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\begin{document}
\frontmatter

\title{Principe de Mazur en dimension supérieure}
\alttitle{Mazur's principle in higher dimension}

\author[\initial{P.} \lastname{Boyer}]{\firstname{Pascal} \lastname{Boyer}}
\address{Université Paris 13, Sorbonne Paris Cité, LAGA, CNRS, UMR 7539\\
F-93430, Villetaneuse, France}
\email{boyer@math.univ-paris13.fr}
\urladdr{http://www.math.univ-paris13.fr/~boyer/}

\thanks{L'auteur remercie l'ANR pour son soutien dans le cadre du projet PerCoLaTor 14-CE25.}

\begin{abstract}
Le principe de Mazur pour $\mathrm{GL}_2$ fournit des conditions simples pour qu'une $\overline{\mathbb{F}}_\ell$\nobreakdash-représentation irréductible non ramifiée provenant d'une forme modulaire de niveau $\Gamma_0(Np)$ provienne aussi d'une forme de niveau $\Gamma_0(N)$. L'objectif de ce travail est de proposer une généralisation de ce principe en dimension supérieure pour certaines formes intérieures étendues non quasi-déployées d'un groupe unitaire en étudiant la torsion dans la cohomologie des variétés de Shimura dites de Kottwitz-Harris-Taylor en lien avec la dégénérescence de la monodromie locale.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
The Mazur principle for $\mathrm{GL}_2$ gives simple conditions for an irreducible unramified $\overline{\mathbb{F}}_\ell$-representation coming from a modular form of level $\Gamma_0(Np)$ to come from some modular form of level $\Gamma_0(N)$. The aim of this work is to give a generalization of this principle in higher dimension for some particular non quasi-split extended inner forms of a unitary group, by studying the torsion cohomology classes of Shimura varieties of Kottwitz-Harris-Taylor type in relation with the local monodromy degeneracy.
\end{altabstract}

\subjclass{11F70, 11F80, 11F85, 11G18, 20C08}

\keywords{Variétés de Shimura, cohomologie de torsion, idéal maximal de l'algèbre de Hecke, localisation de la cohomologie, représentation galoisienne}

\altkeywords{Shimura varieties, torsion in the cohomology, maximal ideal of the Hecke algebra, localized cohomology, Galois representation}

\maketitle
\tableofcontents

\mainmatter
\bgroup
\Changel

\section*{Introduction}

Dans la théorie classique des formes modulaires, une question importante est la détermination
du niveau optimal à partir duquel
une représentation galoisienne modulo $l$ est modulaire: que l'on pense par exemple à son
application à la preuve du grand théorème de Fermat. Les conjectures de Serre, désormais prouvées par
Khare et Wintenberger dans \cite{KW}, fournissent un cadre précis pour cette question dans le cas de
$\GL_2$. Avant que ne soient établies les conjectures de Serre, le principe de Mazur, rappelé ci-après,
constituait le résultat le plus évolué sur ce thème et, par exemple, l'ingrédient principal dans la preuve du
théorème de Ribet.

\begin{theo*}[{Principe de Mazur \cf \cite[Th.\,6.1]{ribet}}]
Soient $N$ un entier, $p$ un nombre premier ne divisant pas $N$ et $\bar \rho: \gal(\overline \Qm_l/\Qm)
\to \GL_2(\overline \Fm_l)$ une représentation galoisienne provenant d'une forme modulaire
de niveau $\Gamma_0(Np)$. On suppose que
\begin{itemize}
\item $p \neq l$,

\item $\bar \rho$ est irréductible et non ramifiée en $p$ et

\item $l$ ne divise pas $p-1$.
\end{itemize}
Alors $\bar \rho$ provient d'une forme modulaire de niveau $\Gamma_0(N)$.
\end{theo*}

L'objectif de ce travail est de proposer une version du principe de Mazur pour les représentations
automorphes de $\GL_d$
autoduales pour un corps CM, en utilisant la cohomologie des variétés de
Shimura. Il est bien connu qu'au delà du cas $d=2$, il n'y a pas de variété de Shimura pour $\GL_d$ et la solution usuelle consiste
à remplacer $\GL_d$ par un groupe de similitudes $G/\Qm$ qui, localement pour \og la moitié \fg{} des premiers $p$, ressemble à
$\GL_d(\Qm_p)$, au sens plus précis où, \cf \eqref{eq-facteur-v},
$G(\Qm_p) \simeq \Qm_p^\times \times \GL_d(F_v) \times \cdots$, où $F$ est un corps CM
et où $v|p$ sera une place de $F$ jouant le rôle du premier $p$ dans le principe de Mazur.
Pour que la situation géométrique soit la plus simple possible et qu'on dispose donc d'un meilleur contrôle de la cohomologie,
on choisit le groupe~$G$ de façon à nous retrouver dans la situation étudiée par Harris et Taylor dans \cite{h-t},
\ie en signatures $(1,d-1)\times (0,d) \times \cdots \times (0,d)$.
La formulation précise
du principe de Mazur dans cette situation est donnée au théorème \ref{theo-principal}, donnons simplement dans cette introduction
une idée de ce que devient l'hypothèse clef \og $\bar \rho$ non ramifiée en $p$ \fg{} dans notre situation.

Une représentation automorphe $\Pi$
de $G$ fournit des paramètres de Satake en ses places de non ramification et donc
un idéal premier $\widetilde{\mathfrak m}$ d'une algèbre de Hecke \og anémique \fg,
\cf la définition \ref{nota-spl2}: on note aussi $\mathfrak m$ l'idéal maximal associé à la réduction modulo $l$ de ces paramètres de
Satake. D'après \cite{h-t}, on associe à
$\widetilde{\mathfrak m}$ une représentation~$ \rho_{ \widetilde{\mathfrak m} }$ de $\gal(\bar F/F)$ et $\bar \rho_{\mathfrak m}$ sa réduction
modulo $l$. Comme dans le cas de $\GL_2$
\begin{itemize}
\item on part d'une $\overline{\mathbb F}_l$-représentation $\bar \rho_{\mathfrak m}$ de $\gal(\bar F/F)$ s'écrivant comme la réduction
modulo $l$ de $ \rho_{ \widetilde{\mathfrak m} }$ où $ \widetilde{\mathfrak m}$ est associé à une représentation automorphe
$\Pi$ de niveau $I$,

\item et on cherche des conditions pour l'existence d'une représentation automorphe~$\Pi'$ de niveau $I'$ avec $I_v \subsetneq I'_v$, quitte à augmenter $I$ en des places annexes $w \neq v$, de sorte que si $ \widetilde{\mathfrak m}'$ est l'idéal premier de l'algèbre de Hecke
anémique associé à $\Pi'$, alors $\widetilde{\mathfrak m}' \subset \mathfrak m$, autrement dit si $ \rho_{ \widetilde{\mathfrak m}',v}$ est la représentation galoisienne construite par \cite{h-t}, alors
sa réduction modulo $l$ est isomorphe à $\bar \rho_{\mathfrak m}$.
\end{itemize}

Lorsque la composante en $p$ du sous-groupe compact considéré est parahorique,
la condition de non ramification en $p$ dans le cas de $\GL_2$, est remplacée par la dégénérescence
de la monodromie au sens suivant. Le logarithme de la monodromie à la place $v$ de $ \rho_{ \widetilde{\mathfrak m} }$
définit un opérateur nilpotent $N_{ \widetilde{\mathfrak m},v}$ de $\GL_d$ dont la taille des blocs de Jordan fournit
une partition $ \underline{d_{ \widetilde{\mathfrak m},v}}$ de $d$. En supposant $\bar \rho_{\mathfrak m}$ irréductible et en prenant $l \geq d_{\widetilde{\mathfrak m},v}$,
où $d_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est l'indice de nilpotence de $N_{ \widetilde{\mathfrak m},v}$,
alors $N_{ \widetilde{\mathfrak m},v}$ possède une structure entière unique et admet
donc une réduction modulo $l$ fournissant une partition $ \underline{d_{\mathfrak m,v}}$ ne dépendant pas du choix de $\Pi$.
La condition de non ramification pour~$\GL_2$ devient alors: \emph{pour la relation
de dominance usuelle sur les partitions, $ \underline{d_{\mathfrak m,v}}$ est strictement plus
petite que $\underline{d_{ \widetilde{\mathfrak m},v}}$.}

La démonstration repose sur l'étude de la torsion dans la cohomologie des
variétés de Shimura dites de Kottwitz-Harris-Taylor, et sur l'observation que cette torsion
se relève, \cf le résultat principal de \cite{boyer-mrl}, en caractéristique $0$ quitte à augmenter le niveau en une place annexe.
L'idée consiste alors à jouer avec cette propriété
\begin{itemize}
\item en la place $p$ où à l'aide des hypothèses du théorème \ref{theo-principal}, on parvient à
diminuer le niveau en $p$ tout en gardant une torsion non triviale,

\item puis en augmentant le niveau en une place annexe quelconque, on relève cette torsion en
caractéristique nulle.
\end{itemize}

On étudie en outre, \cf le corollaire \ref{coro-principal}, l'existence d'un $\Pi$ tel que
$ \underline{d_{\mathfrak m,v}} = \underline{d_{ \widetilde{\mathfrak m},v}}$
ainsi, \cf le corollaire \ref{coro-appli}, que des conditions explicites sur $ \widetilde{\mathfrak m}$ pour que
$N_{ \widetilde{\mathfrak m},v}$ en $v$
ne dégénère pas \ie tel que la partition en bloc de Jordan de la réduction modulo $l$ de~$N_{ \widetilde{\mathfrak m},v}$ soit égale à
$ \underline{d_{ \widetilde{\mathfrak m},v}}$.

\subsubsection*{Remerciements}
Nous remercions V.\,Sécherre pour nous avoir expliqué le lemme \ref{lem-secherre}. ainsi que V.\,Lafforgue pour ses nombreuses remarques
sur une première version de ce travail.

\section{Dégénérescence de la monodromie et diminution du niveau}

\subsection{Rappels sur les $\overline \Qm_l$-représentations de $\GL_d(K)$}

Notons $K$ un corps local non archimédien dont le corps résiduel est de cardinal $q$ une puissance
d'un nombre premier $p$. Une racine carrée $q^{\sfrac{1}{2}}$ de $q$ dans $\overline \Qm_l$ étant fixée,
pour $k \in \frac{1}{2} \Zm$, nous noterons $\pi\{k\}$ la représentation tordue de $\pi$ où l'action
de $g \in \GL_n(K)$ est donnée par $\pi(g) \nu(g)^k$ avec
$\nu: g \in \GL_n(K) \mto q^{-\val (\det g)}$.

\begin{defis}
Soit $P=MN$ un parabolique standard de $\GL_n$ de Levi $M$ et de radical unipotent $N$.
On note $\delta_P:P(K) \to \overline \Qm_l^\times$ l'application définie par
$$\delta_P(h)=|\det (\ad(h)_{|\lie N})|^{-1}.$$
Pour $(\pi_1,V_1)$ et $(\pi_2,V_2)$ des représentations de respectivement $\GL_{n_1}(K)$
et $\GL_{n_2}(K)$, et $P_{n_1,n_2}$ le parabolique standard de $\GL_{n_1+n_2}$ de Levi
$M=\GL_{n_1} \times \GL_{n_2}$ et de radical unipotent $N$,
$$\pi_1 \times \pi_2$$
désigne l'induite parabolique normalisée de $P_{n_1,n_2}(K)$ à $\GL_{n_1+n_2}(K)$ de
$\pi_1 \otimes \pi_2$ c'est à dire
l'espace des fonctions $f:\GL_{n_1+n_2}(K) \to V_1 \otimes V_2$ telles que
$$f(nmg)=\delta_{P_{n_1,n_2}}^{-1/2}(m) (\pi_1 \otimes \pi_2)(m) \bigl (f(g) \bigr),
\quad \forall n \in N, ~\forall m \in M, ~ \forall g \in \GL_{n_1+n_2}(K).$$
\end{defis}

Rappelons qu'une représentation irréductible $\pi$ de $\GL_n(K)$ est dite \textit{cuspidale}
si elle n'est pas isomorphe à un sous-quotient d'une induite parabolique propre.

\begin{nota}
Soient $g$ un diviseur de $d=sg$ et $\pi$ une représentation cuspidale
irréductible de $\GL_g(K)$. L'unique quotient (\resp sous-représentation) irréductible de
$\pi\{\frac{1-s}{2}\} \times \pi\{\frac{3-s}{2}\} \times \cdots \times \pi\{\frac{s-1}{2}\}$
est noté $\st_s(\pi)$ (\resp $\speh_s(\pi)$).
\end{nota}

Notons $\OC_K$ l'anneau des entiers de $K$ et $\varpi_K$ une uniformisante.
Le sous-groupe compact ouvert de $\GL_d(\OC_K)$
des éléments dont la réduction modulo
$\varpi_K$ est triangulaire supérieure, est le classique sous-groupe d'Iwahori.
Rappelons que toute représentation irréductible de $\GL_d(K)$ admettant des vecteurs non nuls
invariants sous le sous-groupe d'Iwahori est, avec les notations précédentes
un sous-quotient d'une induite $\chi_{1} \times \cdots \times \chi_{d}$ où les
$\chi_{i}$ sont des caractères de $K^\times$ uniquement définis à l'ordre près.

\begin{nota}
Pour toute représentation irréductible $\pi$ de $\GL_d(K)$ ayant des vecteurs non nuls
invariants par le sous-groupe d'Iwahori, on note\footnote{Plus précisément $V(\pi)$ est un
multi-ensemble, c'est-à-dire qu'on garde en mémoire la répétition des~$\chi(\varpi_K)$.}
$$V(\pi)= \{\chi_{i}(\varpi_K)\mid i=1,\dots,d\},$$
où les caractères $\chi_{i}$ sont tels que $\pi$ est un sous-quotient de l'induite
$\chi_{1} \times \cdots \times \chi_{d}$.
\end{nota}

\begin{rema*}
Avec les notations précédentes, on a
$$V(\st_{t}(\chi))= \bigl \{\chi(\varpi_K)q^{\psfrac{1-t}{2}}, \chi(\varpi_K)q^{\psfrac{1-t+2}{2}},\dots,
\chi(\varpi_K)q^{\psfrac{t-1}{2}} \bigr\}.$$
\end{rema*}

\begin{defi}
Étant donnée une partition de $d$
$$\underline m=(m_1 \geq m_2 \geq \cdots \geq m_r \geq 1) \hbox{ avec }
d=m_1+\cdots+m_r,$$
le sous-groupe parahorique standard associé $\Iw(\underline m)$ est par définition l'ensemble des éléments de
$\GL_d(\OC_K)$ dont la réduction modulo $\varpi_K$ appartient au parabolique standard $P_{m_1,\dots,m_r}$ de Levi
$\GL_{m_1} \times \GL_{m_2} \times \cdots \times \GL_{m_r}$:
$$\Iw(\underline m):=\ker \bigl (\GL_d(\OC_K) \rightarrow P_{m_1,m_2,\dots,m_r}(\OC_K/(\varpi_K)) \bigr).$$
Un sous-groupe parahorique est alors un conjugué d'un parahorique
standard par un élément de $\GL_d(\OC_K)$.
\end{defi}

\begin{rema*}
Pour $m_1=m_2=\cdots=m_d=1$, on retrouve le classique sous-groupe d'Iwahori.
\end{rema*}

