n\log n$ si $n>0$, et $\lambda_0=0$ dû à \textsc{Lindelöf},
\item
$\lambda_n= n \log n \log(\log n)$ si $n>2$, et $\lambda_n=0$, si $n=0,1,\
2$, dû à \textsc{Hardy} \cite{H2} (1941).
\end{itemize}

\subsection{Euler:
l'équation fonctionnelle de la fonction \texorpdfstring{$\zeta $}{z} et la \og série d'Euler\fg}

On trouvera plus de détails sur les questions évoquées ci-dessous dans \cite{H1}, \cite{Bar}.

Le mémoire \cite{Eu1} de \textsc{L.\,Euler} commence par
\vskip 2pt

\emph{Le rapport que je me propose de développer ici regarde les sommes de ces
deux séries infinies générales}
\begin{gather*}
1^m-2^m+3^m-4^m+5^m-6^m+7^m-8^m+\cdots,\\
{1\over 1^m}-{1\over 2^m}+{1\over 3^m}-{1\over 4^m}+{1\over 5^m}
-{1\over 6^m}+{1\over 7^m}-{1\over 8^m}+\cdots,
\end{gather*}

Le but d'\textsc{Euler} est d'étudier l'égalité
$${{1^{s-1}-2^{s-1}+3^{s-1}-\cdots}\over {{1/ 1^s}-{1/ 2^s}+{1/
{3^s}}-\cdots}}=-{(s-1)!(2^s-1)\over (2^{s-1}-1)\pi ^s}\cos(\tfrac{1}{2}s\pi).$$

Plus précisément il se propose de \og vérifier\fg cette égalité pour tout~$s$ entier, et pour $s=1/2$, $s=3/2$.

Il a besoin pour cela de sommer les séries divergentes
$$1^m-2^m+3^m-4^m+5^m-6^m+7^m-8^m+\cdots$$
Il emploie la méthode d'Abel. Pour $m=0$ et $1$
on retrouve les deux séries étudiées plus haut et leurs sommes respectives
($1/2$ et $1/4$). Plus généralement il obtient (pour $k>1$):\vspace*{-3pt}
\begin{align*}
1^{2k}-2^{2k}+3^{2k}-\cdots&=0\\[-3pt]
1^{2k-1}-2^{2k-1}+3^{2k-1}-\cdots&= (-1)^{k-1}{2^{2k}-1\over 2k}B_k.
\end{align*}

La fonction $\zeta $ de Riemann est définie par\vspace*{-3pt}
$$\zeta (s) = 1^{-s}+2^{-s}+ 3^{-s}+\cdots$$
pour ${\rm R\acute{e}}\,s >0$.
On lui associe la fonction
$$\eta (s) = 1^{-s}-2^{-s}+ 3^{-s}-\cdots$$
On a\vspace*{-3pt}
$$\eta (s)= (1-2^{1-s})\zeta (s)$$
et la célèbre équation fonctionnelle de la fonction $\zeta $ due à
\textsc{B.\,Riemann} s'écrit\vspace*{-3pt}
$$(2^{s-1}-1)\eta (1-s)=-(2^s-1)\pi ^{-s}\cos({1\over 2}s\pi) \Gamma
(s)\ \eta (s).$$
On reconnaît l'identité devinée par \textsc{Euler} 100 ans avant \textsc{Riemann}...

Notons qu'un calcul théoriquement fondé des sommes de séries divergentes
utili\-sées fournit une \emph{preuve rigoureuse} de la formule pour~$s$ entier. (\textsc{Euler} ne prétendait pas donner une telle
démonstration...)

La façon dont \textsc{Euler} concevait la justification du calcul avec les
séries divergentes est bien dégagée dans son étude de la \og série
d'\hbox{Euler}\fg
$$\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n\ n!.$$
Cette justification était en grande partie \og expérimentale\fg mais très
soigneuse. On trouvera beaucoup de détails sur cet exemple dans
\cite{Bar}.
On peut décrire en termes modernes l'idée générale d'\textsc{Euler} de la
façon suivante: il s'agit, étant donnée la série de terme général
$a_n$, de trouver un (ou des) \emph{programme(s)} engendrant les $a_n$. Citons
\textsc{Euler} (1749):
\vskip 2pt

\emph{Mais j'ai déjà remarqué dans une autre occasion qu'il faut donner au
mot de \emph{somme} une signification plus étendue et entendre par là une
fraction ou une autre expression analytique, laquelle étant développée
suivant les principes de l'analyse produise la même série dont on cherche
la somme.}

Il écrit ailleurs

\emph{...summa cujusque seriei est valor expressionis illius finitae, ex cujus
evolutione illa series oritur.}

\textsc{Euler} décrit (dans \cite{Eu2}) quatre procédés (heuristiques) pour sommer
$$\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n\ n!.$$
Il vérifie par des calculs numériques l'accord entre ces diverses approches.
Nous ne décrirons pas ces procédés (ceci est très bien fait dans \cite{Bar}).
Celui qui nous intéresse le plus pour la suite est basé sur le fait que la série
formelle correspondante $$\widehat f(x)=\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n\ n!\
x^{n+1}$$ est une \emph{solution formelle} de l'équation différentielle d'Euler
$$x^2y'+y=x.$$
Parmi les autres méthodes il y a la transformation en la fraction continue
convergente $(1/1+1/1+1/1+2/1+2/1+3/1+3/1+\cdots)$ et l'itération de la
transformation d'Euler suivie de la sommation au plus petit terme décrite
ci-dessous. (Cette méthode est très bien expliquée dans le traité d'Analyse
de \textsc{Lacroix}.) La méthode basée sur l'équation différentielle d'Euler,
liée à la \emph{sommation de Borel-Laplace}, va jouer un rôle fondamental dans
la suite. (La sommation de Borel-Laplace est elle-même liée à la densité de
Borel décrite plus haut \cite{H1}...)

Plus tard \textsc{Hardy} \cite{H2} a sommé la série d'Euler en utilisant le
procédé abélien décrit plus haut:
$$\lim_{t\to 0; t>0}\biggl( x-1!\ x^2+2!\ x^3+
\sum_{n=3}^{+\infty } (-1)^n n!\ x^{n+1}e^{-tn\,\log n\,\log(\log n)}\biggr).$$

\subsection{Euler, Cauchy, Poincaré et la sommation au plus
petit terme}

Au début du chapitre VIII du tome II des {\sl Méthodes Nouvelles de la
Mécanique Céleste} \cite{P} \textsc{H.\,Poincaré} écrit:
\vskip 2pt

{\itshape Il y a entre les géomètres et les astronomes une sorte de malentendu au
sujet de la signification du mot \emph{convergence}. Les géomètres,
préoccupés de la parfaite rigueur et souvent trop indifférents à la
longueur de calculs inextricables dont ils conçoivent la possibilité, sans
songer à les entreprendre effectivement, disent qu'une série est convergente
quand la somme des termes tend vers une limite déterminée, quand même les
premiers termes diminueraient très lentement. Les astronomes, au contraire,
ont coutume de dire qu'une série converge quand les vingt premiers termes, par
exemple, diminuent très rapidement, quand même les termes suivants devraient
croître indéfiniment.
Ainsi, pour prendre un exemple simple, considérons les deux séries qui ont
pour terme général
${1000^n\over 1.2.3...n}$ et ${1.2.3....n\over 1000^n}.$

Les géomètres diront que la première série converge, et même~qu'elle
converge rapidement,...; mais il regarderont la seconde comme divergente...

Les astronomes, au contraire, regarderont la première comme divergente,...; et
la seconde comme convergente.

Les deux règles sont légitimes: la première dans les recherches
théoriques; la seconde dans les applications numériques....}

On peut ainsi parler de séries convergentes \og au sens des géomètres\fg ou
\og au sens des astronomes\fg. Notons que pratiquement, dans les applications, on
constate que, presque toujours, les séries convergentes \og au sens des
astronomes\fg ont un terme général qui croît très vite après avoir
d'abord diminué. Ainsi, ce que \textsc{Poincaré} envisageait comme \emph{possibilité} est en fait la règle. Il n'a pas tenu compte de ce
phénomène, qu'il connaissait pourtant très bien, dans sa définition des
développements asymptotiques. Les défauts majeurs de la théorie de \textsc{Poincaré} sont liés à cette remarque. Pour les surmonter il faut se tourner
vers les travaux d'autres mathématiciens. La \og série d'Euler\fg (voisine de
celle citée par \textsc{Poincaré}), dont nous avons déjà parlé,
$\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n\ n!\ x^{n+1}$ va nous permettre de
commencer à comprendre ce qu'il faut faire. À la fin nous disposerons d'une
théorie, la \emph{théorie asymptotique exacte} où l'antinomie entre les deux
notions de convergence distinguées par \textsc{Poincaré} disparaîtra.

L'analyse de la série d'Euler qui va suivre est classique
(\cf par exemple \textsc{Olver} \cite{O}).

Soit\vspace*{-3pt}
$$f(x) = \int_0^{+\infty} {e^{-{t/ x}}\over 1+t}\ dt.$$
On note\vspace*{-3pt}
$$f_n(x) = x -1!\ x^2+2!\ x^3-\cdots+(-1)^{n-1}(n-1)!\ x^n$$
et\vspace*{-3pt}
$$R_n(x) = (-1)^n\int_0^{+\infty} {t^n\ e^{-{t/ x}}\over 1+t}\ dt.$$
On vérifie facilement que\vspace*{-3pt}
$$f(x)= f_n(x)+R_n(x)$$
et que\vspace*{-3pt}
$$|R_n(x)|<\int_0^{+\infty} t^n\ e^{-{t/ x}}\ dt=n!\ x^{n+1}.$$
Ainsi le reste $R_n(x)$ est du même signe que le premier terme omis
$(-1)^n\ n!\ x^n$ et majoré en valeur absolue par la valeur absolue de celui-ci.
En raisonnant comme dans le cas d'une série alternée vérifiant le
\og critère spécial\fg, on en déduit les encadrements:
$$f_{2p}(x)<f(x)<f_{2p+1}(x)$$
pour tout entier $p>1$.

À $x>0$ fixé cela ne permet pas (comme dans le cas d'une série vérifiant
le critère spécial et dont le terme général tend vers zéro) d'obtenir
un encadrement arbitrairement précis de $f(x)$ (ici le terme général tend
rapidement vers $+\infty$...). Mais on obtient un encadrement \emph{dont la
qualité dépend de} $x$. On va voir plus précisément qu'elle est
exponentiellement bonne quand $x$ est \og petit\fg.

Il est clair qu'à $x>0$ \emph{fixé} la meilleure approximation de $f(x)$
par $f_n(x)$ est obtenue (par cette méthode) quand l'écart
\[
|f_{2p+1}(x)-f_{2p}(x)|=(2p)!\ x^{2p}
\]
est le plus petit possible, c'est-à-dire quand le terme général de la série d'Euler\vspace*{-3pt}
$$\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n n!\ x^{n+1}$$
est en valeur absolue \emph{le plus petit possible}. On a donc intérêt à
\emph{arrêter} la sommation à l'indice correspondant: c'est la \emph{sommation
au plus petit terme}.

Ici le rapport de deux termes consécutifs est en valeur absolue~$nx$.
À $x>0$ fixé et $n$ variable, il est inférieur à un pour $x<n$ et
supérieur à un pour $x>n$. Ainsi le terme général décroît jusqu'à
$n=N\simeq {1/ x}$, puis croît ensuite indéfiniment. Pour $x$ \og petit\fg on
a une série \og convergente au sens des astronomes\fg.

La qualité de l'approximation est $N!\ x^N\simeq N!\,N^{-N}$. En utilisant la
formule de Stirling\vspace*{-5pt}\enlargethispage{2\baselineskip}
$$N!\sim \sqrt {2\pi N}\,N^N e^{-N},$$
on voit que l'approximation est de l'ordre de
\[
\sqrt {2\pi N}\,e^{-N}\simeq \sqrt {2\pi /x}\,e^{-{1/ x}},
\]
c'est-à-dire \emph{exponentiellement bonne}.

Suivant un concept dégagé par \textsc{H.\,Poincaré} en 1886 (\cf ci-dessous \T1.7), on dira que la série d'Euler\vspace*{-3pt}
$$\widehat f(x)=\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n n!\ x^{n+1}$$
est le \emph{développement asymptotique} de la fonction\vspace*{-3pt}
$$f(x) = \int_0^{+\infty} {e^{-{t/ x}}\over 1+t}\ dt$$
à l'origine.

En pratique, dans de très nombreux cas où le développement asymptotique a
des coefficients \emph{réels de signes alternés}, l'erreur est de
même signe que le premier terme omis et majorée en valeur absolue
par la valeur absolue de celui-ci. L'analyse que nous venons de faire s'étend.
On constate également que, très souvent, l'erreur est exponentiellement
petite d'un certain ordre (de l'ordre de $e^{-{1/ x^k}}$, pour un entier $k$
convenable). C'est par exemple le cas pour la \emph{série de Stirling}\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$\sum_{r=1}^{+\infty }{(-1)^{r-1}B_r\over 2r(2r-1)z^{2r-1}}$$
comme l'a montré \textsc{Cauchy} \cite{C}.

Il est plus étonnant de constater que l'essentiel du résultat précédent,
c'est-à-dire le fait que \emph{la sommation au plus petit terme fournit une
précision exponentielle} (éventuellement d'un certain ordre~$k$)
s'applique pratiquement à des développements asymptotiques à termes
complexes beaucoup plus généraux que les développements alternés. Ce
fait constaté expérimentalement depuis plusieurs siècles et utilisé
largement par les mathématiciens, physiciens et astronomes n'a reçu une
explication satisfaisante que très récemment avec l'étude systématique
des \emph{développements asymptotiques Gevrey} (\cf ci-dessous \T2.1). En pratique
on constate que le plus petit terme est souvent obtenu pour $N\simeq a/x$ (ou $N\simeq
a/x^k$), $a>0$ dépendant du problème. Dans les problèmes délicats il peut
être difficile de prévoir la place précise du plus petit terme (ou le plus petit
terme ne convient plus) on prend alors un \og pseudo plus petit terme\fg, à~$x\in \CC$ fixé, en \emph{choisissant} pour $N$ la partie entière de $a/|x|^k$ ($k$ et
$a$ étant donnés par la structure du problème étudié).

\Subsection{Stokes et les caustiques; le phénomène de Stokes}
Le physicien anglais \textsc{Stokes} connaissait bien (dès le début du
\textsc{xix}\ieme siècle...) la distinction entre séries convergentes \og au sens des
géomètres\fg et \og au sens des astronomes\fg. Il disait des premières qu'elles
étaient souvent d'abord divergentes puis convergentes et des secondes qu'elles
étaient d'abord convergentes puis divergentes. De plus il avait observé un
point essentiel dont nous avons parlé plus haut (qui semble avoir complètement
échappé à \textsc{Poincaré}): la \og sommation au plus petit terme\fg est en
général \emph{\og exponentiellement précise\fg}. Ainsi les calculs numériques avec
les séries divergentes sont paradoxalement beaucoup plus précis et rapides que
ceux utilisant les séries convergentes! \textsc{Stokes} a donné une très
belle illustration de ce principe en calculant (avec des séries divergentes)
les franges des caustiques en optique ondulatoire.

Les caustiques sont les enveloppes des rayons lumineux en optique
géométrique. En optique ondulatoire on se place sur une petite transversale
à la caustique et il s'agit de déterminer où sont les franges, c'est-à-dire où la fonction \emph{intensité lumineuse} s'annule.

La théorie (due à l'astronome anglais \textsc{Airy}) permet de montrer qu'avec
des unités convenables l'intensité lumineuse sur la transversale est
proportionnelle au carré de l'intégrale (d'Airy)
$$Ai(z) ={1\over \pi}\int_0^{+\infty} \cos({1\over 3}t^3+zt)\ dt$$
où $z$ est le paramètre de déplacement sur la transversale et s'annule sur
la caustique.

On disposait pour ce problème d'excellentes expérimentations \hbox{physiques}: \textsc{Miller} avait mesuré la position des 25 premières franges avec pratiquement
quatre décimales exactes. Il s'agissait de \hbox{confronter} les valeurs théoriques
(\ie les zéros de la fonction~$Ai$) avec l'expérience. Le premier
résultat est dû à \textsc{Airy}: en utilisant formules de quadrature et tables
de logarithmes à dix décimales il obtient une valeur correcte (avec quatre
décimales) de la position de la première frange. Il fait ensuite la remarque
que la \og fonction d'Airy\fg $Ai$ est solution de \og l'équation différentielle
d'Airy\fg
$$y''-zy=0.$$
Cela lui permet d'obtenir un développement en série convergent de $Ai(z)$
à l'origine (\ie suivant les puissances croissantes de $z$):\vspace*{-3pt}
$$Ai(z)= 3^{-2/3}\sum_{n=0}^{\infty }\ {z^{3n}\over9^nn!\ \Gamma(n+{2/ 3})}\ - 3^{-4/3}\sum_{n=0}^{\infty }\
{z^{3n+1}\over9^nn!\ \Gamma(n+{4/ 3})}.$$

La fonction $Ai$ est entière, \ie le rayon de convergence de cette série est
infini. Elle converge \og au sens des géomètres\fg! En utilisant cette série
\textsc{Airy} obtient la position de la deuxième frange. Les calculs sont
laborieux: la série est bien convergente mais \og d'abord divergente\fg... On est
toujours loin des succès expérimentaux quand arrive \textsc{Stokes}. Ce dernier a
l'idée tout à fait remarquable de chercher pour la fonction $Ai$ un
développement \emph{à l'infini} au lieu de l'origine (\ie en puissances
croissantes de $1/z$). Il obtient ce développement en utilisant l'équation
différentielle d'Airy. Notons que ce développement est un peu plus compliqué
qu'une série et aussi qu'il fait intervenir non pas la variable $z$ mais une \emph{ramification} $z^{1/ 4}$ de celle-ci. Ce dernier fait va poser un
problème à \textsc{Stokes} qu'il mettra de nombreuses années à résoudre.
(La solution sera la découverte du \emph{phénomène de Stokes} qu'il fera
à 3 heures du matin une nuit de mars 1857 \cite{Sto3}\footnote{\emph{London, March 19/57. When the cat's away the mice can
play. You are the cat and I am the poor little mouse. I have been doing what I guess
you won't let me do when we are married, sitting up till 3 o'clock in the morning
fighting hard against a mathematical difficulty. Some years ago I attacked an integral
of Airy's, and after a severe trial reduced it to a readily calculable form. But there
was a difficulty about it which, though I tried till I almost made myself ill, I could
not get over and at last I have to give it up and profess myself unable to master
it. I took it up again a few days ago, and after a two or three days' fight,
the last of which I sat up till 3, I at last mastered it\ldots}}). La fonction $Ai(z)$
admet pour développement asymptotique à l'infini l'expression\vspace*{-3pt}
$${1\over \pi^{3/2}}\
z^{-1/4}\ e^{-{2/ 3}t^{3/2}} 3^{-2/3} \!\sum_{n=0}^{+\infty }{{\Gamma
(n+{5/ 6})\Gamma (n+{1/ 6})}\over n!}\ (3/4)^n (-z)^{-3n/2}.$$ La série
$$\sum_{n=0}^{+\infty }{{\Gamma (n+{5/ 6})\Gamma (n+{1/ 6})}\over
n!}\ (3/4)^n (-z)^{-3n/2}$$ est divergente (au sens des géomètres!) mais
convergente au sens des astro\-no\-mes dès que $z$ n'est pas trop petit. Cela permet
à Stokes de calculer \emph{très facilement} la position de \emph{toutes} les
franges avec quatre décimales exactes, sauf pour la première où il n'a que trois
décimales et perd par rapport à \textsc{Airy} ($z$ est trop petit...). L'accord avec
l'expérience est complet, mais la théorie, extrêmement efficace numériquement,
reste infondée théoriquement...

