Genèse des premiers espaces vectoriels de fonctions
Revue d'histoire des mathématiques, Tome 2 (1996) no. 2, pp. 265-307.

Cet article examine comment la notion d'espace vectoriel de fonctions s'est peu à peu imposée dans l'analyse entre 1880 et 1930 environ. Malgré certaines approches formelles précoces, les questions linéaires en dimension infinie sont longtemps restées marquées par l'analogie avec la dimension finie, que l'on traitait alors à l'aide des déterminants. Nous regardons comment l'étude de l'équation de Fredholm d'une part, en particulier le travail de Hilbert, et l'émergence de notions topologiques d'autre part, ont fait apparaître, par des généralisations successives, la nécessité d'une approche axiomatique.

The paper surveys the gradual rise and initial adoption in the field of analysis of the concept of vector spaces of functions, in the period from ca. 1880 to ca. 1930. Some early formalistic approaches notwithstanding, the treatment of linear problems for an infinite number of dimensions long bore the mark of the analogy with finite-number of dimensions situations, this at the time involving the use of determinants. The paper examines how the Fredholm equation, on the one hand, and particularly Hilbert's contribution on the matter, and the emergence of topological concepts on the other hand, came to show, through a succession of generalisations, the requirement for an axiomatic approach.

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Dorier, Jean-Luc. Genèse des premiers espaces vectoriels de fonctions. Revue d'histoire des mathématiques, Tome 2 (1996) no. 2, pp. 265-307. http://www.numdam.org/item/RHM_1996__2_2_265_0/

[1] Banach (Stefan) [Œuvres] Œuvres, 2 vol., Warszawa : Éditions scientifiques de Pologne, 1967-1979.

[2] Banach (Stefan) [1922] Sur les opérations linéaires dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, Fundamenta mathematica, 3 (1922), p. 133-181 ; Œuvres 2, p. 306-348. | JFM 48.0201.01

[3] Banach (Stefan) [1929] Sur les fonctionnelles linéaires, (en deux parties), Studia mathematica, 1 (1929), p. 211-216 et 223-239 ; Œuvres 2, p. 375-395.

[4] Banach (Stefan) [1932] Théorie des opérateurs linéaires, Warszawa : Funduszu Kultury Narodowej, 1932 ; Œuvres 2, p. 19-217 ; rééd. New York : Chelsea, 1955. | Zbl 0005.20901

[5] Banach (Stefan) et Mazur (Stanislaw) [1933] Sur la dimension linéaire des espaces fonctionnels, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 196 (1933), p. 86-88 ; Œuvres 2, p. 431-433. | JFM 59.0408.01 | Zbl 0006.17004

[6] Bernkopf (Michael) [1966] The development of function spaces with particular references to their origins in integral equation theory, Archive for History of Exact Sciences, 3 (1966), p. 1-96. | MR 198174 | Zbl 0149.33703

[7] Bernkopf (Michael) [1968] A history of infinite matrices - A study of denumerably infinite linear systems as the first step in the history of operators defined on function spaces, Ibid., 4 (1968), p. 308-358. | MR 1554109 | Zbl 0178.00503

[8] Dieudonné (Jean) [1981] History of functional analysis, Amsterdam : North-Holland (Mathematics Study 49), 1981. | MR 605488 | Zbl 0478.46001

[9] Dorier (Jean-Luc) [1993] L'émergence du concept de rang dans l'étude des systèmes d'équations linéaires, Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, (II) 3 (1993), p. 159-190. | Numdam | MR 1240759 | Zbl 0792.01014

[10] Dorier (Jean-Luc) [1995] A general outline of the genesis of vector space theory, Historia mathematica, 22 (1995), p. 227-261. | MR 1347828 | Zbl 0834.01006

[11] Dorier (Jean-Luc) [1996] Basis and dimension, from Grassmann to van der Waerden, dans G.Schubring (éd.), Hermann Günther Grassmann (1809-1877), visionary, scientist and neohumanist scholar, Dordrecht : Kluwer (Boston Studies in the Philosophy of Science), 1996. | MR 1420649 | Zbl 0907.01008

[12] Fischer (Ernst) [1907] Sur la convergence en moyenne, C. R. Acad. Sci. Paris, 144 (1907), p. 1022-1024. | JFM 38.0422.01