On associe habituellement à une partition $\underline m=(m_1 \geq \cdots \geq m_r)$ de $d$,
un diagramme de Ferrers
dont la $i$-ème ligne est de longueur $m_i$. Les longueurs $t_1 \geq \cdots \geq t_{m_1}$
des colonnes du diagramme de Ferrers définissent alors la partition
$$\underline m^*=(t_1 \geq \cdots \geq t_{m_1})$$
conjuguée de $\underline m$.

\begin{nota} \label{nota-partition1}
Pour $\underline m$ une partition de conjuguée $\underline m^*=(t_1 \geq t_2 \geq \cdots \geq t_{m_1})$,
on note $\underline m^{(1)}$ la partition dont la conjuguée est $(t_2 \geq t_3 \geq \cdots \geq t_{m_1})$.
\end{nota}

\begin{rema*}
Autrement dit $\underline m^{(1)}$ est la partition obtenue à partir de $\underline m$ en supprimant
sa première colonne.
\end{rema*}

\begin{defi} \label{defi-partition-ordre}
On dira d'une partition $\underline m=(m_1 \geq m_2 \geq \cdots \geq m_r)$ de $n$
qu'elle est contenue dans une partition $\underline m'=(m'_1 \geq m'_2 \geq \cdots \geq m'_{r'})$ de $n'$
si $r \leq r'$ et si pour tout $i=1,\dots,r$ on a $m_i \leq m'_i$.
\end{defi}

On rappelle la relation de dominance usuelle sur les partitions
$$\underline n=(n_1 \geq n_2 \geq \cdots) \leq \underline m=(m_1 \geq m_2 \geq \cdots) \iff
\forall k \geq 1,\quad \sum_{i=1}^k n_i \leq \sum_{i=1}^k m_i.$$
La relation $\underline n \leq \underline m$ est équivalente à
$\underline m^* \leq \underline n^*$ sur les partitions conjuguées.

\begin{lemm} \label{lem-secherre}
Soit $\pi \simeq \st_{t_1}(\chi_1) \times \cdots \times \st_{t_s}(\chi_s)$ avec $t_1+\cdots+t_s=d$
et où $\chi_1,\dots,\chi_s$ sont des caractères de $K^\times$.
L'ensemble des sous-groupes parahoriques $P$
tels que $\pi$ ait des vecteurs non nuls $P$-fixes,
admet un plus grand élément dont les tailles des blocs sont, à conjugaison près, ceux de la partition
$\underline d(\pi)$ conjuguée à $(t_1 \geq \cdots \geq t_s)$.
\end{lemm}

\begin{proof}
Notons $\KC=\GL_d(\OC_K)$ le compact maximal de $\GL_d(K)$, puis $\KC(1)$ son pro-$p$ radical.
Rappelons que $\pi$ a des vecteurs non nuls $P$-fixes si et seulement si
l'espace $\KC(\pi)$ des vecteurs non nuls $\KC(1)$-fixes de $\pi$ vu comme représentation de
$\KC/\KC(1)$ a des vecteurs non nuls fixes par $P':=P/\KC(1)$, c'est-à-dire si $\KC(\pi)^{U'}$, où
$U'$ le radical unipotent de $P'$, contient le caractère trivial de $M'=P'/U'$.

En appliquant l'involution de Zelevinski $Z$, on se ramène à la propriété que $\KC(Z(\pi))^{U'}$
contient un facteur non dégénéré, c'est-à-dire au fait que $Z(\pi)$ est $\lambda$-dégénérée,
où $\lambda$ désigne la partition de $d$ donnée par les blocs de $M'$,
au sens de la théorie des modèles de Whittaker dégénérés, \cf \cite[\S V.5]{vigneras-induced}.
Le résultat découle alors de loc. cit.
\end{proof}

\begin{defi} \label{defi-TY1}
À la représentation $\pi\simeq \st_{t_1}(\chi_1) \times \cdots \times \st_{t_s}(\chi_s)$ on associe
$T(\pi)$, le diagramme de Ferrers étiqueté par $V(\pi)$, défini comme suit:
\begin{itemize}
\item les longueurs des lignes de ce tableau sont les $t_1 \geq t_2 \geq \cdots \geq t_s$

\item et on étiquette la $i$-ème ligne de gauche à droite avec dans l'ordre les
$$\chi_{i}q^{\psfrac{1-t_i}{2}},\dots,\chi_{i}q^{\psfrac{t_i-1}{2}}.$$
\end{itemize}
\end{defi}

\subsection{Représentation galoisienne associée à $\mathfrak m$}
\label{para-nota}

Soient $F^+$ un corps totalement réel et $E/\Qm$ une extension quadratique imaginaire:
on considère alors le corps $F=EF^+$ qui est CM. Pour toute place $w$ de $F$, on notera
\begin{itemize}
\item $F_w$ son localisé en $w$,
\item $\OC_w$ son anneau des entiers d'uniformisante $\varpi_w$ et
\item $q_w$ le cardinal du corps résiduel $\kappa(w):=\OC_w/(\varpi_w)$.
\end{itemize}

Soit $B$ une algèbre à
division centrale sur $F$ de dimension $d^2$ telle qu'en toute place~$x$ de $F$,
$B_x$ est soit décomposée soit une algèbre à division et on suppose $B$
munie d'une involution de
seconde espèce $*$ telle que $*_{|F}$ est la conjugaison complexe~$c$. Pour
$\beta \in B^{*=-1}$, on note $\sharp_\beta$ l'involution $x \mto x^{\sharp_\beta}=\beta x^*
\beta^{-1}$ et $G/\Qm$ le groupe de similitudes, noté $G_\tau$ dans \cite{h-t}, défini
pour toute $\Qm$-algèbre $R$ par
$$
G(R) \simeq \{(\lambda,g) \in R^\times \times (B^{\op} \otimes_\Qm R)^\times \mid
gg^{\sharp_\beta}=\lambda\}
$$
avec $B^{\op}=B \otimes_{F,c} F$.
Si $x$ est une place de $\Qm$ décomposée $x=yy^c$ dans $E$ alors
\begin{equation} \label{eq-facteur-v}
G(\Qm_x) \simeq (B_y^{\op})^\times \times \Qm_x^\times \simeq \Qm_x^\times \times
\prod_{z_i} (B_{z_i}^{\op})^\times,
\end{equation}
où, en identifiant les places de $F^+$ au-dessus de~$x$ avec les places de $F$ au-dessus de~$y$,
$x=\prod_i z_i$ dans $F^+$.
Dans \cite[Lem.\,I.7.1]{h-t}, les auteurs justifient l'existence d'un $G$ comme ci-dessus tel que pour tous
tels $d, E^+$ et $F$:
\begin{itemize}
\item si $x$ est une place de $\Qm$ qui n'est pas décomposée dans $E$ alors
$G(\Qm_x)$ est quasi-déployé;

\item les invariants de $G(\Rm)$ sont $(1,d-1)$ pour le plongement $\tau$ et $(0,d)$ pour les
autres.
\end{itemize}
\emph{On fixe} à présent un nombre premier $p=uu^c$ décomposé dans $E$ tel qu'il existe une
place $v$ de $F$ au-dessus de $u$ avec
$$(B_v^{\op})^\times \simeq \GL_d(F_v).$$
On note
$$v_1=v,\, v_2,\dots, v_r$$
les places de $F$ au-dessus de $u$. Avec un abus coupable
de notation, on utilisera $G(F_v)$ pour désigner le
facteur en $v$ de la formule \eqref{eq-facteur-v}, isomorphe donc à $\GL_d(F_v)$.

\begin{defi} \label{defi-Kv}
Soit $\IC$ l'ensemble des sous-groupes compacts ouverts \og assez petits \fg\footnote{tels qu'il existe
une place $x \neq p$ pour laquelle la projection de $U^v$ sur $G(\Qm_x)$
ne contienne aucun élément d'ordre fini
autre que l'identité, \cf \cite[bas de la p.\,90]{h-t}.} de $G(\Am^\infty)$, de la forme $U^v K_v$ avec
\begin{itemize}
\item $U^v=U^p \times \Zm_p^\times \times \prod_{i=2}^r
\ker \bigl (\OC_{B_{v_i}}^\times \to (\OC_{B_{v_i}}/\PC_{v_i}^{n_i})^\times \bigr)$
pour des entiers $n_2,\dots,n_r$ positifs ou nuls,

\item et où $K_v$ est un sous-groupe parahorique.

\item Pour $I=U^vK_v \in \IC$ comme ci-avant, on notera $I^v=U^v$ et $I_v=K_v$.
\end{itemize}
\end{defi}

On note alors, \cf le paragraphe \ref{para-KHT}, $(X_I)_{I \in \IC}$
le système projectif des variétés de Shimura, dites de Kottwitz-Harris-Taylor,
associé au groupe $G$ au-dessus de $\spec \OC_v$ tel qu'il
est introduit dans \cite{h-t}.

\begin{nota}
Pour $I \in \IC$, on note $\spl(I)$ l'ensemble des places $w$ de $F$
telles que $p_w:=w_{|\Qm}$ est décomposée dans $E$ et, \cf la formule \eqref{eq-facteur-v},
la composante locale~$I_w$ de $I$ à la place $w$ est isomorphe à $\GL_d(\OC_w)$.
\end{nota}

Fixons pour la suite un isomorphisme $\iota:\overline \Qm_l \simeq \Cm$.
Étant donnée une $\overline \Qm_l$\nobreakdash-repré\-sen\-ta\-tion algébrique irréductible $\xi$
de $G(\Qm)$,
rappelons qu'une $\Cm$-représentation irréductible~$\Pi_{\infty}$ de $G(\Am_{\infty})$ est dite
$\xi$-cohomologique s'il existe un entier $i$ tel que
$$H^i((\lie G(\Rm)) \otimes_\Rm \Cm,U_\tau,\Pi_\infty \otimes \iota(\xi^\vee)) \neq (0),$$
où $U_\tau$ est un sous-groupe compact modulo le centre de $G(\Rm)$, maximal, \cf \cite[p.\,92]{h-t}.
Une $\overline \Qm_{l}$-représentation irréductible $\Pi^{\infty}$ de $G(\Am^{\infty})$ sera dit automorphe
$\xi$\nobreakdash-cohomologique s'il existe une $\Cm$-représentation $\xi$-cohomologique $\Pi_\infty$ de
$G(\Am_\infty)$ telle que
$\iota (\Pi^{\infty}) \otimes \Pi_{\infty}$ est une $\Cm$-représentation automorphe de $G(\Am)$.

\begin{rema*}
Si $\iota':\overline \Qm_l \simeq \Cm$ est un autre choix d'isomorphisme et si
$\Pi^\infty$ est automorphe $\xi$-cohomologique relativement à $\iota$, alors,
d'après la formule de Matsushima,
$(\iota')^{-1} \circ \iota (\Pi^\infty)$ l'est relativement à $\iota'$.
\end{rema*}

\begin{defi} \label{nota-spl2}
Pour $l$ un nombre premier distinct de $p$ et $I \in \IC$ un niveau fini, soit
$$\Tm_I:=\Zm_l \bigl [T_{w,i}\mid w \in \spl(I) \hbox{ et } i=1,\dots,d \bigr ],$$
l'algèbre de Hecke \og anémique \fg{} associée à $\spl(I)$, où $T_{w,i}$ est la fonction caractéristique de
$$\GL_d(\OC_w) \diag(\overbrace{\varpi_w,\dots,\varpi_w}^{i}, \overbrace{1,\dots,1}^{d-i})
\GL_d(\OC_w) \subset \GL_d(F_w).$$
\end{defi}

\begin{rema*}
L'algèbre $\Tm_I$ ne dépend que de $\spl (I)$ au sens où si $J \in _IC$ est tel que
$\spl (J)=\spl (I)$ alors $\Tm_J=\Tm_I$.
\end{rema*}

On fixe à présent une représentation algébrique $\xi$ de $G(\Qm)$ et on note, \cf le para\-gra\-phe \ref{para-xi},
$V_{\xi,\overline \Zm_l}$ le $\overline \Qm_l$-système local associé, défini sur tout
$X_I$ pour $I \in \IC$.
On note alors $\Tm_I(\xi)$ l'image de $\Tm_I$ dans les endomorphismes $\overline \Zm_l$-linéaires
du quotient libre $H^{d-1}_\mathrm{free}(X_{I,\bar \eta_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})$ de la cohomologie en
degré médian de la fibre générique géométrique de $X_I$, à coefficients dans
$V_{\xi,\overline \Zm_l}$.

\begin{rema*}
Dans la suite nous ne nous intéresserons qu'aux systèmes de valeurs propres de Hecke
$\mathfrak m$ de $\Tm_I$ donnant lieu, \cf le début du paragraphe \ref{para-enonce},
à une représentation galoisienne $\bar \rho_{\mathfrak m}$
irréductible de sorte qu'il suffit de considérer l'image de $\Tm_I$ dans la cohomologie en degré
médian. En outre on a vu dans \cite{boyer-imj} que tout système de valeurs propres de Hecke
dans la $\overline \Fm_l$-cohomologie, se relevait, quitte à augmenter le niveau $I$, en une
représentation automorphe tempérée entière, ce qui justifie de ne regarder que l'image de $\Tm_I$
dans le quotient libre de la cohomologie en degré médian.
\end{rema*}

Les idéaux premiers minimaux de $\Tm_I(\xi)$ sont les idéaux premiers de $\Tm_I(\xi)$
au-dessus de l'idéal nul de $\Zm_l$ et sont donc en
bijection naturelle avec les idéaux premiers de $\Tm_I(\xi) \otimes_{\Zm_l} \Qm_l$. Ainsi pour
un tel idéal $\widetilde{\mathfrak m}$ premier minimal, $(\Tm_I(\xi) \otimes_{\Zm_l} \Qm_l)
/\widetilde{\mathfrak m}$ est une extension finie $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$ de $\Qm_l$.