\subsection{La sommation des séries
convergentes en dehors de leur disque de convergence: Borel, Lindelöf,
Hardy,...}
Soit $\widehat f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty }a_nx^n$ une série \emph{convergente} de rayon de convergence $R>0$. Soit $x_0 \in \CC$ tel que $|x_0|>R$.
On souhaite sommer la série divergente $\sum_{n=0}^{+\infty
}a_nx_0^n$.

On peut essayer d'utiliser pour cela le \emph{prolongement analytique} de la somme $f$
de $\widehat f$ en dehors du disque de convergence. Cela fournira un \og bon\fg procédé
de sommation au sens indiqué plus haut puisque le prolongement analytique respecte
sommes, produits et dérivations et est injectif. Si l'on essaie de préciser cette
méthode on rencontre immédiatement des problèmes d'existence (il n'y a
peut-être pas de chemin continu $\gamma $ joignant l'origine à $x_0$ et tel que
l'on puisse prolonger analytiquement $f$ le long de $\gamma $, et dans le pire des cas
on ne peut même pas prolonger $f$ en dehors de son disque de convergence) et
d'unicité (des prolongements analytiques le long de chemins différents peuvent
donner des prolongements différents). Dans cette partie nous nous limiterons aux
seuls prolongements le long du segment $\gamma = [O,x_0]$ joignant l'origine à $x_0$.
En utilisant de tels prolongements on prolonge analytiquement la fonction $f$ à un
ouvert étoilé (par rapport à l'origine) maximal (contenant le disque de
convergence) appelé \og étoile de Mittag-Leffler\fg de $\widehat f$. Nous noterons
${\rm Et}(\widehat f)$ ce domaine. Désignons par $(f,{\rm Et}(\widehat f))$ le prolongement
analytique de $f$ (défini sur $\{|x|<R\}$) à ${\rm Et}(\widehat f)$. On vérifie
immédiatement que (en un sens que l'on laisse préciser au lecteur),
l'opérateur de \og sommation\fg
$$\widehat f\to (f,{\rm Et}(\widehat f))$$
\noindent est un homomorphisme injectif d'algèbres différentielles.

Ce qui précède fournit (dans certains cas) un bon procédé théorique de
sommation de la série $\sum_{n=0}^{+\infty }a_nx_0^n$, mais on
aimerait évidemment disposer d'un procédé \og explicite\fg de calcul de la somme
correspondante $f(x_0)$ (\ie d'un ou plusieurs algorithmes de calcul de celle-ci,
de préférence programmables sur machine et conduisant à un résultat
raisonnablement précis en un temps raisonnable...). Je vais expliquer quelques uns
de ces procédés (sans me préoccuper ici de leur efficacité numérique).

Il faut d'abord remarquer que le prolongement analytique lui-même (en revenant à
la définition) fournit un algorithme de calcul explicite (que l'on peut exploiter
sur ordinateur \cite{CC}). On est ramené à un nombre fini d'étapes du type suivant:

La série $\sum_{n=0}^{+\infty }a_n(x-x_1)^n$ est convergente, de rayon
de convergence $R_1>0$. Soit alors $x_2$ avec $|x_2-x_1|<R_1$. On a, au voisinage de
$x_2$:
$$\sum_{n=0}^{+\infty }a_n(x-x_1)^n=
\sum_{n=0}^{+\infty }b_n(x-x_2)^n$$
\noindent et il s'agit de calculer les $b_n$ en fonction des $a_n$. Il est clair que
c'est possible, mais en utilisant des séries convergentes. (Il s'agit donc d'un
procédé transcendant.)

Passons à d'autres méthodes. Il semble raisonnable d'utiliser les procédés
abéliens de sommation dont nous avons parlé plus haut.

Soit $\Lambda =\{ \lambda_n\} $ une suite strictement croissante de réels strictement
positifs tendant vers $+\infty$ donnée. À la série
$$\sum_{n=0}^{\infty } a_n$$
on associe (si elle existe pour $t>0$ assez petit) la fonction
$$f_t(x)= \sum_{n=0}^{\infty } a_n\ e^{-t\lambda_n}.$$

Il s'agit donc d'abord de choisir la suite $\{ \lambda_n\} $ de telle sorte que la
série définissant $f_t(x)$ converge. Compte tenu de la convergence de la série
donnée
$\widehat f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty }a_nx^n$
on a des inégalités du type
$$|a_n|<CA^n,$$
\noindent pour $C>0$ et $A>0$ convenables; on trouve immédiatement une suite
simple $\Lambda $ telle que la série définissant $f_t(x_0)$ converge pour tout
$t>0$ et tout $x_0\in \CC$:
\begin{itemize}
\item
$\lambda_n= n \log n$ si $n>0$, et $\lambda_0=0$ (\textsc{Lindelöf}).
\end{itemize}
Il y a des variantes de ce procédé:
\begin{itemize}
\item
$\lim_{\delta \to 0}\ \sum_{n=0}^{\infty }
{a_nx_0^n\over \Gamma (1+\delta n)}$ (\textsc{Mittag-Leffler});

\item
$\lim_{\zeta \to 1-0}\ \sum_{n=0}^{\infty }
{\Gamma (1+\zeta n)\over \Gamma (1+n)}a_nx_0^n$ (\textsc{Leroy}).
\end{itemize}

On a les résultats suivants:

\begin{theoreme*}[\cf {\cite[4.11, p.\,77--79]{H1}}]
Soit $\widehat f=\sum_{n=0}^{\infty } a_n$ une série con\-vergente.
Soit $x_0$ un point de l'étoile de Mittag-Leffler de $\widehat f$. On note $f(x_0)$ la
valeur en ce point du prolongement analytique de la somme (ordinaire) de $\widehat f$. On a:

\begin{enumerate}
\item
soit $\lambda_n= n\log n$ si $n>0$, et $\lambda_0=0$. Alors la limite
${\lim_{t\to 0; t>0}}\ \sum_{n=0}^{\infty }
a_nx_0^n\ e^{-t\lambda_n}$
existe et est égale à $f(x_0)$;

\item
la limite
$\lim_{\delta \to 0}\ \sum_{n=0}^{\infty }
{a_nx_0^n\over \Gamma (1+\delta n)}$
existe et est égale à $f(x_0)$;

\item
la limite
$\lim_{\zeta \to 1-0}\ \sum_{n=0}^{\infty }
{\Gamma (1+\zeta n)\over \Gamma (1+n)}a_nx_0^n$
existe et est égale à $f(x_0)$.
\end{enumerate}
\end{theoreme*}

En d'autres termes les procédés de \textsc{Lindelöf}, \textsc{Mittag-Leffler},
\textsc{Leroy} permettent de sommer la série convergente $\widehat f$ dans son étoile de
Mittag-Leffler.

Il est clair que ces procédés sont adaptés à la croissance au plus
géométrique des $a_n$. Ils ne s'appliquent pas par exemple à la série d'Euler
$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\ n!\ x^{n+1}$. Pour essayer de sommer une
série divergente de ce type par une méthode abélienne, il faut choisir une
suite $\Lambda $ croissant \og beaucoup plus vite\fg. Le choix suivant (dû à G. H.
\textsc{Hardy} \cite{H2} (1941)) est bien adapté à la série d'Euler et aux séries ayant un type
analogue de croissance des coefficients (séries \og Gevrey\fg: \cf \T2.1
ci-dessous\footnote{Croissance du type
$|a_n|<C(n!)^sA^n$; $C, A, s >0$}):

\begin{itemize}
\item
$\lambda_n= n \log n\,\log(\log n))$ si $n>2$, et
$\lambda_n=0$, si $n=0, 1, 2$.
\end{itemize}

Avant de tester l'efficacité du procédé correspondant sur des séries
divergentes, il est naturel de le tester sur les séries convergentes! Le résultat
suivant (dû à \textsc{Hardy}) permet de se rassurer:

\begin{theoreme*}[\cf {\cite{H2}}]
Soit $\widehat f=\sum_{n=0}^{\infty } a_n$ une série convergente.
Soit $x_0$ un point de l'étoile de Mittag-Leffler de $\widehat f$. On note $f(x_0)$ la
valeur en ce point du prolongement analytique de la somme (ordinaire) de~$\widehat f$.
Soit
$\lambda_n= n \log n\,\log(\log n))$ si $n>2$, et
$\lambda_n=0$, si $n=0, 1, 2$. Alors la limite
$${\lim_{t\to 0; t>0}}\ \sum_{n=0}^{\infty }
a_nx_0^n\ e^{-t\lambda_n}$$
existe et est égale à $f(x_0)$.
\end{theoreme*}

Nous verrons plus loin que ce procédé de sommation de \textsc{Hardy} (récemment
redécouvert et généralisé par \textsc{Jurkat)} est très efficace: il somme les
séries \og multisommables\fg dans leur \og étoile de Mittag-Leffler généralisée\fg
\cite{J}.

Les deux théorèmes précédents sont démontrés d'abord pour le cas de la
série géométrique
$\widehat f(x)= 1+x+x^2+\cdots$ de somme $\spfrac{1}{1-x}$.
On passe ensuite aisément au cas général en utilisant le théorème
de Cauchy.

Nous verrons plus loin que beaucoup de
solutions séries formelles d'équations fonctionnelles analytiques sont
multisommables (c'est par exemple le cas des solutions d'équations différentielles
analytiques). Malheureusement les solutions séries formelles d'équations aux
$q$\nobreakdash-diffé\-rences analytiques (même linéaires) ne sont pas Gevrey mais seulement
$q$-Gevrey (\cf {3.4} ci-dessous). (On a des estimations du type
$|a_n|<Cq^{n^2}A^n$, avec $q>1$, $A>0$.) Ainsi ces séries ne sont pas multisommables.
De plus il est clair que l'on ne peut pas leur appliquer le procédé de sommation de
\textsc{Hardy}. On peut alors essayer de choisir une suite $\Lambda $ croissant
encore plus vite, par exemple: $\lambda _n =\mu n^2$ ou, plus généralement,
$\lambda _n =\mu n^a$ ($\mu >0, a>1$). Les procédés de sommation abélienne
correspondants ont été étudiés récemment par \textsc{A.\,Fruchard} \cite{F2}.
Malheureusement (et conformément à une mise en garde de \textsc{G.\,H.\,Hardy} à
propos des sommations abéliennes définies par des suites $\Lambda $ croissant
\og trop vite\fg) les procédés de sommation correspondants ne permettent plus de sommer
une série convergente dans son étoile de Mittag-Leffler, mais seulement en
général dans un domaine strictement plus petit. Cela se voit déjà sur la série
géométrique: on n'obtient pas toute l'étoile (ici $\CC-[1,+\infty]$) mais
seulement le domaine image par la fonction exponentielle de la partie gauche de la
bande $\{ 0<{\rm Im}\,z<2\pi \} $ délimitée par les deux droites $\RR\ e^{{i\pi /
2a}}$ et $i+\RR\ e^{{-i\pi /2a}}$. (On peut récupérer toute l'étoile de
Mittag-Leffler en faisant tendre, à $x_0$ fixé dans l'étoile, le paramètre~$a$
vers 1).

Revenons maintenant à la méthode de sommation par \og densité de Borel\fg (\cf {1.1}) en l'appliquant à une série entière convergente
$\widehat f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty } a_nx^n$ de rayon de convergence $R>0$.
Soit $x\in \CC$, avec $|x|<R$.
Posons $S_n=\sum_{p=0}^na_px^p$. On a $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}x^{n+1}$.

Soient, pour $t>0$, $S(t)=\sum_{n=0}^{+\infty }{t^n\over n!}S_n$ et
$F(t)=e^{-t}S(t)$. On a
$$F'(t)=e^{-t}(S'(t)-S(t))=e^{-t}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n+1}x^{n+1}
{t^n\over n!}.$$
D'où
\begin{align*}
F(t)=a_0+\int _0^t F'(t)&=a_0+\int _0^t\ e^{-u}
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n+1}{x^{n+1} u^n\over n!}\ du\\
&=a_0+\int _0^t\
e^{-u}\sum_{n=0}^{+\infty } a_{n+1}{(xu)^n\over n!}\ d(xu)\\
&=a_0+\int _0^{t\xi }\ e^{-{\xi/ x}}
\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}{\xi ^n\over n!}\ d\xi.
\end{align*}
On en déduit aisément que
$$\sum_{n=0}^{+\infty } a_nx^n=\lim_{t\to+\infty}
F(t)=a_0+\int _0^{+\infty }\ e^{-{\xi/ x}}
\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}{\xi ^n\over n!}\ d\xi. $$

Pour faciliter la suite de l'exposition on suppose que $a_0=0$ (on~revient aisément
au cas général).
Compte tenu du calcul qui précède, on est conduit à introduire la série
\og transformée de Borel formelle\fg $\widehat {\cal B}\widehat f=\widehat \phi $ de $\widehat f$:
$$\widehat \phi (\xi )=\sum_{n=1}^{+\infty }a_n{\xi ^{n-1}\over (n-1)!}.$$
La série $\widehat \phi $ a un rayon de convergence infini. Sa somme $\phi $ est donc
une \emph{fonction entière}. On vérifie qu'elle a une \emph{croissance
exponentielle} au plus \emph{d'ordre un}. On a
$$f(t)=\sum_{n=1}^{+\infty } a_nx^n=
{\cal L}(\phi )(x)=\int _0^{+\infty }\ \phi (\xi )e^{-{\xi/ x}}d\xi.$$
On retrouve ainsi la somme $f$ de $\widehat f$ dans son disque de convergence comme
\og transformée de Laplace\fg de la fonction entière $\phi $.

On peut plus généralement remplacer le \og contour d'intégration\fg $\RR^+ =
[0,+\infty]$ dans l'intégrale de Laplace par n'importe quelle demi-droite $d$ issue
de l'origine. On obtient:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$f(t)=\sum_{n=1}^{+\infty } a_nx^n=
{\cal L}_d(\phi )(x)=\int _d\ \phi (\xi )e^{-{\xi/ x}}d\xi.$$

Nous allons voir que l'on peut souvent exploiter ce formalisme pour
obtenir aussi la somme de $\widehat f$ dans une partie de son étoile de Mittag-Leffler,
en dehors du disque de convergence.

Pour $x\in \CC$ nous appellerons \og disque de Borel associé à $x$\fg et noterons
$D_x$ le disque fermé de diamètre $[O,x]$. On a le

\begin{theoreme*}[{\cite{Bo1}}]
Soit $\widehat f$ une série convergente. Si $x_0$ est un point de l'étoile de
Mittag-Leffler de $\widehat f$ (différent de $0$) tel que le disque de Borel $D_{x_0}$ soit
contenu dans l'étoile ${\rm Et}(\widehat f)$, alors l'intégrale
$${\cal L}_d(\phi )(x)=\int _d\ \phi (\xi )e^{-{\xi/ x}}d\xi $$
\noindent (où $\phi $ est la somme de la transformée de Borel formelle de $\widehat f$
et $d$ la demi-droite issue de l'origine contenant $x_0$) converge et est égale à~$f(x_0)$.
\end{theoreme*}

Malheureusement le procédé de sommation par la méthode de Borel-Laplace ne
permet pas en général de calculer $f(x_0)$ en tout point $x_0$ de l'étoile de
Mittag-Leffler de $\widehat f$, mais seulement dans une région ouverte convexe convenable
incluse dans l'étoile et contenant le disque de convergence. Dans les cas les plus
simples on obtient un polygone convexe (borné ou non). Par exemple pour la série
géométrique on trouve le demi-plan $\{ {\rm Re}\,x<1\} $.

Il est en fait facile de sommer $\widehat f$ dans toute son étoile de Mittag-Leffler en
introduisant une variante à paramètre de la méthode de sommation de
Borel-Laplace, la méthode de sommation de Borel-Laplace de niveau $k$:

Soit $k>0$. On introduit l'opérateur de ramification en considérant les
fonctions (définies sur la surface de Riemann du Logarithme)
$\rho _k(f)(x)=f(x^{{1/ k}})$.
On pose
\[
\widehat {\cal B}_k=(\rho _k)^{-1}\widehat {\cal B}\ \rho _k\quand{\cal L}_{k;d}=(\rho _k)^{-1}{\cal L}_{d^k}\rho _k
\]
(où la direction~$d^k$ correspond à $d$ par la ramification $\rho _k$).

On désigne par $D_k$ l'image du disque de Borel $D$ par la représentation conforme
$x\to x^{{1/ k}}$; (si $0<k<1/2$, $D_k$ est dessiné sur la surface de
Riemann du Logarithme). Pour $k=2$, par exemple, $D_2$ est limité par une demi
lemniscate de Bernouilli. On dira que $D_k$ est un $k$-disque de Borel. On note
$D_{k,x_0}$ le $k$-disque de Borel de \og diamètre\fg $[O,x_0]$.

\begin{theoreme*}[{\cite{Bo1}}]
Soit $k>0$. Soit $\widehat f$ une série convergente. Si $x_0$ est un point de
l'étoile de Mittag-Leffler de $\widehat f$ (différent de $0$) tel que le $k$-disque de
Borel $D_{x_0}$ soit contenu dans l'étoile ${\rm Et}(\widehat f)$, alors l'intégrale
$${\cal L}_{k;d}(\phi )(x)$$
\noindent (où $\phi $ est la somme de la transformée de Borel formelle
$\widehat {\cal B}_k(\widehat f)$ de $\widehat f$ et $d$ la demi-droite issue de l'origine
contenant $x_0$) converge et est égale à $f(x_0)$.
\end{theoreme*}

Pour $1/2<k$ l'angle à l'origine d'un $k$-disque de Borel est $\pi /k$. Plus $k$
est grand plus les $k$-disques de Borel sont \og effilés\fg. On voit facilement que si
$x_0$ est un point fixé de l'étoile ${\rm Et}(\widehat f)$, il existe toujours un réel
$k_0>0$ tel que, pour tout $k>k_0$ le $k$-disque de Borel $D_{x_0}$ soit contenu dans
l'étoile. On peut alors calculer $f(x_0)$ en utilisant la méthode intégrale de
Borel-Laplace de n'importe quel niveau $k>k_0$.

