Measured Quantum Groupoids in action
[Actions d’un groupoïde quantique mesuré]
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 114 (2008) , 160 p.

Frank Lesieur a introduit dans sa thèse (maintenant publiée dans une version révisée et complétée dans les Mémoires de la SMF (2007)) une notion de groupoïde quantique mesuré, dans le cadre des algèbres de von Neumann, et une simplification des axiomes de Lesieur est placée en appendice de cet article. Nous développons ici les notions d’action d’un groupoïde quantique mesuré, de produit-croisé et un théorème de bidualité est démontré, en s’inspirant largement de ce qui a été fait par Stefaan Vaes pour les groupes quantiques localement compacts. Ainsi, nous prouvons que l’inclusion de l’algèbre initiale dans son produit croisé est de profondeur 2, ce qui fournit une réciproque à un résultat démontré par Jean-Michel Vallin et l’auteur. De plus, à toute action d’un groupoïde quantique mesuré, on associe un autre groupoïde quantique mesuré ; ainsi, en particulier, on construit un groupoïde quantique mesuré associé canoniquement à toute action d’un groupe quantique localement compact ; quand cette action est extérieure, ce groupoïde quantique mesuré est le groupe quantique initial.

Franck Lesieur had introduced in his thesis (now published in an expended and revised version in the Mémoires de la SMF (2007)) a notion of measured quantum groupoid, in the setting of von Neumann algebras and a simplification of Lesieur’s axioms is presented in an appendix of this article. We here develop the notions of actions, crossed-product, and obtain a biduality theorem, following what had been done by Stefaan Vaes for locally compact quantum groups. Moreover, we prove that the inclusion of the initial algebra into its crossed-product is depth 2, which gives a converse of a result proved by Jean-Michel Vallin and the author. More precisely, to any action of a measured quantum groupoid, we associate another measured quantum groupoid. In particular, starting from an action of a locally compact quantum group, we obtain a measured quantum groupoid canonically associated to this action; when the action is outer, this measured quantum groupoid is the initial locally compact quantum group.

DOI : 10.24033/msmf.426
Classification : 46L55, 46L89
Keywords: measured quantum groupoids, actions, crossed-product, biduality theorem, depth 2 inclusions
Mot clés : groupoïdes quantiques mesurés, actions, produits croisés, bidualité, inclusion de profondeur 2
@book{MSMF_2008_2_114__1_0,
     author = {Enock, Michel},
     title = {Measured {Quantum} {Groupoids} in action},
     series = {M\'emoires de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {114},
     year = {2008},
     doi = {10.24033/msmf.426},
     mrnumber = {2541012},
     zbl = {1189.58002},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/MSMF_2008_2_114__1_0/}
}
TY  - BOOK
AU  - Enock, Michel
TI  - Measured Quantum Groupoids in action
T3  - Mémoires de la Société Mathématique de France
PY  - 2008
IS  - 114
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/item/MSMF_2008_2_114__1_0/
DO  - 10.24033/msmf.426
LA  - en
ID  - MSMF_2008_2_114__1_0
ER  - 
%0 Book
%A Enock, Michel
%T Measured Quantum Groupoids in action
%S Mémoires de la Société Mathématique de France
%D 2008
%N 114
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/item/MSMF_2008_2_114__1_0/
%R 10.24033/msmf.426
%G en
%F MSMF_2008_2_114__1_0
Enock, Michel. Measured Quantum Groupoids in action. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 114 (2008), 160 p. doi : 10.24033/msmf.426. http://numdam.org/item/MSMF_2008_2_114__1_0/

[1] C. Anantharaman-Delaroche & J. RenaultAmenable groupoids, Monographies de L’Enseignement Mathématique, vol. 36, L’Enseignement Mathématique, 2000. | MR | Zbl

[2] S. Baaj & G. Skandalis« Unitaires multiplicatifs et dualité pour les produits croisés de C * -algèbres », Ann. Sci. École Norm. Sup. 26 (1993), p. 425–488. | MR | EuDML