\begin{rema*}
Un idéal $\widetilde{\mathfrak m}$ premier minimal de $\Tm_I(\xi)$
est dit $\xi$-cohomologique au sens où il existe une $\overline \Qm_l$-représentation automorphe
$\xi$-cohomologique
$\Pi$ de $G(\Am)$ possédant des vecteurs non nuls fixes sous $I$ et
telle que pour tout $w \in \spl(I)$, les paramètres de Satake de $\Pi_{p_w}$
sont donnés par les images des $T_w^{(i)} \in K_{\widetilde{\mathfrak m}}:=(\Tm_I(\xi)
\otimes_{\Zm_l} \Qm_l)/\widetilde{\mathfrak m}$,
où $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$ est une extension finie de $\Qm_l$. On notera
qu'un tel $\Pi$ n'est pas nécessairement unique mais définit une unique classe d'équivalence
proche au sens de \cite{y-t} que l'on notera $\Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$.
\end{rema*}

On fixe une clôture algébrique $\overline \Qm_l$ et on notera $\overline \Tm_I(\xi):=\Tm_I(\xi)
\otimes_{\Zm_l}
\overline \Zm_l$ de sorte que~$K_{\widetilde{\mathfrak m}}$ s'injecte canoniquement dans
$\overline \Qm_l=(\overline \Tm_I(\xi) \otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l)/\widetilde{\mathfrak m}
\otimes_{\Zm_l} \overline \Zm_l.$

Dans la suite nous ne considérerons que des idéaux premiers
$\xi$-cohomologiques, ce qui permet de définir leur représentation galoisienne associée au sens suivant.

\begin{defi}
On note
$$\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}:\gal(\bar F/F) \to \GL_d(\overline \Qm_l)$$
la représentation galoisienne associée à un tel $\Pi$ d'après
\cite{h-t} et \cite{y-t}.
\end{defi}

\begin{rema*}
Pour toute place $w \in \spl(I)$, les valeurs propres de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}(\frob_w)$
sont données par les paramètres de Satake de $\Pi_v$ et appartiennent donc à
$K_{\widetilde{\mathfrak m}}$.
\end{rema*}

La restriction de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$
au groupe de Galois local en $v$ s'identifie à une représentation de Weil-Deligne
$(\sigma_{\widetilde{\mathfrak m},v},N_{\widetilde{\mathfrak m},v})$ où
$N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est le logarithme de la partie unipotente de la monodromie locale.
Notons que cet opérateur nilpotent est défini via la somme finie
$$\ln(1-x)=- \sum_{k=1}^{d_{\widetilde{\mathfrak m},v} -1} \frac{x^k}{k},$$
où $d_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est
l'ordre de nilpotence de $N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$. En particulier
\begin{itemize}
\item si $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ est entière, \ie s'il existe un réseau stable
$\Gamma$ et si $l \geq d_{\widetilde{\mathfrak m},v}$, alors l'opérateur
$N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est défini sur $\Gamma$
et on note $\overline N_{\widetilde{\mathfrak m},v,\Gamma}$ sa réduction modulo l'idéal maximal
de l'anneau des entiers de $\overline \Qm_l$.
Dans la suite $l$ vérifiera toujours l'inégalité $l \geq d_{\widetilde{\mathfrak m},v}$.

\item Si en outre la réduction modulo $l$
de $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ est irréductible alors tous
les réseaux stables $\Gamma$ sont homothétiques et on notera simplement
$\overline N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$.
\end{itemize}

\begin{nota}
Tout élément nilpotent de $\GL_d(F_v)$ admet une forme de Jordan associée à une
unique partition de $d$ donnée par la taille de ses blocs de Jordan. On note
$$\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}} \quad \hbox{\resp } \underline{d_{\mathfrak m,v}}$$
la partition associée à $N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ (\resp à $\overline{N_{\mathfrak m,v}}$).
\end{nota}

On introduit alors les diagrammes de Ferrers étiquetés $T_{\widetilde{\mathfrak m},v}$
et $T_{\mathfrak m,v}$ associés respectivement à $N_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ et
$\overline{N_{\mathfrak m,v}}$ dont les longueurs des lignes sont les tailles,
classées par ordre décroissant, des blocs de Jordan de l'opérateur de monodromie associé.
En particulier $d_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est la longueur de la première ligne.
On rappelle par ailleurs que les longueurs des colonnes de $T_{\widetilde{\mathfrak m},v}$
sont les $\dim \ker N_{\widetilde{\mathfrak m},v}^{i+1} - \dim \ker N_{\widetilde{\mathfrak m},v}^i$.
On a une formule analogue pour $T_{\mathfrak m,v}$ de sorte qu'en particulier
$$ \underline{d_{\mathfrak m,v}} \leq \underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}.$$

\begin{rema*}
Avec les notations de la définition \ref{defi-TY1} et la description
de la correspondance de Langlands locale, $T_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ est
le diagramme de Ferrers $T(\Pi_{\widetilde{\mathfrak m},v})$.
\end{rema*}

\subsection{Énoncé du théorème principal}
\label{para-enonce}

À présent on notera simplement $\Tm_I$ pour $\Tm_I(\xi)$.
Considérons un idéal maximal $\mathfrak m$ de $\Tm_I$ qui est $\xi$-cohomologique au sens où au
moins un idéal premier minimal $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ l'est.
Pour un tel $\widetilde{\mathfrak m}$, on a une injection
$\Tm_I/\widetilde{\mathfrak m} \hto \OC_{\widetilde{\mathfrak m}}$
où $\OC_{\widetilde{\mathfrak m}}$ désigne l'anneau des entiers de $K_{\widetilde{\mathfrak m}}$:
la composée de cette injection avec la réduction modulo l'idéal maximal de
$\OC_{\widetilde{\mathfrak m}}$ coïncide alors avec la
surjection $\Tm_I/\widetilde{\mathfrak m} \twoheadrightarrow \Tm_I/\mathfrak m$.
On peut ainsi parler de la réduction modulo $\mathfrak m$ des paramètres de Satake
$S_{\widetilde{\mathfrak m}}(w)$ lesquels ne dépendent donc que de $\mathfrak m$ et sont donc
donnés par le multi-ensemble des racines du polynôme de Hecke en $w$
$$P_{\mathfrak{m},w}(X):=\sum_{i=0}^d(-1)^i q_w^{\sfrac{i(i-1)}{2}}\, \overline{T_{w,i}}\, X^{d-i} \in \overline
\Fm_l[X]$$
\ie
$$S_{\mathfrak{m}}(w) := \bigl \{\lambda \in \Tm_I/\mathfrak m \simeq \overline \Fm_l \mid
P_{\mathfrak{m},w}(\lambda)=0 \bigr\}.$$
Ainsi tout idéal premier $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ qui est $\xi$-cohomologique,
fournit une (ou des) repré\-sen\-tation automorphe dont les paramètres de Satake modulo $l$
en toute place de $\spl(I)$ sont donnés par $\mathfrak m$; pour deux tels idéaux premiers
on obtient ainsi des représentations automorphes dites congruentes, au sens où elles partagent
les mêmes paramètres de Satake en presque toutes les places.

\begin{defi} \label{defi-deter}
On dira que $\overline{N_{\mathfrak m,v}}$ est détérioré relativement à $\widetilde{\mathfrak m}$
si, \cf la notation \ref{nota-partition1} et la définition \ref{defi-partition-ordre},
$\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}^{(1)}$ n'est pas contenu dans $\underline{d_{\mathfrak m,v}}$.
\end{defi}

\begin{theo} \label{theo-principal}
Soient
\begin{itemize}
\item $I \in \IC$ un sous-groupe compact ouvert tel que modulo $\varpi_v$, la composante $I_v$ de~$I$
à la place $v$, \cf la formule \eqref{eq-facteur-v}, est
un sous-groupe parahorique relativement à une partition $\underline m=(m_1 \geq \cdots \geq m_r)$
de $d$ avec $r>1$,

\item et, \cf la remarque suivant la définition \ref{nota-spl2}, $\mathfrak m$ un idéal maximal de $\Tm_I$,
\end{itemize}
tels que $\underline m$ soit maximal relativement au fait qu'il existe un idéal premier minimal
$\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ ainsi qu'une représentation automorphe irréductible
$\Pi \in \Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ possédant des vecteurs non nuls invariants sous $I$.
On suppose alors que:
\begin{enumerate}
\item\label{theo-principal1} $\overline \rho_{\mathfrak m}$, est irréductible

\item\label{theo-principal2} $l \geq d_{\widetilde{\mathfrak m},v}$;

\item\label{theo-principal3} la partition $\underline{d_{\mathfrak m,v}}$ est strictement plus petite que
la partition $\underline m^*$ conjuguée à $\underline m$;

\item\label{theo-principal4} au choix
\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}
\item\label{theo-principal4i}
soit $\overline{N_{\mathfrak m,v}}$ est détérioré relativement à $\widetilde{\mathfrak m}$,

\item\label{theo-principal4ii}
soit la composante locale en $v$ de $\Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ n'est pas de la
forme $\chi_{v,1} \times \chi_{v,2} \times ?$ pour $\chi_{v,1}$ et $\chi_{v,2}$ des
caractères de $F_v^\times$ tels que $\chi_{v,2} \equiv \chi_{v,1} \nu \bmod l$ où
$$\nu:x \in F_v^\times \mto q^{-\val x},$$
et $?$ une représentation quelconque.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Alors pour toute place $w \in \spl(I)$ distincte de $v$, il existe un sous-groupe parahorique~$I'_v$ (\resp $I'_w$)
associée à une partition $\underline m_v' >\underline m$
(\resp $\underline m_w'$) ainsi qu'un idéal maximal $\xi$-cohomologique
$\mathfrak m'$ de $\Tm_{I'}$, où $I':=I'_v I'_w I^{v,w}$, tel que
$$\overline \rho_{\mathfrak m'} \simeq \overline \rho_{\mathfrak m}.$$
Autrement dit, $\overline \rho_{\mathfrak m}$ provient d'une représentation automorphe de niveau $I'$.
\end{theo}

\begin{rema*}
Comme $l \geq d_{\widetilde{\mathfrak m},v}$ et $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est irréductible,
$\overline N_{\mathfrak m,v}$ est bien défini indépendamment du réseau stable.
Par maximalité de $\underline m$, on a $d_{\widetilde{\mathfrak m},v}=\underline m^*$ de sorte que
l'hypothèse $\underline{d_{\mathfrak m,v}} < \underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}$
est clairement nécessaire pour obtenir un énoncé de diminution du niveau.
\end{rema*}

Le principe de la démonstration
consiste à calculer la cohomologie en niveau $I$ de la variété de Shimura associée à $G$, \cf
le paragraphe \ref{para-KHT}, en utilisant la suite spectrale de Rapoport-Zink en la place $v$. On constate alors
\begin{itemize}
\item $\overline \rho_{\mathfrak m}$ étant irréductible, sur $\overline \Qm_l$ cette suite spectrale
dégénère en $E_1$, tous les groupes de cohomologie étant concentrés en degré médian;

\item l'hypothèse $\underline{d_{\mathfrak m,v}} < \underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}$
impose que certains des termes initiaux de cette suite spectrale ont de la torsion non triviale.
\end{itemize}
Ainsi la cohomologie de toute la variété de Shimura admet une filtration dont certains gradués sont
de torsion et la partie la plus difficile de la preuve consiste, proposition \ref{prop-torsion-princ},
\begin{itemize}
\item à montrer que la cohomologie elle-même admet de la torsion non triviale

\item et que celle-ci subsiste en diminuant légèrement le niveau en $v$.
\end{itemize}

On utilise alors le résultat principal de \cite{boyer-mrl} qui permet de relever une telle classe de torsion
en caractéristique $0$ quitte à augmenter le niveau en une place auxiliaire.

Une question naturelle est d'itérer ce résultat afin de construire un niveau $I'=I^{v,w}I'_v I'_w$
avec $I'_w \subset I_w$ et $I'_v$ un sous-groupe parahorique associé à une partition
$\underline m$,
de sorte qu'il existe $\widetilde{\mathfrak m}$ avec
$$\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}=\underline{d_{\mathfrak m,v}}=\underline m$$
et $\Pi \in \Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ ayant des vecteurs non nuls invariants sous $I'$.
C'est clairement le cas si $\underline{d_{\mathfrak m,v}}$ n'admet pas plus d'une ligne de longueur
$1$ puisqu'alors la condition \eqref{theo-principal4ii} est toujours vérifiée. Plus généralement on a l'énoncé suivant.

\begin{coro} \label{coro-principal}
Supposons que l'ensemble des étiquettes des lignes de longueur~$1$ du diagramme de Ferrers
étiqueté associé à $\underline{d_{\mathfrak m,v}}$, ne contient aucun sous-ensemble de la forme
$\{\alpha, q \alpha\}$.
Alors pour toute place $w \in \spl(I)$ distincte de $v$, il existe un sous-groupe parahorique $I'_v$ (\resp $I'_w$) associée à la partition $\underline{d_{\mathfrak m,v}}^*$
(\resp $\underline m_w'$) ainsi qu'un idéal maximal $\xi$-cohomologique
$\mathfrak m'$ de $\Tm_{I'}$, où $I':=I'_v I'_w I^{v,w}$, tel que
$$\overline \rho_{\mathfrak m'} \simeq \overline \rho_{\mathfrak m},$$
autrement dit $\overline \rho_{\mathfrak m}$ provient d'une représentation automorphe de niveau $I'$.
\end{coro}

\begin{rema*}
On notera que dans le cas $d=2$ si l'hypothèse \eqref{theo-principal4ii} n'est pas vérifié alors il n'y a rien à démontrer
puisqu'il existe alors un $\Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ non ramifié en $v$.
\end{rema*}

Au paragraphe \ref{para-dege}, on donnera par ailleurs un énoncé de non dégénérescence de la monodromie, \ie des conditions
explicites sur $\mathfrak m$ et $\widetilde{\mathfrak m}$, pour que
$\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}= \underline{d_{ \mathfrak m,v}}$, \cf le corollaire \ref{coro-appli}.

