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Elsner, Carsten; Komatsu, Takao; Shiokawa, Iekata
Approximation of values of hypergeometric functions by restricted rationals. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 19 no. 2 (2007), p. 393-404
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 2394893 | Zbl 1167.11026
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Nous calculons des bornes supérieures et inférieures pour l’approximation de fonctions hyperboliques aux points $1/s $ $(s=1,2,\dots ) $ par des rationnels $x/y $, tels que $x, y $ satisfassent une équation quadratique. Par exemple, tous les entiers positifs $x,y $ avec $y\equiv 0\hspace{4.44443pt}(\@mod \; 2) $, solutions de l’équation de Pythagore $x^2 + y^2 = z^2 $, satisfont
$|y\sinh (1/s) - x| \,\gg \frac{\log \log y}{\log y} \,\,.$
Réciproquement, pour chaque $s=1,2,\dots $, il existe une infinité d’entiers $x,y $, premiers entre eux, tels que
$|y\sinh (1/s) - x| \,\ll \frac{\log \log y}{\log y} $
et $x^2 + y^2 = z^2 $ soient réalisés simultanément avec $z$ entier. Une généralisation à l’approximation de $h(e^{1/s}) $, pour $h(t) $ fonction rationnelle, est incluse.
[1] C. Elsner, On arithmetic properties of the convergents of Euler’s number. Colloq. Math. 79 (1999), 133–145. Zbl 0930.11048
[2] C. Elsner, On rational approximations by Pythagorean numbers. Fibonacci Quart. 41 (2003), 98–104. MR 1990517 | Zbl 1028.11042
[3] G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers. Fifth edition, Clarendon Press, Oxford, 1979. MR 568909 | Zbl 0020.29201
[4] A. Khintchine, Kettenbrüche. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, 1956. MR 80630
[5] T. Komatsu, Arithmetical properties of the leaping convergents of $e^{1/s}$. Tokyo J. Math. 27 (2004), 1–12. MR 2060069 | Zbl 1075.11004
[6] L. J. Mordell, Diophantine equations. Academic Press, London and New York, 1969. MR 249355 | Zbl 0188.34503
[7] O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen. Chelsea, New York, 1950. MR 37384 | Zbl 0041.18206
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