La théorie moderne du potentiel

Brelot, Marcel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 4 (1952), pp. 113-140.

Exposé des points essentiels avec une bibliographie importante bien que sommaire. Une première partie développe les théories de l’équilibre électrostatique, du balayage, de la capacité, des théorèmes de convergences : quatre grandes périodes marquées par la thèse de Frostman, les travaux de Cartan, la thèse de Deny, les travaux les plus récents de Cartan-Deny et de Choquet. Une seconde partie expose le problème de Dirichlet surtout selon Perron-Wiener-Brelot, les résultats de R.S. Martin, la théorie récente des lignes de Green et son application au principe de Dirichlet.

[0] C. F. Gauss. Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im Verkehrten Verhältnisse des Quadrals der Entfernungwirkenden Anziehungs und Abstossungskräfte, Gauss Werke, t. 5, pp. 197-242. | JFM

[1] Frostman. Potentiel d'équilibre et capacité des ensembles (Medd. Lunds Un. Math. Sem., 3, 1935). | JFM | Zbl

[2] Pour la bibliographie ancienne, voir :

O. D. Kellog. Foundations of Potential Theory (Grundl. der Math. Wiss., Bd 31, Berlin, Springer, 1929). | EuDML | JFM

[3] G. C. Evans. a) Fundamental points of potential theory (Rice Inst., Pamphlet, VII, 1920, pp. 252-329). | JFM

G. C. Evans. b) The logarithmic potential, discontinuous Dirichlet and Neumann problems (Am. Math. Soc. Coll. public., VI, 1927). | JFM

[4] Voir une bibliographie dans : M. Brelot. Über die Singularitäten der Potentialfunktionen und der Integrale der differentialgleichungen vom elliptischen Typus (Sitz. der Berliner Math. Gesells., 31, 1932, pp. 46-54). | JFM | Zbl

[5] O. Perron. Eine Neue Behandlung der ersten Randwertaufgaben für Δu = 0 (Math. Zeits., 18, 1923, pp. 42-54). | EuDML | JFM | MR

[6] N. Wiener. a) Certain notions in potential theory (Mass. Inst. of Techn., II, n° 70, 1924, pp. 24-51 et J. de Math. and Phys., III, n° 1, 1924). | JFM

N. Wiener. b) The Dirichlet problem (M.I.T., 1924 et J. Math. Phys., III, n° 3, 1924). | JFM

N. Wiener. c) Note on a paper of O. Perron (M.I.T., n° 85, 1925 et J. Math. Phys., IV, n° 1, 1925).

[7] F. Riesz. a) Über die subharmonische Funktionen und ihre Rolle in der Funktionentheorie und in der Potentialtheorie (Acta Szeged, vol. II, fasc. 2, 1925, pp. 87-100). | JFM

F. Riesz. b) Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport à la théorie du potentiel (Acta Math., t. 48, 1926, pp. 329-343 et t. 54, 1930, pp. 321-360). | JFM

Signalons des précurseurs comme Poincaré et Hartogs.

[8] On trouvera un exposé détaillé de la théorie dans :

T. Radó. Subharmonic functions (Erg. der Math., Bd 5, Heft I, Berlin, Springer, 1937). | JFM | Zbl

Cela contient en particulier la plupart des résultats du petit fascicule de M. Brelot (Act. sc. et ind., n° 139, 1934).

Voir des compléments ultérieurs dans :

M. Brelot. a) Fonctions sousharmoniques, presque sousharmoniques ou sous médianes (Ann. Un. Grenoble Math. Phys., t. 21, 1945, pp. 78-90). | Numdam | Zbl

M. Brelot. b) Étude des fonctions sousharmoniques au voisinage d'un point singulier (Ann. Inst. Fourier., t. I, 1949, pp. 121-156), avec une remarque de Pfluger dans le tome suivant. | Numdam | MR | Zbl

Voir en langue russe :

Privaloff. Fonctions sousharmoniques (Moscou, 1937).

Cette théorie se prolonge par celle de :

P. Lelong. Les fonctions plurisousharmoniques (Ann. E. N. S. 62, pp. 301-338). | Numdam | MR | Zbl

[9] De La Vallée Poussin Extention de la méthode du balayage et problème de Dirichlet (Ann. Inst., H. Poincaré, 1932). | JFM | Numdam | Zbl

[10] G. C. Evans Potentials of positive mass (Trans. Am. Math. Soc., 37, 1935, pp. 226-253) et vol. 38, pp. 201-236). | JFM | MR | Zbl

[11] Polya-Szegö. Über die transfiniten Durchmesser (Kapazitäts Konstante) von ebenen und raümlichen Punktmengen (J. für die reine u. ang. Math., 165, 1931, pp. 4-49). | JFM | Zbl

On trouvera des extensions et d'intéressants développements connexes dans de nombreux articles de Leja vers 1936-1939 et 1950, dans des revues polonaises, en particulier les Annales de la Soc. pol. de Math.