\section{Cohomologie des variétés de Kottwitz-Harris-Taylor}

\subsection{Rappels sur la géométrie}
\label{para-KHT}

On reprend les notations du paragraphe \ref{para-nota} où $G$ est un groupe de similitudes sur $\Qm$ et $p=uu^c$ un nombre premier décomposé
dans~$E$ avec une place notée $v$ de $F$ au-dessus de $u$ telle que $(B_v^{\op})^\times \simeq \GL_d(F_v)$.
On note alors
$$(X_I)_{I \in \IC}$$
le système projectif des variétés de Shimura associé au groupe $G$ au-dessus de $\spec \OC_v$ tel qu'il
est introduit dans \cite{h-t}: ces variétés de Shimura sont dites de Kottwitz-Harris-Taylor.
Ce système projectif est muni d'une action de $G(\Am^\infty) \times \Zm$ telle que l'action
d'un élément $w_v$ du groupe de Weil $W_v$ de $F_v$ est donnée par celle de $-\deg (w_v) \in \Zm$,
avec $\deg=\val \circ \art^{-1}$ où $\art^{-1}:W_v^\mathrm{ab} \simeq F_v^\times$ est
l'isomorphisme d'Artin qui envoie les Frobenius géométriques sur les uniformisantes.

\begin{nota}
On note: $X_{I,s_v}$ (\resp $X_{I,\eta_v}$) la fibre spéciale (\resp générique)
de $X_I$ en $v$ et $X_{I,\bar s_v}:=X_{I,s_v} \times \spec \overline \Fm_p$ la fibre spéciale géométrique
(\resp $X_{I,\bar \eta_v}$ la fibre générique géométrique).
\end{nota}

Pour $I \in \IC$ tel que, \cf la définition \ref{defi-Kv}, sa composante
$I_v$ à la place $v$, est le sous-groupe parahorique standard associé à la partition
$(m_1 \geq \cdots \geq m_r)$ de $d$. Alors le morphisme $X_{I} \to X_{I^v}$ est le
problème de modules correspondant à la donnée d'une chaîne d'isogénies
$$\GC_A=\GC_0 \to \GC_1 \to \cdots \to \GC_r=\GC_A/\GC_A[\varpi_v]$$
de $\OC_v$-modules de Barsotti-Tate où:
\begin{itemize}
\item pour tout $i=1,\dots, r$, l'isogénie
$\GC_{i-1} \to \GC_i$ est de degré $q^{m_i}$ et

\item la composée de ces $r$ isogénies est égale à l'application canonique
$\GC_A \to \GC_A/\GC_A[\varpi_v]$,
\end{itemize}
où $\GC_A$ est le module de Barsotti-Tate associé à la variété abélienne universelle
sur~$X_{I^v}$.

\begin{nota} \label{nota-iwahori}
Pour tout $1 \leq i \leq r$,
on note $Y_{I,i}$ le sous-schéma fermé de $X_{I,\bar s_v}$ sur lequel $\GC_{i-1}
\to \GC_i$ a un noyau connexe. Pour tout $S \subset \{1,\dots, r\}$ non vide, on note
$$Y_{I,S}=\bigcap_{i \in S} Y_{I,i}, \qquad Y^0_{I,S}=Y_{I,S}\setminus\bigcup_{S \subsetneq T} Y_{I,T}.$$
Pour tout $1 \leq m \leq r$, soit
$$Y_I^{(r)}:=\coprod_{\sharp S=r} Y_{I,S} \quad \hbox{et} \quad a_r:Y_I^{(r)} \to Y_I$$
la projection.
\end{nota}

De la théorie du modèle local de Rapoport-Zink, on déduit la description suivante, \cf par exemple
\cite{y-t}.

\begin{prop} \label{prop-semi-stable}
Le schéma $X_I$ est de pure dimension $d$ et a réduction semi-stable
sur $\OC_v$, \ie pour tout point fermé $x$ de $X_{I,\bar s_v}$, il existe un voisinage
étale $V \to X_I$ de $x$ et un $\OC_v$-morphisme étale
$$V \to \spec \OC_v[T_1,\dots,T_d]/(T_1 \cdots T_m-\varpi_v)$$
pour $1 \leq m \leq d$. Le schéma $X_I$ est régulier et le morphisme de restriction
du niveau $X_I \to X_{I^v}$ est fini et plat.
Tous les $Y_{I,S}$ sont lisses sur $\spec \kappa(w)$ de pure dimension $d-\sharp S$ avec
$$X_{I,\bar s_v}=\bigcup_{i=1}^r Y_{I,i}$$
où pour $i \neq j$, les schémas $Y_{I,i}$ et $Y_{I,j}$ n'ont pas de composante
connexe en commun.
\end{prop}

La fibre spéciale géométrique $X_{I,\bar s_v}$, quel que soit le niveau $I$, admet une stratification
dite de Newton: pour tout $1 \leq h \leq d$, on note
$$X_{I,\bar s_v}^{\geq h}, \quad \hbox{\resp } X_{I,\bar s_v}^{=h},$$
la strate fermée (\resp ouverte) de Newton de hauteur $h$, \ie le sous-schéma dont la
partie connexe du groupe de Barsotti-Tate en chacun de ses points géométriques
est de rang $\geq h$ (\resp égal à $h$).

\begin{nota}
On note
$$j^{\geq h}:X^{=h}_{I,\bar s_v} \hto X^{\geq h}_{I,\bar s_v}, \qquad
i^h:X^{\geq h}_{I,\bar s_v} \hto X_{I,\bar s_v}$$
et $j^{=h}=i^h \circ j^{\geq h}$.
\end{nota}

Lorsque le niveau $I_v$ en $v$ de $I$ est de la forme $\ker \bigl (\GL_d(\OC_v) \twoheadrightarrow
\GL_d(\OC_v/\varpi_v^{m_1}) \bigr)$, pour tout $1 \leq h < d$,
la strate de Newton $X_{I,\bar s_v}^{=h}$ est alors géométriquement induite au sens où
il existe un sous-schéma fermé $X_{I,\bar s_v,1_h}^{=h}$ muni d'une action de $P_{h,d-h}(\OC_v/\PC_v^{m_1})$ tel que:
$$X_{I,\bar s_v}^{=h} \simeq X_{I,\bar s_v,1_h}^{=h}
\times_{P_{h,d-h}(\OC_v/\PC_v^{m_1})} \GL_d(\OC_v/\PC_v^{m_1}).$$

\subsection{Systèmes locaux d'Harris-Taylor}

Passons provisoirement en niveau infini en $v$ et notons $X_{Iv^\infty}$ la tour associée: à l'aide des variétés d'Igusa de
première et seconde espèce, les auteurs de \cite[p.\,136]{h-t}, associent
à toute représentation admissible~$\rho_v$ des inversibles de l'ordre maximal
$\DC_{v,h}$ de l'algèbre à division centrale $D_{v,h}$ sur~$F_v$ d'invariant $1/h$,
un système local $\LC_{1_h}(\rho_v)$ sur $X^{=h}_{Iv^\infty,\bar s_v,1_h}$ muni
d'une action de $P_{h,d-h}(\OC_v)$ agissant via
la projection $P_{h,d-h}(\OC_v) \to \Zm \times \GL_{d-h}(\OC_v)$. On note alors
$$\LC(\rho_v):=\LC_{1_h}(\rho_v) \times_{P_{h,d-h}(\OC_v)} \GL_d(\OC_v)$$
sa version induite sur $X^{=h}_{Iv^\infty,\bar s_v}$.

\begin{nota}
Soient $\pi_v$ une représentation irréductible cuspidale de $\GL_g(F_v)$ et pour
$1 \leq t \leq \sfrac{d}{g}$, on note $\pi_v[t]_D$ la représentation de $D_{tg,v}^\times$
associé à la représentation de Steinberg $\st_t(\pi_v)$ par la correspondance locale de
Jacquet-Langlands. La représentation $\pi_v[t]_D$ de $D_{v,tg}^\times$ fournit alors
un système local sur $X^{=tg}_{Iv^\infty,\bar s_v,1_{tg}}$
$$\LC(\pi_v[t]_D)_{1_{tg}}=\bigoplus_{i=1}^{e_{\pi_v}}
\LC_{\overline \Qm_l}(\rho_{v,i})_{1_{tg}},$$
où $(\pi_v[t]_D)_{|\DC_{v,h}^\times}=\bigoplus_{i=1}^{e_{\pi_v}} \rho_{v,i}$ avec $\rho_{v,i}$ irréductible
et muni d'une action de $P_{tg,d-tg}(F_v)$ via son quotient $\GL_{d-tg} \times \Zm$.
\end{nota}

\begin{defi} \label{defi-HT}
Les systèmes locaux d'Harris-Taylor sont alors les
$$\widetilde{\HT}_{1_{tg}}(\pi_v,\Pi_t):=\LC(\pi_v[t]_D)_{1_{tg}} \otimes \Pi_t \otimes \Xi^{\psfrac{tg-d}{2}},$$
où $\Pi_t$ est une représentation quelconque de $\GL_{tg}(F_v)$.
La version induite est notée
$$\widetilde{\HT}(\pi_v,\Pi_t):=\bigl (\LC(\pi_v[t]_D)_{1_{tg}}
\otimes \Pi_t \otimes \Xi^{\psfrac{tg-d}{2}} \bigr) \times_{P_{tg,d-tg}(F_v)} \GL_d(F_v),$$
où l'action du radical unipotent de $P_{tg,d-tg}(F_v)$ est triviale, et celle de
$$\bigl(g^{\infty,v},\begin{smallpmatrix} g_v^c & * \\ 0 & g_v^{et} \end{smallpmatrix},\sigma_v\bigr)
\in G(\Am^{\infty,v}) \times P_{tg,d-tg}(F_v) \times W_v$$
est donnée
\begin{itemize}
\item par celle de $g_v^c$ sur $\Pi_t$ et $\deg(\sigma_v) \in \Zm$ sur $ \Xi^{\psfrac{tg-d}{2}}$ ainsi que

\item celle de $(g^{\infty,v},g_v^{et},\val(\det g_v^c)-\deg \sigma_v)
\in G(\Am^{\infty,v}) \times \GL_{d-tg}(F_v) \times \Zm$ sur $\LC_{\overline \Qm_l}
(\pi_v[t]_D)_{1_{tg}} \otimes \Xi^{\psfrac{tg-d}{2}}$,
où $\Xi:\frac{1}{2} \Zm \to
\overline \Zm_l^\times$ est défini par $\Xi(\sfrac{1}{2})=q^{1/2}$.
\end{itemize}
On dit de l'action de $\GL_{tg}(F_v)$ qu'elle est \emph{infinitésimale}.
\end{defi}

\begin{rema*}
En particulier le facteur $\Pi_t$ n'intervient pas réellement ni dans le calcul des faisceaux de cohomologie, par exemple
des extensions intermédiaires de la notation suivante, ni dans celui des groupes de cohomologie, par exemple de
$H^i_c(X_{Iv^\infty,\bar s_v,1_{tg}},\widetilde {\HT}_{1_{tg}}(\pi_v,\Pi_t))$. Précisément,
d'après la description des actions rappelée ci-avant,
en tant $\Tm_I \times \GL_{tg}(F_v) \times \GL_{d-tg}(F_v) \times \Zm$-module, un tel groupe de cohomologie
s'écrit comme une extension de modules irréductibles de la forme
$M \otimes \big (\Pi_t \otimes \chi \circ \val \circ \det \big) \otimes \Pi_v \otimes \chi^{-1}$, où $M$ (\resp $\Pi_v$)
est un $\Tm_I$-module (\resp une représentation de $\GL_{d-tg}(F_v)$) irréductible, et $\chi:\Zm \to \overline \Qm_l^\times$.
\end{rema*}

\begin{notas} On pose
$$\HT(\pi_v,\Pi_t):=\widetilde{\HT}(\pi_v,\Pi_t)[d-tg],$$
et le faisceau pervers d'Harris-Taylor associé est
$$P(t,\pi_v):= \lexp p j^{=tg}_{!*} \HT(\pi_v,\st_t(\pi_v)) \otimes \Lm(\pi_v),$$
où $\Lm^\vee$ désigne la correspondance locale de Langlands.
\end{notas}

D'après \cite{boyer-invent2}, proposition 4.3.1 complétée par le corollaire 5.4.1, on a l'égalité
suivante dans le groupe de Grothendieck des faisceaux pervers équivariants
\begin{multline} \label{eq-egalite}
j^{=tg}_! \HT(\pi_v,\Pi_t)=\lexp p j^{=tg}_{!*} \HT(\pi_v,\Pi_t) \\
+\sum_{k=1}^{\lfloor \sfrac{d}{g} \rfloor -t}
\lexp p j^{\geq (t+k)}_{!*}
\HT\bigl(\pi_v,\Pi_{t} \{\sfrac{-k}{2}\} \times \st_k(\pi_v\{\sfrac{t}{2}\})\bigr) (k/2).
\end{multline}

On rappelle que $\pi'_v$ est inertiellement équivalente à $\pi_v$ si et seulement
s'il existe un caractère $\zeta: \Zm \to \overline \Qm_l^\times$ tel que
$\pi'_v \simeq \pi_v \otimes (\zeta \circ \val \circ \det)$.
Les faisceaux pervers $P(t,\pi_v)$ ne dépendent que de la classe d'équivalence inertielle de $\pi_v$
et sont de la forme
$$P(t,\pi_v)=e_{\pi_v} \PC(t,\pi_v),$$
où $\PC(t,\pi_v)$ est un faisceau pervers irréductible.

\begin{nota} Pour $I \in \IC$, on notera $\PC_I(t,\pi_v):=\PC(t,\pi_v)^{I_v}$ le faisceau pervers
d'Harris-Taylor sur $X_{I,\bar s_v}$ et on ajoutera plus généralement un indice $I$ pour
les $\HT(\pi_v,\Pi_t)$ lorsqu'on les considère à niveau fini $I$.
\end{nota}

\begin{rema*}
Lorsque $I_v$ est un sous-groupe parahorique, le faisceau pervers $P_I(t,\pi_v)$
est nul si $\pi_v$ n'est pas un caractère.
\end{rema*}

Le résultat principal de \cite{boyer-invent2} sur les faisceaux de cohomologies des faisceaux
pervers d'Harris-Taylor, dont on pourra trouver une preuve simplifiée dans \cite{boyer-FT}
peut s'écrire comme suit sous la forme d'une résolution où on a posé $s=\lfloor \sfrac{d}{g} \rfloor$:
\begin{multline} \label{eq-resolution0}
0 \to j_!^{=sg} \HT_{1_{tg}}\bigl(\pi_v,\Pi_t \{\psfrac{t-s}{2}\} \otimes \speh_{s-t}(\pi_v\{\sfrac{t}{2}\})\bigr)
\otimes \Xi^{\psfrac{s-t}{2}} \to \cdots \\
\cdots \to j_!^{=t+1} \HT_{1_{tg}}(\pi_v,\Pi_t\{-1/2\} \otimes \pi_v\{\sfrac{t}{2}\}) \otimes
\Xi^{\sfrac{1}{2}} \\
\to j_!^{=t} \HT_{1_{tg}}(\pi_v,\Pi_t) \to \lexp p j_{!*}^{=t}
\HT_{1_{tg}}(\pi_v,\Pi_t) \to 0,
\end{multline}
où pour tout $tg \leq h \leq d$, $\Pi_t$ (\resp $\Pi_{h-tg}$) une représentation de $\GL_{tg}(F_v)$
(\resp de $\GL_{h-tg}(F_v)$), on a noté
$$\HT_{1_{tg}}(\pi_v,\Pi_t \otimes \Pi_{h-tg}):=\HT_{1_h}(\pi_v,\Pi_t \otimes \Pi_{h-tg})
\times_{P_{tg,h-tg,d-h}(F_v)} P_{tg,d-tg}(F_v).$$

