Le statut de la géométrie dans quelques textes sur l'homologie, de Poincaré aux années 1930
Revue d'histoire des mathématiques, Tome 3 (1997) no. 2, pp. 241-293.

Le but de cet article est d'analyser le statut de la géométrie dans quelques textes consacrés aux relations d'homologie, depuis les mémoires de Poincaré sur l'Analysis situs jusqu'au début des années 1930. Pour cela, nous introduisons la notion de « contenu géométrique » et nous montrons que ce contenu est présent dans les textes de Poincaré, de Veblen et d'Alexander, sans l'être cependant dans ceux d'autres auteurs (Vietoris, Čech). Par ailleurs, l'analyse de certaines distinctions introduites par ces auteurs permet d'apprécier dans quelle mesure l'exigence d'une « signification géométrique » est pour eux contraignante. Cette analyse montre que leurs rapports à la signification géométrique sont variés et elle complète l'analyse du statut de la géométrie obtenue à partir de l'étude du contenu géométrique. Par-delà l'historicité des mathématiques à laquelle ces analyses donnent accès, c'est la diversité sémiotique des textes mathématiques qui est ainsi mise en évidence.

This paper sets out to investigate the place and status assigned to geometry in various contributions on the topic of homology relationships, starting with the papers written by Poincaré on Analysis situs, and pursuing the issue up to the early 1930s. For that purpose, the concept of “ geometrical content ” is introduced, and is shown to be indeed present in writings by Poincaré, Veblen and Alexander, while it is absent, on the other hand, from the contributions of other authors (Vietoris, Čech). Further, the analysis of certain distinctions introduced by these writers allows an appreciation to be arrived at, of the extent to which their insistence on a “ geometric meaning ” acted as a compelling imperative and constraint in their work. The analysis in fact points to the variety of stances adopted by these mathematicians, with regard to geometric meaning, thus complementing the examination of the status assigned to geometry, on the basis of the analysis of geometrical content. Beyond the historicity of mathematics - as a historical process in the making - thus highlighted by these modes of analysis, the semiotic variance and diversity itself of mathematical writings is thus made manifest.

@article{RHM_1997__3_2_241_0,
     author = {Herreman, Alain},
     title = {Le statut de la g\'eom\'etrie dans quelques textes sur l'homologie, de {Poincar\'e} aux ann\'ees 1930},
     journal = {Revue d'histoire des math\'ematiques},
     pages = {241--293},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {3},
     number = {2},
     year = {1997},
     zbl = {0973.01028},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/RHM_1997__3_2_241_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Herreman, Alain
TI  - Le statut de la géométrie dans quelques textes sur l'homologie, de Poincaré aux années 1930
JO  - Revue d'histoire des mathématiques
PY  - 1997
DA  - 1997///
SP  - 241
EP  - 293
VL  - 3
IS  - 2
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/item/RHM_1997__3_2_241_0/
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A0973.01028
LA  - fr
ID  - RHM_1997__3_2_241_0
ER  - 
Herreman, Alain. Le statut de la géométrie dans quelques textes sur l'homologie, de Poincaré aux années 1930. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 3 (1997) no. 2, pp. 241-293. http://www.numdam.org/item/RHM_1997__3_2_241_0/

[1] Alexander (J.W.) [1922] A proof and extension of the Jordan-Brouwer separation theorem, Transactions of the American Mathematical Society, 23 (1922), p.333-349. | JFM 49.0403.01 | MR 1501206

[2] Alexander (J.W.) [1926] Combinatorial Analysis situs, Ibid., 28 (1926), p.301-329. | JFM 52.0569.01 | MR 1501346

[3] Alexander (J.W.) [1930] The combinatorial theory of complexes, Annals of Mathematics, (II) 31 (1930), p.292-320. | JFM 56.0497.02 | MR 1502943

[4] Alexandroff (P.) [1929] Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension, Ann. of Math., (II) 30 (1929), p.101-187. | JFM 54.0609.02

[5] Alexandroff (P.) [1932] Einfachste Grundbegriffe der Topologie, Berlin : Springer, 1932. Trad. angl., Elementary concepts of topology, New York : Dover, 1961. | JFM 58.0621.01

[6] Alexandroff (P.) et Hopf (H.) [1935] Topologie I, Berlin : Springer, 1935. | MR 345087

[7] Betti (E.) [1871] Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni, Annali di matematica pura ed applicata, (II) 4 (1871), p.140-158. | JFM 03.0301.01

