Nous présentons une condition suffisante pour qu’un compact dans le groupe de Heisenberg (muni de sa structure de Carnot-Carathéodory) soit contenu dans une courbe rectifiable. Cette condition est aussi nécessaire dans le cas de courbes régulières (en particulier, des géodésiques) et elle est inspirée du lemme géométrique faible du à Peter Jones dans le cas euclidien. Cette note repose sur l’exposé fait par le troisième auteur (au Séminaire X-EDP) et décrit les principaux résultats de l’article [FFP1].
@article{SEDP_2005-2006____A12_0, author = {Ferrari, Fausto and Franchi, Bruno and Pajot, Herv\'e}, title = {Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de {Heisenberg}}, journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique) dit aussi "S\'eminaire Goulaouic-Schwartz"}, note = {talk:12}, pages = {1--10}, publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique}, year = {2005-2006}, mrnumber = {2276077}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/item/SEDP_2005-2006____A12_0/} }
TY - JOUR AU - Ferrari, Fausto AU - Franchi, Bruno AU - Pajot, Hervé TI - Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg JO - Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" N1 - talk:12 PY - 2005-2006 SP - 1 EP - 10 PB - Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique UR - http://www.numdam.org/item/SEDP_2005-2006____A12_0/ LA - fr ID - SEDP_2005-2006____A12_0 ER -
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Ferrari, Fausto; Franchi, Bruno; Pajot, Hervé. Courbure et sous-ensembles de courbes rectifiables dans le groupe de Heisenberg. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2005-2006), Talk no. 12, 10 p. http://www.numdam.org/item/SEDP_2005-2006____A12_0/
[BBI] D. Burago, Y. Burago, S. Ivanov, A course in metric geometry, Graduate Studies in Mathematics 33 (2001), American Mathematical Society. | MR | Zbl
[Ca] A. P. Calderón, Cauchy integrals on Lipschitz curves and related operators, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA Volume 74 (1977), p 1324-1327. | MR | Zbl
[CMM] R. Coifman, A. McIntosh, Y. Meyer, L’opérateur de Cauchy définit un opérateur borné sur sur les courbes lipschitziennes, Annals of Mathematics Volume 116 (1982), p 361-388. | Zbl
[DS] G. David, S. Semmes, Analysis of and on uniformly rectifiable sets, Mathematical Surveys and Monographs Volume 38 (1993), American Mathematical Society. | MR | Zbl
[FFP1] F. Ferrari, B. Franchi, H. Pajot, The geometric traveling salesman problem in the Heisenberg group, à paraitre dans Revista Matemàtica Iberomaericana.
[FFP2] F. Ferrari, B. Franchi, H. Pajot, en préparation.
[Ha1] I. Hahlomaa, Menger curvature and Lipschitz parametrizations in metric spaces, Fundamenta Mathematicae 185 (2005), p 143-169. | MR | Zbl
[Ha2] I. Hahlomaa, Curvature integral and Lipschitz parametrization of -regular metric spaces, Preprint (2005), University of Jyväskylä. | MR | Zbl
[J1] P. W. Jones, Square functions, Cauchy integrals, analytic capacity, and harmonic measure, in “Harmonic analysis and partial differential equations”, Lecture Notes in Mathematics Volume 1384 (1989), Springer-Verlag, 24–68. | Zbl
[J2] P. Jones, Rectifiable sets and the traveling salesman problem, Inventiones Mathematicae 102 (1990), 1–15. | MR | Zbl
[LR] G. P. Leonardi, S. Rigot, Isoperimetric sets on Carnot groups, Houston Journal of Mathematics 29 (2003) p 603-637. | MR | Zbl
[Ma] P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics Volume 44, Cambridge University Press (1995). | MR | Zbl
[MMV] P. Mattila, M. Melnikov, J. Verdera, The Cauchy integral, analytic capacity, and uniform rectifiability, Annals of Mathematics Volume 144 (1996), p 127-136. | MR | Zbl
[Ok] K. Okikiolu, Characterizations of subsets of rectifiable curves in , Journal of the London Mathematical Society 46 (1992), 336–348. | MR | Zbl
[Pa1] H. Pajot, Sous-ensembles de courbes Ahlfors-régulières et nombre de Jones, Publicacions Matemàtiques 40, 497–526. | MR | Zbl
[Pa2] H. Pajot, Analytic capacity, rectifiability, Menger curvature and the Cauchy integral, Lecture Notes in Mathématiques Volume 1799, Springer (2002). | MR | Zbl
[P1] P. Pansu, Géométrie du Groupe d’Heisenberg, Thèse pour le titre de Docteur de 3ème cycle, Université Paris VII, (1982).
[P2] P. Pansu, Une inégalité isopérimétrique sur le groupe de Heisenberg, C. R. Acad. Sci. Paris, 295, I, (1982), 127–130. | MR | Zbl
[Sc] R. Schul, Subset of rectifiable curves in Hilbert space and the analyst’s TSP, Phd dissertation, Yale University (2005).