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Chapman, Robin; Dougherty, Steven T.; Gaborit, Philippe; Solé, Patrick
$2$-modular lattices from ternary codes. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 73-85
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 1925991 | Zbl 1050.94018

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Résumé

L'alphabet $\mathbf{F}_3 + v\mathbf{F}_3$ où $v^2 = 1$ est vu ici comme le quotient de l'anneau des entiers du corps de nombres $\mathbf{Q}(\sqrt{-2})$ par l'idéal (3). Les codes sur cet alphabet qui sont autoduaux pour le produit scalaire hermitien donnent des réseaux $2$-modulaires par la construction $A_K$. Il existe une application de Gray qui envoie les codes auto-duaux pour le produit scalaire euclidien sur les codes de Type III avec une involution sans points fixes dans leur groupe d'automorphismes. On démontre des théorèmes style Gleason pour les polynômes de poids symmétrisés des codes autoduaux euclidiens et pour les polynômes de poids «longueur» des codes auto-duaux hermitiens. Une application est la construction d'un réseau $2$-modulaire optimal de dimension $18$ et de norme $3$ et de nouveaux réseaux $2$-modulaires de norme $3$ en dimensions $16, 18, 20, 22, 24, 26, 28$ et $30$.

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