On the remainder in the Weyl formula for the Euclidean disk
[Sur le reste dans la formule de Weyl pour le disque euclidien]
Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 29 (2010-2011), pp. 1-13.

On montre une formule de Weyl à deux termes pour la fonction N(μ) de comptage du spectre de l’opérateur de Laplace sur le disque euclidien, avec un reste précis en Oμ 2/3 .

We prove a 2-terms Weyl formula for the counting function N(μ) of the spectrum of the Laplace operator in the Euclidean disk with a sharp remainder estimate Oμ 2/3 .

DOI : 10.5802/tsg.283
Classification : 35P20, 11P21, 35J05, 58G25
Mots clés : lattice point problem, Laplace operator, eigenvalues, Weyl asymptotic formula, Bessel functions.
Colin de Verdière, Yves 1

1 Institut Fourier, Unité mixte de recherche CNRS-UJF 5582, BP 74, 38402-Saint Martin d’Hères Cedex (France)
@article{TSG_2010-2011__29__1_0,
     author = { Colin de Verdi\`ere,  Yves},
     title = {On the remainder in the {Weyl} formula for the {Euclidean} disk},
     journal = {S\'eminaire de th\'eorie spectrale et g\'eom\'etrie},
     pages = {1--13},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {29},
     year = {2010-2011},
     doi = {10.5802/tsg.283},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.283/}
}
TY  - JOUR
AU  -  Colin de Verdière,  Yves
TI  - On the remainder in the Weyl formula for the Euclidean disk
JO  - Séminaire de théorie spectrale et géométrie
PY  - 2010-2011
SP  - 1
EP  - 13
VL  - 29
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.283/
DO  - 10.5802/tsg.283
LA  - en
ID  - TSG_2010-2011__29__1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A  Colin de Verdière,  Yves
%T On the remainder in the Weyl formula for the Euclidean disk
%J Séminaire de théorie spectrale et géométrie
%D 2010-2011
%P 1-13
%V 29
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.283/
%R 10.5802/tsg.283
%G en
%F TSG_2010-2011__29__1_0
 Colin de Verdière,  Yves. On the remainder in the Weyl formula for the Euclidean disk. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 29 (2010-2011), pp. 1-13. doi : 10.5802/tsg.283. http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.283/

[1] M. Abramowitz & I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55, 10th edition (1972).

[2] G.B. Airy, On the Intensity of Light in the neighborhood of a Caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society 6:379–402 (1838).

[3] Y. Colin de Verdière, Nombre de points entiers dans une famille homothétique de domaines de n . Ann. Scient. ENS 10 (4):559–575 (1977). | Numdam | MR | Zbl

[4] Y. Colin de Verdière, Spectre joint d’opérateurs pseudo-différentiels qui commutent II. Le cas intégrable. Math. Zeitschrift 171:51–73 (1980). | MR | Zbl

[5] Y. Colin de Verdière, V. Guillemin & D. Jerison, Singularities of the wave trace near cluster points of the length spectrum. arXiv:1101.0099v1 (2011). | MR

[6] Y. Colin de Verdière & B. Parisse, Singular Bohr-Sommerfeld rules. Comm. Math. Phys. 205(2):459–500 (1999). | MR | Zbl

[7] Y. Colin de Verdière & San Vũ Ngọc, Singular Bohr-Sommerfeld rules for 2D integrable systems. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 36:1–55 (2003). | Numdam | MR | Zbl

[8] V. Guillemin & D. Schaeffer, Remarks on a paper of D. Ludwig. Bull. of the Amer. Math. Soc. 79:382–385 (1973). | MR | Zbl

[9] C. S. Herz, On the number of lattice points in a convex set. Amer. J. Math. 84: 126–133 (1962). | MR | Zbl

[10] F. Hlawka, Über Integrale auf konvexen Körpern I. Monatsh. Math. 54:1–36 (1950). | MR | Zbl

[11] V. Ivrii, The second term of the spectral asymptotics for a Laplace-Beltrami operator on manifolds with boundary. Functional Analysis and its Applications 14 (2):25–34 (1980). | MR | Zbl

[12] N. V. Kuznecov & B. V. Fedosov, An asymptotic formula for the eigenvalues of a circular membrane. Differencial’nye Uravnenija, 1:1682–1685 (1965) (English translation: Differential Equations 1:1326–1329 (1965)) . | MR | Zbl

[13] V. F. Lazutkin & D. Ya. Terman, Estimation of the remainder term in the Weyl formula. Functional Analysis and its Applications 15:299–300 (1982). | Zbl

[14] E. Mathieu, Mémoire sur le mouvement vibratoire d’une membrane de forme elliptique. Journal de Liouville 13(2):137–203 (1868).

[15] F.W.J. Olver, The Asymptotic Expansion of Bessel Functions of Large Order. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 247:328–368 (1954). | MR | Zbl

[16] J. G. van der Corput, Über Gitterpunkte in der Ebene. Math. Ann. 81(1): 1–20 (1920). | MR

[17] B. Randol, A lattice-point problem. Trans. Amer. Math. Soc. 121:257–268 (1966). | MR | Zbl

[18] H. Weyl, Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung). Math. Ann. 71(4):441–479 (1912). | MR

Cité par Sources :