[12] De La Vallée Poussin. a) Les nouvelles méthodes de la théorie du potentiel et le problème généralisé de Dirichlet (Act. Sc. et Ind., n° 578, Paris, Hermann, 1937). | Zbl

De La Vallée Poussin. b) Potentiel et problème généralisé de Dirichlet (Math. Gazette, 22, 1938, pp. 17-36). | JFM | Zbl

Avec la même technique, voir un ouvrage d'ensemble tardivement publié :

De La Vallée Poussin. c) Le potentiel logarithmique, balayage et représentation conforme (Paris, Gauthier-Villars et Louvain, Librairie Univ. 1949). | Zbl

[13] M. Riesz. Intégrales de Riemann-Liouville et Potentiels (Acta Szeged, IX, 1938, pp. 1-42). (Rectification et compléments, t. X, p. 116). | JFM | Zbl

O. Frostman. Sur les fonctions surharmoniques d'ordre fractionnaire (Arkiv für Math. astr. fysik, 26 A, n° 16, 1939). | JFM | Zbl

[14] G. C. Evans. Modern méthods of Analysis in potential theory (Bull. Am. Math. Soc., 1937, pp. 481-502). | JFM | Zbl

[15] La capacité intérieure a été seule utilisée longtemps sous le nom de capacité, les ensembles de capacité intérieure nulle étant les ensembles impropres de Bouligand-Vasilesco. Pour la bibliographie correspondante, voir : Vasilesco. La notion de capacité (Act. Sc. et Ind., n° 571, 1937). La capacité extérieure a été introduite à peu près en même temps et indépendamment par Beurling, Brelot, Monna, vers 1939 : | Zbl

A. Beurling. Ensembles exceptionnels. (Acta Math., t. 72, 1940, pp. 1-13). | JFM | MR | Zbl

M. Brelot. Points irréguliers et transformations continues en théorie du potentiel (J. de Math., t. 19, 1940, pp. 319-337) et antérieurement une note des C. R. Ac. Sc., t. 209, 1939, p. 828. | JFM | Numdam | MR | Zbl

A. F. Monna. Sur la capacité des ensembles (Proc. Ac. Sc., Hollande, 43, 1940, n° 1). | JFM | MR | Zbl

[16] M. Brelot. Sur la théorie autonome des fonctions sousharmoniques (Bull. Sc. Math., 65, 1941, pp. 78-98). | JFM | MR | Zbl

[17] M. Brelot. a) Fonctions sousharmoniques et balayage (Bull. Ac. Royale de Belgique, 24, 1938, pp. 301-312 et 421-443). | JFM | Zbl

M. Brelot. b) Problème de Dirichlet et majorantes harmoniques (Bull. Sc. Math., mars-avril 1939). | JFM | Zbl

A (a) se rattache un travail important à divers points de vue :

De La Vallée Poussin. Points irréguliers, détermination des masses par les potentiels (Bull. Ac. Royale de Belgique, nov. 1938, n° 11, pp. 368-384 et 671-689). | JFM | Zbl

[18] M. Brelot. Critères de régularité et de stabilité (Bull. Ac. Royale de Belgique, t. 25, 1939, pp. 125-137). | JFM | MR | Zbl

[19] H. Cartan a) Sur les fondements de la théorie du potentiel (Bull. Soc. Math. de France, 69, 1941, pp. 71-96). | JFM | Numdam | MR | Zbl

H. Cartan b) La théorie générale du potentiel dans les espaces homogènes (Bull. Sc. Math, 66, 1942). | JFM | MR | Zbl

H. Cartan c) Théorie du potentiel newtonien, énergie, capacité, suites de potentiels (Bull. Soc. Math. de France, t. 73, 1945, pp. 74-106). | Numdam | MR | Zbl

H. Cartan b) Théorie générale du balayage en potentiel newtonien (Ann. Un. Grenoble, Math. Phys., t. 22, 1946, pp. 221-280). | Numdam | MR | Zbl

[20] Travaux de Kametani, Kunugui, Ninomya, etc... faits dans l'isolement dû à la guerre. Voir une bibliographie dans :

