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Schertz, Reinhard
Weber's class invariants revisited. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 325-343
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 1926005 | Zbl 1022.11056 | 2 citations dans Numdam

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Résumé

Soit $K$ un corps quadratique imaginaire de discriminant $d$ et $\mathfrak{O}_t$ l'ordre à conducteur $t \in \mathbb{N}$ dans $K$. L'invariant modulaire $j(\mathfrak{O}_t)$ est un nombre algébrique qui génère sur $K$ le corps de classes d'anneau modulo $t$. Les coefficients du polynôme minimal de $j(\mathfrak{O}_t)$ étant assez large, Weber considère dans [We] les fonctions $f,f_1, f_2, \gamma_2, \gamma_3$ définies plus bas, par lesquelles il construit des générateurs plus simples pour les corps de classes d'anneau. Plus tard les valeurs singulières de ces fonctions ont joué un rôle central dans la solution de Heegner [He] du célèbre problème de déterminer tous les corps quadratiques imaginaires dont le nombre de classes est égal à $1$ [He,Me2,St]. Actuellement on s'en sert en cryptographie pour trouver des courbes elliptiques sur des corps finis avec certaines jolies propriétés. Le but de cet article est i) d'énoncer certains résultats déjà connus de [We,Bi,Me2,Schl] cf. Théorèmes 1,2 et 3, concernant les valeurs singulières des fonctions $f,f_1, f_2,\gamma _ 2, \gamma_3$, et ii) de développer une preuve courte de ces résultats. Cette méthode s'applique aussi à d'autres fonctions cf. Théorème 4 et le tableau précédent celui-ci. Les preuves des théorèmes 1 à 4 sont données en fin d'article. Ces démonstrations résultent de la loi de réciprocité de Shimura (cf. théorème 5, ainsi que théorèmes 6 et 7), du calcul de la racine $24$-ième de l'unité de $\eta = \sqrt[24]{\Delta}$ lors des transformations unimodulaires (cf. proposition 2, tirée de [Me1] formules (4.21) à (4.23) p.162), et donnent aussi via la proposition 3 des formules explicites pour les conjugués des valeurs singulières, qui sont très utiles pour des calculs numériques. Certains de ceux-ci sont donnés comme exemples juste avant la bibliograpie.

Bibliographie

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