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Rauzy, Gérard
Suites partiellement récurrentes (applications à la répartition modulo 1 et aux propriétés arithmétiques des fonctions analytiques). Annales de l'institut Fourier, 16 no. 1 (1966), p. 159-234
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 34 #161 | Zbl 0151.04501 | 1 citation dans Numdam

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Résumé

À tout ensemble d'entiers positifs, on attache un nombre $\ge 1$, éventuellement infini nommé fréquence de cet ensemble et mesurant la longueur relative des tranches d'entiers consécutifs de cet ensemble. La notion de fréquence présente peu de rapport avec celle de densité et par exemple un ensemble et son complémentaire peuvent être tous deux de fréquence infinie.

Les deux principaux résultats sont alors les suivants :

1.- Soit $\theta >1$ algébrique. La condition nécessaire et suffisante pour qu'existe un ensemble $J$ de fréquence infinie et un nombre réel $\lambda \ne 0$ tels que :


\begin{displaymath}\overline{\rm lim}_{n\in J}\Vert\lambda \theta ^n\Vert = 0\end{displaymath}

(où $\Vert x\Vert =\vert x-k\vert$, $k$ étant l'entier le plus voisin de $x$) est que $\theta $ soit un entier algébrique dont tous les conjugués sont à l'intérieur ou sur le cercle unité.

2.- Soit $f$ une fonction entière de type exponentiel telle que :

\begin{displaymath}\overline{\rm lim}_{\vert z\vert\to\infty}{1\over\vert x\vert } \,{\rm Log}\vert f(z)\vert <\; {\rm Log}\, 2,\end{displaymath}

si $f(n)$ est entier quand $n$ parcourt un ensemble de fréquence infinie, alors $f$ est un polynôme.

Le premier résultat donne une caractérisation commune des nombres de Pisot et de Salem. Sa réciproque délicate à établir dans le dernier cas montre en outre que l'on peut toujours construire un ensemble $J$ tel que l'ensemble des $\lambda $ correspondants ait la puissance du continu, bien que de mesure de Lebesgue nulle. Si $\theta $ est un nombre de Salem, une application presque directe du théorème de Roth montre en outre que les $\lambda $ en question sont transcendants.

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