Sur l’ensemble singulier et l’ensemble de concentration d’énergie de Navier – Stokes
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (2009-2010), Talk no. 8, 11 p.

Les travaux bien connus de Caffarelli, Kohn & Nirenberg [6] (1982) sur la régularité partielle des solutions faibles “convenables” u(x,t) des équations de Navier-Stokes en dimension 3 donnent une borne supérieure sur la mesure de l’ensemble singulier S(u) de ces solutions. Nous présentons ici des estimations globales nouvelles pour les solutions faibles, donnant des informations sur la continuité dans L 2 de ces solutions. En particulier, un résultat microlocal de type géométrique donne une borne inférieure, complémentaire de celle de [6], sur l’ensemble de concentration d’énergie S L 2 (u), ou plutôt sur son analogue microlocal WF L 2 (u)T * ( 3 ). Cette borne implique, dans le cas où l’ensemble WF L 2 (u) n’est pas vide, qu’il ne peut pas être “trop petit”.

@article{SEDP_2009-2010____A8_0,
     author = {Craig, Walter},
     title = {Sur l'ensemble singulier et l'ensemble de concentration d'\'energie de Navier -- Stokes},
     journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique)},
     publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2009-2010},
     note = {talk:8},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/SEDP_2009-2010____A8_0}
}
Craig, Walter. Sur l’ensemble singulier et l’ensemble de concentration d’énergie de Navier – Stokes. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (2009-2010), Talk no. 8, 11 p. http://www.numdam.org/item/SEDP_2009-2010____A8_0/

[1] M. Arnold and W. Craig DCDS 28 no. 3, (2010). | MR 2644785

[2] R. Beals and C. Fefferman Spatially inhomogeneous pseudodifferential operators. I. Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974) 1–24. | MR 352747 | Zbl 0279.35071

[3] A. Biryuk and W. Craig, Bounds on Kolmogorov spectrum for the Navier – Stokes equations. preprint, ArXiv #0807.4505 | MR 2872819

[4] A. Biryuk, W. Craig and S. Ibrahim, Construction of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations. Stochastic analysis and partial differential equations, 1–18, Contemp. Math., 429 Amer. Math. Soc., Providence, RI (2007). | MR 2391525 | Zbl 1205.35187

[5] L. Boutet de Monvel Propagation des singularités des solutions d’équations analogues à l’équation de Schrödinger. Fourier integral operators and partial differential equations (Colloq. Int., Univ. Nice, Nice, 1974), pp. 1–14. Lecture Notes in Math., 459 Springer, Berlin (1975). | MR 423430 | Zbl 0305.35088

[6] L. Caffarelli, R. Kohn and L. Nirenberg Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier – Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982) 771–831. | MR 673830 | Zbl 0509.35067

[7] D. Córdoba, C. Fefferman and R. de la Llave On squirt singularities in hydrodynamics. SIAM J. Math. Anal. 36 (2004) 204–213. | MR 2083858 | Zbl 1078.76018

[8] L. Escauriaza, G. Seregin and V. Sveràk. Backward uniqueness for parabolic equations. Arch. Ration. Mech. Anal. 169 (2003) 147–157. | MR 2005639 | Zbl 1039.35052

[9] C. Foiaş, C. Guillopé and R. Temam New a priori estimates for Navier-Stokes equations in dimension 3. Comm. Partial Differential Equations 6 (1981) 329–359. | MR 607552 | Zbl 0472.35070

[10] C. Foiaş and R. Temam Some analytic and geometric properties of the solutions of the evolution Navier-Stokes equations. J. Math. Pures Appl. (9) 58 (1979) 339–368. | MR 544257 | Zbl 0454.35073

[11] P. Gérard Microlocal defect measures. Comm. Partial Differential Eqns 16 (1991) 1761–1794. | MR 1135919 | Zbl 0770.35001

[12] P. Gérard communication personelle (2009).

[13] A. N. Kolmogorov The local structure of turbulence in incompressible viscous flow for very large Reynolds’ numbers. Dokl. Akad. Nauk SSSR 30 (1941) 299–303.

[14] R. Lascar Propagation des singularités des solutions d’équations pseudo-différentielles quasi homogènes. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 27 (1977) vii-viii, 79–123. | Numdam | MR 461592 | Zbl 0349.35079

[15] J. Leray Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace. Acta Math. 63 (1934) 193–248. | MR 1555394

[16] A. M. Obukhov On the energy distribution in the spectrum of a turbulent flow. Dokl. Akad. Nauk SSSR 32 (1941) 22–24. | MR 5852 | Zbl 0061.45601

[17] V. Scheffer Hausdorff measure and the Navier-Stokes equations. Comm. Math. Phys. 55 (1977) 97–112. | MR 510154 | Zbl 0357.35071

[18] J. Serrin On the interior regularity of weak solutions of the Navier-Stokes equations. Arch. Rational Mech. Anal. 9 (1962) 187–195. | MR 136885 | Zbl 0106.18302

[19] H. Sohr and W. von Wahl On the regularity of the pressure of weak solutions of Navier – Stokes equations. Arch. Math. (Basel) 46 (1986) 428–439. | MR 847086 | Zbl 0574.35070

[20] M. Struwe On partial regularity results for the Navier-Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math. 41 (1988) 437–458. | MR 933230 | Zbl 0632.76034

[21] L. Tartar H-measures, a new approach for studying homogenisation, oscillations and concentration effects in partial differential equations. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 115 (1990) 193–230. | MR 1069518 | Zbl 0774.35008