Rationalité, exprimabilité : une relecture médiévale du livre X des Éléments d'Euclide
Revue d'histoire des mathématiques, Tome 7 (2001) no. 1, pp. 91-119.

Dans cet article, nous étudions la réception des Éléments d'Euclide par un mathématicien du xiiie siècle : Campanus. Nous nous intéressons à la nature de son travail sur le LivreX, à propos de la théorie de l'irrationalité. Dans la version de Robert de Chester, que Campanus utilise pour son édition, apparaissent deux notions qui ne sont pas euclidiennes, celles de « droites rationnelles en longueur » et de « droites rationnelles en puissance ». Nous nous demandons si l'introduction de ces notions manifeste une théorie différente de celle d'Euclide. Pour cela, nous examinons les premières définitions du Livre X, ainsi que quelques théorèmes du Livre XIII, pour lesquels Campanus propose des ajouts, justifiés par l'introduction de ces notions.

In this paper, we study the reception of Euclid's Elements by a 13th century mathematician: Campanus. We are interested in the nature of his work on Book X, and its theory of irrationality. In Robert of Chester's version, which Campanus used for his edition, two non euclidean notions appear, the notion of straight lines ‘rational in length' and ‘rational in power'. We ask the question if the introduction of these notions lead to a theory which is different from Euclid's. To answer that question, we examine the first definitions of Book X and some theorems of Book XIII, to which Campanus gives some additions called for by the introduction of the above notions.

Mots clés : Euclide, Campanus, livre X des Éléments, droites rationnelles, commensurabilité
@article{RHM_2001__7_1_91_0,
     author = {Rommevaux, Sabine},
     title = {Rationalit\'e, exprimabilit\'e : une relecture m\'edi\'evale du livre X des \'El\'ements d'Euclide},
     journal = {Revue d'histoire des math\'ematiques},
     pages = {91--119},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {7},
     number = {1},
     year = {2001},
     zbl = {1030.01012},
     language = {fr},
     url = {www.numdam.org/item/RHM_2001__7_1_91_0/}
}
Rommevaux, Sabine. Rationalité, exprimabilité : une relecture médiévale du livre X des Éléments d'Euclide. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 7 (2001) no. 1, pp. 91-119. http://www.numdam.org/item/RHM_2001__7_1_91_0/

[1] Ben Miled (Marouane) [1999] Les commentaires d'al-Māhānî et d'un anonyme du LivreX des Éléments d'Euclide, Arabic Sciences and Philosophy, 9 (1999), p.89-156. | MR 1690329 | Zbl 0986.01008

[2] Busard (Hubert L.L) [1983a] The first Latin Translation of Euclid's Elements Commonly Ascribed to Adelard of Bath, Toronto : Pontifical Institute of Medieval Studies, 1983. | Zbl 0597.01020

[3] Busard (Hubert L.L) [1983b] The Latin Translation of the Arabic Version of Euclid's Elements Commonly Ascribed to Gerard of Cremona, Leiden : New Rhine Publishers, 1983. | MR 810396 | Zbl 1116.01302

[4] Busard (Hubert L.L) [1991] Jordanus de Nemore, De elementis arithmetica artis, A Medieval Treatise on Number Theory, Stuttgart : Franz Steiner Verlag, 1991. | MR 1152799

[5] Busard (Hubert L.L) [1998] Über den lateinischen Euklid im Mittelalter, Arabic Sciences and Philosophy, 8 (1998), p.97-129. | MR 1615323 | Zbl 0995.01001

[6] Busard (Hubert L.L.), Folkerts (Menso) [1992] Robert of Chester's ( ?) Redaction of Euclid's Elements, the So-Called Adelard II Version, Basel, Boston, Berlin : Birkhäuser Verlag, 1992. | MR 1269779 | Zbl 0834.01002

[7] CAMPANUS [1516] Euclidis megarensis geometricorum elementorum libri XV - Campani galli transalpini in eosdem commentariorum libri XV -, Theonis Alexandrini Bartolomeo Veneto Zamberto interprete in tredecim priores commentariorum libri XIII - Hypsiclis Alexandrini in duos posteriores eodem Bartolomeo Zamberto interprete, commentariorum libri II, Paris : in officina Henrici Stephani, 1516.

[8] Curtze (Maximilian) [1899] Anaritii in decem libros priores Elementorum Euclidis Commentarii, dans Heiberg (I.L.) et Menge (H.), Euclidis Opera omnia, Supplementum, Leipzig : B.G.Teubner, vol. IX, 1899. | JFM 30.0002.02

[9] Heath (Thomas Little) [1956] Euclide, The Thirteen Books of Euclid's Elements, trad. anglaise de T.L. Heath, réimpression de la 2e édition de 1926, New York : Dover Publications, 1956. | MR 75873 | Zbl 1026.01024

[10] Matvievskaya (Galina) [1987] The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics, dans King (D.) et Saliba (G.), From Deferent to Equant, Annals of the New York Academy of Science, vol.500, New York : New York Academy of Science, 1987, p.253-277. | MR 1106209 | Zbl 0888.01002

[11] Rommevaux (Sabine) [1999] La proportionnalité numérique dans le LivreVII des Éléments de Campanus, Revue d'histoire des mathématiques, 5 (1999), p.83-126. | Numdam | MR 1756620 | Zbl 0953.01008

[12] Rommevaux (Sabine), Djebbar (Ahmed), Vitrac (Bernard) [2001] Remarques sur l'histoire du texte des Éléments d'Euclide, Archive for History of Exact Sciences, 55 (2001), p.221-295. | MR 1813915 | Zbl 0974.01002

[13] Schrader (Sister M.) [1961] The ‘Epistola de proportione et proportionalitate' of Ametus filius Iosephi, The University of Wisconsin, Ph. D., 1961.

[14] Tartaglia (Niccolo) [1565] Euclide ... diligentemente rassetato e alla integrita ridotta ... con una ampla espositione..., Venise, 1565.

[15] Thomson (W.) [1930] The Commentary of Pappus on Book X of Euclid's Elements, éd. et trad. anglaise de W.Thomson, commentaires de C.Junge et W.Thomson, Cambridge (Massachusetts) : Harvard University Press, 1930.

[16] Vitrac (Bernard) [1990] Euclide, Les Éléments, vol.I, Introduction générale de Maurice Caveing ; LivresI à VI, trad. française et commentaires de Bernard Vitrac, Paris : PUF, Bibliothèque d'histoire des sciences, 1990. | MR 1084165 | Zbl 0755.51003

[17] Vitrac (Bernard) [1998] Euclide, Les Éléments, vol.III, Livre X, trad. française et commentaires de Bernard Vitrac, Paris : PUF, Bibliothèque d'histoire des sciences, 1998. | MR 1667630

[18] Vitrac (Bernard) [à paraître] Euclide, Les Éléments, vol.IV, Livres XI à XIII, trad. française et commentaires de Bernard Vitrac, Paris : PUF, Bibliothèque d'histoire des sciences, à paraître.