Problème de Stokes et système de Navier-Stokes incompressible à densité variable dans le demi-espace
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2008-2009), Exposé no. 10, 19 p.

On s’intéresse à la résolution du système de Navier-Stokes incompressible à densité variable dans le demi-espace + n := n-1 ×]0,[ en dimension n3. On considère des données initiales à régularité critique. On établit que si la densité initiale est proche d’une constante strictement positive dans L W ˙ 1,n et si la vitesse initiale est petite par rapport à la viscosité dans l’espace de Besov homogène B ˙ n,1 0 alors le système de Navier-Stokes admet une unique solution globale. La démonstration repose sur de nouvelles estimations de régularité maximale pour le système de Stokes dans le demi-espace.

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AU  - Danchin, Raphaël
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Danchin, Raphaël; Mucha, Piotr Bogusław. Problème de Stokes et système de Navier-Stokes incompressible à densité variable dans le demi-espace. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2008-2009), Exposé no. 10, 19 p. http://www.numdam.org/item/SEDP_2008-2009____A10_0/

[1] H. Abidi : Équations de Navier-Stokes avec densité et viscosité variables dans l’espace critique, Revista Matemática Iberoamericana, 23(2), 537–586 (2007). | MR 2371437

[2] H. Abidi and M. Paicu : Existence globale pour un fluide inhomogène, Annales de l’Institut Fourier, 57(3), 883–917 (2007). | Numdam | MR 2336833 | Zbl 1122.35091

[3] S. Antontsev, A. Kazhikhov and V. Monakhov : Boundary value problems in mechanics of nonhomogeneous fluids. Studies in Mathematics and its Applications, 22. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. | MR 1035212 | Zbl 0696.76001

[4] H. Bahouri, J.-Y. Chemin and R. Danchin : Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations, Springer, to appear.

[5] M. Cannone : Ondelettes, paraproduits et Navier-Stokes. With a preface by Yves Meyer. Diderot Editeur, Paris, 1995. | MR 1688096 | Zbl 1049.35517

[6] M. Cannone, F. Planchon and M. Schonbek : Strong solutions to the incompressible Navier-Stokes equations in the half-space. Comm. Partial Differential Equations, 25(5-6), 903–924 (2000). | MR 1759797 | Zbl 0965.35112

[7] J.-Y. Chemin : Théorèmes d’unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionnel, Journal d’Analyse Mathématique, 77, 27–50 (1999). | MR 1753481 | Zbl 0938.35125

[8] R. Danchin : Density-dependent incompressible fluids in critical spaces, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 133(6), 1311–1334 (2003). | MR 2027648 | Zbl 1050.76013

[9] R. Danchin : Density-dependent incompressible fluids in bounded domains, Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 8(3), 333–381 (2006). | MR 2258416 | Zbl 1142.76354

[10] R. Danchin and P. B. Mucha : A critical functional framework for he inhomogeneous Navier-Stokes equations in the half-space, Journal of Functional Analysis, 256(3), 881–927 (2009).

[11] W. Desch, M. Hieber, J. Prüss : L p -theory of the Stokes equation in a half-space. J. Evol. Equ. 1(1), 115–142 (2001). | MR 1838323 | Zbl 0983.35102

[12] J. Duoandikoetxea : Fourier analysis. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. | MR 1800316 | Zbl 0969.42001

[13] H. Fujita and T. Kato : On the Navier-Stokes initial value problem I, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 16, 269–315 (1964). | MR 166499 | Zbl 0126.42301

[14] T. Kato : Strong L p -solutions of the Navier-Stokes equation in m , with applications to weak solutions. Math. Z. 187(4) 471–480 (1984). | MR 760047 | Zbl 0545.35073

[15] H. Kozono : Global L n -solution and its decay property for the Navier-Stokes equations in half-space + n . J. Differential Equations, 79(1), 79–88 (1989). | MR 997610 | Zbl 0715.35062

[16] O. Ladyzhenskaya and V. Solonnikov : The unique solvability of an initial-boundary value problem for viscous incompressible inhomogeneous fluids, Journal of Soviet Mathematics, 9, 697–749 (1978). | Zbl 0401.76037

[17] P.-G. Lemarié-Rieusset : Espaces de Lorentz et Navier-Stokes : le problème des solutions auto-similaires de Leray. Prépublication de l’Université d’Evry, 161 (2002).

[18] P.-L. Lions : Mathematical Topics in Fluid Dynamics, Vol. 1 Incompressible Models, Oxford University Press (1996). | MR 1422251 | Zbl 0866.76002

[19] P. B. Mucha : On an estimate for the linearized compressible Navier-Stokes equations in the L p -framework. Colloq. Math., 87(2), 159–169 (2001). | MR 1814661 | Zbl 0970.35092

[20] P. B. Mucha : On weak solutions to the Stefan problem with Gibbs-Thomson correction. Differential Integral Equations 20 (2007), no. 7, 769–792. | MR 2333656

[21] P. B. Mucha and W. Zajączkowski : On the existence for the Cauchy-Neumann problem for the Stokes system in the L p - framework, Studia Math., 143, 75–101 (2000). | MR 1814481 | Zbl 0970.35107

[22] V. A. Solonnikov : Unsteady motion of an isolated volume of a viscous incompressible fluid, translation in Math. USSR-Izv., 31 (2), 381–405 (1988). | MR 925094 | Zbl 0850.76180

[23] H. Triebel : Interpolation theory, function spaces, differential operators. North-Holland Mathematical Library, 18. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1978. | MR 503903 | Zbl 0387.46032

[24] S. Ukai : A solution formula for the Stokes equation in + n . Comm. Pure Appl. Math. 40(5) 611–621 (1987). | MR 896770 | Zbl 0638.76040