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Kislyakov, Serguei V.
Fourier coefficients of continuous functions and a class of multipliers. Annales de l'institut Fourier, 38 no. 2 (1988), p. 147-183
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 89j:42004 | Zbl 0607.42004

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Résumé

Soit $x$ une fonction bornée sur ${\bf Z}$ ; on définit le multiplicateur avec un symbole $x$ (noté par $M_x$) par $(M_xf){\hat{\ }}=x\hat f$, $f\in L^2({\bf T})$. On étudie des conditions sur $x$ qui garantissent ``l'inégalité interpolationnelle" $\Vert M_xf\Vert_{L^p}\le C\Vert f \Vert^{\alpha}_{L^1}\Vert M_xf\Vert _{L^q}^{1-\alpha}$ (ici $1<p<q$, $\alpha =\alpha (p,q,x)$ est entre 0 et 1 et $C$ ne dépend pas de $f$). Cette inégalité exprime une sorte de régularité de $M_x$ sur $L^1({\bf T})$. (Pour la plupart les multiplicateurs en question ne sont pas de type faible (1,1).) On utilise ces résultats pour démontrer qu'il y a bien des sous-ensembles $E$ de ${\bf Z}$ tels que chaque suite positive dans $l^2(E)$ puisse être majorée par la suite $\{\vert \hat f(n)\vert \}_{n\in E}$ pour une fonction continue $f$ dont le spectre soit inclus dans $E$.

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