Si l'on note $S$ l'opérateur de sommation d'une série convergente dans son disque
de convergence les méthodes de sommation que nous venons de décrire se symbolisent
par les opérateurs de sommation (dans la direction $d$):
\begin{itemize}
\item
$S_d={\cal L}_d\ S\ \widehat {\cal B}$ (Borel-Laplace);

\item
$S_{k;d}={\cal L}_{k;d}\ S\ \widehat {\cal B}_k$ (Borel-Laplace de niveau $k$).
\end{itemize}

\subsection{Borel et Stieltjes}

En 1886, dans \cite{Sti1} \textsc{Stieltjes} étudie la sommation de la série d'Euler
pour les valeurs négatives de la variable. C'est beaucoup plus difficile que
pour les valeurs positives, car il s'agit maintenant de sommer une série
divergente à termes tous positifs. \textsc{Stieltjes} propose le résultat
suivant:
$$a^{-1}+a^{-2}+2!\ a^{-3}+3!\ a^{-4}+\cdots= 0,0455055614585...,$$
où $e^a= 10^{10}$ ($a\simeq 23,025851$), et montre que la qualité de
l'approximation est exponentielle (de l'ordre de $e^{-a}\sqrt {{2\pi / a}}$,
c'est-à-dire de $10^{-10}$).

La méthode de \textsc{Stieltjes} a le mérite de fournir une somme \emph{réelle} pour une série à termes réels. Ce n'est pas le cas de la méthode de
sommation de Borel: l'axe réel négatif est une direction singulière pour
celle-ci et on a donc deux opérateurs de sommation distincts $S^+_{\RR^-}$ et
$S^-_{\RR^-}$. On vérifie que la somme de Stieltjes n'est rien d'autre que la
moyenne arithmétique des deux sommes de Borel. Les sommes de Borel diffèrent
de la somme de Stieltjes par un imaginaire pur de l'ordre de
$10^{-10}\ i$. On a vu que les sommes de Borel fournissent des homomorphismes injectifs d'algèbres
différentielles et se prêtent donc parfaitement au calcul avec des séries
divergentes. On peut montrer qu'il en est de même de la somme de Stieltjes (et
l'idée correspondante a été récemment considérablement généralisée par
\textsc{J.\,Ecalle} sous le nom de \og sommation de Borel-Laplace médiane\fg; \cf aussi
\cite[Ch.\,1,\,E, p.\,8]{Di}\footnote{Half the
discontinuity in form occurs on reaching the Stokes ray, and half on leaving it the
other side.} et \cite[p.\,358]{MR3}). Ce résultat est plus étonnant qu'il n'y parait
à première vue. Regardons en effet ce qui se passe avec la série convergente
(développement à l'origine de $\sqrt {1+x}$): $$1+{1\over 2}x-{1\over
8}x^2+{1\over 16}x^3-{5\over 128}x^4+\cdots$$ Si on veut sommer cette série en $x=-2$,
soit $$1-1-{1\over 2}-{1\over 2}-{5\over 8}-\cdots$$ l'un des moyens naturels est
d'utiliser le prolongement analytique en évitant la singularité en $x=-1$. Mais il
y a alors \emph{deux} solutions naturelles correspondant aux deux \og branches\fg de la
fonction $\sqrt {1+x}$. On obtient $\pm i$. Il est clair qu'ici il n'y a \emph{pas} de
solution naturelle réelle. (Si $f(x)$ était une somme naturelle réelle pour $x<-1$,
on aurait $f(x)^2= 1+x <0$, ce qui est impossible...)

Dans le premier cas, les deux sommes de Borel correspondent aussi en un certain
sens (sur lequel nous reviendrons en 3.5) à deux \og branches\fg d'une fonction
(cette idée est déjà chez \textsc{Stokes}: \emph{analogous to a change of sign in a
radical} \cite{Sto2}), mais le changement de branche (phénomène de Stokes) est
naturellement dans un groupe à un paramètre. (L'automorphisme d'algèbre
différentielle correspondant au phénomène de Stokes est l'exponentielle d'une
dérivation qui commute à la dérivation de l'algèbre: cette dérivation est la
\emph{dérivation étrangère pointée} de \textsc{J.\,Ecalle}.) Cette situation
n'existe plus pour le changement de branche usuel (algébrique) du deuxième cas
(\cf 3.5 ci-dessous).

\subsection{Poincaré et la théorie asymptotique}

La théorie asymptotique classique est due à \textsc{Poincaré}. Ce dernier l'a
élaborée avec l'idée de l'appliquer aux équations différentielles
analytiques: sa principale motivation était de donner un sens à une solution
série formelle divergente d'une telle équation différentielle, c'est-à-dire
d'\og incarner\fg une solution \emph{formelle} en une \emph{vraie solution}. Il faut noter
que la définition de \textsc{Poincaré} que nous allons donner ci-dessous ne tient
aucun compte de ses propres remarques sur le caractère d'abord \og convergent\fg puis
\og divergent\fg des séries asymptotiques (qu'il appelle convergence au sens des
astronomes) que l'on rencontre usuellement (et qui conduit à la \og sommation au plus
petit terme\fg), voir ci-dessus. On sait aujourd'hui que ce caractère est en fait
général pour les solutions formelles d'équations différentielles analytiques.

\begin{definition*}
Soit $V$ un secteur ouvert du plan complexe (ou de la surface de Riemann du
Logarithme) de sommet $0$. Soient $f$ une fonction holomorphe sur $V$ et
$\widehat f=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n\in \CC[\![x]\!]$. On dit que $f$
est asymptotique à $\widehat f$ sur $V$ si pour tout sous-secteur compact $W$ de
$V\cup \{ 0\}$ et tout entier $n\in {\NN}$, il existe un réel $M_{W,n}>0$ tel que
$$|x|^{-n}\bggmodule{f(x) -\sum _{p=0}^{n-1}a_px^p}<M_{W,n},$$
pour tout $x\in W$.
\end{definition*}

On note $f{\sim }\widehat f$ ou $\widehat f=J(f)$. L'ensemble des fonctions holomorphes sur $V$ admettant un développement asymptotique à l'origine (muni de $+,\cdot,x^2{d/ dx}$) est une $\CC$-algèbre différentielle notée $A(V)$. On a une suite exacte d'algèbres
différentielles:
$$0\to A^{<0}(V)\to A(V)\To{J}\CC[\![x]\!]\to 0.$$ La surjectivité de l'application $J$ est le théorème
de Borel-Ritt: on peut \og incarner\fg toute série formelle $\widehat f$ par une \og vraie\fg
fonction~$f$ holomorphe sur $V$. Malheureusement cette incarnation n'est \emph{pas
unique}, il y a un \emph{choix} pour $f$ (modulo l'espace \og d'erreurs\fg $A^{<0}(V)$,
qui est formé des fonctions holomorphes sur $V$ infiniment plates à l'origine).
En d'autres termes on ne dispose pas d'une application \og naturelle\fg $\widehat
f\to f$, avec $J(f)=\widehat f$, on n'a pas de théorie de sommation au sens
défini plus haut. C'est là l'un des défauts majeurs de la théorie de \textsc{Poincaré} (\emph{the central deficiency of Poincaré's spécification} \cite{Di}, {\it
the lack of uniqueness of the function represented by an asymptotic expansion
contrasts with the sum of a convergent series} \cite{O}).

Pour appliquer la théorie de \textsc{Poincaré} aux équations différentielles
analytiques, il faut partir d'une solution série formelle $\widehat f$ d'une équation
analytique $$G(x,y,\dots,y^{(n)})=0$$ ($G(x,Y_0,\dots,Y_n)$ est une fonction analytique de
$n+2$ variables et $G(x,\widehat f,\dots,\widehat f^{(n)})=0$) et \og incarner\fg $\widehat f$ par une
vraie solution $f$ ($G(x,f,\dots,f^{(n)})=0$). L'ensemble \og d'erreurs\fg
(incertitudes sur~$f$) possibles est alors considérablement réduit (pour une
équation linéaire il est évidemment de dimension finie alors que $A^{<0}(V)$ est
de dimension infinie), mais il n'est malheureusement pas trivial en général. Faute
d'unicité on a en tout cas un résultat très satisfaisant d'existence. C'est le
\og théorème fondamental des développements asymptotiques\fg:

\begin{theoreme*}
Soient $G(x,Y,\dots,Y_n)$ une fonction analytique de $n+2$ variables et $\widehat f\in
\CC[\![x]\!]$ une solution série formelle de l'équation différentielle:
\begin{align*}
G(x,y,\dots,y^{n})=0&&\mbox{(\ie $G(x,\widehat f,\dots,\widehat f^{(n)})=0$).}
\tag*{$(1)$}
\end{align*}
Alors il existe un réel $k>0$ tel que pour tout secteur ouvert $V$ de sommet
l'origine, d'ouverture $<{\pi / k}$, de rayon assez petit, il existe une fonction
$f$ solution de l'équation différentielle $(1)$, asymptotique sur $V$ à $\widehat f$.
\end{theoreme*}

Sous cette forme (\ie sans aucune hypothèse restrictive) ce résultat est assez
récent et dû à \textsc{Ramis} et \textsc{Sibuya} \cite{RS1}. Entre les premiers cas
particuliers établis par \textsc{Poincaré} et \cite{RS1} de nombreux auteurs ont apporté
progressivement des améliorations.

Nous allons brièvement indiquer ci-dessous comment il est possible de surmonter les
défauts de la théorie asymptotique de \textsc{Poincaré} pour parvenir à une
\emph{\og théorie asymptotique exacte\fg}. Les étapes sont: les développements
asymptotiques Gevrey, la $k$-sommabilité, la multisommabilité\footnote{De nombreux courants de recherche actuels vont
dans le même sens: Théories de la résurgence et de l'accélération d'\textsc{Ecalle} \cite{E1, E2, E3}, travaux de l'école Russe: \textsc{Il'yashenko}...,
Hyperasymptotics \cite{BH},...}.

\section{Développements asymptotiques et sommabilité}

\subsection{Les développements asymptotiques Gevrey}
Commençons par quelques remarques sur des phénomènes que l'on rencontre
systématiquement en utilisant \og pratiquement\fg des développements asymptotiques et
qui ne sont pas pris en compte par la théorie de Poincaré:
\begin{enumeratea}
\item
On constate que la plupart des séries formelles $
\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n$ que l'on rencontre explicitement satisfont à une
condition du type
$$|a_n|<C\ (n!)^{{1/ k}}A^n,$$
où $C, A, k >0$ sont des réels convenables; on peut par exemple ouvrir une des
\og bibles\fg de fonctions spéciales\fg \cite{AS}, \cite{MOS}, \cite{Lu} et vérifier
expérimentalement cette observation;

\item
On constate que, en pratique, l'incertitude qui porte sur une fonction $f$
cherchée, de développement asymptotique connu\footnote{ Incertitude qui peut venir d'une marge d'erreur ou du fait
qu'il y a plusieurs solutions \og naturelles\fg au problème (ambiguïtés).}
n'est pas seulement une fonction holomorphe infiniment plate sur un secteur, mais
plus précisément une fonction holomorphe \emph{à décroissance exponentielle}
(d'un certain ordre $k>0$):
$$|f(x)|<C\ e^{-{a/ x^k}},$$
pour des réels convenables $C,a>0$;

\item
Quand $x$ varie le rang du plus petit terme est en général proche du
rang $N=$ Partie entière de ${b/ x^k}$ (pour $b,k>0$ convenablement choisis:
par exemple $k=1, \ b=1$ pour la série d'Euler). Cela conduit à définir une
\og quasi-sommation au plus petit terme\fg: on prend pour \og somme\fg de la série
$\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n$ le nombre $\sum
_{n=0}^N a_nx^n$, avec $N={}$partie entière de ${b/ x^k}$; $b$ et $k$ étant
\og bien choisis\fg. On observe expérimentalement que si ce choix est bon le
procédé est numériquement très efficace.
\end{enumeratea}

Il existe une modification simple de la théorie asymptotique de Poincaré qui
explique parfaitement ces trois observations. C'est la théorie asymptotique
Gevrey\footnote{On montre
l'équivalence entre les trois propriétés (a), (b), (c) convenablement
formulées. J'ai remarqué l'équivalence entre {(a)} et {(b)} en 1978; celle entre {(a)} et {(c)} m'a été signalée un peu plus tard par
\textsc{B.\,Malgrange.}}.

\begin{definition*}
Soit $k>0$ un réel. Soit $V$ un secteur ouvert du plan complexe (ou de la surface
de Riemann du Logarithme) de sommet~$0$. Soient $f$ une fonction holomorphe sur $V$
et $\widehat f=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n\in \CC[\![x]\!]$. On dit
que $f$ est asymptotique Gevrey d'ordre $s={1/ k}$ à $\widehat f$ sur $V$ si pour
tout sous-secteur compact $W$ de $V\cup \{ 0\}$ et tout entier $n\in {\NN}$, il
existe des réels $C_W,A_W>0$ tels que
$$|x|^{-n}\bggmodule{f(x) -\sum _{p=0}^{n-1}a_px^p}<C\ (n!)^{{1/ k}}\
A^n,$$
pour tout $x\in W$.
\end{definition*}

L'ensemble des fonctions holomorphes sur $V$ admettant un développement asymptotique Gevrey d'ordre $s=1/k>0$ à l'origine (muni de $+,\cdot,x^2{d/dx}$) est une $\CC$-algèbre différentielle notée $A_{{1/k}}(V)$.

Si $V$ est un secteur ouvert d'ouverture $<{\pi / k}$ (\og petit secteur\fg) on a une
suite exacte d'algèbres différentielles:
$$0\to A^{<-k}(V)\to A_{{1/k}}(V)\To{J}
\CC[\![x]\!]_{{1/ k}}\to 0.$$ La surjectivité de l'application $J$ est
le théorème de Borel-Ritt-Gevrey (que l'on prouve en utilisant une
\og transformation de Laplace incomplète\fg).

On a l'analogue du théorème fondamental des développements asymptotiques,
le \emph{Théorème fondamental des développements asymptotiques Gevrey}
\cite{RS1}:
\vskip 5pt

\begin{theoreme*}
Soient $G(x,Y,\dots,Y_n)$ une fonction analytique de $n+2$ variables et $\widehat f\in
\CC[\![x]\!]_{{1/k}}$ une solution série formelle Gevrey d'ordre $1/k$ de
l'équation différentielle:
\begin{align*}
G(x,y,\dots,y^{(n)})=0&&\mbox{(\ie $G(x,\widehat f,\dots,\widehat f^{(n)})=0$).}
\tag*{$(1)$}
\end{align*}
Alors il existe un réel $k'>0$ tel que pour tout secteur ouvert $V$ de sommet
l'origine, d'ouverture $<\inf({\pi/k},{\pi/k'})$, de rayon assez petit, il
existe une fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(1)$, asymptotique sur
$V$ à $\widehat f$ au sens Gevrey d'ordre $1/k$.
\end{theoreme*}

Ce théorème prend tout son intérêt si l'on tient compte du théorème de
\textsc{Maillet} \cite{M}:
\begin{theoreme*}
Soient $G(x,Y,\dots,Y_n)$ une fonction analytique de $n+2$ variables et $\widehat f\in
\CC[\![x]\!]$ une solution série formelle de
l'équation différentielle:
\begin{align*}
G(x,y,\dots,y^{(n)})=0&&\mbox{(\ie $G(x,\widehat f,\dots,\widehat f^{(n)})=0$).}
\tag*{$(1)$}
\end{align*}
Alors il existe un réel $k>0$ tel que la série formelle $\widehat f$ soit
Gevrey d'ordre $1/k$.
\end{theoreme*}

\textsc{Maillet} a démontré ce théorème en utilisant des estimations
directes. Le résultat est en général loin d'être optimal (le réel $k$
n'est pas le plus petit possible). Nous reviendrons plus loin sur cette
question (\cf 3.1 ci-dessous).

Pour préparer la suite (et expliquer les relations entre les observations (a) et (b) ci-dessus) je vais traduire plus \og géométriquement\fg le concept de série
Gevrey en introduisant la notion de \og quasi-fonction $k$-précise\fg. (Dans la
littérature en référence on utilise en fait un peu de cohomologie des faisceaux,
mais je souhaite ici communiquer les idées fondamentales en restant à un niveau
technique élémentaire.)

On considère un secteur ouvert $V$ de $\CC$ (qui peut être un disque
épointé $D^*$) ou de la surface de Riemann du Logarithme. On va utiliser des
recouvrements $\{ V_i \} _{i\in I}$ de $V$. Tous ces recouvrements seront supposés
finis, les $V_i$ ayant le même rayon que $V$, et les intersections 3 à 3 étant
vides. On supposera aussi $I=[1,m]$ et on numérotera les $V_i$ dans le sens des
aiguilles d'une montre. On notera $V_{i,i+1}=V_i\cap V_{i+1}$ (si $V=D^*$, \og $m+1=0$\fg).
On considérera des \og 0-cochaînes holo\-morphes\fg; ce sont des suites
$\{ f_i \}$, avec $f_i$ holomorphe sur $V_i$ et les \og 1-cobords\fg associés
(1-cochaînes): ce sont les suites $\{ h_i \}$, avec $h_i=f_{i+1}-f_i$.

Soit $k\!>\!0$. Par définition une quasi-fonction $k$-précise sur le secteur $V$ est la
donnée d'une 0-cochaîne holomorphe $\{ f_i \}$ associée à un
recouvrement $\{ V_i \} _{i\in I}$, les $h_i=f_{i+1}-f_i$ étant à
décroissance expo\-nen\-tielle d'ordre $k$ sur $V_{i,i+1}$. De plus on
\og identifie\fg deux telles données $(\{ f_i \} ;\{ V_i \} _{i\in I})$ et $(\{
g_j \} ;\{ W_j \} _{j\in J})$ si chaque fois que \hbox{l'intersection} $V_i\cap W_j$
est non vide, $f_i-g_j$ est à décroissance exponentielle d'ordre~$k$ sur
cette intersection.

En d'autres termes la notion de quasi-fonction $k$-précise formalise la notion de
fonction holomorphe \og connue à précision exponentielle d'ordre $k$ près\fg.
Une quasi-fonction $k$-précise est dite bornée si les $f_i$ le sont.

En recouvrant un disque épointé $D^*$ par des secteurs d'ouverture $<{\pi/ k}$ et en
utilisant le théorème de Borel-Ritt-Gevrey, on peut asso\-cier à toute série
Gevrey $\widehat f\in \CC[\![x]\!]_{{1/k}}$ une quasi-fonction $k$-précise \emph{unique} (modulo l'identification faite): sa quasi-somme (analogue à la fonction
somme d'une série convergente); si $\{ f_i \}$ représente la quasi-somme de
$\widehat f$, $f_i\sim \widehat f$ sur $V_i$ au sens Gevrey d'ordre ${1/k}$. Tout comme
une fonction holomorphe bornée dans un disque épointé $D^*$ est somme d'une
série convergente (principe des singularités inexistantes de Riemann), une
quasi-fonction $k$-précise bornée dans un disque épointé $D^*$ est quasi-somme
d'une série Gevrey d'ordre $1/k$.

Ce résultat (qui comme le résultat usuel est prouvé en utilisant
l'intégrale de Cauchy \cite{Ra1}, \cite{Si1,Si2}, \cite[Th.\,3.2]{Si3}) est \emph{essentiel}.
Grâce à lui nous disposons d'une méthode \og cohomologique\fg pour prouver qu'une
série est Gevrey: cela se vérifie sur des \og corrections infiniment plates\fg dont il
s'agit d'étudier la décroissance exponentielle. Cette méthode s'est
révélée plus puissante que les méthodes usuelles (estimation directe des
coefficients, théorèmes des fonctions implicites,...). Elle permet entre autres une
linéarisation des problèmes (\cf {3}).

