De Lambert à Cauchy : la résolution des équations littérales par le moyen des séries
Revue d'histoire des mathématiques, Tome 4 (1998) no. 1, pp. 73-129.

En 1770, Lagrange démontre la formule qui porte son nom et qui donne, sous forme de série, l'expression de la racine d'une équation algébrique ou transcendante. La formule elle-même et la méthode de démonstration sont significatives du style et de la pensée de l'auteur de la Théorie des fonctions analytiques. De nombreuses études sont consacrées ensuite à ce théorème de Lagrange par d'autres mathématiciens. Elles portent la trace de préoccupations ou d'exigences particulières à leurs auteurs. Elles accompagnent parfois des tentatives théoriques plus ambitieuses. Laplace étudie la convergence des séries que le théorème de Lagrange permet d'obtenir pour la résolution du problème de Kepler. Mais ces travaux restent d'abord tributaires des mêmes conceptions, selon lesquelles les fonctions sont identifiées à des développements en séries formelles. Cauchy remet en cause ce point de vue, et c'est un bouleversement profond qui intervient en 1831 lorsqu'il reprend le problème avec les moyens dont il dispose dans le cadre des fonctions de variable imaginaire.

In 1770, Lagrange proved the formula bearing his name which expresses the root of an algebraic or transcendental equation as a series. The formula in itself, as well as the method of proof, are representative of the style and thought of the author of the Théorie des fonctions analytiques. Afterwards several studies were devoted to Lagrange's theorem by other mathematicians. They bore the mark of their authors' particular concerns or demands. Occasionally they conveyed more ambitious theoretical attempts. When solving Kepler's problem, Laplace studied the convergence of the series deduced from Lagrange's theorem. But, at first, these studies depended on the same conceptions, according to which functions were identified with formal series expansions. In 1831 a profound mutation occured when, calling this point of view into question, Cauchy took up the problem and deployed the tools he had at his disposal in the framework of complex functions.

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[15] Cauchy (Augustin-Louis) [1829b] Mémoire sur le développement de f(Â) suivant les puissances de h, Â étant racine de l’équation z-x-hϖ(z)=0, Ibid., p.130-138 ; Œuvres (I) 2, p.59-66.

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[18] Cauchy (Augustin-Louis) [1839] Mémoire sur l'intégration des équations différentielles des mouvements planétaires, C.R. Acad. sci. Paris, IX (2e sem. 1839), p. 184-190 ; Œuvres (I) 4, p.483-490.

[19] Cauchy (Augustin-Louis) [1841] Résumé d'un mémoire sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites (lu à l'Acad. de Turin le 11 oct 1831) ; Exercices d'analyse et de physique mathématique, II (1841), p.169-183 ; Œuvres (II) 12, p.48-112.

[20] Cauchy (Augustin-Louis) [1844] Sur les séries multiples et sur les séries modulaires, C.R. Acad. sci. Paris, XIX (2e sem. 1844), p.1375-1377 ; Œuvres (II) 8, p.375-378.

[21] Cauchy (Augustin-Louis) [1846] Rapport sur un mémoire qui a été présenté à l'Académie par M.Félix Chio et qui a pour titre : Recherches sur la série de Lagrange, C.R. Acad. sci. Paris, XXIII (2e sem. 1846), p.490-493 ; Œuvres (II) 12, p.110-123

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[42] Euler (Leonhard) [1789] Analysis facilis et plana ad eas series maxime abstrusas perducens, quibus omnium aequationum algebraicarum non solum radices ipsae, sed etiam quaevis earum potestates exprimi possunt, E. 631, Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae 4 (1786), p.55-73 ; Opera (I) 6, p.384-424.

[43] Euler (Leonhard) [1790] Methodus generalis investigandi radices omnium aequationum per approximationem, E. 64, Ibid. 6 (1788), p.16-24 ; Opera (I) 6, p.425-433.

[44] Euler (Leonhard) [1801] Methodus nova ac facilis omnium aequationum algebraicarum radices non solum ipsas sed etiam quascumque earum potestates per series concinnas exprimendi, E. 711, Ibid. 12 (1794), p.71-90 ; Opera (I) 6, p.447-464.

[45] Francais (Jacques-Frédéric) [1813] Mémoire tendant à démontrer la légitimité de la séparation des échelles de différentiation et d'intégration des fonctions qu'elles affectent, Annales de mathématiques pures et appliquées, III (1812-1813), p.244-272.

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[47] Friedelmeyer (Jean-Pierre) [1994] Le calcul des dérivations d'Arbogast dans le projet d'algébrisation de l'analyse à la fin du XVIIIe siècle, Cahiers d'histoire et de philosophie des sciences, nouvelle série, no43, 1994.

