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Elsner, Carsten; Komatsu, Takao; Shiokawa, Iekata
Approximation of values of hypergeometric functions by restricted rationals. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 19 no. 2 (2007), p. 393-404
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 2394893 | Zbl 1167.11026

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Résumé

Nous calculons des bornes supérieures et inférieures pour l’approximation de fonctions hyperboliques aux points $1/s $ $(s=1,2,\dots ) $ par des rationnels $x/y $, tels que $x, y $ satisfassent une équation quadratique. Par exemple, tous les entiers positifs $x,y $ avec $y\equiv 0\hspace{4.44443pt}(\@mod \; 2) $, solutions de l’équation de Pythagore $x^2 + y^2 = z^2 $, satisfont $|y\sinh (1/s) - x| \,\gg \frac{\log \log y}{\log y} \,\,.$ Réciproquement, pour chaque $s=1,2,\dots $, il existe une infinité d’entiers $x,y $, premiers entre eux, tels que $|y\sinh (1/s) - x| \,\ll \frac{\log \log y}{\log y} $ et $x^2 + y^2 = z^2 $ soient réalisés simultanément avec $z$ entier. Une généralisation à l’approximation de $h(e^{1/s}) $, pour $h(t) $ fonction rationnelle, est incluse.

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