Les bases de la théorie asymptotique Gevrey et de la théorie de la
$k$-sommabilité (\cf {2.3}, ci-dessous), que j'ai retrouvées et
développées à partir de 1978, datent en fait du début de ce
siècle et sont dues au mathématicien anglais \textsc{G.\,Watson} \cite{Wat2,Wat3}. Il ne
semble pas que \textsc{Watson} ait eu beaucoup de succès avec ces travaux et ses
idées ont été bien oubliées\footnote{Il
faut toutefois signaler que ces travaux ont motivé la théorie des classes de
fonctions quasi-analytiques de Denjoy-Carleman \cite{Ca} (via \cite{Ne}), qui réapparaît dans
les dernières recherches de \textsc{J.\,Ecalle} sur la sommabilité des séries
divergentes: \og fonctions cohésives\fg.}. On trouve encore aujourd'hui des échos des
dures critiques qu'a du subir \textsc{Watson} dans deux des plus fameux (et des
meilleurs...) livres sur les théories asymptotiques \cite{Di}, \cite{O}: \textsc{Dingle} écrit
à propos des \og développements asymptotiques Gevrey\fg et de la sommabilité
associée introduits par \textsc{Watson}:

\emph{At the cost of considerable complication the central deficiency of Poincaré's
spécification can be removed...}

\emph{Enough has been said to exemplify the involved nature of this definition...
Confirmation along these lines of a complete asymptotic expansions demands too much
advance and advanced knowledge... to make the idea deceptively straightforward as it
appears at root, a workable basis of definition except for simple asymptotic expansions
derived by elementary means...}

\noindent
\textsc{Olver} est encore plus dur \cite[p.\,543]{O}:

\emph{Unfortunately a satisfactory definition of complete validity is unavailable.
Ano\-ther drawback to Watson's theory is the need for properties of the remainder term
which are likely to be available only when a realistic bound for the remainder
term is known. The theory is then largely unnecessary.}

Nous espérons que la suite de ces notes convaincra le lecteur de la totale
inexactitude de ces jugements. (L'erreur d'appréciation est très surprenante dans
le cas de \textsc{Dingle} qui a parfaitement compris l'importance des erreurs
exponentiellement petites en théorie asymptotique et est donc passé très près
du bon point de vue !)

\subsection{La \texorpdfstring{$k$}{k}-sommabilité}
Soit $k>0$. Si $V$ est un secteur ouvert d'ouverture $<{\pi / k}$ (\og petit
secteur\fg) on a vu que l'on a une suite exacte d'algèbres différentielles:\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$0\to A^{<-k}(V)\to A_{{1/k}}(V)\To{J}
\CC[\![x]\!]_{{1/k}}\to 0.$$

La situation est très différente si $V$ est un secteur ouvert d'ouverture
$>{\pi/k}$ (\og grand secteur\fg). On a alors une suite exacte
d'algèbres différentielles:\vspace*{-3pt}
$$0\to A_{{1/k}}(V)\To{J}\CC[\![x]\!]_{{1/k}}\to 0.$$

Dans ce cas l'application $J$ n'est plus surjective. Elle est par contre
injective, d'après un résultat de \textsc{Watson} \cite{Wat2}:

\begin{theoreme*}
Soient un réel $k>0$ et un secteur ouvert $V$, de sommet l'origine,
d'ouverture $>{\pi/k}$. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $V$, à~décroissance exponentielle d'ordre $k$ sur $V$. Alors $f$ est identiquement nulle.
\end{theoreme*}

Ce théorème est une conséquence du théorème de Phragmèn-Lindelöf (qui
est une variante du principe du maximum).

Ainsi, sur un \og grand secteur\fg, pour la somme d'une série formelle Gevrey, on perd
l'existence, mais on gagne l'\emph{unicité}. Cela conduit à la notion suivante de
sommabilité:

\begin{theoreme*}
Soient un réel $k>0$ et une direction $d$ fixés. Une série formelle $\widehat f$
est dite $k$-sommable dans la direction $d$, s'il existe une fonction $f$ holomorphe
sur un secteur $V$, de bissectrice $d$, d'ouverture $>{\pi/k}$, asymptote à
$\widehat f$ au sens Gevrey d'ordre ${1/k}$ sur $V$.
\end{theoreme*}

Dans ces conditions la fonction $f$ est unique (au secteur de définition $V$
près), d'après le théorème de Watson. On dira que $f$ est la \emph{somme} de
$\widehat f$ dans la direction $d$ au sens de la $k$-sommabilité. On note $f=S_{k;d}\
\widehat f$, et on désigne par $\CC\{ x\} _{{1/k};d}$ l'ensemble des séries
$k$-sommables dans la direction $d$. On vérifie immédiatement que
$\CC\{ x\} _{{1/k};d}$ est une sous-algèbre différentielle de $\CC[\![x]\!]_{{1/k}}$, et que l'application
$$S_{k;d}:\ \CC\{ x\} _{{1/k};d}\to A_d$$
est un homomorphisme injectif d'algèbres différentielles. (On a noté $A_d$
l'algèbre des germes de fonctions holomorphes sur des secteurs ouverts bissectés
par $d$, d'ouverture et rayons arbitraires.)

Cette définition de la $k$-sommabilité est agréable (et fort utile; par exemple
pour \emph{vérifier} la $k$-sommabilité d'une série solution formelle d'une
équation fonctionnelle analytique), mais elle ne permet pas de \emph{calculer}
explicitement la somme. On utilise pour cela une définition équivalente
(l'équivalence est facile):

\begin{definition*}
Soient un réel $k>0$ et une direction $d$ fixés. Une série formelle $\widehat f$
est dite $k$-sommable dans la direction $d$, si sa transformée de Borel formelle
de niveau $k$: $\widehat \phi =\widehat {\cal B}_k\ \widehat f$ est convergente et si sa somme
(usuelle) $\phi = S\widehat \phi$ se prolonge analytiquement en une fonction (toujours
notée) $\phi $ holomorphe et à croissance exponentielle d'ordre au plus $k$ sur
un secteur ouvert bissecté par $d$.

Dans ces conditions on dit que
$$f(x)=k\int _d \phi (\xi )\ e^{-{\xi ^k/ x^k}}\ \xi ^{k-1}\ d\xi= {\cal
L}_{k;d}\ \widehat f(x)$$
est la somme de $\widehat f$ dans la direction $k$, au sens de la
$k$-sommabilité.
\end{definition*}

L'opérateur
$$\widehat {\cal B}_k:\CC[\![x]\!]\to \CC[\![x]\!]$$
a été défini en {1.5}.
On notera que l'opérateur de Laplace de niveau~$k$: ${\cal L}_{k;d}$, introduit dans
cette définition, a un domaine de définition plus \emph{large} que l'opérateur de
même nom introduit en {1.5}. On a
$$S_{k;d}={\cal L}_{k;d}\;._d\ S\ \widehat {\cal B}_k.$$

Pour $k=1$ on retrouve un procédé de sommation dû à \textsc{E.\,Borel} (sommation
de Borel: en fait le procédé original de \textsc{Borel} est un peu plus général).

On peut aussi sommer une série $k$-sommable dans la direction $d$ en utilisant une
méthode abélienne, la sommation de \textsc{Hardy}-\textsc{Jurkat} (qui n'utilise
pas explicitement le paramètre $k$):

\begin{theoreme*}
Soit $k>0$. Soit $d$ une direction issue de l'origine. Soit $\widehat f\in \CC[\![x]\!]=\sum _{n=0}^{+\infty} a_nx^n$ une série formelle $k$-sommable
dans la direction~$d$. Sa somme $f$ dans la direction~$d$ se prolonge analytiquement le
long d'un intervalle ouvert maximal $\gamma _d$ porté par $d$ en une fonction
toujours notée $f$. Alors, si $x_0$ est un point de $\gamma _d$:
\[\textstyle
\lim_{t\to 0; t>0}\left( a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +
\sum_{n=3}^{+\infty } a_n x^n e^{-tn\log n\,\log(\log n)} \right)
\]
existe et est égale à $f(x_0)$.
\end{theoreme*}

On démontre ce résultat dû à \textsc{Jurkat} \cite{J} (notre énoncé est
légèrement plus précis que celui de \cite{J}), en se ramenant (en utilisant
des résultats de l'auteur de ces notes) au cas ou les coefficients $a_n$ de la
série $k$-sommable $\sum a_nx^n$ sont les \og moments\fg d'une fonction~$\phi $
définie sur $[0,a]\subset \RR^+$ à décroissance exponentielle
d'ordre $k$ à l'origine\footnote{Dans le cas où $k=1$ et où la
fonction $\phi $ est à valeurs réelles positives la somme de Borel peut
être calculée en transformant la série de puissances $\sum a_nx^n$ en
une \emph{fraction continue} convergente (\textsc{Laguerre}, \textsc{Stieltjes},
\textsc{Borel} \cite[Chap.\,2]{Bo1}, \textsc{Padé}...).}: $a_n=\int _0^a \phi (t)\ t^{-(n+1)}\ dt$.

Pour préparer l'étude de la multisommabilité on va reformuler la notion de
série $k$-sommable de façon un peu plus \og géométrique\fg en utilisant la notion
de quasi-fonction:

Soient $k>{1/ 2}$ et $\widehat f\in \CC[\![x]\!]_{{1/k}}$. Par définition une
$k$-suite asso\-ciée à~$\widehat f$, dans la direction $d$, est une suite $(f_1,f_2)$,
où $f_2$ est la quasi-fonction $k$-précise quasi-somme de $\widehat f$ et où $f_1$
est une fonction holomorphe sur un secteur $V$ de $\CC$, de bissectrice $d$ et
d'ouverture $>{\pi/k}$; $f_1$ étant égal comme quasi-fonction $k$-précise
à la restriction de~$f_2$ à~$V$.

D'après le théorème de Watson, si une telle $k$-suite existe elle est unique.
On vérifie immédiatement qu'une telle $k$-suite existe si et seulement si $\widehat
f$ est $k$-sommable dans la direction $d$; de plus $f_1$ est alors la somme de $\widehat
f$, dans la direction $d$, au sens de la $k$-sommabilité.

\subsection{La multisommabilité}

Après la découverte par \textsc{Émile~Borel} de la Borel-sommabilité, rapidement
généralisée en \og $k$\nobreakdash-som\-mabi\-lité\fg par \textsc{Leroy} \cite{Le} et \textsc{Nevanlinna}
\cite{Ne}, de nombreux mathématiciens ont cherché à montrer que les solutions
séries formelles des équations différentielles algébriques sont toujours
$k$-sommables. C'était déjà le problème étudié par \textsc{Maillet} dans
\cite{M} en 1903. Malheureusement, comme je l'ai annoncé en
1979 dans \cite{Ra2}, ceci est faux, pour une raison au fond assez
évidente, et il est étonnant que cette remarque n'ait pas été faite
antérieurement. Intuitivement, si $k\not = k'$, les procédés de
$k$-sommabilité et $k'$-sommabilité sont \og assez loin l'un de l'autre\fg et ne
sont guère comparables: si $k<k'$, les estimations asymptotiques exigées
pour la $k'$-sommabilité sont \emph{plus} strictes; par contre l'ouverture du
secteur exigée (supérieure à $\pi /k'$) est plus petite (on est \emph{moins} strict sur l'ouverture du secteur). Cette intuition est confirmée par
le théorème (\og taubérien\fg) suivant~\cite{Ra7}:

\begin{theoreme*}
Soient $k$ et $k'$ deux réels, avec $k'>k>0$. Alors
$$\CC[\![x]\!]_{1/k}\cap \CC[\![x]\!]_{1/k'}=\CC\{ x\}.$$
\end{theoreme*}

Pour construire le contre-exemple cherché, on est alors conduit à considérer la
somme $\widehat f$ d'une solution formelle $\widehat f_1$ $k_1$-sommable d'un opérateur
différentiel linéaire algébrique $D_1$ et d'une solution formelle~$\widehat f_2$
$k_2$-sommable d'un opérateur différentiel linéaire algébrique~$D_2$. Cette
somme est solution d'un opérateur différentiel linéaire algébrique $D$.

L'exemple le plus simple consiste à prendre pour $\widehat f_1$ la série d'Euler, et
pour $\widehat f_2$ la série d'Euler où l'on a remplacé $x$ par $x^2$. Ainsi
$\widehat f_1$ est 1-sommable, $\widehat f_2$ est 2-sommable, mais
$$\widehat f= \widehat f_1 + \widehat f_2$$
$$\widehat f(x)=\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n\ n!x^{n+1}
+\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n\ n!x^{2n+2}$$
n'est $k$-sommable pour \emph{aucun} réel $k>0$. De plus $\widehat f$ est
solution des équations différentielles linéaires algébriques suivantes\footnote{N.d.E.: une référence était faite au livre à paraître \emph{Asymptotic expansions with
Gevrey estimates and cohomological methods} par Ramis et Sibuya; ce livre n'est jamais paru.}: $Dy=0$, avec
$$D=\left({d\over dx}\right)^5\Bigl(x^5(2-x){d^2\over dx^2}-x^2(2x^3-5x^2-4){d\over dx}+2(x^2-x+2)\Bigr)$$
et
\[
x^5(2-x)y''-x^2(2x^3-5x^2-4)y'+2(x^2-x+2)y
\!=\!-3x^4+10x^3+2x^2+4x.
\]
Si l'on veut un procédé de sommation apte à sommer les solutions formelles des
équations différentielles algébriques (même seulement linéaires), on voit
qu'il semble raisonnable de chercher un procédé permettant de sommer les \emph{sommes} finies de séries $k$-sommables (dans une même direction $d$ fixée) pour
des $k$ \emph{différents}. On peut évidemment penser que si $\widehat f= \widehat f_1 +
\widehat f_2$, on peut définir la somme de $\widehat f$ comme somme de celles de $\widehat f_1$
et $\widehat f_2$. Mais il apparaît immédiatement une difficulté: il faut montrer que la
somme de $\widehat f$ ainsi obtenue est indépendante de la décomposition (\ie du
choix de $\widehat f_1$ et $\widehat f_2$). De plus nous voulons travailler avec une algèbre
et il faudra donc étudier la décomposition en somme d'un produit. Enfin si l'on
veut appliquer tout cela aux équations différentielles (linéaires ou non), il
faudra étudier la décomposition en somme de séries $k$-sommables (dans une
même direction) d'une solution série formelle d'une telle équation. Après de
nombreuses années et grâce aux efforts de plusieurs mathématiciens toutes ces
questions ont reçu des réponses satisfaisantes. La~façon la plus simple de
définir la \og multisommabilité\fg est d'utiliser~le

\begin{theoreme*}
Soit $d$ une direction issue de l'origine. La somme
$$\sum_{k>{1/ 2}}\CC\{ x\} _{1/k;d}$$
de sous-espaces vectoriels complexes de $\CC[\![x]\!]$ est une sous-algèbre
différentielle de $(\CC[\![x]\!],x^2{d/ dx})$. De plus, il existe un
homomorphisme injectif d'algèbres différentielles unique
$$S_d:\ \sum_{k>{1/ 2}}\CC\{ x\} _{1/k;d}\to\
A_d$$ tel que la restriction de $S_d$ à chaque espace $\CC\{ x\} _{1/k;d}$
($k>{1/ 2}$) coïncide avec l'opérateur de $k$-sommation dans la direction $d$:
$$S_{k;d}:\ \CC\{ x\} _{1/k;d}\to A_d.$$
\end{theoreme*}

En remplaçant dans l'énoncé du théorème la variable $x$ par une
ramification variable $x^{1/ m}$ $(m\in \NN^*)$, on obtient un homomorphisme
injectif d'algèbres différentielles (toujours noté $S_{k;d}$)
$$S_{k;d}:\ \bigcup_{m\in \NN^\ast }\ \sum_{k>{1/ 2}}\CC\{ x^{1/
m}\} _{1/k;d}\to A_d.$$
On note
$$\CC\{ x\} _{.;d}=\ \bigcup_{m\in \NN^\ast }
\sum_{k>{1/ 2}}\CC\{ x^{1/ m}\} _{1/k;d}\ \cap
\ \CC[\![x]\!];$$
$\CC\{ x\} _{.;d}$ est une sous-algèbre différentielle de
\[
\bigcup_{m\in \NN^\ast } \sum_{k>{1/ 2}}\CC\{ x^{1/ m}\}
_{1/k;d},
\]
contenant l'algèbre $\CC\{ x\} _{1/k;d}$, pour tout $k>0$, car
\[
\CC\{ x^{1/ m}\} _{1/k;d}\cap \CC[\![x]\!]=\CC\{ x\} _{1/mk;d},
\]
et on obtient un homomorphisme injectif d'algèbres différentielles
$$S_{k;d}:\ \CC\{ x\} _{.;d}\to A_d.$$ dont la restriction à chaque
algèbre $\CC\{ x\} _{1/k;d}$ ($k>0$) coïncide avec l'opérateur de $k$-sommation
dans la direction $d$.

On dit qu'une série formelle $\widehat f\in \CC\{ x\} _{.;d}$
est \emph{multisommable dans la direction $d$}.

Soient $k_1,\dots,k_r$ des réels, avec $k_1>\cdots>k_r>0$ et $d$ une direction
issue de l'origine. Si $\widehat f\in \sum_{i=1}^r\CC\{
x\} _{1/k_i;d}$, on dit que $\widehat f$ est $(k_1,\dots,k_r)$-sommable dans la direction $d$,
et on note $\widehat f\in \CC\{ x\} _{1/k_1,\dots,1/k_r;d}$.

Il existe deux preuves assez différentes du théorème que nous venons
d'énoncer. La première utilise la théorie de l'accélération de Jean \textsc{Ecalle}\footnote{N.d.E.: une référence est donnée au livre \emph{Introduction à l'accélération et à ses applications} de J. Ecalle, qui n'est jamais paru.}, et généralise l'approche par formule intégrale et prolongement
analytique (Borel-Laplace) de la $k$-sommabilité. Elle est détail\-lée dans \cite{MR3}.
La seconde, due à \textsc{B.\,Malgrange} et \textsc{J.\nobreakdash-P.\,Ramis}~\cite{MaR}, plus
\og géométrique\fg, utilise essentiellement la notion de \emph{correction
exponentiellement petite}. En gros on procède ainsi:

On \emph{définit} la notion de multisommabilité de la façon suivante:
Soient $k_1,\dots,k_r$ des réels, avec $k_1>\cdots>k_r>0$ et une direction $d$ issue de
l'origine. Soit $\widehat f\in \CC[\![x]\!]_{1/k_r}$.
Soient $V_1,\dots,V_r$ des secteurs ouverts de même rayon et de même bissectrice
$d$, emboîtés: $V_1\subset \cdots\subset V_r$. On suppose $ouv V_i>\pi /k_i$.
Une $(k_1,\dots,k_r)$-suite associée à $\widehat f$ est la donnée d'une
suite $(f_1,\dots,f_r,f_{r+1})$, où $f_1$ est une fonction holomorphe sur le secteur
$V_1$, $f_{r+1}$ est la quasi-fonction $k_r$-précise définie par $\widehat f$, et
$f_2$,\dots,$f_r$ sont des quasi-fonctions respectivement $k_1$,\dots,$k_{r-1}$-précises
définies respectivement sur les secteurs $V_2$,\dots,$V_{r-1}$; la restriction de
$f_{i+1}$ à $V_i$ coïncidant avec la quasi-fonction $k_i$-précise associée
à la quasi-fonction $k_{i-1}$-précise $f_i$, pour $i=1,\dots,r$ (par convention
$k_0=+\infty$).