[3] G. Bòhm & K. Szlachányi« A coassociative C * -quantum group with nonintegral dimensions », Lett. Math. Phys. 38 (1996), p. 437–456. | MR | Zbl

[4] G. Böhm & K. Szlachányi« Weak C * -Hopf algebras: the coassociative symmetry of non-integral dimensions », in Quantum groups and quantum spaces (Warsaw, 1995), Banach Center Publ., vol. 40, Polish Acad. Sci., 1997, p. 9–19. | MR | EuDML | Zbl

[5] A. Connes« On the spatial theory of von Neumann algebras », J. Funct. Anal. 35 (1980), p. 153–164. | MR | Zbl

[6] —, Non commutative geometry, Academic Press, 1994.

[7] M. Enock« Produit croisé d’une algèbre de von Neumann par une algèbre de Kac », J. Functional Analysis 26 (1977), p. 16–47. | MR | Zbl

[8] —, « Inclusions of von Neumann algebras and quantum groupoïds. III », J. Funct. Anal. 223 (2005), p. 311–364. | MR | Zbl

[9] —, « Quantum groupoids of compact type », J. Inst. Math. Jussieu 4 (2005), p. 29–133. | MR | Zbl

[10] —, « Continuous fields of * -algebras and Lesieur’s quantum groupoids », preprint arXiv:math.OA/0605512.

[11] —, « On Lesieur’s measured quantum groupoids », preprint arXiv:math.OA/07061472.

[12] M. Enock & R. Nest« Irreducible inclusions of factors, multiplicative unitaries, and Kac algebras », J. Funct. Anal. 137 (1996), p. 466–543. | MR | Zbl

[13] M. Enock & J.-M. Schwartz« Produit croisé d’une algèbre de von Neumann par une algèbre de Kac. II », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 16 (1980), p. 189–232. | MR | Zbl

[14] —, Kac algebras and duality of locally compact groups, Springer, 1992.

[15] M. Enock & J.-M. Vallin« Inclusions of von Neumann algebras, and quantum groupoids », J. Funct. Anal. 172 (2000), p. 249–300. | MR | Zbl

[16] U. Haagerup« Operator-valued weights in von Neumann algebras. I », J. Funct. Anal. 32 (1979), p. 175–206. | MR | Zbl

[17] V. F. R. Jones« Index for subfactors », Invent. Math. 72 (1983), p. 1–25. | MR | EuDML | Zbl

[18] J. Kustermans & S. Vaes« Locally compact quantum groups », Ann. Sci. École Norm. Sup. 33 (2000), p. 837–934. | MR | EuDML | Zbl

[19] —, « Locally compact quantum groups in the von Neumann algebraic setting », Math. Scand. 92 (2003), p. 68–92. | MR | Zbl

[20] F. Lesieur« Groupoïdes quantiques mesurés : axiomatique, étude, dualité, exemples », Thèse, Université d’Orléans, 2003, http://tel.ccsd.cnrs.fr/documents/archives0/00/00/55/05.

[21] —, « Measured quantum groupoids », Mémoires de la SMF 109 (2007). | Zbl | Numdam

[22] T. Masuda & Y. Nakagami« A von Neumann algebra framework for the duality of the quantum groups », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 30 (1994), p. 799–850. | MR | Zbl

[23] T. Masuda, Y. Nakagami & S. L. Woronowicz« A C * -algebraic framework for quantum groups », Internat. J. Math. 14 (2003), p. 903–1001. | MR | Zbl

[24] D. Nikshych & L. Vainerman« Algebraic versions of a finite-dimensional quantum groupoid », in Hopf algebras and quantum groups (Brussels, 1998), Lecture Notes in Pure and Appl. Math., vol. 209, Dekker, 2000, p. 189–220. | MR | Zbl

[25] —, « A characterization of depth 2 subfactors of II 1 factors », J. Funct. Anal. 171 (2000), p. 278–307. | MR | Zbl

