Classification et représentation probabiliste des solutions positives d'une équation elliptique semi-linéaire

Mselati, Benoit

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 9, pp. 733-738.

Nous montrons que les solutions positives de Δu=u² dans un domaine lisse et borné de ${ℝ}^d$ sont uniquement caractérisées par leur trace fine au bord définie dans [6], répondant ainsi à une question ouverte importante de [2]. Une formule probabiliste faisant intervenir le serpent brownien et reliant une solution à sa trace fine est également obtenue. Nous prouvons en outre que toute solution est limite croissante de solutions majorées par des fonctions harmoniques dans D.

We prove that a nonnegative solution of Δu=u² in a bounded and smooth domain in ${ℝ}^d$ is uniquely determined by its fine trace on the boundary as defined in [6], thus answering a major open question of [2]. A probabilistic formula for a solution in terms of its fine trace and of the Brownian snake is also provided. Moreover, we show that every solution is the increasing limit of solutions which are dominated by a harmonic function in D.

[1] Dynkin, E.B. Stochastic boundary values and boundary singularities for solutions of the equation Lu=u^α, J. Funct. Anal., Volume 153 (1998), pp. 147-186

[2] Dynkin, E.B. Diffusions, Superdiffusions and Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 50, 2002

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[4] Dynkin, E.B.; Kuznetsov, S.E. Solutions of Lu=u^α dominated by L-harmonic functions, J. Anal. Math., Volume 68 (1996), pp. 15-37

[5] Dynkin, E.B.; Kuznetsov, S.E. Trace on the boundary for solutions of nonlinear differential equations, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 350 (1998), pp. 4499-4519

[6] Dynkin, E.B.; Kuznetsov, S.E. Fine topology and fine trace on the boundary associated with a class of quasilinear differential equations, Comm. Pure Appl. Math., Volume 51 (1998), pp. 897-936

[7] Le Gall, J.F. Les solutions positives de Δu=u² dans le disque unité, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 317 (1993), pp. 873-878

[8] Le Gall, J.F. The Brownian snake and solutions of Δu=u² in a domain, Probab. Theory Related Fields, Volume 102 (1995), pp. 393-432

[9] Le Gall, J.F. A probabilistic Poisson representation for positive solutions of Δu=u² in a planar domain, Comm. Pure Appl. Math., Volume 50 (1997), pp. 69-103

[10] Le Gall, J.F. Spatial Branching Processes, Random Snakes and Partial Differential Equations, Lectures in Math. ETH Zürich, Birkhäuser, 1999

[11] Marcus, M.; Véron, L. Trace au bord des solutions positives d'équations elliptiques et paraboliques non linéaires. Résultats déxistence et d'unicité, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 323 (1996), pp. 603-608

[12] Marcus, M.; Véron, L. The boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations, I: the subcritical case, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 144 (1998), pp. 201-231

[13] Marcus, M.; Véron, L. The boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations, II: the supercritical case, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 77 (1998) no. 5, pp. 481-524

[14] B. Mselati, Classification et représentation probabiliste des solutions positives de Δu=u² dans un domaine, Thèse de doctorat de l'Université Paris VI, 2002