Une polarité d’un plan projectif est une application, souvent involutive, envoyant un point générique sur une droite générique et réciproquement. La polarité la plus classique est la polarité par rapport à une conique, mais d’autres existent : la polarité harmonique par rapport à un triangle, les polarités par rapport à une courbe algébrique de degré supérieur, la polarité par rapport à un convexe.
Dans cet article nous introduisons une notion de polarité par rapport à un triangle du plan projectif, motivée par une question sur la dualité des repères projectifs. Nous montrons que les quatre polarités évoquées qui peuvent s’appliquer à un triangle coïncident dans ce cas. Ce résultat fournit un prétexte à passer en revue de jolis concepts de géométrie projective, d’algèbre linéaire et de géométrie convexe.
A polarity of a projective plane is a map, often involutive, sending a generic point to a generic line and vice versa. The most classical polarity is the polarity with respect to a conic section, but others exists: the harmonic polarity with respect to a triangle, the polarities with respect to a higher degree algebraic curve, the polarity with respect to a convex.
In this article we introduce a polarity with respect to a triangle of the projective plane which is motivated by a question on duality of projective frames. We show that the four polarities above that apply to a triangle all coincide in this case. This result is an occasion to revue nice concepts in projective geometry, linear algebra and convex geometry.
Mots clés : polarité, dualité, repère projectif, convexes.
@article{TSG_2010-2011__29__51_0,
author = {Kloeckner, Beno{\^\i}t},
title = {Polarit\'es d\'efinies par un triangle},
journal = {S\'eminaire de th\'eorie spectrale et g\'eom\'etrie},
pages = {51--71},
publisher = {Institut Fourier},
address = {Grenoble},
volume = {29},
year = {2010-2011},
doi = {10.5802/tsg.285},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.285/}
}
TY - JOUR AU - Kloeckner, Benoît TI - Polarités définies par un triangle JO - Séminaire de théorie spectrale et géométrie PY - 2010-2011 SP - 51 EP - 71 VL - 29 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.285/ DO - 10.5802/tsg.285 LA - fr ID - TSG_2010-2011__29__51_0 ER -
Kloeckner, Benoît. Polarités définies par un triangle. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 29 (2010-2011), pp. 51-71. doi : 10.5802/tsg.285. http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.285/
[1] Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (2003) no. 97, pp. 181-237 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[2] Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 | Zbl
[3] Analysis on symmetric cones, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1994 (Oxford Science Publications) | MR | Zbl
[4] Un bref aperçu de la géométrie projective, Calvage & Mounet, 2009 (à paraître)
Cité par Sources :