Kunugui. Étude sur la théorie du potentiel généralisé (Osaka Math. J., Vol. 2, 1950, pp. 63-103). | MR | Zbl

[21] M. Brelot. Sur le potentiel et les suites de fonctions sousharmoniques (C. R. Ac. Sc., t. 207, 1938, p. 1157). | Zbl

[22] M. Brelot. Minorantes sousharmoniques, extrémales et capacités (J. de Math., t. 24, pp. 1-32). | Numdam | MR | Zbl

Compléments dans les C. R., t. 227, 1948, p. 19. | Zbl

[23] L. Schwartz. a) Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques (Annales Un. Grenoble, section Math. Phys., t. 21, 1945, pp. 57-74). | Numdam | MR | Zbl

L. Schwartz. b) Théorie des distributions (Act. Sc. et Ind., n° 1091 et 1122, Paris, Hermann, 1950 et 1951). | MR | Zbl

[24] J. Deny. a) Les potentiels d'énergie finie (Acta. Math., t. 82, 1950, pp. 107-183), thèse, complétée dans (b) : b) J. Deny. Sur la définition de l'énergie en théorie du potentiel (Ann. Inst. Fourier, t. II, 1950, pp. 83-99). | Numdam | MR | Zbl

[25] H. Cartan et J. Deny. Le principe du maximum en théorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique (Acta. Szeged, t. XII, 1950, pp. 81-100). | MR | Zbl

[26] J. Deny a) Le balayage (Communications du Séminaire Math. de l'Université de Lund, tome spécial jubilaire de M. Riesz (1952), pp. 47-61). | MR | Zbl

J. Deny. b) Famille fondamentales, noyaux associés (Annales Inst. Fourier, t. 3, 1951, pp. 73-101). | Numdam | MR | Zbl

[27] G. Choquet. 1. Les capacités, fonctions alternées d'ensemble (C. R. Ac. Sc., t. 233, 1951, p. 904). 2. G. Choquet. Capacités. Premières définitions (C. R. Ac. Sc. t. 234, 1952, p. 35). | MR | Zbl

G. Choquet. 3. Extension et restriction d'une capacité (C. R. Ac. Sc. t. 234, 1952, p. 383). 4. G. Choquet. Propriétés fonctionnelles des capacités alternées ou monotones (C. R. Ac. Sc., t. 234, 1952, p. 498). | MR | Zbl

G. Choquet. 5. Capacitabilité. Théorèmes fondamentaux (C. R. Ac. Sc., t. 234, 1952, p. 784). | MR | Zbl

[28] Pour la bibliographie déjà ancienne voir [2], [3 b] et Bouligand. Fonctions harmoniques, principes de Picard et de Dirichlet (Mémorial Sc. Math., XI, Paris, Gauthier-Villars, 1926). M. Brelot. Le problème de Dirichlet sous sa forme moderne (Mathematica, VII, 1933, pp. 147-166). F. Vasilesco. a) Le problème généralisé de Dirichlet (mémoire couronné par l'Ac. Royale de Belgique, classe des sciences, t. 16, 1937).

F. Vasilesco. b) La notion de point irrégulier dans le problème de Dirichlet (Act. Sc. et Ind., n° 660, 1938). | JFM

[29] M. Brelot. Familles de Perron et problème de Dirichlet (Acta. Szeged., IX, 1939, pp. 133-153). | JFM | MR | Zbl

[30] M. Brelot et G. Choquet. Espaces et lignes de Green (Annales Institut Fourier, t. 3, 1951, pp. 199-263). Il faut y rectifier la définition des espaces Ɛ (p. 204) en supposant vérifié l'axiome de séparation de Hausdorff. | Numdam | MR | Zbl

[31] G. C. Evans. Applications of Poincaré's sweeping out process (Proceed. Nat. Ac. of Sciences., 19, 1933, pp. 457-461). | JFM | Zbl

[32] M. Brelot. Sur les ensembles effilés (Bull. Sc. Math., t. 68, 1944, pp. 12-36). | MR | Zbl

[33] Voir la bibliographie jusqu'en 1938 dans Vasilesco [28 b] et voir : Frostman. Les points irréguliers dans la théorie du potentiel et le critère de Wiener (Kungl. Fys. Sällsk. Lund. Förhand., 9, 1939). Ultérieurement voir la théorie de l'effilement [15, 22, 32], et la notion générale équivalente de régularité par Cartan [19 d] généralisant celle De La Vallée Poussin [17]. | Zbl

[34] Voir [32] [19 d] et

Brelot. a) Le problème de Dirichlet ramifié (Annales Un. Grenoble, Math., Phys., t. 22, 1946, pp. 167-200). | Numdam | MR | Zbl

