Soit un corps de caractéristique nulle et une fonction non constante définie sur une variété lisse. Nous définissons dans cet article une fibre de Milnor motivique à l'infini qui appartient à un anneau de Grothendieck des variétés. Elle est définie en termes d’une compactification choisie, non nécessairement lisse, mais est indépendante de ce choix. Lorsque est le corps des nombres complexes, en utilisant le morphisme de réalisation de Hodge, elle se réalise en le spectre à l’infini de . Nous la calculons par exemple, dans le cas d’un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l’infini. Pour toute valeur , nous définissons une fibre de Milnor motivique complète qui prolonge la fibre de Milnor motivique usuelle . Ceci permet d’introduire des valeurs motiviquement atypiques, un ensemble de bifurcation motivique de et une notion de fonction motiviquement modérée.
Let be a field of characteristic zero and be a non constant function defined on a smooth variety. We construct in this article a motivic Milnor fiber at infinity which belongs to a Grothendieck ring of varieties. It is defined in terms of a chosen compactification, not necessary smooth, but is shown to be independent of this choice. When is the field of complex numbers, using the Hodge realization morphism, it specializes to the spectrum at infinity of . As an example, we compute it in the case of a Laurent polynomial non-degenerated with respect to its Newton polyhedron at infinity. For each value , we define a complete motivic Milnor fiber . This object is an extension of the usual motivic Milnor fiber . Then we introduce motivic atypical values, a motivic bifurcation set of and a notion of motivically tame function.
@article{BSMF_2012__140_1_51_0, author = {Raibaut, Michel}, title = {Singularit\'es \`a l'infini et int\'egration motivique}, journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France}, pages = {51--100}, publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France}, volume = {140}, number = {1}, year = {2012}, doi = {10.24033/bsmf.2624}, mrnumber = {2903771}, zbl = {1266.14012}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2624/} }
TY - JOUR AU - Raibaut, Michel TI - Singularités à l'infini et intégration motivique JO - Bulletin de la Société Mathématique de France PY - 2012 SP - 51 EP - 100 VL - 140 IS - 1 PB - Société mathématique de France UR - http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2624/ DO - 10.24033/bsmf.2624 LA - fr ID - BSMF_2012__140_1_51_0 ER -
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Raibaut, Michel. Singularités à l'infini et intégration motivique. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012) no. 1, pp. 51-100. doi : 10.24033/bsmf.2624. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2624/
[1] « On motivic zeta functions and the motivic nearby fiber », Math. Z. 249 (2005), p. 63-83. | MR | Zbl
-[2] « Variance of the spectral numbers and Newton polygons », Bull. Sci. Math. 126 (2002), p. 332-342. | MR | Zbl
-[3] -, « Sur les paires spectrales de polynômes à deux variables », in Singularités Franco-Japonaises, Sémin. Congr., vol. 10, Soc. Math. France, 2005, p. 39-59. | Zbl
[4] « On the topology of polynomial hypersurfaces », in Singularities, Part 1 (Arcata, Calif., 1981), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 40, Amer. Math. Soc., 1983, p. 167-178. | MR | Zbl
-[5] -, « Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces », Invent. Math. 92 (1988), p. 217-241. | MR | Zbl
[6] « Topology of complex polynomials via polar curves », Kodai Math. J. 22 (1999), p. 131-139. | MR | Zbl
& -[7] « Deligne's notes on Nagata compactifications », J. Ramanujan Math. Soc. 22 (2007), p. 205-257. | MR | Zbl
-[8] « Théorie de Hodge. III », Publ. Math. I.H.É.S. 44 (1974), p. 5-77. | Numdam | MR | Zbl
-[9] « Motivic Igusa zeta functions », J. Algebraic Geom. 7 (1998), p. 505-537. | MR | Zbl
& -[10] -, « Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic integration », Invent. Math. 135 (1999), p. 201-232. | MR | Zbl
[11] -, « Geometry on arc spaces of algebraic varieties », in European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), Progr. Math., vol. 201, Birkhäuser, 2001, p. 327-348. | MR | Zbl
[12] « Monodromy and Hodge theory of regular functions », in New developments in singularity theory (Cambridge, 2000), NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., vol. 21, Kluwer Acad. Publ., 2001, p. 257-278. | MR | Zbl