Pour $\chi_v$ une représentation cuspidale de $\GL_1(F_v)$, \ie un caractère de $F_v^\times$,
le $\overline \Zm_l$\nobreakdash-sys\-tème local $\LC_{1_h}(\chi_v)$ est isomorphe à $\overline \Zm_l$ muni
de l'action du groupe fondamental $\Pi_1(X^{=h}_{I,\bar s_v})$ de $X^{=h}_{I,\bar s_v}$
qui se factorise par son quotient $\Pi_1(X^{=h}_{I,\bar s_v}) \twoheadrightarrow \DC_{v,h}^\times$
où l'action de $\DC_{v,h}^\times$
est donnée par le caractère $\chi_v$. En remarquant, \cf \cite[Lem.\,3.0.2]{boyer-duke},
que l'adhérence $X^{\geq h}_{I,\bar s_v}$ de $X^{=h}_{I,\bar s_v}$ est lisse, on en déduit que
$\overline \Zm_l [d-h]$ est un faisceau pervers sur $X^{\geq h}_{I,\bar s_v}$ qui s'identifie,
avec l'action de $\Pi_1(X_{I,\bar s_v}^{=h})$ comme ci-avant, alors
aux deux extensions intermédiaires
\begin{equation} \label{eq-p+p}
\lexp p j^{\geq h}_{!*} \LC_{1_h}(\chi_v)[d-h] \simeq
\lexp {p+} j^{\geq h}_{!*} \LC_{1_h}(\chi_v)[d-h].
\end{equation}

\begin{rema*}
D'après le résultat principal de \cite{boyer-duke}, la résolution précédente
\eqref{eq-resolution0} est encore valide sur $\overline \Zm_l$. En revanche
l'isomorphisme \eqref{eq-p+p} n'est valable que lorsque la réduction modulo $l$ de $\pi_v$
est encore supercuspidale et pas seulement cuspidale. Dans ce texte nous ne considérerons
que le cas $g=1$, \ie les $\pi_v$ qui sont des caractères $\chi_v$.
\end{rema*}

\begin{nota} \label{nota-uspilon}
On notera $\Upsilon$ l'ensemble des classes d'équivalence inertielle des caractères de $F_v^\times$.
\end{nota}

\subsection{Relèvement des classes de cohomologie de torsion}
\label{para-xi}

Fixons un plongement $\sigma_0:E \hto
\overline{\Qm}_l$ et notons $\Phi$ l'ensemble des plongements $\sigma:F \hto
\overline \Qm_l$ dont la restriction à~$E$ est $\sigma_0$.
On rappelle alors qu'il existe une bijection explicite entre les représentations algébriques irréductibles
$\xi$ de $G$ sur $\overline \Qm_l$ et les $(\sharp \Phi+1)$-uplets
$$\bigl (a_0, (\overrightarrow{a_\sigma})_{\sigma \in \Phi} \bigr),$$
où $a_0 \in \Zm$ et pour tout $\sigma \in \Phi$, on a $\overrightarrow{a_\sigma}=
(a_{\sigma,1} \leq \cdots \leq a_{\sigma,d})$.
Il existe alors une extension finie $K$ de $\Qm_l$ telle que
la représentation $\iota^{-1} \circ \xi$ de plus haut poids
$\bigl (a_0, (\overrightarrow{a_\sigma})_{\sigma \in \Phi} \bigr)$,
est définie sur $K$. On note $W_{\xi,K}$ l'espace de cette représentation et $W_{\xi,\OC}$
un réseau stable sous l'action du sous-groupe compact maximal $G(\Zm_l)$ et
où $\OC$ désigne l'anneau des entiers de $K$.

\begin{rema*}
Si on suppose que $\xi$ est $l$-petit, \ie que, pour tout $\sigma\!\in\!\Phi$,
$a_{\sigma,d}-a_{\sigma,1}\!<\!l$,
alors un tel réseau stable est unique à homothétie près.
\end{rema*}

Notons $\lambda$ une uniformisante de $\OC$ et soit
pour $n\!\geq\!1$, un sous-groupe distingué $I_n\!\in\!\IC$ de $I \in \IC$,
compact ouvert agissant trivialement sur $W_{\xi,\OC/\lambda^n}:=W_{\xi,\OC}
\otimes_{\OC} \OC/\lambda^n$. On note alors $V_{\xi,\OC/\lambda^n}$ le faisceau sur
$X_{I}$ dont les sections sur un ouvert étale $T \to X_{I}$ sont les fonctions
$$f:\pi_0 \big (X_{I_n} \times_{X_I} T \bigr) \to W_{\xi,\OC/\lambda^n}$$
telles que pour tout $k \in I$ et $C \in \pi_0 \big (X_{I_n} \times_{X_I} T \bigr)$, on a
la relation $f(Ck)=k^{-1} f(C)$.

\begin{notas} On note
$$V_{\xi,\OC}=\varprojlim_n V_{\xi,\OC/\lambda^n} \hbox{ et }
V_{\xi,K}=V_{\xi,\OC} \otimes_{\OC} K.$$
On utilisera aussi la notation $V_{\xi,\overline \Zm_l}$ et $V_{\xi,\overline \Qm_l}$ pour les versions
sur $\overline \Zm_l$ et $\overline \Qm_l$ respectivement ainsi que
$$\HT_\xi (\pi_v,\Pi_t):=\HT(\pi_v,\Pi_t) \otimes V_{_xi,\overline \Qm_l}.$$
\end{notas}

\begin{rema*}
La représentation $\xi$ est dite \emph{régulière} si son paramètre
$\bigl (a_0, (\overrightarrow{a_\sigma})_{\sigma \in \Phi} \bigr)$ est tel que pour
tout $\sigma \in \Phi$, on a $a_{\sigma,1} < \cdots < a_{\sigma,d}$.
\end{rema*}

On rappelle le résultat principal de \cite{boyer-mrl} qui permet de relever en caractéristique nulle les classes de torsion.

\begin{theo}[{\cf \cite[Cor.\,2.9]{boyer-mrl}}]
Soit $i$ tel que le sous-module de torsion de
$H^i(X_{I,\bar \eta},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ est non nul. Alors pour tout $v \in \spl(I)$,
il existe une représentation irréductible $\xi$-cohomologique $\Pi(v)$ non ramifiée en toute
place $w \neq v$ ne divisant pas $I$ et dont les paramètres de Satake modulo $l$ en $w$
sont donnés par $S_{\mathfrak m}(w)$.
\end{theo}

\begin{rema*}
La composante en $v$ de $\Pi(v)$ est ramifiée et d'après loc. cit. en utilisant
le lemme \ref{lem-secherre}, possède des
vecteurs non nuls invariants sous un certain sous-groupe parahorique associé
à une partition de la forme $(m \geq 1 \geq 1 \geq \cdots \geq 1)$.
\end{rema*}

D'après le théorème précédent, pour prouver \ref{theo-principal} il suffit alors de montrer,
\cf la proposition \ref{prop-torsion-princ},
qu'il existe un niveau $I'$ de la forme $I'=I^vI'_v$ où $I'_v$ est un sous-groupe parahorique
contenant strictement $I_v$ tel que la localisation en
$\mathfrak m$ de la cohomologie de $X_{I'}$ à coefficients dans $V_\xi$ est non nulle et donc,
par maximalité de $\underline m$ nécessairement de torsion.

\section{Preuve du théorème principal}

\subsection{Suite spectrale de Rapoport-Zink}

On considère à présent un niveau $I \in \IC$ tel que la composante $I_v$ de $I$
à la place $v$ est le sous-groupe parahorique standard $\Iw_v(\underline m)$ associé à la partition
$\underline m=(m_1 \geq m_2 \geq \cdots \geq m_r)$ de $d$. Avec les notations de \ref{nota-iwahori},
la variété de Shimura $X_I$ admet une réduction semi-stable à la place $v$ ce qui permet de
reprendre les constructions de Rapoport-Zink, \cf par exemple \cite[\S3]{ill}.

\begin{nota}
On note $R\Psi_{I;v}(\overline \Zm_l)$
le complexe des cycles proches sur $X_{I,\bar s_v}$.
\end{nota}

Rapoport et Zink construisent en particulier un bicomplexe $\AC$ ainsi qu'un isomorphisme de complexes
$$R\Psi_{I,v}(\overline \Zm_l) \simeq s(\AC),$$
où $s(\AC)$ est le complexe simple associé à $\AC$ ainsi qu'un morphisme
$$\nu: \AC \to \AC[-1,1](-1)$$
qui via l'isomorphisme précédent fournit
$$(T-1) \otimes T^\vee: R\Psi_{I,v}(\overline \Zm_l) \to R\Psi_{I,v}(\overline \Zm_l)(-1).$$
Le bicomplexe $\AC$ est ensuite muni d'une filtration croissante $W_\sbullet \AC$ de sorte que
les gradués correspondant $\gr^W_\sbullet s(\AC)$ sont les $\gr^W_\sbullet s(\BC)$ où
$\BC$ est le bicomplexe à différentielles nulles, \cf les notations \ref{nota-iwahori}
$$\begin{array}{llcc}
a_{r,*} \overline \Zm_l \\
a_{r-1,*} \overline \Zm_l & a_{r,*} \overline \Zm_l (-1) \\
\cdots \\
a_{1,*} \overline \Zm_l & a_{2,*} \overline \Zm_l (-1) & \cdots & a_{r,*} \overline \Zm_l (-r+1)
\end{array}$$
où le coin en bas à gauche correspond à $(0,0)$
et où $W_r \BC$ est obtenu en appliquant le foncteur de troncation canonique $\tau_{\leq r+q}$
à la $q$-ième ligne de $\BC$. Ainsi le gradué $\gr^W_rR\Psi_{I,v}(\overline \Zm_l)$ a pour faisceaux
de cohomologie
\begin{multline} \label{eq-hipsi}
\bigl (\HC^i \gr^W_r R\Psi_{I,v}(\overline \Zm_l) \bigr)_{i \geq 0}\\[-5pt]
=\Bigl (\overbrace{0, \dots, 0}^r,
a_{|r|+1,*} \overline \Zm_l (-|r|), a_{|r|+3,*} \overline \Zm_l (-|r|-1), \dots \Bigr).
\end{multline}
Rapoport et Zink montrent en outre que l'opérateur $(T-1) \otimes T^\vee$ défini plus haut, induit
un isomorphisme
\begin{equation} \label{eq-RZ2}
((T-1) \otimes T^\vee)^r: \gr^W_rR\Psi_{I,v}(\overline \Zm_l) \overset{\sim}{\to} \gr^W_{-r} R\Psi_{I,v}(\overline \Zm_l)(-r).
\end{equation}
Sur $\overline \Qm_l$, $(T-1) \otimes T^\vee$ est nilpotent ce qui permet de définir
$$N=\log T \otimes T^\vee:R\Psi_{I,v}(\overline \Qm_l)[d-1] \to R\Psi_{I,v}(\overline \Qm_l)[d-1](-1),$$
lequel correspond alors à l'opérateur de monodromie usuel.
Ainsi les $\gr^W_\sbullet s(\AC) \otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l$ sont les gradués
de la filtration de monodromie de $R\Psi_{I,v}(\overline \Qm_l)$.

\begin{rema*}
Les $\gr^W_r R\Psi_{I,v}(\overline \Qm_l)$ sont décrits explicitement en tout niveau
dans \cite{boyer-invent2}.
\end{rema*}

Rappelons, \cf \cite[\S 1.4]{boyer-torsion}, que $\DC:=D^b_c(X_{I,\bar s_v},\overline \Zm_l)$ est muni
de deux structures perverses notées $p$ et $p+$
\begin{align*}
A \in \lexp p \DC^{\leq 0}
&\iff \forall x \in X,~\HC^k i_x^* A=0,~\forall k >- \dim \overline{\{x\} } \\
A \in \lexp p \DC^{\geq 0} &\iff \forall x \in X,~\HC^k i_x^! A=0,~\forall k <- \dim \overline{\{x\} }
\end{align*}
où $i_x:\spec \kappa(x) \hto X_{I,\bar s_v}$, et
\begin{align*}
A \in \lexp {p+} \DC^{\leq 0} &\iff \forall x \in X,\;
\begin{cases}
\HC^i i_x^* A=0, & \forall i >- \dim \overline{\{x\} } +1 \\
\HC^{-\dim \overline{\{x\} } +1} i_x^* A & \hbox{de torsion} \end{cases}
\\
A \in \lexp {p+} \DC^{\geq 0} &\iff \forall x \in X,\;
\begin{cases}
\HC^i i_x^! A=0, & \forall i <- \dim \overline{\{x\} } \\
\HC^{-\dim \overline{\{x\} }} i_x^! A & \hbox{libre}
\end{cases}
\end{align*}

\begin{nota} On introduit le faisceau pervers
$$\Psi_{I,v,\overline \Zm_l}:=R\Psi_{I,v}(\overline \Zm_l)[d-1](\psfrac{d-1}{2})$$
qui est autodual et pervers pour les deux $t$-structures $p$ et $p+$.
On notera aussi
$$\gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}:=\gr^W_r R\Psi_{I,v}(\overline \Zm_l)[d-1](\psfrac{d-1}{2}).$$
\end{nota}

\begin{lemm} Les $\gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}$ sont pervers pour les deux $t$-structures $p$ et $p+$.
\end{lemm}

\begin{proof}
De la description donnée plus haut de $\gr_r^W s(\BC)$, lequel à un décalage près correspond à
$\gr^W_r \Psi_{\overline \Zm_l}$, et donc de \eqref{eq-hipsi}, on en déduit que ce dernier appartient à
$\lexp p \DC^{\leq 0}(X_{I,\bar s_v},\overline \Zm_l) \subset
\lexp {p+} \DC^{\leq 0}(X_{I,\bar s_v},\overline \Zm_l)$. De la lissité des $Y_{I,S}$ et donc des~$Y_I^{(r)}$, on obtient de même, après application du foncteur de dualité de Grothendieck-Verdier, que
$\gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \in \lexp {p+} \DC^{\geq 0}(X_{I,\bar s_v},\overline \Zm_l) \subset
\lexp p \DC^{\geq 0}(X_{I,\bar s_v},\overline \Zm_l)$,
d'où le résultat.
\end{proof}

