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Choie, YoungJu; Lichiardopol, Nicolas; Moree, Pieter; Solé, Patrick
On Robin’s criterion for the Riemann hypothesis. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 19 no. 2 (2007), p. 357-372
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 2394891 | Zbl 1163.11059

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Résumé

Le critère de Robin spécifie que l’hypothèse de Riemann (RH) est vraie si et seulement si l’inégalité de Robin $\sigma (n):=\sum _{d|n}d<e^{\gamma }n\log \log n$ est vérifiée pour $n\ge 5041$, avec $\gamma $ la constante d’Euler(-Mascheroni). Nous montrons par des méthodes élémentaires que si $n\ge 37$ ne satisfait pas au critère de Robin il doit être pair et il n’est ni sans facteur carré ni non divisible exactement par un premier. Utilisant une borne de Rosser et Schoenfeld, nous montrons, en outre, que $n$ doit être divisible par une puissance cinquième $>1$. Comme corollaire, nous obtenons que RH est vraie ssi chaque entier naturel divisible par une puissance cinquième $>1$ vérifie l’inégalité de Robin.

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