Le théorème \og de quasi-analyticité relative\fg que nous énoncerons plus loin
permet de voir que, s'il existe une $(k_1,\dots,k_r)$-suite associée à $\widehat f$,
elle est \emph{unique}. Dans ces conditions on dira que $\widehat f$ est multisommable
dans la direction $d$ et que $f_1$ est sa \emph{somme} dans la direction $d$. Il
est alors facile de vérifier que $\widehat f\to f_1$ est un homomorphisme
injectif d'algèbres différentielles ($f_1$ admet $\widehat f$ pour développement
asymptotique à l'origine). En travaillant un peu plus on obtient les propriétés
de décomposition en sommes de séries $k$-sommables décrites plus haut.

\begin{theoreme*}
Soient $k'>k>0$. Soit $V$ un secteur ouvert du plan complexe (ou de la surface de
Riemann du Logarithme) de sommet l'origine, d'ouverture $>{\pi/k}$. Soit $f$ une
quasi-fonction sur $V$, $k'$\nobreakdash-pré\-cise et à décroissance exponentielle d'ordre
$k$ sur $V$ (\ie $f$ est représentée par une $0$\nobreakdash-co\-chaîne $\{ f_i\} $, avec
$f_i$ à décroissance exponentielle d'ordre~$k$ sur $V_i$ et $f_{i,i+1}$ à
décroissance exponentielle d'ordre~$k'$ sur $V_{i,i+1}$). Alors $f$ est une
quasi-fonction $k'$-précise nulle sur $V$ (\ie les~$f_i$ sont à décroissance
exponentielle d'ordre~$k'$ sur~$V_i$).
\end{theoreme*}

Ce théorème est dû à \textsc{B.\,Malgrange} \cite{Ma1}. Il généralise le théorème
de \textsc{Watson} énoncé en {2.3} (l'énoncé est similaire, les
quasi-fonctions remplaçant les fonctions).

Le théorème de quasi-analyticité relative de \textsc{Malgrange} est
équivalent à un théorème \og taubérien\fg de \textsc{Martinet} et \textsc{Ramis}
\cite[Chap.\,2, Prop.\,4.3]{MR2}:

\begin{theoreme*}
Soient $0<k'<k$, $\kappa = {kk'/ (k-k')}$,
et $d$ une direction issue de l'origine. Si la série formelle $\widehat f \in \CC[\![x]\!]_{1/k}$ est $k'$-sommable dans la direction $d$, alors elle est $k$-sommable
dans toute direction du secteur de bissectrice $d$ et d'ouverture $\pi / \kappa $.
\end{theoreme*}

Une forme très voisine de ce théorème avait déjà été obtenue par
\textsc{G.\,H.\,Hardy} (avec $k'/k=2$) \cite{H3} et son élève \textsc{Good} \cite{Goo}.

\textsc{G.\,H.\,Hardy} (\cite[6.1, p.\,121]{H1}) écrivait à propos de la nature des
\og théorèmes taubériens\fg:

\emph{\og There is another limit, of a less obvious kind, to the effectiveness of these
methods, and of all that have proved useful. Every method will fail to sum series
which diverge too rapidly; and it will also fail to sum \emph{divergent series
whose divergence is too slow}\footnote{C'est
\textsc{Hardy} qui souligne.}. The theorems which embody this principle belong to the
class which... are called \og Tauberian\fg. They assert that if a series is summable
$(P)$, and satisfies some further condition $K_P$ (which will vary with the method
$P$, but will in any case imply a certain slowness of possible divergence), then it
is convergent.\fg}

Ce principe a été en un certain sens généralisé plus tard, suivant des
idées de \textsc{Hardy} et \textsc{Littlewood}. Citons \textsc{Good} (\cite[p.\,145]{Goo}), qui compare deux méthodes de sommabilité \emph{f} et \emph{g}:

\emph{\og Quite often then we have
The Hardy-Littlewood principle of summability: if f is more widely
applicable than g, and if g is applicable and f effective, then g is
effective.}

Le théorème taubérien énoncé plus haut illustre bien ce dernier principe.

L'inconvénient de l'approche de la multisommabilité que nous venons
d'esquisser est qu'elle ne fournit pas de procédé explicite commode pour calculer
la somme. Pour obtenir un tel procédé on peut utiliser l'accélération, que nous
ne décrirons pas ici (on pourra se reporter à l'article introductif \cite{LR2}). On
peut aussi employer une méthode d'itération de transformées de Laplace (de
niveaux différents) due à \textsc{Balser} \cite{Ba2}. On procède ainsi:

Soient $k_1>\cdots>k_r>0$. On définit des réels strictement positifs $\kappa
_1,\dots,\kappa _r$: ${1/ \kappa _i}={1/k_i}-{1/k_{i-1}}$
($i=2,\dots,r$) et ${1/ \kappa _1}={1/k_1}$. On a alors
$${1\over k_i}={1\over \kappa _1}+\cdots+{1\over \kappa _i},$$
pour $i=1,\dots,r$.

Désignons par $._d$ le prolongement analytique le long de la direction~$d$.

\begin{theoreme*}
Soit $d$ une direction issue de l'origine. Soient $k_1>\cdots>k_r>0$ et
$\kappa_1,\dots,\kappa _r$ comme ci-dessus. Pour $\widehat f\in \CC[\![x]\!]$ les
conditions suivantes sont équivalentes:
\begin{enumeratei}
\item
$\widehat f$ est $(k_1,\dots,k_r)$-sommable dans la direction $d$;

\item
$\widehat {\cal B}_{\kappa _r}...\widehat{\cal B}_{\kappa _1}\widehat f$
est une série convergente et, pour tout $i=r,\ldots,2$, la fonction
$$._d\ {\cal L}_{\kappa _i}\;._d\;...{\cal L}_{\kappa _r}\;._d\
S\ \widehat {\cal B}_{\kappa _r}...\widehat{\cal B}_{\kappa _1}\widehat f$$
est holomorphe et à croissance exponentielle d'ordre $\kappa _{i-1}$ dans un secteur
convenable bissecté par $d$.
\end{enumeratei}

Si ces conditions sont réalisées
$${\cal L}_{\kappa _1}\;._d\;...\ {\cal L}_{\kappa _r}\;._d\
S\ \widehat {\cal B}_{\kappa _r}\cdots\widehat{\cal B}_{\kappa _1}\widehat f$$
existe et est la somme (au sens de la multisommabilité) de $\widehat f$ dans la direction
$d$.
\end{theoreme*}

Cette méthode est susceptible d'application numérique\footnote{N.d.E.: la référence à l'article \emph{Problèmes algorithmiques posés par la
resommation} de J.\,Thomann (1990) n'est pas accessible.}. Une autre méthode
de sommation explicite d'une série multisommable (élégante, mais peu
exploitable numériquement...) est donnée par le résultat suivant, dû à \textsc{Jurkat} \cite{J}\footnote{Le résultat prouvé par
\textsc{Jurkat} est en fait un peu moins précis. Il faut reprendre sa démonstration et
utiliser \cite{MaR}.}:

\begin{theoreme*}Soit $d$ une direction issue de l'origine. Soit $\widehat f\in \CC[\![x]\!]=\sum _{n=0}^{+\infty} a_nx^n$ une série formelle multisommable
dans la direction $d$. Sa somme $f$ dans la direction $d$ se prolonge analytiquement le
long d'un intervalle ouvert maximal $\gamma _d$ porté par $d$ en une fonction
toujours notée $f$. Alors, si $x_0$ est un point de $\gamma _d$:
\[\textstyle
\lim_{t\to 0; t>0}\left( a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +
\sum_{n=3}^{+\infty } a_n x^n e^{-tn\log n\,\log(\log n)} \right)
\]
existe et est égale à $f(x_0)$.
\end{theoreme*}

En d'autre termes la multisommabilité implique la sommabilité par la méthode
abélienne de Hardy-Jurkat.

On remarque que la mise en \oe uvre des procédés \og explicites\fg de sommation basés
sur la multisommabilité (sommation par accélération ou itération de
transformées de Laplace) nécessite la connaissance des \emph{\og niveaux
critiques\fg} $k_1,\dots,k_r$. Par contre la sommation par la méthode abélienne
de Hardy-Jurkat ne nécessite pas cette connaissance: cette dernière méthode est
\og plus puissante\fg (elle somme plus de séries divergentes). (On a rencontré
une situation analogue en sommant une série convergente dans son étoile de
Mittag-Leffler: tandis que la méthode abélienne de \textsc{Lindelöf} permet de
sommer dans toute l'étoile, la méthode ($\widehat {\cal B}_k,{\cal L}_k$) de
Borel-Laplace exige de choisir le paramètre $k$ en fonction du point de
l'étoile où l'on veut sommer.) On paye cette puissance par l'inefficacité
numérique.

Ceci est une illustration d'un phénomène général découvert par \textsc{Hardy} et \textsc{Littlewood}: plus une méthode de sommation est puissante, moins elle
est \og fine\fg. Citons à nouveau \textsc{Hardy} \cite[p.\,153]{H3}:

\emph{Littlewood and I have often emphasized a general principle which it is
difficult to formulate precisely, but which may be indicated roughly as follows:
\emph{the delicacy of a method of summation tends to be inversely proportional to
its power}.}\enlargethispage{\baselineskip}%

\section{Séries divergentes et systèmes dynamiques}

\subsection{Solutions formelles des équations différentielles}

Je ne parlerai pas particulièrement ici du cas \emph{linéaire}. (On
se reportera à l'exposé \cite{LR1} de M. \textsc{Loday-Richaud} à
ces journées, et à \cite{Th1} pour les aspects numériques.)

Je vais maintenant revenir sur la théorème de Maillet énoncé en~{2.1}.
Le but de \textsc{Maillet} était en fait de sommer les solutions séries
formelles d'équations différentielles algébriques. Il pensait que l'on
pouvait y parvenir en utilisant la \og $k$-sommabilité\fg et la propriété
\og Gevrey\fg qu'il a établie était une condition nécessaire pour cela. Nous
avons vu qu'en fait ce programme n'était pas raisonnable tel quel et
qu'il était nécessaire de recourir à la multisommabilité. Nous allons voir
maintenant que c'est suffisant: toute série formelle solution d'une
équation différentielle analytique (linéaire ou non) est multisommable
dans toutes les directions sauf peut-être un nombre fini.

On commence par améliorer les estimations Gevrey dans le théorème de
Maillet. Le cas le plus simple est le cas linéaire par lequel nous
allons commencer.

Nous dirons qu'une série formelle $\widehat f$ est Gevrey d'ordre \emph{exactement} ${1/ k}$ si elle est d'ordre ${1/ k}$ et s'il
n'existe pas de réel $k'>k$ tel qu'elle soit d'ordre ${1/ k'}$.

À tout germe à l'origine d'équation différentielle linéaire analytique
$$Dy=a_n\ y^{(n)}+\cdots+a_0\ y=0$$
on associe un polygone de Newton $N(D)$ \cite{Ra1}. On a le résultat
suivant:

\begin{theoreme*}
Soit $Dy=0$ un germe d'équation différentielle analytique à
l'origine du plan complexe. Alors si $\widehat f\in \CC[\![x]\!]$ est une
solution formelle de cette équation, $\widehat f$ est convergente ou Gevrey
d'ordre exactement ${1/ k}$, $k$ étant l'une des pentes
strictement positives du polygone de Newton $N(D)$ de $D$.
\end{theoreme*}

Ce résultat est dû à O. \textsc{Perron} dans le cas d'une équation
différentielle linéaire algébrique et à moi-même dans le cas analytique
\cite{Pe}, \cite{Ra1, Ra5}. (Dans le cas linéaire analytique les estimations de
\textsc{Maillet} avaient été améliorées par \textsc{Gingold} \cite{Gi}.)

Passons au cas non linéaire. Considérons l'équation différentielle
analytique
\begin{align*}
G(x,y,\dots,y^{(n)})&=0.\tag*{$(1)$}
\end{align*}
Supposons que cette équation admette une solution formelle
$\widehat f\in \CC[\![x]\!]$. Au couple $(G,\widehat f)$ on associe un polygone
de Newton $N(G,\widehat f)$ (\og polygone de Newton de $G$ le long de $\widehat
f$ \fg). On peut obtenir des estimations précise dans le théorème de
Maillet:

\begin{theoreme*}
Soient $G(x,Y,\dots,Y_n)$ une fonction analytique de $n+2$ variables
et $\widehat f\in \CC[\![x]\!]$ une solution série formelle de
l'équation différentielle:
\begin{align*}
G(x,y,\dots,y^{(n)})&=0.\tag*{$(1)$}
\end{align*}
Alors $\widehat f$ est convergente ou Gevrey d'ordre exactement ${1/
k}$, $k$ étant l'une des pentes strictement positives du polygone de
Newton $N(G,\widehat f)$.
\end{theoreme*}

\textsc{B.\,Malgrange} a d'abord montré qu'une solution formelle est
toujours Gevrey d'ordre ${1/ k'}$, $k'$ étant la plus petite pente
de $N(G,\widehat f)$ \cite{Ma3}. Le résultat ci-dessus est dû à \textsc{Y.\,Sibuya},
qui l'a prouvé par voie cohomologique (\ie en estimant, par
linéarisation, la 1\nobreakdash-co\-chaîne des erreurs exponentielles associée à la
quasi-fonction définie par $\widehat f$) \cite{Si1}.

Les résultats ci-dessus s'améliorent en des résultats de
multisommabilité.

Soient $k_1>\cdots>k_r>0$ des nombres réels. Nous dirons que
$\widehat f\in \CC[\![x]\!]$ est $(k_1,\dots,k_r)$-sommable si elle l'est dans
toutes les directions sauf peut-être un nombre fini.

\begin{theoreme*}
Soient $G(x,Y,\dots,Y_n)$ une fonction analytique de $n+2$ variables
et $\widehat f\in \CC[\![x]\!]$ une solution série formelle de
l'équation différentielle:
\begin{align*}
G(x,y,\dots,y^{(n)})&=0.\tag*{$(1)$}
\end{align*}
On désigne par $k_1>\cdots>k_r>0$ les pentes strictement positives du
polygone de Newton $N(G,\widehat f)$. Alors $\widehat f$ est
$(k_1,\dots,k_r)$-sommable.
\end{theoreme*}

Dans le cas linéaire une première démonstration de ce résultat est due
à l'auteur de ces notes \cite{Ra2}, \cite{MR3}; on trouve d'autres
démonstrations dans \cite{BBRS} et \cite{MaR}. Dans le cas non-linéaire le
résultat vient d'être prouvé par \textsc{Braaksma} en utilisant une
approche de \textsc{J.\,Ecalle}, une preuve due à \textsc{Ramis} et \textsc{Sibuya}, dans le style de \cite{RS1}, est en cours de rédaction.

\subsection{Formes normales d'équations
différentielles et de difféo\-mor\-phis\-mes}

Considérons d'abord le cas des difféomorphismes holomorphes
locaux à l'origine du plan complexe. Un tel difféomorphisme
$$f:(\CC,0)\to (\CC,0)$$
est défini par une série convergente
$$f(x)=\lambda x+\sum_{n=1}^{+\infty }a_nx^n\in x\CC\{ x \},$$
avec $\lambda \in \CC^*$.

Pour $|\lambda |\neq1$, \textsc{Poincaré} a démontré qu'un tel
difféomorphisme est \emph{analytiquement conjugué} à son
application linéaire tangente \hbox{$f_0:x\mto \lambda x$} à l'origine.
En d'autres termes il existe un changement de coordonnées
analytique $x=\psi (t)$ ($\psi '(0)\neq0$) tel que
$f=\psi \circ f_0 \circ \psi ^{-1}$
ou
$f\circ \psi = \psi \circ f_0.$
Si $\lambda \neq1$, on dit que $\lambda $ est dans le domaine de Poincaré. Sinon
il est dans le domaine de Siegel. Si $\lambda $ est une racine de
l'unité, on dit que l'on a un difféomorphisme résonnant. Si $\lambda =1$
et si $\lambda $ n'est pas une racine de l'unité, on montre que $f$ est
formellement linéarisable (il existe un changement de
variables formel $\widehat \psi $ conjuguant~$f$ à $f_0$), mais n'est
pas toujours analytiquement linéarisable ($\widehat \psi $ ne
converge pas nécessairement). Nous ne parlerons pas plus ici de
ce cas difficile dont l'étude met en jeu des problèmes
d'approximation de réels par des rationnels. Le cas qui relève de
notre étude est le cas résonnant. Dans ce dernier cas $f$ n'est
plus en général formellement linéarisable et le premier problème
qui se pose est le problème de \emph{classification formelle} des
difféomorphismes analytiques résonnants. Pour simplifier l'exposé
nous nous limiterons à partir de maintenant aux difféomorphismes
$f$ tangents à l'identité:
$$f(x)=x+\sum_{n=1}^{+\infty }a_nx^n\in x\CC\{ x \}.$$
Chaque classe d'équivalence formelle (\ie modulo changement de
variables formel) est représentée par une \og forme normale\fg
(convergente) dont le choix est arbitraire (on cherche la forme
\og la plus simple possible\fg). Il est commode de choisir pour
formes normales l'ensemble paramétré par
$(\beta, k, \lambda )\in \CC\times \NN^*\times \CC$ des
$f_{\beta, k, \lambda }=\exp (X_{\beta,k,\lambda })$, où $X_{\beta, k, \lambda }$ est le
champ de vecteurs
$$X_{\beta, k, \lambda }=\beta \ {x^k\over 1+\lambda x^k}.$$
On se ramène aisément au cas où $\beta =2i\pi $ et on note
$X_{2i\pi, k, \lambda }=X_{k, \lambda }$. Toujours pour simplifier
l'exposition nous nous limiterons au cas où la forme normale est
$f_{1,0}(x)=\spfrac{x}{1-2i\pi x}$ ($X_{1,0}=2i\pi \ x^2{d/ dx}$).
Par le changement de coordonnées homographique $x={1/
z}$ sur la sphère de Riemann, la forme normale $f_{1,0}$ est
conjuguée à la translation $T(z)=z-2i\pi $. On remarque que la
fonction $e^{{1/ x}}$ est constante sur les orbites de
$f_{1,0}$. Elle permet d'identifier l'espace des orbites de
$f_{1,0}$ (\og orbitfoil\fg) à la sphère de Riemann privée de $0$ et
$\infty $, c'est-à-dire à~$\CC^*$ (topologiquement c'est un
cylindre $S^1\times \RR$). On notera dorénavant
$f_{1,0}=f_0$. On a
$$f_0(x)= x-2i\pi \ x^2-4\pi ^2\ x^3+\cdots$$
Tout difféomorphisme local holomorphe de la forme
$$f(x)=x-2i\pi \ x^2-4\pi ^2\ x^3+O(x^4)$$
est \emph{formellement} conjugué à $f_0$ (mais pas analytiquement
en général). Plus précisément il existe alors un difféomorphisme
formel tangent à l'identité \emph{unique} $\widehat \psi $ tel que
$f\circ \widehat \psi = \widehat \psi \circ f_0$. Ce difféomorphisme est \og en~gé\-né\-ral\fg divergent mais le point important est qu'il est
1\nobreakdash-sommable dans toutes les directions sauf les demi-axes réels
$\RR^+$ et~$\RR^-$. Les sommes $\psi _d$ de $\widehat \psi $, dans
différentes directions $d$, se recollent quand $d$ varie sans
rencontrer un demi-axe réel. On obtient donc finalement \emph{deux} sommes $\psi ^+$ et $\psi ^-$ de $\widehat \psi $ (par en-dessus et
par en-dessous) définies respectivement dans des \og secteurs\fg
d'ouverture $3\pi $. L'intersection de ces \og secteurs\fg est formée de
deux \og secteurs\fg d'ouverture $\pi $ respectivement contenus dans
${\rm R\acute{e}}\ x>0$ et ${\rm R\acute{e}}\ x<0$. Sur chacun de ces deux secteurs il y
a \emph{deux} déterminations pour la somme, donc un \emph{phénomène
de Stokes}.