Rappelons que $\gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Qm_l}$ étant pur, il est semi-simple et d'après \hbox{\cite[Th.\,2.2.4]{boyer-invent2}} s'écrit
$$\gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Qm_l}=\bigoplus_{\substack{1 \leq h \leq d\\h \equiv r+1 \bmod 2}}
\bigoplus_{\chi_v \in \Upsilon} \PC_I(h,\chi_v)(\sfrac{r}{2}),$$
où, \cf la notation \ref{nota-uspilon}, $\Upsilon$ désigne l'ensemble des classes d'équivalence inertielle des caractères de $F_v^\times$.

\begin{lemm} \label{lem-decompo-gr}
Sur $\overline \Zm_l$, on a une décomposition
$$\gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}=\bigoplus_{\substack{1 \leq h \leq d\\h \equiv r+1 \bmod 2}}
\gr^W_{r,h} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l},$$
où $\gr^W_{r,h} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l \simeq
\bigoplus_{\chi_v \in \Upsilon} \PC_I(h,\chi_v)(\sfrac{r}{2}).$
\end{lemm}

\begin{proof}
Le résultat découle d'après \eqref{eq-p+p} du fait détaillé ci-dessous.
Considérons une extension
$$0 \to A_1 \to A \to A_2 \to 0,$$
où $A_1$ et $A_2$ sont des $p$-extensions intermédiaires de systèmes locaux sur respectivement
$X^{=h_1}_{I,\bar s_v}$ et $X^{=h_2}_{I,\bar s_v}$ avec $h_1 > h_2$ et telle que
$A \otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l$ est scindée. Soit alors $A'_2$ le tiré en arrière
$$\xymatrix{
A'_2 \ar@{^{ (}-->}[r] \ar@{^{ (}-->}[d] & A \ar@{^{ (}->}[d] \\
A_2\otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l \ar@{^{ (}->}[r] & A \otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l
}$$
de sorte que
$$\xymatrix{
& A_1 \ar@{^{ (}->}[d] \ar@{=}[r] & A_1 \ar@{^{ (}->}[d] \\
A'_2 \ar@{^{ (}->}[r] \ar@{=}[d] & A \ar@{->>}[r] \ar@{->>}[d] & A'_1 \ar@{->>}[d] \\
A'_2 \ar@{^{ (}->}[r] & A_2 \ar@{->>}[r] & T \\
}
$$
Comme $A_2$ est une $p$-extension intermédiaire, si $T$ était non nul, sa restriction à
$X^{=h_2}_{I,\bar s_v}$ serait non nulle ce qui ne se peut pas puisque cette strate
n'intersecte pas $X^{\geq h_1}_{I,\bar s_v}$. Ainsi donc $A$ est scindée.
\end{proof}

On fixe une fois pour toute une énumération de $\Upsilon=\{\chi_{v,1},\chi_{v,2},\dots\}$ et on
considère le tiré en arrière
$$\xymatrix{
\PC_{I,\Gamma_r}(\chi_{v,1},h)(\sfrac{r}{2}) \ar@{^{ (}-->}[r] \ar@{^{ (}-->}[d] &
\gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \ar@{^{ (}->}[d] \\
\PC_{I}(\chi_{v,1},h)(\sfrac{r}{2}) \ar@{^{ (}->}[r] & \gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Qm_l}
}$$
Soit alors le quotient $\gr^W_{r,\geq 2} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}:=
\gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} / \PC_{I,\Gamma_r}(\chi_{v,1},h)(\sfrac{r}{2})$.
On procède alors comme précédemment en considérant le tiré en arrière
$$\xymatrix{
\PC_{I,\Gamma_r}(\chi_{v,2},h)(\sfrac{r}{2}) \ar@{^{ (}-->}[r] \ar@{^{ (}-->}[d] &
\gr^W_{r,\geq 2} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \ar@{^{ (}->}[d] \\
\PC_{I}(\chi_{v,2},h)(\sfrac{r}{2}) \ar@{^{ (}->}[r] & \gr^W_{r,\geq 2} \Psi_{I,v,\overline \Qm_l},
}$$
et ainsi de suite de façon à obtenir des structures entières $\PC_{I,\Gamma_r}(\chi_v,h)(\sfrac{r}{2})$
pour tout $h \equiv r+1 \bmod 2$ et $1 \leq h \leq d$.

\begin{lemm} Les structures entières $\PC_{I,\Gamma_r}(\chi_v,h)(\sfrac{r}{2})$ ne dépendent pas
de $r$ . Par ailleurs on a des isomorphismes
\begin{equation} \label{eq-RZ2b}
(T-1) \otimes T^\vee: \PC_{I,\Gamma_r}(\chi_v,h) (\sfrac{r}{2}) \overset{\sim}{\to}
\PC_{I,\Gamma_{r-2}}(\chi_v,h) (\psfrac{r-2}{2})
\end{equation}
pour tout $2 \leq h \leq d$, $h \equiv r-1 \bmod 2$ et $3-h \leq r \leq h-1$.
\end{lemm}

\begin{proof}
D'après \eqref{eq-RZ2} et la décomposition du lemme \ref{lem-decompo-gr},
$(T-1) \otimes T^\vee$ induit des isomorphismes
$$(T-1) \otimes T^\vee: \gr^W_{r,h} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \overset{\sim}{\to}
\gr^W_{r-2,h} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}(-1)$$
pour tout $2 \leq h \leq d$, $h \equiv r-1 \bmod 2$ et $3-h \leq r \leq h-1$. Le résultat en découle alors
puisqu'on utilise, pour tous ces $r$, la même numérotation de $\Upsilon$ pour construire les
structures entières $\PC_{I,\Gamma_r}(\chi_{v,i},h)(\sfrac{r}{2})$.
\end{proof}

\begin{nota} On notera alors plus simplement $\PC_{I,\Gamma}(\chi_v,t)$ la structure entière
de $\PC_I(\chi_v,t)$ fournie par $\Psi_{I,v,\overline \Zm_l}$ et le choix de l'énumération de $\Upsilon$.
\end{nota}

\begin{rema*}
On ne cherche pas ici à préciser de quelle structure entière il s'agit. Lorsque le niveau en $v$
est grand, on peut montrer que plusieurs telles structures coexistent pour les $\PC_I(\pi_v,t)$ lorsqu'on filtre $\Psi_{I,v,\overline \Zm_l}$.
\end{rema*}

La suite spectrale dite de Rapoport-Zink associée
\begin{equation} \label{eq-RZ}
E_1^{p,q}=H^{p+q}(X_{I,\bar s_v},\gr^W_{-p} R\Psi_{I,v} (\overline \Zm_l) \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})
\Longrightarrow H^{p+q}(X_{I,\bar \eta},V_{\xi,\overline \Zm_l})
\end{equation}
peut alors se raffiner en utilisant les $\PC_{I,\Gamma}(\chi_v,h)(\sfrac{r}{2})$, ou comme dans
\cite{ill}, se décrire à l'aide des $Y_{I,S}$:
$$E_1^{p,q}=\bigoplus_{i \geq \max \{0, - p\} } \bigoplus_{\sharp S=p+2i+1} H^{q-2i} (Y_{I,S},
V_{\xi,\overline \Zm_l}(-i)).$$

\begin{prop} \label{prop-cohoQ}
Soit $I \in \IC$ avec donc $I_v$ un sous-groupe parahorique.
Soit $\widetilde{\mathfrak m}$ un idéal premier de $\Tm_I$ tel qu'il existe $r$ et $i\!\neq\!0$
avec \hbox{$H^i(X_{I,\bar s_v},\gr^W_r\!\Psi_{I,v,\overline \Qm_l}\!\otimes\!V_{\xi,\overline \Qm_l})_{\widetilde{\mathfrak m}}\!\neq\!0$}.
Alors la représentation galoisienne $\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ associée est réductible.
\end{prop}

\begin{proof}
Le théorème 2.2.4 de \cite{boyer-invent2} décrit les gradués\footnote{On montre dans loc. cit.
que les filtrations de monodromie et de poids de $\Psi_{I,v,\overline \Qm_l}$ coïncident à un décalage près.}
$\gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Qm_l}$ en termes des faisceaux pervers d'Harris-Taylor lesquels
sont indexés par les représentations irréductibles cuspidales d'un $\GL_g(F_v)$ pour $g$
variant de $1$ à $d$. En niveau parahorique à la place $v$, seules les cuspidales (caractères)
pour $g=1$ contribuent.

Les groupes de cohomologie des faisceaux pervers d'Harris-Taylor sont explicités au paragraphe 3 de
\cite{boyer-compositio}.
Pour ce faire on décrit la partie $\Pi^\infty$-isotypique de ces groupes de cohomologie
pour $\Pi$ une représentation automorphe cohomologique.
On note alors que pour avoir de la cohomologie $\Pi^\infty$-isotypique en dehors du degré médian il
faut que la composante locale $\Pi_v$ en $v$ soit de la forme $\speh_s(\pi_v)$ pour $\pi_v$ une
représentation tempérée, auquel cas $\Pi^\infty$ est de la forme $\speh_s(\pi)$ pour $\pi$ cuspidale,
ce qui en termes galoisiens signifie que la représentation galoisienne associée à $\Pi$ par la
correspondance de Langlands globale s'écrit
$\rho\, |-|^{\psfrac{1-s}{2}} \oplus \cdots \oplus \rho\, |-|^{\psfrac{s-1}{2}}$, où $\rho$ est la représentation
galoisienne associé à $\pi$ par la correspondance de Langlands globale.
\end{proof}

\begin{prop} \label{prop-libre-d}
On suppose que $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est irréductible et on choisit une partition
$\underline m=(m_1 \geq \cdots \geq m_r)$ de $d$ maximale de sorte qu'il existe
\begin{itemize}
\item $I \in \IC$ avec $I_v=\Iw_v(\underline m)$ un sous-groupe parahorique associé à $\underline m$ et

\item un idéal premier $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ tel que
$H^0(X_{I,\bar s_v},\Psi_{I,v,\overline \Qm_l} \otimes V_{\xi,\overline \Qm_l})_{\widetilde{\mathfrak m}}$ est non nul.
\end{itemize}
Si en outre, tous les $H^i(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$
sont sans torsion, alors la partition $\underline{d_{\mathfrak m,v}}$ associé à l'opérateur de
monodromie est égale à celle $\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}$.
\end{prop}

\begin{proof}
D'après la proposition précédente si $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est irréductible alors les
$H^i(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Qm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Qm_l})_{\mathfrak m}$ sont nuls pour tout $i \neq 0$ et
la suite spectrale \eqref{eq-RZ} de Rapoport-Zink dégénère en $E_1$. Par maximalité de $\underline m$,
les idéaux premiers $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ tels qu'il existe
$\Pi \in \Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ contribuant à
$H^0(X_{I,\bar s_v},\Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m} \otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l$
sont tels que, d'après le lemme \ref{lem-secherre} la composante locale $\Pi_v$ est de la forme
$\st_{t_1}(\chi_{v,1}) \times \cdots \times \st_{t_{m_1}}(\chi_{v,m_1})$
où $(t_1\geq \cdots \geq t_{m_1})$ est la partition conjuguée à $\underline m$ et où les
$\chi_{v,i}$ sont des caractères de $F_v^\times$. En particulier tous les
$\rho_{\widetilde{\mathfrak m}}$ fournissent la même partition
$\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}=(t_1\geq \cdots \geq t_{m_1})$.

On peut aussi bien entendu retrouver la partition $(t_1\geq \cdots \geq t_{m_1})$ à l'aide de
la filtration de monodromie et plus particulièrement à partir de la dimension de ses groupes de cohomologie .
En effet pour $i \geq 0$ et $\Pi$ une représentation automorphe irréductible $\xi$-cohomologique de composante locale en $v$ de la forme
$\st_{t_1}(\chi_{v,1}) \times \cdots \times \st_{t_{m_1}}(\chi_{v,m_1})$, sa contribution
$\bigl [ H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_{i} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}
\otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l \bigr ] \{\Pi\}$
à la $ \overline{\mathbb Q}_l$\nobreakdash-cohomologie de $\gr^W_{i} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l}$ est
égal à une constante $e_{\mathfrak m,I}(\Pi)$ multipliée par le cardinal de l'ensemble suivant\vspace*{-3pt}
$$\bigl \{k\mid t_k \geq i+1 \hbox{ et } t_k \equiv i+1 \bmod 2 \bigr\},$$
où $e_{\mathfrak m,I}(\Pi)$ est, pour une représentation ayant ses paramètres de Satake modulo $l$ donnés par $ \mathfrak m$,
essentiellement donnée par la dimension de l'espace des invariants $(\Pi^{\infty})^I$ multipliée par une constante indépendante de $\Pi$,
\cf \cite[Déf.\,3.3.3]{boyer-compositio}.