-[13] -, Sheaves in topology, Universitext, Springer, 2004. | MR
[14] « On the monodromy at infinity of a polynomial map », Compositio Math. 100 (1996), p. 205-231. | Numdam | Zbl
& -[15] -, « Hodge numbers attached to a polynomial map », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 49 (1999), p. 1547-1579. | Numdam | MR | Zbl
[16] -, « On the monodromy at infinity of a polynomial map. II », Compositio Math. 115 (1999), p. 1-20. | MR | Zbl
[17] « Espaces d'arcs et invariants d'Alexander », Comment. Math. Helv. 77 (2002), p. 783-820. | MR | Zbl
-[18] « Nearby cycles and composition with a nondegenerate polynomial », Int. Math. Res. Not. 2005 (2005), p. 1873-1888. | MR | Zbl
, & -[19] -, « Iterated vanishing cycles, convolution, and a motivic analogue of a conjecture of Steenbrink », Duke Math. J. 132 (2006), p. 409-457. | MR | Zbl
[20] « Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II », Ann. of Math. 79 (1964), p. 109-203, 205-326. | MR | Zbl
-[21] « Critical points of an algebraic function », Invent. Math. 12 (1971), p. 210-224. | MR | Zbl
-[22] « Polyèdres de Newton et nombres de Milnor », Invent. Math. 32 (1976), p. 1-31. | MR | Zbl
-[23] « Seattle lectures on motivic integration », in Algebraic geometry-Seattle 2005. Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 80, Amer. Math. Soc., 2009, p. 745-784. | MR | Zbl
-[24] « Motivic measures », Astérisque 276 (2002), p. 267-297, Séminaire Bourbaki, vol. 1999/2000, exp. no 874. | Numdam | MR | Zbl
-[25] « Monodromy at infinity of polynomial map and mixed hodge modules ».
& -[26] -, « Monodromy zeta functions at infinity, newton polyhedra and constructible sheaves », preprint arXiv :0809.3149.
[27] « Semicontinuity of the spectrum at infinity », Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 69 (1999), p. 25-35. | MR | Zbl
& -[28] « On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 26 (1990), p. 681-689. | MR | Zbl
& -[29] -, « Milnor fibration at infinity », Indag. Math. (N.S.) 3 (1992), p. 323-335. | MR | Zbl
[30] « On the bifurcation set of complex polynomial with isolated singularities at infinity », Compositio Math. 97 (1995), p. 369-384. | Numdam | MR | Zbl
-[31] -, « A note on singularities at infinity of complex polynomials », in Symplectic singularities and geometry of gauge fields (Warsaw, 1995), Banach Center Publ., vol. 39, Polish Acad. Sci., 1997, p. 131-141. | MR | Zbl
[32] Mixed Hodge structures, Ergebn. Math. Grenzg., vol. 52, Springer, 2008. | MR | Zbl
& -[33] « Vanishing homologies and the variable saddlepoint method », in Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 40, Amer. Math. Soc., 1983, p. 319-333. | MR | Zbl
-[34] « Fibre de Milnor motivique à l'infini », C. R. Math. Acad. Sci. Paris 348 (2010), p. 419-422. | MR | Zbl
-[35] « Monodromy at infinity and Fourier transform », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 33 (1997), p. 643-685. | MR | Zbl
-[36] -, « Hypergeometric periods for a tame polynomial », Port. Math. (N.S.) 63 (2006), p. 173-226. | MR | Zbl
[37] -, « Monodromy at infinity and Fourier transform. II », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 42 (2006), p. 803-835. | MR | Zbl
[38] « Mixed Hodge modules », Publ. Res. Inst. Math. Sci. 26 (1990), p. 221-333. | MR | Zbl
-[39] « Singularities at infinity and their vanishing cycles », Duke Math. J. 80 (1995), p. 771-783. | MR | Zbl
& -[40] « Variation of mixed Hodge structure. I », Invent. Math. 80 (1985), p. 489-542. | MR | Zbl
& -[41] « Asymptotic equisingularity and topology of complex hypersurfaces », Int. Math. Res. Not. 1998 (1998), p. 979-990. | MR | Zbl
-[42] -, Polynomials and vanishing cycles, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 170, Cambridge Univ. Press, 2007. | MR | Zbl
[43] « Theorems on the topological equisingularity of families of algebraic varieties and families of polynomial mappings », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 36 (1972), p. 957-1019. | MR | Zbl
-[44] « Stratifications de Whitney et théorème de Bertini-Sard », Invent. Math. 36 (1976), p. 295-312. | MR | Zbl
-[45] « Sur la topologie des polynômes complexes », Acta Math. Vietnam. 9 (1984), p. 21-32 (1985). | MR | Zbl
& -[46] « On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary. II », Kodai Math. J. 19 (1996), p. 218-233. | MR | Zbl
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