Nous nous proposons maintenant de classifier les
difféomorphismes locaux holomorphes formellement conjugués à
$f_0$, modulo équivalence analytique (deux tels difféomorphismes
sont équivalent s'ils sont analytiquement conjugués). Le
phénomè\-ne surprenant est que l'espace quotient est \og énorme\fg: il
est de dimension infinie. Essentiellement il est paramétré par
les couples $(\varphi _0,\varphi _{\infty })$ où $\varphi _0$ et $\varphi _{\infty }$
sont des difféomorphismes locaux de la sphère de Riemann tangents
à l'identité, respectivement en 0 et $\infty $, et par ailleurs
\emph{complètement arbitraires}.

En fait un difféomorphisme holomorphe local $f$ formellement
conjugué à $f_0$ est essentiellement classifié par son espace
des orbites. Ce dernier se décrit aisément en utilisant le
phénomène de Stokes:

Cet espace est une \og courbe complexe non séparée\fg obtenue ainsi:

Chaque somme $\psi ^+$ et $\psi ^-$ de $\widehat \psi $ conjuguant $f$ et
$f_0$ permet d'identifier un sous-ensemble de l'espace des
orbites de $f$ à l'espace des orbites de $f_0$, c'est-à-dire au
\og cylindre\fg $\CC^*=P^1(\CC)-\{ 0,\infty \}$. Si l'on
compare ces deux identifications en utilisant les deux
phénomènes de Stokes (dans les directions $\RR^+$ et
$\RR^-$), on obtient deux copies de la sphère de Riemann
$P^1(\CC)$ recollées en 0 et $\infty $ par des
difféomorphismes analytiques tangents à l'identité $\varphi _0$ et $\varphi _{\infty}$.
On démontre (théorème \og de synthèse\fg) qu'ils peuvent être
choisis arbitrairement.

Les résultats qui précèdent sont dus à T. \textsc{Kimura}, \textsc{J.\,Ecalle} \cite{E2}, \textsc{B.\,Malgrange} \cite{Ma4}, \textsc{Voronin}.

Après avoir classifié les difféomorphismes résonnants, on peut se
poser le problème analogue pour les germes, à l'origine ${(0,0)}$ de $\CC^2$, d'équations différentielles analytiques de la
forme $\omega =Pdy+Qdx=0$ ($P$ et $Q \in \CC\{x,y\}$. Le 1-jet
à l'origine de $\omega $ est de la forme $J^1 \omega=\lambda dy+\mu dx$.
Si $\lambda,\mu \in \CC^*$ et si ${\lambda / \mu }\in \CC-\RR$,
on est dans le domaine de Poincaré et $\omega $ est
analytiquement conjuguée à $J^1\omega $. Sinon la discussion est
plus compliquée. Comme dans le cas des difféomorphismes nous nous
intéresserons seulement aux cas résonnants. Ce sont les cas où $\lambda $
ou $\mu $ est nul, l'autre ne l'étant pas (cas dégénéré) et les cas
où $\lambda,\mu \neq0$ et ${\lambda / \mu }\in \QQ^-$ (cas non dégénéré).
Géométriquement (et par référence au cas réel), dans le cas
dégénéré on a un \emph{n\oe ud-col} et dans l'autre un \emph{col
résonnant}.

Un n\oe ud-col s'écrit
$$x^{k+1}dy+\lambda ydx+\cdots=0,$$
avec $k\in \NN^*$ et $\lambda \in \CC$, et un col résonnant
s'écrit
$$pdy+qdx+\cdots=0,$$
avec $p,q\in \NN^*$.

Comme dans le cas des difféomorphismes résonnants, les formes
normales formel\-les sont paramétrées par un nombre fini de
paramètres et les changements de coordonnées ramenant une
équation résonnante à sa forme normale font intervenir des séries
Gevrey. On prouve que ces séries sont $k$-sommables. Les
équations différentielles résonnantes sont, à forme normale
formelle fixée, essentiellement classifiées analytiquement par leur
\og espace de feuilles\fg. Cet espace est décrit en utilisant le
phénomène de Stokes.

En fait la classification des équations est liée à celle des
difféomorphismes via l'holonomie. Un n\oe ud-col admet
toujours une feuille analytique lisse pour solution à l'origine
(variété forte). Un col résonnant admet toujours deux telles
solutions (transverses). Bien sûr, il~faut enlever l'origine:
ces solutions sont donc au voisinage de l'origine des disques
épointés. On dessine une transversale complexe à l'un de ces
disques épointés, puis un lacet simple, d'origine celle de la
transversale, dans le disque épointé. En relevant le lacet on
obtient une permutation des feuilles qui se voit comme un
difféomorphisme sur la transversale: c'est le difféomorphisme
d'holonomie. Dans le cas d'un col résonnant la classification des
équations s'identifie à celle de leurs holonomies. Dans le cas
d'un n\oe ud-col on n'obtient pas toutes les holonomies. Prenons
par exemple la forme normale formelle de n\oe ud-col
$$\omega _0=x^2dy+ydx=0.$$
Son holonomie est $f_0(x)=\spfrac{x}{1-2i\pi x}$.

Les n\oe uds-cols analytiques formellement conjugués à
$\omega _0=0$ sont essentiellement classifiés par les paires de
difféomorphismes locaux (analytiques et tangents à l'identité)
$(\varphi _0,\varphi _{\infty })$, en 0 et $\infty $, de la sphère de
Riemann, où $(\varphi _0$ est arbitraire, mais où $\varphi _{\infty }$ est une
\emph{translation}.

Ces résultats sont dus à \textsc{J.\,Martinet} et \textsc{J.-P.\,Ramis}
\cite{MR1, MR4, MR5}, \cite{Ma4}. Ils jouent un rôle fondamental dans la
réponse à certaines des conjectures de \textsc{R.\,Thom} sur les
feuilletages holomorphes \cite{Mou}, et dans la résolution récente du
\og problème de Dulac\fg (finitude du nombre de cycles limites pour
une équation différentielle algébrique \hbox{$Pdy+Qdx=0$} dans le plan
réel)\footnote{Le
problème de Dulac est un sous-problème de la deuxième partie
du 16\ieme problème de Hilbert.}.

\subsection{Perturbations singulières, retard à la bifurcation et
canards}
La théorie des développements asymptotiques Gevrey est, nous
l'avons vu, très efficace pour étudier les singularités
essentielles des équations différentielles. Il s'agit là de
singularités de la \emph{variable}. Cette théorie est également
utilisable pour l'étude de certains problèmes faisant
intervenir une singularités sur le \emph{paramètre}: les problèmes
de \emph{perturbations singulières}.

Voici dans cette direction un résultat essentiel, dû à \textsc{Y.\,Sibuya}:

\begin{theoreme*}
Soit $n\in \NN^*$ un entier fixé. On considère une
équation différentielle de la forme
\[
\tag{1}\label{eq:1} \varepsilon ^\sigma \ {dy\over
dx}=F(x,\varepsilon,y)=f(x,\varepsilon )+A(x,\varepsilon )y+
\sum_{|p|\geq 2}f_p(x,\varepsilon )y^p,
\]
où $\sigma \in \NN^*$, $\varepsilon$, $x\in \CC$, $y\in \CC^n$, $f$, $F$ et les $f_p$ prennent leurs valeurs
dans $\CC^n$, $A$ prend ses valeurs dans $\mathrm{End}(n,\CC)$.
On suppose que $F$ est analytique en $(x,\varepsilon,y)$ au voisinage
de $(0,0,0)$, que $f(0,0)=0$ et que la matrice $A(0,0)$ est
inversible. Alors
\begin{enumeratei}
\item
l'équation \eqref{eq:1} admet une solution formelle
unique de la forme
$$y=\widehat f(x)=\sum_{n\geq 0}a_n(x)\ \varepsilon ^n,$$
où les $a_n$ sont des fonctions holomorphes dans un même disque
$D$ du plan des x;

\item
quitte à réduire le disque $D$, les $a_n$ vérifient des
estimations Gevrey d'ordre ${{1/ \sigma }}$:
$$\|a_n\|\leq C\ n!^{{1/ \sigma }}\ A^n,$$
pour $C, A>0$ convenables ($\|a_n\|=\sup_{x\in
D}\|a_n(x)\|$).
\end{enumeratei}
\end{theoreme*}

\textsc{Y.\,Sibuya} a donné une preuve cohomologique de ce résultat
dans \cite{Si2}. (Il prouve en fait un résultat plus précis en
construisant une $0$\nobreakdash-co\-chaîne ${f_i }$ de solutions de \eqref{eq:1},
les $f_i$ étant holomorphes en $(x,\varepsilon )$, sur le produit de $D$ et
d'un secteur en $\varepsilon $, et asymptotiques Gevrey d'ordre ${{1/\sigma }}$ en $\varepsilon $, uniformément en $x$ sur $D$, à $\widehat f$.) Dans le
cas où $n=1$ M. \textsc{Canalis-Durand} a donné une preuve
du théorème par estimations directes \cite{CD2}. Par ailleurs \textsc{Schäffke} a obtenu récemment une nouvelle preuve en se
ramenant à une forme précisée du théorème de Maillet.
\vskip 2pt

Suivant une idée de \textsc{J.\,Martinet} \cite[2]{Mart}, nous allons
appliquer le résultat ci-dessus au problème du \emph{retard à la
bifurcation}. Il sera commode de se placer dans le cadre de
l'Analyse Non Standard\footnote{On lira facilement ce qui suit au niveau
heuristique. En fait ce discours est parfaitement rigoureux. Il
est écrit avec le point de vue de \textsc{Nelson} sur l'A.N.S. \cite{DR},
et la quantité d'A.N.S. nécessaire est...infinitésimale!}.

Une idée de base (due à \textsc{J.\,Martinet} \cite[1]{Mart}) est de
modéliser l'environnement classique de l'analyse numérique: une
machine à calculer (pouvant être un mathématicien muni de papier
et d'un crayon) \emph{fournit une précision limitée dans le calcul
numérique d'une fonction, et dispose d'une capacité limitée à
maîtriser les grands nombres; un nombre trop petit est déclaré
nul, et un nombre trop grand est considéré comme infini}
(overflow). On modélise cette situation par la donnée une fois
pour toutes d'un nombre réel $\varepsilon '>0$ infiniment petit: on ne
\og verra pas\fg pas un nombre complexe $\alpha $ de l'ordre de~$\varepsilon '$ (\ie
tel que ${\alpha / \varepsilon '}$ soit limité (non infiniment grand); par
ailleurs un nombre~$\alpha $ ne sera \og affiché\fg que s'il est en module
infiniment petit devant ${1/\varepsilon '}$ (\ie si $\alpha \varepsilon '$ est
infiniment petit).

On peut alors recopier notre description antérieure des
quasi-fonctions en remplaçant les corrections exponentiellement
petites par des corrections de l'ordre de $\varepsilon '$. On obtient un
\og dictionnaire\fg entre les deux points de vue dans une région (dans
le plan (non standard) de la variable complexe $\varepsilon $) où la
fonction $e^{-{a/ \varepsilon ^k}}$ (avec $a$ standard, ou limité) est
de l'ordre de $\varepsilon '$.

L'origine du phénomène de retard à la bifurcation est le
phénomène de compres\-sion-explosion exponentielle des
trajectoires. La situation la plus simple où l'on observe ce
phénomène est la suivante:

Soit
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{rcll}
\dot x & = & \mu & x \\
\dot \mu & = & \varepsilon&
\end{array}
\right.\tag*{(1)}
\end{align*}
où $\varepsilon >0$ est un réel infiniment petit fixé et $\mu,x$ des
variables réelles.

À $\mu $ non nul fixé, on considère l'équation différentielle
\begin{align*}
\dot x=\mu x\tag*{$(1_\mu )$}
\end{align*}
Le point $x=0$ est un point stationnaire stable pour $\mu <0$ et
instable pour $\mu >0$. Quand $\mu $ varie la stabilité change donc
pour $\mu =0$. Considérons maintenant la solution de $(1)$ définie
par les conditions initiales $x=x_0$ et $\mu =\mu _0<0$. Une
intégration triviale montre que cette solution est
$$x=x_0\ e^{\psfrac{\mu ^2-\mu _0^2}{2\varepsilon }}.$$
Elle est infiniment petite (exponentiellement en $\varepsilon $) pour $\mu \in{}]\mu _0,-\mu _0[$. Elle \og descend presque verticalement\fg de
$(\mu _0,x_0)$ à $(\mu _0,0)$, longe \og exponentiellement près\fg l'axe
réel jusqu'à $(-\mu _0,0)$, puis remonte \og presque verticalement\fg.
On a une \og entrée\fg en $(\mu _0,0)$ et une \og sortie\fg en $(-\mu _0,0)$
(à peu près...).

On considère maintenant un système (en dimension $p+1$):
\[
\begin{split}
{dx\over dt} & =  \dot x  =  F (x,\lambda ) \\
{d\lambda \over dt} & =  \dot \lambda  =  \varepsilon
\end{split}
\tag*{(2)}
\]
où $\varepsilon >0$ est un nombre complexe infiniment petit fixé (ou
un \og \hbox{petit} paramètre\fg, au choix), $x$ une variable dans $\CC^p$,
$\lambda $ une variable complexe, $F$ une fonction holomorphe à valeurs
dans $\CC^p$.

De $(2)$ on déduit l'équation différentielle:
\[
\varepsilon \ {dx\over d\lambda }=F(x,\lambda ).\tag*{(3)}
\]
Faisant $\varepsilon =0$ on obtient la \og courbe lente\fg $F(x,\lambda )=0$. On
suppose que cette courbe ${\cal C}_0$ est le graphe d'une
fonction analytique $x=c_0(\lambda )$.

On fait maintenant les hypothèses suivantes:

(i) La matrice ${\partial F\over \partial x}(0,0)$ est inversible;

(ii) La courbe lente ${\cal C}_0$ est transverse au champ
\[
F(x,\lambda ){\partial \over \partial x}+\varepsilon {\partial \over
\partial \lambda }.\tag*{$(2')$}
\]

Si la courbe lente est invariante par le champ, on est dans une
situation très voisine de celle décrite avant. Il y a
compression-explosion exponentielle. Le cas où la condition
(ii) est vérifiée est plus délicat. On va montrer qu'il y a
toujours compression-explosion exponentielle (dans un voisinage
appréciable convenable de l'origine) en se \og ramenant au cas
précédent\fg en utilisant une quasi-courbe exponentiellement
précise (quasi) invariante par le champ $(2')$.

Cette quasi-courbe est le \og graphe\fg d'une quasi-fonction
(quasi) solution de $(3)$, que l'on obtient de la façon suivante:

D'après le théorème de Sibuya énoncé plus haut, l'équation $(3)$
admet une solution formelle (formelle en $\varepsilon $, analytique en $\lambda $):
$$\widehat g(\lambda,\varepsilon )=c_0(\lambda )+\sum _{n\geq1}c_n(\lambda )\ \varepsilon^n.$$
De plus les $c_n$ sont tous holomorphes bornés sur un même
disque $D$ de rayon $r>0$ (standard) du plan des $\lambda $, et
satisfont des inégalités Gevrey d'ordre 1:
$$\|c_n\|\leq C\ n!\ A^n,$$
pour $C, A>0$ convenables ($\|c_n\|=\sup_{x\in
D}\|c_n(x)\|$).

La quasi-somme de cette série (obtenue par exemple par une
transformation de Laplace incomplète) est 1-précise et est
quasi-solution (\ie solution à des corrections exponentielles
d'ordre un près, du type $e^{-{a/\varepsilon }}$ ($a$ positif limité)).
(En fait on peut trouver un représentant $\{ g_i \}$ de la quasi
solution où les $g_i$ sont des solutions exactes de $(3)$.)

On conclut aisément (par exemple par un argument de \og loupe
exponentielle\fg \cite{BCDD}).

Les premiers résultats mathématiques sur le problème du retard à la
bifurcation sont dus à \textsc{Neishstadt}. Sa méthode est une
variante de la \og quasi-sommation au plus petit terme\fg décrite plus
haut: on fait un (grand) nombre $N$ de changements de variables
($N=$partie entière de ${1/ \varepsilon }$). Il existe aussi une approche
très géométrique de problème due à \textsc{J.-L.\,Callot} (1991)).

Au lieu de faire dériver lentement un champ de vecteurs comme dans
le problème que nous venons d'étudier, on peut faire dériver
lentement une application d'itération:

Soit toujours $\varepsilon >0$ un réel infiniment petit. On considère
\begin{equation}\tag*{$(4)$}
\begin{split}
F_\varepsilon :\RR&\to \RR\\
\phantom{\mbox{$F_\varepsilon :$}}(x,\lambda )&\mto (f(x,\lambda ),\lambda +\varepsilon ).
\end{split}
\end{equation}
On suppose l'existence d'une courbe de points fixes analytique
$c_0(\lambda )$.

Par exemple on peut faire dériver lentement l'application de
Feigenbaum: $$f(x,\lambda )=\lambda x(1-x)$$
(qui fournit un exemple de chaos). On observe un retard
à la bifurcation pour les \og doublements de périodes\fg.

L'analyse de cette situation a été faite par A.\,\textsc{Fruchard} \cite{F1}
et \textsc{C.\,Baesens}. La méthode de Fruchard suit les mêmes
lignes que celle de \textsc{Neishstadt}; celle de Baesens est une
variante de l'argument de \textsc{J.\,Martinet} pour les champs:

Une courbe invariante pour $(4)$ est le graphe d'une fonction
$\lambda \!\mto\! U(\lambda,\varepsilon )$, avec $F(U(\lambda,\varepsilon ),\lambda )\!=\!U(\lambda +\varepsilon,\varepsilon )$. Il
existe (si \hbox{$\partial _xF(\lambda,c_0(\lambda ))\!\neq\!1$}) une unique courbe invariante formelle:
$$\widehat U(\lambda,\varepsilon )=c_0(\lambda )+\sum _{n\geq1}c_n(\lambda )\ \varepsilon ^n.$$
où les $c_n$ sont holomorphes bornés sur un même disque.
Cette série est en général divergente mais Gevrey~1 (Baesens). On
conclut comme pour les champs (on a une quasi-courbe
quasi-invariante).