[13] Fourier (Joseph) [1822] Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822 ; Œuvres de Fourier, vol. 1, Paris, 1888 ; rééd., Paris : J. Gabay, 1988. | MR 1414430

[14] Fréchet (Maurice) [1904 ] Sur les opérations linéaires, Transactions of the American Mathematical Society, 5 (1904), p. 493-499. | JFM 35.0389.03

[15] Fréchet (Maurice) [1905] Sur les opérations linéaires (deuxième note), Ibid., 6 (1905), p. 134-140. | JFM 36.0449.04

[16] Fréchet (Maurice) [1906] Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 22 (1906), p. 1-72. | JFM 37.0348.02

[17] Fréchet (Maurice) [1907] Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris, 144 (1907), p. 1414-1416. | JFM 38.0423.01

[18] Fréchet (Maurice) [1925] Les espaces vectoriels abstraits, Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, 16 (1925-26), p. 51-62. | JFM 52.0408.02

[19] Fréchet (Maurice) [1926] Les espaces abstraits topologiquement affines, Acta mathematica, 47 (1926), p. 25-52. | JFM 51.0456.04 | MR 1555210

[20] Fréchet (Maurice) [1928] Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'analyse générale, Paris : Gauthiers-Villars, 1928 ; rééd., 1951. | JFM 54.0614.02

[21] Fredholm (Ivar) [Œuvres] Œuvres complètes, publiées sous les auspices de la Kungliga Svenska Vetenskapsakademien par l'Institut Mittag-Leffler, Malmö : Litos reprotryck, 1955.

[22] Fredholm (Ivar) [1900] Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de Dirichlet, Öfversigt af Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar Stockholm, 57 (1900), p. 39-46 ; Œuvres, p. 61-68. | JFM 32.0435.02

[23] Fredholm (Ivar) [1903] Sur une classe d'équations fonctionnelles, Acta math., 27 (1903), p. 365-390 ; Œuvres, p. 81-106. | JFM 34.0422.02 | MR 1554993

[24] Gelfand (Israïl) [1941] Normierte Ringe, Matematicheskij Sbornik, 9 (1941), p. 3-23. | JFM 67.0406.02 | MR 4726 | Zbl 0024.32002

[25] Hadamard (Jacques) [1912] Le calcul fonctionnel, L'enseignement mathématique, 14 (1912), p. 5-18 ; Œuvres, Paris : Éditions du CNRS, 1968, vol. 4, p. 2253-2266.

[26] Hahn (Hans) [1908] Bemerkung zu den Untersuchungen des Herrn M. Fréchet : sur quelques points de calcul fonctionnel, Monatshefte für Mathematik und Physik, 19 (1908), p. 247-257. | JFM 39.0398.01 | MR 1547765

[27] Hahn (Hans) [1922] Über Folgen linearer Operationen, Ibid., 32 (1922), p. 1-88. | JFM 48.0473.01

[28] Hahn (Hans) [1927] Über lineare Gleichungssystem in linearen Räumen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 157 (1927), p. 214-229. | JFM 53.0369.03

[29] Hellinger (Ernst) [1935] Hilberts Arbeiten über Integralgleichungen und unendliche Gleichungssystem, dans Hilberts Gesammelte Abhandlungen, Berlin, 1935 ; rééd., New York : Chelsea, 1953, vol. 3, p. 94-140.

[30] Hellinger (Ernst) et Toeplitz (Otto) [1927] Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, dans Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Leipzig : Teubner, article II C 13, p. 1335-1601 ; rééd. sous forme de livre, New York : Chelsea, 1953. | JFM 53.0350.01 | MR 56185

[31] Helly (Eduard) [1921] Über Systeme linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Mh. Math. Phys., 31 (1921), p. 60-91. | JFM 48.1250.02 | MR 1549097

[32] Hilbert (David) [1904a] Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1904), p. 49-91. | JFM 35.0378.02

[33] Hilbert (David) [1904b] Anwendung der Theorie auf lineare Differentialgleichungen, Ibid. (1904), p. 213-259. | JFM 35.0378.03

[34] Hilbert (David) [1905] Anwendung der Theorie auf Probleme der Funktionentheorie, Ibid. (1905), p. 307-338. | JFM 36.0438.02

[35] Hilbert (David) [1906a] Theorie der Funktionen von unendlich vielen Variabeln, Ibid. (1906), p. 157-227. | JFM 37.0351.03

[36] Hilbert (David) [1906b] Neue Begründung und Erweiterung der Theorie der Integralgleichungen, Ibid. (1906), p. 439-480. | JFM 37.0351.04

[37] Hilbert (David) [1910] Anwendung der Theorie auf verschiedene Probleme der Analysis, Geometrie und Gastheorie, Ibid. (1910), p. 355-417.