[48] Gilain (Christian) [1981] Équations différentielles ordinaires, cours inédit de Augustin-Louis Cauchy (fragment), introduction de Ch.Gilain, Paris : Études vivantes, 1981. | MR | Zbl

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[62] Lagrange (Jean-Louis) [1771b] Sur l'élimination des inconnues dans les équations, Ibid., p.303-318 ; Œuvres III, p.141-154.

[63] Lagrange (Jean-Louis) [1772] Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Nouveaux Mémoires de l'Académie des Sciences et Belles-lettres de Berlin 1770 (1772), p.134-215 ; Œuvres III, p.205-304.

[64] Lagrange (Jean-Louis) [1774a] Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation et à l'intégration des quantités variables, Ibid. 1772 (1774), p.185-221 ; Œuvres III, p.441-476.

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[66] Lagrange (Jean-Louis) [1788] Mécanique analytique, Paris 1788 ; Œuvres XI et XII (4e éd.).

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[68] Lagrange (Jean-Louis) [1813] Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions, et réduits à l'analyse des quantités finies 2e éd., 1813, Paris ; Œuvres IX, p.11-421.

[69] Lagrange (Jean-Louis) et Legendre (Adrien-Marie) [1799] Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Bürmann (nivôse an VII), Mémoires de l'Institut national des Sciences et Arts II (fructidor an VII), Paris, p.13-17.

[70] Lambert (Jean-Henri) [Opera] Johannis Henrici Lamberti Opera Mathematica, éd. Andreas Speiser, 2 vol., Zürich : Orell Füssli Verlag, 1946-1948.

[71] Lambert (Jean-Henri) [1758] Observationes variae in mathesin puram, Acta helvetica, 3 (1758), p.128-168 ; Opera I, p.16-51.

[72] Lambert (Jean-Henri) [1772] Observations analytiques, Nouveaux mémoires de l'Académie de Berlin 1770 (1772), p.225-244 ; Opera II, p.270-290.

[73] Laplace (Pierre-Simon) [Œuvres] Œuvres complètes de Laplace, 14 vol., Paris : Gauthier-Villars, 1878-1912. | JFM

[74] Laplace (Pierre-Simon) [1780] Mémoire sur l'usage du calcul aux différences partielles dans la théorie des suites, Mém. Acad. sci. 1777 (1780), p.99-122 ; Œuvres IX, p.313-335.

[75] Laplace (Pierre-Simon) [1799] Traité de mécanique céleste, t.I, 1e éd., Paris : chez Duprat 1799 ; Œuvres I.

[76] Laplace (Pierre-Simon) [1820] Théorie analytique des probabilités, livre II, 3e éd. ; Œuvres VII, p.196-505.

[77] Laplace (Pierre-Simon) [1827] Mémoire sur le développement de l'anomalie vraie et du rayon vecteur elliptique en séries ordonnées suivant les puissances de l'excentricité, Mém. Acad. sci., VI (1823), p.61-80 ; Œuvres XII, p.549-566.

[78] Lexell (Anders Johan) [1772] Demonstratio theorematis analytici a celeb. Lagrange inventi, Novi Commentarii Academicae Scientiarum Petropolitanae, XVI (1771), p.230-254.

[79] Newton (Isaac) [Works] The mathematical papers of Isaac Newton, 7 vol., éd. D.T.Whiteside, Cambridge : University Press, 1967-1976. | MR | Zbl

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[81] Oberlé (L.) et al. [1979] Colloque international et interdisciplinaire Jean-Henri Lambert (Mulhouse, 26-30 septembre 1977), Paris : éditions Ophrys, 1979.

[82] Petrova (Svetlana S.) [1993] Cauchy et le calcul symbolique, Sciences et techniques en perspective, 26 (1993), p.148-152. | MR

[83] Pfaff (Johann Friedrich) [1794a] Analysis einer wichtigen Aufgabe des Herrn de la Grange, Archiv der reinen und angewandten Mathematik, I (1794), p.81-84.

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[85] Poinsot (Louis) [1826] Analyse du traité de la résolution des équations numériques, reproduit (d'après un article de 1808 paru dans le Magasin encyclopédique) dans la troisème édition du Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés par Lagrange, Paris : chez Courcier, 1826.

[86] Rothe (H.A.) [1795] Lokal- und kombinatorisch analytische Formeln für höhere Differenziale, Archiv reinen ang. Math., II (1795), p.431-449.

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[89] Servois (François-Joseph) [1814b] Réflexions sur les divers systèmes d'exposition des principes du calcul différentiel et, en particulier, sur la doctrine des infiniment petits, Ibid., p.141-170.

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[91] Whittaker (Edmund T.) et Watson (George N.) [1920] A course of modern analysis, Cambridge : 1920 (1e éd. 1902).