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Herz, Carl S.
Les théorèmes de renouvellement. Annales de l'institut Fourier, 15 no. 1 (1965), p. 169-187
Texte intégral djvu | pdf | Analyses MR 33 #5010 | Zbl 0202.47103 | 1 citation dans Numdam
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Résumé

Soit $D$ un laplacien généralisé, c'est-à-dire le générateur infinitésimal d'un semi-groupe sous-markovien d'opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires $E$ de $D^*E =
-\delta $. Nous ne considérons que les $D$ définis sur le groupe $R$, la droite réelle.

S'il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale $E$. Celle-ci s'exprime comme $E = \lim_{\lambda
\to 0}E_\lambda $ $E_\lambda = (\lambda \delta -D)^{-1}$. Il s'agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que $E$ possède des limites, au sens des distributions, aux points $+\infty$ et $-\infty $. La dérivée $E'$ s'annule à l'infini.

Il se peut que $D$ n'ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe $R$ et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille $\{C_\lambda \}$ de constantes positives telles que $E_\lambda - C_\lambda dx$ converge vers une solution élémentaire $E$. Pour cette solution $E$ la dérivée $E'$ possède des limites à droite et à gauche, à savoir

\begin{displaymath}\lim_{x\to \pm
\infty } E^{\prime *}f(x) = \pm \sigma ^{-2}\int f(y)\ dy\end{displaymath}

$\sigma ^2 =
\int x^2 D \le \infty $. La dérivée seconde $E''$ s'annule à l'infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d'analyse harmonique y intervient.

Bibliographie

[1] W. FELLER et S. OREY, A renewal theorem, Journ. Math. and Mech., 10 (1961), 619-624.  MR 24 #A581 |  Zbl 0096.33401
[2] W. HOEFFDING, On sequences of sums of independent random vectors, 4th Berkeley Symposium on Math. Stat. and Prob., vol. II, 213-226.  MR 25 #1563 |  Zbl 0211.20605
[3] Frank SPITZER, Hitting probabilities, Journ. Math. and Mech., 11 (1962), 593-614.  MR 25 #2655 |  Zbl 0218.60061
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