On montre d’abord que toute fonction finement [hyper]harmonique dans un ouvert du plan est [hyper]harmonique au sens ordinaire. On utilise pour cela un nouveau principe de minimum pour un domaine borné, , du plan, avec des limites fines à la frontière, mais sans aucune hypothèse de minoration pour la fonction hyperharmonique donnée, , dans . Puis on étend ce dernier principe au cas de finement ouvert (et borné) et finement hyperharmonique. Aucun de ces résultats ne s’étend aux espaces avec . Enfin, on caractérise la notion d’harmonicité fine par une propriété locale d’approximation par des restrictions de fonctions harmoniques ordinaires.
It is shown first that every finely [hyper]harmonic function in an open subset of the plane is [hyper]harmonic in the usual sense. This depends on a new boundary minimum principle for a bounded domain in the plane, using fine limits at the boundary, but without making any assumption on the magnitude of the negative part of the given hyperharmonic function in . Afterwards this minimum principle is extended to the case where is just finely open (and bounded) and finely hyperharmonic. None of these results extends to the spaces for . Finally the notion of fine harmonicity is characterized by a property of local approximation by restrictions of usual harmonic functions.
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TY - JOUR AU - Fuglede, Bent TI - Fonctions harmoniques et fonctions finement harmoniques JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1974 SP - 77 EP - 91 VL - 24 IS - 4 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.532/ DO - 10.5802/aif.532 LA - fr ID - AIF_1974__24_4_77_0 ER -
Fuglede, Bent. Fonctions harmoniques et fonctions finement harmoniques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 4, pp. 77-91. doi : 10.5802/aif.532. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.532/
[1] Über ganze transzendente Funktionen von einem besonderen Typus, Sber. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Kl., (1929), 565-571. | JFM
,[2] Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques, Ann. Éc. Norm. Sup., 61 (1944), 301-332. | Numdam | MR | Zbl
,[3] Sur l'approximation et la convergence dans la théorie des fonctions harmoniques ou holomorphes, Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945), 55-70. | Numdam | MR | Zbl
,[4] Sur l'allure des fonctions harmoniques et sousharmoniques à la frontière, Math. Nachr., 4 (1950-1951), 298-307. | MR | Zbl
,[5] Recherches axiomatiques sur un théorème de Choquet concernant l'effilement, Nagoya Math. J., 30 (1967), 39-46. | MR | Zbl
,[6]
and , Potential Theory in Harmonic Spaces. Berlin, 1972.[7] Connexion en topologie fine et balayage des mesures, Ann. Inst. Fourier, 21, 3 (1971), 227-244. | Numdam | MR | Zbl
,[8] Finely Harmonic Functions, Lecture Notes in Mathematics no 289 (Springer). Berlin, 1972. | MR | Zbl
,[9] Asymptotic paths for subharmonic functions (à paraître dans les Math. Ann.). | Zbl
,[10] Remarks on fine continuity and the base operation in potential theory (à paraître dans les Math. Ann.). | Zbl
,Cité par Sources :