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Watkins, Mark
A note on integral points on elliptic curves. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 18 no. 3 (2006), p. 707-720
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 2330437 | Zbl 1124.11028
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À la suite de Zagier et Elkies, nous recherchons de grands points entiers sur des courbes elliptiques. En écrivant une solution polynomiale générique et en égalisant des coefficients, nous obtenons quatre cas extrémaux susceptibles d’avoir des solutions non dégénérées. Chacun de ces cas conduit à un système d’équations polynomiales, le premier ayant été résolu par Elkies en 1988 en utilisant les résultants de Macsyma ; il admet une unique solution rationnelle non dégénérée. Pour le deuxième cas nous avons constaté que les résultants ou les bases de Gröbner sont peu efficaces. Suivant une suggestion d’Elkies, nous avons alors utilisé une itération de Newton $p$-adique multidimensionnelle et découvert une solution non dégénérée, quoique sur un corps de nombres quartique. En raison de notre méthodologie, nous avons peu d’espoir de montrer qu’il n’y a aucune autre solution. Pour le troisième cas nous avons trouvé une solution sur un corps de degré 9, mais n’avons pu traiter le quatrième cas. Nous concluons par quelques commentaires et une annexe d’Elkies concernant ses calculs et sa correspondance avec Zagier.
[1] W. Bosma, J. Cannon, C. Playoust, The Magma algebra system. I. The user language. In Computational algebra and number theory Proceedings of the 1st MAGMA Conference held at Queen Mary and Westfield College, London, August 23–27, 1993. Edited by J. Cannon and D. Holt, Elsevier Science B.V., Amsterdam (1997), 235–265. Cross-referenced as J. Symbolic Comput. 24 (1997), no. 3-4, 235–265. Online at http://magma.maths.usyd.edu.au MR 1484478 | Zbl 0898.68039
[2] R. P. Brent, Algorithms for Minimization Without Derivatives. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973. MR 339493 | Zbl 0245.65032
[3] C. G. Broyden, A Class of Methods for Solving Nonlinear Simultaneous Equations. Math. Comp. 19 (1965), 577–593. MR 198670 | Zbl 0131.13905
[4] H. Cohen, A course in computational algebraic number theory. Graduate Texts in Mathematics, 138. Springer-Verlag, New York, 1993. MR 1228206 | Zbl 0786.11071
[5] N. D. Elkies, Shimura curves for level-3 subgroups of the (2,3,7) triangle group, and some other examples. To appear in ANTS-VII proceedings, online at http://arxiv.org/math.NT/0409020
arXiv | MR 2282932
[6] N. D. Elkies, M. Watkins, Polynomial and Fermat-Pell families that attain the Davenport-Mason bound. In progress.
[7] M. J. Greenberg Lectures on forms in many variables. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969. MR 241358 | Zbl 0185.08304
[8] M. Hall Jr., The Diophantine equation $x^{3}-y^{2}=k$. In Computers in number theory, Proceedings of the Science Research Council Atlas Symposium No. 2 held at Oxford, from 18–23 August 1969. Edited by A. O. L. Atkin and B. J. Birch. Academic Press, London-New York (1971), 173–198. MR 323705 | Zbl 0225.10012
[9] S. Lang, Conjectured Diophantine estimates on elliptic curves. In Arithmetic and geometry. Vol. I., edited by M. Artin and J. Tate, Progr. Math., 35, Birkhäuser Boston, Boston, MA (1983), 155–171. MR 717593 | Zbl 0529.14017
[10] Macsyma, a sophisticated computer algebra system. See http://maxima.sourceforge.net for history and current version of its descendants.
[11] PARI/GP, CVS development version 2.2.11, Université Bordeaux I, Bordeaux, France, June 2005. Online at http://pari.math.u-bordeaux.fr
[12] P. Vojta, Diophantine approximations and value distribution theory. Lecture Notes in Mathematics, 1239. Springer-Verlag, Berlin, 1987. x+132 pp. MR 883451 | Zbl 0609.14011
[13] D. Zagier, Large Integral Points on Elliptic Curves, and addendum. Math. Comp. 48 (1987), no. 177, 425–436, 51 (1988), no. 183, 375. MR 866125 | Zbl 0611.10008
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