Espaces de Sobolev d’ordre variable : traces, éclatement, inégalité de Hardy
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2006-2007), Exposé no. 17, 14 p.

Le but de cette note est de présenter le résultat [15] sur la régularité des traces pour les fonctions appartenant aux espaces de Sobolev sur le groupe de Heisenberg. Les surfaces de trace admissibles peuvent présenter des points caractéristiques isolés, de type générique. Cette hypothèse est suffisante pour mettre en oeuvre une technique d’éclatement et permet donc d’utiliser les autres résultats connus dans le cas non-caractéristique.

La preuve s’inscrit dans un contexte plus général d’espaces de Sobolev d’ordre variable et cette note contient quelques remarques en ce sens.

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Vigneron, François. Espaces de Sobolev d’ordre variable : traces, éclatement, inégalité de Hardy. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2006-2007), Exposé no. 17, 14 p. http://www.numdam.org/item/SEDP_2006-2007____A17_0/

[1] H. Bahouri, J.-Y. Chemin, I. Gallagher, Inégalités de Hardy précisées, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 341 (2005), no 2, 89-92. | MR 2153962 | Zbl 1081.35169

[2] H. Bahouri, J.-Y. Chemin, C.-J. Xu, Trace and trace lifting theorems in weighted Sobolev spaces, J. Inst. Math. Jussieu 4 (2005), no 4, 509-552. | MR 2171730 | Zbl 1089.35016

[3] H. Bahouri, J.-Y. Chemin, C.-J. Xu, Trace theorem on the Heisenberg group, Proceedings of the Conference on Phase Space Analysis of PDE, Pienza 2005 (à paraître).

[4] H. Bahouri, P. Gérard, C.-J. Xu, Espaces de Besov et estimations de Strichartz généralisées sur le groupe de Heisenberg, J. Anal. Math. 82 (2000), 93-118. | MR 1799659 | Zbl 0965.22010

[5] S. Berhanu, I. Pesenson, The trace problem for vector fields satisfying Hörmander’s condition, Math. Z. 231 (1999), no 1, 103-122. | Zbl 0924.46026

[6] P. Bolley, J. Camus, J. Nourrigat, La condition de Hörmander-Kohn pour les opérateurs pseudo-différentiels, Comm. Partial Differential Equations 7, no. 2 (1982), 197-221. | MR 646136 | Zbl 0497.35086

[7] J.-M. Bony, J.-Y. Chemin, Espaces fonctionnels associés au calcul de Weyl-Hörmander, Bull. Soc. math. France 122 (1994), 77-118. | Numdam | MR 1259109 | Zbl 0798.35172

[8] H. Brezis, P. Mironescu, A. Ponce, Complements to the paper W 1,1 -maps with values into 𝕊 1 . in A.M.S., Contemp. Math. 368 (2005). | MR 2126464

[9] M. Derridj, Un problème aux limites pour une classe d’opérateurs du second ordre hypoelliptiques, Ann. Inst. Fourier 21 (1971), no 4, 99-148. | Numdam | Zbl 0215.45405

[10] D.S. Jerison, The Dirichlet problem for the Kohn Laplacian on the Heisenberg group, I - II, J. Funct. Anal. 43 (1981), no 1, 97-142 & no 2, 224-257. | MR 639800 | Zbl 0493.58022

[11] R. Monti, D. Morbidelli, Trace theorems for vector fields, Math. Z. 239 (2002), no 4, 747-776. | MR 1902060 | Zbl 1030.46041

[12] S. Mustapha, F. Vigneron, Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields, Annales de l’Institut Fourier 57 (2007). | Numdam

[13] L.P. Rothschild, E.M. Stein, Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups, Acta Math. 137, no. 3-4 (1976), 247-320. | MR 436223 | Zbl 0346.35030

[14] F. Vigneron, Localisation et décroissance des champs de la mécanique des fluides et des plasmas. Espaces fonctionnels associés à une famille de champs de vecteurs. Thèse de doctorat de l’École polytechnique (2006).

[15] F. Vigneron, The trace problem for weighted Sobolev spaces over the Heisenberg group, Journal d’Analyse Mathématique  (à paraître).