Ainsi comme tous les $\Pi$ tels que $e_{\mathfrak m,I}(\Pi) \neq 0$ ont une composante locale en $v$ de la forme
$\st_{t_1}(\chi_{v,1}) \times \cdots \times \st_{t_{m_1}}(\chi_{v,m_1})$ pour la même partition $(t_1 \geq \cdots \geq t_{m_1})$, on
en déduit qu'il existe une constante $e$ telle que le nombre de lignes
de taille $i$ dans le diagramme de Ferrers de $\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}$
multiplié par $e$ est égal à
\begin{multline*}
\dim_{\overline \Qm_l} H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_{i-1} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}
\otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l\\
- \dim_{\overline \Qm_l} H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_{i+1} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}
\otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l.
\end{multline*}

Supposons en outre que tous les $H^i(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ sont
sans torsion. On a alors une filtration de
$H^0(X_{I,\bar s_v}, \Psi_{I,v,\overline \Fm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Fm_l})_{\mathfrak m}$ dont les gradués sont les
$H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m} \otimes_{\overline \Zm_l}
\overline \Fm_l$ et où l'opérateur $\overline N_{\mathfrak m,v}$ induit, d'après \eqref{eq-RZ2},
des isomorphismes
$$\overline N_{\mathfrak m,v}^r: H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}
\otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Fm_l \simeq H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_{-r}
\Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m} \otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Fm_l.$$
Ainsi la décomposition de Jordan de l'opérateur de monodromie agissant sur
$H^0(X_{I,\bar s_v}, \Psi_{I,v,\overline \Fm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Fm_l})_{\mathfrak m}$ fournit un diagramme de Ferrers
dont le nombre de lignes de longueur $i$ est égal à
\begin{multline*}
\dim_{\overline \Fm_l} H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_{i-1} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}
\otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Fm_l\\
\shoveright{- \dim_{\overline \Fm_l}
H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_{i+1} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}
\otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Fm_l}
\\ \shoveleft{= \dim_{\overline \Qm_l} H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_{i-1} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}
\otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l}\\
- \dim_{\overline \Qm_l} H^0(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_{i+1} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}
\otimes_{\overline \Zm_l} \overline \Qm_l.
\end{multline*}
Comme la représentation galoisienne $H^0(X_{I,\bar s_v}, \Psi_{I,v,\overline \Fm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Fm_l})_{\mathfrak m}$
est isotypique relativement à la représentation irréductible $\overline \rho_{\mathfrak m}$, le diagramme de Ferrers de
$$H^0(X_{I,\bar s_v}, \Psi_{I,v,\overline \Fm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Fm_l})_{\mathfrak m}$$ est simplement un multiple de celui de
$d_{\mathfrak m,v}$ et donc finalement $\underline{d_{\mathfrak m,v}}=\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}$.
\end{proof}

\subsection{Construction d'une classe de torsion}
\label{para-preuve}

Soit $\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ un idéal premier de $\Tm_{I}$ tel que,
\cf la remarque suivant la définition \ref{nota-spl2}, il existe $I \in \IC$ avec
$I_v$ un sous-groupe parahorique associé à la partition
$\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}^*$. \emph{On choisit un tel $\widetilde{\mathfrak m}$
de sorte que $\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}^*$ soit maximal.}
Rappelons que nécessairement
$$\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}^* \leq \underline{d_{\mathfrak m,v}}^*,$$
et qu'en cas d'égalité il n'y a plus rien à démontrer. Supposons donc l'inégalité précédente stricte
de sorte que d'après la proposition \ref{prop-libre-d},
des isomorphismes \ref{eq-RZ2} et de l'interprétation de l'opérateur de monodromie
$N=\log T \otimes T^\vee$ sur $\overline \Qm_l$, si tous les
$E_{1,\mathfrak m}^{p,q}$ étaient libres alors on aurait
$\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}= \underline{d_{\mathfrak m,v}}$ ce qui n'est pas par
hypothèse. Ainsi donc il existe $r$ et $i$ tel que
$$H^i(X_{I,\bar s_v}, \gr^W_r \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m,\tor} \neq (0).$$
D'après \cite{boyer-invent2} et comme remarqué à la fin du paragraphe \ref{para-KHT},
les faisceaux pervers d'Harris-Taylor des $\gr^W_r(\Psi_{I,v,\overline \Qm_l})$ en niveau
parahorique, sont les $\PC_I(\chi_v,t)(\sfrac{\delta}{2})$. Ainsi donc il existe un
caractère $\chi_v$ de $F_v^\times$ et un entier $t \leq d$ tels que la cohomologie
en niveau $I$ de $\PC_{I,\Gamma}(\chi_v,t)$ a de la torsion. On reprend alors les arguments
de \cite[\S 2]{boyer-mrl} dans un cas plus général \ie désormais $I_v$ n'est plus le sous-groupe compact maximal
mais un sous-groupe parahorique. Considérons pour ce faire $t_0$ maximal
tel qu'il existe un caractère $\chi_v$ et $i_0 \in \Zm$ que l'on choisit minimal, pour lesquels
$$H^{i_0}(X_{I,\bar s_v},\PC_{I,\Gamma}(\chi_v,t_0)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m,\tor} \neq (0).$$

\begin{lemm} \label{lem-tor-c}
Pour tout $t_0 < t \leq d$, la torsion des $$H^i_c(X_{I,\bar s_v}^{=t},\HT_{I,\Gamma}(\chi_v,\Pi_t)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$$
est nulle.
\end{lemm}

\begin{rema*}
Dans l'énoncé ci-avant et dans la suite $\HT_{I,\Gamma}(\chi_v,\Pi_t) \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l}$
désigne une structure entière quelconque de $\HT_I(\chi_v,\Pi_t) \otimes V_{\xi,\overline \Qm_l}$, étant sous
entendu que le résultat ne dépend pas du choix d'une telle structure.
\end{rema*}

\begin{proof}
Commençons par noter que comme $X^{=d}_{I,\bar s_v}$ est ponctuel, on a nécessairement
$t_0<d$. On raisonne par récurrence sur $t$ du cas trivial $t=d$ à $t_0+1$. Supposons donc
le résultat acquis jusqu'au rang $t+1$ et traitons le cas $t$. On considère la filtration par les poids
de $j^{\geq t}_{!} \HT_{I,\Gamma}(\chi_v,\Pi_{t})$ dont les gradués $\gr^W_k(!,\chi_v,t)$
sont, d'après \eqref{eq-egalite},
nuls pour $k>0$ ou $-k<t-d$ et sinon donnés par $$\lexp p j^{\geq (t-k)}_{!*}
\HT_{I,\Gamma}(\chi_v,\Pi_{t}\{\sfrac{k}{2}\} \times \st_{-k}(\chi_v \{\sfrac{t}{2}\})) (-k/2):$$
on rappelle, \cf \eqref{eq-p+p}, que les $p$ et $p+$ extensions intermédiaires coïncident
pour les systèmes locaux d'Harris-Taylor associés à un caractère.
On considère alors la suite spectrale associée, \cf \cite{boyer-compositio}, preuve de la proposition
5.1.1:
$$E_1^{i,j}=H^{i+j}(X_{I,\bar s_v},\gr_{-i}^W(!,\chi_v,t)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})
\Longrightarrow H^{i+j}(X_{I,\bar s_v},j^{\geq t}_! \HT_{I,\Gamma}(\chi_v,\Pi_{t})\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l}).$$
Le résultat découle alors trivialement du fait que les $E_{1,\mathfrak m}^{i,j}$ sont
\begin{itemize}
\item sans torsion, d'après la définition de $t_0$ et

\item nuls pour $i+j \neq 0$.\qedhere
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{lemm} \label{lem-t0}
Avec les notations précédentes, on a $i_0=0$, autrement dit pour tout $i \neq 0,1$, la torsion
de $H^i(X_{I,\bar s_v},\PC_{I,\Gamma}(\chi_v,t_0) \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ est triviale.
\end{lemm}

\begin{proof}
On reprend l'étude de la suite spectrale précédente pour $t=t_0$:
\begin{multline*}
E_1^{i,j}=H^{i+j}(X_{I,\bar s_v},\gr_{-i}^W(!,\chi_v,t_0)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})\\
\Longrightarrow H^{i+j}(X_{I,\bar s_v},j^{\geq t_0}_! \HT_{I,\Gamma} (\chi_v,\Pi_{t_0}) \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l}).
\end{multline*}
Par définition de $t_0$, pour tout $i \neq 0$, les $E_{1,\mathfrak m}^{i,j}$ sont nuls pour $i+j \neq 0$
et sinon sans torsion. S'il existait $j<0$ tel que la torsion de $E_{1,\mathfrak m}^{0,j}$ était non nul,
alors celle de $E_{\infty,\mathfrak m}^{j}=H^{j}(X_{I,\bar s_v},j^{\geq t_0}_! \HT_{I,\Gamma}(\chi_v,\Pi_{t_0})
\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$
serait aussi non nulle ce qui n'est pas puisque, $X^{=t_0}_{I,\bar s_v}$ étant affine, les
$H^i(X_{I,\bar s_v},j^{\geq t_0}_! \HT_{I,\Gamma}(\chi_v,\Pi_{t_0})\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})$ sont nuls pour tout $i<0$.
On a ainsi $i_0 \geq 0$ et on conclut en utilisant la dualité de Verdier.
\end{proof}

On peut calculer les $H^i(X_{I^vv^\infty,\bar s_v},\lexp p j^{\geq t_0}_{!*} \HT_{I^vv^\infty,\Gamma}(\chi_v,
\Pi_{t_0})\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ en utilisant la résolution \ref{eq-resolution0}. On remarque alors, d'après
le lemme \ref{lem-tor-c} et le fait que sur $\overline \Qm_l$ la cohomologie est concentrée en degré $0$, que
la torsion de $$H^0(X_{I^vv^\infty,\bar s_v},\lexp p j^{\geq t_0}_{!*} \HT_{I^vv^\infty,\Gamma}(\chi_v,
\Pi_{t_0})\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$$ provient d'un morphisme non strict entre les $\overline \Zm_l$-modules
libres
\begin{multline} \label{eq-fleche}
H^0\bigl(X_{I^vv^\infty,\bar s_v},j^{=t_0+1}_{!*} \HT_{1_{t_0}}\bigl(\chi_v, \Pi_{t_0} \{-1/2\} \otimes
\chi_v \{t_0/2\} \otimes \Xi^{1/2}\bigr)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l}\bigr)_{\mathfrak m}\\
\to H^0\bigl(X_{I^vv^\infty,\bar s_v},j^{=t_0}_{!*} \HT_{1_{t_0}}(\chi_v, \Pi_{t_0})\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l}\bigr)_{\mathfrak m}.
\end{multline}
Comme par hypothèse $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est irréductible, en niveau infini en $v$,
les représentations automorphes $\Pi$ qui contribuent à la $\overline \Qm_l$-cohomologie des deux
termes de \ref{eq-fleche}, ont leur composante locale en $v$, d'après \cite[\S5]{boyer-compositio},
de la forme
$$\Pi_v \simeq \st_{t_0+1}(\chi_{v,0}) \times \st_{t_1}(\chi_{v,1}) \times \cdots \st_{t_r}(\chi_{v,r}),$$
où les $\chi_{v,k}$ sont des caractères de $F_v^\times$ avec $\chi_{v,0}$
inertiellement équivalent à $\chi_v$. D'après loc. cit. la contribution d'une telle représentation $\Pi$ s'obtient en
remplaçant dans l'écriture précédente de $\Pi_v$, le facteur $\st_{t_0+1}(\chi_{v,0})$ par l'induite
normalisée $\st_{t_0}(\chi_{v,0} \{-1/2\}) \times \chi_{v,0} \{t_0/2\}$.

\begin{lemm}
Pour tout $t \leq t_0$, les $H^i(X_{I,\bar s_v},\lexp p j^{=t}_{!*} \HT_{I,\Gamma}(\chi_v,\Pi_t)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$
vérifient les propriétés suivantes:
\begin{itemize}
\item les quotients libres sont nuls pour tout $i \neq 0$;

\item ils sont nuls pour tout $i < t_0-t$;

\item pour $i=t_0-t$, le sous-module de torsion est non nul.
\end{itemize}
\end{lemm}

\begin{proof}
Le premier point découle, comme déjà noté, du fait que $\overline \rho_{\mathfrak m}$ est irréductible.
Passons provisoirement en niveau infini en $v$ et calculons
les groupes de cohomologie de $\lexp p j^{=t}_{!*} \HT_{1_t}(\chi_v,\Pi_t)$ à l'aide de
la résolution \ref{eq-resolution0}. En ce qui concerne les
$H^i(X_{I^vv^\infty,\bar s_v},\lexp p j^{=t}_{!*} \HT_{1_t}(\chi_v,\Pi_t)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ pour $i \leq t_0-t$,
du fait que les strates de Newton sont affines et que donc les
$H^\delta(X_{I^vv^\infty,\bar s_v},j^{=h}_! \HT(\chi_v,\Pi_h)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})$ sont nuls pour $\delta<0$, seuls les
$t_0-t+2$ premiers termes de la résolution interviennent, lesquels se retrouvent aussi, quitte à modifier
les composantes infinitésimales, \cf la remarque suivant \ref{defi-HT}, dans la résolution de
$\lexp p j^{=t_0}_{!*} \HT_{1_{t_0}}(\chi_v,\Pi_{t_0})$. En utilisant les propriétés d'adjonction de $j^{\geq h+1}_!$ et $i^{h+1}_*$,
les flèches
\begin{multline*}
j^{=h+1}_! \HT_{1_t}\bigl(\chi_v,\Pi_t \{\psfrac{t-h-1}{2}\} \otimes \speh_{h+1-t} (\chi_v \{\sfrac{t}{2}\})\bigr) \otimes
\Xi^{\psfrac{h+1-t}{2}}\\
\to j^{=h}_! \HT_{1_t}\bigl(\chi_v,\Pi_t \{\psfrac{t-h}{2}\} \otimes \speh_{h-t} (\chi_v \{\sfrac{t}{2}\})\bigr)\otimes
\Xi^{\psfrac{h-t}{2}}
\end{multline*}
dans la résolution de $\lexp p j^{=t}_{!*} \HT_{1_t}(\chi_v,\Pi_t)$ se déduisent de celles
\begin{multline*}
j^{=h+1}_! \HT_{1_{t_0}}\bigl(\chi_v,\Pi_{t_0} \{\psfrac{t_0-h-1}{2}\} \otimes \speh_{h+1-t_0}
(\chi_v \{\sfrac{t_0}{2}\})\bigr)\otimes \Xi^{\psfrac{h+1-t_0}{2}}\\
\to j^{=h}_! \HT_{1_{t_0}}\bigl(\chi_v,\Pi_{t_0} \{\psfrac{t_0-h}{2}\} \otimes \speh_{h-t_0} (\chi_v \{\sfrac{t_0}{2}\})\bigr)
\otimes \Xi^{\psfrac{h-t_0}{2}}
\end{multline*}
à modification des composantes infinitésimales près.

\begin{rema*}
Notons, \cf \cite[3.1.4]{dat-jl}, que la réduction modulo $l$ de $\chi_v[d]_D$ est irréductible, de sorte que
$\LC(\chi_v[t]_D)$ admet un unique réseau stable. Il en est de même pour les $\speh_t(\chi_v)$ de sorte que,
pour $\Pi_{t_0}$ bien choisi ne jouant aucun rôle, il
n'y a pour chacun des faisceaux écrits dans les morphismes précédents, qu'un unique
réseau stable.
\end{rema*}