[26] K. J. Oty & A. Ramsay« Actions and coactions of measured groupoids on W * -algebras », J. Operator Theory 56 (2006), p. 199–217. | MR | Zbl

[27] A. L. T. PatersonGroupoids, inverse semigroups, and their operator algebras, Progress in Mathematics, vol. 170, Birkhäuser, 1999. | MR | Zbl

[28] A. Ramsay« Virtual groups and group actions », Advances in Math. 6 (1971), p. 253–322. | MR | Zbl

[29] J. RenaultA groupoid approach to C * -algebras, Lecture Notes in Math., vol. 793, Springer, 1980. | MR | Zbl

[30] —, « The Fourier algebra of a measured groupoid and its multipliers », J. Funct. Anal. 145 (1997), p. 455–490. | MR | Zbl

[31] J.-L. Sauvageot« Sur le produit tensoriel relatif d’espaces de Hilbert », J. Operator Theory 9 (1983), p. 237–252. | MR | Zbl

[32] —, « Produits tensoriels de 𝒵-modules et applications », in Operator algebras and their connections with topology and ergodic theory (Buşteni, 1983), Lecture Notes in Math., vol. 1132, Springer, 1985, p. 468–485. | MR

[33] K. Szlachányi« Weak Hopf algebras », in Operator algebras and quantum field theory (Rome, 1996), Int. Press, Cambridge, MA, 1997, p. 621–632. | MR | Zbl

[34] M. TakesakiTheory of operator algebras. II, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 125, Springer, 2003. | MR | Zbl

[35] S. Vaes« A Radon-Nikodym theorem for von Neumann algebras », J. Operator Theory 46 (2001), p. 477–489. | MR | Zbl

[36] —, « The unitary implementation of a locally compact quantum group action », J. Funct. Anal. 180 (2001), p. 426–480. | MR | Zbl

[37] —, « Strictly outer actions of groups and quantum groups », J. reine angew. Math. 578 (2005), p. 147–184. | MR | Zbl

[38] L. Vainerman« A note on quantum groupoids », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 315 (1992), p. 1125–1130. | MR | Zbl

[39] J.-M. Vallin« C * -algèbres de Hopf et C * -algèbres de Kac », Proc. London Math. Soc. 50 (1985), p. 131–174. | MR | Zbl

[40] —, « Bimodules de Hopf et poids opératoriels de Haar », J. Operator Theory 35 (1996), p. 39–65. | MR

[41] —, « Unitaire pseudo-multiplicatif associé à un groupoïde. Applications à la moyennabilité », J. Operator Theory 44 (2000), p. 347–368. | MR

[42] —, « Groupoïdes quantiques finis », J. Algebra 239 (2001), p. 215–261. | MR

[43] —, « Multiplicative partial isometries and finite quantum groupoids », in Locally compact quantum groups and groupoids (Strasbourg, 2002), IRMA Lect. Math. Theor. Phys., vol. 2, de Gruyter, 2003, p. 189–227. | MR | Zbl

[44] S. L. Woronowicz« Tannaka-Kreĭn duality for compact matrix pseudogroups. Twisted SU (N) groups », Invent. Math. 93 (1988), p. 35–76. | MR | EuDML | Zbl

[45] —, « From multiplicative unitaries to quantum groups », Internat. J. Math. 7 (1996), p. 127–149. | MR | Zbl

[46] —, « Compact quantum groups », in Symétries quantiques (Les Houches, 1995), North-Holland, 1998, p. 845–884. | Zbl

[47] T. Yamanouchi« Crossed products by groupoid actions and their smooth flows of weights », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 28 (1992), p. 535–578. | MR | Zbl

[48] —, « Dual weights on crossed products by groupoid actions », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 28 (1992), p. 653–678. | MR | Zbl

[49] —, « Duality for actions and coactions of measured groupoids on von Neumann algebras », Mem. Amer. Math. Soc. 101 (1993). | Zbl

Cité par Sources :