[38] Hilbert (David) [1912] Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Leipzig/Berlin : Teubner, 1912 [rééd. sous forme de livre des six articles précédents] ; réimp. New York : Chelsea, 1953. | MR 56184 | Zbl 0050.10201

[39] Hill (George William) [1877] On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon, Cambridge (Mass.) : Wilson, 1877. | JFM 09.0795.01

[40] Koch (Helge Von) [1891] Sur une application des déterminants infinis à la théorie des équations différentielles linéaires, Acta math., 15 (1891), p. 53-63. | JFM 23.0313.04 | MR 1554812

[41] Koch (Helge Von) [1892] Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires, Ibid., 16 (1892-93), p. 217-295. | JFM 24.0292.01 | MR 1554829

[42] Monna (A. F.) [1973] Functional analysis in historical perspective, Utrecht : Oosthoeck, 1973. | MR 482022 | Zbl 0266.46001

[43] Moore (Eliakim) [1908] On a form of general analysis with application to linear differential and integral equations, Atti del IV congresso internazionale dei matematici, (Rome, 1908), vol. 2, p. 98-114. | JFM 40.0396.01

[44] Moore (Gregory H.) [1995] The axiomatization of linear algebra, Hist. math., 22 (1995), p. 262-303. | MR 1347829 | Zbl 0835.01007

[45] Neumann (John Von) [1927] Mathematische Begründung der Quantenmechanik, Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen (1927), p. 1-57 ; Collected Works, Oxford : Pergamon Press, vol. I, p. 151-207.

[46] Neumann (John Von) [1932] Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin : Springer, 1932 ; rééd. New York : Dover, 1943. Trad. fr., A. Proca, Les fondements mathématiques de la mécanique quantique, Paris : Alcan, 1946 ; rééd. Paris : Gabay 1988. Trad. angl., Robert T. Beyer, Princeton : Princeton University Press, 1955. | MR 9560

[47] Peano (Giuseppe) [Opere] Opere scelte, 3 vol., Roma : Cremonese, 1957-1959.

[48] Peano (Giuseppe) [1888a] Calcolo geometrico secundo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann e precedutto dalle operazioni della logica deduttiva, Torino : Fratelli Bocca, 1888. | JFM 20.0689.04

[49] Peano (Giuseppe) [1888b] Intégration par séries des équations différentielles linéaires, Mathematische Annalen, 32 (1888), p. 450-456 ; Opere 1, p. 83-90. | JFM 20.0329.02

[50] Pécot (Jean-Bernard) [1992] Histoire des relations d'orthogonalité en analyse, Thèse de doctorat, Université de Nantes, 1992.

[51] Pécot (Jean-Bernard) [1993a] Les théories spectrales de Poincaré, Sciences et techniques en perspective, 26 (1993), p. 173-205.

[52] Pécot (Jean-Bernard) [1993b] Les théories spectrales de Hilbert et de Schmidt, Ibid., 26 (1993), p. 206-249.

[53] Pincherle (Salvatore) [1912] Équations et opérations fonctionnelles, dans Encyclopédie des sciences mathématique pures et appliquées, tome II, vol. 5, fasc. 1, 1912, article II 26, p. 1-81.

[54] Pincherle (Salvatore) et Amaldi (Ugo) [1901] Le operazioni distributive e le loro applicazioni all'analisi, Bologna : Zanichelli, 1901. | JFM 32.0075.02

[55] Poincaré (Henri) [1886] Sur les déterminants d'ordre infini, Bulletin de la Société mathématique de France, 14 (1886), p. 77-90. | JFM 18.0117.01 | Numdam | MR 1503979

[56] Riesz (Frédéric) [Œuvres] Œuvres complètes, Paris : Gauthier-Villars et Budapest : Maison d'édition de l'Académie des sciences de Hongrie, 2 vol., 1960.