Nous allons voir maintenant que si l'on supprime la condition
d'inversibilité (i) dans l'analyse de \textsc{J.\,Martinet}, il peut se
passer des phénomènes très intéressants: l'apparition de \og canards\fg.
Nous \hbox{allons} pour cela discuter l'équation de Van der Pol (sur
laquelle le phénomène canard a été découvert \cite{BCDD}) du point de
vue Gevrey. Nous suivons ici (après un rappel du point de vue
original sur les canards) un travail récent de M.
\textsc{Canalis-Durand} \cite{CD1,CD2}.

On considère une forme singulièrement perturbée de l'équation de
Van der Pol (1920) avec $\varepsilon >0$ réel, infiniment petit:
\begin{align*}
\varepsilon \ddot x+(x^2-1)\dot x+x&=0.\tag*{$(4)$}
\end{align*}
On passe au \og plan de Liénard\fg, en posant $u=\varepsilon \dot x+{x^3/
3}-x$. On~obtient
\begin{align*}\left\{
\begin{array}{rcl}
\varepsilon \dot x & = & u - {x^3/ 3} + x \\
\dot u & = &- x
\end{array}
\right.
\tag*{$(5)$}
\end{align*}
Le champ de vecteurs $(\psfrac{u-{x^3/ 3}+x}{\varepsilon },-x)$ est
\og lent-rapide\fg: sa~composante horizontale est infiniment grande
sauf sur la courbe lente (la cubique $u={x^3/ 3}-x$) où elle
s'annule. La partie de la cubique entre les points $B(-1,{2/
3})$ et $A(1,-{2/ 3})$ est \emph{répulsive}, le reste est \emph{attractif}.

On montre que le système $(5)$ a un cycle limite. Ce cycle est
\og lent-rapide\fg. Il est infiniment proche du cycle standard formé par
deux arcs de la courbe lente (terminant en $A$ et $B$) et deux
segments hori\-zon\-taux (partant de $A$ et $B$), que l'on appelle
son \og ombre\fg. Par ailleurs le système a un point stationnaire
$(0,0)$. Ce point est \emph{instable}.

Considérons maintenant l'équation de Van der Pol avec second
membre:
\[
\varepsilon \ddot x+(x^2-1)\dot x+x=a\tag*{$(4)$}
\]
où $a$ est un paramètre réel.

Faisons varier le paramètre $a$ entre 0 et 2 et observons la
situation dans le plan de Liénard. Le point stationnaire $S(a)$ se
déplace sur la cubique lente: on a $S(0)=(0,0)$ et $S(1)=A$. Pour
$0<a<1$ ce point est instable, pour $a>1$ il est stable, mais le
cycle limite a disparu: $a=1$ est une \emph{bifurcation de Hopf}. Le
problème est de comprendre comment peut se passer cette bifurcation
compte tenu du caractère lent-rapide du champ. En observant la
variation de l'ombre du cycle limite au moment de sa disparition, on
constate que pour certaines valeurs particulières cette ombre est
obligée de longer un moment la partie répulsive de la courbe lente
(entre $A$ et $B$). Par définition ces valeurs du paramètre $a$
correspondantes sont des \og valeurs à canard\fg et les cycles
correspondants sont des \og canards\fg (avec ou sans tête selon que $B$
est ou non dans leur ombre).

Pour avoir une valeur à canard il est évidemment nécessaire que
$a$ soit $<1$ et infiniment proche de 1, mais on aimerait en savoir
plus. On montre alors que toutes les valeurs à canard $a_*$ ont un
\emph{même} \og développement en $\varepsilon $-ombre\fg
$$1 +\sum _{n\geq1} c_n\ \varepsilon ^n.$$
Cela conduit à penser que \og les canards ont la vie brève\fg. En fait
cette vie est exponentiellement courte: si $a_1$ et $a_2$ sont des
valeurs à canard, on a $|a_1-a_2|<e^{-{b/\varepsilon }}$ (pour $b$ limité
convenable).

Expérimentalement on constate que:

\begin{itemize}
\item
Pour $\varepsilon ={1/20}$ on observe les canards à peu près entre 0,993\,490\,9 et 0,993\,491\,5.

\item
Pour $\varepsilon ={1/ 100}$ on observe les canards à peu près entre $0,998 740 451 2$ et $0,998 740$ $451 3$, c'est-à-dire sur une plage de
$10^{-10}$... Il est donc très difficile d'attraper les canards, même
si l'on connaît leur développement en $\varepsilon $-ombre.
\end{itemize}

Tout cela m'a conduit, vers 1980, à conjecturer que le
développement en $\varepsilon $-ombre des valeurs à canard pour l'équation de
Van~der~Pol est Gevrey~1. Outre les questions théoriques une
réponse positive à cette conjecture avait pour moi l'intérêt de
fournir une méthode numérique pour chasser le canard: si la série
est Gevrey, en la \og sommant\fg par une transformation de Laplace
incomplète (ou une quasi-sommation au plus petit terme), on obtient
une valeur définie à une correction exponentiellement petite en $\varepsilon $
près. L'erreur est donc du même ordre de grandeur que la
durée d'existence de la valeur à canard cherchée. Cette conjecture
(avec son application numérique) a d'abord été vérifiée
expérimentalement, puis elle a été prouvée récemment par M. \textsc{Canalis-Durand} \cite{CD1,CD2} (en utilisant entre autres
l'amélioration du calcul par récurrence des coefficients $c_n$ due à
\cite{ZS}).

M. \textsc{Canalis-Durand} montre aussi que le développement
en $\varepsilon $-ombre de la trajectoire canard elle-même est aussi Gevrey~1
et reprouve ainsi l'existence des canards (par transformation de
Laplace incomplète). Sa théorie s'applique à une famille de systèmes
plus généraux que l'équation de Van der Pol (contenant des systèmes
\og classiques\fg: Brusselator...).

\subsection{Les équations aux \texorpdfstring{$q$}{q}-différences}

On appelle équation liné\-aire algébrique aux différences
(finies) dans le champ complexe une équation fonctionnelle de
la forme
$$a_n(x)f(x+n)+\cdots+a_1(x)f(x+1)+a_0(x)f(x)=0,$$
où les $a_i$ sont des polynômes (à coefficients complexes)
et $f$ une fonction inconnue. Par exemple
$$f(x+1)-xf(x)=0$$
est une équation aux différences admettant la fonction
$f(x)=\Gamma (x)$ pour solution.

Ainsi on passe d'une équation différentielle à une
équation aux différences en remplaçant l'automorphisme
infinitésimal ${d/ dx}$ par l'automorphisme de translation
$x\to x+1$. Celle-ci est une homographie de la sphère
de Riemann admettant $\infty $ pour seul point fixe. On peut
utiliser une homographie plus \og générique\fg admettant deux
points fixes distincts, par exemple $x\to qx$, avec $q$
complexe non nul, qui admet pour points fixes 0 et $\infty$. On
obtient alors la notion d'équation aux $q$-différences
(linéaire algébrique):
$$a_n(x)f(q^nx)+\cdots+a_1(x)f(qx)+a_0(x)f(x)=0.$$

On montre que les solutions séries formelles des équations
aux différences analytiques, même non-linéaires, sont
Gevrey: on a l'analogue du théorème de Maillet \cite{GL}. Par
contre la situation est très différente pour les équations
aux $q$-différences. Dans ce cas on n'a plus en
général d'estimations Gevrey, mais seulement des estimations
\og $q$-Gevrey\fg (selon la terminologie récemment introduite par \textsc{J.\nobreakdash-P.\,Bezivin}). Nous nous limiterons dans ce qui suit au cas
où $|q|\not= 1$.
Quitte à remplacer $q$ par $q^{-1}$, on peut supposer $|q|>1$.

Soit $\widehat f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ une
série formelle. On dit que $\widehat f$ est \hbox{$q$-Gevrey} de type
$s$, si $$|a_n|<C\ |q|^{s{n(n+1)/ 2}}\ A^n,$$
pour $C,A,s>0$ convenables. On dit que le type $s$ est
optimal s'il n'existe pas d'estimation du même genre avec
$s'<s$.

À tout opérateur linéaire algébrique aux $q$-différences
$T$ on associe un \og polygone de Newton\fg $N(T)$, par analogie
avec le cas des opérateurs différentiels. On a le résultat
suivant dû à \textsc{J.-P.\,Bezivin}:

\begin{theoreme*}
Soit
\begin{align*}
T(f)=a_n(x)f(q^nx)+\cdots+a_1(x)f(qx)+a_0(x)f(x)&=0\tag*{$(1)$}
\end{align*}
une équation linéaire algébrique aux $q$-différences,
avec $|q|>1$. Alors il existe un nombre fini de nombre réels
positifs $s_1<\cdots<s_r$ donnés par les pentes du polygone de
Newton $N(T)$, tels que toute solution série formelle $\widehat f$
de $(1)$ ait la propriété suivante:

$\widehat f$ est convergente ou est $q$-Gevrey de type optimal l'un
des $s_i$.
\end{theoreme*}

Il existe des équations linéaires algébriques aux
$q$-différences du second ordre dont les solutions séries
formelles divergent (\textsc{Adams}). Il~y a donc des solutions
divergentes d'équations aux $q$-différences qui
\emph{n'admettent pas d'estimations Gevrey}. En voici un exemple simple:

On définit un opérateur $\sigma _q$ par $\sigma _q\ f(x)=f(qx)$.
On note
$$\widehat \Omega (x,q)=\sum_{n=0}^{+\infty }\ (-1)^n\
q^{n(n+1)/ 2}\ x^{n+1}.$$
On a
$$x\sigma _q\ (q^{n(n+1)/ 2}\ x^{n+1})=
q^{(n+1)(n+2)/ 2}\ x^{n+2},$$
d'où
\begin{align*}
(x\sigma _q+1)\ \widehat \Omega (x,q)=
\sigma _q\ \widehat \Omega (x,q) + \widehat \Omega (x,q)=x.
\tag*{$(1)$}
\end{align*}
L'opérateur $x\sigma _q$ est l'analogue de l'opérateur différentiel
$x^2{d/ dx}$, l'équation $(1)$ est la $q$-analogue de l'équation
d'Euler
$$\Bigl(x^2{d\over dx}+1\Bigr)y=x^2y'+y=x,$$
et la série $\widehat \Omega (x,q)$ est la $q$-analogue de la série d'Euler
$$\sum_{n=0}^{+\infty }\ (-1)^n\ n!\ x^{n+1}.$$
Pour $q<1$, la série $\widehat \Omega (x,q)$ est liée à la fonction
$\theta _1$ de Jacobi.

De
$$(\sigma _q-q)(x\sigma _q+1)=qx\sigma _q^2-x\sigma _q+q-1$$
on déduit que la série $\widehat \Omega (x,q)$ est solution de l'équation
aux $q$\nobreakdash-diffé\-ren\-ces du second ordre
$$(qx\sigma _q^2-x\sigma _q+q-1)f(x)=qxf(q^2x)-xf(qx)+(q-1)f(x)=0.$$

Du point de vue de la sommabilité le cas des équations aux
différences est délicat: les solutions formelles ne sont pas
en général multisommables \cite{E3}. Pour les équations aux
$q$-différences il faut reprendre la théorie en remplaçant
\og développements asymptotiques Gevrey\fg par \og développements
asymptotiques $q$-Gevrey\fg (la décroissance expo\-nen\-tielle est
alors remplacée par des estimations du type
$$|f(x)|<e^{-\mu ({\log x/ \log q})^2}).$$
Il y a aussi des \og $q$-analogues\fg des transformations de Borel
et \hbox{Laplace}, et de la $k$-sommabilité:
les nombres $n!$ sont les \emph{moments} de la fonction $e^{{-u}}$:
$$\Gamma (n+1)= n! =\int_0^{+\infty}\ u^n\ e^{-u}\ du.$$
On calcule les moments de la fonction $q^{-{v(v+1)/ 2}}$ (pour $q$ réel, $q>1$):
$$\mu _n = \int_0^{+\infty}\ u^n\ q^{-{v(v+1)/ 2}}\ du,$$
avec $v={\log u/ \log q}$ ($u=q^v$).
On trouve:
$$\mu _n = \sqrt {2\pi \log q}\ q^{-{1/ 8}}q^{{n(n+1)/ 2}}$$
Remplaçant $u$ par ${\xi/ x}$, on obtient:
$$\Gamma (n+1)\ x^{n+1}= n!\ x^{n+1} =\int_0^{+\infty}\ \xi ^n\
e^{-{\xi/ x}}\ d\xi  ={\cal L}(\xi ^n)(x),$$
où ${\cal L}$ est la transformation de Laplace, et
$$\sqrt {2\pi \log q}\ q^{-{1/ 8}}q^{{n(n+1)/ 2}}x^{n+1}=
\int_0^{+\infty}\ \xi ^n\ q^{-{w(w+1)/ 2}}\ d\xi,$$
avec $w=\psfrac{\log \xi -\log x}{\log q}=\psfrac{\log {\xi / x}}{\log q}$;
$$\mu _n x^{n+1}= \sqrt {2\pi \log q}\ q^{-{1/ 8}}q^{{n(n+1)/
2}}\ x^{n+1}.$$
On obtient
$$q^{{n(n+1)/ 2}}= {q^{{1/ 8}}\over \sqrt {2\pi \log q}}\
\int_0^{+\infty} \xi ^n\ q^{-{v(v+1)/ 2}}\ d\xi.$$
Il est donc naturel de définir une transformation $q$-Laplace par:
$$_q{\cal L}\ \phi (x)={q^{{1/ 8}}\over \sqrt {2\pi \log q}}\
\int_0^{+\infty}\ \phi (\xi )\ q^{-{w(w+1)/ 2}}\ d\xi,$$
avec $w=\psfrac{\log \xi -\log x}{\log q}$. On a
$$q^{{n(n+1)/ 2}}x^{n+1}={}_q{\cal L}(\xi ^n)(x).$$

Tous ces problèmes sont en cours d'étude. (Je conjecture aussi la $q$-variante du
théorème de Maillet dans le cas non-linéaire.)

\subsection{La multiplicité des procédés \og naturels\fg de sommation, les
\og branches\fg des fonctions et la dernière lettre
d'Évariste  Galois}

Dans ce qui précède on a vu se dégager la possibilité d'attribuer une
somme \og naturelle\fg à une série divergente et d'améliorer radicalement la
théorie asymptotique de Poincaré en la remplaçant par une théorie
exacte. On a ainsi rempli le programme esquissé par \textsc{E.\,Borel} \cite{Bo2}:
\vskip 2pt

\emph{Non seulement les séries divergentes peuvent rendre de grands
services au point de vue formel (ce dont personne n'a jamais douté) et au
point de vue du calcul approximatif (séries asymptotiques), mais encore elles
peuvent dans certains cas être calculées exactement. Une série divergente
numérique peut avoir une valeur déterminée.}

Mais si l'on y regarde de plus près la situation parait moins idyllique. En
effet dans certains cas on a vu apparaître non pas \emph{une} mais \emph{plusieurs} sommes naturelles différentes. \textsc{D.\,Dumont} cite dans
l'introduction de son livre\footnote{\label{note:Dumont}N.d.E.: le livre n'est jamais paru.} le texte d'\textsc{E.\,Borel} ci-dessus et qualifie
son attitude d'optimiste, comparée à celle de \textsc{G.\,H.\,Hardy} dans \cite{H1}:
\vskip 2pt

\emph{Different methods may sum the same series to different sums...}.
\vskip 2pt

Mon point de vue est que le phénomène de multiplicité des \og sommes
naturelles\fg est
\begin{enumerate}
\item
moins surprenant qu'il n'y paraît;

\item
un avantage considérable plutôt qu'un inconvénient.
\end{enumerate}

\textsc{E.\,Borel}\footnote{\emph{Il importe ici de faire une
remarque essentielle; dans le cas où la fonction analytique $\phi (z)$ n'est pas
uniforme la théorie précédente conduit à associer à la série divergente
$\phi (z_0)$ plusieurs valeurs différentes ou même une infinité \cite[Ch.\,4, 6.3, p.\,153]{Bo1}.}} et \textsc{G.\,H.\,Hardy}\footnote{\emph{If $\sum a_nx^n$ is convergent for small $x$, and defines a function $f(x)$ of
the complex variable $x$, one-valued and regular in an open and connected region
containing the origin and the point $x=1$; and $f(x)=s$; then we call $s$ the {$\gotS$}-sum of $\sum a_n$. The value of $s$ may naturally depend on the region chosen}.}
avaient très bien compris ce qui est à mon avis l'une des raisons fondamentales du
phénomène: la \emph{multiplicité des prolongements analytiques}.
Ils ont de plus tout les deux insisté sur le fait qu'une bonne théorie de la
sommation devrait reposer sur l'étude du prolongement analytique:

\textsc{G.\,H.\,Hardy} appelle le procédé de sommation par prolongement
analytique que nous avons évoqué en 1.5 {$\gotS$}-\emph{method}:

\emph{...then we call s the {$\gotS$} sum of $\Sigma a_n$. The value of s may
naturally depend on the region chosen}.

Il écrit aussi
(à propos des idées d'\textsc{Euler} sur la sommation dont nous avons parlé
plus haut en {1.1}):

\emph{It is impossible to state Euler's principle accurately without clear ideas
about functions of a complex variable and analytic continuation}.

Le phénomène fondamental apparaît déjà quand on étudie le prolongement
analytique d'une série \emph{convergente} en dehors de son disque de convergence.
Pour le voir revenons à l'exemple déjà étudié en { 1.6}:
$$\widehat f(x)= 1 +{1\over 2}x+{{1\over 2}({1\over 2}-1)\over 2!}x^2
+{{1\over 2}({1\over 2}-1)({1\over 2}-2)\over 3!}x^3+\cdots$$
Pour $|x|<1$ la somme de $\widehat f$ est
$$f(x)=\sqrt {1+x}.$$
Si l'on veut sommer la série
$$1 +{1\over 2}(-2)+{{1\over 2}({1\over 2}-1)\over 2!}(-2)^2
+{{1\over 2}({1\over 2}-1)({1\over 2}-2)\over 3!}(-2)^3+\cdots$$
\noindent on peut utiliser indifféremment le prolongement analytique
le long d'une demi-droite issue de l'origine et d'argument $\pi-\varepsilon$ ($\varepsilon
>0$ \og \hbox{petit}\fg) suivi d'un arc \og descendant\fg vers $-2$ ou le prolongement analytique le
long d'une demi-droite issue de l'origine et d'argument $\pi+\varepsilon$ suivi d'un arc
\og montant\fg vers $-2$: il y a un choix de \og branche\fg ou ambiguïté; dans le
premier cas on trouve $i$, dans le second $-i$. À~la comparaison des deux
procédés de sommation correspond pour la \hbox{série} $\widehat f$ la transformation
$f\to -f$ (action de la monodromie \hbox{autour} de la singularité $-1$ portée
par la \og direction singulière\fg $\RR^-$ d'argument~$\pi $).\enlargethispage{\baselineskip}

Le phénomène de Stokes découvert par \textsc{Stokes} dans l'étude de
l'équation d'Airy (\cf {1.4}) est tout à fait analogue au phénomène de
changement de branche que nous venons de décrire (et cette analogie se trouve
déjà dans le mémoire de \textsc{Stokes}\footnote{\emph{Divergent series are usually divided into two classes,
according as the terms are regularly positive, or alternately positive and
negative..., series of the former kind appear as singularities of the general case of
divergent series proceeding according to powers of an imaginary variable, as
indeterminate forms in passing through which a discontinuity of analytical expression
takes place analogous to a change of sign of a radical} \cite[p.\,78]{Sto2}.} comme nous
l'avons signalé plus haut). De ce point de vue le phénomène de Stokes peut se
décrire ainsi:

Soit $\widehat f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\ a_nx^n$ une série formelle
sommable (ou plus généralement multisommable) dans toute direction voisine de la
direc\-tion~$\alpha $ sauf dans la direction (singulière) $\alpha $. En appliquant
à la série~$\widehat f$ les opérateurs de sommation \og latérale\fg $S^-_{\alpha }$
et $S^+_{\alpha }$, on obtient deux sommes \emph{distinctes} $f^-_{\alpha }$
et $f^+_{\alpha }$. Là aussi il y a un choix de \og branche\fg ou ambiguïté. En
travaillant dans une algèbre différentielle convenable on définit l'\emph{automorphisme de Stokes} (associé à la direction singulière~$\alpha $):
$$St_{\alpha }=(S^+_{\alpha })^{-1}S^-_{\alpha }$$
Dans un formalisme convenable (\cf \cite{MR2}, \cite{MR3}) cet automorphisme (d'algèbre
différentielle) s'interprète comme une \og monodromie\fg autour d'une \og singularité
infiniment proche de l'origine\fg portée par la direction singulière $\alpha $.