Brelot. b) Étude générale des fonctions harmoniques ou surharmoniques positives au voisinage d'un point-frontière irrégulier (Ann. Un. Grenoble, Math. Phys., t. 22, 1946, pp. 205-249). | Numdam | MR | Zbl

Brelot. c) Sur l'allure des fonctions harmoniques et sousharmoniques à la frontière (Math. Nachrichten, 4, 1950, pp. 298-307). | MR | Zbl

A cette question se rattachent entre autres :

Deny et Lelong. Étude des fonctions sousharmoniques dans un cylindre ou dans un cône (Bull. Soc. Math. de France, t. 19, pp. 89-112). | Numdam | MR | Zbl

Mme Lelong-Ferrand. Étude au voisinage de la frontière des fonctions surharmoniques positives dans un demi-espace (Ann. E.N.S., 66, pp. 125-159). | Numdam | Zbl

[35] M. Brelot. Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques (Annales E.N.S., 61, 1944, pp. 301-332). | Numdam | MR | Zbl

[36] Keldych et Lavrentieff. Sur le problème de Dirichlet (C.R., 204, 1937, p. 1788). | JFM | Zbl

Keldych. Sur la résolubilité et la stabilité du problème de Dirichlet [C.R. Ac. Sc., URSS, t. 18, 1938, n° 6 (en français) ; et Isv. Akad. Nauk. C.C.C.P., 8, 1941, pp. 171-231 (en russe)]. | JFM | Zbl

Brelot. Sur l'approximation et la convergence dans la théorie des fonctions harmoniques ou holomorphes (Bull. Soc. Math., France, t. 73, 1945, p. 55) suivi d'un complément par Deny. | Numdam | MR | Zbl

J. Deny. Systèmes totaux de fonctions harmoniques (Annales Inst. Fourier, t. 1, 1949, pp. 103-113), complété par un article de Brelot dans le même volume. | Numdam

Landkoff. Approximation des fonctions continues par des fonctions harmoniques (en russe) (Math. Svornik, 25 (67), 1949, pp. 95-106). | Zbl

Antérieurement et pour l'approximation analogue par des fonctions de variable complexe, voir l'ouvrage de Walsh, vol. XX, des Colloq. publ. de l'Am. Math. Soc. | Zbl

[37] Voir une importante bibliographie dans la thèse de Parreau :

Parreau. Sur les moyennes des fonctions harmoniques et analytiques et la classification des surfaces de Riemann (Ann. Inst. Fourier, t. 3, 1951, pp. 103-197). | Numdam | MR | Zbl

Parmi les nombreux travaux sur ce sujet, (Bader, Ohtsuka, Royden...) signalons le nouvel instrument qu'est le procédé alterné de Sario, applicable d'ailleurs dans l'espace :

Sario. A linear operator method on arbitrary Riemann surfaces (Trans. Am. Math. Soc., 72, 1952, p. 281-295) (indiqué déjà dans les C.R., 229, 1949, p. 1293). | MR | Zbl

[38] G. C. Evans. Multiple valued harmonic functions in space (Un. of Calif. Public., vol. 1, n° 8, 1951, pp. 281-340). | MR | Zbl

[39] E. W. Perkins. The Dirichlet problem for domains with multiple boundary points (Trans. Am. Math. Soc., 38, 1935, pp. 106-144). | JFM | MR | Zbl

[40] R. S. Martin. Minimal positive harmonic functions (Trans. Am. Math. Soc., t. 49, 1941, pp. 137-172). | JFM | MR | Zbl

Quelque simplification est apportée par Heins, (Ann. of Math., 52, 1950). Voir aussi un complément dans Parreau [37].

[41] J. Deny. Le principe des singularités positives de Bouligand et la représentation des fonctions harmoniques positives dans un domaine (Revue Scientifique, 15 août 1947, 85e année, fasc. 14, pp. 896-872). | MR | Zbl

M. Brelot. Sur le principe des singularités positives et la topologie de R. S. Martin (Annales Un. Grenoble, Math. Phys., 23, 1948, pp. 119-138). | Numdam | MR | Zbl

[42] M. Brelot. a) Principe et problème de Dirichlet dans les espaces de Green (C.R., t. 235, 1952, p. 598). | MR | Zbl

M. Brelot. b) Lignes de Green et problème de Dirichlet (C. R., t. 235, 1952, p. 1595). | MR | Zbl

Dans le dernier énoncé de cette note des restrictions sur Ω sont nécessaires ; on pourra supposer par exemple la connexion finie.

