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Lalande, Franck
La relation linéaire $a=b+c+\cdots +t$ entre les racines d’un polynôme. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 19 no. 2 (2007), p. 473-484
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 2394897 | Zbl pre05302785 | 1 citation dans Numdam
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Nous nous intéressons à la question suivante : À quelles conditions un groupe $G$ est-il le groupe de Galois (principalement sur le corps des rationnels) d’un polynôme irréductible dont certaines racines distinctes vérifient une relation linéaire du type $a=b+c+\cdots +t$ ? Nous montrons que la relation $a=b+c$ est possible dès que $G$ contient un sous-groupe d’ordre $6$, nous décrivons les groupes abéliens pour lesquels la relation $a=b+c+d$ est satisfaite et construisons une famille de relations $a=b+c+\cdots +t$ de longueur $1+(m-2)(m-3)/2$ pour le groupe alterné $A_m$. Chaque partie est accompagnée d’exemples.
[1] J. D. Dixon, Polynomials with relations between their roots. Acta Arithmetica 82.3 (1997), 293–302.
Article | MR 1482892 | Zbl 0881.12001
[2] J. D. Dixon and B. Mortimer, Permutation Groups. Springer, New York, 1996. MR 1409812 | Zbl 0951.20001
[3] M. Drmota and M. Skalba, Relations between polynomial roots. Acta Arithmetica 71.1 (1995), 65-77.
Article | MR 1338672 | Zbl 0818.11038
[4] K. Girstmair, Linear dependence of zeros of polynomials and construction of primitive elements. Manuscripta Math. 39 (1982), 81–97.
Article | MR 672402 | Zbl 0514.12010
[5] K. Girstmair, Linear relations between roots of polynomials. Acta Arithmetica 89.1 (1999), 53–96.
Article | MR 1692195 | Zbl 0924.12002
[6] K. Girstmair, The Galois relation $x_1=x_2+x_3$ and Fermat over finite fields. Acta Arithmetica 124.4 (2006), 357–370. MR 2271249 | Zbl pre05082218
[7] D. G. Higman, Finite permutation groups of rank $3$. Math. Zeitschr. 86 (1964), 145–156.
Article | MR 186724 | Zbl 0122.03205
[8] D. G. Higman, Primitive rank $3$ groups with a prime subdegree. Math. Zeitschr. 91 (1966), 70–86. MR 218440 | Zbl 0136.01402
[9] F. Lalande, Relations linéaires entre les racines d’un polynôme et anneaux de Schur. Ann. Sci. Math. Québec 27.2 (2003), 169–175. Zbl 1078.12003
[10] H. B. Mann, On linear relations between roots of unity. Mathematika 12 (1965), 107–117. MR 191892 | Zbl 0138.03102
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