D'après le lemme \ref{lem-tor-c}, les groupes de cohomologie des
$j^{=h}_! \HT_{1_h}(\chi_v,\Pi_h))$ pour $h \geq t_0$ sont sans torsion de sorte que la torsion cherchée
ne provient que des flèches entre les
\begin{multline*}
H^0 \Bigl (X_{I^vv^\infty,\bar s_v}, j^{=h+1}_! \HT_{1_t}\bigl(\chi_v,\Pi_t \{\psfrac{t-h-1}{2}\} \otimes
\speh_{h+1-t} (\chi_v \{\sfrac{t}{2}\})\bigl)\\
\shoveright{\otimes\Xi^{\psfrac{h+1-t}{2}} \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l}\Bigr)} \\
\to H^0 \!\Bigl(\!X_{I^vv^\infty,\bar s_v}, j^{=h}_! \HT_{1_t}\bigl(\chi_v,\Pi_t \{\psfrac{t-h}{2}\} \otimes
\speh_{h-t} (\chi_v \{\sfrac{t}{2}\})\bigl)\otimes \Xi^{\psfrac{h-t}{2}} \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l}\!\Bigr)
\end{multline*}
et plus précisément, du fait qu'elles sont ou non strictes. Or comme remarqué ci-avant, cette
propriété se lit aussi dans la suite spectrale associé au calcul des groupes de cohomologie
de $\lexp p j^{=t_0}_{!*} \HT_{1_{t_0}}(\chi_v,\Pi_{t_0})$, ce qui donne les propriétés
de l'énoncé en niveau $I^vv^\infty$. Pour redescendre en niveau $I$, on utilise la suite spectrale
\begin{equation} \label{eq-niveau}
E_2^{i,j}=\ext^i(I_v,H^j(X_{I^vv^\infty,\bar s_v}, P)) \Longrightarrow H^{i+j} (X_{I^vI_v,\bar s_v},P),
\end{equation}
où $P$ est un faisceau pervers quelconque: les propriétés sont alors clairement vérifiées en niveau $I$.
\end{proof}

\subsection{Diminution du niveau}

On reprend les notations du paragraphe précédent où~$\underline d$ est la partition associée au
sous-groupe parahorique $I_v$. On se propose dans un premier temps de montrer
le résultat suivant.

\begin{prop} \label{prop-torsion-princ}
Sous les hypothèses du théorème \ref{theo-principal}, il existe $i \in \Zm$ ainsi qu'un niveau
$J=I^vJ_v$ avec $J_v$ un sous-groupe parahorique associé à une partition~$\underline m'$
strictement plus grande que la partition $\underline m$ associée à $I_v$, tel que
$H^i(X_{J,\bar \eta_v},V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ est non nul et de torsion.
\end{prop}

\begin{proof}
Considérons une représentation automorphe $\Pi$ vérifiant les points suivants:
\begin{itemize}
\item elle est $\xi$-cohomologique avec pour composante locale en $v$
$$\Pi_v \simeq \st_{t_0+1}(\chi_{v,0}) \times \st_{t_1}(\chi_{v,1}) \times \cdots \st_{t_r}(\chi_{v,r}),$$
où les $\chi_{v,k}$ sont des caractères de $F_v^\times$ avec $\chi_{v,0}$
inertiellement équivalent à $\chi_v$;

\item en niveau $I$, le morphisme \eqref{eq-fleche} en les $\Pi^{\infty,v}$-composantes isotypiques
n'est pas stricte. En particulier la partition associée à $(t_0,1,t_1,\dots,t_r)$ doit être
inférieure ou égale à $\underline d^*$.
\end{itemize}

On choisit une telle représentation $\Pi$ de sorte que la partition associée à
\hbox{$(t_0+1,t_1,\dots,t_r)$} soit minimale. D'après la preuve du lemme précédent,
\begin{itemize}
\item en utilisant la suite spectrale \eqref{eq-niveau} pour $P=\PC_{I,\Gamma}(\chi_v,1) \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l}$, on obtient que la
torsion de $H^{1-t_0}(X_{I^vI'_v},\PC_{I,\Gamma}(\chi_v,1) \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ est non nulle
où $I'_v$ est un sous-groupe parahorique associé à la partition $(d'_{\mathfrak m,v})^*$ duale de
$(\overbrace{1,\dots,1}^{t_0+1},t_1,\dots,t_r)$;

\item pour tout $t >1$ et en notant $I':=I^vI'_v$, les groupes de cohomologie
$H^i(X_{I^vI'_v,\bar s_v},\PC_{I',\Gamma}(\chi_v,t)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ sont sans torsion.
\end{itemize}

À partir de la torsion construite dans $H^{1-t_0}(X_{I^vI'_v},\PC_{I',\Gamma}(\chi_v,1)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$,
on cherche à construire de la torsion dans un des $H^i(X_{I'},V_\xi)_{\mathfrak m}$.
Pour ce faire il suffit que $I'$ contienne strictement $I$ puisqu'alors tous les
quotients libres de la suite spectrale de Rapoport-Zink \eqref{eq-RZ} sont nuls.
Comme
$$(\overbrace{1,\dots,1}^{t_0+1},t_1,\dots,t_r) \leq (t_0,1,t_1,\dots,t_r) \leq \underline d^*$$
avec égalité dans la première si et seulement si $t_0=1$, on en déduit le lemme suivant.

\begin{lemm} \label{lem-torsion2}
Si le diagramme de Ferrers étiqueté $T_{\mathfrak m,v}$
ne contient pas deux blocs de taille $1$ d'étiquettes $\{\lambda, q \lambda\}$ ou si
$t_0 >1$ alors $I'_v$ contient strictement $I_v$ \ie $(d'_{\mathfrak m,v})^*$
est strictement plus grande que $d_{\widetilde{\mathfrak m},v}^*$.
\end{lemm}

On suppose à présent que $t_0=1$, de sorte que tous les
$$H^i(X_{I,\bar s_v},\PC_{I,\Gamma} (t,\chi_v)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$$
sont libres dès que $t >1$.

\begin{lemm} \label{lem-deteriore}
Dans le cas $t_0=1$ et si $I'_v=I_v$, alors $\overline N_{\mathfrak m,v}$
n'est pas détérioré relativement à $\widetilde{\mathfrak m}$ au sens de la définition \ref{defi-deter}.
\end{lemm}

\begin{proof}
Notons suivant \cite{boyer-torsion}, $\Fil^1_!(\Psi_{I,v,\overline \Zm_l})$
l'image du morphisme d'adjonction
$$j^{=1}_! j^{=1,*} \Psi_{I,v,\overline \Zm_l} \to \Psi_{I,v,\overline \Zm_l}.$$
\begin{itemize}
\item C'est un faisceau pervers qui correspond au noyau de l'opérateur de monodromie.

\item Son conoyau $\cofil^1_!(\Psi_{I,v,\overline \Zm_l})$ est libre, et $\PC_{I,\Gamma}(1,\chi_v)$ n'en est
pas un constituant quel que soit le caractère $\chi_v$.
\end{itemize}
Les groupes de cohomologie $H^i(X_{I,\bar s_v},\cofil^1_!(\Psi_{I,v,\overline \Zm_l})\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$
peuvent alors se calculer en utilisant une filtration de stratification quelconque de sorte que
ses gradués sont les $\PC_{I,\Gamma}(t,\chi_v)(\frac{t-1}{2}-k)$ pour $1 < t \leq d$ et $0 \leq k < t-1$.
Par hypothèse les termes~$E_1^{p,q}$ de cette suite spectrale sont sans torsion et concentrés
sur la droite $p+q=0$. Comme dans la preuve de la proposition \ref{prop-libre-d},
par maximalité de $I$ et d'après \eqref{eq-RZ2b}, l'opérateur de monodromie sur
$H^0(X_{I,\bar s_v},\cofil^1_!(\Psi_{I,v,\overline \Zm_l})\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ a pour diagramme de Ferrers
un multiple de celui de $\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}^{(1)}$ où
$\widetilde{\mathfrak m} \subset \mathfrak m$ est un idéal premier quelconque tel qu'il existe
$\Pi \in \Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ contribuant à
$H^0(X_{I,\bar s_v},\Psi_{I,v,\overline \Qm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$. L'absence de torsion
des $H^0(X_{I,\bar s_v},\PC_{I,\Gamma}(t,\chi_v)(\frac{t-1}{2}-k)\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ pour tout $1 < t \leq d$ et
$0 \leq k < t-1$, nous fournit comme dans la preuve de \ref{prop-libre-d}, que le diagramme de Ferrers
associé à~$\overline N_{\mathfrak m,v}$ sur
\begin{multline*}
H^0(X_{I,\bar s_v},\cofil^1_!(\Psi_{I,v,\overline \Fm_l})\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}\\
\simeq H^0(X_{I,\bar s_v},\Psi_{I,v,\overline \Fm_l}\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}~ /~H^0(X_{I,\bar s_v},
\Fil^1_!(\Psi_{I,v,\overline \Fm_l})\otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}
\end{multline*}
est un multiple de celui de $\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}^{(1)}$.
Ainsi en particulier $\overline N_{\mathfrak m,v}$ n'est pas détérioré.
\end{proof}
Ainsi sous les hypothèses du théorème \ref{theo-principal}, on a construit une classe
de torsion dans la cohomologie en niveau $J=I^vJ_v$ avec $I_v$ strictement contenu dans $J_v$.
\end{proof}

\begin{rema*}
En reprenant la description précédente de l'apparition de la torsion, il est aussi possible
d'augmenter le niveau en une place de ramification de $I$ autre que~$v$.
\end{rema*}

\subsection{Un énoncé de non dégénérescence de la monodromie}
\label{para-dege}

On change à présent de point de vue: considérant qu'il est à priori difficile d'avoir des informations sur la partition
$\underline{d_{\mathfrak m,v}}$, on cherche des conditions pour que
$\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}= \underline{d_{ \mathfrak m,v}}$
ou au moins pour que $\underline{d_{\mathfrak m,v}}$ ne soit pas trop \og éloignée \fg{} de $\underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}$.
L'idée est de reprendre les arguments précédents, \ie d'étudier la torsion dans la cohomologie des variétés de Shimura.
Pour résumer la preuve précédente, sous les hypothèses 1-2-3) du théorème \ref{theo-principal}, on montre
\begin{itemize}
\item tout d'abord que,
quitte à diminuer le niveau en $v$, un des groupes de cohomologie d'un faisceau pervers d'Harris-Taylor de la forme $\PC(1,\chi_v)$
a de la torsion

\item puis en utilisant une des hypothèses 4), on vérifie que cette torsion se propage à la cohomologie de la fibre générique
de la variété de Shimura.
\end{itemize}
Prenons alors comme point de départ des conditions explicites sur $\mathfrak m$ ou $\widetilde{\mathfrak m}$, pour que,
quel que soit le niveau en $v$, la localisation en $\mathfrak m$ de la cohomologie de la fibre générique de la variété de Shimura
à coefficients dans $V_\xi$ soit sans torsion. D'après \cite[Th.\,4.4]{boyer-imj}, \cf aussi \cite{scholze-cara}
dans un cadre plus général, il suffit qu'il existe une place $w \in \spl(I)$ vérifiant la propriété suivante
\begin{equation} \label{eq-torsion0}
\alpha \in S_{\mathfrak{m}}(w) \Longrightarrow q_w \alpha \not \in S_{\mathfrak{m}}(w),
\end{equation}
auquel cas la localisation en $\mathfrak m$ de la cohomologie de $V_{\xi,\overline \Zm_l}$ est concentrée
en degré médian et sans torsion.

\begin{coro} \label{coro-appli}
Avec les notations et sous les hypothèses 1-2) de \ref{theo-principal}, on suppose en outre qu'il existe une place $w \in \spl(I)$
telle l'implication de \eqref{eq-torsion0} soit vérifiée.
Alors $\overline{N_{\mathfrak m,v}}$ n'est pas détérioré relativement à $\widetilde{\mathfrak m}$.
Si en outre, \cf l'hypothèse~\eqref{theo-principal4ii} de \ref{theo-principal}, la composante locale en $v$ de $\Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ n'est pas de la
forme $\chi_{v,1} \times \chi_{v,2} \times ?$ pour~$\chi_{v,1}$ et~$\chi_{v,2}$ des
caractères de $F_v^\times$ tels que $\chi_{v,2} \equiv \chi_{v,1} \nu \bmod l$ alors
$$\underline{d_{\mathfrak m,v}} = \underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}.$$
\end{coro}

\begin{rema*}
Pour s'assurer que la localisation en $\mathfrak m$ de la cohomologie n'a pas de torsion, on peut aussi utiliser
\cite{lan-suh}, et demander que
\begin{itemize}
\item le paramètre $\xi$ soit très régulier au sens de la définition 7.18 de loc. cit.,
\item que $l$ soit bon, \cf la définition 2.3 de loc. cit.,
\item et que le niveau $I$ soit maximal en $l$.
\end{itemize}
\end{rema*}

\begin{proof}
On reprend les arguments du paragraphe précédent et donc l'étude de la torsion dans la localisation en
$\mathfrak m$ de la suite spectrale de Rapoport-Zink.
Rappelons que $\overline \rho_{\mathfrak m}$ étant supposé irréductible, sur $\overline \Qm_l$, cette suite spectrale
dégénère en $E_1$ de sorte que si aucun de ses termes $E_1^{p,q}$ n'a de la torsion alors
$\underline{d_{\mathfrak m,v}} = \underline{d_{\widetilde{\mathfrak m},v}}$.
Si au contraire un des termes a de la torsion alors, \cf le lemme \ref{lem-t0}, il existe
$1 \leq t_0 \leq d$ que l'on choisit minimal tel que la torsion de
$H^0(X_{I,\bar s_v},\PC_{I,\Gamma}(\chi_v,t_0) \otimes V_{\xi,\overline \Zm_l})_{\mathfrak m}$ est non nulle.
En reprenant le raisonnement de la preuve de la proposition \ref{prop-torsion-princ}, on en déduit que, comme par hypothèse
la localisation en $\mathfrak m$ de la cohomologie de la variété de Shimura est sans torsion, que nécessairement $t_0=1$.
Pour que cette torsion n'apparaisse pas dans l'aboutissement de la suite spectrale de Rapoport-Zink, il faut donc nécessairement,
\begin{itemize}
\item avec les notations du lemme \ref{lem-deteriore}, que $I'_v=I_v$ et donc $\overline N_{\mathfrak m,v}$
n'est pas détérioré relativement à $\widetilde{\mathfrak m}$,

\item et que, \cf le lemme \ref{lem-torsion2}, que la composante locale en $v$ de $\Pi_{\widetilde{\mathfrak m}}$ n'est pas de la
forme $\chi_{v,1} \times \chi_{v,2} \times ?$ pour $\chi_{v,1}$ et $\chi_{v,2}$ des
caractères de $F_v^\times$ tels que $\chi_{v,2} \equiv \chi_{v,1} \nu \bmod l$.
\end{itemize}
Les deux résultats de l'énoncé en découle alors trivialement.
\end{proof}
\egroup

\backmatter
\bibliographystyle{jepplain}
\bibliography{boyer}
\end{document}

