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Azizi, Abdelmalek; Taous, Mohammed
Condition nécessaire et suffisante pour que certain groupe de Galois soit métacyclique. Annales mathématiques Blaise Pascal, 16 no. 1 (2009), p. 83-92
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 2514529 | Zbl 1168.11046
Class. Math.: 11R27, 11R29, 11R37
URL stable: http://www.numdam.org/item?id=AMBP_2009__16_1_83_0
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Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $\mathbf{K}=\mathbf{Q}(\sqrt{d},\,i)$, $i=\sqrt{-1}$, $\mathbf{K}_2^{(1)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, $\mathbf{K}_2^{(2)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}_2^{(1)}$ et $G=\mathrm{Gal}(\mathbf{K}_2^{(2)}/\mathbf{K})$ le groupe de Galois de $\mathbf{K}_2^{(2)}/\mathbf{K}$. Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$-groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d=2p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1\hspace{4.44443pt}(\@mod \; 4)$.
[1] A. Azizi, Capitulation of the $2$-ideal Classes of $\mathbb{Q}(\sqrt{p_1p_2},\, i)$ Where $p_1$ and $p_2$ are primes such that $p_1\equiv 1\hspace{4.44443pt}(\@mod \; 8)$, $p_2\equiv 5\hspace{4.44443pt}(\@mod \; 8)$ and $(\frac{p_1}{p_2})=-1$, Lecture notes in pure and applied mathematics, 208:13-19, 1999 MR 1724671 | Zbl 1003.11050
[2] A. Azizi, Sur une question de Capitulation, Proc. Amer. Math. Soc, 130:2197-2202, 2002 MR 1897477 | Zbl 1010.11061
[3] A. Azizi and M. Taous, Capitulation of $2$-ideal classes of $\mathbf{k}=\mathbb{Q}(\sqrt{2p},\,i)$ in the genus field of $\mathbf{k}$ where $p$ is prime such that $p\equiv 1 \hspace{4.44443pt}(\@mod \; 8)$, IJPAM, 352:481-487, 2007 MR 2311554 | Zbl pre05238028
[4] C. Baginski and A. Konovalov, On $2$-groups of almost maximal class, Publ. Math, 651-2:97-131, 2004 MR 2075257 | Zbl 1070.20021
[5] E. Benjamin, F. Lemmermeyer and C. Snyder, Imaginary Quadratic Fields $k$ with Cyclic $Cl_2(k^1)$, J. Number Theory, 67:229-245, 1997 MR 1486501 | Zbl 0919.11074
[6] E. Benjamin, F. Lemmermeyer and C. Snyder, Real quadratic fields with abelian $2$-class field tower, J. Number Theory, 73:182-194, 1998 MR 1658015 | Zbl 0919.11073
[7] E. Benjamin, F. Lemmermeyer and C. Snyder, Imaginary quadratic fields with $Cl_2(k) = (2,2^m)$ and rank $Cl_2(k^1) = 2$, Pac. J. Math, 198:15-31, 2001 MR 1831970 | Zbl 1063.11038
[8] E. Benjamin and C. Snyder, Number Fields with $2$-class Number Isomorphic to $(2,\,2^m)$, preprint, 1994
[9] N. Blackburn, On Prime Power Groups in which the Derived Group has Two Generators, Proc. Cambridge Phil. Soc, 53:19-27, 1957 MR 81904 | Zbl 0077.03202
[10] N. Blackburn, On a special class of $p$-groups, Acta Math, 100:45-92, 1958 MR 102558 | Zbl 0083.24802
[11] R. James, $2$-Groups of Almost Maximal Class, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 19:343-357, 1975 MR 382435 | Zbl 0309.20006
[12] H. Kisilevsky, Number fields with class number congruent to $4$ ${\rm mod}$ $8$ and Hilbert’s theorem $94$, J. Number Theory, 83:271-279, 1976 MR 417128 | Zbl 0334.12019
[13] T. Kubota, Über die Beziehung der Klassenzahlen der Unterkörper des bizyklischen Zahlkörpers, Nagoya Math. J, 6:119-127, 1953
Article | MR 59960 | Zbl 0053.21902
[14] T.M. McCall, C.J. Parry and R.R. Ranalli, On imaginary bicyclic biquadratic fields with cyclic $2$-class group, J. Number Theory, 53:88-99, 1995 MR 1344833 | Zbl 0831.11059
[15] O. Taussky, A Remark on the Class Field Tower, J. Number Theory, 12:82-85, 1937 JFM 63.0144.03
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