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Talagrand, Michel
Closed convex hull of set of measurable functions, Riemann-measurable functions and measurability of translations. Annales de l'institut Fourier, 32 no. 1 (1982), p. 39-69
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 83g:28007 | Zbl 0452.28004 | 1 citation dans Numdam

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Résumé

Soit $G$ un groupe localement compact. Soit $L_t$ la translation à gauche dans $L^\infty(G)$ donnée par $L_tf(x) = f(tx)$. On caractérise (sous des axiomes peu restrictifs de théorie des ensembles) les $f\in L^\infty(G)$ telles que l'application $t\to L_tf$ de $G$ dans $L^\infty(G)$ soit scalairement mesurable (c'est-à-dire que $t\to \varphi (L_tf)$ est mesurable pour $\varphi \in L^\infty(G)^*$). On montre que c'est le cas dès que pour tout caractère $\theta $ de $L(G)$, $t\to \theta (L_ft)$ est mesurable, et dans le cas compact, cela caractérise les fonctions Riemann-mesurables. On montre que l'image réciproque de tout borélien de $L^\infty(G)$ par l'application $t\to L_tf$ est mesurable si et seulement si $f$ est uniformément continue.

Les outils de théorie de la mesure utilisés ont un intérêt en soi. Par exemple un ensemble de fonctions mesurables sur $[0,1]$ est séparable et relativement compact pour la topologie de la convergence ponctuelle, il en est de même de son enveloppe convexe.

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