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Pétermann, Y.-F. S.
On an estimate of Walfisz and Saltykov for an error term related to the Euler function. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 10 no. 1 (1998), p. 203-236
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 1827292 | Zbl 0917.11047
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On étend la technique qui a permis à A. Walfisz d'établir (en 1962) l'estimation $ H(x) \ll \left( \log x \right)^{2/3} \left( \log \log x \right)^{4/3}$ pour le terme d'erreur lié à la fonction d'Euler $H(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\phi (n)}{n} - \frac {6}{\pi^2} x,$ tout en incorporant à l'argument des simplifications rendues possibles par des travaux de A.I. Saltykov et de A.A. Karatsuba. On remarque en passant que la preuve proposée en 1960 par Saltykov de $ H(x) \ll \left( \log x \right)^{2/3} \left( \log \log x \right)^{1 + \epsilon}$ contient une faute, qui une fois corrigée ne livre “que” le résultat de Walfisz. Les généralisations obtenues s'appliquent aux termes d'erreurs liés à diverses fonctions arithmétiques classiques, et moins classiques, comme par exemple à $\left( \phi (n) / n)^r, (\sigma (n) / n)^r$ et $\left( \sigma (n) / \sigma (n) \right)^r$ pour chaque valeur réelle de $r$, ou encore à $\sigma^{(r)} (n)$, la somme des diviseurs exponentiels $d$ de $n$ tels que $p^\alpha \!\!\! \not{\parallel} d \text{ si } p^{2\alpha} \|n \text{ et } \alpha > 1$.
[1] U. Balakrishnan and Y.-F.S. Pétermann, The Dirichlet series of ζ(s)ζα (s + 1) f (s + 1): On an error term associated with its coefficients, Acta Arith. 75 (1996), 39-69.
Article | Zbl 0846.11054
[2] A. Ivi, The Riemann zeta-function, John Wiley and Sons 1985. MR 792089 | Zbl 0556.10026
[3] E. Grosswald. The average order of an arithmetical function, Duke Math. J. 23 (1956), 41-44.
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[4] A.A. Karatsuba, Estimates for trigonometric sums by Vinogradov's method, and some applications, Proc. Steklov Inst. Math. (A.M.S English translation, 1973) 112 (1971), 251-265. Zbl 0259.10040
[5] M.N. Korobov, Estimates of trigonometrical sums and their applications (in Russian), Uspekhi Mat. Nauk. 13 (4) (1958), 185-192. MR 106205 | Zbl 0086.03803
[6] Y.-F.S. Pétermann and Jie Wu, On the sum of exponential divisors of an integer, Acta Math. Hungar. 77 (1997), 159-175. MR 1485593 | Zbl 0902.11037
[7] A.I. Saltykov, On Euler's function (in Russian), Vestnik Moskovskogo Universiteta, Seriya I: Matematika, Mekhanika, no vol. number, fasc. number 6 (1960), 34-50. MR 125088 | Zbl 0099.03702
[8] G. Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres. Institut Elie Cartan 13 1990. Zbl 0788.11001
[9] E.C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, Oxford, Clarendon Press 1951; second edition revised by D.R. Heath-Brown, ibid 1986. MR 882550
[10] A. Walfisz, Über die Wirksamkeit einiger Abschätzungen trigonometrischer Summen, Acta Arith. 4 (1958), 108-180.
Article | MR 103860 | Zbl 0084.27304
[11] A. Walfisz, Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1963. MR 220685 | Zbl 0146.06003
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