Courbure discrète ponctuelle
Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 25 (2006-2007), pp. 25-39.

Soient S une surface de l’espace euclidien 𝔼 3 et M un ensemble de triangles euclidiens formant une approximation linéaire par morceaux de S autour d’un point PS, la courbure discrète ponctuelle K d (P) au sommet P de M est, par définition, le quotient du défaut angulaire par la somme des aires des triangles ayant P comme sommet. Un problème naturel est d’estimer la différence entre cette courbure discrète K d (S) et la courbure lisse K(P) de S en P. Nous présentons dans cet article des résultats obtenus dans [4], [5], [15] et qui donnent des majorations de la différence |K(P)-K d (P)|.

Let S be a surface of the Euclidean 3-space 𝔼 3 and M be a set of triangles forming a piecewise linear approximation of S around a point PS, the pointwise discrete curvature K d (P) of M at the vertex P is defined to be the quotient of the angular defect by the sum of areas of triangles with P as vertex. A natural question is to ask for an estimate of the difference between this discrete curvature K d (P) and the smooth curvature K(P) of S at P. We present here results from [4], [5], [15] which give majorations of the discrepancy |K(P)-K d (P)|.

DOI : 10.5802/tsg.245
Classification : 65D18, 53A05
Mot clés : mailles, courbures, approximations
Mots clés : Meshes, Curvatures, Approximations
Borrelli, Vincent 1

1 Université de Lyon Institut Camille Jordan 43, boulevard du 11 Novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex (France)
@article{TSG_2006-2007__25__25_0,
     author = {Borrelli, Vincent},
     title = {Courbure discr\`ete ponctuelle},
     journal = {S\'eminaire de th\'eorie spectrale et g\'eom\'etrie},
     pages = {25--39},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {25},
     year = {2006-2007},
     doi = {10.5802/tsg.245},
     mrnumber = {2478806},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.245/}
}
TY  - JOUR
AU  - Borrelli, Vincent
TI  - Courbure discrète ponctuelle
JO  - Séminaire de théorie spectrale et géométrie
PY  - 2006-2007
SP  - 25
EP  - 39
VL  - 25
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.245/
DO  - 10.5802/tsg.245
LA  - fr
ID  - TSG_2006-2007__25__25_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Borrelli, Vincent
%T Courbure discrète ponctuelle
%J Séminaire de théorie spectrale et géométrie
%D 2006-2007
%P 25-39
%V 25
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.245/
%R 10.5802/tsg.245
%G fr
%F TSG_2006-2007__25__25_0
Borrelli, Vincent. Courbure discrète ponctuelle. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 25 (2006-2007), pp. 25-39. doi : 10.5802/tsg.245. http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.245/

[1] E. Boix, Approximation linéaire des surfaces de 3 et applications, Thèse de l’Ecole Polytechnique, 1995.

[2] V. Borrelli, Courbures Discrètes, Mémoire de DEA de l’université Lyon I, 1992/1993.

[3] V. Borrelli, F. Cazals, J.-M. Morvan, On the angular defect of triangulations and the pointwise approximation of curvatures, Comp. Aided Geom. Design 20 (2003), 319-341. | MR | Zbl

[4] V. Borrelli, F. Orgeret, Error term in pointwise approximation of the curvature of a curve, Preprint.

[5] V. Borrelli, F. Orgeret, Curvatures of meshes and surfaces, Preprint.

[6] J. Cheeger, W. Müller, R. Schrader , On the Curvature of Piecewise Flat Space, Communication in Math. Phys., 92 (1983), 405-454. | MR | Zbl

[7] D. Cohen-Steiner, H. Edelsbrunner, Inequalities for the Curvature of Curves and Surfaces, Proc. 20st Ann. Sympos. on Comput. Geom. 2005, 272-277. | MR

[8] D. Cohen-Steiner,J.-M. Morvan, Second fundamental measure of geometric sets and local approximation of curvatures, J. Differential Geom. 74 (2006), 363–394. | MR | Zbl

[9] I. Fáry, Sur la courbure totale d’une courbe gauche faisant un noeud, Bull. Soc. Math. France 77 (1949), 128-138. | EuDML | Numdam | Zbl

[10] J. Fu, Convergence of curvatures in secant approximations, Journ. of Diff. Geom. 37 (1993), 177-190. | MR | Zbl

[11] J. Lafontaine, Mesures de courbure des varietes lisses et des polyèdres, Séminaire Bourbaki, 28 (1985-1986), Exposé No. 664, Astérisque No. 145-146 (1987), 241–256. | Numdam | MR | Zbl

[12] D. Meek, D. Walton, On surface normal end Gaussian curvature approximations given data sampled from smooth surface, Comp. Aided Geom. Design 17, 521-543. | MR | Zbl

[13] J. -M. Morvan, Generalized Curvatures, A paraître chez Springer Verlag.

[14] J. -M. Morvan, B. Thibert, Unfolding of surfaces, Discrete Comput. Geom. 36 (2006), 393-418. | MR | Zbl

[15] F. Orgeret, Sur l’approximation discrète des courbures des courbes planes et des surfaces lisses de l’espace euclidien de dimension 3, Thèse de l’université de Lyon, 2007.

[16] G. Xu, Convergence analysis of a discretization scheme for Gaussian curvature over triangular surfaces, Comp. Aided Geom. Design 23 (2006), 193-207. | MR | Zbl

Cité par Sources :