Réseaux de Coxeter-Davis et commensurateurs

Haglund, Frédéric

doi:10.5802/aif.1633

Haglund, Frédéric

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 649-666.

Résumé
Abstract

Pour tout entier $k \geq 6$ et tout graphe fini $L$ , nous construisons un groupe de Coxeter $W$ et un complexe polygonal $A$ simplement connexe à courbure négative ou nulle, sur lequel $W$ agit proprement discontinûment, avec quotient compact, tel que chaque polygône de $A$ ait $k$ côtés, et le link de tout sommet de $A$ est isomorphe à $L$ . Si $L$ est un “ $m$ -gone généralisé”, alors $A$ est un immeuble de Tits modelé sur un groupe de réflexion du plan hyperbolique. Nous donnons une condition sur $Aut (L)$ pour que $Aut (A)$ soit non discret, qui est satisfaite par exemple lorsque $L$ est un $m$ -gone généralisé épais classique. Enfin, nous prouvons une propriété d’arithméticité de $W$ : le commensurateur de $W$ dans $Aut (A)$ est dense dans $Aut (A)$ si 4 divise $k$ , et si $L$ n’a pas de lacets de longueur 3 (par exemple lorsque $L$ est un $m$ -gone généralisé épais classique).

For each integer $k \geq 6$ and each finite graph $L$ , we construct a Coxeter group $W$ and a non positively curved polygonal complex $A$ on which $W$ acts properly cocompactly, such that each polygon of $A$ has $k$ edges, and the link of each vertex of $A$ is isomorphic to $L$ . If $L$ is a “generalized $m$ -gon”, then $A$ is a Tits building modelled on a reflection group of the hyperbolic plane. We give a condition on $Aut (L)$ for $Aut (A)$ to be non enumerable (which is satisfied if $L$ is a thick classical generalized $m$ -gon). On the other hand, if $L$ has no loops of length 3 and if 4 divides $k$ , we prove an arithmeticity property for $W$ : the commensurator of $W$ in $Aut (A)$ is dense in $Aut (A)$ .

EuDML MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1633

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Haglund, Frédéric. Réseaux de Coxeter-Davis et commensurateurs. Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 649-666. doi : 10.5802/aif.1633. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1633/

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