[57] Riesz (Frédéric) [1907a] Sur les systèmes orthogonaux de fonctions, C. R. Acad. Sci. Paris, 144 (1907), p. 615-619 ; Œuvres 1, p. 378-381. | JFM 38.0420.04

[58] Riesz (Frédéric) [1907b] Sur les systèmes orthogonaux de fonctions et l'équation de Fredholm, Ibid., 144 (1907), p. 734-736 ; Œuvres 1, p. 382-385. | JFM 38.0420.05

[59] Riesz (Frédéric) [1907c] Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables, Ibid., 144 (1907), p. 1409-1411 ; Œuvres 1, p. 386-388. | JFM 38.0422.03

[60] Riesz (Frédéric) [1907d] Über orthogonale Funktionensysteme, Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen (1907), p. 116-122 ; Œuvres 1, p. 389-395. | JFM 38.0421.01

[61] Riesz (Frédéric) [1910] Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann., 69 (1910), p. 449-497 ; Œuvres 1, p. 441-489. | JFM 41.0383.01 | MR 1511596

[62] Riesz (Frédéric) [1913] Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues, Paris : Gauthier-Villars, 1913 ; Œuvres 2, p. 829-1016. | JFM 44.0401.01

[63] Riesz (Frédéric) [1918] Über lineare Funktionalgleichungen (trad. d'un texte hongrois de 1916), Acta math., 41 (1918), p. 71-98 ; Œuvres 2, p. 1053-1080. | JFM 46.0635.01 | MR 1555146

[64] Schmidt (Erhard) [1907a] Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, (partie I), Math. Ann., 63 (1907), p. 433-467. | MR 1511415

[65] Schmidt (Erhard) [1907b] Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, (partie II), Ibid., 64 (1907), p. 161-174. | JFM 38.0377.02 | MR 1511432

[66] Schmidt (Erhard) [1908a] Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, (partie III), Ibid., 65 (1908), p. 370-399. | JFM 39.0399.03 | MR 1511472

[67] Schmidt (Erhard) [1908b] Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rend. Circ. math. Palermo, 25 (1908), p. 53-77. | JFM 39.0401.01

[68] Stone (Marshall Harvey) [1932] Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis, New York : American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. XV, 1932 ; rééd., 1958. | MR 1451877 | Zbl 0005.40003

[69] Toeplitz (Otto) [1909] Über die Auflösung unendlichvieler linearer Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, Rend. Circ. math. Palermo, 28 (1909), p. 88-96. | JFM 40.0392.01

[70] Van Der Waerden (Bartel, L.) [1930] Moderne Algebra, 2 vol., Berlin : Springer, 1930-31 ; 2e éd., 1937.

[71] Wiener (Norbert) [Works] Collected works with commentaries, éd. P. Masani, Cambridge (MA)/London : The MIT Press, 4 vol., 1976-1985.

[72] Wiener (Norbert) [1920] On the theory of sets of points in terms of continuous transformations, Compte rendu du congrès international des mathématiciens, (Strasbourg, 1920), p. 312-315 ; Œuvres 1, p. 281-284. | JFM 48.0216.02 | MR 183626

[73] Wiener (Norbert) [1922a] The group of linear continuum, Proceedings of the London Mathematical Society, 20 (1922), p. 329-346 ; Œuvres 1, p. 285-302. | JFM 48.0662.01 | MR 1577373

[74] Wiener (Norbert) [1922b] Limit in terms of continuous transformation, Bull. Soc. math. France, 50 (1922), p. 119-134 ; Œuvres 1, p. 303-318. | JFM 48.0470.02 | Numdam | MR 1504813

[75] Wiener (Norbert) [1923] Note on a paper of M. Banach, Fund. math., 4 (1923), p. 136-143 ; Œuvres 3, p. 676-683. | JFM 49.0213.01

[76] Wiener (Norbert) [1956] I am a mathematician. The later life of a prodigy, New York : Doubleday, 1956. | MR 77455 | Zbl 0071.00415