Méthodes KAM pour les opérateurs de Schrödinger non autonomes
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2001-2002), Exposé no. 14, 19 p.

On élimine par la méthode KAM la dépendance temporelle dans une classe d’équations différentielles linéaires en 2 avec dépendance quasi-périodique et non bornée du temps. Ceci entraîne la nature purement ponctuelle du spectre de Floquet de l’opérateur H 0 +ϵP(ωt) pour ϵ petit. Ici H 0 est l’opérateur différentiel de Schrödinger ordinaire -d 2 dx 2 +V, V(x)|x| α ,α>2 lorsque |x|, la perturbation quasi-périodique par rapport au temps P peut diverger comme |x| β ,β<(α-2)/2, et le vecteur des fréquences ω n’est pas résonant. La preuve est fondée sur l’estimation de Kuksin pour les solutions des équations homologiques avec coefficients non constants.

@article{SEDP_2001-2002____A14_0,
     author = {Graffi, Sandro},
     title = {M\'ethodes {KAM} pour les op\'erateurs de {Schr\"odinger} non autonomes},
     journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique) dit aussi "S\'eminaire Goulaouic-Schwartz"},
     note = {talk:14},
     publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2001-2002},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/SEDP_2001-2002____A14_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Graffi, Sandro
TI  - Méthodes KAM pour les opérateurs de Schrödinger non autonomes
JO  - Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
N1  - talk:14
PY  - 2001-2002
DA  - 2001-2002///
PB  - Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
UR  - http://www.numdam.org/item/SEDP_2001-2002____A14_0/
LA  - fr
ID  - SEDP_2001-2002____A14_0
ER  - 
Graffi, Sandro. Méthodes KAM pour les opérateurs de Schrödinger non autonomes. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2001-2002), Exposé no. 14, 19 p. http://www.numdam.org/item/SEDP_2001-2002____A14_0/

[1] V.I. Arnold : Chapitres supplémentaires de la théorie des equations différentielles ordinaires. Mir (Moscou 1980). | MR 626685 | Zbl 0455.34001

[2] J.Bellissard, Stability and instability in quantum mechanics, In Trends and Developments in the Eighties, (S.Albeverio and Ph.Blanchard, Editors), World Scientific, Singapore 1985, pp.1-106. | MR 853743 | Zbl 0584.35024

[3] D.Bambusi, S.Graffi Time Quasi-periodic unbounded perturbations of Schrödinger operators and KAM methods , Commun.Math.Phys. 177, 327-347 (2001). | MR 1833810 | Zbl 1003.37042

[4] M.Combescure, The quantum stability problem for time-periodic perturbation of the harmonic oscillator, An.Inst.H.Poincaré 47, 62-82 (1987) ; Erratum ibidem, 451-454. | Numdam | MR 933686 | Zbl 0635.70018

[5] M.Dimassi, J.Sjöstrand, Spectral Asymptotics in the Semiclassical Limit, London Math.Soc.Lecture Notes Serie 268, Cambridge University Press 1999 | MR 1735654 | Zbl 0926.35002

[6] P.Duclos, P.Stovicek, Floquet Hamiltonians with Pure Point Spectrum, Commun.Math.Phys. 177, 327-347 (1996) | MR 1384138 | Zbl 0848.34072

[7] P.Duclos, P.Stovicek, M.Vittot : Perturbation of an eigen-value from a dense point spectrum : a general Floquet Hamiltonian. Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 71 241–301 (1999). | Numdam | MR 1714346 | Zbl 0972.81041

[8] G.Gallavotti, The Elements of Mechanics, Springer-Verlag, 1983 | MR 698947 | Zbl 0512.70001

[9] S.Graffi, K.Yajima, Absolute Continuity of the Floquet Spectrum for a Nonlinearly Forced Harmonic Oscillator, Commun.Math.Phys., to appear | MR 1799847 | Zbl 0983.35042

[10] G. Hagedorn, M. Loss, J. Slawny  : Non-stochasticity of time-dependent quadratic Hamiltonians and the spectra of canonical transformations, J.Phys.A 19, 521–531 (1986) | MR 833433 | Zbl 0601.70013

[11] J.Howland, Floquet Operators with Singular Spectrum, I, Ann.Inst.H.Poincaré 49, 309-323 (1989) ; II, ibidem, 325-334, (1989) | Numdam | MR 1017967 | Zbl 0689.34023

[12] H.R. Jauslin, F. Monti : Quantum Nekhoroshev theorem for quasi-periodic Floquet Hamiltonians. Rev. Math. Phys. 10 393–428 (1998). | MR 1626840 | Zbl 0927.34070

[13] H.R. Jauslin, J.L. Lebowitz : Spectral and stability aspects of quantum chaos. Chaos 1 114–121 (1991). | MR 1135898 | Zbl 0899.58059

[14] A.Jorba, C. Simó :On the reducibility of linear differential equations with quasiperiodic coefficients. J. Differential Equations 98 111–124 (1992). | MR 1168974 | Zbl 0761.34026

[15] A.Joye, Absence of absolutely continuous spectrum of Floquet operators, J.Stat.Phys. 75, 929-952 (1994) | MR 1285294 | Zbl 0835.47010

[16] T.Kappeler, J. Pöschel : Perturbation of KdV Equations – The KAM preuve. Preprint 1997.

[17] S.B. Kuksin : On small–denominator equations with large variable coefficients J. Appl. Math. Phys. (ZAMP) 48, 262–271, (1997). | MR 1450394 | Zbl 0886.35044

[18] G.Nenciu, Floquet operators without absolutely continuous spectrum, Ann.Inst.H.Poincaré 59, 91-97 (1993) | Numdam | MR 1244183 | Zbl 0795.47032

[19] J. Pöschel : A KAM–Theorem for some Partial Differential Equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 23, 119–148 (1996). | Numdam | MR 1401420 | Zbl 0870.34060

[20] M.A.Shubin, Pseudodifférential Operators and Spectral Theory , Springer-Verlag 1987 | MR 883081 | Zbl 0616.47040

[21] J. Xu, Q. Zheng :On the reducibility of linear différential equations with quasiperiodic coefficients which are degenerate. Proc. Amer. Math. Soc. 126, 1445–1451 (1998). | MR 1458272 | Zbl 0897.34011

[22] K.Yajima, Scattering Theory for Schrödinger Operators with Potentials Periodic in Time, J.Math.Soc.Japan 29, 729-743 (1977) | MR 470525 | Zbl 0356.47010