[8] Bollinger (M.) [1972] Geschichtliche Entwicklung des Homologiebegriffs, Archive for History of Exact Sciences, 9 (1972), p.94-170. | MR 1554165 | Zbl 0272.55002

[9] Cartan (E.) [1928] Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos, Comptes rendus des séances hebdomadaires de l'Académie des Sciences, 187 (1928), p.196-198. | JFM 54.0604.01

[10] Čech (E.) [1932] Théorie générale de l'homologie dans un espace quelconque, Fundamenta mathematicae, 19 (1932), p.149-183. | JFM 58.0622.02

[11] Chuard (J.) [1922] Questions d'Analysis situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 46 (1922), p.185-224. | JFM 48.0663.04

[12] Dehn (M.) et Heegaard (P.) [1907] Analysis situs, dans Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, vol.III. 1.1, Leipzig : Teubner, 1907-1910, article AB3, p.153-220. | JFM 38.0510.14

[13] Dieudonné (J.) [1985] Les débuts de la topologie algébrique, Expositiones mathematicae, 3 (1985), p.347-357. | MR 844415 | Zbl 0594.55001

[14] Dieudonné (J.) [1989] A history of algebraic and differential topology 1900-1960, Boston-Basel, Birkhäuser, 1989. | MR 995842 | Zbl 0673.55002

[15] Goldstein (C.) [1995] Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Saint-Denis : Presses Universitaires de Vincennes, 1995. | MR 1351497 | Zbl 0879.01013

[16] Heegaard (P.) [1898] Forstudier til en topoligisk teori for de algebraiske Fladers Sammenhang, Diss., Kjobenhavn, 1898. Trad. fr., Sur l'Analysis situs, Bulletin de la Société Mathématique de France, 44 (1916), p.161-242. | JFM 29.0417.02 | MR 1504754

[17] Herreman (A.) [1996] Eléments d'histoire sémiotique de l'homologie, thèse, Université Paris 7, 1996.

[18] Herreman (A.) [1998a] L'analogie au fondement de l'homologie, dans Marie-José Durand-Richard, éd., Le statut de l'analogie dans la démarche scientifique, Paris : Blanchard, à paraître.

[19] Herreman (A.) [1998b] Sur l'analyse sémiotique des textes mathématiques, Semiotica, (1998), à paraître.

[20] Hjelmslev (L.) [1968] Prolégomènes à une théorie du langage. Suivi de La structure fondamentale du langage, Paris : Éditions de Minuit, 1968

[21] Hjelmslev (L.) [1971] Essais linguistiques, Paris : Éditions de Minuit, 1971.

[22] Hjelmslev (L.) [1985] Nouveaux essais, Paris : PUF, 1985.

[23] Kneser (H.) [1926] Die Topologie der Mannigfaltigkeiten, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 34 (1926), p.1-14. | JFM 51.0444.13

[24] Lefschetz (S.) [Papers] Selected Papers, New York : Chelsea, 1971. | MR 299447

[25] Lefschetz (S.) [1926] Intersections and transformations of complexes and manifolds, Trans. Amer. Math. Soc., 28 (1926), p.1-49 ; Papers, p.199-247. | JFM 52.0572.02 | MR 1501331

[26] Lefschetz (S.) [1930] Topology, New York : American Mathematical Society (Colloquium Publications, vol. 12), 1930. | JFM 56.0491.08

[27] Lefschetz (S.) [1933] On singular chains and cycles, Bulletin of the American Mathematical Society, 39 (1933), p.124-129 ; Papers, p.479-484. | JFM 59.1253.01 | MR 1562565 | Zbl 0006.42202

[28] Lefschetz (S.) [1970] The early development of algebraic topology, Boletim da Sociedade brasileira de matemática, 1 (1970), p.1-48. | MR 326703 | Zbl 0337.55002

[29] Mayer (W.) [1929] Über Abstrakte Topologie (I, II), Monatshefte für Mathematik und Physik, 36 (1929), p.1-42 et 219-258. | JFM 55.0963.02 | MR 1549682

[30] Picard (E.) et Simart (G.) [1897-1906] Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes, 2 vol., Paris, 1897, 1906. | JFM 37.0404.02

[31] Poincaré (H.) [Œuvres] Œuvres de Henri Poincaré, 11 vol., Gauthier-Villars, 1916-1956. | Zbl 0072.24103

[32] Poincaré (H.) [1895] Analysis situs, Journal de l'École polytechnique, (II) 1, p.1-121 ; Œuvres VI, p.193-288. | JFM 26.0541.07