La description du phénomène de Stokes donnée par \textsc{Stokes} pour les
solutions formelles à l'infini de l'équation d'Airy est très voisine de celle que
nous venons de détailler. En gros sa démarche est la suivante: il construit une
base ${\cal B}$ de solutions de l'équation d'Airy en utilisant les développements
\emph{convergents} à \emph{l'origine} (ascending series). Ensuite il resomme dans
diverses directions les solutions formelles à \emph{l'infini} (descending series) par
un procédé numérique \emph{exponentiellement précis} (variante de la sommation
au plus petit terme). Cette méthode est assez précise pour lui permettre d'exprimer
les sommes des solutions formelles à l'infini dans la base ${\cal B}$ par des
\og constantes arbitraires\fg (\emph{arbitrary constants}); on dit aujourd'hui formules de
connexion. C'est alors que surgit un problème: les développements à l'origine
sont des fonctions entières (l'origine est un point régulier) et par suite la
monodromie autour de l'origine est \emph{triviale} tandis que les développements
divergents à l'infini sont en $\sqrt x$ et leur \og monodromie\fg (monodromie formelle)
est non triviale, d'où apparemment une contradiction avec l'analyse que nous venons
de faire. C'est cette contradiction qui a laissé \textsc{Stokes} perplexe pendant de
longues années avant qu'il trouve la clef du mystère (\cf la lettre à sa
fiancée citée plus haut):\enlargethispage{2\baselineskip}

\emph{...inasmuch as the descending series contain radicals which do not appear in
the ascending series, we may see, a priori that the arbitrary constants must be
discontinuous.}

Ainsi l'ambiguïté que nous avons décrite apparaît comme discontinuité dans
les constantes de connexion quand on \emph{traverse une ligne singulière}: pour une
ligne singulière la précision de la méthode de sommation numérique de \textsc{Stokes} est insuffisante pour le calcul des constantes arbitraires (on en perd une...:
il s'agit en effet de calculer avec précision une solution exponentiellement
récessive et il faut disposer pour cela d'une précision exponentielle suffisante;
le long d'une ligne singulière la solution récessive est trop petite pour être
vue numériquement par la méthode employée!). Pour reprendre l'analyse de \textsc{Dingle} \cite[Ch.\,1,\,p.\,7]{Di}:

\emph{The Stokes rays for an asymptotic series are determined by those phases for
which the series (including its multiplier) attains peak exponential dominance over
its associated function.}

\noindent (La discontinuité des constantes arbitraires apparaît au moment de la
dominance maximale d'un symbole exponentiellement dominant sur un symbole
exponentiellement récessif.)

Le point de vue que nous venons de développer diffère notablement de l'approche
\og traditionnelle\fg du phénomène de Stokes\footnote{Seul Dingle semble s'écarter de cette approche et perpétuer
les idées originales de Stokes. Il appelle d'ailleurs lignes de Stokes ce que les
autres auteurs appellent lignes anti-Stokes (nos lignes singulières). Cela va dans
le sens de l'une de ses idées centrales: la recherche d'une théorie asymptotique
exacte. Ses \og complete asymptotic expansions\fg préfigurent les \og développements
transasymptotiques\fg.}. Selon cette approche le phénomène consiste en un \emph{échange de dominance} entre deux exponentielles; il se voit donc le long des lignes
\og oscillantes\fg ou \emph{lignes de Stokes}. Au contraire dans notre description (et celle
de \textsc{Stokes} lui-même) le phénomène se produit sur les lignes singulières
(appelées parfois lignes \og anti-Stokes\fg). L'origine de cette différence est dans
l'opposition entre la vision traditionnelle des séries divergentes comme séries
asymptotiques et la conception des séries divergentes comme \og codant\fg des solutions
exactes. Dans un cas on met l'accent sur l'asymptotique au sens de Poincaré (et on ne
perçoit pas la nature fondamentale du phénomène...), dans l'autre on utilise
l'asymptotique \emph{exacte} (\cf aussi \cite{CNP1,CNP2}).

Revenons à la comparaison entre un \og changement de branches algébriques\fg et un
\og changement de branches par phénomène de Stokes\fg. S'il y a une profonde analogie
entre ces deux phénomènes (il s'agit dans les deux cas de \og transformations
galoisiennes\fg: automorphismes d'algèbres différentielles), il y a aussi des
différences radicales. Par exemple la matrice du changement de branche pour $(\sqrt {1+x},\sqrt {1+x^3})$ est
$\begin{Smallpmatrix}
-1& 0\\
0& -1 \\
\end{Smallpmatrix}
$
tandis que celle du phénomène de Stokes $St_{\pi }$ pour l'équation d'Euler
(\resp celles de l'équation d'Airy) est (sont) de la forme
$\begin{Smallpmatrix}
1& \beta \\
0& 1 \\
\end{Smallpmatrix}
$
avec $\beta $ complexe non nul.

La seconde matrice est \emph{unipotente}. Cela est lié au fait que le phénomène
de Stokes n'est pas décelable asymptotiquement quand on franchit une ligne
singulière: après le passage les développements asymptotiques des solutions
n'ont pas changé (ce qui n'est pas du tout le cas dans le cas des branches
algébriques). On démontre que (essentiellement pour la même raison) les
opérateurs de Stokes sont toujours unipotents. Ceci a une conséquence
fondamentale: les opérateurs de Stokes $St_{\alpha }$ ont des \emph{générateurs
infinitésimaux} (logarithmes) notés $\dot \Delta _{\alpha }$:\enlargethispage{\baselineskip}
$$St_{\alpha }=e^{\dot \Delta _{\alpha }}.$$
Ceci permet une étude \emph{\og infinitésimale\fg} du phénomène de Stokes. Ce point
de vue a été découvert et étudié systématiquement par \textsc{Jean Ecalle}:
\og Fonctions résurgentes\fg, \og Calcul différentiel étranger\fg (l'opérateur
$\dot \Delta _{\alpha }$ est une dérivation galoisienne, \ie une dérivation
commutant à la dérivation ordinaire, nommée dérivation étrangère
pointée), \og Accélération\fg \cite{E1}, \cite{E2}, \cite{E3}, \cite{Ca}, \cite{CNP1,CNP2}.

La veille du duel dans lequel il devait trouver la mort, \textsc{Évariste  Galois}
écrivait, dans sa dernière lettre, adressée à son ami \textsc{Auguste Chevallier} \cite{G1}:

\emph{Tu sais, mon cher Auguste, que ces sujets ne sont pas les seuls que j'ai
explorés. Mes principales méditations depuis quelque temps étaient dirigées
sur l'application à l'analyse transcendante de la théorie de l'ambiguïté.
Il s'agissait de voir a priori dans une relation entre quantités ou fonctions
transcendantes quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait
substituer aux quantités données sans que la relation pût cesser d'avoir lieu.
Cela fait reconnaître tout de suite l'impossibilité de beaucoup d'expressions que
l'on pourrait chercher. Mais je n'ai pas le temps et mes idées ne sont pas encore
bien développées sur ce terrain qui est immense....}

La signification de ce texte semble être restée longtemps assez mystérieuse. Mais il me semble possible aujourd'hui de l'éclaircir en grande partie.\enlargethispage{\baselineskip}

Dans sa préface aux \emph{\OE uvres Complètes} de \textsc{Galois} \cite{G3}, Jean \textsc{Dieudonné} écrit \cite{G3}:

\emph{...mais il y a lieu de penser qu'il devait être très proche de l'idée de la
\og surface de Riemann\fg attachée à une fonction algébrique et qu'une telle idée
devait être fondamentale dans ses recherches sur ce qu'il appelle la \og théorie de
l'ambiguïté\fg...}

Ceci éclaire un peu la question, mais si l'on relit soigneusement le texte de \textsc{Galois} il parait évident que l'idée de surface de Riemann ne devait concerner
qu'\emph{une partie} de sa \og théorie de l'ambiguïté\fg. Je~pense qu'\textsc{Émile Picard} et surtout \textsc{Jules Drach} ont deviné dans quelle direction allaient
vraiment les dernières recherches de \textsc{Galois}.

\textsc{Émile Picard} écrivait dans sa préface aux \oe uvres complètes de \textsc{Galois}
\cite{G2}:

\emph{...il...aurait édifié, dans ses parties essentielles, la théorie des
fonctions algébriques d'une variable telle que nous la connaissons aujourd'hui. Les
méditations de Galois portèrent encore plus loin; il termine sa lettre en parlant
de l'application à l'analyse transcendante de la théorie de l'ambiguïté. On
devine à peu près ce qu'il entend par là, et sur ce terrain qui, comme il le
dit est immense, il reste encore aujourd'hui bien des découvertes à faire...}

Il nous reste évidemment à deviner ce que veut dire \textsc{Picard}! Si~l'on pense
qu'\textsc{Émile Picard} est l'un des fondateurs de la \hbox{théorie} de~\hbox{Galois}
différentielle (théorie de Picard-Vessiot), il semble \hbox{assez} \hbox{raisonnable} de penser
qu'il avait la conviction que \textsc{Galois} avait quelque idée de cette théorie. En
tout c'était la conviction de \textsc{Jules Drach} qui écrivait à la fin de sa
thèse:

\emph{Nous serions heureux si notre travail pouvait appeler l'attention sur les
quelques lignes qui terminent la lettre de Galois, et s'il pouvait être regardé
comme une première tentative d'éclaircissement de la pensée qu'elles
expriment:...}

De mon côté lisant voici quelques années la lettre de Galois il m'a
immédiatement paru évident\footnote{Lors de cette
lecture je ne connaissais ni le texte de Drach, que j'ai découvert par hasard
quelques semaines plus tard à la suite d'une demande de référence de N.\,Kamran, ni celui de Picard qui m'a été signalé par D.\,Bennequin après
l'exposé de mon interprétation de la dernière lettre de Galois dans mon
séminaire à Strasbourg...} que les idées de \textsc{Galois} sur la théorie de
l'ambiguïté préfiguraient la théorie de Galois différentielle et même
dans une certaine mesure la lecture que j'ai donnée récemment de cette théorie:
il est impossible de savoir si \textsc{Galois} avait quelque idée du phénomène de
Stokes et de sa nature Galoisienne, que j'ai mise en évidence dans \cite{Ra3}. (L'étude
des fragments de calcul trouvés dans ses papiers \cite{G3} ne permet pas de conclure.) Par
contre, comme \textsc{Jules Drach}, je suis certain qu'\textsc{Évariste  Galois} avait
compris la nature \og Galoisienne\fg de certaines transformations en analyse complexe
(ambiguïtés...), comme par exemple le \og recalibrage\fg des expo\-nen\-tielles (dont le
\og prototype\fg est le remplacement dans toutes les formules de $e^{{1/ x}}$ par
$\lambda \ e^{{1/ x}}$; $\lambda $ étant un nombre complexe non nul fixé).\enlargethispage{\baselineskip}

La théorie de Galois différentielle joue, pour les équations différentielles,
le même rôle que, pour les équations algébriques, la théorie de Galois
classique. Pour une bonne compréhension du sujet le mieux est de revenir à
l'idée originale de \textsc{Galois} que celui-ci exprimait d'une façon
particulièrement limpide \cite{G2,G3}:

{\itshape Proposition I 3b. Théorème. Soit une équation donnée, dont $a,b,c,...$ sont les $m$ racines. Il y aura toujours un groupe de permutations des lettres
$a,b,c,...$ qui jouira de la propriété suivante:

1\textsuperscript{o} que toute fonction des racines, invariante par les substitutions
de ce groupe, soit rationnellement connue;

2\textsuperscript{o} réciproquement, que toute fonction des racines, déterminée
rationnellement, soit invariante par ces substitutions.}

La théorie de Galois différentielle a été découverte par \textsc{Picard} et \textsc{Vessiot} \cite{Pi}, \cite{Ve}. Le lecteur intéressé pourra consulter l'excellente
introduction \cite{Ka}, et pour en savoir plus sur les relations entre séries
divergentes et théorie de Galois différentielle \cite{MR2}, \cite{Ra6}, et les articles
plus techniques \cite{Ra4}, \cite{Mi}. Nous nous contenterons ici de quelques indications,
en nous limitant au cas linéaire. Soit $(K,\partial)$ un corps différentiel de
caractéristique nulle. Soit $C=\{ c\in K\mid\partial c=0\} $ son corps des
constantes. (Par exemple $(\CC(x),d/dx )$, $(\CC\{ x\},x^2d/dx )$,
$(\CC\{\!\{x\}\!\},x^2d/dx )$ ont $\CC$ pour corps des constantes.)

Soit $D=a_n{(d/ dx)}^n+\cdots+a_1{d/ dx}+a_0$ un opérateur différentiel à
coefficients dans $K$. Une extension de Picard-Vessiot associée à~$D$ est un
sur-corps différentiel $L$ de $K$ engendré différentiellement sur $K$ par un
système fondamental de solutions de $D$, le corps des constantes~$C$ restant le
même. Si $C$ est algébriquement clos une telle extension existe et est unique
(à isomorphisme près). Par définition le groupe de Galois différentiel de $D$
sur $K$ est le groupe $\mathrm{Gal}_K(D)=\mathrm{Aut}_KL$ des $K$-automorphismes de corps
différentiel de~$L$. Un élément $\sigma $ de $\mathrm{Gal}_K(D)$ le $C$-espace
vectoriel des solutions de~$D$ dans~$L$. On en déduit (en fixant une base de cet
espace) une représentation de $\mathrm{Gal}_K(D)$ dans $\mathrm{GL}(n;C)$. Le sous-groupe obtenu
de $\mathrm{GL}(n;C)$ est \emph{algébrique} (\ie défini par des polynômes à $n^2$
variables).

Les groupes de Galois différentiels peuvent se calculer à partir de la
connaissance de la monodromie (formelle ou non), du \og recalibrage\fg des exponentielles
évoqué plus haut et du phénomène de Stokes.

Citons, pour terminer, dans cette direction, un résultat assez frappant obtenu par 
\textsc{C.\,Mitschi} en utilisant la sommation de séries divergentes \cite{Mi}\footnote{Peu de temps avant le même résultat avait été obtenu par voie
algébrique par \textsc{N.\,Katz} \cite{Kat2, Kat3}}.
On considère la fonction\vspace*{-3pt}\enlargethispage{\baselineskip}
$$K(t)=\int_0^{+\infty}\ x^{-{1/ 2}}\ e^{-x^7-tx}\ dx.$$
Cette fonction est la transformée de Laplace de la fonction
$x^{-{1/ 2}}\ e^{-x^7}$.

La fonction $K$ vérifie une équation différentielle linéaire algébrique
d'ordre 7\vspace*{-3pt}
$$D_K\ K=7 K^{(7)}+tK'+{1\over 2}K=0.$$

Si dans cette équation différentielle on fait le changement de variable
$z=(t/7)^7$ (ramification), la transformée $U$ de $K$ vérifie l'équation
différentielle hypergéométrique confluente généralisée\vspace*{-3pt}
$$D_{7,1}\ U=0$$
avec\vspace*{-3pt}
$$D_{7,1}=z(\partial + {{1/ 14}})+\prod_{r=0}^6
(\partial - {{r/ 7}})\qquad(\partial =zd/dz).
$$

On montre que le groupe de Galois différentiel de $D_{7,1}$ est\footnote{Le groupe $G_2$ (ou plutôt sa
représentation en dimension 7) est un sous-groupe algébrique de dimension
complexe 14 du groupe spécial orthogonal $\mathrm{SO}(7;\CC)$. La version réelle de
ce groupe a de belles propriétés: c'est le groupe des automorphismes de
l'algèbre des octaves de Cayley, et topologiquement c'est un fibré de base la
sphère $S^6$ dont les fibres sont des fibrés de base $S^5$ et de fibre~$S^3$~\cite{Pos}.}
$$\mathrm{Gal}_{\CC(x)}(D_{7,1})=G_2\times \ZZ/2\ZZ.$$

La monodromie de $D_K$ est évidemment triviale, on en déduit que le groupe de
Galois différentiel de $D_K$ est\vspace*{-3pt}\enlargethispage{2\baselineskip}
$$\mathrm{Gal}_{\CC(x)}D_K=G_2.$$

La relation entre la \og fonction spéciale\fg $K$ et le groupe exceptionnel $G_2$ est
semblable à celle entre les fonctions d'Airy $A$ ou $B$ et le groupe $\mathrm{SL}(2;\CC)$ \cite{MR2}.

À la fin de cette rédaction, il me reste à signaler que je n'ai pu parler de
toutes les applications des séries divergentes; même si on se limite aux cas où
interviennent des estimations Gevrey et/ou des corrections exponentiellement
petites. (Parmi les omissions notables je citerai les beaux travaux récents sur
l'équation stationnaire de Schrödinger dans une perspective semi-classique
\og exacte\fg \cite{Vo}, \cite{CNP1}, et la preuve due à \textsc{Schäffke} et \textsc{Volkmer} de la non existence d'ovales isocordes à deux \og centres\fg...). D'autres domaines des Mathématiques ou de la Physique
(invariants adiabatiques, théorie quantique des champs (instantons, renormalons,
séries de perturbations,...), étude \og thermodynamique\fg du \og problème du voyageur
de commerce\fg, solitons,...) relèvent clairement de cette dernière problématique
sans qu'il y ait pour l'instant beaucoup de résultats théoriques précis. Il reste
énormément de travail !
\vspace*{-\baselineskip}\vskip0pt

\backmatter
%\smaller
\bibliographystyle{jepplain+eid}
\bibliography{smfjournalnames,xups91-01}
\end{document}