Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg
Ferrari, Fausto1 ; Franchi, Bruno1 ; Pajot, Hervé2
1 Department of Mathematics University of Bologna Piazza di Porta S. Donato, 5 40127 Bologna, Italy
2 University of Grenoble I Fourier Institute Department of mathematics 100 rue des maths BP 74 38402 Saint-Martin d’Hères, France
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2005-2006), Exposé no. 12, 10 p.

Nous présentons une condition suffisante pour qu’un compact dans le groupe de Heisenberg (muni de sa structure de Carnot-Carathéodory) soit contenu dans une courbe rectifiable. Cette condition est aussi nécessaire dans le cas de courbes régulières (en particulier, des géodésiques) et elle est inspirée du lemme géométrique faible du à Peter Jones dans le cas euclidien. Cette note repose sur l’exposé fait par le troisième auteur (au Séminaire X-EDP) et décrit les principaux résultats de l’article [FFP1].

Ferrari, Fausto 1 ; Franchi, Bruno 1 ; Pajot, Hervé 2

1 Department of Mathematics University of Bologna Piazza di Porta S. Donato, 5 40127 Bologna, Italy
2 University of Grenoble I Fourier Institute Department of mathematics 100 rue des maths BP 74 38402 Saint-Martin d’Hères, France 
@article{SEDP_2005-2006____A12_0,
     author = {Ferrari, Fausto and Franchi, Bruno and Pajot, Herv\'e},
     title = {Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de {Heisenberg}},
     journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique) dit aussi "S\'eminaire Goulaouic-Schwartz"},
     note = {talk:12},
     pages = {1--10},
     publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2005-2006},
     mrnumber = {2276077},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/SEDP_2005-2006____A12_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Ferrari, Fausto
AU  - Franchi, Bruno
AU  - Pajot, Hervé
TI  - Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg
JO  - Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
N1  - talk:12
PY  - 2005-2006
SP  - 1
EP  - 10
PB  - Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
UR  - http://www.numdam.org/item/SEDP_2005-2006____A12_0/
LA  - fr
ID  - SEDP_2005-2006____A12_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Ferrari, Fausto
%A Franchi, Bruno
%A Pajot, Hervé
%T Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg
%J Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
%Z talk:12
%D 2005-2006
%P 1-10
%I Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
%U http://www.numdam.org/item/SEDP_2005-2006____A12_0/
%G fr
%F SEDP_2005-2006____A12_0
Ferrari, Fausto; Franchi, Bruno; Pajot, Hervé. Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2005-2006), Exposé no. 12, 10 p. http://www.numdam.org/item/SEDP_2005-2006____A12_0/

[BBI] D. Burago, Y. Burago, S. Ivanov, A course in metric geometry, Graduate Studies in Mathematics 33 (2001), American Mathematical Society. | MR | Zbl

[Ca] A. P. Calderón, Cauchy integrals on Lipschitz curves and related operators, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA Volume 74 (1977), p 1324-1327. | MR | Zbl

[CMM] R. Coifman, A. McIntosh, Y. Meyer, L’opérateur de Cauchy définit un opérateur borné sur L 2 sur les courbes lipschitziennes, Annals of Mathematics Volume 116 (1982), p 361-388. | Zbl

[DS] G. David, S. Semmes, Analysis of and on uniformly rectifiable sets, Mathematical Surveys and Monographs Volume 38 (1993), American Mathematical Society. | MR | Zbl

[FFP1] F. Ferrari, B. Franchi, H. Pajot, The geometric traveling salesman problem in the Heisenberg group, à paraitre dans Revista Matemàtica Iberomaericana.

[FFP2] F. Ferrari, B. Franchi, H. Pajot, en préparation.

[Ha1] I. Hahlomaa, Menger curvature and Lipschitz parametrizations in metric spaces, Fundamenta Mathematicae 185 (2005), p 143-169. | MR | Zbl

[Ha2] I. Hahlomaa, Curvature integral and Lipschitz parametrization of 1-regular metric spaces, Preprint (2005), University of Jyväskylä. | MR | Zbl

[J1] P. W. Jones, Square functions, Cauchy integrals, analytic capacity, and harmonic measure, in “Harmonic analysis and partial differential equations”, Lecture Notes in Mathematics Volume 1384 (1989), Springer-Verlag, 24–68. | Zbl

[J2] P. Jones, Rectifiable sets and the traveling salesman problem, Inventiones Mathematicae 102 (1990), 1–15. | MR | Zbl

[LR] G. P. Leonardi, S. Rigot, Isoperimetric sets on Carnot groups, Houston Journal of Mathematics 29 (2003) p 603-637. | MR | Zbl

[Ma] P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics Volume 44, Cambridge University Press (1995). | MR | Zbl

[MMV] P. Mattila, M. Melnikov, J. Verdera, The Cauchy integral, analytic capacity, and uniform rectifiability, Annals of Mathematics Volume 144 (1996), p 127-136. | MR | Zbl

[Ok] K. Okikiolu, Characterizations of subsets of rectifiable curves in ℝ n , Journal of the London Mathematical Society 46 (1992), 336–348. | MR | Zbl

[Pa1] H. Pajot, Sous-ensembles de courbes Ahlfors-régulières et nombre de Jones, Publicacions Matemàtiques 40, 497–526. | MR | Zbl

[Pa2] H. Pajot, Analytic capacity, rectifiability, Menger curvature and the Cauchy integral, Lecture Notes in Mathématiques Volume 1799, Springer (2002). | MR | Zbl

[P1] P. Pansu, Géométrie du Groupe d’Heisenberg, Thèse pour le titre de Docteur de 3ème cycle, Université Paris VII, (1982).

[P2] P. Pansu, Une inégalité isopérimétrique sur le groupe de Heisenberg, C. R. Acad. Sci. Paris, 295, I, (1982), 127–130. | MR | Zbl

[Sc] R. Schul, Subset of rectifiable curves in Hilbert space and the analyst’s TSP, Phd dissertation, Yale University (2005).