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Schwartz, Laurent
Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II. Annales de l'institut Fourier, 8 (1958), p. 1-209
Full text djvu | pdf | Reviews MR 22 #8322 | Zbl 0089.09801 | 18 citations in Numdam

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Abstract

Suite et fin de l'article paru dans le tome 7 des Annales de l'Institut Fourier. L'actuel chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D'abord on étudie diverses topologies sur un produit tensoriel $L\otimes M$ ; on note ces topologies par $L\otimes_\lambda M$, où $\lambda $ est l'une des 5 lettres $\tau ,\gamma ,\beta ,\pi ,\varepsilon $. Soient alors $L,M,U,V$, 4 espaces vectoriels quasi-complets.

Pour $\xi \in L\widehat\otimes_\lambda U$, $\eta \in M\widehat\otimes_\varepsilon V$, on peut définir ``un produit croisé''

\begin{displaymath}\Gamma _{\mu ,\lambda }(\xi ,\eta )\in (L\widehat\otimes_\mu M) \widehat\otimes_\varepsilon (U \widehat\otimes_\lambda V),\end{displaymath}

dont on étudie systématiquement les propriétés.

Plus généralement si $\varphi ,\chi ,\psi ,\omega $, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour $\xi \in L\widehat\otimes_\varphi U$, $\eta \in M\widehat\otimes_\chi V$, un produit croisé appartenant à $(L\widehat\otimes_\psi M)\widehat\otimes_\varepsilon (U\otimes_\omega V)$.

Ce produit croisé peut être appliqué aux différents produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.

Soient $E,F,G,$ 3 espaces de Banach, et soit $B$ une application bilinéaire continue de $E\times F$ dans $G$. Soient d'autre part ${\cal H}, {\cal K}, {\cal L}$, 3 espaces de distributions, et soit $U$ une application bilinéaire hypocontinue $(S\cdot T)\to S\cup T$ de ${\cal H}\times{\cal H}$ dans ${\cal L}$ (par exemple le produit scalaire $S\cdot T$ si ${\cal K}={\cal H}'$, ${\cal L}=$ corps des scalaires ; le produit multiplicatif si ${\cal H}={\cal S}'$, ${\cal K}={\cal O}_{M'}{\cal L}={\cal S}'$ ; le produit de convolution si ${\cal H}={\cal S}'$, ${\cal K}={\cal O}'_{c'}{\cal L}={\cal S}$. Alors, si l'espace ${\cal H}$ est nucléaire, et si l'on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé $\buildrel \to\over S \cup_B\buildrel\to\over T\in {\cal L}(G)$, pour $\buildrel\to\over{\cal S}\in{\cal H}(E)$, $\buildrel\to\over T\in{\cal H}(F)$ ; ce produit a les propriétés d'hypocontinuité qu'on peut normalement en attendre.

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SCHWARTZ-DIEUDONNÉ. Voir Dieudonné-Schwartz.
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