[33] Poincaré (H.) [1899] Complément à l'Analysis situs, Rc. Circ. mat. Palermo, 13 (1899), p.285-343 ; Œuvres VI, p.289-337. | JFM 30.0435.02

[34] Poincaré (H.) [1900] Second complément à l'Analysis situs, Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), p.277-308 ; Œuvres VI, p.338-370. | JFM 31.0477.10

[35] Poincaré (H.) [1902a] Sur certaines surfaces algébriques ; troisième complément à l'Analysis situs, Bull. Soc. math. France, 30 (1902), p.49-70 ; Œuvres VI, p.373-392. | JFM 33.0499.12 | Numdam | MR 1504408

[36] Poincaré (H.) [1902b] Sur les cycles des surfaces algébriques ; Quatrième complément à l'Analysis situs, Journal de mathématiques pures et appliquées, (V) 8 (1902), p.169-214 ; Œuvres VI, p.397-434. | JFM 33.0500.01

[37] Poincaré (H.) [1904] Cinquième complément à l'Analysis situs, Rc. Circ. mat. Palermo, 18 (1904), p.45-110 ; Œuvres VI, p.435-498. | JFM 35.0504.13

[38] Poincaré (H.) [1908] L'avenir des mathématiques, dans Science et méthode, Paris : Flammarion, 1908. | JFM 39.0081.03

[39] Poincaré (H.) [1921] Analyse des travaux scientifiques de Henri Poincaré faite par lui-même, Acta mathematica, 38 (1921), p.37-135 [rédigée en 1901].

[40] Rham (G. De) [1929] Intégrales multiples et Analysis situs, C. R. Acad. sci. Paris, 188 (1929), p.1651-1653. | JFM 55.0228.01

[41] Rham (G. De) [1931] Sur l’Analysis situs des variétés à n dimensions, J. math. pures appl., (IX) 10 (1931), p.115-200. | JFM 57.1520.06 | Numdam | Zbl 0002.05502

[42] Scholz (E.) [1980] Geschichte des Mannigfaltigkeitsbergriffs von Riemann bis Poincaré, Boston-Basel, Birkhäuser, 1980. | MR 631524 | Zbl 0438.01004

[43] Seifert (H.) et Threlfall (W.) [1934] Lehrbuch der Topologie, Leipzig : Teubner, 1934. | JFM 60.0496.05 | Zbl 0009.08601

[44] Steinitz (E.) [1908] Beiträge zur Analysis situs, Sitzungsberichte der Berliner mathematischen Gesellschaft, 7 (1908), p.29-49. | JFM 39.0545.12

[45] Stillwell (J.) [1980] Classical topology and combinatorial group theory, New York : Springer, 1980 ; 2e éd. 1993. | MR 1211642 | Zbl 0774.57002

[46] Tietze (H.) [1908] Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Mh. Math. Phys., 19 (1908), p.1-118. | JFM 39.0720.05 | MR 1547755

[47] Tucker (A.W.) [1933] An abstract approach to manifolds, Ann. of Math., (II) 34 (1933), p.191-243. | MR 1503105 | Zbl 0006.42301

[48] Veblen (O.) [1922] Analysis situs, New York : American Mathematical Society (Colloquium Publications) ; 2e éd., 1931. | JFM 57.0712.01 | Zbl 0001.40604

[49] Veblen (O.) et Alexander (J.W.) [1913] Manifolds of n dimensions, Ann. of Math., (II) 14 (1913), p.163-178. | JFM 44.0558.02

[50] Vietoris (L.) [1927] Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen, Mathematische Annalen, 97 (1927), p.454-472. | JFM 53.0552.01 | MR 1512371

[51] Volkert (K.) [1994] Das Homöomorphieproblem insbesondere der 3-Mannigfaltigkeiten in der Topologie 1892-1935, Habilitationschrift vorgelegt der Mathematischen Fakultät der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg, 1994.

[52] Volkert (K.) [1996] The early history of Poincaré's conjecture, dans J.-L.Greffe, G.Heinzmann, K.Lorenz, éd., Henri Poincaré : Science et philosophie (Congrès international, Nancy, France, 1994), Berlin : Akademie-Verlag et Paris : Blanchard, p. 241-250. | MR 1384995 | Zbl 0854.01024

[53] Van Der Waerden (B.L.) [1930] Kombinatorische Topologie, Jber. d. Dt. Math.-Verein., 39 (1930), p.121-139. | JFM 56.0497.01

[54] Weyl (H.) [1917] Le problème de l'Analysis situs, L'Enseignement mathématique, 19 (1917), p.95-96. | JFM 46.0832.02