[43] Tôki. On the classification of open Riemann surfaces (Osaka Math. J., 4, 1952, pp. 191-201). | MR | Zbl

[44] Voir une bibliographie récente dans :

Courant. Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces, (Pure and applied math. III, Interscience publishers, New-York, 1950). | MR | Zbl

[45] Zaremba. Sur un problème toujours possible comprenant à titre de cas particuliers le problème de Dirichlet et celui de Neumann (J. Math., 6, 1927, pp. 127-163). | JFM | Numdam

Nikodym. Sur un théorème de M. Zaremba concernant les fonctions harmoniques (J. de Math., 12, 1933, pp. 95-108). | JFM | Numdam | Zbl

[46] Bochner. Dirichlet problem for domains bounded by spheres (Annals of Math. Studies, n° 25, pp. 24-25, Princeton, 1950). | MR | Zbl

[47] St. Bergman. The kernel function and conformal mapping (Math. Surveys V, published by Am. Math. Soc., 1950). | Zbl

[48] Après [7 a] la bibliographie est considérable.

Voir outre [8] des ouvrages comme ceux de Nevanlinna :

Nevanlinna. Eindeutige analytische Funktionen (Grundl. der Wiss, t. 46, 1936). | JFM | MR | Zbl

Travaux de Privaloff dans son ouvrage [8] ou ses nombreux articles à l'Ac. des Sc. URSS ou Recueil de Moscou, vers 1935, par ex. :

Privaloff. Sur certaines questions de la théorie des fonctions sousharmoniques et des fonctions analytiques (en russe) Math. Sbornik., t. 41, 1935, P. 520-550). | JFM | Zbl

Parmi d'autres applications caractéristiques, voir ultérieurement [34 a] et d'abord :

M. Brelot. Quelques applications aux fonctions holomorphes de la théorie moderne du potentiel et du problème de Dirichlet (Bull. Ac. Royale de Liège, 1939, pp. 385-391.) Nombreux articles de Monna, Bolder, à l'Ac. des Sc. d'Amsterdam, (1942-1945), en particulier : | JFM | Zbl

A. F. Monna. Sur quelques inégalités de la théorie des fonctions et leurs généralisations spatiales (vol. 45, 1942, nos 1 et 2). Bolder. Sur le théorème de déformation de Koebe (vol. 45, n° 6). Travaux importants et voisins entre eux de Beurling [15] et Dufresnoy. Sur les fonctions méromorphes et univalentes dans le cercle-unité (Bull. Sc. Math., 69, 1945, pp. 21-36, rectification, pp. 117-121). | Zbl

[49] Voir par exemple les travaux de Lelong dans [8] et P. Lelong. a) Sur quelques problèmes de la théorie des fonctions de deux variables complexes (Annales EN., 58, pp. 83-177). P. Lelong. b) Propriétés métriques des variétés analytiques complexes définies par une équation (Ann. EN., 67, pp. 393-419). | Numdam | Zbl

[50] Choquet et Deny. Sur quelques propriétés de moyenne, caractéristiques des fonctions harmoniques et polyharmoniques (Bull. Soc. Math. de France, t. 72, 1944, pp. 118-140). L. Schwartz. Sur certaines familles non fondamentales de fonctions continues (Bull. Soc. Math. t. 72, 1944, pp. 141-145). | Numdam | Zbl

[51] On trouvera dans Brelot [28] quelques références sur les extensions vers 1930 des premiers travaux modernes sur le problème de Dirichlet. Voir une axiomatique récente étendant l'idée des enveloppes de Perron dans Tautz. a) Zur Theorie der elliptischen Differentialgleichungen (Math. Ann., 118, 1942, pp. 733-770). Tautz b) Zur Theorie der ersten Randwertaufgabe (Math. Nach., 2, 1949, pp. 279-303). | Zbl

[52] Outre les travaux en cours de Choquet voir un point de départ important dans un article de Courant, Friedrichs, Lewy (Math. Ann., 100, 1928, spécial., p. 42), des articles de Kakutani et collaborateurs dans les Proc. Tokyo 21 (1945), les Acta Szeged (t. 12 B, 1950, pp. 75-81) et surtout : Kakutani, Two dimensional brownian motion and harmonic functions (Proc. Imp. Ac. Tokyo, 20, 1944, pp. 706-714). | Zbl

[53] Polya-Szegö. Isoperimetric inequalities in mathematical physics (Annals of Math. Studies, n° 27, Princeton, 1951). | MR | Zbl